Com o intuito de evitar uma solução interativa, a tensão na fonte é

ELE401 – Circuitos Magnéticos
CAPÍTULO I – CONCEITOS BÁSICOS
1.1
INTRODUÇÃO
O magnetismo desempenha um papel importante
em quase todos os aparelhos elétricos utilizados
hoje, seja na indústria, comércio, em casa ou na
área de pesquisa.
As máquinas elétricas (transformadores, motores e
geradores), disjuntores, aparelhos de TV,
computadores
e
etc,
empregam
efeitos
magnéticos.
Um circuito magnético é aquele onde existe um
caminho para o fluxo magnético, de forma análoga
ao circuito elétrico, que proporciona um caminho
para a corrente elétrica.
Os
materiais
magnéticos
utilizados
no
desenvolvimento
de
circuitos
magnéticos
determinam as dimensões dos equipamentos, suas
capacidades, e introduzem limitações nos
desempenhos, devido a saturações e perdas. É
importante, portanto, conhecer suas características
e propriedades básicas, para possibilitar um
desenvolvimento mais econômico e adequado dos
diversos equipamentos.
1.2
Esta propriedade é exibida pelas linhas de campo
em materiais homogêneos (composição uniforme).
Deve-se chamar a atenção para o fato das linhas
procurarem ocupar a menor área possível.
A intensidade do campo magnético em dada região
é diretamente proporcional à densidade de linhas
de campo nessa região. Na figura 1.1 a intensidade
do campo em “a” é maior que em “b” pois o número
de linhas que atravessam “a” é maior do que “b” e
as áreas de “a” e “b” são iguais.
Se colocarmos um material não magnético (vidro,
cobre, p.ex.) nas proximidades de um imã
permanente, a distribuição das linhas de campo
sofrerá uma alteração quase imperceptível. Caso o
material seja magnético (ferro), as linhas tenderão
a passar pelo ferro e não pelo ar, conforme a figura
1.2.
CAMPOS MAGNÉTICOS
Na região do espaço em torno de um imã
permanente existe um campo magnético que pode
ser representado por linhas semelhantes às linhas
de campo associadas a um campo elétrico.
Conforme a figura 1.1, observamos que as linhas
de campo magnético não começam e terminam em
cargas, mas formam curvas fechadas.
Figura 1.2 – Efeitos sobre as linhas de campo
Observação: As linhas de fluxo buscam ser o mais
curtas possível e tomar o caminho com
permeabilidade mais alta.
Uma das aplicações práticas deste fenômeno é a
construção de blindagens eletromagnéticas na
proteção de instrumentos elétricos sensíveis a
ação de campos magnéticos espúrios, conforme a
figura 1.3.
Figura 1.1 – Linhas de campo magnético em um imã
permanente
As linhas de campo se dirigem do polo norte para o
polo sul no exterior e do polo sul para o polo norte
no interior. As linhas estão igualmente espaçadas
no interior da barra e simetricamente distribuídas
no exterior a ela.
Figura 1.3 – Efeito da blindagem eletromagnética
Em torno de qualquer fio percorrido por corrente
existe um campo magnético (representado por
linhas circulares), conforme figura 1.4.
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1
ELE401 – Circuitos Magnéticos
Figura 1.4 – Linhas de campo nas proximidades de um
condutor percorrido por corrente
Pode-se aumentar a densidade do campo
magnético inserindo-se um núcleo de material
ferromagnético (ferro, aço, cobalto) no interior do
enrolamento para concentrar as linhas de campo.
Ao introduzirmos um núcleo para aumentar a
intensidade do campo, criamos um eletroímã,
conforme a figura 1.7 que, além de apresentar
todas as propriedades de um imã permanente,
produz um campo magnético cuja intensidade pode
ser modificada alterando-se um dos seus
parâmetros (corrente, número de espiras).
Ao se formar uma espira com este condutor, as
linhas de campo terão a mesma direção e sentido
no centro da espira e o campo magnético nesta
região ficará mais intenso, de acordo com a figura
1.5.
Figura 1.7 – Eletroímã
1.3
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
1.3.1 Fluxo Magnético
Figura 1.5 – Linhas de campo em uma espira percorrida
por corrente
Considere um campo magnético não uniforme de
módulo B onde são colocadas três espiras,
conforme a figura 1.8, a seguir.
Um enrolamento com várias espiras produzirá um
campo magnético como o da figura 1.6.
Figura 1.8 – Espiras colocadas em um campo magnético
Figura 1.6 – Linhas de campo em uma bobina percorrida
por corrente
As linhas de campo da figura 1.6 são bastante
semelhantes as de um imã permanente (fig 1.1). A
diferença mais evidente entre os dois está na
densidade das linhas de campo, muito maior no
caso do imã. Assim o campo gerado pela bobina
da figura 1.6 é mais fraco do que o campo gerado
pelo imã.
A espira 1 tem uma área “A1” e ela está colocada
de forma perpendicular ao vetor campo magnético
de módulo B1. A espira 2 tem uma área “A 2<A1” e
ela está colocada de forma perpendicular ao vetor
campo magnético de módulo B 2, sendo B2 > B1. A
espira 3 tem uma área “A 3 = A2”, porém está
posicionada de tal forma que existe um ângulo ""
entre a normal à superfície e o vetor campo
magnético de módulo B3 (observar que B3 = B2).
Pode-se perceber da figura 1.8, que:
a) O número de linhas de campo que atravessa as
espiras 1 e 2 é igual, embora as áreas sejam
diferentes. Isto se deve ao fato do campo
magnético B2 ser mais intenso do que o campo
magnético B1 (devido a maior densidade de
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2
ELE401 – Circuitos Magnéticos
linhas de campo);
b) O número de linhas de campo que atravessa as
espiras 2 e 3 é diferente, embora elas possuam
a mesma área e estejam colocadas em
posições de densidades iguais de campo
magnético. Isto acontece porque a espira 3 está
inclinada em relação ao vetor campo magnético,
formando um ângulo “”; portanto, a sua área
projetada na perpendicular ao campo é menor
que a área real.
Assim, pode-se dizer que, o fluxo magnético que
atravessa uma espira corresponde ao número de
linhas de campo que passa pela mesma e depende
do campo magnético B, da área “A” da espira e do
ângulo “” formado entre a normal à superfície da
espira e o campo magnético.
De uma outra forma, pode-se dizer que o fluxo
magnético corresponde ao conjunto de linhas de
campo magnético que emerge do pólo norte de um
imã.
Matematicamente pode-se
magnético como sendo:
expressar
  B  A  cos 
o
S.I.

1 Wb
B
A
1 Wb / m 2

CGS
10 Maxwell
Inglês
Linhas
6,452x104
Linhas/pol2
1,550pol2
8

104 Gauss
1m2
104 cm2
Tabela 1.1 - Conversão
1.3.2 Lei de Faraday
Em 1831, o físico inglês Michael Faraday descobriu
o princípio da indução eletromagnética, através de
diversas experiências. Estas experiências estão
sintetizadas no exemplo a seguir.
Considere uma espira circular cujos terminais
foram ligados a um amperímetro, fechando o
circuito. Considere também um imã em forma de
barra se aproximando da espira, conforme ilustra a
figura 1.9, a seguir.
S
N
fluxo
(1.1)
A
Ou ainda, de uma forma mais geral,
   B  n  dA
(1.2)
Figura 1.9 – Espira fechada com um amperímetro
A
Onde:

B
n
dA
= Fluxo magnético através de uma superfície
= Vetor campo magnético
= Vetor unitário normal à superfície
= Elemento de área de uma superfície
Dimensões do Fluxo Magnético  :
No sistema internacional, a unidade de fluxo
magnético é o Weber [Wb].
   Weber   Wb
A unidade [Weber] pode ser expressa, também,
como sendo:
1Wb  10 linhas   10 Maxwell 
8
8
A tabela 1.1 mostra as conversões entre os
parâmetros.
Faraday verificou que, enquanto ele aproximava o
imã da espira, a agulha do amperímetro se
deslocava para um determinado lado (admitindo
que ele estivesse trabalhando com um
amperímetro de zero central), o que significava que
havia aparecido no circuito uma corrente elétrica
induzida. No momento em que Faraday parou de
movimentar o imã, ele notou que a corrente através
do circuito se anulava. Numa terceira etapa,
afastando o imã da espira, o físico inglês viu a
agulha do amperímetro novamente se deslocar, só
que para o lado oposto, sinal de que havia surgido,
outra vez no circuito, uma corrente induzida mas
de sentido contrário àquele com a qual ela havia
aparecido na primeira vez.
Com base nesta e em outras experiências
realizadas, Faraday concluiu que:
“Sempre que houver variação do fluxo
magnético através de uma espira, surgirá nesta
espira uma força eletromotriz induzida”.
A este fenômeno dá-se o nome de “indução
eletromagnética”.
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3
ELE401 – Circuitos Magnéticos
Da experiência desenvolvida por Faraday é
necessário destacar que, para que surja uma f.e.m.
induzida no circuito, não é necessária a existência
de um fluxo magnético através da espira, mas sim
o fato de que este fluxo deve variar no decorrer do
tempo.
b) Variação do Fluxo pela variação da Área
Considere um circuito fechado de área “A”
movendo-se no plano do papel sobre um campo
magnético uniforme e perpendicular à folha,
conforme ilustra a figura 1.11, a seguir.
Assim, pode-se escrever matematicamente que:
e
d
V 
dt
(1.3)
Onde:

E
= Fluxo magnético, variável com o tempo, que
atravessa o circuito.
= Forca eletromotriz induzida no circuito (ou
espiral)
1.3.3 Fatores que influem na variação do
Fluxo Magnético
a) Variação do Fluxo pela mudança da intensidade
do Campo Magnético
Considere um circuito fechado fixo e um imã em
forma de barra, conforme ilustra a figura 1.10, a
seguir.
imã móvel
S
N
Figura 1.11 – Circuito fechado entrando em um campo
magnético
No instante em que o circuito passa a se
movimentar, penetrando no campo, começa a
aumentar o fluxo no seu interior, pois ocorre uma
variação na área “A” imersa no campo magnético
(“A” varia com o tempo). Aparece, então, uma
f.e.m. induzida no circuito, esta f.e.m. dá origem a
uma corrente e consequentemente o amperímetro
sofre uma deflexão.
Quando o circuito estiver totalmente dentro do
campo magnético, o fluxo através da área “A” não
mais varia e, portanto, não há corrente induzida no
circuito.
c) Variação do Fluxo pela variação do Ângulo “”
B
Considere um circuito fechado imerso em um
campo magnético uniforme de módulo B,
inicialmente na posição (1) perpendicular ao
campo, conforme mostra a figura 1.12, a seguir.
circuito fechado
Figura 1.10 – Imã se aproximando de um circuito fechado
fixo
À medida que o imã se aproxima do circuito
fechado, ocorre um crescimento do campo
magnético e, portanto, há um aumento do fluxo
através do circuito (maior número de linhas de
campo o atravessa). A variação do campo
magnético conduz a uma variação do fluxo
magnético (lembrar que   B  A  cos  ). Por outro
lado, o fluxo magnético variável faz surgir no
circuito uma f.e.m. induzida (lei de Faraday). Como
o circuito é fechado, irá circular no mesmo uma
corrente elétrica.
É importante observar, ainda, que o fenômeno da
indução também ocorre quando se mantém o imã
fixo e se movimenta o circuito fechado.
n
(1)
O
n
B
(2)
Figura 1.12 – Espira girando em um campo magnético
Girando-se o circuito muda-se o ângulo entre a
normal à superfície e o campo magnético. Nessas
condições ocorre uma variação do fluxo através do
circuito, esta variação produz uma f.e.m. induzida
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4
ELE401 – Circuitos Magnéticos
no mesmo e, consequentemente,
circulação de uma corrente elétrica.
haverá
a
Observação: As análises anteriores podem ser
verificadas através das expressões (1.1), do fluxo
magnético e (1.3), da lei de Faraday.
d) Variação do Fluxo pela Variação da Corrente
Considere um circuito fechado colocado próximo
de um eletroímã em forma de barra, sendo ambos
fixos, conforme ilustra a figura 1.13 a seguir.
puramente resistivo, é dada por:
i
e
R
(1a Lei de Ohm)
O estudo do sentido da corrente elétrica é
determinado pela Lei de Lenz, que diz o seguinte:
“O sentido da corrente elétrica induzida é tal
que seus efeitos tendem sempre a se opor à
variação de fluxo que lhe deu origem”.
Desta forma pode-se escrever a Lei de Faraday
(expressa matematicamente pela equação 1.3),
como sendo:
i
ELETROIMÃ
e
CIR CU ITO
FECHAD O
Figura 1.13 – Circuito fechado próximo de um eletroímã
Para uma corrente “i” variável injetada na bobina
do eletroímã, corresponderá um fluxo magnético
variável que irá envolver o circuito fechado. Este
fluxo variável dará origem a uma f.e.m. induzida (lei
de Faraday) e consequentemente uma corrente
elétrica irá circular no referido circuito.
- A variação do fluxo causada por variação na
intensidade da corrente, considerando o
eletroimã e o circuito, fixos (caso “d”) produz
uma f.e.m. induzida no circuito fechado. Esta
f.e.m., que é induzida, não por efeito de
movimento, mas sim pela variação da corrente
na bobina é denominada “f.e.m. de efeito
transformador”.
(1.4)
A equação (1.4) corresponde à expressão
matemática da “Lei de Lenz-Faraday”.
1.3.5 Lei de Lenz-Faraday
Enunciado: “Sempre que houver variação do fluxo
magnético através de um circuito surgirá neste
uma força eletromotriz induzida. Se o circuito for
fechado circulará uma corrente induzida cujo
sentido será tal que tenderá a se opor às variações
do fluxo que lhe deu origem”.
Expressão Matemática:
e
Dos quatro casos analisados anteriormente podese concluir que:
- A variação do fluxo causada, ou por mudança
na intensidade do campo magnético, devido a
aproximação relativa entre o imã e o circuito
(caso “a”); ou por variação da área do circuito
(caso “b”); ou ainda por variação do ângulo “”
(caso “c”), produz uma f.e.m. induzida no
circuito fechado. Esta f.e.m. é induzida por
efeito de algum tipo de movimento. Desta
forma ela é denominada “f.e.m. de
movimento”;
d
V 
dt
d
V 
dt
Onde:

e
Sinal
1.4
= Fluxo magnético, variável com o tempo, que
atravessa o circuito.
= Forca eletromotriz induzida no circuito (ou
espiral)
= Retrata a oposição ao fluxo de origem (Lei de
Lenz)
FLUXO ENLAÇADO
Considere a barra de ferro da figura 1.14, a seguir,
envolvida por uma bobina de “N” espiras.
1.3.4 Lei de Lenz
A intensidade da corrente elétrica originada pela
variação do fluxo magnético, num circuito fechado,
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N
O
i
a
b
Figura 1.14 – Barra de ferro com N espiras
5
ELE401 – Circuitos Magnéticos
Para uma corrente “i” injetada no terminal “a”
obtém-se um fluxo “” no material ferromagnético.
Na figura 1.7, este fluxo “” enlaça ou concatena as
“N” espiras da bobina. Assim, pode-se definir que:
  N
Se o fluxo “” for variável com o tempo tem-se,
através das leis de Lenz e Faraday, que:
d
dt
(1.6)
e2  
d
dt
(1.7)
e3  
d
dt
(1.8)
(1.5)
Onde:

e1  
= Fluxo enlaçado ou concatenado
   Weber  espira
Wb  esp
ou
Portanto, “” corresponde ao fluxo que enlaça ou
envolve as “N” espiras da bobina.
Compondo, agora, as equações (1.6), (1.7) e (1.8),
vem:
e  e1  e2  e3  
A figura 1.15, a seguir, apresenta outros exemplos.
(1)
d d d


dt dt dt
(1.9)
Ou ainda,
e  3 
(2)
d
dt
(1.10)
Para uma bobina de “N” espiras obtém-se:
o2
o1
e  N 
(3)
e
Na figura 1.15 pode-se observar que:
Com   N  
escrever que:
1  3  1  fluxo enlaçado com a bobina (1);
2  2   2  fluxo enlaçado com a bobina (2);
(1.11)
Ou de outra forma:
(4)
Figura 1.15 – Fluxos enlaçados ou concatenados
d
dt
d (N  )
dt
(ver
e
equação
(1.12)
1.5),
d
dt
pode-se
(1.13)
3  1   2  fluxo enlaçado com a bobina (3);
Sendo “” o fluxo total enlaçado ou concatenado
com a bobina.
4  4   2  fluxo enlaçado com a bobina (4).
1.5
Considere agora o fluxo enlaçado com a bobina da
figura 1.16, a seguir.
a
e1
e
e2
b
e3
INDUTÂNCIA PRÓPRIA
A indutância própria é também chamada de autoindutância. Para entender o seu significado,
considere inicialmente a bobina de “N” espiras com
corrente “i”, da figura 1.17 a seguir.
N
N=3
i

a
Figura 1.16 – Fluxo enlaçado com uma bobina
b
Figura 1.17 – Bobina de “N” Espiras com Corrente “i”
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6
ELE401 – Circuitos Magnéticos
A corrente “i” passando pela bobina de “N” espiras
dá origem a um fluxo enlaçado “”. Em
determinadas condições pode-se dizer que existe
uma proporcionalidade entre esta corrente e o fluxo
enlaçado por ela produzido. Esta constante de
proporcionalidade é denominada “indutância
própria da bobina”, e é normalmente representada
pela letra L. Desta forma, pode-se escrever que:
L

(1.14)
i
É importante observar também que, pela definição
a indutância corresponde a uma constante de
proporcionalidade entre o fluxo enlaçado e a
corrente que o produz. Isto não é verdadeiro no
caso de materiais ferromagnéticos onde, devido a
saturação, a indutância pode apresentar valores
variáveis com a corrente.
De uma forma geral, pode-se dizer que a
indutância própria de uma bobina depende: das
dimensões, do número de espiras e do meio onde
se encontra esta bobina.
Ou ainda,
  Li
(1.15)
Como   N   , em (1.14), vem:
L
N 
i
(1.16)
1.6
INDUTÂNCIA MÚTUA
Para entender o significado da indutância mútua,
considere a configuração com duas bobinas
apresentada a figura 1.19, a seguir.
Considere agora uma corrente variável com o
tempo sendo injetada na bobina de “N” espiras da
figura 1.17. Pode-se escrever que:
d
di
 L
dt
dt
(1.17)
Através da lei de Lenz-Faraday, tem-se:
e
d
dt
Levando (1.18) em (1.17), obtém-se:
e  L 
di
dt
Figura 1.19 – Configuração com Duas Bobinas
(1.18)
(1.19)
Portanto, da equação (1.19), observa-se que há
uma queda de tensão na bobina, como efeito de
sua indutância própria. Este comportamento pode
ser representado através do circuito elétrico
equivalente da figura 1.18, a seguir.
A indutância mútua retrata o efeito de uma bobina
com corrente, sobre uma ou mais bobinas
adjacentes. Na figura 1.19, tem-se uma corrente
“i1” passando pela bobina de “N1” espiras. Esta
corrente “i1” dá origem a um fluxo enlaçado com a
bobina de “N2” espiras, de valor “21”, ou seja:
21  N 2  21
Onde,
 21
N2
Figura 1.18 – Circuito Elétrico Equivalente
(1.20)
= Fluxo magnético da bobina (2), produzido
pela corrente i1;
= Número de espiras da bobina (2).
Em determinadas condições, existe uma
proporcionalidade entre a corrente “i1” e o fluxo
enlaçado (“21”), por ela produzido. Esta constante
de proporcionalidade é denominada indutância
mútua entre as bobinas 2 e 1, e é normalmente
representada por M21. Desta forma, pode-se
escrever que:
Da equação (1.14) tem-se que a indutância própria
apresenta
uma
dimensão
de
[Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida
como sendo [Henry] ou [H].
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
M 21 
 21
i1
(1.21)
7
ELE401 – Circuitos Magnéticos
1.6.1 Convenção do Ponto
Ou ainda,
21  M 21  i1
(1.22)
A convenção do ponto tem por objetivo a definição
do sinal do termo relativo à indutância mútua.
(1.23)
A polaridade da indutância mútua depende dos
aspectos construtivos do circuito. A convenção do
ponto elimina a necessidade de descrever os
aspectos contrutivos.
Considere agora uma corrente “i1” variável com o
tempo sendo injetada na bobina (1), da figura 1.19.
Pode-se escrever que:
Para se definir a polaridade deve-se proceder
como:
De (1.20) e (1.21), tem-se:
M 21  N 2 
 21
i1
d 21
di
 M 21  1
dt
dt
(1.24)
a) Adotar um sentido para a corrente em uma
das bobinas do acoplamento e colocar um
ponto no terminal onde a corrente adotada
ENTRA no enrolamento.
Através das leis de Lenz e Faraday, tem-se que:
e2  
d 21
dt
(1.25)
i
Levando (1.25) em (1.24), obtém-se:
e2   M 21 
di1
dt
(1.26)
Portanto, da equação (1.26), observa-se que há
uma tensão induzida na bobina (2), como efeito da
circulação de uma corrente variável com o tempo
na bobina (1). Esta tensão induzida depende da
indutância mútua entre as duas bobinas (M21).
b) Com a regra da mão direita, determinar o
sentido do fluxo gerado pela corrente
adotada.

i
De forma análoga pode-se analisar a influência da
passagem de uma corrente “i2” pela bobina (2),
sobre a bobina (1). Neste caso, tem-se uma
indutância mútua M12 cujo valor é idêntico ao da
indutância M21, anteriormente descrita.
Da equação (1.21) tem-se que a indutância mútua
apresenta
uma
dimensão
de
[Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida
como sendo [Henry] ou [H], da mesma forma que a
indutância própria.
É importante observar também que, pela definição
a indutância mútua corresponde a uma constante
de proporcionalidade entre um fluxo enlaçado e a
corrente que o produz. Isto não é verdadeiro para o
caso em que o meio entre as bobinas é constituído
por materiais ferromagnéticos, onde as indutâncias
mútuas podem apresentar valores variáveis com as
correntes, em função da saturação.
De uma forma geral pode-se dizer que a indutância
mútua entre duas bobinas adjacentes depende: da
distância entre as bobinas, das dimensões físicas
das duas bobinas, do número de espiras em cada
bobina, e do meio considerado.
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
c) Colocar no outro enrolamento o fluxo que
deve, SEMPRE, se opor ao fluxo inicial (Lei
de Lenz).
original

i
d) Utilizando a regra da mão direita,
determinar o sentido da corrente que
circulará pelo enrolamento. Com o sentido
da corrente determinado, colocar um ponto
no terminal onde a corrente SAI do
enrolamento.
8
ELE401 – Circuitos Magnéticos
Seja a figura 1.23 a seguir:

i
M
M
i
i
L1
Com a polaridade dos enrolamentos definida, pela
marcação de pontos, o núcleo dos enrolamentos
não precisa mais ser desenhado e o circuito passa
a ser representado como mostrado a seguir.
L2
L1
(-)
L2
A convenção de pontos para indutores conectados
em série, com pontos se somando, a indutância
total (polaridade aditiva) será:
L  L1  L2  2M
e
-
(+)
Figura 1.23 – Bobinas em Série
-
+
e
i
(1.27)
Para indutores conectados em série, com pontos
opostos, a indutância total (polaridade subtrativa)
será:
+
Figura 1.20 – Polaridade das Bobinas
L  L1  L2  2M
Portanto, para um par de bobinas acopladas o sinal
do termo relativo à indutância mútua fica definido
da seguinte forma:
1) Quando as correntes assumidas nos
enrolamentos entram ambas ou saem
ambas dos terminais marcados, o sinal do
termo M será positivo.
2) Quando uma corrente entra e a outra sai
dos terminais marcados o sinal do termo M
será negativo.
Assim, a polaridade de referência de uma tensão
mútua depende da direção de referência da
corrente induzida e os pontos nas bobinas
acopladas.
(1.28)
1.6.2 Coeficiente de Acoplamento
Na figura 1.19, a corrente “i1” na bobina (1)
estabelece um fluxo magnético total “1”. Parte
deste fluxo total atravessa a bobina (2), mais
precisamente a parcela “21”. A relação entre a
parcela de fluxo magnético “21” e o fluxo total “1”
é denominada coeficiente de acoplamento (K) e
pode ser expresso por:
K
 21 12

1  2
(1.27)
Da expressão (1.23) tem-se que:
M 21  N 2 
A aplicação da convenção de pontos pode ser
ilustrada conforme as figuras a seguir.
 21
i1
De forma análoga pode-se escrever que:
i1
M
i2
i1
M
i2
M 21  N1 
e2  M
di1
dt
e1  M
di 2
dt
M
i2
e2  M
i1
di1
dt
e1  M
i2
(1.28)
Como M12=M21, tem-se:
Figura 1.21 – Convenção de Pontos
i1
12
M
di 2
dt
M 12  M 21  M 2
(1.29)

  
 
M 2   N 2  21    N1  12 
i1  
i2 

(1.30)
E ainda,
i2
Levando (1.27) em (1.30), vem:
Figura 1.22 – Convenção de Pontos
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
9
ELE401 – Circuitos Magnéticos

  
 
M 2  K 2   N 2  21    N1  12 
i1  
i2 

(1.31)
L2  N 2 
1
i1
2
i2
(1.32)
enlaçados
com
15) Qual é a relação entre a indutância própria e o
fluxo enlaçado?
16) O que você entende por indutância mútua
entre duas bobinas?
(1.33)
17) Qual é a unidade da indutância própria?
18) Qual é a unidade da indutância mútua?
(1.34)
Temos que:
M  K  L1  L2
fluxos
14) O que é a indutância própria de uma bobina?
Como,
L1  N1 
de
13) O fluxo enlaçado tem o mesmo significado que
o fluxo concatenado?
Ou ainda,

  
 
M 2  K 2   N1  1    N 2  2 
i1  
i2 

12) Dê exemplos
bobinas.
(1.35)
19) O que é o coeficiente de acoplamento?
20) Qual é a relação entre a indutância mútua de
duas bobinas e as suas respectivas autoindutâncias? Faça uma dedução matemática.
1.8
Onde:
PROBLEMAS PROPOSTAS
Resolva os seguintes problemas:
K
L1
L2
M
1.7
= Coeficiente de acoplamento;
= Indutância própria da bobina (1);
= Indutância própria da bobina (2);
= Indutância mútua entre as bobinas (1) e (2).
PERGUNTAS PROPOSTAS
Responda as seguintes perguntas:
01)
Considere um fluxo magnético de 3000
linhas. Calcule seu valor em Weber.
02)
Qual é a densidade de fluxo em Tesla
quando existe um fluxo de 0.0006 [Wb] através de
uma área de 0.0003 m2?
03)
Determine a polaridade magnética do
eletroimã da figura a seguir (utilize a regra da mão
direita):
01) O que é um circuito magnético? Onde são
utilizados?
02) Por quê é importante o estudo de circuitos
magnéticos?
03) O que se entende por fluxo magnético
atravessando uma espira?
04) Do que depende um fluxo magnético?
05) Quais são as unidades de fluxo magnético que
normalmente utilizadas?
06) Fale sobre a experiência realizada por Michael
Faraday.
07) Qual é o significado da lei de Faraday?
08) O que é uma f.e.m. de movimento? Onde se
aplica? Dê exemplos.
09) O que é uma f.e.m. de efeito transformador?
Onde se aplica? Dê um exemplo.
10) Qual é o significado da lei de Lenz?
04)
O fluxo de um eletroímã é de 06 [Wb]. O
fluxo aumenta uniformemente até 12 [Wb] num
intervalo de 02 [s]. Calcule a tensão induzida numa
bobina que contenha 10 espiras, se a bobina
estiver parada dentro do campo magnético.
05)
No problema anterior, qual é o valor da
tensão induzida se o fluxo magnético permanecer
constante em 06 [Wb] após 02 [s]?
06)
Um imã permanente desloca-se dentro de
uma bobina e produz uma corrente induzida que
passa pelo circuito da mesma, conforme figura a
seguir. Determine a polaridade da bobina e o
sentido da corrente induzida.
11) Qual é o significado de fluxo enlaçado?
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
10
ELE401 – Circuitos Magnéticos
a indutância mútua entre elas, bem como a relação
N1/N2.
14)
Duas bobinas cujas respectivas autoindutâncias são L1 = 0,05 [H] e L2 = 0,20 [H] têm
coeficiente de acoplamento igual a 0,5. A bobina
(2) tem 1000 espiras. Sendo i1  05  sen400  t  a
corrente na bobina (1), determinar a tensão na
bobina (2) e o fluxo máximo estabelecido pela
bobina (1).
07)
Uma bobina de 100 espiras, com autoindutância de 10 [H], é percorrida por uma corrente
de 05 [A], que tem uma taxa de variação de 200
A/s. Calcular o fluxo enlaçado com a bobina e a
f.e.m. induzida na mesma.
08)
igual
Uma bobina tem uma indutância própria
a 5 [H] e corrente “i” dada por:
i  iMÁX  sen377  t  . Fazer o gráfico do fluxo
magnético, do fluxo enlaçado e da f.e.m. induzida
em função do tempo.
09)
Qual é a densidade de fluxo de um núcleo
que possui 20.000 linhas e uma área da seção reta
de 5 [cm2]?
10)
Complete o quadro a seguir com os valores
que estão faltando. Todas as respostas devem ser
dadas em unidades do Sistema Internacional.

B
A
0.000035 [Wb]
?
10000 [linhas]
0.000090[Wb]
?
0.8 [T]
?
?
0.001 [m2]
0.005 [m2]
02 [cm2]
0.003 [m2]
11) No campo estacionário de uma bobina de 500
espiras, calcule a tensão induzida produzida pelas
seguintes variações de fluxo:
(a) 0,4 [Wb] aumentando para 0,6 [Wb] em 0,1 [s];
(b) 0,6 [Wb] diminuindo para 0,4 [Wb] em 0,1 [s];
(c) 4000 linhas de fluxo aumentando para 5000
linhas em 5.10-6 [s];
(d) 0,4 [Wb] constante durante 0,1 [s].
12)
Em um par de bobinas acopladas, a
corrente contínua na bobina (01) é de 05 [A] e os
fluxos
correspondentes
11
e
21
são,
respectivamente, 20000 e 40000 [Maxwell]. Sendo
N1 = 500 e N2 = 1500, os totais de espiras,
determinar L1, L2, M e K.
15)
Duas
bobinas
têm
coeficiente
de
acoplamento igual a 0,85 e a bobina (1) tem 250
espiras. Com i1 = 0,2 [A] na bobina (1), o fluxo total
1 = 0,0003 [Wb]. Reduzindo-se i1 linearmente até
zero, em dois milissegundos a tensão induzida na
bobina (2) fica igual a 63,75 [V]. Determinar L1, L2,
M e N2.
16)
O coeficiente de acoplamento de duas
bobinas, respectivamente, com N1 = 100 e N2 =
800 espiras é 0,85. Com a bobina (1) aberta e uma
corrente de 0,5 [A] na bobina (2), o fluxo é 0,00035
[Wb]. Determinar L1, L2 e M.
17)
Duas bobinas idênticas têm indutância
equivalente de 0,08 [H], quando ligadas em série
aditiva, e de 0,035 [H], quando em série subtrativa.
Quais são os valores de L1, L2, M e K?
18)
Duas bobinas idênticas têm L = 0,02 [H] e
coeficiente de acoplamento K = 0,8. Determinar M
e as duas indutâncias equivalentes, admitindo que
elas estejam ligadas em série aditiva e em série
subtrativa.
19)
Duas bobinas cujas indutâncias estão na
relação de quatro para um têm coeficiente de
acoplamento igual a 0,6. Ligadas em série aditiva,
sua indutância equivalente é 44,4 [mH]. Determinar
L1, L2 e M.
20)
Qual é a indutância de uma bobina que
induz 20 [V], quando a corrente que passa pela
bobina varia de 12 para 20 [A] em 2 [s]?
21)
Uma bobina tem uma indutância de 50
[mH]. Qual é a tensão induzida na bobina quando a
taxa de variação da corrente for de 10000 [A/s]?
22)
Uma determinada bobina de 20 [mH] opera
com uma frequência de 950 [kHz]. Qual é a
reatância indutiva da bobina?
13)
Duas bobinas L1 = 0.8 [H] e L2 = 0.2 [H] têm
um coeficiente de acoplamento K = 0.9. Determinar
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
11
ELE401 – Circuitos Magnéticos
1.9
BIBLIOGRAFIA
[1] Robert Stein and William T. Hunt Jr., “Electric
Power System Components - Transformers and
Rotating Machines”, Van Nostrand Reinhold
Company, 1979.
(Ver capítulo 02 - págs. 10 a 14);
[2] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção
Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda, 1985.
(Ver capítulo 09 - págs. 232 a 235, capítulo 12 págs. 307 a 316);
[3] Joseph A. Edminister, “Circuitos Elétricos”,
Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill, Ltda e
Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1991.
(Ver capítulo 01 - págs. 6 e 7, capítulo 13 - págs.
362 a 365);
[4] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 2a, Editora
Guanabara Dois S.A., Segunda Edição, 1986.
(Ver capítulo 27 - págs. 764 a 766, capítulo 28 págs. 775 a 781 e 784 a 786);
[5] David Halliday e Robert Resnick, “Fundamentos
de Física”, Parte 03 - Eletromagnetismo, LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1991.
(Ver capítulo 32 - págs. 189 a 194, capítulo 33 págs. 219 a 222 e 227 a 228);
[6] “Curso Completo de Eletricidade Básica”, U. S.
Navy, Bureau of Naval Personnel, Training
Publications Division, Hemus Livraria Editora Ltda.
(Ver capítulo 08 - págs. 209 a 213 e 220 a 222,
capítulo 10 - págs. 241 a 248 e 254 a 259);
[7] L. Bessonov, “Applied Electricity for Engineers”,
MIR Publishers - Moscow, 1973.
(Ver capítulo 04 - págs. 114 a 122 e 127 a 129).
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