4 – Sistemas de Equações Lineares

Nova School of Business and Economics
Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações
Lineares
1
Rank ou característica de uma matriz
Definição
Número máximo de linhas de
[
Ex.:
( )
( ))
que formam um conjunto linearmente independente.
]
porque *(
)(
)+ (por exemplo) é linearmente independente e não
existe nenhum conjunto de linhas de
2
(
com
ou
vectores que o seja.
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz e rank da
Facto
matriz
A realização de operações elementares sobre as linhas de uma matriz não altera o seu rank.
[
Ex.:
]
]→
[
( )
3
[
]→
]→[
[
]
( )
Definição
Formato em escada por linhas de uma matriz
Forma de uma matriz cujo primeiro elemento da 1ª linha não é , cujos primeiros elementos
de cada linha, a começar na 2ª, são , e em que o número de primeiros elementos de cada
linha que são
é superior ao da linha anterior.
{
1
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Ex. 1: [
] tem o formato em escada por linhas porque o 1º elemento da 1ª linha
não é , e o 1º elemento da 2ª linha, os
primeiros elementos da 3ª linha e os
primeiros
elementos da 4ª linha são .
Ex. 2: [
] não tem o formato em escada por linhas porque o número de ’
consecutivos nas primeiras posições da 4ª linha não é superior ao da 3ª.
4
Definição
Elemento de
Pivot de uma matriz
no formato em escada por linhas
que é o primeiro da sua linha diferente de .
{
Ex.:
[
5
Definição
]
Formato reduzido em escada por linhas de uma matriz
Forma de uma matriz que tem o formato em escada por linhas, cujos pivots são
e cujos
elementos da mesma coluna e de linhas anteriores às de um pivot são .
{
{
Ex.:
[
]
tem o formato reduzido em escada por linhas porque tem o formato em escada por linhas,
todos os seus pivots (
2
,
e
) são ,
e
.
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6
Algoritmo para redução de uma matriz
em escada por linhas por eliminação de Gauss
Algoritmo
1
ao formato reduzido
Redução ao formato em escada por linhas:
Anulação da parte inferior da coluna :
Transformação de
num número não nulo: Se
outra linha, abaixo desta, cujo elemento da coluna
este passo (
for , trocar a linha
com
não seja . Caso contrário, saltar
).
Transformação de
em
: Se
não for , dividir a linha
contrário, saltar este passo (
por
. Caso
).
Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha
elemento da coluna
e a linha
não seja
o produto entre o elemento da coluna
(
cujo
dessa linha
).
Anulação da parte inferior das restantes colunas: Aplicar os seguintes passos,
substituindo
por
. Depois, repeti-los,
substituindo
por
. Continuar a repeti-los,
substituindo pelos restantes índices de linha da matriz, de forma crescente, até
Fim do algoritmo: Se todas as linhas, desde a até à , forem nulas, parar. Senão,
continuar.
Ordenação dos ’s criados: Fazer as trocas de ordem necessárias para que as linhas,
desde a até à , fiquem ordenadas pelo número de ’
colunas.
Transformação dos pivots em : Se o primeiro elemento da linha não nulo,
não for , dividir a linha por
. Caso contrário, saltar este passo (
,
).
Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujo
elemento da coluna
e a linha (
2
não seja
o produto entre o elemento da coluna
dessa linha
).
Anulação dos elementos superiores aos pivots: Depois de concluída a redução ao
formato em escada por linhas, aplicar o seguinte passo, substituindo por . Depois, repetilo, substituindo por . Continuar a repeti-lo, substituindo pelos restantes índices de linha
da matriz, de forma crescente, até ao índice da última linha que tem um pivot.
Sendo
o pivot da linha , subtrair a cada linha acima da linha cujo elemento da coluna
não seja
o produto entre o elemento da coluna
dessa linha e a linha
(
).
3
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[
Ex.:
]
Redução ao formato em escada por linhas:
1
Anulação da parte inferior da coluna :
( )
[
]
[
]
[
]
Anulação da parte inferior das restantes colunas:
( )
[
]
[
[
]
[
]
]
( )
[
]
[
2
]
[
Anulação dos elementos superiores aos pivots:
( )
[
]
[
]
[
]
( )
( )
4
[
]
]
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Sistema de equações lineares (
Definição
Conjunto de
equações de
)
variáveis, cada uma consistindo numa igualdade entre uma
combinação linear das variáveis e um número real. Igualdade entre dois membros: o
primeiro,
, e o segundo, .
Sistema de equações lineares:
[
][
]
[
]
{
Ex.: {
[
lineares com
8
equações e
Classificação
][ ]
variáveis (
[ ]
é um sistema de equações
).
Classificação de um sistema de equações
Possível: Tem pelo menos uma solução.
Determinado: Tem apenas uma solução.
Indeterminado: Tem mais do que uma solução.
Impossível: Não tem soluções.
Ex. 1: O sistema de equações lineares {
única solução é o vector (
é possível e determinado, porque a sua
).
Ex. 2: O sistema de equações lineares {
o seu conjunto de soluções é *(
)
é possível e indeterminado, porque
+, que contém um número infinito de
vectores.
Ex. 3: O sistema de equações lineares {
vector de
é impossível, porque não há nenhum
que o resolva.
5
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Sistemas de equações lineares possíveis e indeterminados e
número de soluções
Facto
Qualquer sistema de equações lineares possível e indeterminado tem um número infinito de
soluções.
*
+
Ex.: O sistema de equações lineares {
os vectores (
(
)
10
) e (
(
)(
Definição
) como soluções, tem também todos os vectores da forma
), com
.
Matriz aumentada de um sistema de equações lineares
Matriz cujas primeiras
,
é possível e indeterminado e, tendo
colunas são as colunas de
)
e cuja última coluna é .
[
]
Ex.: {
[
,
11
(
-
[
][ ]
[ ]
]
Classificação de um sistema de equações lineares e rank das
matrizes do sistema
Facto
Um sistema de equações lineares
é:
( )
Possível e determinado
( )
Possível e indeterminado
Impossível
Ex.: {
6
(
( )
(
[
)
(
)
][ ]
[ ]
)
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(
)
[
]
[
]
[
]
[
]
]
( )
[
( )
(
12
[
]
[
]
)
Sistema de equações lineares homogéneo (
Definição
̅)
Sistema de equações lineares cujo segundo membro é o vector nulo de
Ex.: {
̅
̅
[
][ ]
.
[ ]
[ ]
13
Espaço nulo de uma matriz
Definição
Conjunto de vectores de
( ( ))
que resolvem o sistema de equações lineares homogéneo
associado a .
( )
[
Ex.:
( )
̅
*
{(
+
]
)
[
][ ]
[ ]}
*(
)(
)+
7
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14
Resolução de um sistema de equações lineares
determinado por eliminação de Gauss
possível e
Fórmula
Realização de operações elementares sobre as linhas de
até que
esteja reduzida ao
formato em escada por linhas, eliminando-se as linhas nulas que aparecem no processo,
seguida da realização de operações elementares sobre as linhas da matriz resultante até que
esta se torne na matriz identidade. Nesta altura, a sua última coluna torna-se na solução do
sistema.
[
Ex.:
][ ]
[ ]
{
]→
[
]→
[
→
[
→
[
]
]→
[
*(
15
]
→
[
]
]→
[
[
→
[
→
]
]
,
-
)+
Resolução de um sistema de equações lineares
determinado por cálculo da inversa
Fórmula
Realização de operações elementares sobre as linhas de
possível e
com o objectivo de reduzir
ao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, até
que
seja quadrada, seguida da resolução do sistema obtido,
original, em ordem a :
ordem a :
8
).
(se
, equivalente ao
for quadrada, basta resolver o sistema original em
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[
Ex.:
][ ]
[ ]
{
]→ [
[
,
]
( )
{
-
[
][ ]
[ ]
{
[
]
[ ]
[ ]
[
*(
16
[ ]
]
)+
Resolução de um sistema de equações lineares
determinado pela regra de Cramer
Fórmula
Realização de operações elementares sobre as linhas de
possível e
com o objectivo de reduzir
ao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, até
que
seja quadrada, seguida da obtenção, para o sistema obtido
original, dos valores das coordenadas
forma (se
|
for quadrada,
|
,
e
da solução do sistema da seguinte
são utilizados em vez de
|
| |
|
e
,
, equivalente ao
e
):
|
| |
|
|
| |
|
| |
...
|
|
| |
|
|
| |
[
Ex.:
][ ]
[ ]
{
9
Prática Álgebra Linear
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]→ [
[
]
( )
{
[
,
-
][ ]
[ ]
{
| |
| |
| |
| |
| |
| |
*(
17
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
)+
Algoritmo para a resolução de um sistema de equações lineares
possível e indeterminado
Algoritmo
Definição das variáveis livres do sistema: Encontrar o número de variáveis, entre as
que definem cada solução do sistema, que podem ser escolhidas arbitrariamente
( )) e escolher para variáveis livres aquelas associadas a
(
colunas de , reduzida ao formato reduzido em escada por linhas, que não têm pivots.
2
Resolução do sistema homogéneo associado ao sistema: Encontrar
espaço vectorial de
dos vectores que são solução do sistema homogéneo associado ao
sistema (cujo primeiro membro é igual ao do sistema) (
10
, o sub-
(
)
).
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Identificação de uma solução particular do sistema: Encontrar
3
, um vector de
que seja solução do sistema.
Especificação da solução geral do sistema: Escrever
4
sistema, ou seja, o conjunto dos vectores de
, o conjunto de soluções do
que representam a soma de uma solução
particular do sistema (
) com um vector do conjunto de soluções do sistema homogéneo
associado ao sistema (
).
][ ]
[
Ex.:
[ ]
{
]→
[
( )
[
( )
(
]
)
{
{
{
{
1
Determinação do número de variáveis livres do sistema:
( )
*
+
2
*(
3
*
+
Resolução do sistema homogéneo associado ao sistema:
)(
)+
*(
)(
{
{
(
)
{
{
(
)
(
)
)+
Identificação de uma solução particular do sistema:
11
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{
(
{
)
4
{(
{(
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(
)
Especificação da solução geral do sistema:
)
(
)
(
)
)
(
)
}
(
)
}