GA A FAENG Resumo 08 PosicoesRelativasPontoRetaPlano

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Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 08 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos.
I.
PONTO e PONTO:
Sejam, no espaço,
considerar:
os pontos A=(x1,y1,z1)
e
B=(x2,y2,z2). Temos duas posições relativas a
i.
AB, os pontos são coincidentes. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será igual
a zero e teremos então: |B-A|=  (x2 x1)2+ (y2y1) 2 +(z2z1) 2 = 0.
ii.
AB, os pontos são distintos. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será diferente
de zero e teremos então: |B-A|=  (x2 x1)2+ (y2y1) 2 +(z2z1) 2  0.
Assim ao calcularmos a distância entre dois pontos identificamos sua posição relativa e no caso
de serem distintos, esta distância os identificará.
Exemplificando: Dados A=(1,-2,3) e B=(-1,1,-3), temos (B-A)=(-2,3,-6), calculando sua
distância teremos |B-A|=  (-2)2+ (3) 2 +(-6) 2 =  49 = 7  0, portanto os pontos são distintos.
II.
PONTO e RETA:

Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e a reta r:(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c). Sendo (a,b,c)=V, o
vetor da direção da reta e (x0,y0,z0) = A um ponto conhecido da reta, temos duas posições
relativas a considerar:
i.
ii.
Qr, o ponto está na reta. Neste caso a distância entre A e r será igual a zero.
Qr, o ponto não está na reta. Neste caso a distância entre A e r será diferente de zero.
Assim ao calcularmos a distância entre o ponto e a reta identificaremos sua posição relativa e no
caso do ponto não pertencer à reta, esta distância os identificará.

A distância entre um ponto Q =(x 1,y1,z1) e uma reta r: P= A + t V, pode ser determinada como
segue:
Q

|(QA)  V |
DQr
Distância entre Q e r DQr = 

V



Exemplificando: Dados Q=(1,-2,3) e r:P=A+tV, sendo A=(-1,1,-3) e V=(1,-1,1), temos |V|=3
e (Q-A)=(2, -3, 6). Calculando a distância entre Q e r teremos :
|V|

A
|(2,3, 6)  (1, -1, 1)|
|(3, 4, 1)|
26
Distância entre Q e r DQr =  =  =  = 
|(1,-1,1)|
3
3
/3 u.c.
26
Concluimos assim que Qr, o ponto não está na reta, pois DQr  0. Neste caso a distância entre Q
e r é de  26/3  8,66 u.c (Unidades de Comprimento).
III. PONTO e PLANO:
Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e o Plano : ax + by +cz + d = 0. Temos duas posições
relativas a considerar:
i. Q  , o ponto pertence ao plano. Neste caso a distância entre Q e  será igual a zero.
ii. Q  , o ponto não pertence ao plano. Neste caso a distância deles será diferente de zero.
Assim ao calcularmos a distância entre o Ponto e o Plano identificaremos sua posição relativa e no
caso do ponto não pertencer ao Plano, esta distância os identificará.
A distância entre um ponto Q =(x 1,y1,z1)
e um Plano : ax + by +cz + d = 0, pode ser
determinada como segue:
|a x1+by1+cz1+d|
Distância entre Q e  :
DQ = 
 a2 + b 2 + c 2
IV.
RETA e RETA:
Sejam no espaço as retas r1:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e r2:(x,y,z)=( x2,y2,z2)+t(a2,b2,c2).


Sendo (a1,b1,c1)=V1 e (x1,y1,z1) = A1 , (a2,b2,c2)=V2 e (x2,y2,z2) = A2, os vetores da direção e os
pontos conhecidos das retas r1 e r2 respectivamente, temos quatro posições relativas a
considerar:
i. r1  r2 : r1 coincide com r2, isto é as retas são coincidentes.


Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a
distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0).
ii.
iii.
iv.
r1
∥ r2 : r1 é paralela
à r2, isto é as retas são paralelas.


Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a
distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2  0).
r1╳ r2: r1 intercepta r2, isto é as retas são concorrentes.


Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, um único ponto comum e a
distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0).
r1
 r2: r1 não é paralela nem intercepta r2, isto é as retas são reversas.


Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, nenhum ponto comum e a
distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2  0).
Verificamos portanto que para determinar a posição relativa entre duas retas é necessário
comparar suas direções, através da verificação da Dependência Linear dos vetores de suas
direções, e ainda, calcular a distância entre as mesmas. A dependência linear verificamos através
da comparação das coordenadas dos vetores, enquanto que a distância determinamos como
segue:
a) As retas são Paralelas: Calculamos a distância de um ponto de uma das retas (r1) até a
outra (r2), isto é o cálculo da distância é o mesmo de um ponto e reta e a formula será:

|(A2A1)  V1 |
Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = 
|V1|
b) As retas são Reversas:A distância é o módulo segmento de reta perpendicular comum a
ambas as retas dadas. Assim basta calcular o módulo do vetor projeção do vetor (A2A1) na


direção do vetor V1  V2, isto é, a formula do cálculo da distância ente as retas será:
 
|(A2A1) X (V1 V2 )|
Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = 
|(V1 V2 )|
Observamos que:
1. Para o caso de retas concorrentes e reversas é necessário calcular o ângulo
direções das mesmas. Este cálculo, já conhecido, será:


V1 x V2
 = arco cos 


|V1||V2|
 formado pelas
2. Para o caso das retas serem concorrentes é necessário calcular o ponto P =(x,y,z) de
intersecção das retas. Este ponto será determinado através da solução do sistema de
equações formado pelas equações das retas na forma simétrica isto é:
x-x0
y-y0
z-z0
 =  = 
a
b
c
V.
RETA e PLANO:
Sejam no espaço a reta r:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e o Plano : ax + by +cz + d = 0 .


Sendo W=(a,b,c) o vetor normal do plano , V=(a 1,b1,c1), o vetor da direção da reta e A=(x0,y0,z0)
um ponto conhecido da reta. Temos duas posições relativas a considerar:
i.
ii.
r
 , a reta está contida no plano. Neste caso a distância entre r e  será igual a zero e os
 
 
vetores W e V serão ortogonais, isto é o produto escalar W x V = 0.
r  , a reta não está contida no plano. Neste caso teremos duas posições a considerar:
 
a) r // , a reta é paralela ao plano. Neste caso o produto escalar W x V = 0, a distância
entre r e  será diferente de zero e é calculada como a distância do ponto A à , isto é:
Distância entre
re:
|a x1+by1+cz1+d|
Dr = 
 a2 + b 2 + c 2
, a reta é concorrente, isto é, intercepta o plano. Neste caso W x V  0, isto é, o
produto escalar dos vetores será diferente de zero, a distância entre r e  será igual a
b) r ╳
zero e devemos calcular o ângulo de incidência da reta ao plano e o ponto de intersecção
P= r  , entre o plano e a reta.
Determinação do ângulo

w



 de incidência da reta no plano:

V
= 90o -   , sendo  =
A
P


V xW
arco cos 
 
|V||W|
r
Para determinar o ponto de intersecção P= r  , entre o plano e a reta, determinamos a
solução do sistema das equações na forma simétrica da reta e na forma geral do plano, isto é:
x-x1
y-y1
z-z1
 =  = 
a1
b1
c1
VI.
e
ax + by + cz + d =0
PLANO e PLANO:
Sejam no espaço os Planos 1: a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e 2: a2x + b2y +c2z + d2 = 0


Sendo W1=(a1,b1,c1) o vetor normal do plano 1 e W2=(a2,b2,c2), o vetor normal do plano
Temos três posições relativas a considerar:
2.
i.
1  2 : 1 coincide com 2, isto é os planos são coincidentes.
ii.
1 ∥ 2 : 1 é paralela à 2, isto é os planos são paralelos.
iii.
1╳ 2: 1 intercepta 2, isto é os planos são concorrentes, isto é se interceptam segundo


Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a
distância entre 1 e 2 igual a zero ( D12 = 0).


Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a
distância entre r e s diferente de zero (D12  0).
uma reta r.


Neste caso teremos W1 e W2 com direções diferentes, isto é LI, uma única reta comum, a
distância entre 1 e 2 igual a zero (D12 = 0) e um ângulo  entre os dois planos.
Distância entre dois planos paralelos: Calculamos a distância de um ponto qualquer de
2 isto é:
|a2 x1+b2y1+c2z1+d2|
Distância entre
1 e 2 : D12 = 
a22 + b22 + c22
1 á
Ângulo
 entre dois planos Concorrentes: Calculamos o ângulo entre 1 á 2 como segue:
1
W1


2
W2
r
= 180o -   , sendo  =


W1 x W 2
arco cos 


| W1|| W2|
Reta r de intersecção dois planos Concorrentes: Podemos determinamos a reta de
intersecção entre 1 á 2 de duas formas como segue:
1. Determinando dois pontos comuns A e B, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e
a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos 1 e 2, escrevendo em seguida a equação vetorial da
reta:


P = A + t V, sendo V = (B-A).
2. Determinando um ponto comum A, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e
a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos 1 e 2 e o vetor que tem a direção da reta através de
 


V = W1  W2 , obtendo assim a equação vetorial da reta: P = A + t V.
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.
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