Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 08 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos. I. PONTO e PONTO: Sejam, no espaço, considerar: os pontos A=(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2). Temos duas posições relativas a i. AB, os pontos são coincidentes. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será igual a zero e teremos então: |B-A|= (x2 x1)2+ (y2y1) 2 +(z2z1) 2 = 0. ii. AB, os pontos são distintos. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será diferente de zero e teremos então: |B-A|= (x2 x1)2+ (y2y1) 2 +(z2z1) 2 0. Assim ao calcularmos a distância entre dois pontos identificamos sua posição relativa e no caso de serem distintos, esta distância os identificará. Exemplificando: Dados A=(1,-2,3) e B=(-1,1,-3), temos (B-A)=(-2,3,-6), calculando sua distância teremos |B-A|= (-2)2+ (3) 2 +(-6) 2 = 49 = 7 0, portanto os pontos são distintos. II. PONTO e RETA: Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e a reta r:(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c). Sendo (a,b,c)=V, o vetor da direção da reta e (x0,y0,z0) = A um ponto conhecido da reta, temos duas posições relativas a considerar: i. ii. Qr, o ponto está na reta. Neste caso a distância entre A e r será igual a zero. Qr, o ponto não está na reta. Neste caso a distância entre A e r será diferente de zero. Assim ao calcularmos a distância entre o ponto e a reta identificaremos sua posição relativa e no caso do ponto não pertencer à reta, esta distância os identificará. A distância entre um ponto Q =(x 1,y1,z1) e uma reta r: P= A + t V, pode ser determinada como segue: Q |(QA) V | DQr Distância entre Q e r DQr = V Exemplificando: Dados Q=(1,-2,3) e r:P=A+tV, sendo A=(-1,1,-3) e V=(1,-1,1), temos |V|=3 e (Q-A)=(2, -3, 6). Calculando a distância entre Q e r teremos : |V| A |(2,3, 6) (1, -1, 1)| |(3, 4, 1)| 26 Distância entre Q e r DQr = = = = |(1,-1,1)| 3 3 /3 u.c. 26 Concluimos assim que Qr, o ponto não está na reta, pois DQr 0. Neste caso a distância entre Q e r é de 26/3 8,66 u.c (Unidades de Comprimento). III. PONTO e PLANO: Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e o Plano : ax + by +cz + d = 0. Temos duas posições relativas a considerar: i. Q , o ponto pertence ao plano. Neste caso a distância entre Q e será igual a zero. ii. Q , o ponto não pertence ao plano. Neste caso a distância deles será diferente de zero. Assim ao calcularmos a distância entre o Ponto e o Plano identificaremos sua posição relativa e no caso do ponto não pertencer ao Plano, esta distância os identificará. A distância entre um ponto Q =(x 1,y1,z1) e um Plano : ax + by +cz + d = 0, pode ser determinada como segue: |a x1+by1+cz1+d| Distância entre Q e : DQ = a2 + b 2 + c 2 IV. RETA e RETA: Sejam no espaço as retas r1:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e r2:(x,y,z)=( x2,y2,z2)+t(a2,b2,c2). Sendo (a1,b1,c1)=V1 e (x1,y1,z1) = A1 , (a2,b2,c2)=V2 e (x2,y2,z2) = A2, os vetores da direção e os pontos conhecidos das retas r1 e r2 respectivamente, temos quatro posições relativas a considerar: i. r1 r2 : r1 coincide com r2, isto é as retas são coincidentes. Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0). ii. iii. iv. r1 ∥ r2 : r1 é paralela à r2, isto é as retas são paralelas. Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2 0). r1╳ r2: r1 intercepta r2, isto é as retas são concorrentes. Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, um único ponto comum e a distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0). r1 r2: r1 não é paralela nem intercepta r2, isto é as retas são reversas. Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, nenhum ponto comum e a distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2 0). Verificamos portanto que para determinar a posição relativa entre duas retas é necessário comparar suas direções, através da verificação da Dependência Linear dos vetores de suas direções, e ainda, calcular a distância entre as mesmas. A dependência linear verificamos através da comparação das coordenadas dos vetores, enquanto que a distância determinamos como segue: a) As retas são Paralelas: Calculamos a distância de um ponto de uma das retas (r1) até a outra (r2), isto é o cálculo da distância é o mesmo de um ponto e reta e a formula será: |(A2A1) V1 | Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = |V1| b) As retas são Reversas:A distância é o módulo segmento de reta perpendicular comum a ambas as retas dadas. Assim basta calcular o módulo do vetor projeção do vetor (A2A1) na direção do vetor V1 V2, isto é, a formula do cálculo da distância ente as retas será: |(A2A1) X (V1 V2 )| Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = |(V1 V2 )| Observamos que: 1. Para o caso de retas concorrentes e reversas é necessário calcular o ângulo direções das mesmas. Este cálculo, já conhecido, será: V1 x V2 = arco cos |V1||V2| formado pelas 2. Para o caso das retas serem concorrentes é necessário calcular o ponto P =(x,y,z) de intersecção das retas. Este ponto será determinado através da solução do sistema de equações formado pelas equações das retas na forma simétrica isto é: x-x0 y-y0 z-z0 = = a b c V. RETA e PLANO: Sejam no espaço a reta r:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e o Plano : ax + by +cz + d = 0 . Sendo W=(a,b,c) o vetor normal do plano , V=(a 1,b1,c1), o vetor da direção da reta e A=(x0,y0,z0) um ponto conhecido da reta. Temos duas posições relativas a considerar: i. ii. r , a reta está contida no plano. Neste caso a distância entre r e será igual a zero e os vetores W e V serão ortogonais, isto é o produto escalar W x V = 0. r , a reta não está contida no plano. Neste caso teremos duas posições a considerar: a) r // , a reta é paralela ao plano. Neste caso o produto escalar W x V = 0, a distância entre r e será diferente de zero e é calculada como a distância do ponto A à , isto é: Distância entre re: |a x1+by1+cz1+d| Dr = a2 + b 2 + c 2 , a reta é concorrente, isto é, intercepta o plano. Neste caso W x V 0, isto é, o produto escalar dos vetores será diferente de zero, a distância entre r e será igual a b) r ╳ zero e devemos calcular o ângulo de incidência da reta ao plano e o ponto de intersecção P= r , entre o plano e a reta. Determinação do ângulo w de incidência da reta no plano: V = 90o - , sendo = A P V xW arco cos |V||W| r Para determinar o ponto de intersecção P= r , entre o plano e a reta, determinamos a solução do sistema das equações na forma simétrica da reta e na forma geral do plano, isto é: x-x1 y-y1 z-z1 = = a1 b1 c1 VI. e ax + by + cz + d =0 PLANO e PLANO: Sejam no espaço os Planos 1: a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e 2: a2x + b2y +c2z + d2 = 0 Sendo W1=(a1,b1,c1) o vetor normal do plano 1 e W2=(a2,b2,c2), o vetor normal do plano Temos três posições relativas a considerar: 2. i. 1 2 : 1 coincide com 2, isto é os planos são coincidentes. ii. 1 ∥ 2 : 1 é paralela à 2, isto é os planos são paralelos. iii. 1╳ 2: 1 intercepta 2, isto é os planos são concorrentes, isto é se interceptam segundo Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a distância entre 1 e 2 igual a zero ( D12 = 0). Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a distância entre r e s diferente de zero (D12 0). uma reta r. Neste caso teremos W1 e W2 com direções diferentes, isto é LI, uma única reta comum, a distância entre 1 e 2 igual a zero (D12 = 0) e um ângulo entre os dois planos. Distância entre dois planos paralelos: Calculamos a distância de um ponto qualquer de 2 isto é: |a2 x1+b2y1+c2z1+d2| Distância entre 1 e 2 : D12 = a22 + b22 + c22 1 á Ângulo entre dois planos Concorrentes: Calculamos o ângulo entre 1 á 2 como segue: 1 W1 2 W2 r = 180o - , sendo = W1 x W 2 arco cos | W1|| W2| Reta r de intersecção dois planos Concorrentes: Podemos determinamos a reta de intersecção entre 1 á 2 de duas formas como segue: 1. Determinando dois pontos comuns A e B, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos 1 e 2, escrevendo em seguida a equação vetorial da reta: P = A + t V, sendo V = (B-A). 2. Determinando um ponto comum A, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos 1 e 2 e o vetor que tem a direção da reta através de V = W1 W2 , obtendo assim a equação vetorial da reta: P = A + t V. Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.