Física Atómica e Nuclear

Física Atómica e Nuclear. Capítulo 1. Fundamentos da Teoria Quântica
1
Física Atómica e Nuclear
Notas de Aula
1 Fundamentos da Teoria Quântica
1.1 Função de Onda e Densidade de Probabilidade
O movimento de uma partícula atómica numa determinada direcção, a do eixo x por
exemplo, é descrito pela função x, t  . Em geral x, t  é uma função complexa,
portanto contém i   1 . As regiões do espaço onde é mais provável que uma partícula
2
se encontre, no instante t, são aquelas em que   x,t 
é máxima.
 x, t      x, t   x, t  , em que   x, t  é o conjugado complexo de x, t  . Em
outras palavras: a probabilidade de encontrar a partícula descrita pela função de onda
x, t  num ponto situado entre x e x+dx no momento t é dada pela densidade de
probabilidade:
2
dPx, t   Px, t dx   x, t  dx
2
(1. 1)
e que corresponde a hipótese de Born.
e corresponde a área indicada na Figura 1.1.
Figura 1. 1.   x  em função de x, num tempo t. A área sombreada corresponde a
probabilidade de que a partícula esteja localizado entre x e x+dx.
2
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2
A probabilidade de encontrar a partícula entre os pontos x=a e x=b é então
b
2
 x, t  dx . Como temos certeza de que a partícula se encontra em algum lugar ao
a
longo do eixo x devemos ter que:






2
 dPx, t    Px, t dx   x, t  dx  1
(1. 2)
Quando lidamos com partículas fundamentais que compõem a matéria, temos de
usar o formalismo designado por Mecânica Quântica e associar a cada partícula uma
função de onda x, y, z, t  . A função de onda fornece informação acerca da dinâmica
da partícula, incluindo a probabilidade da localização no espaço e evolução no tempo, a
sua energia, a sua quantidade de movimento, o seu momento angular e outras
quantidades dinâmicas. Além disso, esta função de onda é diferente para cada estado da
partícula, seja um electrão num átomo, numa molécula ou num sólido, um protão ou um
neutrão no núcleo. Encontrar uma função de onda para um determinado sistema é um
dos problemas mais importantes da Mecânica Quântica.
1.2 Equação de Schrödinger
Para simplificar vamos considerar inicialmente o caso unidimensional. A função de
onda x, t  para cada estado dinâmico de uma partícula é determinada pelas forças que
actuam sobre ela. Obtemos x, t  através da equação de Schrödinger, formulada em
1926 por Erwin Schrödinger, baseada na expressão da energia total da partícula:
p2
E
 E p x 
2m
(1. 3)
p2
é a energia cinética e E p x  , a energia potencial. O método foi aperfeiçoado
2m
posteriormente por P. A. Dirac, mas é muito complexo para ser descrito aqui, por isso
nos limitaremos a apresentar os resultados. Para problemas unidimensionais a equação
de Schrödinger é:
onde

 2 d 2 x, t 
dx, t 
 E p x x, t   i
2
2m dx
dt
(1. 4)
Esta equação é tão fundamental para a Mecânica Quântica como a equação de Newton,


F  dp / dt , é fundamental para a Mecânica Clássica, ou como as equações de Maxwell
o são para o Electromagnetismo.
Em 1924 de Broglie associou pela primeira vez as propriedades da onda,
comprimento de onda  e frequência  , com as propriedades da partícula, momento
linear p  mv e energia E :
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
h
p

e
E
h
3
(1. 5)
onde  designa-se comprimento de onda de de Broglie de uma partícula e h é a
constante de Planck.   h / 2 .
Para uma partícula num estado de energia E bem definido, o que significa que a
E
frequência em todos os pontos da matéria é   1 e a dependência temporal da função

 i t
 iEt / 
de onda pode exprimir-se por e e
, a função de onda será
x, t   eiEt /  ( x)
(1. 6)
onde  x  é a função de onda independente do tempo.
Derivando x, t em relação ao tempo obtemos:
d x, t 
E
 i e iEt /  x 
dt

(1. 7)
Substituindo (1.6) e (1.7) na equação de Schrödinger (1.4), teremos:

 2 iEt /  d 2
E
e
 E p x eiEt /   i 2 eiEt / 
2
2m
dx

(1. 8)
Eliminando o factor e  iEt /  que aparece em todos os termos fica:

 2 d 2
 E p x   E
2m dx 2
(1. 9)
que é a equação de Schrödinger independente do tempo. E é a energia total da partícula,
o que sugere que o primeiro termo da esquerda corresponde à energia cinética, e o
segundo termo está relacionado com a energia potencial da partícula. As soluções desta
equação dependem da forma da energia potencial E p x  . Apenas os valores da energia
E dão soluções que podem ser normalizadas, isto é, que podem satisfazer a condição:

2
  x  dx  1
(1. 10)

1

2
E
E
E
     2  .
2
h
h

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e que são as energias dos estados estacionários, uma vez que num estado de energia bem
definido a distribuição de probabilidade da partícula é independente do tempo:
 x, t     x, t  x, t   eiEt /   x e iEt /  x    x 
2
2
(1. 11)
Assim, quando resolvemos a equação de Schrödinger, obtemos não só a função de onda
 x  , mas também a energia E dos estados estacionários do sistema. Uma forma
alternativa de escrever a função de onda independente do tempo é:
d 2 2m

E  E p x   0
dx 2  2


(1. 12)
Como a equação de Schrödinger (1.4) é de primeira ordem em relação ao tempo, não
poderá corresponder a uma equação do movimento ondulatório do tipo:
2
d 2
2 d

v
dt 2
dx 2
(1. 13)
das ondas elásticas ou:
2
d 2
2 d 

c
dt 2
dx 2
e
2
d 2
2 d 

c
dt 2
dx 2
(1. 14)
das ondas electromagnéticas.
No caso mais geral de um problema tridimensional, em que a função de onda depende
das três coordenadas x, y e z, a equação de Schrödinger independente do tempo adquire
a forma:

 2  d 2 d 2 d 2 


 2   E p x, y, z   E
2m  dx 2 dy 2
dz 
(1. 15)
1.3 Valores Médios e Valores Esperados
Para explicar os conceitos de valor médio e valor esperado, podemos utilizar o exemplo
do dado. Podemos observar que existe seis valores individuais correspondentes aos
números de marcas das faces do dado, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se jogarmos o dado uma vez só,
não poderemos prever quais desses números sairá. Só podemos fazer previsões se
lançarmos o dado muitas vezes e ver a frequência Fn com que aparece cada número n
(n=1,2,3, …6). O valor médio é dado por:
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6
n 
 nF
n 1
6
n
(1. 16)
F
n 1
n
O valor médio pode ser previsto estatisticamente através do conceito de probabilidade,
que corresponde a razão entre o número de vezes que o resultado desejado é obtido,
pelo número total de tentativas. A probabilidade de obter n pontos (resultado desejado)
é denotada de Pn. A probabilidade é igual para todas as marcas, portanto:
P1  P2  P3...  P6 . Como
6
P
n 1
n
 1, então Pn  1/ 6 (n=1,2,3, …6).
De acordo com a teoria da probabilidade o valor médio pode ser expresso por:
6
n   nPn  1 
n 1
1
1
1
 2   ....6 
6
6
6
(1. 17)
Estes conceitos relativamente simples podem ser aplicados directamente para definir o
valor médio da posição e do momento na Mecânica Quântica. Os teóricos podem prever
este valor para os experimentalistas. Por essa razão o valor médio é chamado de valor
esperado e é definido como se segue: O valor esperado é igual a soma de todos os
valores medidos individualmente vezes a probabilidade de que este valor seja
encontrado.
Vamos aplicar a definição acima em alguns exemplos que serão desenvolvidos
nas alíneas abaixo.
1.3.1 Valor Médio da Posição
Um exemplo do valor médio da posição, para o caso unidimensional, está indicado na
Figura 1.2.
Figura 1. 2. Valor médio da posição. A localização de uma linha vertical indica o valor
da medida da coordenada de posição x e o comprimento da linha é proporcional a
frequência com que esse valor é encontrado (densidade de probabilidade). Se
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interpretamos a probabilidade como sendo o peso, o cálculo de x corresponde ao
cálculo do centro de gravidade x de um objecto.
A probabilidade de se encontrar uma partícula entre x e x+dx é   x  dx . Como
a posição x varia continuamente, usaremos a integral em vez do somatório (1.17):
2

x 
 x x 
2
dx
(1. 18)

A normalização da função de onda é:

  x 
2
dx  1
(1. 19)

Generalizando a definição de (1.18) para xn, obtemos:

x
n

 x  x 
n
2
dx
(1. 20)

Se substituirmos a função xn, para uma função mais geral como a função da energia
potencial V(x), podemos obter a definição do valor médio da energia potencial:

V   V  x   x  dx
2
(1. 21)

1.3.2 Valor Médio do Momento
A Figura 1.3 apresenta um exemplo unidimensional do valor médio do momento.
Figura 1. 3. A explicação para o valor médio do momento é semelhante ao da Figura
1.2.
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Consideremos a função de onda dada pela sobreposição de ondas planas:

  x    c p 

1
h
e ipx /  dp
(1. 22)
Se agora medirmos o momento, a probabilidade de encontrar o seu valor entre p e p+dp
2
é c p  dp . Análogo ao que foi feito para o valor médio da posição, definimos o valor
médio do momento por:

p 
 p c p 
2
dp
(1. 23)

Normalmente a função de onda é expressa em termos da posição, na forma  x  . É
difícil calcular a expansão (1.22) para depois determinar o valor médio, porque primeiro
precisamos calcular os coeficientes c p  . Vamos mostrar agora que existe um cálculo
muito simples que permite determinar o valor médio do momento seguindo um caminho
inverso de (1.22).
Vamos supor que o valor médio do momento é dado pela relação:

p 



 d 

dx
 i dx 
(1. 24)
 d
não é muito familiar, mas é muito comum na Mecânica Quântica;
i dx
significa que vamos diferenciar  x  em relação a x:
A notação
 d
i dx
(1. 25)
A notação (1.25) é também referida como sendo a aplicação do operador momento
 d
sobre a função  x  . Provar que (1.24) é o mesmo que (1.23), é relativamente
i dx
simples. Basta substituirmos (1.22) em (1.24):



1 ipx /     d 
1 ip' x /  '
'
p     c p 
e
dp  
e
dp dx
 c p
i
dx
h
h


  


 
 
(1. 26)
Derivamos em relação a x:
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 

p     c p eipx /  dp 
  


 
 
1 ' ' ip ' x /  '
 h p c p e dp dx
8
(1. 27)
Trocamos a ordem de integração em relação a x e p:



 
1
ipx /  ip' x / 
p   dp  dp p c   p c p
e
e
dx
h 


'
'
'

(1. 28)

A última integral corresponde a função  de Dirac,  p  p ' . A definição da função 
elimina a integração sobre p’ e faz p=p’, e obtemos directamente a expressão:

p 
 dpp c p 
2
(1. 29)

onde p 
 d
.
i dx
Para pn:

pn 
 p c p 
n
2
dp
(1. 30)

onde o operador p é aplicado n vezes sobre a função  x  .
1.3.3 Valores Médios de Energia
Com os resultados que obtivemos até agora podemos calcular os valores médios de
p2
energia. A energia cinética da partícula é
. A probabilidade de observar o momento
2m
2
entre p e p+dp é dado por c p  dp . Portanto a energia cinética média será:

Ec 
 c p 

2
p2
dp
2m
(1. 31)
Utilizando as regras de cálculo utilizadas anteriormente para p, e generalizando para três
dimensões obtemos:

Ec 


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
2 2 
  dxdydz
2
m



  
(1. 32)
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onde  2 corresponde ao operador diferencial de Laplace ou Laplaciano:
2 
2
2
2


x 2 y 2 z 2
(1. 33)
Podemos também obter a energia potencial, (ver (1.21)) em três dimensões:
  
Ep 
   V r dxdydz

(1. 34)
  
Como a energia total é a soma da energia cinética com a energia potencial, o valor
esperado para a energia total é:

 2 2

E      
  V r dxdydz
 2m



(1. 35)
1.4 Operadores e Valores Esperados
Agora vamos discutir a estrutura conceptual e as regras de cálculo da teoria quântica. Os
parâmetros da mecânica na física clássica, como a posição xt  , o momento pt  , a
energia e etc., estão associados aos valores esperados da mecânica quântica. Na
mecânica quântica as grandezas físicas são chamadas de operadores, que não são mais
do que regras de diferenciação ou multiplicação que actuam sobre as funções de onda.
Então chamamos xt  de operador de posição x , que é simplesmente dizer que
multiplicaremos a função  x  por x . Pode parecer estranho designar um operador
independente do tempo x , para a grandeza xt  dependente do tempo. Podemos
observar que a dependência temporal é reintroduzida no processo de encontrar o valor
médio se a própria função de onda depender do tempo. O momento pt  é chamado de
d
operador  i , que diferencia a função de onda. Depois do operador apropriado
dx
actuar sobre a função, ou multiplicando ou diferenciando, multiplicamos o resultado por
  x  e integramos sobre todo o espaço a fim de obter o valor esperado. Utilizando
estas regras podemos definir outros operadores.

Um parâmetro importante é o momento angular L , com componentes L x , L y e L z . Na
Física Clássica, L z , por exemplo, é definido como sendo xp y  yp x . Na Teoria
Quântica obtemos o operador correspondente substituindo px e py por p x 
py 
 
e
i x
 
, respectivamente. Assim a componente z do operador momento angular será:
i y
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   
Lˆ z  x  y
i y i x
Variável Clássica
Posição xt 
Momento pt 
Energia
E  H xt , pt 
Momento Angular
  
Lrp
Operador
10
(1. 36)
Valor Esperado da Teoria Quântica

x      x, t x x, t dx
x

 d
(regra de Jordan)
i dx
 2 d 2

 
 V x 
2
 2m dx

  
r  i  

p 
 d
  x, t  i dx  x, t dx



 2 d 2

E    x, t 
 V x  x, t dx
2
 2m dx



L 

  
  r , t r  i  r , t dxdydz


Tabela1. 1. A relação entre a variável clássica, o operador e o valor esperado da Teoria
Quântica.
Para não confundir o momento angular clássico com o operador momento angular,
colocaremos o símbolo “^” no operador momento angular.
A Tabela 1.1 apresenta algumas varáveis clássicas, o operador correspondente e o
valor esperado da Teoria Quântica.
1.5 Equação de Valores Próprios
Já vimos anteriormente (alínea 1.2) algumas das equações que são utilizadas para
determinar  . Agora vamos considerar o exemplo da onda plana:
 ~ eikx
(1. 37)
que determina a propagação de uma partícula com um momento k . Podemos
considerar esta onda plana como sendo a solução de uma equação relacionada
directamente com o momento? Sim, de facto é isso que acontece, pois se derivarmos a

onda plana em relação a x e multiplicarmos por
obtemos a relação:
i
 d ikx
e  keikx  peikx
i dx
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(1. 38)
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onde p  k . A onda plana satisfaz uma equação da seguinte forma: o operador
 d
momento
aplicado a onda plana resulta em p vezes a onda plana.
i dx
Agora vamos considerar como um segundo exemplo, a equação de Schrödinger
independente do tempo. A aplicação do operador Hamiltoniano sobre a função de onda
resulta na energia E vezes a função de onda. A Tabela 1.1 mostra que o Hamiltoniano é
precisamente o operador da Mecânica Quântica associado com a expressão Ec+ Ep da
energia clássica: Hˆ   E
Quando comparamos estes dois exemplos observamos o que estas funções, que
são chamadas de funções próprias, têm em comum, é que satisfazem a seguinte
equação:
Operador  Função Própria = Valor Próprio  Função Própria
Se chamamos de A ao operador,  a função própria e  ao valor próprio, teremos:
A  = 
(1. 39)
Para o primeiro exemplo obtemos:
A
 d
,   eikx ,   k
i dx
Quando o operador A de (1.39) e as condições de contorno são dadas, existe uma
sequência particular de valores próprios, nomeadamente os valores de energia discretos,
como por exemplo o caso de uma partícula numa caixa, etc. O cálculo desses valores
próprios e as funções próprias a eles associados são feitos por matemáticos e físicos
teóricos. Para obtermos uma concordância com as observações experimentais, podemos
lançar mão do postulado básico da Teoria Quântica que diz: os valores próprios são
idênticos aos valores observados. Este postulado básico tem um enorme significado e
tem sido repetidamente confirmado por inúmeros experiências. Se medirmos a energia
do electrão no átomo de hidrogénio, por exemplo, ele deverá concordar com os valores
próprios En calculados através da mecânica quântica.
Sempre que utilizamos a equação de Schrödinger, supomos que temos acesso as
observações que medem a energia exactamente. Quando medimos a energia,
identificamos as funções próprias associadas como sendo soluções da equação de
Schrödinger.
1.6 Observação Simultânea e Relações de Comutação
Vimos na alínea anterior que existe uma relação muito próxima entre as funções de
onda e os valores próprios, e as observações individuais. Se uma função de onda é
função própria para um operador em particular, isto é se satisfaz (1. 39), então sabemos
que podemos encontrar o valor próprio através da medida. Se repetirmos a medida,
encontramos exactamente o mesmo valor próprio. Então:
Se   for uma função própria do operador A, o valor próprio   coincide com o valor
esperado A . De facto se um operador A está associado ao valor próprio   , teremos:
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A      e A    A  dx      dx       dx   
Se medirmos primeiro o momento e depois a posição de uma partícula, a medida da
posição destrói a medida do momento feita previamente. Isto não acontece se medirmos
o momento e depois medimos a energia cinética da partícula. Na primeira medida
obtemos um certo valor p, o que significa que preparamos a partícula para um estado
particular que corresponde a função de onda do operador momento e a função de onda
depois dessa medida é  eipx /  (sem considerar o factor de normalização). Se agora
medimos a energia cinética, essa medida corresponde a operação matemática de aplicar
2 d 2
o operador energia cinética 
. Neste processo a onda plana preparada dá o
2m dx 2
p2
valor próprio E 
, e a onda plana permanece como função de onda. Nesse caso a
2m
segunda medida não destrói o resultado da primeira medida. Portanto existem medidas
que aparentemente não destrói a outra, em outras palavras, existem medidas que podem
ser feitas simultaneamente.
Determinaremos agora o critério para medições simultâneas. Vamos considerar
os operadores A e B , que podem ser, por exemplo, os operadores do momento e da
energia cinética. Supomos que a função de onda  é simultaneamente uma função
própria de ambas as equações características:
A   A
(1. 40)
B   B
(1. 41)
e
Aplicamos o operador B no lado esquerdo da primeira equação e o operador A no lado
esquerdo da segunda equação: BA  e AB . Subtraímos a segunda equação da
primeira, e aplicamos novamente (1.40) e (1.41):
AB  BA   AB  BA   A B   B A   0
(1. 42)
A medida simultânea é garantida para todas as funções de onda que satisfazem as
equações (1.40) e (1.41), por isso podemos omitir  em (1.42) e escrever:
AB  BA  0
(1. 43)
É uma abreviação, porque quando encontrarmos este tipo de equação devemos lembrar
que os operadores são aplicados numa função de onda. Matematicamente podemos
mostrar que o inverso também é verdadeiro: se dois operadores, A e B obedecem a
relação de comutação (1.43), então as funções próprias de A são as mesmas de B e
obedecem as relações (1.40) e (1.41). Se existir somente uma função própria para o
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13
valor próprio  A de A , ela também será uma função própria de B . Porém se existirem
várias funções próprias de A associadas a  A , então será sempre possível encontrar
uma combinação linear dessas funções próprias que são também funções próprias de B .
 d
Vamos estudar alguns exemplos. Consideramos que A 
(o operador
i dx
2 d 2
momento) e B  
(operador energia cinética), e que A e B comutam. O
2m dx 2
resultado de derivar a função de onda em relação a x, duas vezes, ao aplicar B sobre a
função de onda, e depois derivar uma vez só, ao aplicar o operador A , é o mesmo que
primeiro derivar uma vez, ao aplicar o operador, B e depois duas vezes, ao aplicar o
operador A :

2   d d 2
d2 d 

0

2m i  dx dx 2 dx 2 dx 
(1. 44)
Da mesma forma podemos demonstrar que as componentes x e y do momento
também comutam.
 d
Vamos considerar agora um segundo exemplo. Supomos que A 
, e que
i dx
corresponde a componente x do momento, e B  x , a coordenada x . Aplicando (1.42)
em  , obtemos:
 AB  BA 
 d 
 d

xx

i dx 
 i dx
(1. 45)
Calculando esta expressão obtemos:
 d
x   x  d      x d   x d     
i dx
i dx
i
dx
dx  i
(1. 46)
Então escrevendo novamente como em (1.45), obtemos a relação:
 d 

 d
xx

  
i dx 
i
 i dx
(1. 47)
Podemos escrever abreviadamente esta relação, para uma função  qualquer:
 d
 d

xx

i dx
i dx i
(1. 48)
Podemos escrever também na forma:
Notas de Aula 2004 / 05
Ana Rodrigues
Física Atómica e Nuclear. Capítulo 1. Fundamentos da Teoria Quântica
px x  xpx 
14

i
(1. 49)
ou
px x  xpx  i
(1. 50)
Esta é a famosa relação de comutação entre o operador momento e o operador posição,
de Heisenberg. Esta relação diz que os operadores do momento e da coordenada não
comutam, o que significa que o momento e a posição não podem ser simultaneamente
determinados com um grau de precisão desejável.
A relação de comutação entre os operadores A e B pode ser expressa da
seguinte forma:
A, B  AB  BA
(1. 51)
Para a relação de comutação de Heisenberg, (1.48), fica:
 d  
 i dx , x   i
(1. 52)
 px , x  i
(1. 53)
e para a notação (1.50):
Para as componentes do momento angular as relações de comutação serão:
Lˆ , Lˆ   iLˆ , Lˆ , Lˆ   iLˆ , Lˆ , Lˆ   iLˆ
x
y
z
y
z
x
z
x
y
(1. 54)
e
Lˆ , Lˆ   0
2
j
para
j  x, y, z.
(1. 55)
O que significa que as componentes do momento angular não podem ser medidas
simultaneamente, enquanto que o quadrado do momento angular e uma das
componentes do momento angular, podem ser medidos simultaneamente.
Notas de Aula 2004 / 05
Ana Rodrigues