O átomo de hidrogênio segundo a Mecânica Quântica Parte II

http://www.bugman123.com/Physics/
O átomo de hidrogênio
segundo a Mecânica Quântica
Parte II – Spin do elétron
1
Funções de onda do elétron no átomo
de hidrogênio
2
http://sevencolors.org/post/hydrogen-atom-orbitals
gráficos das densidades de probabilidade
Resumo da aula passada:
Para o átomo de hidrogênio vimos:
•
As soluções da equação de Schrödinger;
•
Os estados quânticos permitidos,
caracterizados pelos números n, ℓ, m;
•
A interpretação probabilística da densidade
de probabilidade |* | e da P(r);
•
Representação de alguns orbitais.
3
A equação de Schrödinger e o átomo de H
Vimos na aula passada que os estados quânticos do elétron no
átomo de hidrogênio são caracterizados por três números
quânticos e são descritos pela função
ψ n,,m r,θ,   Rn r  Θm θ  Φm  
n
número
quântico
principal
(Energia)
símbolo
m
ℓ
n
número
número
quântico
ℓ
quântico
magnético
orbital
(Orientação
m
(Módulo do
do
Momento
Angular
Orbital)
Momento
Angular
Orbital)
valores
1, 2, 3, ...
0,..., n-1
- ℓ,..., +ℓ
4
A equação de Schrödinger e o átomo de H
O número quântico orbital ℓ corresponde aos estados: ℓ= 0, 1, 2, 3, 4,...
(s, p, d, f, g)
E
3s
3p
3d
(3,0,0) (3,1,0) (3,1,1) (3,1,-1) (3,2,0) (3,2,1) (3,2,-1) (3,2,2) (3,2,-2)
-13,6/9 eV
-13,6/4 eV
-13,6 eV
(2,0,0)
2s
(2,1,0)
(2,1,1)

(2,1,-1)
2p

 nm ( r )
 1 
En    2 
 n 
1s
(1,0,0)
(n,ℓ,m)
5
Mas há algo mais observado experimentalmente...
e que a solução de Schrödinger para o H não explica!
Em 1892, Michelson observa que a linha H não tem um comprimento
de onda único, mas consistia, na verdade, de duas linhas separadas
por 0,14 Å. Esta foi a primeira observação da estrutura fina do H.
Uma separação de linhas em “dubletos” foi observada também em
espectros de vapor de metais alcalinos.
Aparentemente, os níveis de energia de Schrödinger não são tão
degenerados como previsto... Há algo a mais....
6
A estrutura fina I
2p (n=2,  =1)
2s (n=2,  =0)
Esses dois níveis são
degenerados segundo
Schrödinger
2s1/2  2p1/2

Bohr/
Schrödinger
(Dirac)
1s1/2
7
A estrutura fina I
2p (n=2,  =1)
2s (n=2,  =0)
2s1/2  2p1/2

Bohr/
Schrödinger
(Dirac)
1s1/2
8
Então deve estar faltando algo....
9
Momento angular orbital
• Na solução da equação de Schrödinger para o
átomo de hidrogênio temos:
Quantização do momento angular orbital de
acordo com:
L    1
2
2
0    n 1
Lz  m 
Note a diferença com a previsão de Bohr! Bohr previu errado!
10

E a direção do L ??
 Precisamos definir uma direção no
 espaço 
p.ex., direção z dada por um Bexterno ;
 A componente Lz não pode assumir um valor
qualquer,
 Lz está restrito a apenas alguns valores: chama-se
esta propriedade de “quantização espacial”.
11
Componente z do momento angular orbital:
Número quântico magnético:
m  Note que eu inseri um subíndice a mais
L z  m 
“quantização espacial”
m   ,  1,..., 
12
Momento angular e momento magnético
(para entender mais facilmente, usamos o modelo do Bohr para visualizar:
o elétron tem carga elétrica e tem momento angular orbital, logo seu movimento
circular produz uma corrente, que cria um campo magnético de dipolo)
Momento (de dipolo) magnético orbital:
e 
 orb  
L
2m
e
 orb 
(   1 )
2m

13
Momento angular e momento magnético
Momento magnético orbital:
e magneton
e 
B 
 orb  
L
de Bohr
2
m
2m
e
 orb 
(   1 )  (   1 ) 
B
2m

• Momentos angulares não são medidos diretamente.
• Medimos o momento magnético através de suas
componentes paralelas a um campo magnético externo
14
por nós aplicado.
Componente z do momento angular orbital:
Número quântico magnético:
m
L z  m 
m   ,  1,..., 
 orb ,z   m  B
15
Experimento de Einstein – de Haas (1915):
Momento Magnético dos átomos
cilindro
de Fe
Lrot
µ
B
O experimento mostrou conexão entre uma propriedade Lat
magnética do material (no caso, o ferro) e o momento angular.
16
Momento magnético atômico (orbital):
Cálculo clássico (simplesmente baseado em corrente elétrica)
L  mr
2
dq
 iA r

dt
2  e 
2   e 
 r    r 

 T 
 2 
1
e
2
 er  
L
2
2m
2
e

L
2m
17
Agora uma surpresa:
Além do momento angular orbital, o elétron tem
também um outro momento angular, que lhe é
“intrínseco”:
não importa qual movimento o elétron está
descrevendo, ou em que átomo ele está ligado,
não importa nada: o elétron sempre terá este
momento angular intrínseco.
18
O experimento de Stern Gerlach (1922)
Por que Ag ?
Z=47
... 5s1
Forno
4d10
Feixe de
átomos
de prata
Polo
magnético
campo magnético
altamente
não-homogêneo
Polo
magnético
Placa fotográfica
Padrão
Padrão
sem
semcampo
campo
O spin só pode ter duas
únicas orientações!
Padrão
com campo
Esperado da Física Clássica
Resultado experimental
19
Por que B não homogêneo ?
O que exatamente
Stern e Gerlach estavam
procurando??
Resp.: Evidências da “quantização espacial”
20
O experimento de Stern Gerlach
• Foi realizado com um feixe de átomos de prata, saindo de um
forno quente, porque podia ser facilmente detectado em uma
emulsão fotográfica;
• Os átomos de prata (Z = 47) permitiram o estudo das
propriedades magnéticas de um único elétron, pois esses átomos
têm um único elétron “exterior” que se move em um potencial
coulombiano produzido por 47 prótons do núcleo, blindados por 46
elétrons de caroço;
• Como o elétron externo da prata tem momento angular orbital
nulo (ℓ=0), esperava-se que a interação com um campo magnético
externo apenas fosse possível se existisse um momento intrínseco
de spin.
21
O experimento de Stern Gerlach
g
 
U     B    B Bz    B Bz
2
U
Bz
Fz  
 B
z
z
Ecin
Note: nesta equação L
é a distância percorrida
pelos elétrons!
22
Stern-Gerlach: Curiosidade histórica
23
Qual foi o resultado do experimento?
Resultado
das medidas
Previsão
clássica
Feixe de átomos
24
Stern-Gerlach: Curiosidade histórica
http://www.physicstoday.org/vol-56/iss-12/p53.html#ref
Otto Stern (1888-1969)
Nobel de Física: 1943
stern-gerlach
Walther Gerlach (1889-1979)
25
Spin do elétron
Momento angular de spin:
1
S  s( s  1)  ; s 
2
Componente z do momento:
1
S z  ms  ; m s  
2
Momento magnético de spin:
e 
e
S   S ; S  
s( s  1) 
m
m

 s , z   2 ms  B
  s,z    B
Fator "g" do elétron*:
gs = 2,00232:  s , z   g s ms  B  2ms  B
gℓ = 1:   ,z   g  m  B  m  B ; m   ,...  
*O fator gs do elétron é uma das grandezas medidas com maior precisão na Física,
com uma incerteza relativa de 2,6 x 10−13.
26
Momento angular total do elétron no átomo de H

 
J total  L  S
Para somarmos os dois momentos
angulares há uma regra:
j= |ℓ-s| , ....... ,(ℓ +s) de 1 em 1....
  
J  LS

J  j  j  1
J z  m j
Portanto, os valores possíveis
para j (quando ℓ não for 0) são:
j= ℓ  ½
27
Um exemplo.....
Campo magnético
externo
Separação do nível
3p 3/2 em campo
magnético fraco
28

Números quânticos:  n , ,m ,ms r 
me 4 1
13,6
• Número quântico principal n
En   2 2 2   2 eV
já aparece no modelo de Bohr
8 0 h n
n
spin
orbital
1
• Novos números
L  (   1 ) 
s

S  s( s  1)  ;
quânticos, associados
2
  n 1
ao momento angular
1
L z  m 
orbital (ℓ, mℓ) e de
S z  ms  ; m s   2
m   ,    1, ...,   ms   s,..,  s
spin (ms)
Momento magnético:
gℓ=1 e gs =2
e
B 
2m
e 
e 
 orb  
L  g
L
2m
2m

 orb ,z   m  B
e 
e 
S   S  gs
S
m
2m

 s , z   2 ms  B    B
Exemplo de efeitos devidos aos novos números quânticos:
Desdobramento das linhas espectrais
na presença de campos externos
29
A estrutura fina do H:
• Há outros efeitos no átomo de hidrogênio que não estão
incluídos na equação de Schrödinger, que serão
responsáveis sucessivamente pela quebra das várias
degenerescências.
• O efeito mais importante é : interação do elétron só com o
campo B interno do átomo (Bi  1 Tesla) + Correção
relativística da energia dos elétrons
"Estrutura Fina“
• Há ainda outros efeitos, de intensidades menores: um efeito
chamado Lamb shift (sem análogo na Física clássica,
explicado apenas pela QED), e o efeito da interação do spin
do elétron com spin do próton (núcleo). O tamanho e a
estrutura interna do próton (núcleo) também importam. 30
A estrutura fina do H: Notação para os níveis: nℓ
j
Estados caracterizados pelo número quântico j, relativo ao
momento angular total J= L + S
j = 7/2
j = 5/2
j = 3/2
j = 1/2
n=4
j = 5/2
j = 3/2
j = 1/2
n=3
3s½
2p3/2
j=3/2
j=1/2
n=2
2s½
Desenho não em escala!!
2p½
n=1
j=1/2
ℓ=0
ℓ=1
ℓ=2
ℓ=3
31
Quebra sucessiva das degenerescências
Estrutura fina do H
Lamb shift
Estrutura
hiperfina do H
(spin do próton!)
Hidrogênio segundo Schrödinger
(confirma o modelo de Bohr)
Ampliação escala  50.000
Hidrogênio segundo Schrödinger
levando em conta os demais efeitos no átomo!
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Quebra sucessiva das degenerescências
Estrutura fina do H
Lamb shift
Estrutura
hiperfina do H
(spin do próton!)
Hidrogênio segundo Schrödinger
(confirma o modelo de Bohr)
Ampliação escala  50.000
Hidrogênio segundo Schrödinger
levando em conta os demais efeitos no átomo!
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Aqui mostramos ainda o que acontece com os níveis de energia se
aplicarmos sobre o átomo de hidrogênio um campo magnético
externo que supomos estar na direção e sentido do eixo z : as
energias dos níveis se modificam, como já observado por Zeeman
em 1896, sendo alteradas de Epot :
E pot
 
   .Bext    s ,z Bext
Por exemplo, seja o nível 1s.
Como ℓ = 0, o único momento magnético é aquele devido ao spin, s.
Os só tem duas orientações possíveis, que são
 s ,z  2ms . B
O nível 1s ficará então separado em dois níveis, um com energia E+BB e
E+BB
outro com energia E - BB:
1s
E
E-BB
A diferença de energia entre os dois níveis será simplesmente 2 BB.
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Resumo da aula:
• Níveis de energia do átomo de H;
• Momento angular orbital para os vários estados;
• Momento angular de spin do elétron;
• Momento angular total;
• Momentos de dipolo magnético;
• Quebras de degenerescência dos estados;
• Aplicações em ressonância magnética.
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