Notas sobre algumas aplicaç˜oes de´Algebra Linear Conteúdo 1

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Secção de Álgebra e Análise
Notas sobre algumas aplicações de Álgebra Linear
1o Semestre 2007/2008
LEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ
Paulo Pinto
http://www.math.ist.utl.pt/˜ ppinto/
Conteúdo
1 UM PROCESSO DE DIFUSÃO
1
2 GENES LIGADOS AO SEXO
2
3 REDES E GRAFOS
3.1 Grafos orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
1
UM PROCESSO DE DIFUSÃO
Considere duas células adjacentes separadas por uma membrana permeável e suponha que
um fluido passa da primeira célula para a segunda a uma taxa (em mililitros por minutos)
numericamente igual a três vezes o volume (em mililitros) do fluido na primeira célula. Ele
depois sai da segunda célula a uma taxa numericamente igual a duas vezes o volume na
segunda célula. Vamos representar por y1 (t) e y2 (t) os volumes do fluido na primeira e
segunda células, respectivamente, no instante t. Suponhamos que, inicialmente i.e. t = 0, a
primeira célula tem 40 ml de fluido, enquanto que segunda tem 5 ml.
Vamos determinar o volume de fluido em cada célula no instante t.
Solução A variação e volume de fluido em cada célula é a diferença entre a quantidade
que entra e a quantidade que sai. Como nenhum fluido entra na primeira célula, temos:
dy1 (t)
= −3y1 (t),
dt
onde o sinal de menos indica que o fluido sai da célula. O fluxo 3y1 (t) sai da primeira
célula e entra na segunda. O fluxo que sai da segunda célula é de 2y2 (t). Logo a variação no
volume na segunda célula é dada por
1
dy2 (t)
= 3y1 (t) − 2y2 (t).
dt
Obtem-se assim o seguinte sistema de equações diferenciais de 1a ordem:
−3y1 (t) = y10 (t)
,
3y1 (t) − 2y2 (t) = y20 (t)
que pode ser escrito na forma matricial como:
0
y1 (t)
−3 0
y1 (t)
=
y20 (t)
3 −2
y2 (t)
−3 0
Os valores próprios da matriz A =
são (verifique!)
3 −2
λ1 = −3 e λ2 = −2.
Facilmente determinamos A é uma matriz diagonalizável onde {(1, −3)} é uma base para
o espaço próprio E(λ1 ), enquanto que {(0, 1)} é uma base para o espaço próprio E(λ2 ).
Portanto a solução geral do sistema de equações deferenciais acima descrito é:
y1 (t)
1 0
k1 e−3t
1
0
−3t
=
= k1
e + k2
e−2t .
y2 (t)
−3 1
k2 e−2t
−3
1
Usando as condições iniciais y1 (0) = 40 e y2 (0) = 5 concluimos que
k1 = 40, −3k1 + k2 = 5, pelo que k1 = 40 e k2 = 125.
Portanto, o volume de fluido em cada célula no instante t é dado por:
y1 (t) = 40e−3t ,
y2 (t) = −120e−3t + 125e−2t .
2
GENES LIGADOS AO SEXO
A cegueira para as cores, ou daltonismos, é uma alteração hereditária cujo mecanismo de
transmissão sf́oi compreendido em 1910 (após os estudos de hereditariedade ligado so sexo
em diversos animais: aves, borboletas e drasófilas).
Sabe-se actualmente que os genes relacionados com determinação deste carácter se encontra no cromossoma X e que o gene para a visão normal é dominante sobre o alelo que
determina o daltonismo.
Desta forma, compreende-se que a transmissão desta caracterı́stica obedeça às seguintes
regras:
• do casamento de um homem daltónico com uma mulher normal, resultem filhas normais
e filhos daltónico;
• do casamento de uma mulher daltónica com um homem normal, resultem filhas normais
e filhos daltónicos;
2
• as filhas de pai daltónico são sempre portadoras do daltonismo apesar de fenotipicamente normais.
Este tipo de herança resulta do facto de o homem receber o cromossoma X da mãe e
nunca o transmitir aos filhos homens. Por sua vez, as mulheres herdam um cromossoma X
da mãe e outro cromossoma X do pai.
Pelo que para encontrar um modelo matemático que descreva o daltonismo em determinada população, é necessário dividir a população em duas classes, homens e mulheres. Seja
(0)
(0)
xm a proporção de genes para o daltonismo na população masculina e seja xf a propoção
feminina. (Como o daltonisma é recessivo, a proporção de mulheres daltónicas é da realidade
(0)
menor que xf .) Como os homens recebem um cromossoma X da mãe e nenhum do pai, a
(1)
proporção xm de homens daltónicos na próxima geração será a mesma que a proporção de
genes recessivos na geração actual das mulheres. Como as mulheres recebem um cromos(1)
soma X da mãe e outro do pai, a proporção xf de genes recessivos na próxima geração de
(0)
(0)
mulheres será a média entre xm e xf . Assim, temos:
(0)
xf = x(1)
m ,
1 (0) 1 (0)
(1)
xm + xf = x f .
2
2
(0)
(0)
Se xf = xm então a proporção vai manter-se na próxima geração. Vamos então supor que
(0)
(0)
xf 6= xm e escrever o sistema na forma matricial
0 1
1
2
1
2
"
(0)
xm
(0)
xf
#
=
"
(1)
xm
(1)
xf
#
.
"
#
(n)
x
m
Vamos designar por A a matriz dos coeficientes do sistema e por x(n) =
a proporção
(n)
xf
de genes para nas populações masculinas e femininas da (n + 1)-ésima geração. Então:
x(n) = An x(0) .
Para calcular An vamos provar que a matriz A é diagonalizável e construir matriz mudança
de base S e matriz diagonal D, tais que D = SAS −1 . Logo A = S −1 DS e portanto
An =
1 0
S −1 D n S. Ora λ1 = 1 e λ2 = −1/2 são os valores próprios de A, pelo que D =
.
0 − 12
Além disso (1, 1) é vector próprio associado a λ1 e o (−2, 1) é vector próprio associado a λ2 ,
pelo que
1 2 1 −2
−1
3
3
S =
, S=
.
1 1
− 13 13
Logo,
x(n) =
1 −2
1 1
1 0
0 − 21
3
n 1
3
− 13
2
3
1
3
"
(0)
xm
(0)
xf
#
1
=
3
1 − (− 21 )n−1
1 − (− 12 )n
2 + (− 12 )n−1
2 + (− 12 )n
"
(0)
xm
(0)
xf
#
e portanto,
lim x(n) =
n→∞
1
3
1 2
1 2
"
(0)
xm
(0)
xf
#

=
(0)
(0)
xm +2xf
3
(0)
(0)
xm +2xf
3

.
Conclusão: as propoções de genes para o daltonismo nas populações masculina e feminina
vão tender para o mesmo valor quando o número de geraçõs cresce: se a proporção de homens
daltónicos for p ≤ 1 e se durante um certo número de gerações nenhuma pessoa de fora entrou
na população, justifica-se então supor que a proporção de daltonismo na população feminina
também é p.
Ora como o daltonismo é recessivo, esperarı́amos que a propoção de mulheres daltónicas
fossem da ordem p2 , o que em particular este modelo matemático não confirma!
3
REDES E GRAFOS
A teoria de grafos é uma das áreas importantes da matemática aplicada. é usada para
modelar problemas em praticamente todas as ciências aplicadas. A teoria de grafos é particularmente útil em aplicações envolvendo redes de comunicação.
Um grafo (não orientado) G é definido como um conjunto de pontos chamados vértices
junto com um conjunto pares não ordenados de vértices chamados de arestas. Obviamente
que podemos representar o grafo G geometricamente onde cada vértice Vi corresponde a
nós numa rede de comunicação. Os segmentos de recta unindo os vértices correspondem às
arestas. Numa rede, cada aresta reprsenta um elo de comunicação directo entre dois nós da
rede. Uma rede de comunicação verdadeira pode envolver um grande número de vértices e
arestas, pelo que uma representaçãp gráfica da rede seria muito confusa. Uma alternativa
é usar uma representação matricial para a rede. Se o grafo contém um total de n vértices,
então a matriz A = [aij ] ∈ Matn×n de adjacência do grafo é definida da seguinde maneira:
1 se {vi , vj } é uma aresta de G
aij =
,
0 caso contrário
Observe que a matriz A é simétrica A = AT , por definição. Podemos pensar num caminho
no grafo G como uma sequência de arestas unindo vértices. Dizemos que o caminho tem
comprimento k se o caminho for a sequancia de k arestas em G. (Incluir um grafo para
ilustrar o texto)
Problema: determinar os caminhos de comprimento k.
(k)
Teorema Seja A matriz de adjacência de um grafo G e aij a entrada (i, j) da matriz
(k)
Ak . Então aij é o número de caminhos de comprimento k do vértice vi a vj .
Demontração: Aplicar indução matemática em k. No caso k = 1 segue da definição de
matriz de adjacência que aij é o número de caminhos de comprimento 1 entre os vértices vi
e vj .
4
(k)
Vamos agora supor que aij é o número de caminhos de comprimento k entre os vértices
(k+1)
vi e vj . Queremos provar que aij
é o número de caminhos de comprimento k + 1 entre
(k)
os vértices vi e vj . Ora se existe uma aresta entre vl e vj , então ail alj = ail é o número de
caminhos de comprimento k + 1 entre vi e vj da forma
vi → · · · → v l → v j .
Temos então que o número total de caminhos de comprimento k + 1 entre vi e vj é dado por
(k)
(k)
(k)
ai1 a1j + ai2 a2j + · · · ain anj .
Mas isto é por definição de produto matricial a entra (i, j) de Ak+1 , c.q.d.
Como A é uma matriz simétrica, A é diagonalizável, pelo que os valores próprios fornecem
a diagonal da matriz diagonal D, a determinação de bases para os espaços próprios fornecem
as colunas para a matriz S −1 , pelo que S = (S −1 )−1 . Mais D = SAS −1 , donde
Ak = S −1 D k S.
Uma vez que A é simétrica podemos escolher as bases dos espaços próprios de tal forma que
a matriz S seja ortogonal S −1 = S T (ver aulas teóricas anteriores).
Note que no mesmo gráfo não orientado G podemos definir outra matriz A0 = [a0ij ] como
sendo
s se {vi , vj } estão ligados por s arestas
0
aij =
,
0 caso contrário
Problema: verifique a validade do teorema anterior!
3.1
Grafos orientados
Refaça a secção anterior para grafos orientados. Conhecem-se aplicações destes grafos à
Sociologia, Telecomunicações etc..
Note que nestes grafos, em geral, a matriz que lhe está associada nã vai ser simétrica
uma vez que, p.ex., pode haver uma aresta do vértice vi para o vértice vj , mas não haver
nenhuma aresta de vj para vi .
5