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FÍSICA GERAL IV doPPLER (1803-1853) Christian J. doppler físico e matemático austríaco. Foi professor de Física experimental na Universidade de Viena. Celebrizouse pelo princípio denominado efeito doppler onde observou que o comprimento de uma onda sonora produzida por uma fonte em movimento se altera. Quando a fonte está se aproximando do observador, o comprimento de onda diminui (tornando o som mais agudo); e quando se afasta, se torna maior (fica mais grave). Fenômeno, conhecido até hoje como efeito doppler, se manifesta também nas ondas eletromagnéticas. doppler chegou a prever que ele seria válido para a luz, mas isso só pôde ser devidamente explicado mais tarde, pelo francês Fizeau. álgEBra linEar Editora da Universidade Estadual de Maringá Reitor Prof. Dr. Décio Sperandio Vice-Reitor Prof. Dr. Mário Luiz Neves de Azevedo Diretor da Eduem Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado Editor-Chefe da Eduem Prof. Dr. Alessandro de Lucca e Braccini Conselho Editorial Presidente Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado Editor Associado Prof. Dr. Ulysses Cecato Vice-Editor Associado Prof. Dr. Luiz Antonio de Souza Editores Científicos Prof. Adson C. Bozzi Ramatis Lima Profa. Dra. Ana Lúcia Rodrigues Profa. Dra. Analete Regina Schelbauer Prof. Dr. Antonio Ozai da Silva Prof. Dr. Clóves Cabreira Jobim Profa. Dra. Eliane Aparecida Sanches Tonolli Prof. Dr. Eduardo Augusto Tomanik Prof. Dr. Eliezer Rodrigues de Souto Prof. Dr. Evaristo Atêncio Paredes Profa. Dra. Ismara Eliane Vidal de Souza Tasso Prof. Dr. João Fábio Bertonha Profa. Dra. Larissa Michelle Lara Profa. Dra. Luzia Marta Bellini Profa. Dra. Maria Cristina Gomes Machado Profa. Dra. Maria Suely Pagliarini Prof. Dr. Manoel Messias Alves da Silva Prof. Dr. Oswaldo Curty da Motta Lima Prof. Dr. Raymundo de Lima Prof. Dr. Reginaldo Benedito Dias Prof. Dr. Ronald José Barth Pinto Profa. Dra. Rosilda das Neves Alves Profa. Dra. Terezinha Oliveira Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco Profa. Dra. Valéria Soares de Assis Equipe Técnica Projeto Gráfico e Design Fluxo Editorial Artes Gráficas Marketing Comercialização Marcos Kazuyoshi Sassaka Edneire Franciscon Jacob Mônica Tanamati Hundzinski Vania Cristina Scomparin Edilson Damasio Luciano Wilian da Silva Marcos Roberto Andreussi Marcos Cipriano da Silva Norberto Pereira da Silva Paulo Bento da Silva Solange Marly Oshima Formação de Professores EM FÍSICA - EAD João Mura Maurício Antonio Custódio de Melo FÍSICA GERAL IV Maringá 2010 14 Coleção Formação de Professores em Física - EAD Apoio técnico: Rosane Gomes Carpanese Normalização e catalogação: Ivani Baptista - CRB 9/331 Revisão Gramatical: Tania Braga Guimarães Projeto Gráfico: Carlos Alexandre Venancio Edição e Diagramação: Renato William Tavares Capas: Kellis Germano de Freitas Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) M972f Mura, João Física geral IV / João Mura, Maurício Antonio Custódio de Melo. - Maringá: Eduem, 2010. 159p. il. (Coleção formação de professores em física, v. 14) ISBN 978-85-7628-273-0 1. Física – Estudo e ensino. I. Mura, João. II. Melo, Maurício Antonio Custódio de. CDD 21. ed. 530 Copyright © 2010 para o autor Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos reservados desta edição 2010 para Eduem. Endereço para correspondência: Eduem - Editora da Universidade Estadual de Maringá Av. Colombo, 5790 - Bloco 40 - Campus Universitário 87020-900 - Maringá - Paraná Fone: (0xx44) 3011-4103 / Fax: (0xx44) 3011-1392 http://www.eduem.uem.br / [email protected] S umário Sobre os autores ................................................................................... 5 Apresentação da coleção ..................................................................... 7 Apresentação do livro ........................................................................... 9 1 Propriedades Magnéticas da Matéria ................................................11 2 Circuitos de Corrente Alternada ....................................................... 23 3 Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas............................ 39 4 Óptica Geométrica ...........................................................................57 5 Reflexão da Luz em Superfícies Planas e Esféricas. Formação de Imagens. .....................................................................77 6 Refração da Luz Superfícies Planas e Esféricas ............................... 89 7 Olho Humano e Instrumentos Ópticos ..............................................111 8 Óptica Ondulatória ......................................................................... 129 9 Fótons, Elétrons e Átomos ............................................................... 147 10 Referências ................................................................................... 159 3 S obre os autores João Mura Possui graduação em Física (Licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de Campinas (1975) e graduação em Direito pela Universidade Estadual de Maringá (1983). O professor Mura obteve sua especialização em Ensino de Física Experimental (1979), mestrado (2000) e doutorado em Física (2005) pela Universidade Estadual de Maringá. Desde 1976 é professor do Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá. Atualmente, ocupa o cargo de Professor Associado. Maurício Antonio Custódio de Melo Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1987), mestrado em FísicoQuímica pela Universidade Federal de Santa Catarina (1990), doutorado em Ciências Naturais – Física pela Technische Universität Braunschweig na Alemanha (1995) e realizou um pósdoutorado no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1995-1997). Professor da Universidade Estadual de Maringá desde 1997, sendo atualmente Professor Associado. 5 A presentação da Coleção EmborarelativamenterecentenoBrasil,aEducaçãoaDistânciafoiimaginadaeimplantada com relativo sucesso, há muito tempo em diversas partes ao redor do mundo. Já em 1833, na Suécia, uma publicação se referia ao ensino por correspondência, e poucos anos depois, na Alemanha, foi fundada a primeira escola por correspondência destinadaaoensinodelínguas.Comoadventodatransmissãoradiofônica,asfacilidadessetornaramreaiseastrocasdeinformaçõesseagilizarame,consequentemente, aEducaçãoaDistânciaexperimentouumcrescimentosignificativo.Fatosemelhante ocorreucomaevoluçãodossetoresdecomunicaçãotelevisiva,edefinitivamente,a Educação a Distância se consolidou incorporando novas formas de comunicação. O Ministério da Educação, através da Secretaria de Educação a Distância (SEED) tem promovido uma ampla difusão de vários cursos a distância, em parceria com diversas Instituições Públicas de Ensino Superior (IPES). O curso de Física em EAD da UniversidadeEstadualdeMaringá(UEM)foiimplantadocomtotalapoiodessesórgãosoficiais.Possuidisciplinasidênticaseomesmoconteúdoprogramáticodocurso presencial. Entretanto, existem pontos entre ambos, que não podem convergir devido ao enfoque: enquanto o curso presencial requer uma metodologia característica, com a relação professor-discente acontecendo quase que exclusivamente dentro de um espaçofísicopróprio,ocursoadistânciadeveabrangereconsiderararelaçãoespaço-temporalparaefetivaroaprendizado.Acoleçãoqueoraapresentamosrefleteessa preocupação. Os volumes foram escritos por professores que possuem experiência suficienteparaelaboraroconteúdoadequadoacadadisciplinae,deformabastante consistente,elegerostópicosexigidosparaaformaçãodeumlicenciadoemFísica.O leitorperceberáque,mesmodentrodeumúnicolivroescritopordiversosautores, a linguagem não é uniforme e os enfoques são diferenciados; enfim, preservamos tantoquantopossívelasparticularidadesrespeitando-seasexperiênciasindividuaise, certamente,issoserefletenaapresentaçãodoconteúdoenoestilodeexposiçãodo 7 FÍsiCa gEral iv material didático. Adicionalmente uma parcela do corpo docente do Departamento de Física – UEM tem se dedicado à tarefa de produção de textos direcionados a Educação a Distância, os Departamentos de Matemática, de Química, de Fundamentos da Educação e de Informáticatêmcontribuídocomostextospertinentesàsdisciplinasqueusualmente ministramnamodalidadePresencial.Aofinaldoquartoano,acoleçãocontarácom maisdetrintavolumes.Essesforamgeradoscomoobjetivodeproporcionaraodiscente da Educação a Distância um material produzido pelo empenho de um conjunto deprofessoresqueacreditamqueaEducaçãoaDistânciasejaumaalternativapara supriradeficiênciadeprofessoresdeFísicanoensinomédio.Percebe-setambémque nãoéamodalidadedeensinoquedeterminaoaprendizado,maseledepende,acima detudo,doesforçoedadedicaçãodecadaum.Esperamosqueessacoleçãosejauma forma de tornar essa tarefa mais fácil de Física em EAD. Sonia Maria Soares Stivari Organizadora da Coleção 8 A presentação do livro Esteéoúltimolivrodefísicageraldestasérie.Desdeoiníciodaconstruçãodos livrosdefísicageral,sabíamosquenãopoderíamos,dentrodequatrolivros,esgotartodo oconhecimentodefísicageral.Oquepretendíamoseradarumabasedeconhecimento seguraparaqueoestudantepudesseentenderoseumeioambientedentrodosconceitos básicosdafísica.Esperamosqueonossoobjetivotenhasidoalcançado. Começamostratandodofenômenodomagnetismoemmateriais.Omagnetismodos materiaistevenosúltimosanosumavançosignificativo,tantonosentidodenovosmateriaiscomonasuaaplicabilidade.Ocapítulo2descrevealgunsfenômenosrelacionados a sistemas com corrente alternada, culminando no entendimento da recepção e emissão deondasderádioeoutras.Ocapítulo3,tratadasequaçõesdeMaxwell,nosentidode fazerumresumobásicodoeletromagnetismoecomessasequaçõesdescreveranatureza ondulatóriadaluz.AsequaçõesdeMaxwellestãoparaomagnetismo,assimcomoasleis deNewtonestãoparaaMecânica.Aóticageométricaévistanoscapítulos4,5,6e7,onde podemoscompreenderocaminhodeumfeixedeluzatravésdelentesourefletidosporespelhos.Comesseconhecimentopodemosentenderinstrumentossimplesdeótica(óculos, telescópios,microscópios,eoutros).Nocapítulo8,apresentamosoefeitodeinterferência eoefeitodedifração,oquenoslevaaoconceitodaluzcomoonda.Nocapítulo9,aluzé tida com uma partícula, onde podemos entender a emissão e absorção da luz por átomos. Para um melhor entendimento, cada capítulo tem uma série de exemplos e exercícios propostos. Uma atenção especial deve ser dada a estes exemplos e exercícios. OsautoresdedicamestapequenaobraàmemóriadaProfessoraDoutoraMarleteAparecidaZamprônio.Aela,nossahomenagempeloesforço,dedicaçãoe,principalmente, amizadedemonstradosporelaanósnosnossosanosdetrabalhoeconvivênciamútua. OS AUTORES 9 1 Propriedades Magnéticas da Matéria 1.1 introdução 1.2 diamagnetismo e paramagnetismo 1.3 Ferromagnetismo e paramagnetismo 11 FÍsiCa gEral iv Figura 1.1 tschi-nan-kiu: primeiras bússolas usadas pelos chineses 1 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA 1.1 Introdução A palavra magnetismo está conectada ao acontecimento pelo qual um ente tem o poder de atrair e influenciar outro ente. A origem do nome está ligada ao nome da província de Magnésia (região da atual Turquia), que era rica em magnetita (minério de ferro). As propriedades magnéticas da matéria foram observadas por povos mesmo da antiguidade. Possivelmente, foram os gregos (por volta de 800 a.C.) que refletiram primeiramente sobre as propriedades da magnetita (Fe2O4). Este mineral, que no seu estado natural, comumente tem o poder de atrair o ferro e outros metais. A primeira aplicação prática de materiais magnéticos foi provavelmente a bússola. É fato que a bússola é uma invenção chinesa muito antiga (figura 1.1). Os chineses usaram primeiramente a bússola viajando pela terra. Estes objetos eram carruagens com uma pequena estátua. A estátua poderia girar em torno de um eixo e teria um braço esticado em que ficava situada uma barra magnética. O braço indicava sempre o sul. Estas carruagens com a bússola eram denonimadas tschi-nan-kiu. Os imperadores usaram estas carruagens ao visitar regiões remotas de seu império vasto. Considera-se ter sido o inventor destas carruagens com a bússola o imperador Tsche-UKung, que governou ao redor de 110 a.C. Existem relatos mais antigos do uso de bússolas pelos Chineses. 1.2 Diamagnetismo e Paramagnetismo Na matéria, a origem de seus momentos magnéticos µ , permanentes ou induzidos, e pela natureza da interação entreeles determina o comportamento dos materiais magnéticos em um campo magnético aplicado Bapl . Os momentos magnéticos µ podem proceder do momento angular orbital e no spin dos elétrons nos íons ou átomos que formam a matéria, portanto, dependem da distribuição eletrônica dos átomos e moléculas. A grandeza macroscópica que representa o estado magnético de um material é o vetor magnetização, representado pela letra M e é definida como: → M= dµ dV Figura 1.2 Modelo de espiras elementares de corrente. A corrente total no interior é nula, mas resulta em uma corrente superficial análoga à observada em um solenóide Vamos considerar uma barra de um material qualquer e um campo magnético Bapl aplicado na direção x, conforme mostrada na figura 1.2. Segundo a lei de Ampère, a aplicação do campo magnético intenso resulta em correntes microscópicas, que podem ser correntes circulares e estão em um plano perpendicular a x. A homogeneidade da distribuição das correntes faz com que a corrente em qualquer curva interior seja zero, pois as correntes vizinhas se cancelam. Como fora do material não existem correntes vizinhas para anular a contribuição interna, resultará em uma corrente superficial, conforme a Figura 2. Seja jm a intensidade de corrente por unidade de comprimento, então, o infinitesimal da corrente superficial é dada por: di = jm dx portanto O momento dipolar magnético µ m é igual ao produto da área A e a corrente superficial, d µm = ( diA ) iˆ d µm = ( jm dxA ) iˆ d µm = ( jm dV ) iˆ onde dV é o elemento de volume e o momento dipolar magnético tem a mesma direção do campo magnético aplicado. 12 Por definição, a magnetização M é: = M d µm = jm dV propriedades Magnéticas da Matéria O módulo do vetor magnetização é igual à corrente por unidade de comprimento. Este resultado demonstra que a unidade da magnetização M é ampères por metro [A/m]. Voltemos a nossa barra de ferro da figura 1.2. O efeito observado é o mesmo de um solenóide cilíndrico percorrido por uma corrente elétrica i. O módulo do campo magnético produzido por um solenóide de n espiras e corrente elétrica i é dado por Bm = µo ni . Substituindo ni pela magnetização M, temos que o campo magnético B produzido pelas correntes superficiais no interior de cilindro é dado por: Bm = µo M Este produzido campo magnético Bm é resposta a um campo magnético Bapl aplicado. Portanto, o campo magnético resultante B é a soma vetorial dos campos Bext e Bm . = B B + Bm apl = B Bapl + µo M Aqui podemos começar a definir os diferentes tipos de ordens magnéticas. Materiais paramagnéticos e ferromagnéticos têm o vetor magnetização M na mesma direção e sentido do vetor Bapl . Isto quer dizer, que há um aumento do campo magnético resultante. Ao contrário, o vetor magnetização M tem sentido contrário do vetor Bapl nos materiais diamagnéticos. Para os materiais paramagnéticos e diamagnéticos, a magnetização é proporcional ao campo magnético aplicado, responsável pelo alinhamento dos dipolos magnéticos no interior do material. Podemos, assim sendo, escrever Bapl M = χm µo onde χ m é denominado susceptibilidade magnética. A Tabela 1.1 mostra valores da susceptibilidade magnética de diversos materiais. Nos materiais diamagnéticos, a susceptibilidade magnética χ m é negativa e independe da temperatura. Nos materiais paramagnéticos, χ m é positiva e depende da temperatura (ver figura 1.3). Material Diamagnético χm Bismuto −1, 6 ×10−5 −0,98 ×10−5 −9,9 ×10−9 Cobre Hidrogênio (1atm) Paramagnético Alumínio Titânio Oxigênio (1atm) 2,3 ×10−5 7, 06 ×10−5 2090 ×10−9 Tabela 1.1 Exemplo de alguns materiais diamagnéticos e paramagnéticos Figura 1.3 Dependência da susceptibilidade magnética com a temperatura de materiais diamagnéticos e paramagnéticos Como podemos observar na tabela 1.1, materiais diamagnéticos são aqueles que apresentam valores de susceptibilidade magnética pequenos e negativos. A causa do diamagnetismo são elétrons emparelhados existentes em quase todos os átomos. O momento magnético orbital 13 FÍsiCa gEral iv de um único elétron atômico pode ser calculado considerando um elétron movendo-se em órbita circular de raio r. O momento magnético µ = IA associado corrente I e a área A é dado por: µ = IA Substituindo a área A = π r e a corrente I = q T , onde é o período de rotação. , por sua vez, pode ser escrito como T = (v) (2π r ) , assim, qπ r 2 qπ r 2 v 1 µ qrv = IA = = = T 2π r 2 1 = µ qr × v 2 2 Desta forma obtemos o momento magnético µ associado à carga, ao raio da orbita e à velocidade (figura 1.4). O valor encontrado experimentalmente é de cerca de alguns magnétons de Bohr. Mais tarde, vamos usar este momento para entender outros tipos de materiais magnéticos. Por enquanto, vamos nos concentrar em materiais diamagnéticos. Figura 1.4 Momento magnético de elétron em órbita circular Podemos entender o fenômeno examinando a figura 1.5a, onde dois elétrons emparelhados se movem em uma órbita circular com a mesma velocidade, mas em sentidos opostos. Sabemos que o momento magnético associando à carga, raio da órbita e a velocidade é dado por: 1 = µ qr × v 2 Observamos pela figura 1.5a e pela equação acima, que sem campo magnético aplicado, os momentos magnéticos µ1 e µ2 se cancelam. Eles se cancelam, pois os vetores velocidade têm a mesma intensidade, mas sentidos opostos. Quando aplicamos um campo magnético Bapl (figura 1.5b), as cargas negativas experimentam uma força adicional F= qv × B . O sentido da força na primeira carga é para o centro da órbita, no mesmo sentido da força Para que centrípeta. a carga permaneça na mesma órbita, ela precisa aumentar a velocidade v1 em um ∆v , até que o acréscimo de velocidade anule a força adicional. Portanto, o momento magnético µ1 da primeira carga aumenta. No caso da carga à direita, a força provocada pelo Bapl é para fora da órbita, no sentido contrário da força centrípeta. Portanto, há uma diminuição da velocidade v2 em uma quantidade ∆v . Assim sendo, omomento magnético µ2 diminui. Podemos que, quando observar aplicado um campo magnético Bapl , a soma dos momentos magnéticos µ1 e µ2 não se cancela e a resultante tem sentido contrário ao do campo magnético aplicado. Estes materiais são denominados de diamagnéticos. Estes momentos magnéticos induzidos responsáveis pelo diamagnetismo são da ordem de 10-5 magnetons de Bohr. Este valor é muito menor que os momentos magnéticos permanentes dos átomos dos materiais paramagnéticos e ferromagnéticos. Portanto, o momento diamagnético dos elétrons emparelhados dos átomos é superado em muito pelo momento do alinhamento dos momentos magnéticos. Figura 1.5 Diamagnetismo – a) sem campo magnético aplicado o momento total é igual a zero. b) A aplicação de um campo Bapl resulta em um momento magnético contrário ao campo magnético aplicado, devido à diferença de velocidades dos elétrons 14 1.3 Ferromagnetismo e Paramagnetismo Nos materiais paramagnéticos e diamagnéticos se o campo aplicado for desligado, a magnetização M vai para zero. Os materiais ferromagnéticos, em alguns casos, apresentam magnetização mesmo na ausência de um campo aplicado. Podemos entender isto, pois estes materiais possuem momentos magnéticos permanentes dos átomos ou elétrons e a interação entre eles é forte suficiente para um alinhamento dos momentos magnéticos. Quando os momentos magnéticos de um material estão totalmente alinhados, o momento magnético por unidade de volume do material é igual ao produto do número de átomos por unidade de volume n pelo momento magnético μ de cada átomo. A magnetização do material, neste caso, é denominada de magnetização de saturação M S e é escrita da seguinte forma: M S = nµ relação: propriedades Magnéticas da Matéria Para obtermos o número de átomos por unidade de volume n, temos que utilizar a seguinte número de Avogado N A densidade do material ρ Massa molar M átomos 6, 02 ×1023 mol ρ kg n= m3 kg M mol O elétron gira em torno de seu próprio eixo, portanto, tem um momento magnético intrínseco. Este processo de rotação em torno de seu próprio eixo é denominado de spin. O momento magnético do spin do elétron é igual a um magnéton de Bohr µ B , cujo valor é µ B =× 9, 27 10−24 A.m 2 =× 5, 79 10−5 eV / T n= Por conveniência, os valores de momento magnético são geralmente escritos em magnétons de Bohr. Exemplo 1 Calcule a) a magnetização de saturação e o b) campo magnético para o caso do cobalto, que tem 1,7 magneton de Bohr por átomo. Solucão: A magnetização de saturação M S é dada por M S = nµ . Para o cobalto, a massa atômica ρ 8,90 ×103 kg / m3 , portanto, = M 58,93 ×10−3 kg / mol e a densidade é= átomos 6, 02 ×1023 NA mol 8,90 × 103 kg = ρ n = m3 M kg 58,93 ×10−3 mol = n 9, 09 ×1028 átomos / m3 µB 9, 27 ×10−24 A.m 2 , assim, O magnéton de Bohr = MS = nµ = (1, 7 ) (9, 09 ×1028 átomos / m3 )(9, 27 ×10−24 A.m2 ) M= 1, 4 ×106 A.m S O campo magnético no interior é: Bm = µo M Bm = (4π ×10−7 T .m / A)(1, 4 ×106 A.m) Bm = 1, 76 T A principal causa do ferromagnetismo, e também do paramagnetismo, são os elétrons não emparelhados existentes em alguns materiais. Como vimos, o momento magnético associado à carga, ao raio da órbita e à velocidade é (figura 1.4): 1 qr × v = µ 2 Portanto, cada átomo que tem um elétron não emparelhado contribui para uma magnetização M não nula do material (em geral, os materiais têm menos de um elétron livre por átomos). O paramagnetismo é observado em materiais cujos átomos possuem momentos magnéticos que não interagem fortemente. Na ausência de campo magnético aplicado, esses momentos magnéticos µ mudam de orientação aleatoriamente com o tempo e a soma total dos momentos 15 FÍsiCa gEral iv magnéticos é nula (figura 1.6). Os momentos magnéticos tendem a alinhar-se paralelamente a um campo magnético aplicado, mas a agitação térmica tende a desalinhar os momentos. Portanto, este alinhamento é parcial e dinâmico e depende do valor do campo magnético aplicado e da temperatura. A energia potencial de um dipolo magnético de momento µ em um campo magnético aplicado Bapl é dada por: U= − µ Bapl cos θ = − µ Bapl A energia potencial é mínima quando o momento e o campo magnético apontam na mesma direção ( θ = 00 ) e máxima quando o momento e o campo apontam em direções opostas ( θ = 1800 ). A diferença é igual a 2µ Bapl . Para um momento magnético típico de 1 magnéton de Bohr e um elevado valor de campo magnético aplicado de 2T, a diferença de energia potencial é ∆U= 2 µ Bapl= 2(5, 79 ×10−5 eV / T )(2T )= 2,32 ×10−4 eV A energia térmica à temperatura ambiente é kT = (8, 62 ×10−5 eV / K )(300 K ) = 2,59 ×10−2 eV Podemos perceber que a agitação térmica é muito maior. Mesmo com um valor elevado de campo magnético aplicado, um alinhamento total dos momentos magnéticos não é possível, a menos que a temperatura seja suficientemente baixa. No caso anterior, a energia térmica se iguala à diferença da energia potencial em 2,7 K. Para um alinhamento total seria necessário uma temperatura menor que 2,7 K. Figura 1.6 Paramagnetismo e ferromagnetismo No ferro, níquel, cobalto e em muitas ligas destes metais é observado o ferromagnetismo. O fenômeno é causado por uma forte interação entre os momentos individuais. Esta interação é denominada interação de troca, e faz com que os materiais tenham uma energia menor se os momentos magnéticos estiverem apontados nos mesmos sentidos do que estiverem apontando em sentidos opostos (figura 1.6). Os materiais ferromagnéticos têm valores positivos muito altos de susceptibilidade magnética. Nestes materiais, a aplicação de um pequeno campo magnético externo pode resultar em um alto grau de alinhamento dos momentos magnéticos. Nos materiais ferromagnéticos, o alinhamento pode persistir mesmo depois que o campo magnético aplicado for zerado (figura 1.6 e 1.7). A agitação térmica sempre tenta provocar desordem nestes sistemas. Acima de uma determinada temperatura, denominada temperatura de Curie, a agitação térmica é suficiente para romper este alinhamento e o material ferromagnético se torna paramagnético. Vamos analisar um pedaço de ferro no interior de um solenóide. Quando aumentamos a corrente I do solenóide, um campo magnético Bapl = µo nI é produzido e o ferro é magnetizado. Consideremos o solenóide suficientemente longo, de tal forma que possamos ignorar a influência das extremidades. Assim, podemos escrever o campo magnético resultante B como: = B Bapl + µo M ( ) Como M = χ m Bapl / µo , temos, = B Bapl (1 + χ m ) O parâmetro (1 + χ m ) é denominado permeabilidade do material K m e substituindo o campo magnético aplicado Bapl = µo nI , portanto, B = K m µo nI Portanto, o campo magnético resultante B para uma determinada corrente I depende da permeabilidade do material K m . Nos materiais ferromagnéticos, o campo magnéticoobservado B não varia linearmente com a corrente I, isto é, com o campo magnético aplicado Bapl (figura 7). Portanto, a permeabilidade K m não é constante. O valor máximo de K m acontece para uma magnetização menor do que a magnetização de saturação M S . A tabela 1.2 mostra valores de campos magnéticos de saturação µo M S e o valor de K m de alguns materiais ferromagnéticos. 16 propriedades Magnéticas da Matéria Figura 1.7. Curva de magnetização de um ferromagnético. Observamos a dinâmica dos domínios do próprio material. Inicialmente, o material tem seus domínios magnéticos distribuídos de tal forma que a magnetização é igual a zero. Com o aumento do campo há um aumento de alguns domínios em detrimento de outros. Finalmente, quando o campo é suficientemente grande, todos os momentos magnéticos estão na mesma direção e a magnetização é máxima e é denominada magnetização de saturação MS. Quando o campo aplicado é desligado o material permanece magnetizado, e a magnetização é chamada de magnetização remanente MR. No processo de magnetização de um material ferromagnético, dois processos são observados (ver figura 1.7). O primeiro é o aumento do tamanho dos domínios cuja orientação se aproxima da do campo magnético aplicado. Segundo é a variação conjunta da orientação de todos os dipolos de um mesmo domínio, passando para uma nova orientação mais próxima da do campo magnético aplicado. Quando o campo magnético aplicado é removido, as fronteiras dos domínios não retornam completamente à sua configuração original, e permanece uma magnetização não nula no material, chamada de magnetização remanente MR. Outros efeitos magnéticos, profundamente relacionados ao ferromagnetismo, são encontrados nos materiais, como por exemplo o antiferromagnetismo e o ferrimagnetismo (figura 1.8). Nos materiais antiferromagnéticos, a interação de troca mantém os momentos magnéticos adjacentes numa configuração rigidamente antiparalela. O efeito é uma magnetização nula. Acima de uma determinada temperatura, chamada de temperatura de Neel, a agitação térmica proporciona a quebra das interações de troca entre os momentos magnéticos e o material passa a ser paramagnético. Nos materiais ferrimagnéticos, a interação de troca também mantém os momentos magnéticos adjacentes numa configuração antiparalela, mas como os momentos magnéticos não são idênticos, a magnetização não é nula. Como nos casos anteriores, a interação de troca de um ferrimagnético é quebrada, quando o material é aquecido acima de uma determinada temperatura. Figura 1.8. Antiferromagnetismo e ferrimagnetismo. 17 Temperatura de ordenamento magnético (temperatura de Curie) Momento magnético μ por átomo Gadolínio 293,4 K 7,55 μB Térbio 220 K 9,34 μB Disprósio 86 K 10,33 μB Ferro 1044 K 2,217 μB Cobalto 1360 K 1,729 μB Níquel 628 K 0,617 μB EuO 69,2 K 7,0 μB CrO2 392 K 2,03 μB 560 K 5,03 μB FÍsiCa gEral iv Y3Fe5O12 Tabela 1.2 Propriedades de alguns ferromagnetos. Exemplo 2 Coloque uma barra de ferro pendurada em fio pelo centro em um campo magnético inicialmente perpendicular à barra. Se a barra for solta, ela começar a oscilar. Descubra o momento magnético da barra. Solução: Sabemos que o vetor torque τ que age na barra é igual ao produto vetorial entre o vetor momento magnético da barra e o vetor campo magnético, assim, τ= µ × B τ = µ Bsen θ Para pequenos ângulos sen θ ≈ θ , portanto, τ = − ( µ B )θ O torque τ pode ser escrito como o produto entre o momento de inércia I e a aceleração angular α , τ = I α = − ( µ B )θ Como a aceleração angular α é a segunda derivado da posição angular θ em relação ao tempo, temos, d 2θ µB θ =− 2 dt I Uma solução possível da equação anterior é θ = Acos (ωt ) , onde ω é a frequência angular. Substituindo a solução possível na equação anterior obtemos ω2 = Assim, o momento magnético µ é µ= µB I ω2I B Como é mais fácil medir o período de oscilação T e como ω = 2π / T , temos finalmente momento magnético µ = 4π 2 I T 2B Há duas classes de grandes classes de materiais magnéticos: os isolantes, que têm momentos magnéticos permanentes, e os metais, onde o magnetismo é de elétrons itinerantes ou de elétrons da banda. Por volta de 1950 foram consolidados os mecanismos básicos do magnetismo dos momentos magnéticos permanentes (isolantes), utilizando a mecânica quântica. Naquela época, havia grandes mistérios no magnetismo dos metais. Somente em 1963, John Hubbard propôs um modelo para o magnetismo itinerante, que é muito empregado até hoje, mas que tem enormes dificuldades de cálculo. Os materiais magnéticos exercem um grande papel na tecnologia atual, pois encontramos aplicações nos mais variados campos, em um grande número de produtos e processos industriais. Estas aplicações vão desde imãs permanentes que são usados em fechaduras, motores elétricos, 18 balanças eletrônicas, sensores de posição, etc., até em análise na medicina e componentes sofisticados que são usados na indústria de computadores e sistemas de comunicação. Atualmente, uma das principais aplicações está na área de gravação magnética de dados. propriedades Magnéticas da Matéria Exercícios 1) Calcule: a) a magnetização de saturação; b) o campo magnético para o caso do ferro, que tem 1 magneton de Bohr por átomo. 2) Em que temperatura a magnetização de saturação de um material paramagnético será igual a 1% do valor de saturação para um campo magnético aplicado de 1T? (considerar µ = µ B ). 3) Um campo de 1,0 T é aplicado a um gás paramagnético que tem um momento magnético −9 de 2090 × 10 (oxigênio). A que temperatura a energia cinética do gás se iguala à energia necessária para alinhar os momento magnéticos? 4) Coloque uma pequena barra (raio 1mm e 15 mm de comprimento) pendurada em fio pelo centro em um campo magnético de 0,01T inicialmente com um ângulo de 30O em relação à barra. Se a barra for solta, ela começará a oscilar com um período de 1 segundo. Descubra o momento magnético da barra. 5) Um solenóide é percorrido por uma corrente constante. Quando um líquido é introduzido o campo magnético diminui 0,005%. Qual a susceptibilidade magnética do líquido? 6) O núcleo de titânio de um solenóide longo com corrente constante é retirado. Qual é a variação percentual do campo magnético? 7) O ferro tem o valor máximo da permeabilidade K = 5500 para um campo magnético aplicado Bapl = 1, 6 ×10−4 T . Calcule a magnetização M. 8) Em que casos a susceptibilidade magnética é positiva? 9) Uma partícula pode ter momento magnético e não ter momento angular? 19 FÍsiCa gEral iv Anotações 20 propriedades Magnéticas da Matéria Anotações 21 FÍsiCa gEral iv Anotações 22 2 Circuitos de Corrente Alternada 2.1 Corrente alternada 2.2 valor rMs 2.3 resistores em circuitos Ca 2.4 indutores em Circuitos Ca 2.5 Capacitores em circuitos de Ca 2.6 Circuitos lC sem gerador 2.7 Circuito rlC sem gerador 2.8 Circuitos rlC Com gerador 23 FÍsiCa gEral iv 2 CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 2.1 Corrente alternada Quase que na sua totalidade a energia elétrica é produzida por geradores de corrente alternada (c.a.) e assim transmitida. Entende-se alternada quando a tensão varia com o tempo, obedecendo a uma função senoidal (figura 2). Usando a indução magnética, a corrente alternada é produzida facilmente por geradores, onde a tensão é senoidal. No Brasil, a eletricidade é gerada tanto em 50 Hz (Hz = ciclos por segundo) como em 60 Hz. A corrente alternada tem vantagens em relação à corrente contínua quanto a transmissão e transformação para o usuário final. Como a perda por efeito Joule depende da corrente envolvida, a energia elétrica é transmitida através de grandes distâncias em alta tensão e baixa corrente. Ao chegar ao consumidor final, a tensão é diminuída. Esta diminuição da tensão é feita através de um transformador, que discutiremos neste capítulo. Alguns equipamentos usam diretamente a corrente contínua (alguns motores e sistemas resistivos), em outros equipamentos, corrente alternada é facilmente transformada em corrente contínua e utilizada. A figura 2.1 mostra um gerador de corrente alternada, que é constituído de uma bobina de área A e N espiras em um campo magnético uniforme. Figura 2.1 Gerador de corrente alternada c.a. Tomamos a situação inicial, como mostrada na figura 1, quando a normal ao plano da bobina faz um ângulo θ com o campo magnético B , assim, o fluxo magnético através da bobina é dado por: Φm = NBAcosθ Se girarmos a bobina com uma velocidade angular ω, o fluxo que atravessa varia e assim é induzida uma tensão entre os terminais da bobina. Tendo δ o ângulo inicial, podemos escrever o ângulo θ em função do tempo t, assim, θ= ωt + δ Assim, o fluxo é dado por = Φ m NBAcos (ωt + δ ) Como a tensão induzida entre os terminais ε = − d Φm dt , temos, dΦ d [cos(ωt + δ )] dt dt ε= + NBAω sen(ωt + δ ) m ε= − = − NBA A tensão máxima ou tensão de pico produzida é ε max = + NBAω como: O ângulo inicial δ pode ser escolhido de tal forma que podemos escrever a tensão induzida = ε ε max cos (ωt + δ ´) A figura 2.2 mostra o gráfico de tensão induzida. Geralmente os geradores são muito mais complexos do que o modelo aqui apresentado, mas o princípio de funcionamento é o mesmo para um gerador de bicicleta ou um gerador em Itaipu (figura 2.3). 24 Circuitos de Corrente alternada Figura 2.2 Tensão induzida por um gerador de corrente c.a. Figura 2.3 Descida do primeiro rotor de gerador da hidrelétrica de Itaipu (http://www.gromow.com/A/ITAIPU.htm) 2.2 Valor RMS A maioria dos voltímetros e amperímetros é projetada para medir o valor médio quadrático (em inglês Root Mean Square = RMS ou rms) das tensões e correntes alternadas, e não o valor de pico. O valor rms de uma tensão, ε rms , é definido como: ε rms = (ε ) 2 med No caso de uma tensão senoidal, o valor médio de ε 2 é 1 2 (ε máx cos(ωt )) 2 = ε max (ε 2 )med = med 2 Portanto, o valor médio quadrático de uma tensão alternada é 1 ε rms = ε máx 2 Da mesma forma podemos desenvolver o valor médio quadrático de uma corrente alternada, e fica assim, 1 I rms = I máx 2 A potência instantânea é dada por P = ε I . A partir desta definição e substituindo as funções de corrente e tensão dependentes do tempo, podemos calcular a potência média Pméd , que é dada por: Pméd = ( ε I )méd Pméd = [ (ε máx cos(ωt ))( I máx cos(ωt )) ]méd Usando as relações I rms Pméd = ε máx I máx cos 2 (ωt ) 1 Pméd = ε máx I máx 2 1 1 ε máx , temos: = I máx e ε rms = 2 2 Pméd = ε rms I rms 25 FÍsiCa gEral iv A lei de Ohm é dada por ε = RI . Quando substituímos as funções de corrente e tensão dependentes do tempo, obtemos, (ε máx cos(ωt )) = R( I máx cos(ωt )) ε máx = RI máx Utilizando as relações conhecidas I rms = 1 1 ε máx , temos: I máx e ε rms = 2 2 ε rms = RI rms A relação entre a corrente rms e a tensão rms é a mesma que entre a corrente máxima e a tensão máxima. 2.3 Resistores em circuitos CA Figura 2.4 resistor em circuito de corrente alternada c.a. O circuito da figura 4 é construído com um gerador de c.a. e um resistor R. Usando a lei de malhas de Kirchhoff para este circuito, temos: ε − VR = 0 A queda de tensão VR no resistor é VR = RI e a tensão é ε = ε máx cos(ωt ) , portanto, ε máx cos(ωt ) − RI = 0 A corrente no resistor é dada por: I= ε máx cos(ωt ) R e resistência R é a corrente, que no caso é a tensão A razão entre a tensão máxima ε máx máxima ( I = ε máx / R ), assim, I = I máx cos(ωt ) Figura 2.5 Corrente e tensão em circuito com resistor e gerador de c.a. Podemos observar pela figura 2.5 e pelas equações de corrente e de tensão que a corrente está em fase com a tensão no resistor. Figura 2.6 Potência dissipada no resistor 26 Temos um pequeno problema em definir a potência P = I 2 R dissipada no resistor. Como a corrente oscila (figura 2.5), em alguns instantes ela é nula, portanto, a potência nestes instantes também é nula. Em outros instantes a corrente é máxima e assim a potência tem o seu maior valor. Valores da potência dissipada oscilam entre zero e o valor máximo e estes valores se repetem depois de cada ciclo (figura 2.6). Por essa razão, estamos interessados no valor médio da potência dissipada no resistor para um ou mais ciclos, assim, Circuitos de Corrente alternada 2 Pméd = I max cos 2 (ωt ) R med 2 2 Pméd = I max R cos (ωt ) med O valor média da função cos 2 (ωt ) é igual a ½, portanto 1 2 Pméd = I max R 2 2.4 Indutores em Circuitos CA Figura 2.7 Indutor em um circuito CA. Quando um indutor é ligado aos terminais de um gerador e a corrente está aumentado, a variação do fluxo magnético produz uma tensão contra a eletromotriz, conforme a lei de Lenz (figura 7). Portanto, a queda de tensão no indutor VL é dada por: dI dt Usando a lei das malhas de Kirchhoff no circuito, observamos que: ε − VL = 0 dI ε −L = 0 dt A tensão ε produzida pelo gerador é dada por ε = ε máx cos(ωt ) , assim dI L = ε máx cos(ωt ) dt ε dI = máx cos(ωt )dt VL = V+ − V− = L L Integrando os dois membros da equação: ∫dI = ∫ I= ε máx L cos(ωt )dt ε máx sen(ωt ) Lω ε Como (sen (ωt )) não tem dimensão, máx tem que ter dimensão de corrente, e é o Lω próprio valor de corrente máxima I máx , assim sendo, I = I máx sen (ωt ) π = (ωt ) cos ωt − , assim, Podemos escrever sen 2 π = I I máx cos ωt − 2 A figura 2.8 mostra a corrente e a tensão no circuito. Observamos, tanto pela figura como pelas funções de corrente e tensão, que a corrente está defasada de 90o em relação à tensão entre os terminais do indutor. Isto é simples de perceber. Quando a corrente I é nula, mas está aumentando, dI dt é máxima e assim a força eletromotriz induzida no indutor é também máxima. Um quarto de ciclo depois, a corrente I é máxima, e dI dt é nula e assim sendo VL é nula. 27 FÍsiCa gEral iv Figura 2.8 Tensão e corrente em um circuito constituído de um indutor e um gerador de c.a. A relação entre a corrente máxima e a tensão máxima é dada por I máx = ε máx Lω Esta relação é análoga à relação vista na lei de Ohm (V = RI ) . A grandeza Lω é denominada de reatância indutiva X L = Lω . A reatância indutiva tem a mesma grandeza da resistência R, isto é, em Ω (ohms). Podemos ver que para uma determinada tensão, quanto menor a indutância indutiva, maior será a corrente. A reatância indutiva X L não depende somente da indutância L, mas também da frequência ω : quanto menor a frequência, menor a reatância. Exemplo 1 Um indutor de 10,0 mH é ligado uma fonte ac de tensão máxima de 20,0 V. Qual é a amplitude da corrente se a frequência da fonte for de a) 1,0kHz e b)10,0 kHz Solução: a)Temos que a reatância indutiva X L para 1,0 kHz é X= L= ω L ( 0, 010 H )(1000 Hz=) Portanto, a corrente é escrita como: I= máx ε máx 20V = = 2A X L 10 H Hz b)No caso do frequência de 10,0 kHz, temos, X= L= ω L A corrente é 10 H Hz ( 0, 010 H )(10000 Hz=) 100 H Hz ε máx 20V = = 0, 2 A X L 100 H Hz Como podemos perceber a reatância indutiva X L aumenta com o aumento da frequência, e I= máx como consequência, a corrente diminui. 2.5 Capacitores em circuitos de CA Figura 2.9 Circuito composto por um capacitor e um gerador de c.a. A figura 2.9 mostra um circuito composto por um gerador de corrente alternada e um capacitor. A tensão gerada é dada por ε = ε máx cos(ωt ) e para determinar a corrente no sistema usamos a lei das malhas de Kirchhoff. ε − VC = 0 onde VC é a queda de tensão no capacitor, e é dada por VC = V+ + V− = assim 28 ε máx cos(ωt ) − Q C Q = 0 C Q = Cε máx cos(ωt ) A corrente é dada por: dQ I= dt Circuitos de Corrente alternada I = −ωCε máx sen (ωt ) O resultado da função sen (ωt ) não tem dimensão, portanto ωCε máx tem dimensão de corrente e é o valor máximo da corrente I máx = ωCε máx , assim I = − I máx sen (ωt ) Podemos escrever −sen (ωt ) =cos(ωt + π / 2) , portanto, π = I I máx cos ωt + 2 Figura 2.10 Corrente e a tensão em um circuito de corrente alternada com um capacitor A figura 2.10 mostra a corrente e a tensão em um circuito de corrente alternada com um capacitor. Podemos perceber que a corrente e a tensão não estão em fase, a tensão do capacitor está atrasada de 900 em relação à corrente. O processo é simples, a corrente do circuito I = dQ / dt é máxima quando a carga Q do capacitor é nula e, portanto, VC é nula. Um quarto de ciclo depois, a corrente é nula e a carga é máxima. Como vimos antes, o valor da corrente máxima está relacionado com a tensão máxima por: I máx = ωCε máx Podemos escrever assim I máx = ε máx 1/ (ωC ) onde 1/ (ωC ) é denominado de reatância capacitiva X C = 1/ (ωC ) . A reatância capacitiva é análoga à resistência R da lei de Ohm (V = RI ) , portanto, a dimensão de X C é também dada em Ω (ohms). A reatância capacitiva depende do valor da capacitância e da frequência. Exemplo 2 Calcule a potência dissipada a) em um indutor em um circuito de corrente alternada e b) em um capacitor em um circuito de corrente alternada. Solução: a) indutor: a potência é dada por: P =εI A tensão é ε = ε máx cos(ωt ) e a corrente é I = I máx sen (ωt ) , assim, P = ε máx cos(ωt ) I máx sen (ωt ) P = ε máx I máx cos(ωt )sen (ωt ) Usando a identidade trigonométrica cos (ωt ) sen (ωt ) = (1/ 2) sen(2ωt ) , podemos escrever a equação acima como: ε I P = máx máx sen(2ωt ) 2 O valor da função sen(2ωt ) altera de sinal duas vezes em cada ciclo, portanto os valores positivos anulam os negativos. Deste modo o valor médio da potência dissipada em um indutor é nulo. b) capacitor: a potência é dada por: P =εI No capacitor a tensão é ε = ε máx cos(ωt ) e a corrente é I = − I máxsen (ωt ) , assim, P = −ε máx cos(ωt ) I máx sen (ωt ) P = −ε máx I máx cos(ωt )sen (ωt ) 29 FÍsiCa gEral iv Como no caso anterior, podemos escrever cos (ωt ) sen (ωt ) = (1/ 2) sen(2ωt ) , assim sendo ε I P = − máx máx sen(2ωt ) 2 Os valores da função sen(2ωt ) se anulam durante o ciclo. De forma análoga ao indutor, o valor médio da potência dissipada em um capacitor é também nulo. Circuito a.c. Impedância Fase da corrente Relação de amplitude Potência média Resistor R R 00 VR = RI Pméd = ε rms I rms Indutor L X L = ωL -900 VL = X L I 0 capacitor C X C = 1/ ωC +900 VC = X C I 0 Tabela 2.1 Circuitos c.a. com gerador 2.6 Circuitos LC Sem Gerador Figura 2.11 Circuito LC sem gerador. O capacitor está carregado e então a chave S é fechada Quando um capacitor carregado com uma carga Q é ligado a um indutor L pela chave S (figura 2.11), uma corrente I flui no circuito. Usando a Lei das malhas de Kirchhoff, podemos escrever: dI Q L dt + C = 0 Note que os sinais da carga do capacitor e da corrente no circuito foram devidamente escolhidos. A corrente I pode ser substituída por I = dQ / dt , assim, d 2Q Q + = 0 dt 2 C d 2Q 1 = − Q dt 2 LC Temos que achar uma solução matemática para a equação anterior que descreve um circuito LC, isto é, uma função Q que satisfaça essa equação (denominada equação diferencial de segunda ordem). Podemos perceber que a segunda derivada de Q em relação ao tempo não é nula. Portanto, Q tem que ser dependente do tempo t. Assim, d 2Q(t ) 1 = − Q(t ) dt 2 LC Procuramos uma função de Q ( t ) , tal que a segunda derivada da função seja igual à função original com um sinal negativo. As funções trigonométricas seno e cosseno mostram esse comportamento, de maneira que podemos construir uma solução em torno de uma ou de ambas as funções. Uma sugestão para uma função-solução de x da equação anterior é: Q ( t ) = Q0 cos (ω0t ) L Substituindo a função solução e a segunda derivada na equação diferencial de segunda ordem, temos, 1 − w2 Acos (ω0t ) = − Acos (ω0t ) LC 30 ω0 2 = 1 LC ω0 = 1 LC Isto mostra que Q ( t ) = Q0 cos ( wt ) é uma solução do circuito LC e que a frequência angular ω0 = 1/ LC . Este resultado mostra que a carga oscila entre os valores de −Q0 e +Q0 com uma frequência angular ω0 . Para determinar a corrente no circuito, temos que I= assim, dQ dt Circuitos de Corrente alternada I= −ωQ0 sen (ω0t ) = − I 0 sen (ω0t ) Os gráficos da tensão e da corrente são mostrados na figura 2.12. Podemos perceber que a corrente e a carga não estão em fase, mas oscilam com a mesma frequência angular ω0 = 1/ LC . Figura 2.12 Carga e corrente em um circuito LC O comportamento de um circuito LC é análogo ao de um sistema massa mola. A indutância faz o papel da massa, a carga Q faz o papel da posição e o inverso da capacitância fazendo o papel da constante da mola. Num sistema massa mola, a energia total é constante e adota alternadamente as formas de energia potencial e de energia cinética. No circuito LC também dois tipos de energia se alternam, a energia elétrica armazenada no capacitor e a energia magnética armazenada no indutor. A energia elétrica U e é dada por: Ue = Podemos substituir Q por Q0 cos ( wt ) . Ue = A energia magnética armazenada é: 1 1 Q2 QV 2 = 2 2 C 1 Q02 cos 2 (ω0t ) 2 C Um = 1 2 LI 2 Substituindo I por − wQ0 sen ( wt ) , temos, 1 U m = Lw2Q02 cos 2 (ω0t ) 2 Como w2 = 1/ LC , temos, 1 1 2 2 Um = L Q0 sen (ω0t ) 2 LC 1 Q02 Um = sen 2 (ω0t ) 2 C A energia total do sistema é a soma de energia elétrica e da energia magnética, portanto: U Total = Ue + Um 1 Q02 1 Q02 cos 2 (ω0t ) + sen 2 (ω0t ) 2 C 2 C 1 Q02 cos 2 (ω0t ) + sen 2 (ω0t ) = U Total 2 C Como cos 2 (ω0t ) + sen 2 (ω0t ) é igual a 1, temos, = U Total 1 Q02 2 C Isto quer dizer que a energia total do sistema se mantém constante, não varia com o tempo. Ainda podemos perceber que a energia total é igual à energia inicialmente armazenada no capacitor. U Total = 31 2.7 Circuito RLC Sem Gerador FÍsiCa gEral iv Figura 2.13 Circuito RLC O circuito RL não apresentava uma resistência desprezível. Se esta resistência do sistema não for desprezível ou se ligarmos um resistor em série com o capacitor e o indutor, teremos um circuito RLC, como pode ser visto na figura 13. Usando a lei das malhas de Kirchhoff, temos, dI Q L + + IR = 0 dt C Substituindo a corrente I = dQ / dt , temos d 2Q Q dQ + +R = 0 2 dt C dt Esta equação é análoga à de um oscilador harmônico amortecido. Aqui a resistência faz o mesmo papel da força de arraste. A solução da equação anterior é L = Q ( t ) Q0 e onde = w´ RT − 2L cos( w´t + δ ) 1 R2 − 2 LC 4 L A figura 2.14 mostra os gráficos de carga Q(t ) e também da corrente I ( t ) = dQ / dt . Podemos observar que a amplitude decai obedecendo a uma função exponencial ( e entanto, o sistema continua oscilando ( cos( w´t + δ ) ). RT − 2L ). No Figura 2.14 – Corrente e Carga em um circuito RLC Se a resistência R for pequena, o valor da frequência angular tende a wo = 1/ LC , que é a frequência angular de um circuito LC (sem resistor). Também para resistência pequena o termo RT − 2L = Q ( t ) Q0 cos( wt + δ ) , que é a solução do circuito tende a 1. Assim, a solução tenderá para LC sem resistor. Quando R = 2 L / C , o valor de w será igual a zero. Neste caso, ocorre o chamado amortecimento crítico (figura 2.15). O sistema não oscila mais, e, ao ser deslocado e liberado, retorna à posição de equilíbrio sem oscilar. A condição de R maior que 2 L / C corresponde ao superamortecimento. O sistema não oscila, porém, retorna à sua posição de equilíbrio mais lentamente que no caso do amortecimento crítico. e Figura 2.15 Carga Q em função do tempo em um amortecimento crítico ( R = 2 L / C ) 32 2.8 Circuitos RLC Com Gerador Circuitos de Corrente alternada Figura 2.16 Circuito RLC com gerador A figura 2.16 apresenta um circuito com resistor indutor e capacitor em série com um gerador de corrente alternada. Este circuito é denominado de RLC. Quando aplicamos a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito RLC, obtemos: dI Q − − IR = 0 dt C onde ω é a frequência desta tensão gerada pelo gerador de corrente alternada. Como estamos interessados em determinar a corrente I, podemos substituir Q = ∫Idt e rearranjando, temos, dI 1 L − ∫Idt − IR = ε máx cos(ωt ) dt C A solução desta função é dada por ε máx = I cos(ωt + δ ´) Z onde Z é a impedância e é dada por 2 ε máx cos(ωt ) − L ( XL − Xc ) Z= e δ ´ é obtida por + R2 XL − Xc R tan ( δ ´) = Apesar da aparente complexidade da função da corrente em um circuito RLC, podemos observar que a corrente oscila na mesma frequência do gerador e que a amplitude máxima da corrente I máx é determinada pelos valores das reatâncias X L e X C (indutiva e capacitiva) e da resistência R. I máx = ε máx Z O cálculo da potência média é simples, pois o indutor e o capacitor não dissipam energia. Deste modo a potência média é fornecida somente ao resistor e é dada por: 1 2 Pméd = I máx R 2 Usando a relação I rms = I máx / 2 , temos 2 Pméd = I rms R Assim, substituído o valor da corrente máxima, temos, Pméd = 2 ε rms Z2 R A impedância total ao quadrado Z 2 é dada por: 2 Z 2 =( X L − X c ) + R 2 Substituindo os valores da indutância indutiva X L = ω L e da indutância capacitiva X L = 1/ ωC , obtemos, 2 1 + R2 Z 2 = ω L − ωC 2 L2 2 1 2 − Z2 = ω +R ω 2 LC Em um circuito LC sem gerador, a corrente oscila com uma frequência angular wo = 1/ LC , que denominaremos de frequência natural do circuito. Portanto, Z 2= L2 ω 2 (ω 2 − wo ) + R 2 2 33 Assim sendo, a potência média é dada por: FÍsiCa gEral iv Pméd = 2 ε rms Rω `2 L2 (ω 2 − wo ) + ω 2 R 2 2 O gráfico da potência média fornecida pelo gerador em função da frequência do próprio gerador é mostrado na figura 2.17 para dois valores de resistência R. Podemos perceber que quando o valor da frequência do gerador ω se aproxima do valor da frequência natural wo a potência aumenta. Este aumento da potência em torno da frequência natural é denominado de ressonância. Podemos perceber ainda pela análise do gráfico da figura 17, que quando a resistência é pequena, o pico de ressonância é estreito, e quando o valor da resistência aumenta, há um alargamento do pico de ressonância. O circuito absorve muito mais energia nas proximidades da frequência natural, por isso o aparecimento do pico de ressonância. Quando a resistência é grande esta absorção acontece em todas as frequências e o pico de ressonância diminui na sua altura e se alarga. Este alargamento é determinado pelo parâmetro largura de linha ∆ω , que é a largura do pico medido na metade da sua altura. A medida da nitidez da ressonância é o fator Q, que é definido como: Q= ω0 f 2π E ≈ 0= ∆E ∆f ∆ω Os circuitos RLC são usados em receptores de rádio. Variando o valor da capacitância, é possível mudar o valor da frequência natural do circuito. A ressonância acontece quando a frequência natural do circuito é igual à frequência usada por uma estação de rádio, que se deseja sintonizar. Na ressonância existe uma corrente relativamente grande no circuito da antena. Se o fator Q for grande, as correntes produzidas pelas frequências das outras estações fora da ressonância são muito menores do que as correntes produzidas pela frequência da estação para a qual o circuito esta sintonizado. Figura 2.17 Potência média em um circuito RLC com gerador em função da frequência do gerador Exemplo 3 R 100 Ω , um indutor de 30 mH , um capacitor Um circuito RLC é construído com um resistor = de C = 15 µ F e uma fonte com ε max = 10, 6V e freqüência f = 50 Hz . Calcule impedância Z, a corrente I rms e a potência média Pméd . Solução: A relação entre a frequência f e a frequência angular ω é dada por: ω = 2π f assim, = ω 2= π ( 50 Hz ) 314 rad / s A indutância capacitiva é dada por: X = c 1 1 = = 212 Ω ωC (314 rad / s )(15 ×10−6 C ) A indutância capacitiva é dada por: X c == ωl (314 rad / s )(30 ×10−3 C ) = 9, 4 Ω A impedância Z é dada por: = Z ( XL − Xc ) 2 2 + R= ( 9, 4 Ω − 212 Ω ) + (100 Ω= ) 2 2 Para calcular a corrente I rms , temos que calcular a tensão rms do circuito = ε rms ε= 10, 6= V / 2 7,5V max / 2 34 225 Ω Portanto, I= rms ε rms 7,5V = = 0, 0333 A Z 225 Ω Circuitos de Corrente alternada A potência é dissipada no resistor, assim sendo, 2 Pméd = I rms = R (0, 0333 A) 2 (100 Ω = ) 0,111W Transformadores A tensão produzida por uma hidroelétrica é aumentada para transporte em grandes distâncias, então, a tensão é baixada para uso doméstico, e em alguns casos é baixada novamente para uso em alguns equipamentos. Portanto, quando há necessidade e aumentar ou baixar a tensão, usamos um dispositivo denominado de transformador. A figura 2.18 mostra um transformador simples, no qual temos duas bobinas que compartilham o mesmo núcleo de ferro. A bobina ligada a uma fonte de corrente alternada é chamada de bobina primária, enquanto que a outra bobina é denominada de bobina secundária. O núcleo de ferro tem como função de concentrar a linhas de campo magnético, aumentar o campo magnético da bobina primária e também fazer com que o fluxo magnético seja o mesmo para ambas bobinas. O funcionamento do transformador está baseado no fato que a bobina primária cria um campo variável e induz uma diferença de potencial na bobina secundária. Figura 2.18 Transformador. Corrente elétrica, fluxo magnético e diferença de potencial em um transformador Vamos considerar um transformador com uma tensão CA V1 aplicada na bobina primária com N1 voltas. A bobina secundária tem N2 voltas. Ignorando as resistências internas, podemos usar a lei de malhas de Kirchhoff inicialmente na parte da bobina primária do transformador. Assim, d Φ mag = 0 V1 − N1 dt d Φ mag V1 = dt N1 temos: Usando agora a lei de malhas de Kirchhoff na parte da bobina secundária do transformador, V2 − N 2 d Φ mag d Φ mag dt dt = = 0 V2 N2 Como o fluxo magnético é idêntico para as duas bobinas, podemos igualar as funções de variação do fluxo magnético do lado à bobina primária e da bobina secundária V1 V2 = N1 N 2 Portanto, a tensão induzida V2 é dada por: V2 = V1 • • N2 N1 Para o número de voltas no primário maior que no secundário N1 > N 2 , temos que N 2 N1 < 1 , portanto V1 > V2 . Isto quer dizer que a tensão no secundário é menor que no primário. Neste caso, temos um transformador abaixador de tensão. Para o número de voltas no primário menor que no secundário N1 < N 2 , temos que N 2 N1 > 1 , portanto V1 < V2 . Neste caso, a tensão no secundário é maior que no primário. Para este caso temos um transformador elevador de tensão. Quando ligamos uma resistência R aos terminais da bobina secundária, surge no circuito da bobina secundária uma corrente I 2 . Em função desta corrente I 2 , um fluxo adicional N 2 Φ espira na bobina do 35 FÍsiCa gEral iv secundário surge. Este fluxo se opõe ao fluxo original. Contudo, a tensão entre os terminais da bobina primária é determinada pelo gerador c.a., que não depende do circuito secundário, isto é, a variação do fluxo magnético no primário deve permanecer a mesma, com ou sem a resistência no secundário. Assim sendo, para manter o fluxo original N1dΦ mag surge uma corrente adicional I1 . Esta corrente no primário produz um fluxo proporcional à N1I1 . A relação entre a corrente adicional I1 e a corrente I 2 no secundário é dada por: N1I1 = − N 2 I 2 onde o sinal negativo vem da defasagem das correntes de 1800. Como N1 N 2 = − I 2 I1 e N1 N 2 = V1 V2 e utilizando os valores rms, temos, V1,rms I1,rms = V2,rms I 2,rms O produto Vrms I rms é igual a potencia média Pméd , por conseguinte, P1,méd = P2,méd Logo, desprezando as perdas no próprio transformador a potência de entrada é igual à potência de saída de um transformador. Se o número de voltas N1 e N 2 for idêntico, a tensão de entrada é igual à tensão de saída. Normalmente, transformadores deste tipo são usados para isolar um equipamento da rede. Exemplo 4 Vamos considerar um transformador com 400 voltas no primário e 800 voltas no secundário. a) Calcule a diferença de potencial no secundário se aplicarmos uma voltagem ac de 120V no primário. b) Nesta configuração, o transformador é elevador ou abaixador de tensão? c) Se invertemos o transformador, e aplicarmos uma tensão de 240 V, qual a tensão de saída? Fazendo a inversão, o transformador é elevador ou abaixador de tensão? Solução: a)Temos que N1 = 400 , N 2 = 800 e V1 = 120V , portanto: N2 800 120V= 240V = V2 V= 1 400 N1 b) Como a tensão aumentou na saída, temos aqui um elevador de tensão. c) Se invertermos, temos que, N2 400 = V2 V= 240V= 120V 1 N1 800 d) Como a tensão diminui na saída, temos aqui um abaixador de tensão. Na prática, podemos utilizar um transformador que elevador de tensão como um abaixador de tensão. O que temos de fazer é invertermos a saída e a entrada do transformador. Exemplo 5 A resistência de um cabo usado em uma linha de transmissão é igual a 0,02Ω/km. Uma potência de 20kW é necessário passar por este cabo. Calcule a perda de potência por kilômetro (efeito Joule) se a tensão for de 100V e se a tensão for de 5kV. Solução: Se a transmissão for com uma tensão for de 120V, temos P 20000W = = 166 A I = V 120V A cada kilômetro temos uma resistência de 0,02Ω, assim o efeito Joule é dado por: 2 = P I= R 555,5W Se a transmissão for com uma tensão for de 5000V, temos P 20000W = = 4A I = V 5000V A cada kilômetro temos uma resistência de 0,02Ω, assim o efeito Joule é dado por: 2 = P I= R 0,32W Podemos perceber que a perda quando a tensão é baixa é mais alta do que quando a tensão é alta. Por isso, a vantagem de usar linhas de transmissão de alta tensão. 36 Exercícios 1) Quais as vantagens da corrente alternada sobre a corrente contínua? Circuitos de Corrente alternada 2) Quais são as potências média dissipadas em um indutor, um capacitor e um resistor quando submetidos a corrente alternada? 3) Quando submetidos a corrente alternada, quais são as diferenças de fases em um indutor, capacitor e resistor? 4) Um capacitor de 50,0 μF é ligado uma fonte ac de tensão máxima de 120 V. Qual é a amplitude da corrente se a frequência da fonte for de a) 300Hz e b)1 kHz? 5) Um indutor de 50,0 mH é ligado uma fonte ac de tensão máxima de 120 V. Qual é a amplitude da corrente se a frequência da fonte for de a) 300Hz e b)1 kHz? 6) Temos um circuito RC, que é construído com um resistor R= 10 Ω , um capacitor de C = 150 µ F e uma fonte com ε max = 7 V e frequência f = 60 Hz . Calcule indutância capacitiva, a corrente I rms e a potência média Pméd . 7) Um resistor R= 10 Ω , um indutor de 300 mH , e uma fonte com ε max = 7 V e frequência f = 60 Hz estão ligados em série (RL) . Calcule indutância indutiva, a corrente I rms e a potência média Pméd . 8) Um circuito RLC é construído com um resistor R= 10 Ω , um indutor de 300 mH , um capacitor de C = 150 µ F e uma fonte com ε max = 7 V e freqüência f = 60 Hz .Calcule impedância Z, a corrente I rms e a potência média Pméd . 9) Um capacitor de C = 150 µ F foi carregado por uma fonte de 10V e depois ligado a um indutor de 300 mH . Calcule a frequência de oscilação do circuito e a corrente máxima no circuito. 10) Um resistor R= 10 Ω e um indutor de 300 mH em série são ligados a um capacitor de C = 150 µ F carregado. O capacitor foi carregado por uma fonte de 10V. Calcule a frequência de oscilação do circuito e determine a equação da carga em função do tempo. 11) Um resistor R= 10 Ω , um indutor de 300 mH , um capacitor de C = 150 µ F estão ligados a uma fonte de corrente alternada de ε max = 7 V . Calcule a frequência de ressonância e a potência dissipada na ressonância. 12) A tensão na minha casa é de 120V e tenho um equipamento que funciona com 240 V e uma corrente de 15 A. Qual deve ser a relação N1 e N2 do transformador? Qual é a corrente de entrada? 13) A resistência de um fio usado em casa é igual a 0,00327Ω/m. Uma potência de 1000W é necessário passar por este fio de 20 metros. Calcule a perda de potência (efeito Joule) se a tensão for de 110V e se a tensão for de 220V. 14) Se você pudesse escolher a tensão (110 ou 220 V) e a frequência (50 ou 60 Hz), qual seria a sua escolha (justifique)? 37 FÍsiCa gEral iv Anotações 38 Circuitos de Corrente alternada Anotações 39 FÍsiCa gEral iv Anotações 40 3 3.1 Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas Corrente de deslocamento, Equações de Maxwell e ondas Eletromagnéticas. 3.2 velocidade de uma onda Eletromagnética 3.3 Energia de uma onda Eletromagnética 3.4 Momento de uma onda Eletromagnética 3.5 produção e detecção de ondas Eletromagnéticas 3.6 Espectro Eletromagnético 41 FÍsiCa gEral iv 3. EQUAÇÕES DE MAXWELL E ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 3.1 Corrente de Deslocamento, Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas. James Clerk Maxwell (1831 - 1879), grande físico escocês, propôsuma série de quatro equações que relacionam os vetores campo magnético B e campo elétrico E às suas fontes, que podem ser cargas elétricas, correntes ou campos variáveis. Portanto, elas delineiam, em princípio, todos os problemas clássicos de eletricidade e magnetismo. Infelizmente, em alguns casos elas requerem um tratamento matemático sofisticado demais. Mesmo assim, as equações de Maxwell são de imprescindível valor do ponto de vista conceitual, e a importância delas no eletromagnetismo é análoga à vista pelas leis de Newton, na mecânica clássica. No livro anterior foi apresentada uma introdução do eletromagnetismo. A tabela 1 mostra as equações básicas do eletromagnetismo. Você deve estar se perguntando onde está a lei de µ0 = Idl × rˆ / r 2 ). Certamente as duas citadas Coulomb ( F = kQq / r 2 ) e a Lei de Biot e Savart ( dB 4π são importantes, mas ambas podem ser deduzidas a partir das equações apresentadas na tabela 3.1. 1 1) ∫ E.dA = ε 2) ∫ B.dA = 0 S S 3) d Bn dA dt ∫S = − ∫ B.dl = µO I Lei de Gauss Lei de Gauss para o magnetismo ∫ E.dl C 4) Qno interior 0 Lei de Faraday Lei de Ampère C Tabela 3.1. Lista de equações básicas do eletromagnetismo para meios isotrópicos e não dispersivos (vácuo) Quando observamos a lista de equações básicas do eletromagnetismo, notamos que as equações possuem certas similaridades, apesar de assimetrias. Olhando a tabela 3.1, na equação 1, temos do lado direito a carga elétrica Qno interior , mas na equação 2 não encontramos o correspondente magnético no lado direito da equação. Essa assimetria se deve ao fato que embora exista centros de cargas isolados (elétrons, prótons e outros), não foi até hoje observado na natureza centros magnetismo isolados, os chamados monopólos magnéticos. De tal modo, na Lei de Faraday (equação 4) observamos do lado direito a corrente elétrica I, mas não encontramos uma corrente de monopólos magnéticos na Lei de Ampère (equação 3). Essas duas assimetrias nas equações foi motivação para procurar monopólos magnéticos, coisa que ainda não foi observada. Ainda na tabela 3.1, podemos observar na lei de Faraday que se há variação do campo magnético, existe um campo elétrico (equação 3). Na Lei de Ampère, o efeito contrário correspondente (variação do campo elétrico produz um campo magnético) não é contemplado. Maxwell apontou uma falha na lei de Ampère. O problema não é só de simetria, mas surge quando a corrente é descontínua, com no caso de um capacitor. A figura 1 mostra um capacitor sendo carregado. Tanto as superfícies S1 e S2 são limitadas pela curva C. A corrente que atravessa a superfície S1 é I, mas a corrente que atravessa a superfície S2 é nula. A Lei de Ampère afirma que a integral do campo magnético ao longo de qualquer curva fechada é proporcional à corrente que atravessa qualquer superfície limitada pela curva. Na figura 3.1, vemos um caso em que a corrente depende da superfície limitada pela curva. Experimentos mostram realmente a existência de campo magnético produzido em campos elétricos variáveis no interior de um capacitor. Figura 3.1 Capacitor de placas paralelas e duas superfícies S1 e S2, delimitadas pela curva C (tracejada). Podemos observar que a corrente passa pela superfície S1, mas não passa pela curva S2 Maxwell sugeriu que a lei de Ampère pode ser generalizada para cobrir todas as situações somando um outro termo, que chamou de corrente de deslocamento I d , assim definido: 42 Id = ε 0 d Φe dt onde Φ e é o fluxo do campo elétrico e a forma generalizada da lei de Ampère fica assim, Equações de Maxwell e ondas Eletromagnéticas B .dl µO ( I + I d ) ∫ = C d Φe dl µO I + µOε 0 C∫ B.= dt Como o fluxo elétrico Φ e =∫En dA S dl ∫ B.= C µO I + µOε 0 ∫En dA S Exemplo 1 Considerando o capacitor da figura 1, com 10 cm de lado, sendo carregado, determine o campo magnético no interior das placas, em um ponto a 2 cm do centro, se a corrente instantânea que entra na placa positiva é de 2A. Solução: Se o capacitor está sendo carregado, a corrente que chega às placas não é constante. Desta forma o campo elétrico entre as placas varia com o tempo, assim sendo, temos pela lei da Ampère generalizada um campo magnético entre as placas e paralelo as placas. Usando a lei de Ampère generalizada, sem corrente (no interior das placas não temos corrente I) dΦ B C∫ .dl = µOε 0 dt e d Φe dt O fluxo elétrico Φ e é o produto da área delimitada pelo raio r (π r 2 ) e o campo elétrico entre as placas E = σ / ε 0 . A densidade de carga σ é igual à carga total dividida pela área das placas A. Assim, d (π r 2Q / ε 0 A ) d ( Aσ / ε 0 ) ε µ ε = B ( 2π r ) µ= O 0 O 0 B (2π r ) = µOε 0 dt dt Somente a carga varia com o tempo e a variação da carga em relação ao tempo é a corrente ( dQ / dt = I ), assim sendo, µOε 0π r 2 dQ µOπ r 2 B ( 2π r ) = I = A ε 0 A dt = B µO r = I 2,5 ×10−6 T 2A Com a modificação da Lei de Ampère, Maxwell resumiu o comportamento dos campos elétrico e magnético, bem como suas interações com a matéria, em um grupo de quatro equações, vistos na tabela 3.2. Este grupo é denominado de Equações de Maxwell, assim chamadas em honra de James Clerk Maxwell, e funciona em meios isotrópicos e não dispersivos (vácuo). 1) C 2) 3) 4) 1 0 ∫ E.dA = ε ∫ B.dA = 0 C Qno interior d C∫ E.dl − dt ∫S Bn dA d dl µO I + ε O µO ∫En dA C∫ B.= dt S Lei de Gauss Lei de Gauss para o magnetismo Lei de Faraday Lei de Ampère-Maxwell Tabela 3.2 Equações de Maxwell para meios isotrópicos e não dispersivos (vácuo). 43 FÍsiCa gEral iv A lei de Gauss garante que o fluxo do campo elétrico ( Φ =∫ En dA ) através de qualquer superfície C fechada é proporcional à carga no interior dessa superfície. Por sua vez, a lei de Gauss para o magnetismo afirma que o fluxo do campo magnético através de uma superfície fechada é nulo. Ela é uma consequência da não existência de pólos magnéticos isolados. A lei de Faraday relaciona a integral do campo elétrico ao longo de qualquer curva fechada e o negativo da taxa de variação do fluxo do campo magnético através de qualquer superfície fechada é nulo. Lei de Ampère-Maxwell ou Ampére generalizada mostra que a integral do campo magnético ao longo de qualquer curva fechada é igual à soma de dois termos: o primeiro é o proporcional à corrente que atravessa qualquer superfície limitada pela curva: o segundo é o proporcional à taxa de variação do fluxo do campo magnético através da mesma superfície. Em meios anisotrópicos e dispersivos, os campos E e B da Lei de Gauss e a Lei de Ampère-Maxwell são relacionados D e H por: D = ε E e H = µB onde: D é o campo elétrico de deslocamento ou densidade superficial de campo elétrico (unidade SI: coulomb por metro quadrado), H é a intensidade de campo magnético (unidade SI: ampère por metro), ε é a constante dieléctrica ou permissividade elétrica, μ é a permeabilidade magnética, 1) Lei de Gauss ∫ D.dA = Qno interior S 2) S 3) 4) ∫ B.dA = 0 d Bn dA d t ∫S C d C∫ H .dl = I + dt ∫S Dn dA ∫ E.dl = − Lei de Gauss para o magnetismo Lei de Faraday Lei de Ampère-Maxwell Tabela 3.3 Equações de Maxwell para meios anisotrópicos e dispersivos Figura 3.2 a) Lei de Faraday - variação do fluxo magnético induz um campo elétrico. b) Lei de Amperè-Maxwell sem corrente elétrica - variação do campo elétrico produz um campo magnético. c) Lei de Faraday e Lei de Amperè-Maxwell sem corrente elétrica - variação do fluxo magnético induz um campo elétrico que por sua vez produz um campo magnético A implicação das equações de Maxwell é que os campos elétricos e magnéticos induzem os outros (figura 3.2). Este efeito pode ser bastante semelhante ao fato que uma compressão de gás 44 gera uma pressão e por sua vez faz uma deformação da área circundante (compressão). Maxwell questionou, portanto, se não existe uma onda eletromagnética, análoga à onda mecânica, e quais as características que ela deva ter. Para analisar isto, aqui vamos considerar uma onda progressiva na direção x. O campo elétrico deve depender do tempo e do espaço no eixo x, assim, Equações de Maxwell e ondas Eletromagnéticas x E E0 senw t − = v onde w é a frequência e v é a velocidade da onda. Como resultados das equações de Maxwell temos: x E E0 senw t − , dependente do tempo, induz um campo magnético, também = - O campo elétrico v dependente do tempo. - Este campo magnético deve estar perpendicular ao campo elétrico. - O campo magnético e elétrico estão em fase, isto é tem os valores máximos e mínimos nas mesmas posições. Usando estes resultados das equações de Maxwell, podemos intuir que o campo magnético de uma onda eletromagnética é x B B0 senw t − = v A figura 3.3 mostra os vetores campo elétrico e campo magnético de um modelo de onda eletromagnética Figura 3.3 Vetores campo elétrico e campo magnético de uma onda eletromagnética 3.2 Velocidade de uma Onda Eletromagnética Figura 3.4 Onda eletromagnética passando por dois retângulos de altura h e base dx. A alteração do fluxo do campo elétrico no retângulo da figura (a) induz um campo magnético. Ao mesmo tempo, a variação do campo magnético no retângulo da figura (b) induz um campo elétrico A variação do fluxo do campo magnético da figura 3.4b induz um campo magnético, portanto, dΦB (lei de Faraday) E.dl = − ∫ dt C ∫ E.dl sobre um caminho retangular de base dx e altura é hda figura 4a. Nas bases de tamanho dx , o campo elétrico E é perpendicular a dx , assim, E.dx = 0 . Fica somente a contribuição dos lados de altura h, assim, Escolhemos fazer a integral de caminho C ∫ E.dl = ( E + dE ) h − Eh = hdE C 45 FÍsiCa gEral iv Considerando que o campo magnético B é constante dentro do retângulo de lados h e dx, o fluxo magnético é dado por, ΦB = B(hdx) Substituindo o fluxo magnético Φ B e a integral de ∫ E.dl na lei de Faraday, temos, C dB dt dE dB = − dx dt hdE = −hdx x x E E0 senw t − = = B B0 senw t − , assim Como e v v dB x = B0 wcosw t − , deste modo, dt v w x x E0 cosw = t − B0 wcosw t − v v v dE w x = − E0 cosw t − dx v v e E0 =v B0 Fazendo um procedimento análogo para a figura 3.4a, onde a variação do campo elétrico induz um campo magnético, devemos usar aqui a lei de Amperè-Maxwell. Como não temos corrente elétrica I, a lei de Amperè-Maxwell fica, dΦ C∫ B.dl = ε O µO dt E Escolhemos fazer a integral de caminho B ∫ .dl sobre um caminho retangular de base dx e C dx altura é h da fi gura 6b. Nas bases de tamanho , o campo elétrico B é perpendicular a dx , assim, B.dx = 0 . Fica somente a contribuição dos lados de altura h, assim, B − ( B + dB ) h + Bh = −hdB ∫ .dl = C Considerando que o campo magnético E é constante dentro do retângulo de lados h e dx, o fluxo elétrico é dado por, ΦE = E (hdx) Substituindo a integral de dΦ C∫ B.dl = ε O µO dt E , temos, B ∫ .dl e o fluxo elétrico Φ B na lei de Amperè-Maxwell C dE dt dB dE − = ε O µO dx dt −hdB = hdx x x B B0 senw t − = = Como e E E0 senw t − , portanto dE x = E0 wcosw t − , logo, dt v − B0 v v dB w x = − B0 cosw t − dx v v e w x x cosw = t − ε O µO E0 wcosw t − v v v E0 1 = B0 ε O µO v Usando o resultado anterior E0 = v , temos, B0 1 v= ε O µO v 1 v= ε O µO Esta equação descreve a velocidade de onda eletromagnética e é função da constante dieléctrica ou permissividade elétrica no vácuo ε O e da permeabilidade magnética no vácuo µO ε O 8,85 ×10−12 C 2 / N .m 2 e µ= 4π ×10−7 Ns 2 / C 2 , obtemos, . Substituindo os valores tabelados de = O 1 = v = 299863380m / s −12 2 (8,85 ×10 C / N .m 2 )(4π ×10−7 Ns 2 / C 2 ) 46 A velocidade das ondas eletromagnéticas no espaço livre é denominada frequentemente por c, assim sendo, c = 299863380m / s Foi uma incrível fusão de toda a óptica na eletrodinâmica. A primeira demonstração satisfatória veio com Heinrich Hertz, em 1880, quinze anos depois que Maxwell havia predito teoricamente. Hertz construiu um aparelho para produzir e detectar ondas de rádio VHF ou UHF, como mostrado na figura 3.5 Equações de Maxwell e ondas Eletromagnéticas Figura 3.5 Descoberta das ondas eletromagnéticas por Heinrich Hertz 3.3 Energia de uma Onda Eletromagnética A energia é descrita por sua intensidade e o momento por unidade de tempo e por unidade de área é denominada pressão de radiação. A intensidade I é igual a potência média Pméd por unidade de área A perpendicular a propagação da onda, assim, P I = méd A A potência média de uma onda é: Pméd = ( ∆E )med ∆t A taxa temporal da energia é igual ao produto entre a densidade média da energia uméd e o volume. O produto entre a área A e a velocidade da onda é igual ao volume, assim sendo, Pméd = uméd Av P Portanto, a intensidade de uma onda eletromagnética I = méd é igual ao produto da A velocidade c pela densidade média da energia uméd , assim I = c uméd A densidade de energia total de uma onda eletromagnética é a soma das densidades de energia do campo elétrico e do campo magnético (ver quadro abaixo), portanto, 1 B2 u = ue + u m = ε 0 E 2 + 2 2 µ0 47 FÍsiCa gEral iv Densidades De Energia Do Campo Elétrico Para um capacitor de Placas paralelas temos que a capacitância C = ε 0 A / d e o campo elétrico é relacionado com o potencial por V = Ed , assim, a energia é dada por: = U 1 1 ε0 A 1 1 2 = CV 2 Ed ) ε 0 E 2= ( Ad ) ε 0 E 2V (= 2 2 d 2 2 U 1 1 energia por volume= ue ε 0 E 2 →= ε0E2 V 2 2 Densidades De Energia Do Campo Magnético Para um solenóide, o campo magnético é correlacionado com a corrente por B = µ0 nI e a auto indutância é L = µ0 n 2 Al , portanto a energia é: 2 B 1 2 1 B2 B2 U = LI V = = µ0 n 2 Al = ( Al ) 2 2 2 µ0 2 µ0 µ0 n U B2 B2 energia por volume = → um= V 2 µ0 2 µ0 assim, Como B = E / c para uma onda eletromagnética no espaço livre e c 2 = 1/ (ε 0 µ0 ) , ( E / c ) =1 ε E 2 + ε 0 µ0 ( E ) =1 ε E 2 + 1 ε E 2 1 u = ε0E2 + 0 0 0 2 2 µ0 2 2 µ0 2 2 2 2 u = ε0E2 Utilizando as relações E = cB e c = 1 , podemos estabelecer a densidade de ε O µO energia total de uma onda eletromagnética de várias formas: B 2 EB 2 u ε 0 E= = = µ0 µ0 c Esta relação nos define a densidade de energia e para calcular a intensidade precisamos da densidade média de energia. Para obter a densidade média de energia de uma onda eletromagnética, podemos substituir os valores instantâneos dos campos elétrico e magnético por seus valores rms (valores médios quadráticos), isto é Erms = E0 / 2 e Brms = B0 / 2 . E0 e B0 são os valores máximos dos campos. Como a intensidade de uma onda eletromagnética I = c uméd , temos, = I c= uméd Erms Brms 1 E0 B0 = = S méd 2 µ0 µ0 S é chamadode vetor de Poyting, onde o valor médio do módulo é a intensidade e a direção e o sentido de S são a direção e sentido de propagação da onda. vetor de Poyting 3.4 E×B S= µ0 Momento de uma Onda Eletromagnética As ondas eletromagnéticas possuem momento. Vamos considerar uma onda eletromagnética quese choca com uma partícula estacionária de carga +q. Inicialmente, a partícula sentirá uma força = F qE = qEjˆ e, portanto, será acelerada na direção positiva do eixo y pelo campo elétrico. A velocidade alcançada por ação do campo elétrico é dada por: v = por: 48 at ) ˆj (= qE ˆ t j m Quando a carga está se movendo na direção do eixo y, sentirá uma força magnética dada q 2 EB ˆ Fm = qv × B = q ( v ) ˆj × ( B ) kˆ = ( qvB ) iˆ = t i m Podemos observar que a direção e sentido da força Fm é na mesma direção e sentido da propagação da onda. Quando o campo elétrico muda de direção a partícula mudará de direção e será acelerada na direção negativa do eixo y. Portanto, v= ( at ) ( − ˆj=) Equações de Maxwell e ondas Eletromagnéticas qE ˆ t − j m ( ) O campo magnético também mudará sentido, assim sendo, a partícula sentirá uma força dada por: 2 q EB ˆ Fm = qv × B = q ( v ) − ˆj × ( B ) −kˆ = ( qvB ) iˆ = t i m Observamos que a direção e sentido da força Fm não muda de direção e é na mesma ( ) ( ) direção e sentido da propagação da onda. Resumindo, o campo elétrico faz com que a partícula oscile na direção do campo elétrico, este movimento oscilatório em interação com o campo magnético resulta em uma força na direção e sentido da propagação da onda eletromagnética. Como força é igual à variação temporal do momento linear p . Este momento linear associado à onda tem a mesma direção de propagação da onda magnética e é dado por: p= U c onde U é energia associada à onda. Como a intensidade é a energia por unidade de tempo e por unidade de área, a intensidade dividida por c é o momento linear associado à onda por unidade de tempo e área. Momento por unidade de tempo equivale à força. A intensidade dividida por c é por conseguinte uma força por unidade de área, ou seja, uma pressão. Esta pressão é a pressão de radiação Pr , que é dada por: I Pr = c Como a intensidade de uma onda eletromagnética é dada por: I= 1 E0 B0 2 µ0 Temos que a pressão de radiação Pr pode ser escrita como: I EB Pr= = 0 0 c 2 µ0 c Relações entre campo elétrico e campo magnético em uma onda eletromagnética E E0 1 e 0 = v= c = B0 ε O µO v B0 E0 e B0 são os valores máximos de E e B Velocidade de uma onda eletromagnética Densidade de energia Intensidade de uma onda eletromagnética c= 1 ε O µO B 2 EB = µ0 µ0 c 2 u ε 0 E= = = I c= uméd Erms Brms 1 E0 B0 = 2 µ0 µ0 E0 e B0 são os valores máximos de E e B E×B S= Vetor de Poyting µ0 Momento linear de uma onda eletromagnética p= Pr = Pressão de radiação U c I c Tabela 3.3 Onda eletromagnética 49 FÍsiCa gEral iv Exemplo 2 Qual é a pressão de radiação, o campo magnético e o campo elétrico a 2 metros de uma lâmpada de 100W. Considerar que toda a potência seja emitida em ondas eletromagnéticas e que a emissão seja isotrópica. Solução: Como a emissão é isotrópica (igual em todas as direções), a intensidade I é igual a potencia dividida pela área A. = I A pressão de radiação é dada por: Pr= O campo magnético é: 100W = 1,989W / m 2 4π r 2 I 1,989W / m 2 = = 6, 63 ×10−9 Pa c 3 ×108 m / s Bo = 2 µ0 Pr = 2(4π ×10−7 Tm / A)(6, 63 ×10−9 Pa ) = 1,3 ×10−7 T O campo elétrico é 3.5 Eo == cB0 (3 ×108 m / s )(1,3 ×10−7 T ) = 38, 72V / m Produção e Detecção de Ondas Eletromagnéticas b) a) c) t=0 d) t=1/4T t=1/8T t=3/8T e) t=1/2T Figura 3.6 A antena do tipo dipolo elétrico é constituída por duas barras condutoras. No instante t=0, as barras estão carregadas e há um campo elétrico entre elas. No t = 1/8T (onde T é o período completo), as barras começam a se descarregar e o campo elétrico diminui. Como há mudança do campo elétrico existe um campo magnético, perpendicular ao campo elétrico. Em t = 1/4T, as barras estão descarregadas e o campo elétrico é nulo. A partir daí, a carga inverte e o campo magnético é negativo. Em t = 3/8T, o campo aumenta negativamente, e, em t = 1/2T, a carga é máxima nas barras e o campo é máximo negativamente. A variação do campo elétrico cria o campo magnético, que é perpendicular ao campo elétrico e não foi desenhado aqui 50 a) b) c) d) Equações de Maxwell e ondas Eletromagnéticas e) Figura 3.7 Emissão de onda eletromagnética devido ao movimento de um dipolo elétrico. O dipolo elétrico oscila, aumentando a sua distância entre a) e c) e diminui a distância entre c) e e). Como existe um movimento do dipolo elétrico, o campo elétrico não é constante, portanto, existe a formação de um campo magnético, representado nas figuras por pontos • (campo magnético saindo do plano da página) e por cruzes × (campo magnético entrando no plano da página) As ondas de rádio são obtidas quando correntes elétricas circulam nas antenas transmissoras. A frequência das ondas emitidas é idêntica à frequência da corrente elétrica uma antena de rádio do tipo dipolo elétrico é mostrado na A figura 3.6. A figura mostra o desenvolvimento do campo elétrico conforme as barras são carregadas e descarregadas em função da corrente elétrica aplicada. Em função da mudança do campo elétrico, o campo magnético também se desenvolve, mas não é mostrado na figura 3.6. Os campos magnéticos e elétricos oscilam em fase e são perpendiculares à direção de propagação da onda. A desaceleração de elétrons ao se chocarem com um alvo produz um espectro contínuo de raios X. Acompanhando o espectro contínuo, algumas linhas bem definidas podem ocorrer, que são produzidas quando os elétrons acelerados têm energia suficiente para retirar elétrons das camadas mais internas do alvo. Quando um campo magnético muda a direção do vetor velocidade de elétrons ou prótons em altas velocidades é produzido também ondas eletromagnéticas. Esta radiação é denominada de radiação sincrotron. Comprimentos de onda produzidos em um sincrotron vão desde o infravermelho até raios gama (ver tabela 2). O sincroton do Laboratório Nacional de Luz Sincrotron, em Campinas, Brasil, é capaz de produzir ondas eletromagnéticas com o comprimento −11 de onda de até 5 × 10 m . Este equipamento é utilizado para pesquisa básica, principalmente na física, química, materiais, biologia e farmácia, e também pelas indústrias, especialmente no controle e desenvolvimento. Movimento de cargas devido ao calor em moléculas também resulta na emissão de ondas eletromagnéticas. Este processo de movimento de cargas é muito parecido com o visto na figura 3.7. A luz visível é obtida por transições eletrônicas dos átomos. Espalhamento elástico, Espalhamento inelástico ou Raman, absorção ressonante, fluorescência, efeito foto elétrico, espalhamento Compton e emissão estimulada são algumas das transições eletrônicas responsáveis pela emissão de radiciação eletromagnética pelos átomos em materiais. A figura 3.8 mostra uma antena de ondas de rádio e dois processos de detecção. O campo magnético oscilante da onda eletromagnética passando, perpendicularmente, por uma antena circula induz uma corrente com a mesma frequência da onda eletromagnética. O campo elétrico oscilante da onda eletromagnética paralelo à antena dipolar induz uma diferença de potencial na antena. 51 a) FÍsiCa gEral iv b) Figura 3.8 a) antenas do tipo circular e b) antena do tipo dipolar Em uma onda eletromagnética o campo elétrico E e o campo magnético B são perpendiculares entre si, e os dois campos E e B são perpendiculares à direção de propagação em espaço livre. A relação entre os campos em uma onda eletromagnética é dada por: E = cB onde c = µ0ε 0 é a velocidade da onda no vácuo. A direção de propagação da onda eletromagnética é dada pelo vetor de Pointing, assim, S= E × B Exemplo 3 Uma antena é construída por uma espira de 10 cm de raio é usada para detectar ondas eletromagnéticas com intensidade de 2 × 10−5 W / m 2 . Calcule o valor rms da tensão induzida na antena se a frequência f é 500 kHz e 500 MHz. Solução: A relação entre a intensidade e os campos é I= 1 E0 B0 2 µ0 Substituindo E0 = cB0 e colocando B0 em evidência, temos, B= 0 2 µ0 I = c 2(4π ×10−7 Tm / A) *(2 ×10−5 W / m 2 ) = 4,1×10−10 T c O valor do campo magnético rms é = Brms B0 4,1×10−10 T = = 2,9 ×10−10 T 2 2 Considerando que o plano da antena está paralela ao campo magnético B, o fluxo ΦB = BA . A área da antena A é constante e só o campo B varia com o tempo. Portanto, a tensão induzida é dada por: dΦB dB ε rms = π r 2 (2π fBrms ) = A = dt dt rms Para 500 kHz, temos, e para 500 MHz, temos, 52 ε rms = π r 2 (2π fBrms= ) 2,8 ×10−5V ε rms = π r 2 (2π fBrms= ) 2,8 ×10−2 V 3.6 Espectro Eletromagnético A diferença entre ondas de rádio, microondas, luz visível, raios X e raios gama está no comprimento de onda. O produto entre o comprimento de onda e a frequência é igual à velocidade da luz. A tabela 3.4 mostra o espectro magnético e os nomes usados para cada faixa de comprimento de onda ou freqüência. Essas faixas não tem limites bem definidos e às vezes se superpõem. Ondas de comprimento por volta de 0,1 nm são normalmente denominadas de raios X, mas se forem produzidas por material radioativo são chamadas de raios gama. O olho humano é sensível à faixa da luz visível, que incluem ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda na faixa de 400 a 700nm. As diferentes cores percebidas pelo olho humano estão conectadas a diferentes comprimentos de onda na faixa da luz visível. Em principio é possível produzir qualquer comprimento de onda. A interação entre as ondas eletromagnéticas e a matéria em princípio depende do comprimento de onda. Por exemplo, os raios X têm comprimento de onda pequeno e penetram em materiais que são opacos às ondas da luz visível. Os processos de absorção ressonante são também extremamente importantes na interação das ondas eletromagnéticas e a matéria, onde a energia da onda eletromagnética é idêntica a alguma energia de transição no material (eletrônica ou nuclear). Equações de Maxwell e ondas Eletromagnéticas Tabela 3.4 O espectro eletromagnético 53 FÍsiCa gEral iv Exercícios 1) Em uma região o campo elétrico é dado por E = (5V / m)sen [ (1000 Hz) t ] . Calcule a corrente de deslocamento máxima em uma área de 0,0001 m2 perpendicular ao campo elétrico E . 2) Considerando o capacitor da abaixo, com duas placas circulares de 10 cm de diâmetro de lado, sendo carregado, determine o campo magnético no interior das placas, em um ponto a 3 cm do centro, se a corrente instantânea que entra na placa positiva é de 2 A. 3) Calcule a corrente de deslocamento no capacitor do exercício anterior 4) Prove que a corrente de deslocamento I d = CdV / dt para um capacitor de placas paralelas, onde V é a tensão entre as placas e C é a capacitância. 5) Uma antena é construída por uma espira de 20 cm de raio é usada para detectar ondas eletromagnéticas de campo elétrico de 0, 05V / m . Calcule o valor rms da tensão induzida na antena se a frequência f é 700 MHz. 6) Qual é a pressão de radiação, o campo magnético e o campo elétrico a 3 metros de uma holofote de 1000W. Considerar que toda a potência seja emitida em ondas eletromagnéticas em um ângulo sólido de 600. 7) Um astronauta de 100 kg se encontra no espaço e deseja voltar a sua espaçonave, que está a 3 metros de distância. Ele só tem um laser de 3 kW. Como ele volta e quanto tempo demora para voltar. 8) Uma onda eletromagnética tem uma intensidade de 10 W/m2. Calcule a pressão de radiação, o valor do campo elétrico (rms) e do campo magnético (rms). 9) Um laser de 3500W com um feixe de 1 mm de raio incide verticalmente sobre um pequeno objeto refletor. Determine a massa do objeto para que ele fique flutuando. 10) Quais as ondas eletromagnéticas que tem o maior comprimento de onda? 11) Qual é a frequência de uma microonda de 3,5 cm? 54 Equações de Maxwell e ondas Eletromagnéticas Anotações 55 FÍsiCa gEral iv Anotações 56 4 Óptica Geométrica 4.1 introdução histórica 4.2 Corpos, Fontes, raios e Feixes 4.3 a velocidade da luz 4.4 princípios da Óptica geométrica 4.5 reflexão da luz 4.6 reflexão e a Cor dos objetos 4.7 reflexão regular da luz 4.8 Índice de refração 4.9 refração da luz 4.10 reflexão interna total 4.11 dispersão da luz Branca 57 FÍsiCa gEral iv 4. ÓPTICA GEOMÉTRICA 4.1 Introdução Histórica A luz tem uma importância enorme para o ser humano, inclusive, tem grande papel em todas as crenças religiosas. Em torno de 600 a.C., Isa Upanishad (Índia) escrevia: “Há mundos assombrados pelos demônios, regiões de absoluta escuridão”. Grande parte de nosso conhecimento sobre o meio ambiente nos chega através do sentido da visão. Com os olhos podemos apreciar a cor verde das florestas, o azul celeste e dos lagos, as várias cores de um arco-íris, as inúmeras cores de casas e prédios de uma cidade. A sensação de ver os objetos ao nosso redor é provocada por uma forma de energia radiante capaz de provocar sensações visuais, denominada de luz ou energia luminosa. Com relação ao nosso sentido da visão, desde a Antiguidade, os filósofos como Platão e Aristóteles já indagavam a respeito da luz e como conseguíamos ver os objetos à nossa volta. Platão dizia que nossos olhos emitiam partículas que, ao atingirem os corpos, os tornavam luminosos e visíveis. Era uma afirmação ousada para a época, mas incorreta, pois se assim fosse, poderíamos ver no escuro. Aristóteles tratava a luz como se fosse um fluido imaterial, propagandose entre o olho e o objeto visto, com velocidade muito grande. Muitos estudiosos da antiguidade contribuíram para o estudo da luz e das sensações visuais, dentre eles, destacamos: Tales de Mileto, Anaximandro, Pitágoras, Euclides, Arquimedes. Aliás, Euclides (325 a.C. a 265 a.C.) estudou a óptica dos espelhos esféricos, matéria constante de sua obra “Catroptics”, datada de 300 a.C. e também escreveu “Os elementos”, obra padrão de Geometria por mais de 2000 anos. A reflexão da luz já era conhecida e utilizada muito antes da história escrita, como evidencia a descoberta arqueológica nas pirâmides do Egito, de um espelho datado de 1900 a.C. A Bíblia, no livro do Êxodo, de cerca de 1200 a.C., registra que Bezalell, por ordem de Moisés, construiu e decorou um tabernáculo com ofertas feitas pela comunidade, e dentre elas, havia “espelhos de mulheres”. Leonardo da Vinci, por volta de 1500, percebendo a semelhança entre a reflexão da luz e o fenômeno do eco, levantou a hipótese de que a luz, assim como o som, poderia ser um tipo de movimento ondulatório Tal hipótese ficaria conhecida mais tarde como teoria ondulatória da luz. Mas, o conhecimento formal de ótica está relatado na história da segunda guerra púnica entre romanos e cartaginenses. Consta que Cartago, cidade do norte da África, estava em guerra contra o Império Romano e, Siracusa, cidade fundada pelos gregos na ilha italiana de Sicília, aliouse aos cartaginenses. Segundo os historiadores gregos da época, ao tentarem destruir Siracusa, os romanos se depararam com um conjunto de “espelhos ardentes” que provocavam incêndios nas velas das galeras romanas utilizando da concentração de raios solares. Tais espelhos foram construídos por Arquimedes (287 a.C. a 212 a.C.), matemático e engenheiro grego, autor do livro “Ensaios sobre Óptica Geométrica”, conhecedor da óptica dos espelhos esféricos, já desenvolvida por Euclides. Com relação às lentes, consta a descoberta de uma lupa de quartzo de 10 dioptrias nas ruínas do palácio do rei Senaqueribe (708 a.C a 581 a.C), da Assíria. Os chineses, que já conheciam a técnica de fabricação de vidro desde o século VI a.C., também conheciam e fabricavam lentes de aumento e diminuição, além de vidros “queimadores”, ou seja, lentes de aumento para fazer fogo com auxílio da luz solar. Nas ruínas romanas de Pompéia, cidade romana destruída pelo vulcão Vesúvio em 79 d.C., foi encontrada uma lente plano-convexa. Os romanos também conheciam a técnica de construir vidros “queimadores”, como relata o historiador Plínio, o Velho (23 a.C. a 79 d.C.). O Império Romano já utilizava lentes para corrigir certos defeitos da visão. As lentes corretoras são componentes de óculos, mesmo os mais rudimentares, o que implica dizer que, os romanos já conheciam a refração da luz, que é a base para o funcionamento das lentes. São prováveis que a miopia, a hipermetropia e a presbiopia sejam os defeitos corrigidos, visto utilizarem lentes divergentes e convergentes. Séculos se passaram sem grandes novidades, até que ocorreu o grande salto da história da óptica, em 1608, na Holanda, com a invenção do telescópio refrator (luneta astronômica). Ficando sabendo da novidade, Galileu Galilei adquiriu um aparelho, logo depois o aperfeiçoando. Com ele, aprofundou seus conhecimentos de Astronomia, descobrindo montanhas e crateras na Lua, algumas luas de Júpiter, as fases de Vênus, contribuindo enormemente para a derrocada da teoria de que tudo girava em torno da Terra (Geocentrismo). Também tentou medir a velocidade da luz, através de seu método de duas lanternas, pois não acreditava que a velocidade da luz fosse infinita, como era apregoado na época. Não obteve resultados satisfatórios, pois não havia forma de medir a diferença temporal entre os pulsos de luz das lanternas. No campo da Óptica, Isaac Newton (1644-1727) desenvolveu o telescópio de reflexão e em sua obra “Nova teoria sobre a luz e o calor” (1672), e, em Optiks (1704), discorre sobre a natureza da luz e uma teoria sobre as cores dos corpos e a dispersão da luz branca. Até o começo do século XIX, a maioria dos cientistas, inclusive Newton, achava que a luz era constituída por um fluxo contínuo de partículas emitidas por uma fonte. De acordo com esse modelo, as partículas de luz emitidas pelo corpo estimulavam o sentido da visão ao adentrarem no olho. Tal teoria ficou conhecida como modelo corpuscular da luz, que teve seu maior idealizador, o próprio Newton. Ela conseguia explicar alguns fenômenos simples, como a reflexão e a refração da luz, mas apresentava problemas ao tentar explicar a difração e interferência. Ainda em vida, Newton viu surgir um novo modelo sobre a natureza da luz. O novo modelo 58 considerava a luz como tendo propriedades semelhantes às das ondas longitudinais, como as do som. Em 1678, Christiaan Huygens (1629-1695), físico e astrônomo holandês, demonstrou que o modelo ondulatório também explicava a reflexão e refração da luz, mas encontrava dificuldades em explicar a propagação da luz do Sol até a Terra sem a necessidade de um meio específico, já que todas as ondas então conhecidas (som, ondas em água) se propagavam em um meio material. Além do mais, muitos cientistas argumentavam que, se a luz apresentasse comportamento ondulatório, ela deveria contornar obstáculos (difração), o que parecia não acontecer. Embora a difração da luz já tivesse sido apresentada experimentalmente por Francesco Grimaldi (1618-1663) em 1663, portanto bem antes da teoria Newtoniana corpuscular da luz, vários cientistas não aceitaram a teoria ondulatória da luz por mais de um século, talvez, pelo grande prestígio que Newton possuía entre os pensadores da época. Em 1801, Thomas Young (1775-1829), propiciou a primeira demonstração experimental da natureza ondulatória da luz, demonstrando que, sob certas condições apropriadas, a luz apresentava comportamento de interferência, ao somar-se a anular-se num certo ponto do espaço, quando emitidas por única fonte em trajetórias distintas. Tal fato não podia ser explicado pela teoria corpuscular da luz porque duas partículas, emitidas por uma mesma fonte em direções distintas, não poderiam juntarse e anular-se umas às outras. Vários anos depois, Augustin Fresnel (1788-1827) realizou vários experimentos sobre interferência, consolidando ainda mais o modelo ondulatório. Segundo o modelo corpuscular da luz, a velocidade da luz deveria ser maior na água do que no ar como consequência da força de atração da água ser maior do que a do ar. Em 1850, Jean Foucault (1819-1827), mostrou que a velocidade a luz era menor nos líquidos e nos vidros do que no ar, derrubando uma das bases de sustentação da teoria corpuscular da luz. Durante o século XIX, outros experimentos vieram confirmar a visão ondulatória da luz em detrimento da visão corpuscular. Em 1865, James Clerk Maxwell (1831-1879) apresentou um trabalho onde confirmava o caráter ondulatório da luz e, além do mais, também apresentava a luz como uma forma de onda eletromagnética de alta frequência. Em 1888, Heinrich Hertz (1857-1894), confirmou experimentalmente a teoria de Maxwell, produzindo e detectando ondas eletromagnéticas. Hertz e outros cientistas também apresentaram experimentos mostrando que tais ondas apresentavam reflexão, difração e todas as outras características inerentes ao modelo ondulatório. Embora o modelo ondulatório, que tratava a luz uma onda eletromagnética de alta frequência, explicasse a maioria das propriedades ondulatórias, alguns fenômenos não podiam ser explicados pela proposta ondulatória. A emissão e a absorção da luz não podiam ser explicadas utilizando-se a teoria ondulatória, principalmente o efeito fotoelétrico, descoberto por Hertz, mas solucionado por Max Planck (1858-1947) e Albert Einstein (1879-1955), em 1906. A única forma de explicar a emissão de elétrons por um metal quando exposto à luz era voltar à velha teoria corpuscular da luz, tratando-a como feixe de partículas, no sentido de que a energia transportada pela onda incidente no metal deveria estar concentrada em pacotes discretos de energia, denominados de quanta ou fótons, que seriam as “partículas” de luz. Dessa forma, podemos apresentar a luz como possuindo características ondulatórias e corpusculares, dependendo do problema a ser considerado. Esta é a visão dual da luz, onde, em alguns experimentos, medimos suas propriedades ondulatórias e, em outros, medimos suas propriedades corpusculares. 4.2 Óptica geométrica Corpos, Fontes, Raios e Feixes A Geometria procura estudar as várias propriedades das retas, planos, arcos, circunferências, mas sem se preocupar com os processos físicos que os produzem, ou seja, a régua, o compasso, o transferidor. Desta forma, as propriedades geométricas independem dos procedimentos físicos utilizados. Os conhecimentos acumulados sobre as propriedades da luz são enormes, assim, começaremos a analisá-los do ponto de vista meramente geométrico. A Óptica Geométrica utiliza a geometria euclidiana para estudar certos fenômenos luminosos, deixando para mais adiante indagações mais profundas sobre a natureza da luz (Óptica Física). Observando os corpos que nos cercam, notamos que alguns possuem luz própria, como o Sol, uma lâmpada acesa, a chama de uma vela, o pisca-pisca dos vaga-lumes. Outros corpos não possuem luz própria, como as paredes, mesas, livros, quadro-negro. Os corpos que possuem luz própria são chamados de luminosos e os que não possuem, de iluminados. Alguns corpos iluminados permitem que a luz passe através deles, chamados de corpos transparentes (vidro, água, ar). Outros bloqueiam a passagem da luz, denominados de corpos opacos (madeira, metais, paredes), e por fim, existem corpos que permitem a passagem de luz, mas de forma irregular, sem nitidez, sendo denominados de corpos translúcidos, como o vidro fosco, papel vegetal. Com relação às fontes de luz, pode-se classificá-las como puntuais ou como extensas, dependendo de suas dimensões em relação à situação de estudo. Se suas dimensões geométricas forem desprezíveis em relação à distância do observador, podendo ser representada por um ponto luminoso, serão chamadas de fontes puntuais, caso contrário, de fontes extensas, mas lembrando que tais conceitos são relativos às situações em estudo. O Sol, sob certas condições, pode ser considerado como uma fonte puntual em relação à Terra devido a sua grande distância de nós e os raios luminosos que nos atingem, serão tratados como raios paralelos (Fig. 3). A luz do Sol, denominada de luz branca, na realidade é uma 59 FÍsiCa gEral iv composição de luzes de inúmeras cores (comprimento de onda ou frequência). Newton foi um dos pioneiros ao estudar a decomposição da luz branca por prismas (dispersão da luz), percebendo que havia várias bandas luminosas de cores distintas compondo a luz branca (arco-íris). Existem fontes de luz que emitem somente em uma cor (lasers), denominadas de monocromáticas e, outras que emitem em várias cores (Sol, lâmpada, chama), sendo chamadas de fontes policromáticas. Considera uma fonte que emite luz em todas as direções. As direções em que a luz se propaga pelo espaço podem ser indicadas por setas orientadas, denominadas de raios de luz (fig. 4.1). Qualquer conjunto de raios de luz é chamado de feixe de luz. Se os raios do feixe tiverem todos um ponto em comum, o feixe é denominado de pincel de luz, que pode ser de raios divergentes (fig. 4.2 a), convergentes (fig. 4.2 b).de raios paralelos (como os do Sol que atingem a Terra – figs. 4.2 c e 4.3) Fig. 4.1 - Raios de luz Fig. 4.2 - (a) pincel divergente; (b) pincel convergente; (c) pincel paralelo. Fig. 4.3 - Raios solares paralelos atingem a Terra Quando falamos de raios de luz, na realidade estamos utilizando um conceito simplificado, denominado de “modelo de raio”, “óptica de raios” ou de “aproximação retilínea”, visto que, um raio é uma linha reta traçada ao longo da direção de propagação de uma única onda e mostra como ela evolui no espaço. Na aproximação retilínea não são considerados efeitos de difração nas bordas de superfícies ou em orifícios ( λ << d), envolvendo apenas modelos geométricos baseados na reta. Assim, os fenômenos explicados com o uso da aproximação retilínea não dependem explicitamente da natureza ondulatória da luz, com exceção de sua propagação ao longo da linha reta. Também, a aproximação retilínea é muito utilizada no estudo de espelhos, lentes, prismas e dos instrumentos ópticos associados, tais como, microscópios, telescópios, óculos, lupas e máquinas fotográficas. Quando usamos a visão ondulatória da luz, geralmente utilizamos o conceito de frente de onda (extremidade dianteira de uma onda) para descrever a propagação de uma onda. Quando o meio material for homogêneo e isotrópico, os raios de luz são as linhas retas perpendiculares às frentes de onda. Assim, quando as frentes de onda são planas, os raios de luz são paralelos entre si e perpendiculares às frentes e, quando as frentes de onda são esféricas, os raios de luz possuem direção radial, isto é emanam para fora do centro das esferas (fig.4.4). Fig. 4.4 – Frentes de onda e raios de luz 60 Na superfície que separa dois meios materiais (ar-vidro; vidro-água) os raios de luz nos meios são sempre linhas retas orientadas, indicando a direção da frente de onda no meio. Isto ficará claro quando estudarmos a reflexão e a refração da luz, pois faremos uso do modelo de raio. 4.3 Óptica geométrica A Velocidade Da Luz Durante muito tempo, a velocidade da luz era tida como infinita, isto é, a luz era transmitida de um ponto a outro instantaneamente. Essa posição foi duramente criticada por Galileu, que julgava falhos os argumentos apresentados pelos defensores da ideia. Para refutar tal posição, Galilei procurou obter elementos através de seu método experimental, conhecido como método das duas lanternas. Apesar do método estar correto, ele não conseguiu calcular a velocidade da luz, pois não tinha equipamento suficiente para tal empreitada. A primeira evidência experimental de que a luz não se propaga instantaneamente foi conseguida pelas observações do astrônomo dinamarquês Ole Roemer, logo após a morte de Galileu. Seu método consistiu na observação de um dos satélites de Júpiter, que ao se movimentar, periodicamente era ocultado pelo astro. Mas a Terra também se movimentava em torno do Sol e, a cada seis meses, ele media de novo a eclipse do satélite jupiteriano. Em tais medidas, verificou-se que o tempo era diferente a cada posição ocupada pela Terra em torno do Sol. Analisou corretamente o fenômeno e calculou o valor da velocidade da luz, obtendo um valor em torno de 200.000 km/s. Era a primeira medida experimental da velocidade da luz, que demonstrava não ser a mesma infinita. Em 1849, Louis Fizeau, físico francês, mediu a velocidade da luz utilizando-se do método das rodas dentadas, obtendo o valor de, aproximadamente, 3,13 x 108 m/s. Em 1862, o médico e físico francês Leon Foucault, mediu a velocidade da luz, substituindo a roda dentada por espelhos rotativos obtendo o valor de 2,98 x 108 m/s. Também mediu a velocidade da luz na água, obtendo o valor de 2,23 x 108 m/s, causando um enorme impacto nos cientistas da época, porque Newton, em sua teoria corpuscular da luz, previa que a velocidade da luz nos meios materiais deveria ser maior do que no ar/vácuo. Em 1932, o cientista americano Alberto Michelson, através de medidas de grande precisão, obteve o valor de 2,9977 x 108 m/s. Atualmente, utilizando tecnologia a laser e de radiofrequência, o valor adotado é de 2,997925 x 108 m/s, que para fins de cálculo aproximado, adota-se o valor de 3x 108 m/s. Exemplo No mês de agosto de 1988, o planeta Marte teve a máxima aproximação da Terra. Nesse dia, as pessoas ao observarem o planeta Marte, estavam vendo a luz do Sol refletida em Marte alguns minutos antes. Aproximadamente quantos minutos antes o Sol havia emitido a luz que a pessoa estava vendo? Considere as órbitas de Marte e da Terra como coplanares, com raios de 231.000.000 km e 150.000.000 km em relação ao Sol, respectivamente, conforme diagrama abaixo. Solução: Considerando a velocidade da luz como uma constante do universo (MRU) e que caminha em linha reta, temos que a distância percorrida pela luz solar é dada por, ΔS = RMarte+ (RMarte – RTerra) = 3.12 x 108 km O tempo médio do percurso será: Λt = ΛS vluz 3,15 x108 →→ Δt ≈ 17 min. 3 x105 →→ Λt = Obs. A luz solar demora em torno de 8 min. e 20 seg. para chegar até a Terra. Faça este cálculo. 61 4.4 FÍsiCa gEral iv Princípios da Óptica Geométrica A base de estudos da óptica geométrica é o traçado dos raios luminosos, que estão fundamentados em 3 princípios, a saber: * Princípio da propagação linear da luz. Estabelece que em meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga em linha reta (fig.4.5). Figura 4.5 - A luz atravessa os anteparos se os orifícios estão em linha reta Este princípio tem aplicações relevantes em nossas vidas. As dimensões aparentes de um objeto dependem do ângulo visual de que é visto, pois mudam de tamanho à medida que nos aproximamos ou nos afastamos do objeto (fig.4.6). Outros exemplos simples são a sombra (fonte puntual) e penumbra (fonte extensa), a câmara escura de orifício. Fig.4.6 - O tamanho aparente da árvore aumenta à medida que o homem se aproxima dela (ângulo α aumenta) Exemplo 1: Câmera escura com orifício A imagem formada por uma câmera escura dista 50 mm do orifício e tem uma altura de 20 mm. Uma árvore está a uma distância de 15 m do orifício (desenho abaixo). Qual a altura da árvore? Solução: O desenho ilustrativo permite, através da semelhança de triângulos, calcular a altura da árvore. Assim, di h = do H →→ H = 6 m Exemplo 2 Uma criança observa o mastro da bandeira de sua escola, de 6 metros de altura, enquanto caminha em sua direção. Quais os ângulos visuais que ela vê o mastro quando ela está a uma distância de 100 m e 50 m? 62 Solução: Para estas distâncias, vamos considerar desprezível a altura da criança, conforme esquema abaixo. Óptica geométrica As distâncias são calculas usando a definição de tangente do ângulo, assim, tg= α1 cat.op. = cat.adj. 6 tgα= = 2 50 6 −1 (0, 06) 3, 4 →→ α1 tg= = 0, 06 = 100 −1 (0,12) 6,8 →→ α 2 tg= 0,12 = Obs. Se for considerado a altura da criança o ângulo muda e o cálculo deve ser modificado. Aparentemente, um dos ângulos é o dobro do outro, mas deve-se cuidar da percepção, pois em muitos casos ela engana o observador. * Princípio da reversibilidade dos raios luminosos. Estabelece que a trajetória dos raios não depende do sentido de propagação se o meio for homogêneo e isotrópico (fig. 4.7). Figura 4.7 - A trajetória independe do sentido de propagação Como se pode ver, a trajetória de um raio de luz não se modifica quando se inverte o sentido de sua propagação. Uma aplicação prática é a dos espelhos retrovisores dos automóveis e também a famosa afirmação “olho no olho”, quando uma pessoa observa os olhos da outra, os olhos desta podem ver os olhos da primeira. * Princípio da independência dos raios de luz. Estabelece que cada raio luminoso propagase de forma independente, como se os outros não existissem, inclusive na reflexão (fig. 4.8). Figura 4.8 - A luz de cada holofote não interfere na propagação dos outros Nas salas de aula, é comum existir mais de uma luminária e, no entanto, uma não interfere na outra. O mesmo acontece nos shows, como se depreende da figura anterior. * O Princípio de Fermat. O físico e matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) elaborou um princípio pelo qual se conseguem sintetizar várias leis e princípios da óptica geométrica, inclusive os princípios referidos anteriormente. É um princípio “econômico” e diz: “O percurso efetuado pela luz para se propagar entre dois pontos é tal que o tempo gasto nesse deslocamento é mínimo”. É interessante discutir a afirmação acima e procurar situar os três princípios enunciados anteriormente dentro do princípio econômico de Fermat. 63 4.5 FÍsiCa gEral iv Reflexão da Luz É possível dizer que a característica mais importante da reflexão da luz pelos objetos é tornálos iluminados, transformando-os em fontes de luz, tornando-os visíveis, tridimensionalmente. Quando uma onda luminosa, representada por um raio de luz (raio incidente), atinge uma superfície de separação lisa (interface lisa) separando dois meios transparentes (ar-vidro; ar-água), em geral o raio é parcialmente refletido e parcialmente refratado (transmitido) para o outro material, inclusive, podendo ocorrer que uma parte da energia luminosa é absorvida pelo meio material, normalmente, aquecendo-o. As direções dos raios incidente, refletido e refratado na interface lisa que separa os dois meios, usualmente são representadas por ângulos que formam com a reta normal à superfície de separação no ponto de incidência (fig. 4.9). Figura 4.9 - Reflexão e refração da luz A menos que a superfície seja um absorvedor perfeito, alguma parcela de luz será refletida por ela. O fenômeno da reflexão ocorre quando um raio de luz incide numa superfície de separação de dois meios distintos e retorna para o mesmo meio de origem. Se a superfície for lisa, polida, chamada de superfície regular, a reflexão é denominada de reflexão regular ou de reflexão especular (fig. 4.10). Figura 4.10 - Reflexão regular Não importa o formato geométrico da superfície refletora (plana, curva), pois o fenômeno sempre irá ocorrer. Exemplo de reflexão regular acontece nos espelhos, nas superfícies planas e bem polidas de metais, nas superfícies dos lagos com água parada, nos vidros das casas e edifícios (o famoso “ar”). A reta normal de todos os raios incidentes possui sempre a mesma direção e a luz refletida terá sempre o mesmo ângulo de reflexão. Mas o que é uma superfície polida, lisa? Na realidade, não existe superfície perfeitamente lisa, o que existe são superfícies cujas irregularidades produzem reflexões difusas desprezíveis. Uma superfície comporta-se como uma superfície polida quando suas variações, saliências ou irregularidades forem pequenas quando comparadas ao comprimento de onda da luz incidente. Na porta dos fornos de microondas existem uns buraquinhos cujos diâmetros são maiores do que o tamanho do comprimento de onda utilizada. A microonda não sai, mas permite que você veja o que há dentro do forno. O mesmo ocorre nas antenas parabólicas, nos radiotelescópios e outros aparelhos. Para as ondas incidentes, mesmo a superfície apresentando pequenos furos, já é o suficiente para refleti-las, pois e seus comprimentos de onda são maiores do que o tamanho dos furos. Se a superfície refletora for áspera, rugosa, apresentar irregularidades superficiais, ela refletirá os raios de luz em várias direções, difundindo-os para todos os lados (vários ângulos de reflexão). Este tipo de reflexão é denominado de reflexão difusa ou irregular. As saliências das paredes, das folhas de papel, das mesas, do rosto das pessoas, das árvores e terrenos que nos cercam, da tela de cinema, refletem a luz de forma difusa. Nelas, o comprimento de onda da luz solar é muito menor do que a profundidade das saliências, sendo refletida de forma irregular em cada ponto de incidência. A reta normal ter diferentes direções em cada ponto da superfície (fig. 4.11). 64 Óptica geométrica Figura 4.11 - Reflexão difusa. No detalhe, irregularidades superficiais. A reflexão especular é necessária para a formação de imagens claras a partir das superfícies refletoras, direcionando a luz refletida em ângulo específico igual para todos os raios, enquanto que a reflexão difusa é responsável pela nossa visão dos objetos iluminados que nos cercam, independentemente de suas distâncias até nós. Numa sala de aula, todos veem um ponto na lousa devido à reflexão difusa, não importando se os raios estão se cruzando ou não (independência das trajetórias). Deve ficar claro ao aluno que a irregularidade na reflexão se deve às irregularidades nas superfícies das superfícies refletoras ou nas interfaces de separação entre dois meios transparentes. 4.6 Reflexão e a Cor dos Objetos A cor dos objetos que nos cercam está diretamente relacionada com a reflexão da luz. Quando nos referirmos à cor de um objeto, estamos sugerindo que ele esteja sendo iluminado pela luz branca proveniente do Sol ou de uma lâmpada qualquer. A luz branca é caracterizada pela superposição de várias luzes de diferentes cores (frequências ou comprimentos de onda), como seja visto ao estudarmos a refração da luz. Um corpo se apresenta verde porque reflete, predominantemente, a cor verde, absorvendo quase totalmente as demais cores da luz branca. Se ele se apresenta amarelo, é porque reflete o amarelo, absorvendo as demais, e assim por diante. Um objeto é branco é porque reflete todas as cores em conjunto, não absorvendo, praticamente nada. Se for preto, ele absorve todas as cores, praticamente não refletindo nada. O que dizer de um corpo transparente? Explique em termos de reflexão/absorção/transmissão. A partir deste momento somente nos reportaremos à reflexão regular, e o termo reflexão sempre significará reflexão regular. 4.7 Reflexão Regular da Luz As leis da reflexão são válidas para qualquer superfície refletora, lisa ou rugosa, plana ou curva. Vamos supor um raio de luz propagando-se no ar e incidindo num ponto da superfície de separação (plana e polida). No ponto de incidência, levanta-se uma reta perpendicular (normal) à superfície de separação, de tal forma que o ângulo entre o raio incidente e a reta normal seja θ1. O ângulo de reflexão entre a reta normal e o raio refletido é igual a θ’1. O plano que contem o raio incidente (i), o raio refletido (r) e a reta normal (N) é chamado de plano de incidência, simbolizado por π, fazendo um ângulo reto com a superfície de separação (fig. 4.12). Figura 4.12 - Raios incidente e refletido, reta normal e plano de incidência 65 FÍsiCa gEral iv Por convenção, os ângulos de incidência e de reflexão são medidos a partir da normal aos raios e não a partir da superfície de separação até os raios. Da observação experimental, e para raios monocromáticos, podemos retirar a primeira lei da reflexão, uma lei qualitativa estabelecendo que, “O raio incidente, o raio refletido e a reta normal pertencem ao plano π (plano de incidência), normal à superfície refletora”. Também, experimentalmente, é possível estabelecer a segunda lei da reflexão, neste caso, uma lei quantitativa que diz: “O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência” Matematicamente temos, θ’1 = θ1 (4.1) A segunda lei da reflexão é conhecida desde a Antiguidade, sendo muito utilizada na construção de espelhos de telescópios refletores, superfícies refletoras de faróis, holofotes, fornos solares, reflexões em superfícies aluminizadas de satélites, antenas parabólicas, inversão de palavras prisma de reflexão total (prisma de Porro) e outros dispositivos. Utilizaremos as leis da reflexão no estudo da formação de imagens em espelhos planos e curvos Uma importante observação está relacionada à reversibilidade dos raios luminosos. Na figura 4.12, se trocarmos de posição os raios incidente e refletido, não ocorre qualquer problema com a primeira lei da reflexão. Também, é fundamental observar que os raios de luz são independentes uns dos outros, visto que ao se cruzarem em um ponto, cada um segue sua trajetória sem ser perturbado pelo outro. 4.8 Índice de Refração Antes de conceituarmos a refração da luz em meios materiais, vamos tratar de uma grandeza que está relacionada com a velocidade de propagação da luz nos meios transparentes ou translúcidos. O vácuo pode ser caracterizado como um meio homogêneo, isotrópico e transparente (dentre outras propriedades) e a velocidade da luz no vácuo torna-se independente da frequência de oscilação e possui velocidade constante e máxima, em torno de 300.000 km/s. Sua representação simbólica é c. Em qualquer outro meio material, a velocidade da luz é sempre menor do que no vácuo. O fator (a razão) segundo a qual a velocidade no meio (v) é reduzida denomina-se índice de refração do meio em relação ao vácuo, simbolizado pela letra n. É um parâmetro que caracteriza o meio óptico. Assim, temos que, n= c v (4.2) Note que o valor de n não apresenta unidade de medida (número puro), pois é uma relação entre velocidades. Quando um dos meios for o vácuo, o índice de refração é denominado de índice de refração absoluto do meio. Se considerarmos dois meios diferentes do vácuo (ar-vidro; vidroágua) o índice de refração é denominado de índice de refração relativo do meio 1 em relação ao meio 2 (n1,2), que é a razão entre o índice de refração absoluto do meio 1 (n1) e o índice de refração absoluto do meio 2 (n2). Assim, ficamos, n1, 2 = n1 n2 (4.3) O índice de refração para o vácuo é definido com sendo igual a 1. Qualquer outro índice de refração é sempre maior que a unidade (n ≥ 1). O índice de refração da luz num meio qualquer depende do meio e do comprimento de onda da luz incidente, causa da dispersão da luz pelo meio (arco-íris). Podemos, também, definir o índice de refração de um meio em relação ao vácuo. Sendo um dos meios o vácuo, com comprimento de onda (λ0), e outro meio qualquer, com comprimento de onda (λn), a relação entre os comprimentos de onda nos dá o índice de refração absoluto do meio, ou seja, λ n= 0 (4.4) λn Note que falamos do meio e do comprimento de onda da luz no meio, mas não falamos da frequência de vibração da luz. A frequência é determinada pela fonte e se mantém invariante, independentemente do meio através da qual o raio se propaga. Quando um raio passa de um meio a outro, muda sua velocidade de propagação e seu comprimento de onda, mas sua frequência permanece constante (fig. 4.13). Aqui o raio é tratado como onda. 66 Óptica geométrica Figura 4.13 - Meios distintos. Comprimento de onda e velocidades diferentes. Frequência constante. Alguns índices de refração, para uma frequência específica, são enumerados na tabela 1. Tabela 4.1 - Índices de refração absolutos. Frequência fixa. Exemplo O comprimento de onda da luz vermelha emitida por um laser hélio-neônio é igual a 633 nm no ar, porém, no humor aquoso existente no interior do globo ocular, o comprimento de onda é igual a 474 nm. Calcule o índice de refração do humor aquoso, a velocidade e a frequência da luz nesse líquido. Tome o índice de refração no ar igual a 1. Solução: O índice de refração relativo é dado por, n= λo 633nm = = 1,335. λ 474nm A velocidade da luz no ar é praticamente igual à velocidade da luz no vácuo, logo, c 3 x108 m / s v= = = 2, 25 x108 m / s n 1,335 A freqüência no humor aquoso f= v 2, 25 x108 m / s = = 4, 74 x1014 Hz λ 474 x10−9 m Obs. É importante notar que a frequência no ar e no humor aquoso é igual, mesmo que o comprimento de onda e a velocidade de propagação mudem. Prove esta afirmação! 67 4.9 FÍsiCa gEral iv Refração da Luz Vamos supor um raio incidindo na interface (fronteira) de separação de dois meios transparentes fazendo um ângulo de incidência em relação à reta normal igual a θ1. O raio é refratado (desviado) fazendo um ângulo de refração com relação à normal igual a θ2. Como mostra a figura, os ângulos não são iguais entre si (fig. 4.14), mas pertencem ao mesmo plano, inclusive a reta normal. Figura 4.14 - Refração da luz numa interface Durante muitos séculos, tentou-se descobrir uma relação entre os ângulos de incidência e de refração. Somente em 1620, o matemático holandês Willebrord Snell (1591-1626), analisando um grande número de ângulos de incidência e de refração obtidos experimentalmente, chegou à conclusão de que havia uma relação constante entre os senos destes ângulos1. Snell descobriu que quando a luz passava de um meio transparente para outro, a relação entre os senos dos ângulos em relação à reta normal, era uma constante característica dos dois meios. Se trocarmos de meios ela tem valor diferente. Assim, a Lei de Snell, como ficou conhecida, é dada por, senθ1 = constante senθ 2 (4.5) senθ1 v1 = = constante senθ 2 v2 (4.6) O efeito observável da mudança de direção que um raio de sofre ao passar de um maio a outro, denominada de refração, tem como causa a mudança de velocidade sofrida pelo raio na fronteira entre os meios. Suponha que no meio 1, a velocidade do raio incidente seja igual a v1 e, no meio 2, a velocidade do raio refratado seja igual a v2. É possível estabelecer uma relação matemática, decorrente da experimentação, entre a velocidade dos dois raios, de tal forma que, A figura 4.15 retrata a formulação anterior (eq. 6), onde o ângulo de refração θ2 depende das propriedades dos dois meios envolvidos e do ângulo do raio incidente θ1. Figura 4.15 - Raios incidente e refratado. Mudanças de direção e velocidade numa interface. Outra constatação experimental é que a trajetória de um raio através de uma superfície refratora é reversível, como foi na reflexão. É o princípio da reversibilidade aplicado à refração da luz. Também, a direção do raio refratado pode ser de aproximação ou de afastamento em relação à reta normal, dependendo do material de que é constituído o meio (fig. 4.16 a e b). Tal raciocínio também é válido para a velocidade, que pode ser menor ou maior. Se a incidência for perpendicular 1 A mesma lei foi deduzida em 1637, pelo filósofo e matemático francês, René Descartes, a partir da teoria corpuscular da luz defendida por Newton. Na França, ela é conhecida por Lei de Descartes. 68 à interface de separação entre os dois meio, o raio luminoso não se desvia porque o ângulo de incidência é nulo (fig. 4.16 c), mas a velocidade muda. Explique!!! Óptica geométrica Figura 4.16 - Direção dos raios refratados e seus comportamentos em relação à normal Uma outra forma de apresentar a Lei de Snell, também conhecida como Lei de SnellDescartes, é substituir as velocidades pelos índices de refração dos meios. Assim, ficamos com, senθ1 n2 = = constante senθ 2 n1 (4.7) Das equações 4.4, 4.6 e 4.7, é possível estabelecer a relação entre os índices de refração, as velocidades e os comprimentos de onda dos raios incidentes e refratados nos dois meios, ou seja, n2 v1 λ1 = = n1 v2 λ2 (4.8) É importante observar que a velocidade no meio é inversamente proporcional ao índice de refração do meio. Se tivermos “n” meios, podemos escrever, então, n1v1 = n2 v2 = ⋅⋅⋅⋅ = nn vn (4.9) Podemos definir duas leis que regem a refração regular da luz entre dois meios transparentes, homogêneos e isotrópicos, para um raio de luz monocromático. A primeira lei é qualitativa e diz: “O raio incidente, a reta normal e o raio refratado estão contidos em um mesmo plano, perpendicular à superfície de separação”. A segunda lei é uma lei quantitativa, facilmente verificada pela experimentação, diz: “A razão entre os senos dos ângulos de incidência e de refração é inversamente proporcional à razão entre os índices de refração nos dois meios, respectivamente”. Na literatura, é comum encontrar os termos “mais refringente” ou “menos refringente” quando se trata da refração da luz nos meios. Meio mais refringente é o meio que mais refrata o raio luminoso que o atravessa, ou seja, o raio se aproxima mais da reta normal (menor ângulo de refração) e, menos refringente, é quando o raio que o atravessa possui ângulo de refração maior em relação à normal. Se nos referirmos à velocidade, um raio oriundo de um meio menos refringente terá sua velocidade diminuída ao penetrar num meio mais refringente. Quanto mais refringente, menor a velocidade de propagação e, obviamente, maior o índice de refração absoluto do meio. Exemplo Um raio proveniente da água (meio a), com índice de refração igual a 1,33, penetra no vidro (meio b) com índice de refração igual a 1,52. Se o raio incidente forma um ângulo de 60° com a reta normal, quais são os ângulos (direções) de reflexão e de refração em relação à reta normal. Solução: De acordo com a segunda lei da reflexão, o raio refletido é igual ao raio incidente em relação à normal, logo, θ= θ= 60 r a Para o raio refratado, pela Lei de Snell-Descartes, ficamos com, n 1,33 θ= 49,3 senθb =a ⋅ senθ a = ⋅ sen60 = 0, 758 →→ θ= R b nb 1,52 69 4.10 FÍsiCa gEral iv Reflexão Interna Total Antes de conceituarmos a reflexão interna total, vamos introduzir uma observação experimental fundamental, sem a qual o fenômeno não acontece. “Só ocorrerá reflexão interna total se o raio luminoso vir de um meio mais refringente e se dirigir a um meio menos refringente”. Em termos de índice de refração, o índice do meio 1 (n1) é maior do que o índice do meio 2 (n2). Quando o raio de luz passa de um meio mais refringente (meio 1) para um meio menos refringente (meio 2), ele se afasta da reta normal. Se aumentarmos cada vez mais o ângulo de incidência, maior, também, será o ângulo de refração. À medida que o ângulo de incidência aumenta se chegará a uma situação em que o raio refratado na interface emergirá rasante à mesma, fazendo um ângulo de refração de 90° (sai tangente à superfície de separação entre os dois meios). Na figura 4.17, o ponto C é onde o ângulo de refração atinge seu valor máximo. Figura 4.17 - Reflexão interna total. Ângulo limite θL Se aumentarmos ainda mais o ângulo de incidência, verifica-se que não há mais luz refratada na interface, ficando o raio totalmente refletido internamente no meio 1 (fig. 4.17 – ponto D). Nesta situação, diz-se que há reflexão interna total do raio incidente, isto é, o raio fica retido no material de índice de refração maior, havendo, portanto, somente reflexão interna. Uma consequência dessa situação é que podemos definir um ângulo de incidência limite, um ângulo de incidência crítico, onde o raio refratado atinge seu valor máximo de 90° (fig. 4.18) “Define-se ângulo crítico (θc) ou ângulo limite (θL) ao ângulo de incidência para o qual o ângulo de refração vale 90°”. Figura 4.18 - Ângulo crítico θc ou ângulo limite θL. Existem textos didáticos que se referem ao ângulo crítico de refração ou ângulo limite de refração ( θ RL ). Neste caso, a luz vem do meio menos refringente e vai para o meio mais refringente. O raio incidente passa rasante à interface (θi = 90°) sendo refratado num ponto (raio refratado RL), obtendo assim um ângulo de refração máximo ( θ RL ), conforme a figura 4.19. Figura 4.19 - Ângulo crítico de refração A fibra ótica é um material que utiliza a reflexão interna total da luz incidente para transmiti-la através dele. A tecnologia do quartzo permitiu um amplo desenvolvimento das fibras óticas, que por reflexão total nas paredes internas da fibra, a luz ou outra radiação eletromagnética (Microondas, IV, luz visível, luz laser), pode ser conduzida por qualquer trajetória e, praticamente, 70 sem gasto da energia transportada. A transparência do quartzo e a obtenção de fios muito finos e flexíveis são propriedades físicas importantíssimas, superando as propriedades do vidro. Sua utilização na medicina e na comunicação é amplamente conhecida (figs. 4.20 e 4.21). Figura 4.20 - Fibra ótica. Múltiplas reflexões internas Óptica geométrica Figura 4.21 - Construção de fibra ótica Na medicina, são utilizadas nos fibroscópios, endoscópios e, nas comunicações, nos cabos de fibras óticas que transmitem pulsos eletromagnéticos com inúmeras frequências, com grande economia, sem interferência externa e com maior eficiência superando, em muito, os fios de cobre. Outra utilização das fibras óticas ocorre num certo tipo especial de telescópio, que permite observação simultânea de vários objetos através de vários braços mecânicos dotados de fibra ótica, onde cada braço focaliza um objeto, independentemente, dos demais. Também encontramos fibra ótica em lanternas, objetos de decoração de residências e, a propriedade de reflexão total com nitidez é usada em binóculos e periscópios construídos com prima de reflexão total. Podemos utilizar a Lei de Snell-Descartes para encontrar o ângulo limite na reflexão interna. Neste caso teremos que θ1 = θL e θ2 = 90°. Assim, ficamos com, = n1senθ L n= n2 2 sen90 →→→→ senθ L = n2 n1 (4.10) Exemplo Qual é o ângulo limite para a interface vidro-ar, sabendo que o índice de refração do vidro vale 1,52? Solução: Aplicando-se a Lei de Snell-Descartes (eq. 4.10) e considerando o índice de refração do ar igual a 1, temos, 1 sen = θ L = 0, 658 →→ θL = 41,1° 1,52 4.11 Dispersão da Luz Branca Um outro fenômeno importante explicado pela refração da luz é a dispersão da luz branca. Vamos supor um feixe de luz branca incidindo sobre um bloco de vidro. Quando a luz oriunda do ar atinge a superfície de separação, penetrando no vidro, ela sofre refração dando origem a um feixe colorido, composto por sete cores visíveis a olho nu. Tal fenômeno ocorre porque a luz branca é uma composição de várias luzes de diferentes frequências ou comprimentos de onda (luz policromática) e, portanto, todo e qualquer feixe de luz branca se comporta desta forma. A cor menos refringente é aquela que sofre menor refração (desvia menos) e, a mais refringente, é aquela que sofre maior desvio. No nosso caso, a luz que sofre menor refração é a cor vermelha e a mais refratada é a cor violeta (fig. 4.22). Figura 4.22 - Refração da luz branca. 71 FÍsiCa gEral iv O vidro, ou qualquer outro corpo transparente, apresenta um índice de refração diferente para cada cor, que apesar de ser muito pequena, permite que vejamos as várias cores da luz branca. Uma gota de água em suspensão na atmosfera se comporta como o vidro e a dispersão da luz no interior da gota permite que vejamos um leque de cores distintas, denominado de arco-íris. Quando um raio de luz branca penetra na gota ele se refrata na interface, sofrendo a primeira dispersão. Atingindo a superfície posterior da gota as várias cores se refletem internamente e voltam à interface anterior, mas em pontos distintos e, novamente, é refratada, aumentando ainda mais a separação entre as cores que emergem da gota. Assim, temos uma dupla refração e uma reflexão interna na formação do arco-íris. A dispersão ocorre em todas as gotas de chuva que estiverem recebendo luz solar (fig. 4.25.a). Um observador no solo, não recebe todas as cores oriundas de uma única gota, mas recebe cores provenientes de inúmeras gotas, de tal forma que a cor vermelha que chega ao observador é proveniente de gostas mais altas na atmosfera e as de cor violeta, de gotas mais baixas (fig. 4.23–b). Evidentemente, as outras cores do espectro da luz branca (conjunto de cores) são oriundas de gotas situadas entre estes dois pólos. O resultado é o maravilhoso fenômeno do arco-íris (fig. 4.24), resultado de efeitos combinados de dispersão, refração e reflexão da luz branca. Em certas situações, também é possível visualizar um segundo arco-íris, acima do primeiro. Como você explicaria tal fenômeno? Seus extremos são os mesmos (mesmas cores) ou eles estão invertidos? Como você explicaria o fato do arco-íris se apresentar de forma circular. Será que é divido à curvatura da Terra ou tem a ver com os ângulos de entrada e saída das gotas e concentrações de luz refletida nos extremos? Figura 4.23 - Dispersão da luz branca em gotas de chuva.. Figura 4.24 - O arco-íris e seus extremos Inúmeros outros fenômenos podem ser entendidos através da refração. A refração atmosférica (elevação aparente dos astros), a duração prolongada do dia, a imagem virtual de objetos no fundo de reservatórios (piscina, copo), as miragens no deserto, estradas que parecem molhadas em dias ensolarados, espelhismos nos mares terrestres (lenda do navio-fantasma “holandês voador” dos mares do Norte). Exercícios 1) Uma nave espacial, à distância de 1,404 x 106 km da Terra, envia fotos de Saturno através de sinais que se propagam à velocidade da luz no vácuo. Calcule o tempo que o sinal gasta para chegar à Terra. 2) Admita que o Sol subitamente “morresse”, deixando de emitir luz. Uma hora após esse evento, olhando para o céu, sem nuvens, o que você veria? a)- a Lua e as estrelas; b)- somente a Lua; c)- somente as estrelas; d)- uma completa escuridão; e)- somente os planetas do Sistema Solar. 72 5) Um método para se medir o diâmetro do Sol consiste em determinar o diâmetro de sua imagem nítida produzida sobre um anteparo, por um orifício pequeno feito em um cartão paralelo ao anteparo, conforme ilustração abaixo. Em um experimento realizado utilizando esse método, foram obtidos os seguintes dados: a)- o diâmetro da imagem = 9,0 mm, b)- a distância do orifício até a imagem = 1,0 m e c)- a distância Sol-Terra = 1,5 x 1011 m. Qual é, aproximadamente, o diâmetro do Sol por esse método? Óptica geométrica 6) Um feixe de luz de comprimento de onda igual a 589 nm, no vácuo, atravessa um pedaço de sílica (n = 1,458). Determine: a) a velocidade da luz na sílica; b) o comprimento de onda da luz na sílica. 5) Um feixe de luz de comprimento igual a 550 nm propagando no ar, incide sobre uma placa de material transparente. O feixe faz um ângulo de 40° com a normal no ponto de incidência e é refratado com um ângulo de 26° com a normal. Qual o índice de refração do material? 6) a) Qual é o ângulo crítico na interface água-ar, sabendo-se que o índice de refração da água é igual a ¾ e do ar é igual a 1. b) Utilize o resultado do item (a) para prever o que um peixe veria se olhasse em direção à superfície da água em ângulos iguais a 40° , 48,8° e 60°, conforme ilustração. 7) Um tanque retangular de 2 m de altura está cheio de água (n = 1,33). Um raio de luz incide na água com ângulo de 60°, em um dos lados do tanque. Determine a distância atingida pelo raio no fundo do tanque, adotando-se nar = 1. 8) Um raio de luz proveniente do ar incide sobre uma superfície líquida de tal maneira que os raios refletido e refratado são perpendiculares entre si. Determine o ângulo de incidência, sabendo que o índice de refração do líquido em relação ao ar é igual a √3. 9) Foi medida a velocidade da luz amarela do sódio, num certo líquido, obtendo-se o valor de 1,92 x 108 m/s. Qual o índice de refração do líquido em relação ao ar? 10) O índice de refração do benzeno é igual a 1,8. Qual o ângulo crítico de incidência para um raio propagando do benzeno para o ar? Comente porque não é possível haver reflexão interna total se o raio viesse do ar para o benzeno. 11) Um feixe de luz passa do meio 1 (ar) para um meio (2) e chega novamente ao meio 1, conforme ilustração abaixo. A linha tracejada representa o prolongamento do raio incidente se não houvesse o meio 2. Sendo θ = 30°, e = 2√3 cm e x = 1 cm, calcule o índice de refração do meio 2. 73 FÍsiCa gEral iv Anotações 74 Óptica geométrica Anotações 75 FÍsiCa gEral iv Anotações 76 5 Reflexão da Luz em Superfícies Planas e Esféricas. Formação de Imagens. 5.1 superfícies planas 5.2 superfícies Esféricas 77 5. REFLEXÃO DA LUZ EM SUPERFÍCIES PLANAS E ESFÉRICAS. FORMAÇÃO DE IMAGENS. 5.1 Superfícies Planas FÍsiCa gEral iv Como já foi visto, o fenômeno da reflexão da luz ocorre quando um raio luminoso incide numa superfície de separação de dois meios e retorna ao meio de origem. A superfície pode ser plana ou curva, mas as leis da reflexão continuam válidas para todas (fig. 5.1). Figura 5.1 - Reflexão em superfícies plana e curva. Antes de analisarmos o que significa uma imagem de um objeto, necessitamos conceituar o que é um objeto para a ótica. Denomina-se objeto qualquer coisa da qual emanem raios de luz. Podemos, também, denominar objeto como sendo um ponto ou um conjunto de pontos determinado pelo cruzamento dos raios luminosos incidentes no sistema ótico pertinente (divergente, convergente ou cilíndrico) Se a luz é emitida pelo próprio objeto, ele possui luz própria (objeto luminoso), caso contrário é um objeto iluminado, que reflete a luz incidente. Dependendo do objeto, ele pode ser entendido como objeto puntiforme (pontual – sem dimensão) ou objeto estendido (possui dimensão), podendo ser real quando definido pelo cruzamento efetivo dos raios luminosos incidentes, ou virtual quando definido pelo cruzamento do prolongamento dos raios luminosos incidentes. Também definimos imagem real de um objeto quando ela é formada pelo cruzamento efetivo dos raios luminosos emergentes e, imagem virtual, quando ela é formada pelo cruzamento do prolongamento dos raios luminosos refletidos ou refratados. Para iniciar nossos estudos, vamos considerar um objeto pontual e uma superfície plana, regular, portanto, produzindo reflexão regular ou especular (tipo espelho). Tal superfície pode ser a interface de um objeto com índice de refração diferente do meio de onde a luz vem (lago, vidro) ou a superfície refletora de um espelho, de um metal polido. De acordo com a segunda lei da reflexão, para todo raio que atinge a superfície, o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, ou vice-versa (fig. 5.2-a). Como a superfície é plana, a reta normal é sempre perpendicular à superfície refletora em todos os seus pontos e a reflexão é especular Se a luz é emitida de um ponto P (objeto puntiforme), depois de refletida, ela parece estar sendo emitida de um ponto P’ (imagem puntiforme). Nesta situação, dizemos que a superfície refletora forma uma imagem virtual do ponto P. Sempre há essa conjugação entre objeto-imagem (fig. 5.2-b). Figura 5.2-a - Objeto pontual. Ângulos de incidência e reflexão iguais Figura 5.2-b - Simetria do ponto. Imagem-objeto em relação ao espelho. Equidistância. Nas figuras anteriores, pode-se ver que os pontos objeto e imagem são simétricos em relação ao espelho, ou seja, eles estão na mesma perpendicular em relação ao plano do espelho e 78 são equidistantes do plano. É a propriedade de simetria do espelho plano. Se o observador não puder ver o ponto objeto, para ele é como se a luz tivesse como origem o ponto imagem (figs. 5.2-b). Se a superfície não for lisa, regular, a reflexão é difusa e os raios refletidos possuem direções diferentes, não formando uma imagem nítida do objeto. Vamos utilizar um diagrama de raios para determinar a distância do objeto à superfície refletora e a distância da imagem à superfície refletora. A técnica é válida tanto para objetos pontuais como para objetos extensos. No caso em questão, o objeto é extenso e de altura h. A grande vantagem do diagrama de raios é que, de uma infinidade de raios, podemos escolher uns poucos raios incidentes e emergentes para descrever os fenômenos da reflexão e da refração, quando for o caso. Para determinar a imagem de um objeto, devemos utilizar pelo menos dois raios incidentes e refletidos, como mostra a figura 5.3. reflexão da luz em superfícies planas e Esféricas. Formação de imagens. Figura 5.3 - Diagrama de raios Os raios incidentes emanados do ponto final da fecha e suas extensões (prolongamentos) permitem construir um modelo geométrico para a formação da imagem baseada nos triângulos PQR e P’QR. Como estes dois triângulos são idênticos, podemos escrever que “p = q ” (simetria na distância). O módulo (valor absoluto) no tamanho da imagem é porque existe uma regra de sinais envolvida nos valores de p e q. Em termos de tamanho, concluímos que a altura da imagem formada por um objeto colocado na frente de um espelho plano é numericamente igual à altura do objeto. A razão entre as alturas do objeto e da imagem é chamada de ampliação linear transversal (ou lateral) da imagem ou, simplesmente, de ampliação, simbolizada pela letra AL, onde, AL = h′ h (5.1) Para um espelho plano, a ampliação linear transversal é igual a 1, isto é, o tamanho da imagem é igual ao tamanho do objeto. A imagem formada por um espelho plano é sempre ereta (direita), virtual e possui sinal positivo. Encontraremos casos em que a imagem é invertida e a ampliação é negativa. Uma observação importante é que, em um espelho plano, a imagem de um objeto em 3 dimensões é ereta na direção paralela ao espelho e do mesmo tamanho, mas é reversa na direção frontal ao espelho, ou seja, somente ocorre a inversão no sentido de frente para trás em relação ao espelho e não uma inversão esquerda-direita (fig.5.4). Ela não é invertida em todos os sentidos! É só você observar a imagem da sua mão em um espelho. É a propriedade da reversão da imagem. Figura 5.4 - A imagem S’P’Q’’ é virtual, direita, reversa e do mesmo tamanho do objeto. Também há que se destacar que uma imagem formada por um dispositivo ótico pode servir de objeto para a formação de outra imagem para um segundo dispositivo ótico, como ocorre no microscópio e no telescópio refrator. Quando um espelho plano se movimenta, sua imagem também se movimenta. Se o movimento for de translação, o deslocamento de sua imagem também será de translação, deslocando-se o dobro do deslocamento do objeto. Se o espelho gira, a posição da imagem também gira. Se o ângulo de rotação do espelho for igual a α, o raio de luz refletido vai gira de um ângulo 2α (dobro). 79 FÍsiCa gEral iv Exemplo 1: Nos esquemas a seguir, a mãe está a 0,40 m da filha que se encontra a 0,80 m do um espelho plano à sua frente. Determine a distância da: a) mãe à imagem da filha; b) filha à imagem da mãe. Solução: Para resolver o problema vamos estilizar as pessoas (considerá-las como pontos materiais) e ver como ficam as reflexões das pessoas no espelho plano, Temos então,, Assim, ficamos com, a)- dMF’’ = 1,20 + 0,80 = 2,0 m b)- dFM’ = 0,80 + 1,20 = 2,0 m 5.2 Superfícies Esféricas Vimos que um espelho plano produz uma imagem do mesmo tamanho do objeto. Mas existem aplicações onde se deseja imagens maiores ou menores do que o objeto. Como exemplo, podemos destacar o espelho usado pelos dentistas (imagem maior que o objeto); espelho de monitoramento de lojas ou de trânsito; telescópio refletor (imagem real de estrelas distantes) e muitas outras aplicações. Somente um espelho curvo pode desempenhar tais tarefas. O caso mais simples são as imagens formadas por espelhos esféricos. Uma superfície lisa, de forma esférica, que reflete especularmente a luz, é chamada de espelho esférico. Se a luz estiver se refletindo na superfície interna, dizemos que o espelho é côncavo (fig. 5.5 a), e se a reflexão ocorrer na parte externa, dizemos que o espelho é convexo (fig. 5.5 b). Figura 5.5 - Espelhos côncavo e convexo. Para um espelho côncavo bidimensional (fig.5.6), o raio de curvatura é R e seu centro de curvatura localiza-se no ponto C. O ponto V é o centro do segmento esférico (vértice) e uma linha traçada de C para V é chamada de eixo ótico principal do espelho (segmento de reta s). Qualquer outro eixo que passe por C, divergindo do centro esférico é chamado de eixo secundário (segmento de reta s’). O ângulo α (abertura) está no plano que contém o eixo principal, sendo formado pelas semi-retas com origem em C e extremidades na borda da calota especular. Figura 5.6 - Espelho côncavo. Elementos 80 De acordo com as condições de nitidez de Gauss, o ângulo α deve ser pequeno, não superando 10° (região útil do espelho), caso contrário, a imagem aparecerá sem nitidez, como uma mancha ou borrada (aberração esférica – sistema astigmático). Para a condição de ângulo pequeno dizemos que o sistema é estigmático (para cada ponto-objeto conjuga um ponto-imagem). Também, adotaremos um modelo simplificado, onde os raios luminosos que atingem o espelho devem ser paralelos ou pouco inclinados em relação ao eixo principal (outra condição gaussiana). Tais raios são chamados de raios paraxiais (aproximação paraxial), garantindo, assim, que todo raio incidente ao ser refletido, intercepta o eixo principal num único ponto, chamado de ponto imagem real, e nestas condições, o espelho côncavo é chamado de espelho convergente. Vamos usar o modelo geométrico baseado no diagrama de raios para determinar a equação do espelho (equação dos pontos conjugados), que nos permite relacionar analiticamente as abscissas do objeto (p), da imagem(q) e do centro de curvatura C (R), nas condições de Gauss, já mencionadas anteriormente (referencial de Gauss). A figura 5.7 contém os dados que precisamos. reflexão da luz em superfícies planas e Esféricas. Formação de imagens. Figura 5.7 - Imagem de objeto nas condições de Gauss. Se conhecermos a distância do objeto e o raio de curvatura do espelho, é possível calcular a posição da imagem. Por convenção, tais distâncias (abscissas) são medidas a partir do vértice V. A figura 5.7 mostra dois raios que passam pela extremidade do objeto com ordenada (altura) h. Um passa pelo centro de curvatura C, reflete no espelho perpendicularmente e volta sobre si mesmo. Essa é uma propriedade de todo raio incidente que passa pelo centro de curvatura C. O segundo raio incide no vértice V fazendo um ângulo θ com o eixo ótico principal, refletindo-se, com ângulo de reflexão θ obedecendo à segunda lei de reflexão. A ordenada da imagem (altura) é h’ estando localizada onde os dois raios efetivamente se cruzam e possuindo uma abscissa q. É uma imagem invertida (h’<0). No referencial de Gauss, se o objeto ou imagem estiverem na parte de cima do eixo ótico principal, seus valores (ordenadas) são positivos, caso contrário, negativos. Pela figura 5.7 é possível identificar dois triângulos retângulos com ponto comum em V e ângulo θ. Do triângulo maior temos que tg θ = h/p e, do triângulo menor ficamos com tg θ = -h’/q. A ampliação linear transversal da imagem é dada pela equação 5.1, ou seja, AL = h′ q =− h p (5.2) Também pode identificar mais dois triângulos retângulos com ponto comum em C e ângulo α. Assim temos, tgα = h p−R e tgα = − Igualando e comparando com a equação 5.2, ficamos com, h′ R−q 1 1 2 + = p q R (5.3) (5.4) A equação 5.4 é chamada de equação dos pontos conjugados (equação de Gauss) ou equação do espelho esférico. É aplicável somente ao modelo simplificado do raio paraxial. Se o objeto está muito longe quando comparado com R (p→∞), temos que, 1/p→o, assim, q = 2/R. Isso significa que quando o objeto está muito longe do espelho, o ponto imagem está a meio caminho entre o centro de curvatura e o vértice (fig.5.8). Os raios incidentes que partem do objeto são praticamente paralelos uns aos outros e paralelos ao eixo óptico principal. Os raios não Figura 5.8 - Distância focal do espelho paralelos ao eixo não incidem sobre o espelho. esférico côncavo 81 FÍsiCa gEral iv O ponto onde os raios paralelos, após refletirem-se no espelho, se encontram é chamado de ponto focal (F), sendo ”f” sua distância focal (abscissa). Assim, f = R 2 (5.5) A equação do espelho pode ser expressa em termos da distância focal, ou seja, 1 1 1 + = p q f (5.6) Em um holofote ou em um farolete, a lâmpada deve ser fixada no foco do espelho esférico côncavo do aparelho, de tal forma que os raios refletidos saiam paralelos ao eixo central (eixo ótico principal em 3 dimensões) do sistema. A ampliação linear transversal (AL) ou aumento visual (Av) em termos da distância focal (f) e da abscissa da imagem (q) pode ser expressa por, AL = f −q f (5.7) Para um espelho esférico convexo, chamados de espelhos divergentes, os raios que partem de qualquer ponto do objeto são refletidos divergindo-se, como se eles estivessem vindo de algum ponto atrás do espelho. Nesta situação, a imagem é virtual, direita (ereta) e menor que o objeto. Aplicando o modelo simplificado, a equação dos pontos conjugados é a mesma, tomando o cuidado de definir o que é lado da frente e lado de trás do espelho, pois as abscissas e ordenadas sofrem mudança de sinal. A figura 5.9 é uma representação esquemática do espelho esférico convexo. Figura 5.9 - Espelho convexo. Imagem virtual Além do aumento linear transversal, podemos definir também, o aumento linear longitudinal (ALo), que é a relação entre o comprimento da imagem (Li) e o comprimento do objeto (Lo), medidos ao longo do eixo ótico principal do espelho. AL o = Li Lo (5.8) A imagem só será geometricamente semelhante ao objeto se for colocada frontalmente ao espelho, caso contrário, suas dimensões mudam. Para objetos em três dimensões, a razão entre as distâncias da imagem e do objeto medida ao longo do eixo óptico (ampliação linear longitudinal) é diferente da razão medida perpendicularmente ao eixo óptico (ampliação linear transversal). Em particular, quando a ampliação linear transversal for uma pequena fração do objeto, a imagem tridimensional de um objeto tridimensional ao longo do eixo óptico principal será muito mais reduzida que a imagem transversal. Uma coisa é certa, a imagem formada por um espelho esférico ou por um espelho plano é sempre reversa ao longo do eixo óptico. Podemos generalizar as convenções de sinais para todas as grandezas envolvidas (Tabela 2). p é positiva se o objeto está em frente ao espelho (objeto real). p é negativa se o objeto está atrás do espelho (objeto virtual). q é positiva se a imagem está em frente ao espelho (imagem real). q é negativa se a imagem está atrás do espelho (imagem real). Tanto f quanto R são positivos se o centro de curvatura está em frente ao espelho (espelho côncavo). Tanto f quanto R são negativos se o centro de curvatura está atrás do espelho (espelho convexo). Se M é positiva, a imagem é direita. Se M é negativa, a imagem é invertida. Tabela 2 - Convenção de sinais para espelhos esféricos. 82 Exemplo 2: Imagem formada por um espelho côncavo. Suponha que um determinado espelho esférico côncavo tem uma distância focal de 10 cm. Encontre a localização da imagem para distâncias do objeto iguais a (a) 25 cm; (b) 10 cm e (c) 5 cm. Descreva a imagem em cada caso. reflexão da luz em superfícies planas e Esféricas. Formação de imagens. Solução: Em todas as situações utilizaremos a equação de conjugada do espelho esférico (eq.3.6) e a ampliação linear transversal (eq. 3.2). a)- Quando p = 25 cm, o objeto está longe do espelho, assim, substituindo os valores na equação do espelho, ficamos com, q = 16,7 cm A ampliação é dada por, AL = − q = −0,668 vezes p Descrição: O módulo da ampliação linear é menor do que a unidade significando que a imagem é menor que o objeto e, o sinal negativo, indica que ela é invertida. Como q é positivo, a imagem está localizada na frente do espelho e é real (Tabela 2). b) quando p = 10 cm, ele está localizado no ponto focal do espelho. Substituindo os valores na equação do espelho ficamos com, q=∞ Descrição: Nessa situação, os raios refletidos são paralelos, não se cruzando, o que implica dizer que imagem se forma no infinito. c) para p = 5 cm, o objeto encontra-se entre o ponto focal e o vértice V do espelho, assim, q = - 10 cm e AL = 2 vezes Descrição: O valor negativo de q implica que a imagem é virtual e está localizada atrás do espelho. Ela é ampliada de duas vezes (imagem maior que o objeto) e, sendo positiva, implica que ela é direita. Exemplo 3: Imagem formada por um espelho convexo Um objeto de 3 cm de altura está localizado a 20 cm de um espelho convexo que tem uma distância focal igual a 8 cm. Encontre a posição da imagem e sua altura final. Solução: Como o espelho é convexo, sua distância focal é negativa (f < 0). Utilizando as equações do espelho da ampliação e da altura (eq. 3.1), ficamos com, q = - 5,71 cm; AL = 0,286 vezes e h’ = 0,858 cm. Descrição: O valor negativo em q é negativo implica que a imagem é virtual e está atrás do espelho. Quando a ampliação é positiva significa que a imagem é direita e, neste caso, menor que o objeto. 83 FÍsiCa gEral iv Exercícios 1) Dois espelhos planos formam um ângulo de 110° entre si. Um raio de luz incide em um dos espelhos com um ângulo de 40°, conforme mostra a ilustração. Determine o ângulo de reflexão do raio no outro espelho. 2) Uma casa está situada à beira de um lago de águas tranquilas. Numa certa hora do dia,pela posição do beiral, a luz direta do Sol não penetra na sala, mas uma parte da luz refletida pela superfície do lago (reflexão especular) invade a sala da casa pela janela AB, conforme mostra a ilustração a seguir. A inclinação dos raios no lago é iguala 53°. Determine: a)- a dimensão do segmento CD, relativo à luz refletida projetada no teto, se AB= 0,75 m; b)- o desvio sofrido pelos raios de luz na reflexão. 3) Um estudante usando cartola está defronte a um espelho plano vertical a uma distância “d” conforme ilustração abaixo. Do extremo superior da cartola até os pés, a distância é igual a 2 m, e, dos olhos do estudante até o solo, é igual a 1,60 m. Considere a ponta dos pés, o extremo superior da cartola e os olhos do estudante como situados no mesmo plano vertical Determine: a) a dimensão vertical mínima que deve ter o espelho para que a imagem do estudante seja vista integralmente; b)- Considerando que esteja sendo utilizado um espelho de dimensão mínima, a que distância do solo deve se situar a sua borda inferior? Sugestão: A resolução deve ser feita usando semelhança de triângulos. 4) Na falta de figurantes, um diretor de cinema lembra-se das aulas de Óptica Geométrica e resolve utilizar uma associação de dois espelhos planos para simular a presença de muitas pessoas. Com apenas 4 figurantes, ele consegue fazer uma tomada que aparenta ter 32 pessoas em cena. a)- Das 42 pessoas que “aparecem” em cena, quantas são imagens? b)Considerando uma das equações que determinam o número de imagens formadas por dois espelhos planos ( n 84 = 360 θ − 1 ), qual foi o ângulo usado entre os espelhos? 5) Quando aproximamos um objeto de um espelho côncavo, desde o infinito até próximo do centro de curvatura, sua imagem é: a)- real, invertida e diminui; b)- virtual e se afasta do espelho; c)- real, invertida e se afasta do espelho; d)- virtual e aumenta. reflexão da luz em superfícies planas e Esféricas. Formação de imagens. 6) A ilustração abaixo representa um espelho nas condições de Gauss (espelho gaussiano), com vértice V, foco principal F e centro de curvatura C. O Objeto real O colocado diante dele tem altura de 5 cm. a)- Faça o diagrama de raios e ache a imagem do objeto, dizendo se a imagem é real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor que o objeto; b)- Ache a distância o objeto e da imagem ao espelho e a ampliação linear transversal da imagem (tamanho). 7) Uma estreita barra AB (ilustração abaixo), tem 18 cm de comprimento e está disposta ao longo do eixo principal de um espelho esférico côncavo de distância focal igual a 24 cm. Verifica-se que a imagem da barra se superpõe à da própria barra. Qual é a distância do ponto B da barra ao vértice do espelho. 8) O filamento de uma lâmpada de lanterna está a uma distância de 10 cm em frente a um espelho côncavo que forma uma imagem sobre uma parede situada a uma distância de 3 m do espelho (ilustração abaixo). a)- quais as características da imagem? b)- qual é o raio de curvatura e a distância focal do espelho? c)- qual é a altura da imagem sabendo que a altura do objeto é de 5 cm? 9) Um ponto luminoso desloca-se com velocidade constante sobre o eixo de um espelho côncavo, de raio igual a 20 cm. A posição “p” desse ponto é medida a partir do vértice do espelho e está representada como função do tempo “t”, conforme ilustração abaixo. Obtenha a expressão da posição “q” da imagem do ponto em função do tempo. 10) Uma barra de vidro cilíndrica no ar possui índice de refração igual a 1,52. Uma das extremidades foi cortada e polida formando uma superfície hemisférica de raio igual a 2 cm, conforme ilustração. Calcule: a)- a distância formada por um pequeno objeto situado sobre o eixo principal da barra e a uma distância de 8 cm à esquerda do vértice b)- a ampliação linear transversal da imagem do objeto; c)- quais são as características da imagem? d)- se a barra for imersa na água (n = 1,33), calcule novamente os itens a) e b), mantendo as demais grandezas constantes;. e)- quais são as novas características da imagem? 85 FÍsiCa gEral iv Anotações 86 Anotações reflexão da luz em superfícies planas e Esféricas. Formação de imagens. 87 FÍsiCa gEral iv Anotações 88 6 6.1 superfícies planas 6.2 superfícies Esféricas Refração da Luz Superfícies Planas e Esféricas 89 FÍsiCa gEral iv 6 REFRAÇÃO DA LUZ – SUPERFÍCIES PLANAS E ESFÉRICAS 6.1 Superfícies Planas No capítulo 4, tratamos dos princípios gerais da refração luminosa, estabelecendo leis válidas para superfícies regulares e transparentes. Neste capítulo, faremos um apanhado de situações cotidianas envolvendo a refração em vários objetos planos e curvos. Em todos os casos, sempre usaremos o modelo simplificado de raios paraxiais, a Lei de Snell-Descartes e as condições de Gauss, quando for o caso. 6.1.1 Dioptro Plano Quando olhamos para dentro de uma piscina cheia de água, ela parece mais rasa do que realmente é. Um objeto mergulhado na água aparenta estar a uma profundidade menor do que a real. Essa aparente “ilusão de óptica” ou “imagem virtual” pode ser explicada através da refração que a luz sofre ao vir da água e atingir nossos olhos. A esse par de meios (ar-água) separado por uma interface lisa, dá-se o nome de dioptro plano, que pode ser generalizado para qualquer par de meios homogêneos e transparentes, separados por uma superfície plana. Vamos nos relatar à figura 6.1. Nela, estamos olhando para dentro da piscina e vendo um objeto que está no ponto O. Aparentemente, o objeto parece estar no ponto I (imagem virtual – profundidade dI), a uma distância menor do que deveria estar (profundidade do). A profundidade aparente pode ser obtida pela aplicação da lei de Snell-Descartes na passagem da luz proveniente da água (nágua – meio 1) para o ar (nar-meio 2). Figura 6.1 - Dioptro plano – Profundidade aparente Para ângulos pequenos em radianos (0 ≤ θ ≤ 15°), podemos fazer as seguintes aproximações trigonométricas, x senθ1 ≅ tgθ1 = d0 sen= θ 2 tg= θ2 e Substituindo na Lei de Snell-Descartes, ficamos com, nágua ⋅ Assim, x x = nar ⋅ d0 dI d= d0 ⋅ I nar nágua x dI (6.1) (6.2) (6.3) Esta situação ocorre quando você está pescando num lago calmo e vê um peixe numa certa profundidade. O peixe parece estar mais perto do que realmente está. Explique como um índio consegue atingir um peixe com uma lança. Onde ele deve mirar a lança? Uma situação oposta é quando um observador está mergulhando e quer ver um pássaro fora da água, ou um submarino submerso querendo atingir um helicóptero planando acima do mar calmo. Nesta situação, o objeto está a uma altura ho, mas aparentemente parece estar a uma altura hI, maior do que deveria estar (fig. 6.2). Fazendo as mesmas aproximações, ficamos com, h= h0 ⋅ I 90 nágua nar (6.4) refração da luz superfícies planas e Esféricas Figura 6.2 - Dioptro plano. Altura aparente Obs. Mesmo que o observador estiver com ângulo de visada vertical, é possível aplicar as aproximações da equação 6.1 Exemplo 1 Um fotógrafo, desejando captar a figura existente nos azulejos do fundo de uma piscina, posiciona sua câmera bem próxima à superfície calma da água e verticalmente ao fundo. Nessa situação, verifica que a câmera fica bem focalizada se a distância entre o azulejo e ela for igual a 3 m, conforme ilustração a seguir. Qual é a profundidade real da piscina. Dados: nágua = 4/3 e nar = 1. Solução: A luz vem da água (meio 1) para o ar (meio 2). A distância aparente é d1 = 3 m. A profundidade real da piscina (d0) será calculada utilizando a equação 4.3, assim, d1 n2 = →→ d0 = 4 m. d o n1 6.1.2 Lâmina de Faces Paralelas Outro dispositivo muito utilizado em residências, em automóveis, estabelecimentos comerciais e em pesquisas são as lâminas de faces paralelas. Um corpo transparente limitado por duas superfícies planas e paralelas constitui uma lâmina de faces paralelas (fig. 6.3). Estando imersa, por exemplo, no ar, temos um conjunto de três meios, a saber: ar-vidro-ar. Uma janela de vidro, uma lâmina de microscópio, para brisas de automóveis, películas que recobrem embalagens de produtos, mesas recobertas com vidro. Podemos ter vários meios transparentes envolvidos com um aquário, uma associação de lâminas paralelas, uma forma de vidro com água, etc. Figura 6.3 - Lâmina de faces paralelas imersa no ar. Vejamos o que acontece quando um raio de luz monocromático proveniente de ar (meio menos refringente) atravessa a placa de vidro de espessura “e” (meio mais refringente) e retorna ao ar, novamente. O ar e o vidro possuem índices de refração absolutos distintos e, neste caso, podese ver que o raio de luz sofre duas refrações nas faces paralelas da lâmina [interface ar-vidro (A) e vidro-ar (B)]. Aplicando a Lei de Snell-Descartes para as duas faces (pontos A e B), temos, nar ⋅ senθ1 =nvidro ⋅ senθ R e nvidro ⋅ senθ R = nar ⋅ senθ 2 (6.5) 91 FÍsiCa gEral iv É possível observar que após atravessar a lâmina de vidro, o raio emergente para o ar mantém-se paralelo ao raio incidente no vidro (θ1 = θ2 = θ). Assim, o efeito físico que a lâmina provoca é o deslocamento lateral do raio incidente-emergente (d). Vamos calcular o deslocamento lateral sofrido pelo raio. Do triângulo retângulo ABD, temos que, sen (θ1 − θ= R) d d →→→ AB = AB sen (θ1 − θ R ) (6.6) e e →→→ AB = AB cos θ R (6.7) sen(θ1 − θ R ) cos θ R (6.8) Do triângulo ABC, temos que, cos= θR Igualando as equações 6.6 e 6.7, ficamos com, d = e⋅ Se a lâmina possui índice de refração menor que o meio em que está imersa, o deslocamento também existe e aumenta, pois há um aumento do ângulo de refração. A figura 6.4 (a e b) permite a visualização das condições em que o deslocamento do raio incidente é mínimo e máximo. (a) (b) Figura 6.4 - (a) Deslocamento nulo. Incidência normal. (b) Deslocamento máximo. Incidência rasante. Exemplo 2 Um feixe de luz passa de um meio 1 para um meio 2 e depois volta ao meio 1, conforme mostra a representação abaixo. Mostre que o ângulo de incidência é igual ao ângulo que o raio sai da placa. Solução: Aplicando a lei de Snell-Descartes na superfície superior e na superfície inferior, ficamos com, senϑ2 = n1 senθ1 n2 e senθ 3 = n2 senθ 2 n1 Substituindo senθ2 na segunda equação temos, senθ 3 = n2 n1 n1 senθ1 = senθ1 n2 Assim, θ 3 = θ 1 . A placa não altera a direção do feixe, como é mostrada pela linha tracejada no desenho acima, produzindo apenas um deslocamento lateral do feixe, representado pela letra “d”. 92 6.1.3 Prismas Quando tratamos da refração luminosa, vimos que a dependência do índice de refração com o comprimento de onda, que resulta da dependência da velocidade com seu comprimento, é chamada de dispersão da luz. Uma vez que o índice de refração n é uma função do comprimento de onda, a Lei de Snell-Descartes indica que o ângulo de refração, quando a luz penetra num material, depende do comprimento de onda da luz, com exceção para o vácuo. Um prisma é um sistema composto por três meios homogêneos e transparentes (ar-vidroar), separado por duas superfícies não-paralelas, sendo um dispositivo importante para o estudo da refração da luz em suas interfaces, provocando a dispersão luminosa. A trajetória do raio de luz não é apenas deslocada (como na lâmina de faces paralelas), mas também desviada (refratada). Em função destas características, os prismas apresentam muitas aplicações tecnológicas. Imaginando um raio de luz monocromática atravessando um prisma, quando emerge do outro lado, ele forma com a direção do raio incidente um ângulo de desvio δ (fig. 6.5). refração da luz superfícies planas e Esféricas Figura 6.5 - Refração da Luz - Desvio angular δ Para um feixe policromático (luz branca) com inúmeros comprimentos de onda, cada raio monocromático sofrerá um desvio específico como função de seu comprimento de onda, resultando num leque de cores (espectro), denominado de arco-íris (fig.6.6). A dispersão total depende da diferença entre o índice de refração da luz violeta e o índice de refração da luz vermelha, dando-nos uma medida da dispersão. Figura 6.6 - Dispersão da luz branca por um prisma Vamos imaginar um prisma triangular (meio 2), imerso no ar (meio 1), atravessado por um raio de luz monocromático, cuja diferença entre a direção do raio incidente-emergente seja o ângulo δ, conforme a figura 6.7. Figura 6.7 - Prisma imerso no ar 93 FÍsiCa gEral iv O ângulo  entre as faces atravessadas pelo raio é chamado de ângulo de refringência e θ1 e θ2 são os ângulos de incidência e de emergência, respectivamente. Aplicando a Lei de SnellDescartes nos pontos de incidência-emergência e o teorema dos ângulos externos no prolongamento dos raios incidente-emergente e no prolongamento das retas normais às faces, temos que, ˆ δ= θ1 + θ 2 − Α (6.9) À medida que variamos o ângulo de incidência, o desvio angular δ também varia. No caso do prisma estar imerso no ar (meio menos refringente), o desvio por refração é mínimo δmin. quando os ângulos de incidência-emergência são iguais (θ1 = θ2 = θ), o que implica, também, que θ’1 = θ’2 = θ’. A situação fica exatamente simétrica em relação ao plano bissetor do prisma (linha divisória do prisma, onde o ângulo de refringência é dividido ao meio), donde ficamos com, A = θ1′ + θ 2′ = 2θ ′ (6.10) O desvio angular mínimo, fica, δ min . = 2θ − A (6.11) Dependendo da forma geométrica do prisma, o raio de luz pode sofrer refração na primeira face e reflexão total na segunda face, sendo denominada de prisma de reflexão total. A figura 4.1 apresenta os dois prismas de reflexão total mais utilizados em aplicações práticas, principalmente em substituição aos espelhos planos nos instrumentos ópticos. Ambos têm formato de um triângulo retângulo isósceles, porém, a luz incide de forma diferente nas faces. No prisma de Amici, o raio emergente é perpendicular ao raio incidente devido à reflexão total na face maior do triângulo, enquanto que, no prisma de Porro, o raio emergente sai na mesma direção do raio incidente, mas com sentido contrário, sofrendo duas reflexões totais nas faces menores do triângulo. Figura 6.8 - Prisma de Amici e prisma de Porro. Exemplo 3 Um prisma retangular de vidro crown imerso no ar (nar = 1), tem ângulo de refringência igual a 60°, e índice de refração np = 1,52, para uma certa luz monocromática. Determine o desvio do raio de luz que incide no prisma (ilustração abaixo). Solução: Para calcularmos o desvio δ, precisamos calcular o ângulo de emergência θ2. Para isso, devemos calcular antes os ângulos internos ao prisma θ 1′ e θ 2′ . Aplicando a Lei de Snell-Descartes para o raio luminoso na face 1 temos, nar ⋅ senθ1 = n p senθ1′ →→ θ 2′ , θ 2′ =32,3° θ1′ = 27, 7 Aplicando a equação 4.10 achamos o valor de Aplicando a Lei de Snell-Descartes na face 2, acharemos θ2. Assim, θ2 = 54,3° O desvio é dado pela equação 4.9, logo, δ = 39,3°. 94 6.2 Superfícies Esféricas As imagens podem ser formadas por reflexão ou refração dos raios em superfícies espelhadas ou não. Nesta parte, estudaremos a refração que ocorre na interface esférica entre dois materiais transparentes com índice de refração diferentes. É um estudo interessante, pois sua aplicação ocorre em sistemas óticos reais, como lentes, olho humano e instrumentos óticos em geral. Vamos considerar dois meios transparentes com índices de refração n1 e n2 onde a interface entre os dois meios é uma superfície esférica com raio de curvatura R. Vamos supor, também, que n1 < n2 (p. ex. ar-vidro). Um objeto puntual O está localizado no meio 1 e todos os raios paraxiais que emergem dele são refratados na superfície esférica, convergindo para um único ponto I (meio 2), o ponto imagem do objeto (fig.6.9). refração da luz superfícies planas e Esféricas Figura 6.9 - Imagem formada por refração na interface esférica entre os meios. Para fazermos um estudo analítico da situação, vamos desenvolver a construção geométrica para um único raio que emerge do ponto O (ponto objeto), passando, por refração, pelo ponto imagem I (fig. 6.10). Figura 6.10 - Geometria e parâmetros para o estudo analítico. Aplicando a lei de Snell-Descartes na fronteira, ficamos com, n1 senθ1 = n2 senθ 2 (6.12) Para raios paraxiais, os ângulos de incidência e de refração são pequenos, daí podemos utilizar a aproximação senθ ≈ θ (em radianos). Assim, a equação 29 fica, n1θ1 = n2θ 2 (6.13) Faremos uso de triângulos, mas o estudante deve lembrar que um ângulo externo de qualquer triângulo é igual à soma dos dois ângulos externos opostos do triângulo. Dessa forma, para os triângulos OPC e PIC, obtemos as seguintes relações, θ1 = α + β e β = θ2 + γ (6.14) Combinando as equações 6.13 e 6.14, eliminamos os ângulos de incidência e refração, assim, n1α + n2 γ = (n2 − n1 )β (6.15) Para ângulos pequenos (aproximação paraxial), temos as seguintes relações matemáticas aproximadas, tgα ≈ α ≈ d ; p tg β ≈ β ≈ d R e tgγ ≈ γ ≈ d q (6.16) Substituindo as aproximações na equação 6.15 e dividindo por d, ficamos com, n1 n2 n2 − n1 + = p q R (6.17) 95 FÍsiCa gEral iv A equação 6.17 estabelece a relação objeto-imagem para uma superfície esférica de raio R, imersa num meio com índice de refração diferente do dela. Para um objeto extenso de altura h frente a uma superfície refratora esférica que conjuga uma imagem h’ do objeto, a ampliação linear transversal de um objeto frente a uma superfície refratora é dada por, A L= nq h′ =− 1 h n2 p (6.18) As equações 6.17 e 6.18 podem ser aplicadas para superfícies refratoras côncavas ou convexas, desde que o estudante use as regras de sinais de modo correto. O sinal negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto (referencial de Gauss). A tabela 3 fornece a convenção de sinais para superfícies refratoras esféricas, inclusive, também são válidas para as lentes delgadas, que serão estudadas na próxima seção. Uma observação que deve ser feita é que as convenções de sinais para superfícies refratoras esféricas são similares às convenções para espelhos, mas deve ser tomado cuidado com relação à mudança nos lados da superfície para imagens reais e virtuais (Tabela 3). p é positiva se o objeto está em frente à superfície (objeto real). p é negativa se o objeto está atrás da superfície (objeto virtual). q é positiva se a imagem está atrás da superfície (imagem real). q é negativa se a imagem está em frente à superfície (imagem real). R é positivo se o centro de curvatura está atrás da superfície. R é negativo se o centro de curvatura está em frente à superfície. Tabela 3 - Convenção de sinais para superfícies refletoras transparentes Um caso interessante é quando a superfície refletora é uma superfície plana entre dois meios transparentes. O raio de uma superfície plana é infinito, ou seja, R → ∞. Neste caso, a equação 6.17 se reduz a, n1 n2 n + = 0 →→ q = − 2 p p q n1 (6.19) A ampliação linear transversal possui a mesma orientação do objeto, podendo ser real ou virtual. Exemplo 4 Um pequeno peixe está nadando a uma profundidade “d” abaixo da superfície plana de um lago. Qual é a profundidade aparente “q” do peixe visto diretamente de cima, conforme desenho ilustrativo a seguir. Solução: A superfície refletora é plana, portanto, o raio R é infinito, assim, aplicando a equação 4.19 ficamos com, q=− n2 1,0 p=− = −0,752d n1 1,3 O sinal negativo indica que a imagem é virtual, como pode ser visualizado pelo desenho acima, estando no mesmo lado da superfície que o objeto. A profundidade aparente é aproximadamente três quartos da profundidade real (ver exemplo dioptro plano). Qual é o valor a ampliação linear transversal do peixe? 96 Exemplo 5 Uma moeda de 2,00 cm de diâmetro está embutida em uma bola maciça de vidro com 30,0 cm de raio, conforme mostra o desenho abaixo. O índice de refração do vidro é 1,50 e a moeda está a 20 cm da superfície. Encontre: a)- a posição aparente da moeda (imagem); b)- a ampliação da imagem da moeda. refração da luz superfícies planas e Esféricas Solução: O índice de refração do ar é igual a 1. Como o índice do vidro é maior que do ar, os raios que se originam na moeda são refratados se afastando da normal. A imagem formada se localiza dentro do vidro, sendo virtual (do mesmo lado que a moeda) a) Aplicando a equação 4.17, ficamos com, 1,50 1 1, 00 − 1,50 + = −30, 0 20, 0 q →→ q = - 17,1 cm O sinal negativo indica que a imagem é virtual e está no mesmo meio que a moeda (luz incidente). O Raio é negativo porque o centro de curvatura está em frente da superfície côncava (Tabela 3). b) A ampliação é dada pela equação 4.18, assim, AL = − n1 q n2 p AL = 1,28 vezes A imagem parece ser 28% maior que o objeto. 6.2.1 Lentes O dispositivo ótico mais utilizado no mundo atual depois do espelho plano é a lente, que é um sistema ótico transparente, limitado por duas faces refratoras, das quais pelo menos uma é curva. As lentes sempre estão imersas em meios com índices de refração menor ou maior que o delas. Se o índice de refração do meio for menor que o delas, elas apresentam um comportamento óptico (aumento ou diminuição da imagem), e se for maior que o delas, ocorre o inverso. Quando as duas faces são esféricas ou uma é esférica e a outra não, a lente é denominada de lente esférica. Se as duas superfícies esféricas estão suficientemente próximas de tal forma que podemos desprezar a distância entre elas (espessura da lente) ou, quando a espessura é desprezível em relação aos raios de curvatura das faces, chamamos este dispositivo de lente esférica delgada. De acordo com tais critérios, existem seis tipos de lentes esféricas delgadas, dependendo se as faces apresentam superfícies côncavas, convexas ou ambas. As lentes mais grossas no centro do que nas bordas são chamadas de lentes esféricas de bordas delgadas, que quando imersa em meios com índice de refração menor que o da lente apresenta a propriedade de convergir os raios que passam por ela, recebendo o nome de lente convergente. Se a espessura da lente é mais fina no centro que nas bordas, recebe o nome de lente esférica de bordas espessas, e quando imersas em meios com índice de refração menor que o delas, apresentam características que fazem divergir os raios que por elas passam, recebendo a denominação de lente divergente. A figura 6.11 dá o perfil, em corte, de cada uma dessas lentes, enunciando em primeiro lugar o nome da face que possui o maior raio de curvatura R, com exceção para as lentes bicôncavas e biconvexas. 97 FÍsiCa gEral iv Figura 6.11 - Lentes esféricas divergentes e convergentes Para definir os elementos de uma lente esférica vamos considerar uma lente biconvexa (convergente no ar), cujo perfil está representado pela figura 6.12. Figura 6.12 - Lente esférica biconvexa. Elementos geométricos Vamos considerar a luz incidindo na face 1, mas a mesma análise é válida caso a luz incida na face 2, visto o princípio da reversibilidade dos raios luminosos. Por definição (fig. 6.12), os elementos de uma lente são: C – Centro de curvatura das faces; V – Vértice das faces; R – Raio das faces; S – eixo principal (contém os vértices e os centros de curvatura). A distância entre os vértices é a espessura da lente (e). Um ponto no interior da lente situado sobre o eixo principal e a igual distância entre os vértices é chamado de centro ótico da lente, símbolo O. Qualquer outro eixo que passe pelo centro ótico é chamado de eixo secundário da lente. Os raios luminosos ao incidir numa direção qualquer, mas que passam pelo centro ótico, emergem da lente na mesma direção, sofrendo um pequeno deslocamento lateral δ, que é menor do que a espessura da lente (e), considerado desprezível quando empregamos o modelo de raios paraxiais, portanto, para todos os fins, o raio que passa pelo centro ótico não sofre desvio. Para nossa análise, vamos considerar o diagrama de raios visualizado pela figura 6.13. Figura 6.13 - Diagrama de raios. Construção geométrica 98 Fazendo uso de relações trigonométricas de triângulos da figura e da ampliação da imagem, obtemos uma equação idêntica à dos espelhos esféricos, ou seja, 1 1 1 + = p q f (6.20) refração da luz superfícies planas e Esféricas A equação 6.20 é denominada de equação da lente delgada, equação dos pontos conjugados ou equação de Gauss, válida para lentes convergentes ou divergentes, desde que sejam observadas as convenções de sinais, descritas na tabela 4. p é positiva se o objeto está em frente à lente. p é negativa se o objeto está atrás da lente. q é positiva se a imagem está atrás da lente. q é negativa se a imagem está em frente à lente. R1 e R2 são positivos se o centro de curvatura está atrás da lente. R1 e R2 são negativos se o centro de curvatura está em frente à lente. f é positiva se a lente é convergente. f é negativa se a lente é divergente. Tabela 4 Convenções de sinais para lentes delgadas Observe que, ao utilizar a convenção de sinais da tabela 4, uma lente convergente tem uma distância focal positiva e uma lente divergente tem uma distância focal negativa. A ampliação linear transversal de uma lente é idêntica à dos espelhos esféricos, dada por, AL = h′ q f f −q =− = = h p f −p f (6.21) A convergência C ou Potência P de uma lente é definida como o inverso da abscissa focal (f), apresentando o mesmo sinal da distância focal. C=P= 1 f (6.22) Sua unidade no SI é a dioptria (di), tal que uma di = 1/m = m-1. Quanto maior o módulo da convergência de uma lente, maior será sua capacidade de desviar (refratar) raios provenientes do objeto. Popularmente a unidade da convergência (dioptria) é chamada de grau, ou seja, 1 grau = 1 di = 1 m-1. Pela equação acima, quanto maior a distância focal, menor é a convergência de uma lente (desvia pouco os raios incidentes). Exemplo 6 Uma lente convergente projeta uma imagem real a 72 cm de um objeto real, conforme desenho abaixo. Qual é a convergência da lente (di), sabendo-se que a imagem tem 5 vezes o tamanho do objeto. Solução: Como o objeto e a imagem são reais, as distâncias p e q são positivas, sendo a imagem invertida. A ampliação linear é dada por, h′ = −5 vezes, mas a ampliação pode ser dada pela equação 3.2, ou seja, h q AL = − →→ q = 5p (I) p AL = Do desenho temos que, q + p = 72 (II). Assim, p = 12 cm e q = 60 cm. Aplicando a equação dos pontos conjugados (4.20) temos, f = 10 cm.= 0,1 m. A convergência é dada pela equação 4.22, com a distância focal em metros. Assim, C = 10 dioptrias 99 FÍsiCa gEral iv Exemplo 7 Duas lentes delgadas e convergentes com distâncias focais iguais a 10 cm e 40 cm estão justapostas para se obter uma maior convergência. Calcule a convergência final da associação. Solução: Para se saber a convergência final, as distâncias focais devem ser expressas em metros (SI), Assim, Ceq. = C1 + C2 = 1 1 1 1 + = + f1 f 2 0,1 0, 4 →→ Ceq. = 12,5 di Toda lente está imersa em determinado meio que influencia sua convergência. Edmond Halley (1656-1742), físico e astrônomo inglês, propôs uma equação, que ficou conhecida como fórmula dos fabricantes de lentes, que relaciona a influência do meio que envolve a lente no valor de sua distância focal. A distância focal está relacionada com a curvatura das faces da lente, com o meio que a envolve e com o material de que é feito a lente. A equação proposta permite mostrar que todas as lentes convergentes possuem distâncias focais positivas e que todas as lentes divergentes possuem distâncias focais negativas. A equação é encontrada em livros da área e cabe ao aluno procurar deduzi-la. A figura 6.14 serve como auxílio. Figura 6.14 - Lente bicôncava imersa em meio No processo de dedução da relação entre a distância do objeto (p), da imagem (q) e da distância focal (f) de uma lente delgada (equação da lente delgada), também é possível deduzir uma relação matemática entre a distância focal (f) de uma lente em função de seu índice de refração e do meio que a envolve, bem como dos raios de curvatura de suas faces. A equação dos fabricantes de lentes é dada por, C= 1 1 1 1 n2 1 + = = − 1 + p q f n1 R1 R2 (6.23) Deve-se observar a convenção de sinais para as lentes e, em especial, se o sinal do raio de curvatura R é positivo, a lente é convergente (superfície externa convexa) e quando R for negativo, a superfície externa é côncava (lente divergente). Obs: Tem que ser analisado os dois lados da lente e ver se os centros de curvaturas estão na frente ou atrás da lente e se possuem os mesmos valores. Exemplo 8 Uma lente biconvexa imersa no ar tem um índice de refração igual a 1,50. O raio de curvatura da superfície frontal vale 10 cm e o da traseira é igual a 15 cm. Qual é a distância focal da lente? Solução: Pela tabela 4, vemos que R1 = 10 cm e R2 = - 15 cm. Utilizando a equação dos fabricantes de lentes (4.23), temos que, 1 1 n2 1 →→ f = 12 cm. = − 1 + f n1 R1 R2 As lentes são representadas por setas orientadas que procuram dar a ideia de que a lente é mais fina nas bordas ou mais grossa. É uma forma estilizada que não faz uso da espessura real da lente, mas considera o eixo ótico principal e o centro ótico das lentes. A seta perpendicular e orientada para fora do eixo (extremidades) representa uma lente convergente e orientada no sentido do eixo representa uma lente divergente. A figura 6.15 visualiza a representação estilizada das lentes convergentes e 100 divergentes, que será utilizada para a construção de imagens produzidas por lentes. refração da luz superfícies planas e Esféricas Figura 6.15 - Representação pra as lentes convergentes e divergentes Toda lente possui dois focos que podem ser reais ou virtuais. Eles serão denominados de foco objeto principal e foco imagem principal (fig. 6.16). Situados em planos paralelos à lente, numa distância igual à distância focal, temos dois planos denominados de planos focais. Qualquer segmento de reta que contenha o centro ótico da lente é denominado de eixo, que pode ser principal ou secundário. Em particular, se a reta for o eixo principal, obtemos os focos principais, objeto ou imagem. Fora desta condição, obtemos os focos secundários. As figuras a seguir, visualizam os focos das lentes convergentes e divergentes. Figura 6.16 - (A) Foco objeto principal (F0) – Lente convergente. (B) Foco objeto principal (F0) – Lente divergente. O foco objeto principal é relativo à luz que incide na lente (fig. 6.16). Observa-se que os raios incidentes que passam pelo foco objeto emergem paralelos ao eixo principal. Para a lente convergente o foco é real (cruzamento efetivo dos raios luminosos), enquanto que, para a lente divergente, o foco é virtual (cruzamento do prolongamento dos raios incidentes). Figura 6.17 - (A) Foco Imagem principal (Fi) – Lente convergente (B) Foco Imagem Principal (Fi) – Lente divergente O foco imagem principal se refere à luz que emerge da lente (fig. 6.17). Quando raios incidem paralelos ao eixo principal, estes emergem da lente numa direção que contém o foco imagem. Para as lentes convergentes, o foco imagem é real, enquanto que, para as lentes divergentes, o foco imagem é virtual. Uma observação importante é que se os meios externos à lente forem os mesmos (dos dois lados da lente), os dois focos principais, objeto e imagem, são simétricos em relação ao centro ótico da lente. A distância entre um foco principal (F) e o centro ótico da lente (O) é chamada de distância focal (f). Também podemos definir três raios, chamados de raios notáveis ou raios principais (fig.6.18), porque possuem um comportamento específico e serão de grande valia para a obtenção das imagens formadas por lentes e pelos instrumentos óticos. Tais raios para as lentes convergentes e divergentes são visualizados a seguir. 101 FÍsiCa gEral iv Figura 6.18 - Raios notáveis para lentes convergentes e divergentes. Os raios notáveis apresentam as seguintes características: 1- Todo raio luminoso incidente que passa pelo centro ótico da lente não sofre desvio (não é refratado). 2- Todo raio luminoso incidente que passa pelo foco objeto principal da lente é refratado, emergindo paralelamente ao eixo principal. 5. Todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal da lente, ao sofrer refração, emerge passando pelo foco imagem principal. Também podemos definir os pontos antiprincipais das lentes esféricas delgadas. São pontos cuja distância ao centro ótico é o dobro da abscissa focal (fig. 6.19), possuindo a seguinte propriedade: Todo raio de luz que incide na lente numa direção passando pelo ponto antiprincipal objeto (A0) emerge numa direção que passa pelo pronto antiprincipal imagem (Ai). Figura 6.19 - Pontos antiprincipais para lentes convergentes e divergentes. Utilizando os raios notáveis, os focos e os pontos antiprincipais, vamos construir as imagens formadas por lentes convergentes e divergentes. Dado um ponto objeto principal (P), faremos uso de apenas dois raios principais, para determinar o ponto imagem principal (P’). Poderíamos usar os três raios notáveis, mas somente dois raios que concorrem para um mesmo ponto são necessários, inclusive, para que nosso diagrama não fique sobrecarregado de retas atrapalhando a visualização. Vamos iniciar nosso diagrama para as lentes convergentes, pois elas são importantes na construção de telescópios, microscópios, óculos, lupas e outros. Dependendo da posição do objeto real em relação ao centro óptico da lente, ela associa uma imagem real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor do que o tamanho do objeto. Podemos ter cinco posições distintas ocupadas pelo objeto, que são: a)- Objeto colocado aquém do ponto antiprincipal A0. Nesta situação, a imagem será real, invertida e menor do que o objeto, situada entre o foco imagem e o ponto antiprincipal imagem, conforme pode ser visualizado pela figura 6.20. Este tipo de imagem ocorre nas máquinas fotográficas e filmadora, que conjuga a imagem sobre o filme. Figura 6.20 - Imagem real, invertida e menor que o objeto. 102 b)- Objeto colocado no ponto antiprincipal A0. Nesta posição, a imagem é real, invertida e do mesmo tamanho que o objeto, localizada sobre o ponto antiprincipal imagem, conforme se depreende da figura 6.21. refração da luz superfícies planas e Esféricas Figura 6.21 - Imagem real, invertida e do mesmo tamanho que o objeto. c)- Objeto colocado entre o ponto antiprincipal objeto A0 e o foco objeto F0. Para esta disposição, a imagem é real, invertida e bem maior que o objeto, estando localizada além do ponto antiprincipal imagem. Tal situação ocorre nos projetores de filmes e de slides, que do objeto conjuga uma imagem sobre a tela, podendo ser visualizada por vários observadores ao mesmo tempo, conforme a figura 6.22. Figura 6.22 - Imagem real, invertida e maior que o objeto. d)- Objeto sobre o foco objeto F0. A imagem é chamada de imprópria, pois está formada no infinito. Na realidade, não há cruzamento dos raios (imagem real) e nem do prolongamento dos raios (imagem virtual), conforme se percebe da figura 6.23. Os raios refratados são paralelos, portanto, nunca se encontram para formar imagens. Figura 6.23 - Imagem imprópria. Raios refratados paralelos. e)- Objeto colocado entre o foco objeto F0 e o centro óptico da lente 0. Nesta situação, a imagem é virtual, direita e maior que o objeto, estando do mesmo lado da lente que o objeto. É o caso das lupas ou microscópio simples e parece que ela está atrás da lente, sendo que, para o observador, dá a impressão que os raios refratados emergem do ponto P’ (ponto imagem), conforme pode ser visualizado pela figura 6.24. 103 FÍsiCa gEral iv Figura 6.24 - Imagem virtual, direita e maior que o objeto. As lentes divergentes, como o próprio nome diz, em vez de concentrar os raios refratados no ponto imagem, ela os divergem, sempre produzindo imagens direitas, menores e virtuais. Muitas vezes, pode-se pensar que as lentes divergentes não possuem utilização tecnológica, visto as características de suas imagens, mas esta visão não é verdadeira. As lentes divergentes são utilizadas nos “olhos-mágicos” das portas de segurança, nos óculos e lentes de contato de pessoas míopes, na lente panorâmica de máquinas fotográficas (associação de lentes). Em todas estas situações, a lente divergente cria uma imagem pequena de um grande campo de visão (ângulo de visão grande). A figura 6.25 representa a lente divergente. Figura 6.25 - Lente divergente. Imagem virtual, direita e menor que o objeto. 6.2.2 Aberrações em Lentes e Espelhos Um dos problemas que surge ao usarmos lentes, sistemas de lentes ou espelhos esféricos são as imperfeições nas imagens. Ao adotarmos o modelo de raio paraxial para imagens formadas por lentes ou espelhos esféricos, estamos supondo que os raios incidentes fazem pequenos ângulos com o eixo principal e que todos os raios que incidem partindo de uma fonte puntual são focalizados em um único ponto, chamado de ponto imagem, que deveria ser nítida, clara e perfeita. Na realidade, as imagens formadas não são sempre assim, havendo imperfeições, falta de nitidez, borradas, demonstrando que o modelo de raios paraxiais não vale para todo e qualquer ângulo de incidência. Para analisar de forma correta a formação de imagens, devemos a cada raio traçado, aplicar a lei de reflexão, para o caso das superfícies refletoras e, a Lei de Snell-Descartes a cada superfície refratora. Tal procedimento mostra que não existe um ponto único no qual ocorre a formação da imagem, mas pode existir uma infinidade de pontos, resultando numa pequena área, onde a imagem aparece borrada, sem nitidez. As discrepâncias entre as imagens reais (imperfeitas) e as imagens ideais prescritas pelo modelo de raios paraxiais, são chamadas de aberrações, que podem ser esféricas ou cromáticas. A aberração esférica, já comentada quando tratamos do modelo de raios paraxiais para superfícies esféricas, resulta no fato de que os pontos focais dos raios luminosos distantes do eixo principal de uma lente ou espelho esférico são diferentes dos pontos focais para os raios (de mesmo comprimento de onda) que passam próximos do eixo ótico principal. Ela consiste na impossibilidade de um objeto puntiforme situado sobre o eixo principal convergir para uma imagem puntiforme (P’), assim, os raios convergem para uma região no interior de um círculo que possui raio mínimo, denominado de círculo de confusão mínima (C), e a seguir, divergem 104 novamente (fig. 6.26). Para as aberrações esféricas situadas fora do eixo ótico principal, as imagens aparecem na forma de cone, em vez de círculos, efeito este denominado de coma. refração da luz superfícies planas e Esféricas Figura 6.26 - Aberração esférica – Círculo de confusão mínima Quando o ângulo que o raio forma com o eixo ótico principal é grande (raios que incidem nas extremidades da superfície), o ponto imagem onde os raios interceptam o eixo ótico principal fica mais próximo do vértice do que no caso dos raios paraxiais, resultando numa imagem imperfeita, borrada, uma mancha. Assim, a superfície esférica não tem uma distância focal única (fig.6.27). Figura 6.27 - Aberração esférica – Foco imagem distintos. As imagens borradas produzidas, inicialmente, pelo telescópio espacial Hubble, deveramse muito às aberrações esféricas de seu espelho primário, posteriormente, corrigidas. As aberrações cromáticas são vinculadas às lentes esféricas, visto que a distância focal de uma lente é determinada pela refração da luz que a atravessa. Já vimos, quando tratamos da dispersão luminosa, que a refração da luz depende do comprimento de onda da radiação incidente, assim, a distância focal de uma determinada lente delgada depende da cor da luz que a atravessa. A distância focal é maior para a luz vermelha do que para a luz violeta (fig. 6.28). Figura 6.28 - Aberração cromática – Foco imagem distinto Outros comprimentos de ondas visíveis teriam pontos focais intermediários aos da luz vermelha e violeta, que são os extremos do arco-íris. Quando a luz branca atravessa uma lente, cada cor é refratada para formar uma imagem nítida em um ponto distinto. Esse fenômeno é chamado de aberração cromática, que uma deficiência da lente delgada. Se a lente for divergente, a aberração cromática é oposta daquela da lente convergente. Para reduzir a aberração cromática, normalmente usa-se uma combinação de lentes convergentes e divergentes, feitas de materiais transparentes, mas diferentes. Espelhos não sofrem aberrações cromáticas, sendo esse o principal motivo do uso de espelhos esféricos em telescópios astronômicos de grande porte. 105 FÍsiCa gEral iv Exercícios 1) Um pescador deixa cair uma lanterna acesa em um lago de 10 m de profundidade. No fundo do lago a lanterna emite um feixe luminoso formando um pequeno ângulo θ com a vertical, conforme ilustração. Considerando θ pequeno (tgθ = senθ = θ) e o índice de refração da água igual a 1,33, determine a profundidade aparente do lago “h” vista pelo pescador. 2) Um raio de luz incide numa lâmina de vidro de faces paralelas, imersa no ar, conforme ilustração abaixo. Depois de atravessar a lâmina, emerge do vidro para o ar. Nessa situação podemos afirmar: a) i1 = r2; b) i1> r2; c) i1 = i2; d) i1 < r2. 3) Um raio luminoso monocromático, propagando-se no ar, incide sobre a superfície de um prisma, conforme ilustração abaixo. O índice de refração do prisma em relação ao ar é igual a √2. Determine: a) o ângulo de refração na face incidente; b) o desvio angular sofrido nesta primeira refração; c) o ângulo de incidência na face oposta (segunda face do prisma); d) o desvio sofrido nesta face; e) o desvio total que o raio sofre ao atravessar o prisma. 4) Considere uma lente plano-convexa, de índice de refração igual a 1,50, cuja face curva tenha um raio de 50 cm, mergulhada num líquido de índice de refração igual a 2,0. Qual é a distância focal da lente. Por que a lente é convergente? 5) O tamanho de um objeto é igual a 15 cm, situado a 30 cm de uma lente que forma uma imagem virtual do objeto de tamanho igual a 3 cm. a)- Faça o diagrama de raios e ache as características da imagem. b)- Qual a distância da imagem à lente. c)- Determine a distância focal da lente. Obs. Verifique a tabela para a regra de sinais. 6) Querendo determinar o “grau” de uma lente convergente, um estudante coloca perpendicularmente à direção dos raios solares e vai ajustando sua posição até verificar que a menor mancha luminosa possível é obtida a 50 cm da lente. Qual o grau obtido (dioptria)? 106 7) Uma lente convergente possui distância focal de 10 cm. Para um objeto a 5 cm da lente, como aparecerá sua imagem para um observador posicionado do outro lado da lente? a) invertida, virtual e do tamanho do objeto; b) invertida, real e menor que o objeto; c) invertida, real e maior que o objeto; d) direita, virtual e maior que o objeto; d) direita, real e menor que o objeto. refração da luz superfícies planas e Esféricas 8) Uma lente convergente de distância focal igual a 4 cm forma uma imagem de um objeto localizado a 6 cm de seu centro óptico. A imagem formada está a 12 cm, do outro lado da lente. Sobre a altura da imagem, pode-se afirmar: a) há uma redução de 4 vezes em relação à do objeto; b)há uma aumento de 2 vezes em relação à do objeto; c) não há mudança alguma; d) há uma redução no tamanho da imagem de 5 vezes. 9) Uma lente convergente de abscissa focal 10 cm é justaposta a uma outra divergente, de abscissa focal de 20 cm. Qual a abscissa focal do conjunto da associação. 10) Aberração cromática - Em uma lente plano-convexa de vidro, sua face plana é voltada para o objeto. A outra face tem raio de curvatura de 30 cm. A lente está imersa no ar. O índice de refração do vidro para a luz violeta (λ = 400 nm) é de 1,537 e para a luz vermelha (λ = 700 nm) é de 1,517. A cor púrpura é uma mistura da cor vermelha com a cor violeta. Quando um objeto de cor púrpura é colocado a uma distância de 80 cm dessa lente, onde se formam as imagens vermelha e violeta? Obs. Utilize a tabela de convenções sinais para as lentes (tabela 4) 107 FÍsiCa gEral iv Anotações 108 Anotações refração da luz superfícies planas e Esféricas 109 FÍsiCa gEral iv Anotações 110 7 Olho Humano e Instrumentos Ópticos 7.1 o olho humano 7.2 anomalias da visão 7.3 instrumentos Ópticos de observação 7.4 instrumentos Ópticos de projeção 111 FÍsiCa gEral iv 7 OLHO HUMANO E INSTRUMENTOS ÓPTICOS 7.1 O Olho Humano Nesta parte, apresentaremos as características e o funcionamento do olho humano, órgão sensorial fotorreceptor, que percebe a luz, as cores, as formas, os movimentos, o espaço. Devemos distinguir o olho humano do olho dos insetos e de alguns animais marinhos, que são olhos multifacetados, também denominados de olhos compostos, formados por muitas pequenas facetas receptoras de luz, chamadas de omatídeo. O globo ocular humano é opticamente equivalente a uma máquina fotográfica comum, sendo constituído por um sistema de lentes, um sistema de diafragma variável e uma retina que corresponde a um filme fotográfico em cores. Suas características especiais são: a)- um sistema automático de focalização que permite ver objetos a curta e longa distâncias quase que simultaneamente; b)- um diafragma, a íris, que controla automaticamente a quantidade de luz que entra o olho, suficiente para estimular o nervo óptico que leva informações ao cérebro; c)- é eficiente para operar tanto em ambientes claros como em escuros, inclusive, distinguindo as cores dos objetos; d)- a imagem de um objeto formada na retina é sempre menor, real e invertida, mesmo que o olho apresente defeitos de visão e necessite de correção; e)- possui ampla visão angular a partir do ponto central do olho. Na horizontal, 90° na direção da têmpora e 50° na direção do nariz; na vertical, 50° para cima e 65° para baixo. O olho humano é quase esférico, com diâmetro aproximado de 2,5 cm. A parte frontal, chamada de córnea (índice de refração entre 1,37 – 1,38), é ligeiramente encurvada, recoberta por uma membrana dura, clara e transparente, responsável por, aproximadamente, dois terços da focalização da luz na retina. Os raios incidentes na parte externa da córnea são refratados em decorrência de sua curvatura e à diferença entre seu índice de refração e o do ar. A refração dos raios luminosos nas diversas partes do olho é que produz sua focalização na retina, membrana semitransparente e constituída de terminações do nervo óptico, que leva as sensações luminosas ao cérebro. A região atrás da córnea é preenchida por um líquido gelatinoso, claro, transparente, chamado de humor aquoso (índice de refração igual a 1,34). Ele é produzido continuamente e o excesso é eliminado pelo canal de Schlemm. O humor aquoso mantém a pressão no olho (15mmHg), além de fornecer nutrientes à córnea e ao cristalino que não são vascularizados. Após a córnea está a íris, diafragma de cor azul, verde, castanha ou cinza, composto principalmente por músculos circulares que ao se contraírem ou se distenderem, diminuem ou aumentam o tamanho da abertura – a pupila – por onde entra a luz, cuja função principal é a de regular a quantidade de luz que penetra no olho. O diâmetro da pupila pode variar desde 1,5 mm (luz intensa) até 8 mm (escuridão), não respondendo instantaneamente às variações de intensidade luminosa, de tal forma que são necessários 5 segundos para se fechar ao máximo (luz intensa) e 300 segundos para se abrir ao máximo (escuridão). Depois de atravessar a córnea, o humor aquoso e a pupila, os raios luminosos encontram o cristalino (lente biológica), responsável pelo outro um terço da focalização da luz na retina. O cristalino tem o formato de uma lente biconvexa, parecida comum grão de feijão, constituído por um número muito grande de fibras transparentes (gelatina fibrosa), dura no centro (índice de refração iguala 1,41) e, progressivamente mais macia à medida que se aproxima de sua periferia (índice de refração igual a 1,38). A lente cristalina é sustentada por ligações com o músculo ciliar, localizado em sua volta que podem alterar a forma da lente, tornando-a mais convexa, aumentando sua capacidade de refratar raios luminosos, isto é, aumentando seu poder de focalização. Este processo de mudar a forma da lente cristalina (mudança da convergência) para convergir na retina raios refratados provenientes do objeto, que pode estar a uma pequena ou grande distância, é conhecido por acomodação visual. A mudança de formato se processa quase instantaneamente, mas o olho só focaliza objetos numa dada posição por vez. Quando os músculos ciliares estão relaxados e o cristalino achatado, o olho apresenta o mais baixo poder de refração, focalizando somente objetos que estão a grande distância dele, mas quando os músculos ciliares se contraem, o cristalino fica mais convexo, aumentando seu poder de refração e focalizando objetos mais próximos dele. Atrás do cristalino encontra-se o humor vítreo (índice de refração igual a 1,34), uma substância clara e gelatinosa que preenche o espaço entre o cristalino e a retina, Seu índice de refração é praticamente igual ao do cristalino, mantendo assim, os raios luminosos na direção estabelecida pela lente cristalina. Finalmente, a luz refratada chega à retina, que é cor-de-rosa e com espessura aproximada de 0,5 mm, cobrindo quase toda a superfície interna do olho, sendo altamente vascularizada e 112 contendo uma rede de nervos. A imagem é formada sobre a retina, uma membrana sensível à luz (rica em células fotossensíveis) que desempenha o mesmo papel de um filme fotográfico em cores. Os cones (em torno de 7 x 106) e os bastonetes (em torno de 1,3 x 108) são minúsculas fotocélulas que captam a imagem e transmitem os impulsos elétricos através do nervo óptico para o processamento cerebral. Os cones são responsáveis pela visão mais detalhada à luz do daí (visão a cores) e os bastonetes são responsáveis pela visão sob luz fraca (visão nas cores preto e branco). A figura a seguir dá os detalhes simplificados de um olho humano. olho humano e instrumentos Ópticos Figura 7.1 - Olho humano e suas partes Utilizando a teoria da dualidade onda-partícula, pode-se dizer que um fóton de radiação luminosa com energia suficiente causa uma reação fotoquímica nas células fotorreceptoras que dá origem a um potencial de ação. Um fóton de radiação infravermelho não tem energia suficiente para iniciar a reação fotoquímica e, portanto, não é detectado pelo olho. Um fóton de radiação ultravioleta possui energia suficiente para iniciar uma reação fotoquímica, mas é absorvido antes de atingir a retina e também não é detectado. Isto explica a faixa de radiação eletromagnética (400 – 700 nm) visível ao ser humano. Para simplificar nosso estudo, vamos utilizar um esquema denominado de olho reduzido, constituído por uma lente convergente variável e de um anteparo posicionado a uma distância constante de 2 cm em relação à lente (ponto q), conforme a figura 7.2. Figura 7.2 - Olho reduzido – Lente cristalina e retina Para que um objeto seja visto com nitidez, a imagem deve ser formada exatamente sobre a retina (ponto F’). O olho se ajusta para diferentes distâncias do objeto, fazendo alterações na distância focal de sua lente cristalina. A distância entre o cristalino a retina não varia (q é fixo). Para um olho normal (olho emetrope), o ponto mais distante de visão nítida, denominado de ponto remoto ou distante, localiza-se no infinito (p → ∞). Nesta situação, o cristalino está totalmente relaxado e a visão ocorre sem esforço de acomodação (convergência mínima). Utilizando a equação da lente delgada (eqs. 6.20 e 6.22), temos que, C= 1 1 + p q → C= 1 1 + ∞ 0,2 → C= 0 + 50 → C = 50 di (7.1) Continuando com o olho normal, para um esforço máximo de acomodação, isto, com os músculos ciliares totalmente contraídos (convergência máxima), o ponto mais próximo da visão nítida, chamado de ponto próximo, fica a 25 cm do cristalino (q = 0,25 m), também conhecido como distância normal de leitura, então, = C 1 1 + 0, 25 0, 2 → C = 54 di (7.2) 113 FÍsiCa gEral iv A diferença entre a convergência máxima e a mínima é chamada de amplitude de acomodação visual, que para um olho normal, vale 4 dioptrias (di) O intervalo de acomodação diminui à medida que a pessoa envelhece, pois o cristalino aumenta de tamanho durante a vida e os músculos ciliares tornam-se menos capazes de contrair uma lente maior, por isso é que a distância do ponto próximo vai aumentando com a velhice. Este aumento na distância do ponto próximo com a velhice recebe o nome popular de vista cansada, e cientificamente, o nome de presbiopia. Na linguagem popular, fica faltando braço para poder enxergar. A tabela 1 mostra a variação do ponto próximo com o passar da idade. Tabela 1 - Variação do ponto próximo com a idade. 7.2 Anomalias da Visão As principais anomalias (defeitos) da visão, também denominadas de ametropias, são: miopia, hipermetropia, presbiopia, astigmatismo, estrabismo e daltonismo. Um olho normal forma sobre a retina uma imagem nítida, que apresenta as características de ser real, menor e invertida, estando o objeto no infinito ou bem próximo do olho (fig. 7.3a). Para muitas pessoas, a imagem de um objeto não se forma exatamente sobre a retina e, assim, estas pessoas não enxergam com nitidez A razão pode ser uma deformação do globo ocular ou uma acomodação defeituosa do cristalino. Nesta parte, vamos descrever as anomalias mais encontradas nas pessoas, conforme mostra a figura 7.3. No olho míope, o globo ocular é muito alongado em comparação com o raio de curvatura da córnea (ou a córnea é encurvada fortemente) e os raios provenientes do infinito são focalizados antes da retina (fig. 7.3b). Neste caso, há uma convergência muito grande dos raios paralelos vindos do infinito (refrata muito os raios). No olho hipermetrope, o globo ocular é muito curto (ou a córnea não é suficientemente encurvada), assim, os raios provenientes de um objeto situado no infinito Figura 7.3 - Anomalias da visão. são focalizados atrás da retina (fig. 7.3c). Neste (a)-Olho normal. caso, há uma insuficiência de convergência dos (b)-Olho míope. raios paralelos originados no infinito (refrata (c)-Olho hipermetrope. pouco os raios). Os defeitos relatados são perfeitamente corrigidos mediante o uso de lentes corretoras. Para o caso da hipermetropia, o ponto próximo está mais longe do que o ponto próximo de um olho normal, neste caso, deve-se usar uma lente convergente (positiva) que desloque a imagem sobre a retina. Na realidade, a lente convergente faz o objeto se deslocar para uma distância mais afastada do olho para que a imagem seja focalizada sobre a retina. A imagem virtual formada pela lente convergente serve como um objeto situado sobre o ponto próximo ou depois dele (fig. 7.4). Figura 7.4 - Olho hipermetrope. Imagem formada depois da retina. 114 A lente convergente conjuga a imagem, para um objeto a 25 cm do olho, no ponto mais próximo de visão nítida (fig. 7.5). O objeto parece estar mais longe do olho (dmin.> 25 cm). olho humano e instrumentos Ópticos Figura 7.5 - Olho hipermetrope. Distância mínima do olho maior que 25 cm. Matematicamente temos, p = 25 cm = 0,25 m q = dmin. A convergência é dada pela equação da lente delgada, ou seja, C= 1 1 1 1 + = + p q 0, 25 d min → C = 4− 1 d min . (7.3) A expressão 7.3 fornece a convergência (di) para uma lente que corrige a hipermetropia, sendo dmin dado em metros e maior que 25 cm. É importante observar que, embora a imagem esteja numa distância maior que 25 cm, ela é vista sob o mesmo ângulo visual α e com a mesma nitidez que teria uma pessoa de visão normal que a observasse a 25 cm de distância. Para o ponto remoto ou no infinito, a visão ocorre sem alterar a acomodação, como se o olho fosse normal, não necessitando usar lente corretora. Um caso interessante ocorre quando o hipermetrope necessita de uma lente corretora com a convergência maior que 4 dioptrias (C > 4 di). Neste caso, o grau de hipermetropia é tão grande que o ponto próximo da visão nítida está “além do infinito”, isto é, é “virtual”, significando que sem o uso de lente corretora nenhum objeto será visto nitidamente pela pessoa, por mais afastado que esteja do olho. Com o passar dos anos, a lente cristalina vai ficando cada vez mais rígida, perdendo sua amplitude de acomodação. Nesta situação, a pessoa vai ficando com a “vista cansada”, no jargão popular. O cristalino não se contrai como deveria para visualizar com nitidez objetos a 25 cm de distância do olho, mesmo que, anteriormente, a pessoa não apresentava anomalias de visão. Neste caso, deve ser corrigida a visão para o ponto próximo, visto que o problema se localiza no enrijecimento do cristalino e não na geometria do globo ocular. Assim, o problema é idêntico ao olho hipermetrope, devendo ser corrigido com lente convergente. Normalmente, a visão para o ponto remoto não é prejudicada, não necessitando de óculos para enxergar longe. Exemplo A lente corretora usada por um hipermetrope possui 2 di. Qual a distância mínima entre os olhos dessa pessoa e um jornal, para vê-lo nitidamente, embora, talvez, sem definição para lê-lo, quando estiver sem óculos. Solução: A distância requerida é a distância do ponto mais próximo da visão nítida (dmin). Assim a convergência da lente corretora é dada pela equação 5.3, ou seja, C = 4 – 1/dmin , então, 2 = 4 – 1/dmin →→ dmin = 0,5 m Para o olho míope, também conhecido popularmente com “vista curta”, o globo ocular possui um alongamento maior do que o olho normal, de tal forma que, mesmo estando com o olho relaxado, a imagem se forma antes da retina, por isso o míope não consegue acomodação visual para um objeto no infinito. Para corrigir a miopia, é necessário o uso de lente divergente (negativa) fazendo o objeto se deslocar para uma distância mais próxima do olho do que a distância real do objeto (compensa a convergência excessiva do olho). A imagem virtual formada pela lente divergente serve como um objeto situado sobre o ponto distante, ou antes, dele. A função da lente divergente é conjugar a imagem de um objeto no infinito sobre o ponto remoto (dr), que está a uma distância finita do olho. As figuras a seguir mostram as afirmações deste parágrafo. 115 FÍsiCa gEral iv Figura 7.6 - Olho míope. Imagem formada antes da retida do olho. A distância focal (f) da lente corretora, em módulo, é igual à distância máxima (dr) da visão nítida, mas é negativa, visto a lente ser divergente, ou seja, f = -dr. Assim, a convergência da lente corretora é negativa (fig. 7.7 ), ou seja, C= 1 f → C=− 1 dr (7.4) Figura 7.7 - Olho míope. Objeto no ponto remoto. Imagem sobre a retina Pelo fato do olho míope ser mais alongado, o ponto próximo fica a uma distância menor do que 25 cm. Neste caso, a pessoa míope, sem óculos, coloca os objetos bem perto do olho para enxergá-los com nitidez, o que não seria possível para uma pessoa com olho normal. Exemplo Um míope enxerga nitidamente, sem uso de óculos, somente a 2 m de distância. Determine a convergência da lente corretora para esse míope. Solução: C = -1/dr (eq. 5.4) C = ½ →→ C = -0,5 di O astigmatismo ocorre devido a irregularidades na superfície externa da córnea, não a deixando esférica, sendo mais encurvada num plano do que no outro. Devido a este fato, uma reta vertical (eixo y) pode formar uma imagem num plano diferente da formada no plano horizontal (eixo x), focalizando fora da retina. O astigmatismo pode tornar impossível a focalização simultânea de barras verticais e horizontais de uma janela quadriculada, por exemplo. A figura 7.8 retrata a visão astigmática. Figura 7.8 - Olho astigmático. Planos dos eixos não coincidentes. O astigmatismo é corrigido através do uso de lente com superfície cilíndrica, fazendo com que a focalização dos dois planos coincida sobre a retina, conforme a figura 7.9. 116 olho humano e instrumentos Ópticos Figura 7.9 - Olho astigmático. Correção lente cilíndrica. Planos coincidentes. Na visão estrábica, os eixos ópticos não estão alinhados para a visão no infinito, como estão para um olho normal. Em função disso, o estrábico localiza duas regiões distintas. O resultado não é uma visão tridimensional única, mas sim uma visão dupla, sem que o cérebro consiga a composição das imagens numa só e de forma tridimensional. A retina humana dispõe de células fotossensíveis, chamadas de cones e bastonetes. Os cones são responsáveis pela visão a cores e os bastonetes são mais sensíveis à luz e não muito às cores. Pelo fato dos bastonetes serem mais abundantes na região periférica da retina, eles se prestam mais às percepções de vultos e figuras com baixa iluminação, fora de nosso foco central de visão. A ausência de certos tipos de cones, determinada por características genéticas do indivíduo, causa falha de percepção de algumas cores, algumas vezes de todas. A cor para a qual o daltônico não possui percepção (não vê a cor) é interpretada por ele como apenas mais um tom cinza. 7.3 Instrumentos Ópticos de Observação 7.3.1 Lupa ou Microscópio Simples A lupa, microscópio simples ou, simplesmente, lente de aumento, é o mais elementar dos instrumentos ópticos, constituído por uma lente convergente, de distância focal pequena (grande convergência), produzindo uma ampliação do tamanho do objeto observado. È um instrumento óptico de observação que produz uma imagem virtual, direita e maior do que o objeto. Como já foi visto no estudo de construção gráfica de imagens por lentes, para que a imagem de um objeto seja ampliada e direita é necessário que o objeto seja colocado entre o foco objeto e o centro óptico da lente. Primeiramente, para calcular o tamanho do objeto, sem uso de lente de aumento, vamos nos reportar a um conceito que envolve ângulos de observação, mais precisamente, ao tamanho angular ou ângulo visual. À medida que nos aproximamos de um objeto, o mesmo parece cada vez maior, não porque o objeto aumenta de tamanho, mas porque o visualizamos sob um ângulo maior. O tamanho aparente de um objeto é determinado pelo tamanho da imagem formada sobre a retina e, se o olho não possui ajuda de qualquer lente adicional, o tamanho do objeto depende do ângulo α subentendido pelo objeto no olho do observador, denominado de tamanho angular α (fig. 7.10). Para a primeira situação, temos que, tgα = y −1 y → α = tg d d (7.5) Figura 7.10 - Tamanho angular α para diferentes distâncias O aumento visual relaciona os ângulos de observação e distâncias do objeto ao olho (ordenada y), sem a ajuda de um instrumento óptico. Assim, temos 117 FÍsiCa gEral iv y α ′ tgα ′ d ′ d = = = A= v y d′ α tgα → Av = d α′ d = α d′ (7.6) Na equação 7.6, foi feita a aproximação para ângulo pequeno (em radianos), tal que α ≈ tgα. Apesar de Av ser adimensional, é comum adicionar o termo “X” (vezes) após seu aumento visual. Quanto mais próximo está o objeto, maior será o ângulo de observação, mas não se pode aproximar indefinidamente o objeto sem prejuízo de sua nitidez. Isto quer dizer que existe uma distância mínima de resolução (dmín) para o olho humano, variável de pessoa a pessoa, mas adotada como distância mínima, igual a 25 cm, já denominada de ponto próximo. Para observar mais detalhadamente um pequeno objeto ou área de uma superfície que, sem o auxílio de uma lente, não possuem nitidez (imagem borrada), utilizamos uma lupa, que ao ampliar o tamanho do objeto, nos fornece mais detalhes do mesmo (maior nitidez). Uma lente convergente serve para formar uma imagem virtual maior e, “aparentemente” mais afastada do que o próprio objeto está. Utilizando uma lente de aumento, o objeto pode se deslocar para uma distância mais próxima do olho (menor do que o dmin) e o tamanho angular da imagem pode ser muito maior do que o tamanho angular do objeto se ele estivesse a 25 cm do olho sem o uso da lente (dmin). Nesta situação, a imagem virtual pode ser vista com mais conforto pelo olho, pois os nervos ópticos estão mais relaxados. As figuras a seguir, mostram duas situações para um mesmo objeto. Uma, quando colocado sobre o ponto próximo (dmin) sem uso de lente e, a outra, quando colocado entre o foco objeto (Fo) e seu centro óptico (O). (a) (b) Figura 7.11 - ângulo visual. Sem lupa (a) e com lupa (b) A ampliação angular, aumento visual, ampliação linear transversal ou aumento angular fornecida pela lente de aumento é dado pela relação entre os ângulos alfas, com a lupa e sem a lupa. A ampliação linear, simbolizada pela letra Av, é dada por, α ′ tgα ′ = = A= v α tgα y′ d = y′ ⋅ d min y y d d min (7.7) Na equação 7.6, fizemos uso da aproximação para ângulo pequeno (α << ), ou seja, α ≈ tgα e α’ =tgα’.Vimos também que, y′ f − q e q = -d = y f (7.8) Nesta situação, q é negativo visto a imagem estar na frente da lente (convenção de sinais para equação 4.21). Substituindo e igualando as equações 7.7 e 7.8, ficamos com, Av = d min f f 1 + d (7.9) Variando a distância d, variamos o aumento visual, que será máximo quando d = dmin, onde, então, Avmax = d min +1 f (7.10) A condição para d→∞ é chamada de condição nominal (An), sendo uma condição onde o observador não necessita de esforço de acomodação visual para visualizar a imagem produzida pela lente, pois a imagem do objeto (fig. 7.11-b) “parece” estar no infinito (ponto remoto = q). 118 Assim ficamos com, An= d min 0, 25 = = d min ⋅ C= Av ,no min al f f (7.11) olho humano e instrumentos Ópticos A ampliação linear também é conhecida por aumento nominal da lente An, que é gravado nas lentes pelo fabricante. A relação 51 sugere que seria possível conseguir uma ampliação muito grande se diminuíssemos a distância focal, contudo, as aberrações de uma lente convexa, mesmo que corrigidas, impõem limites práticos, não permitindo ampliações infinitas. Se quisermos ampliações maiores e nítidas, devemos fazer uso do microscópio. Exemplo 1 Duas lentes de plástico, uma biconvexa e outra bicôncava, cada uma delas com distância focal com valor absoluto igual a 10 cm. a) - Qual das duas lentes pode ser usada com uma lupa? b)Qual é sua ampliação linear? Solução: a)- Pelo que vimos até agora, a lupa é uma lente de aumento que do objeto colocado entre seu foco e centro óptico, conjuga uma imagem virtual, direita e maior (fig. 7.11-b), portanto, devemos empregar a lente biconvexa para termos uma lente de aumento, já que a bicôncava diminui o tamanho do objeto. b) – Pela equação 7.11 temos que, = Av 25cm 25cm = = 2,5 ou 2,5 X. f 10cm Exemplo 2 Para visualizar mais detalhes de um objeto, uma pessoa utiliza uma lupa com convergência igual a 16 di. a)- Qual é o aumento nominal que a pessoa consegue com essa lente? b)- Com o olho praticamente encostado na lente, a que distância do centro óptico essa pessoa deve colocar um objeto para que a imagem se forma a 25 cm de seu olho? Solução: a)- a distância focal é dada por, C= 1 →→ f = 6,25 cm f O aumento nominal máximo (gravado na lente) é dado por, = An d min. 25cm = = 4 →→ f 6, 25cm An = 4 vezes b)- Para uma lupa, a imagem é virtual, assim, q = -25 cm (Tabel 4). Aplicando a lei dos pontos conjugados, ficamos com, 1 1 1 =+ = 5 →→ p = 5 cm 6, 25 p −25 7.3.2 Microscópio Óptico Comum (M0C) ou Microscópio Composto Comum O tipo de microscópio comumente encontrado nos laboratórios de ensino e de pesquisa é o microscópio óptico comum (MOC) ou microscópio composto comum, que utiliza a luz visível para iluminar os objetos a serem analisados. Ele é “comum” porque existem outros microscópios que também empregam a luz visível, mas são opticamente mais complicados, como o microscópio de contraste de fase, de interferência e polarização. O MOC consiste basicamente de uma fonte de luz e três conjuntos de lentes, denominadas de lentes condensadora, objetiva e ocular. Para analisar as imagens formadas pelo MOC faremos uso da óptica de raios, ou seja, vamos supor que a luz caminha em linha reta sofrendo refração ao penetrar em meios refrativos diferentes, além de utilizar o princípio de que a imagem formada por um sistema óptico pode servir de objeto para outro, utilizado quando deduzimos a equação da lente delgada (eq. 4.20), onde se aplicou a equação para a refração da luz nas duas faces da lente. Quando necessitamos observar objetos muito pequenos necessitamos de um aumento maior do que o fornecido por uma lupa. Para isso, fazemos uma associação de dois conjuntos de lentes convergentes que efetivamente participam do processo de ampliação, pois o sistema de lente condensadora (que também 119 FÍsiCa gEral iv é convergente) não participa diretamente do processo ampliatório, mas somente condensa (aumenta) o número de raios que atingem a lente objetiva oriundos da fonte luminosa. As distâncias focais dos conjuntos de lentes objetivas e oculares são pequenas, mas altamente corrigidas para eliminar aberrações. A distância (caminho óptico) que a luz percorre dentro do tubo do microscópio (da lente objetiva à ocular) é fixa e vale L. Note que o objeto está colocado levemente fora do foco objeto da objetiva (F1), sendo que sua imagem também está fora do foco imagem (F2), sendo formada entre o centro óptico e o foco imagem da lente ocular (F’1), que funciona como uma lupa fixa. A imagem intermediária é real, invertida e maior que o objeto e a imagem final é virtual, invertida e bem maior que o objeto (duplamente ampliada), sendo formada no plano óptico do microscópio, que pode estar situado entre o ponto próximo (dmin) e o ponto distante do olho do observador. O diagrama de raios para o microscópio comum tem o esquema a seguir (fig. 7.12). Na figura não está colocada a lente condensadora. Figura 7.12 - Diagrama de raios para o microscópio composto comum. Aplicando-se a óptica de raios, podemos calcular a ampliação linear oferecida pelo microscópio. A ampliação linear da lente objetiva, em módulo, e da ocular, são dadas por, Aobj = h o e Aoc = h′ h (7.12) O aumento linear total é a multiplicação dos dois aumentos, assim, AL = Aobj ⋅ Aoc = h′ o (7.13) Normalmente, os aumentos lineares máximos fornecidos pelas lentes veem gravados nas lentes do microscópio, sendo que para a lupa, o aumento é fixo e, para a objetiva, é variável, porque existe mais de uma objetiva num único aparelho. Também, conhecendo-se as distâncias focais das lentes, seu arranjo mútuo no sistema. E a condição nominal para a ocular, também podemos expressar o aumento linear como sendo, AL = d min ⋅ q f oc ⋅ f obj (7.14) Onde, a ampliação da ocular (lupa) é dada por dmin/foc e a ampliação da objetiva é dada por q/fobj. Também, se o comprimento do tubo óptico for igual a L, temos que, AL = d min ⋅ L f oc ⋅ f obj (7.15) Exemplo: Associação de lentes convergentes, independente das distâncias focais. Duas lentes convergentes de distâncias focais de 10,0 e 20,0 cm estão separadas por uma distância de 20,0 cm, como indicado no desenho abaixo. Um objeto é colocado 15,0 cm à esquerda da primeira lente. Ache a posição e a ampliação da imagem final. 120 Solução: Vamos encontrar a posição da imagem devido à primeira lente, ignorando a presença da segunda lente. Utilizando a equação da lente delgada temos, 1 1 1 + = 15, 0 q1 10, 0 →→ olho humano e instrumentos Ópticos q1 = 30,0 cm. A imagem formada pela primeira lente está a 30 cm dela, portanto, q1 é maior que a separação entre as lentes, assim, a imagem da primeira lente está 10,0 à direita (atrás) da segunda lente. Nesta situação, a imagem da primeira lente é um objeto virtual para a segunda lente, sendo que, neste caso, q2 = - 10,0 cm. As distâncias agora serão medidas a partir da segunda lente, com distância focal f = 20,0 cm. Aplicando novamente a equação de Gauss temos, 1 1 1 + = −10, 0 q2 20, 0 →→ q2 = 6,67 cm A imagem final encontra-se a 6,67 cm à direita da segunda lente. A ampliação de cada lente é dada por, q 30, 0 AL1 = − 1 = − = −2, 00 vezes p1 15, 0 q 6, 67 0, 667 AL2 = − 2 = − = p2 −10, 0 A ampliação total é o produto das ampliações individuais, assim A= AL1 ⋅ AL2 = −1,33 A imagem final é real, invertida e maior que o objeto. 7.3.3 Telescópio Astronômico Refrator ou Luneta Astronômica A luneta astronômica (luneta de Kepler), comumente chamada de telescópio, é empregada para observar astros ou objetos que estão à grande distância do observador, situação que a olho nu não conseguiríamos vê-los em detalhes, porque o ângulo visual α é muito pequeno. A função do telescópio é produzir um aumento considerável no ângulo visual para podermos observar à distância, ou seja, o ângulo visual final α’ deve ser muito maior que o ângulo visual α a olho nu. O sistema óptico do telescópio é semelhante ao do microscópio composto. Em ambos, a imagem formada pela objetiva serve de objeto para a ocular. A ampliação de um telescópio é definida com sendo a razão entre o ângulo visual subentendido pela imagem final no olho (α’) e o ângulo subentendido pelo objeto quando visto a olho nu (α). A objetiva possui grande distância focal que conjuga uma imagem real e invertida do objeto observado. A ocular possui uma pequena distância focal. Quando está na condição nominal, a imagem formada pela objetiva está exatamente sobre o foco da ocular. A ocular amplia a imagem da objetiva formando-a no infinito, sendo uma imagem virtual, invertida e muito maior, que é a imagem vista pelo observador. A figura 7.13 mostra o arranjo para a condição nominal (d→∞ = olho relaxado). Figura 7.13 - Diagrama de raios para o telescópio refrator. Condição nominal. Imagem final formada no infinito. O aumento angular do telescópio é a relação entre os ângulos α e α’. Utilizando as aproximações angulares já vistas anteriormente e tomando os módulos dos ângulos, ficamos com, 121 FÍsiCa gEral iv A= v α ′ tgα ′ = = α tgα ou seja, Av = L f oc = L f obj f obj f oc f obj f oc (7.16) (7.17) A equação 7.17 nos dá o aumento nominal da luneta astronômica (os valores focais vêem inscritos nas envoltórias das lentes). Fica claro que devemos procurar uma objetiva de grande distância focal e uma ocular de pequena distância focal, mas isto acarreta consequências quanto ao tamanho do tubo do telescópio, pois como pode ser visualizada pela figura 5.13, a extensão do tubo (D) é a soma das duas distâncias focais, ou seja, D = f obj + f oc (7.18) Um tubo muito grande causa desconforto ao observador. Outro problema existente está ligado à imagem final imprópria, pois os raios refratados pela ocular que atingem o olho do observador são paralelos, assim como os raios oriundos dos corpos distantes que estão sendo observados. Também, um telescópio astronômico deve permitir a visualização de corpos distantes e com fraca iluminação. Para que isso seja possível, a objetiva deve captar a maior quantidade de luz possível oriunda do objeto, mas isso só é possível se ela possuir uma área de secção transversal perpendicular ao eixo óptico principal grande, ou seja, seu diâmetro deve ser o maior possível, acarretando problemas de fabricação e distorções. No telescópio newtoniano ou refletor, a lente objetiva é substituída por um espelho curvo, de construção mais fácil e apresentando outras vantagens práticas e teóricas. Um espelho não apresenta nenhuma aberração cromática (dependência da distância focal com o comprimento de onda) e as aberrações esféricas (associadas com a aproximação paraxial) são mais fáceis de serem corrigidas. Geralmente usa-se uma superfície parabólica em vez de esférica, aumentado a nitidez quando obedecidas as condições de Gauss. O material do espelho não necessita ser transparente, podendo ser mais rígido e preso pela superfície externa, o que não é possível numa lente que somente pode ser suportada pela sua periferia. Lentes com diâmetro de 1 metro são difíceis de serem fabricadas e não são práticas. Os maiores telescópios do planeta possuem espelhos parabólicos como objetiva e não lentes biconvexas. Para o telescópio refletor (fig. 7.14) a ampliação também é dada pela equação 7.17, mas para o tamanho do tubo não é válida a equação 7.18. Figura 7.14 - Telescópio refletor ou newtoniano Para observação de objetos terrestres acrescenta-se à luneta astronômica um dispositivo óptico chamado de veículo (prisma de Porro), cuja função é desinverter a imagem. Com tal modificação a luneta passa a se chamar luneta terrestre, sendo o binóculo, o exemplo típico de luneta terrestre. O binóculo possui dois tubos para que o observador possa usar a visão binocular e ter a noção de profundidade. A luneta de Galileu utiliza como ocular uma lente divergente, sendo que a imagem conjugada pela objetiva é imagem virtual para a ocular. Ela não necessita de veículo, pois sua imagem final é direita, além de ser mais curta, mas apresenta pouco aumento visual, menor campo visual e aberração cromática. 122 Exemplo Uma luneta astronômica possui aumento nominal de 20 X. Se a distância focal da ocular for de 5 cm, determine: a)- a distância focal da objetiva; b)- o tamanho da luneta nas condições normais. olho humano e instrumentos Ópticos Solução: O aumento nominal é dado por, An = f obj f oc →→ fobj = 100 cm b)- Nas condições normais (condição nominal), o tamanho da luneta é dado pela soma das distâncias focais da ocular e da objetiva, ou seja, = D f oc + f obj →→ D = 105 cm. 7.4 Instrumentos Ópticos de Projeção 7.4.1 Câmera Fotográfica Os instrumentos ópticos de projeção produzem uma imagem final real, invertida ou não, gravada em filme, podendo ser projetada sobre um anteparo e vista por muitas pessoas ao mesmo tempo. A origem da câmera fotográfica está no mais antigo dispositivo óptico construído, denominado de câmera escura de orifício, que aplica o princípio da propagação retilínea da luz. A imagem do objeto é real, invertida e menor, formada em um anteparo ao fundo da câmera. A câmera fotográfica moderna registra a imagem sobre um filme por reações físicoquímicas ou em sensores eletrônicos cujos impulsos elétricos são decodificados eletronicamente e gravados em disco (câmera digital). Em geral, uma câmera fotográfica apresenta um conjunto de lentes sofisticadas convergentes (objetiva), além de possuir um diafragma de abertura regulável (em vez de orifício) associados a obturadores que controlam a intensidade luminosa proveniente do objeto. No lugar do anteparo é colocado um filme fotossensível que registra a imagem formada (fig. 7.15). Quando a focalização é bem feita, a imagem formada sobre o filme é nítida, caso contrário aparece borrada. Como os objetos fotografados estão normalmente a uma distância bem maior que a distância focal da objetiva, a imagem se forma, praticamente, no plano focal imagem da lente objetiva e, se por acaso houver pequenas diferenças, as mesmas são ajustadas alterando-se a posição da objetiva em relação ao filme. 7.15 –- (A) - Máquina fotográfica - (B) Prisma pentagonal para visualização Na figura 7.15, o espelho articulado é levantado e sai da direção da luz incidente imediatamente antes da abertura o obturador, permitindo que a luz atinja o filme ou os sensores. O pentaprisma, em conjunto com o espelho, é utilizado para que o observador veja o objeto a ser fotografado de forma ereta. É necessário ficar claro que a distância focal fornece a distância entre a imagem e a lente quando o objeto encontra-se no “infinito” (olho relaxado), valendo aqui a equação para a ampliação linear transversal para lentes convergentes. As máquinas fotográficas mais sofisticadas apresentam o chamado número f da lente objetiva, que é a razão entre a distância focal (f) e o diâmetro de abertura do diafragma (D), que fornece a capacidade de entrada de luz de uma lente, assim, f-número = f D (7.19) A ampliação linear transversal fornecida por uma lente de aumento é a razão entre a altura da imagem (h’) e a altura do objeto (h), que é igual, em módulo, a razão entre a distância da imagem 123 FÍsiCa gEral iv (q) e a distância do objeto (p), conforme equação 5.1 e 5.2, assim em uma máquina fotográfica estilizada (fig. 7.16), temos que, Figura 7.16 – Máquina fotográfica estilizada Exemplo Uma pessoa deseja fotografar um objeto que tem 2 m de altura, dispondo de uma câmera de 3,5 cm de profundidade (distância da objetiva ao filme), que proporciona uma imagem de 2,5 cm de altura no filme. Calcule: a)- a mínima distância entre a pessoa e o objeto; b) Sabendo que a objetiva possui uma distância focal de 35 mm e que contem dispositivos para ajuste da imagem sobre o filme, calcule a nova distância do centro óptico da lente ao filme para se tirar uma foto de um objeto distante 1metro da objetiva. Solução: a) - a relação entre alturas e distâncias é dada pela equação 3.2, assim, temos que, h′ q = h p →→ 2,5 3,5 →→ p = 2,8 m = 200 p b) – Aplicando a equação dos pontos conjugados, temos que, 1 1 1 →→ q ≈ 36,3 mm = + f p q 7.4.2 Projetor de Slides, Filmes e Retroprojetores. Estes instrumentos apresentam três elementos básicos, que são: sistema óptico, em geral composto por um conjunto de lentes convergentes; o objeto a ser projetado (slide, filme, transparência) e uma tela ou anteparo para visualização da imagem. O conjunto de lentes, que equivale a uma única lente convergente, conjuga uma imagem real e invertida de um objeto real, transformado em um objeto plano por filmes, slides, etc. É necessária uma boa iluminação, que normalmente possuem lentes condensadoras e espelhos, além de uma tela que reflita muito bem a luz projetada. O esquema de um projeto de slide é o inverso do de uma câmera fotográfica. A posição e o tamanho da imagem projetada sobre a tela são determinados pela posição e pela distância focal da lente do projetor. Os projetores de cinema são semelhantes aos de slides, acrescidos do sistema de movimentação da fita. A figura a seguir mostra o projetor de slides (a) e de um retroprojetor (b). A lente de Fresnel é um dispositivo de plástico sobre o qual se coloca a transparência e possui propriedades específicas. 124 Figura 7.17 - Projetor de slides (a) e retroprojetor (b). Exemplo. Um operador cinematográfico deve saber selecionar a lente de projeção adequada para que a tela fique totalmente preenchida pela imagem do filme. A largura de um quadro na fita de um filme de longa metragem é de 35 mm. Para um cinema em que a tela possui 10,5 m de largura e está a 30 m da lente da máquina de projeção, determine: a)- a ampliação necessária para que a tela seja totalmente preenchida; b)- a distância entre o filme e a lente para que a ampliação necessária seja obtida; c) a distância focal da lente objetiva. olho humano e instrumentos Ópticos Solução: a) – a ampliação linear da imagem, em módulo, dada pela máquina, vale; AL = h′ h →→ AL = 10,5 35 x10−3 →→ AL = 300 vezes b) – a distância entre a fita e a lente objetiva (em módulo) será; AL = h′ q 30 = →→ 300 = h p p →→ p = 0,1 m c) – a distância focal da objetiva será: 1 1 1 = + →→ f p q 1 1 1 = + f 0,1 30 →→ f = 10 cm Exercícios 1) No olho humano, a distância focal da córnea à retida é, em média, de 25 mm. Para que a focalização da vista passe do infinito para um ponto a 250 mm (ponto próximo) do olho de um observador normal, a distância focal do sistema córneo-cristalino deve apresentar o seguinte comportamento: a) diminuir 23 mm; b) diminuir 2,3 mm; c) permanecer a mesma; d) aumentar 2,3 mm; e) aumentar 23 mm. 2) Um biólogo utiliza uma lente convergente com distância focal de 30 cm para observar insetos. Supondo um inseto de 2 cm a uma distância de 20 cm da lente, determine: a)- o aumento linear transversal; b)- o aumento visual, supondo que a distância mínima de visão nítida do biólogo seja de 25 cm e que seu olho esteja encostado na lente. 3) Uma lupa, quando produz uma imagem a 30 cm da lente,para fornecer um aumento linear transversal de 16 vezes, deve ter sua distância focal de: a) 2 cm; b) 2,5 cm; c) 3 cm; e) 3,5 cm; e) 4 cm. 4) Uma luneta foi construída com duas lentes convergentes de distâncias focais iguais a 100 cm e 10 cm, respectivamente Uma pessoa de visão norma regula a luneta para observar a Lua e depois focaliza um objeto a 20 m de distância. Para tanto, deve deslocar a ocular de, aproximadamente: a) 10 cm, aproximando-se da objetiva; c) 10 cm, afastando-se da objetiva; c) 5 cm, aproximando-se da objetiva; d) 5 cm, afastando-se da objetiva. 5) Um microscópio é composto por duas lentes convergentes de distâncias focais diferentes. Considere uma situação na qual a objetiva amplia 50 vezes e a ampliação total é de 600 vezes. Qual é a ampliação devida à lente ocular? 125 FÍsiCa gEral iv 6) A objetiva de uma máquina fotográfica tem distância focal de 100 mm e possui um dispositivo que permite seu avanço e retrocesso. A máquina é utilizada para tirar duas fotografias, a saber: uma de um objeto no infinito e outra de um objeto distante 30 cm da objetiva. O deslocamento da objetiva, de uma foto para outra, em mm, deve ser de: a) 50; b) 100; c) 150; d) 200; e) 250. 7) A ilustração abaixo representa um projetor de slides contendo um slide (objeto) fortemente iluminado pela lâmpada, uma lente de 100 mm de distância focal a 102 mm do objeto e uma tela de projeção onde se formará a imagem nítida do objeto. Calcule: a)- a distância ideal entre a tela e a lente; b)- a razão entre o tamanho da imagem e do objeto. 8) Manoel fez um exame de vista e o médico oftalmologista preencheu a receita ilustrada abaixo. Pela receita podemos concluir que: a)- Manoel possui miopia, astigmatismo e “vista cansada”, no olho direito; b)- o olho direito apresenta apenas miopia e astigmatismo; c)- o olho esquerdo apresenta apenas hipermetropia; d)- o olho direito apresenta apenas astigmatismo e hipermetropia; e)- o olho esquerdo apresenta somente “vista cansada”. 126 olho humano e instrumentos Ópticos Anotações 127 FÍsiCa gEral iv Anotações 128 8 Óptica Ondulatória 8.1 introdução 8.2 a experiência de Young da dupla fenda 8.3 interferências de ondas luminosas 8.4. amplitude, intensidade e diferença de Fase na interferência produzida por duas Fendas. 8.5 interferência em películas Finas 8.6 difração – poder de resolução. 8.7 difração de Fraunhofer 8.8 resolução de Fendas simples e de aberturas Circulares 8.9 difração de raios X 129 FÍsiCa gEral iv 8 ÓPTICA ONDULATÓRIA 8.1 Introdução No Capítulo 5, do livro de Física Geral II, estudamos as ondas mecânicas que ocorrem em cordas, na superfície de líquidos ou no som, onde caracterizamos os conceitos de pulsos, velocidade de propagação, reflexão, transmissão, interferência e efeito Doppler. Todo o estudo estava relacionado às ondas mecânicas unidimensionais no tempo e nada se falou das ondas luminosas. Nos capítulos anteriores do presente livro, tratamos de ondas luminosas, utilizando a aproximação retilínea dos raios de luz (óptica geométrica) e, assim, definimos a reflexão, a refração, estudamos espelhos e lentes, passando pelo olho humano e instrumentos ópticos. No presente capítulo, vamos estudar a óptica ondulatória, uma parte da óptica que estuda aspectos da luz que não podem ser explicados adequadamente mediante o uso de um modelo simplificado de raios (óptica geométrica). Vamos estudar explicitamente a interferência e a difração da luz, fenômenos que só podem ser compreendidos e explicados utilizando a natureza ondulatória da luz (tratando a luz como onda), inclusive, processando-se no espaço bi ou tridimensional. O primeiro cientista a tratar a luz como uma onda foi o físico holandês Christian Huygens, em 1678. É uma teoria matematicamente simples e que permanece útil até nossos dias. Suas grandes vantagens são a de explicar as leis da reflexão e refração da luz em termos de ondas e atribuir um significado físico ao índice de refração entre meios transparentes. A teoria ondulatória de Huygens utiliza uma construção geométrica que permite prever onde estará uma dada frente de onda (superfície esférica de fase constante) em qualquer instante futuro a partir do conhecimento de sua posição atual. É uma teoria determinística que se baseia no seguinte princípio: “Todos os pontos de uma frente de onda funcionam como fontes puntuais para ondas secundárias. Depois de certo intervalo de tempo, a nova posição da frente de onda será dada por uma superfície tangente a essas ondas secundárias”. O princípio de Huygens aplica-se a qualquer tipo de onda. É importante notar que a velocidade de propagação das frentes secundárias é igual à das fontes primárias e que a superfície que tangencia as ondas secundárias funciona como uma envoltória das novas ondas secundárias. Se a velocidade de propagação da onda for constante, o movimento é uniforme em todas as direções (fig. 8.1). Observe que as ondas primárias são produzidas por uma mesma fonte. Figura 8.1 – Nova frente de onda BB’. Envoltória esférica com movimento uniforme no tempo Para o caso de interferência de ondas mecânicas unidimensionais, utilizaremos sempre o princípio da superposição que nos diz que quando duas ou mais ondas mecânicas progressivas se combinam em um determinado ponto, o deslocamento resultante das partículas do meio naquele ponto é o somatório dos deslocamentos devidos às ondas individuais. Veja que, nesse caso, falamos de deslocamento de partículas do meio. No modelo para a interferência de ondas luminosas, devemos adicionar duas importantes mudanças na discussão, que são: a) devemos construir modelos geométricos para analisar a situação em duas ou três dimensões; b) iremos estudar ondas eletromagnéticas e não ondas mecânicas, de tal forma que, o princípio da superposição precisa ser adaptado para a soma de campos vetoriais elétricos e magnéticos em vez da adição de deslocamentos de partículas. O termo interferência indica a superposição de duas ou mais ondas na mesma região do espaço, cuja onda resultante é determinada pelo princípio da superposição, um dos mais importantes princípios da óptica física ou óptica ondulatória. As ondas eletromagnéticas também sofrem interferência como consequência da combinação dos componentes dos campos elétricos e magnéticos que constituem suas ondas individuais. Deve ficar claro para o estudante que para ocorrer o fenômeno da interferência, devemos ter duas ou mais ondas na mesma região espacial, superpondo-se uma às outras. Uma única onda não produz interferência!!! A interferência em ondas mecânicas é mais fácil de ser visualizada (água) ou sentida (som), mas, no caso das ondas eletromagnéticas, os efeitos visíveis não são fáceis de serem observados devido ao fato do comprimento de onda ser muito pequeno (400 a 700 nm). Para esta situação, são necessárias duas fontes produzindo ondas de mesmo comprimento de onda para criar interferência, mas, para produzir um padrão estável de interferência, as ondas individuais devem manter uma 130 relação de fase constante entre si (vibram em sintonia), isto é, elas precisam ser coerentes. Diz-se que duas fontes com a mesma frequência são coerentes quando há uma relação de fase constante entre si. Se as ondas emitidas pelas duas fontes são transversais, como no caso de ondas eletromagnéticas, também devemos supor que as ondas produzidas por ambas as fontes devam possuir a mesma polarização em relação à direção de propagação. Então, para haver interferência de ondas luminosas, as duas fontes devem possuir o mesmo comprimento de onda e estar sempre em fase, mas isso não é fácil de se obter com duas fontes independentes. Nas fontes luminosas comuns (lâmpadas, velas, Sol), há uma emissão contínua de comprimentos de onda (espectro contínuo), sendo que a maneira como a luz é emitida decorre do excesso de energia que os átomos ganham em virtude da colisão com elétrons livres ou por causa da agitação térmica. Um átomo “excitado” começa a irradiar energia até perdê-la completamente em um intervalo de tempo muito curto, da ordem de 10-8s. Os inúmeros átomos existentes em uma fonte geralmente irradiam de modo não-sincronizado e as relações de fase são aleatórias, não possuindo relação de fase constante. O resultado é que nenhum efeito de interferência é observado, mesmo porque o olho humano não pode acompanhar alterações tão rápidas, assim, tais fontes naturais de luz são ditas incoerentes. Luz coerente é produzida por lasers, onde a emissão de luz ocorre devido ao sincronismo dos átomos na frequência (luz monocromática) e na fase. Também podemos produzir luz coerente utilizando uma única fonte e dividindo-a em dois através de duas fendas em um anteparo, de tal modo que cada parte tenha a mesma frequência de vibração (ou mesmo comprimento de onda) e mesma fase, formando dois feixes de ondas secundárias idênticos. Se alterarmos a fase da fonte, as duas ondas secundárias também terão suas fases alteradas de forma igual. Tal arranjo permite que tenhamos efeitos de interferências perceptíveis. Considerando as propriedades descritas, dizemos que: Óptica ondulatória “A interferência é um fenômeno estritamente ondulatório que se caracteriza pelo efeito produzido pela superposição de ondas que atravessam, ao mesmo tempo, o mesmo meio em uma mesma região”. Existem autores que não utilizam o termo “interferência”, preferindo usar o termo “superposição”. Alegam que na realidade as ondas não se interferem no ponto, ocorrendo sim, a superposição de ondas no mesmo ponto, resultando numa superposição construtiva, destrutiva ou parcial, sendo que o termo “interferência”, só é mantido por motivos históricos, decorrentes da experiência de Young. Apesar de tal questionamento, manteremos o termo interferência em nosso texto. Antes de entrarmos em definitivo em nossos estudos sobre interferência e difração, vamos relembrar a famosa experiência realizada em 1801, pelo físico e linguista inglês, Thomas Young (1773-1829). 8.2 A experiência de Young da dupla fenda A interferência com ondas luminosas a partir de duas fendas foi demonstrada pela primeira vez por Young, que usou furos de alfinete para provocar as fendas circulares. Como a luz que atinge as duas fendas tem origem comum (S0), elas possuem a mesma frequência e estão em fase (luz sincronizada = luz coerente), ou seja, chegam às fendas S1 e S2 ao mesmo tempo, percorrendo distâncias iguais e com a mesma velocidade, pois o meio não muda. De acordo com o princípio de Huygens, S1 e S2 comportam-se como fontes secundárias e coerentes cujas ondas se interferem no lado direito da segunda barreira, conforme a figura a seguir (fig. 8.2). É importante ressaltar que a interferência ocorre em todo lugar entre as fendas e o anteparo, não apenas no anteparo! Figura 8.2 – (a) Interferência por dupla fenda – Padrão de interferência –(b) Franjas de interferência. 131 FÍsiCa gEral iv No experimento, a luz incide num anteparo S0 (primeira barreira) emergindo dele (formato circular) e atingindo o segundo anteparo que contém duas fendas estreitas e paralelas S1 e S2, espalhando-se por causa da difração. A difração é o fenômeno que ocorre quando uma onda encontra um pequeno obstáculo ou fenda (com dimensões comparáveis ao comprimento de onda da mesma), contornando-o e recompondo-se, chegando a regiões que não seriam atingidas caso apresentassem somente propagação retilínea. A luz proveniente das fendas produz um padrão visível no anteparo de observação, que consiste numa série de faixas paralelas brilhantes ou escuras, chamadas de franjas de interferência, que determinam as distribuições de intensidades no anteparo. As franjas brilhantes são características da interferência construtiva, onde as frentes de onda se somam (chegam em fase = pontos pretos na figura 8.2) e as franjas escuras são características de regiões onde as ondas se anulam (chegam fora de fase = pontos em branco na figura 8.2). Cada fenda produz uma perturbação na onda incidente e, as ondas assim produzidas, interferirão em pontos específicos (claros ou escuros). A figura 8.2 mostra a combinação da interferência e difração produzidas pelas duas fendas. Cada fenda difrata uma pequena parte da onda incidente e, as ondas assim geradas por cada fenda, se sobrepõem em pontos específicos, resultado no anteparo em regiões claras e escuras. Note que a figura de interferência de duas fendas é modulada pela figura de difração de cada fonte (fenda). É bom não confundir interferência com difração!!! A figura 8.3 é ilustrativa para as interferências construtiva e destrutiva, equacionadas matematicamente mais adiante. Figura 8.3 – Interferências construtiva e destrutiva. A figura 8.3 é um diagrama representativo da figura 8.2, permitindo modelar a interferências como se as ondas se combinassem no anteparo, somente. Na situação (a), as duas ondas saem das fendas em fase e atingem o anteparo no ponto central P, propagando-se por distâncias iguais. Elas chegam ao ponto central em fase e se somam, resultando num ponto brilhante (franja brilhante). Na situação (b), as duas ondas começam em fase, mas a onda gerada pela fonte S1 propaga-se um comprimento de onda a mais que a gerada pela fenda S2, até atingir o anteparo no ponto Q, mas elas ainda chegam em fase, produzindo uma nova faixa brilhante (interferência construtiva). Na situação (c), o ponto R localiza-se na região intermediária entre P e Q. Nesta posição, a onda superior chega meio comprimento de onda defasada (atrasada) em relação à onda inferior. Isto quer dizer que a depressão da onda superior se sobrepõe à crista da onda inferior, resultando numa interferência destrutiva em R. Nesta posição, observa-se uma faixa escura. Deve ficar claro que o fenômeno da interferência não é gerado apenas por fendas duplas, podendo existir para diferentes configurações, como fendas múltiplas, películas com diferentes espessuras, bolhas de sabão, películas de óleo que bóiam sobre superfícies aquosa, reflexões em um CD/DVD, etc. Vamos agora desenvolver a matemática envolvida na superposição de ondas num ponto do espaço onde ondas se interferem. 8.3 Interferências de ondas luminosas A descrição quantitativa da experiência de Young com o auxílio de um modelo geométrico, inicia-se posicionando o anteparo a uma distância L das fendas e com uma separação d entre elas, onde “L >> d”. A figura 8.4 é ilustrativa para a descrição matemática que faremos. 132 Óptica ondulatória Figura 8.4 – Geometria para o experimento de Young. Considere o ponto P no anteparo, distante “y” do ponto central O, que por sua vez, está na mesma horizontal do ponto Q que divide a distância entre as fontes em partes iguais (d/2). O ângulo θ é interno ao triângulo QPO e as trajetórias r1 e r2 são as distâncias que as ondas refratadas percorrem das fontes até atingirem o ponto P. Vamos considerar a fonte geradora da perturbação como sendo monocromática (comprimento de onda λ), de tal forma que as ondas secundárias possuam o mesmo comprimento de onda e estão em fase (luz sincronizada). A intensidade de luz no ponto P é consequência da superposição dos pulsos provenientes das duas fontes secundárias. A diferença de percurso entre as duas ondas difratadas é simbolizada por δ= r2 – r1, conforme a parte (b) da figura 8.4. Considerando a condição “L >> d”, as duas trajetórias estão muito próximas, podendo adotá-las como “paralelas entre si” (modelo simplificado). Neste caso, temos que, δ = r2 − r1 = dsenθ (8.1) A diferença de percurso definirá se as ondas estarão em fase ou não quanto atingirem o ponto P, diferença de fase φ que está relacionada à diferença de percurso δ. Se a diferença for nula ou igual a um múltiplo inteiro do comprimento de onda λ, as duas ondas estarão em fase no ponto P, resultando numa interferência construtiva (franja brilhante), assim, a condição de interferência construtiva é dada por, (8.2) dsenθ = mλ →→ m = (0, ± 1, ± 2, ± ......) O número “m” é um número inteiro chamado de ordem. A franja brilhante central em θ = 0 (m= 0) está associada à ordem 0, sendo denominada de máximo central ou máximo de ordem zero. O primeiro máximo em qualquer um dos lados do ponto central, onde m = ± 1 é chamado de máximo de primeira ordem, ou primeiro máximo superior e primeiro máximo inferior, e assim por diante. De forma semelhante, quando a diferença de percurso for um múltiplo ímpar de λ/2 (ou um número semi-inteiro de comprimento de onda), as duas ondas chegarão no ponto P fora de fase (180° defasadas), originando franjas escuras (interferência destrutiva), assim, a condição para ocorrer interferência destrutiva é dada por, 1 dsenθ = (m + )λ →→ m = (0, ± 1, ± 2, ± .....) 2 (8.3) As equações 8.2 e 8.3 fornecem as posições angulares das franjas de interferência. Também é possível obter equações que forneçam as posições lineares das franjas, medidas ao longo do anteparo (posição y). Vamos supor também, que d >> λ. Nessa situação para θ << (θ em radianos), podemos fazer a aproximação que senθ ≈ tgθ. A partir do triângulo QPO, temos que, senθ = tg θ = y L (8.4) Substituindo a equação 8.2, teremos o valor da distância entre o máximo central e os dois máximos, superior ou inferior, para m = ± 1, e assim por diante, ou seja, y max = m λL d (8.5) Substituindo a equação 8.3, teremos o valor da distância do máximo central aos mínimos de primeira ordem, se m = ± 1, e assim por diante, então, 1 λL y min = (m + ) 2 d (8.6) 133 FÍsiCa gEral iv As equações 8.5 e 8.6 são as várias representações matemáticas dos padrões de interferência de duas fontes coerentes. Note que a experiência da dupla fenda fornece um método para se fazer medida de comprimento de onda da luz incidente, aliás, método que foi utilizado por Young para medir pela primeira vez o comprimento de onda médio da luz solar, achando o valor de 570 nm, que está bem próximo do valor adotado atualmente, que é de 555 nm. O estudante deve compreender o experimento de Young claramente, porque muitas das aplicações tecnológicas atuais utilizam o modelo de análise da superposição de ondas descrito acima. Também deve ficar claro que as interferências ocorrem em inúmeros pontos entre a fonte e o anteparo. O anteparo é um recurso utilizado para vermos a superposição naquela posição. Obs. Embora as equações 8.2 e 8.3 sejam válidas para qualquer ângulo θ, as equações 8.5 e 8.6 são válidas somente para ângulos pequenos. Elas só podem ser usadas quando a distância L entre o anteparo e as fendas for muito maior que a distância entre as fendas (L>>d) e quando L for muito maior que a distância ym, isto é, entre o centro da figura de interferência e o centro da franja brilhante de ordem m. Uma outra informação importante é que a distância entre duas franjas brilhantes adjacentes é inversamente proporcional à distância entre as fendas. Quanto mais próximos estão as duas fendas, maior será o espaçamento entre as franjas. Quando a distância entre as fendas for muito grande, as franjas ficam muito próximas. A experiência de Young, embora descrita para a luz, ela é válida para qualquer tipo de onda, desde que resulte da superposição de dois pulsos coerentes detectados num ponto muito distante quando comparado com a separação entre as fontes. Exemplo 1 Um laser é utilizado para iluminar uma fenda dupla separada uma duma distância de 0,030 mm. O anteparo está separado das fendas por 1,20 m. A franja brilhante de segunda ordem está a 5,1 cm da linha central (centro do máximo principal). Determine: a)- o comprimento de onda da luz laser; b)- a distância entre as franjas brilhantes adjacentes. Solução: A situação descrita obedece a eq. 8.5, sendo m = 2 (franja de segunda ordem). Assim, temos que, a)= λ dy2 (3 x10−5 )(5,1x10−2 ) = = 640nm mL 2(1, 2) b) ym +1 − ym = λ L(m + 1) λ Lm d − d = λL d = (6, 4 x10−7 )(1, 2) = 2, 6cm 3, 0 x10−5 Exemplo 2 Em uma experiência de interferência com fenda dupla, a distância entre as fontes é igual a 0,20 mm e o anteparo está colocado da 1,0 m de distância. A terceira franja brilhante se forma a 7,5 cm do centro do anteparo (máximo central). Calcule o comprimento de onda da luz usada. Solução: A terceira franja brilhante corresponde a m = 3. Como L>>d, podemos utilizar a equação 8.5. y3 d (7,5 x10−3 )(0, 20 x10−3 ) = λ = = 500 x10−9 m 3(1, 0) mL 8.4. →→ λ = 500nm Amplitude, Intensidade e Diferença de Fase na Interferência Produzida por Duas Fendas. Na seção anterior, determinamos as posições dos máximos e mínimos de uma figura de interferência produzida por duas fontes de luz coerente de ondas senoidais, com mesma frequência angular ω e uma diferença de fase constante Φ. Embora as ondas tenham fases iguais nas fendas, sua diferença de fase Φ no ponto P (fig. 8.4) depende da diferença de percurso δ. Vamos supor também que asduas ondas senoidais possuam a mesma amplitude E, e que os campos elétricos de cada onda E sejam paralelos a uma mesma direção (mesma polarização). Com isso, vamos desprezar a diminuição da amplitude no ponto P que ocorre devido ao aumento da distância até a fonte (diferença de percurso) para cada onda. Para obter a amplitude da onda resultante, vamos fazer uso da intensidade da radiação eletromagnética no vácuo (intensidade de uma onda senoidal no vácuo), que é dada por, I= 134 1 ε 0 cE 2 2 max (8.7) Os dois campos elétricos defasados que se superpõem no ponto P são dados por, E1 (t ) = E cos(ϖt + Φ ) e E 2 (t ) = E cos(ϖt ) (8.8) A superposição de dois campos elétricos no ponto P é uma função senoidal com amplitude Ep (amplitude resultante), dependente da amplitude inicial E de cada onda e da diferença de fase Φ entre elas, que vamos supor, conhecidas. Para somar duas funções senoidais com uma diferença de fase entre elas, usaremos uma representação vetorial entre fasores, que é um vetor girante no espaço, cuja projeção sobre o eixo horizontal em qualquer instante representa o valor instantâneo da função senoidal de cada onda (fig. 8.5). Óptica ondulatória Figura 8.5 – Vetores girantes – Fasores – Decomposição no eixo X. A figura 8.5 indica que o vetor campo elétrico E1 (onde emitida pela fonte S1) está adiantado no tempo em relação ao vetor E2 (onda emitida pela fonte S2) por uma fase Φ. Ambos giram no sentido anti-horário (positivo) com a mesma velocidade angular e o vetor instantâneo resultante é a soma das projeções instantâneas sobre o eixo horizontal (eixo X). A amplitude Ep da onda senoidal resultante no ponto P é o módulo do vetor resultante instantâneo Ep que fornece a soma vetorial dos dois vetores girantes. Utilizando a lei dos co-senos e a identidade trigonométrica cos(π – Φ) = - cos Φ, temos que, E p2 = E 2 + E 2 − 2 E 2 cos(π − Φ ) = 2 E 2 + 2 E 2 cos Φ = 2 E 2 (1 + cos Φ ) mas, pela identidade trigonométrica 1+cosΦ = 2cos2(Φ/2), ficamos com, Φ Φ E p2 = 4 E 2 cos 2 ( ) →→ E p = 2 E cos( ) 2 2 (8.9) A equação 8.9 indica que quando as ondas estão em fase (Φ = 0), temos a amplitude máxima, ou seja, Ep = 2E (franjas brilhantes). Quando elas estão completamente defasadas (meio ciclo), ou seja, Φ = 180°, Ep = 0, isto é, as franjas apresentam-se escuras. Note que a frequência da onda resultante não muda, mudando apenas a amplitude resultante que varia de zero até um valor máximo igual a duas vezes a amplitude de cada onda, dependendo da diferença de fase. Para obtermos a intensidade I (potência média por unidade de área) no ponto P, para uma onda senoidal com módulo do vetor campo elétrico dado por Ep, devemos substituir Emax (eq. 8.7) por Ep, donde ficamos com, I= 1 ε 0 cE 2 2 p (8.10) Para uma onda senoidal (onda plana), o fluxo de energia por unidade de área (intensidade) é 2 proporcional ao quadrado da amplitude (I ∞ E p ). Substituindo a equação 8.9, na equação 8.10, temos que, Φ I = 2ε 0 cE 2 cos 2 ( ) 2 (8.11) Φ I = I 0 cos 2 ( ) 2 (8.13) A intensidade máxima I0 (máximo central) que ocorre nos pontos para os quais Φ = 0, é dada por, (8.12) I 0 = 2ε 0 cE 2 Assim, a intensidade I em relação à intensidade I0, em qualquer ponto para a interferência de duas fontes é dada por, 135 FÍsiCa gEral iv Obs. Note que a intensidade máxima é quatro vezes maior (e não duas vezes) do que a intensidade de cada onda individual (1/2ε0cE2). Para isso, compare a equação 8.10 com a equação 8.12. A diferença de fase angular está relacionada com a diferença de percurso espacial. Quando a diferença de percurso (caminho) δ for igual a um comprimento de onda λ, a diferença de fase é igual a um ciclo (Φ = 2π rad). Quando a diferença de caminho δ for igual a λ/2, a diferença de fase Φ = π rad, e assim por diante. Logo, a igualdade das razões indica que, δ Φ λ 2π = →→ Φ= 2π λ dsenθ (8.14) Também é possível expressar a diferença de fase da em função da diferença de caminho, utilizando a equação 8.1. Nesse caso, ficamos com, Φ= 2π λ (r2 − r1 ) = k (r2 − r1 ) (8.15) A grandeza k = 2π/λ é chamada de número de onda. Substituindo a equação 8.14 na equações 8.13, achamos a intensidade longe das fontes, assim, I = I 0 cos 2 ( πd senθ ) λ (8.16) As intensidades máximas (interferências construtivas) ocorrem quando o co-seno adquire valores iguais a ± 1, ou seja, quando πd senθ = mπ , λ onde (m = 0, ± 1, ± 2,......) ou seja, dsenθ = mλ, o que concorda com a equação 8.2. A distância “y” (ordenada) medida ao longo do anteparo (ponto P) a partir do ponto médio do máximo central (ponto 0), está relacionada com o ângulo θ, onde y = L tgθ. Para θ<< temos que senθ ≈ tgθ, ou seja, senθ ≈ y/L. Substituindo este valor na equação da diferença de fase temos, Φ= 2π yd λL (8.17) A intensidade em qualquer ponto no anteparo em função da ordenada y é dada por, I = I 0 cos 2 ( π dy ) λL (8.18) A interferência construtiva, que produz as intensidades máximas, ocorre quando o argumento do co-seno for um múltiplo de π, que corresponderá a uma ordenada dada pela equação 8.5. A figura 8.6 apresenta tais considerações. Figura 8.6 – Padrão de interferência – Gráfico de I = f(dsenθ). 136 Exemplo 3 Uma estação de rádio com frequência de 1500 kHz (1,5 x 106 Hz) opera com duas antenas idênticas com dipolos verticais que oscilam em fase (desenho abaixo), separadas por uma distância igual a 400 m. Para distâncias maiores que 400 m, em que direções a intensidade da radiação transmitida torna-se máxima? Óptica ondulatória Solução: O comprimento de onda é dado por (c = 3 x 108 m/s): λ= c = 200m f Para distâncias maiores que 400 m podemos utilizar a equação 8.2 para determinar os máximos de intensidade (valores de θ igual a um número inteiro de comprimento de onda). Assim, senθ = mλ 200m m = m⋅ = d 400m 2 para m = 0, ± 1, ±2 temos que; θ = 0, ± 30°, ± 90° Verifique o que acontece se m ≥ 3. ou ≤ -3. Calcule os ângulos para as intensidades mínimas (interferências destrutivas), usando a equação 8.3. Para quais valores de m é possível utilizá-la? Explique porque não utilizamos as equações 8.5 e 8.6. 8.5 Interferência em Películas Finas É comum vermos faixas brilhantes multicoloridas quando a luz solar é refletida em bolhas de sabão ou em películas de óleo flutuando sobre a água. Esse efeito é produzido pela interferência da luz. As ondas de luz são refletidas pelas superfícies opostas dessas películas e ocorre a interferência construtiva entre duas ondas refletidas (com caminhos diferentes) em diversos pontos e em diferentes comprimentos de onda. A figura 8.7 permite uma visualização melhor do que acontece. Figura 8.7 – Interferência de raios de luz em película fina A luz proveniente de uma fonte incide sobre a superfície superior da película fina com espessura “t” é parcialmente refletida na parte superior (percurso abc). A luz transmitida é refletida pela superfície inferior (percurso abdef). As duas ondas chegam juntas no ponto P (retina), que dependendo da relação entre suas fases, pode ocorrer interferência construtiva ou destrutiva. Sabemos que cores diferentes possuem diferentes comprimentos de onda, de tal forma que a interferência pode ser construtiva para algumas cores e destrutiva para outras. É por causa disso que vemos anéis e franjas multicoloridas em películas, bolhas, CD/DVD, em revestimentos nãorefletor e refletor de câmeras e vidros. As variações de espessura de uma película podem produzir imagens com regiões coloridas quando a película é iluminada por luz branca. É como se víssemos o arco-íris sobre a superfície. Quando película fina possui espessura “t”, a luz apresenta incidência normal com comprimento de onda λ no interior da película, quando nenhuma das duas ondas refletidas possui defasagem ou quando possuem defasagem de meio ciclo, a condição para interferência construtiva é dada por, (8.19) 2t = mλ , para m = (0, 1, 2,.....) 137 FÍsiCa gEral iv A equação 8.19 estabelece a condição para interferência construtiva em películas sem diferença de fase, contudo, quando uma das ondas sofrer uma defasagem de meio ciclo durante a reflexão, a equação 8.19 fornece a condição para a interferência destrutiva entre as ondas. Da mesma forma, quando as ondas estão em fase ou defasadas de meio ciclo na reflexão, a condição de interferência destrutiva é dada por, 1 2t = (m + )λ , 2 para m = (0, 1, 2,.......) (8.20) A expressão 8.20 fornece a condição para interferência destrutiva em películas sem diferença de fase entre elas. Caso uma das ondas estiver defasada de meio ciclo em relação à outra, a equação 8.20 fornece a condição para interferência construtiva entre elas. 8.6 Difração – Poder de resolução. Como foi enunciado anteriormente, a difração é o fenômeno que ocorre quando uma onda encontra um pequeno obstáculo ou fenda (com dimensões comparáveis ao comprimento de onda da mesma), contornando-o e recompondo-se, chegando a regiões que não seriam atingidas caso apresentassem somente propagação retilínea. O obstáculo pode ser um anteparo com um pequeno orifício circular ou fenda estreita que permite a passagem de uma pequena fração da frente de onda. O obstáculo também pode ser um pequeno objeto, tal como um fio ou um disco, que bloqueia a passagem de uma pequena parte da frente de onda. No caso da luz atingir um obstáculo que possui uma abertura ou uma extremidade, a figura de interferência que se forma em consequência dessa interação é estudada com a designação geral de difração. A luz, sob certas condições, também contorna obstáculos, assim como fazem o som, as ondas em líquidos e gases, etc. É necessário enfatizar que não existe diferença fundamental entre os fenômenos que ocorrem na interferência e na difração. Na interferência estudamos os efeitos da superposição envolvendo um número pequeno de fontes discretas em fase. Na difração, consideraremos uma distribuição contínua de ondas secundárias de Huygens em fase, através da área de uma abertura ou um número muito grande de fontes e de aberturas, mas, no entanto, ambos os fenômenos são explicados a partir das mesmas leis da física da superposição de ondas e do princípio de Huygens. Para o caso da luz, devido ao seu pequeno comprimento de onda, sua observação visual se torna um tanto difícil. No presente texto, discutiremos a difração produzida por certas fendas ou obstáculos de geometria simples, sob duas condições especiais, denominadas de difração de Fraunhofer e difração de Fresnel. Na difração de Fraunhofer, vamos supor que os raios incidentes sejam paralelos e que observamos a figura de difração a uma distância consideravelmente grande, de tal forma que os raios que chegam ao anteparo (tela) sejam efetivamente paralelos. Nessa situação, as distâncias entre a fonte, o obstáculo e a tela são suficiente grandes para tratar os raios como retas paralelas. Na difração de Fresnel, também conhecida por difração de campo próximo, os raios incidentes originam-se de uma fonte puntual ou os raios difratados são observados em um determinado ponto do espaço, ou ambos. Nessa difração, a fonte a tela estão relativamente próximas do obstáculo que produz a difração. Essa difração não será tratada no presente texto. Outro fenômeno interessante, que não será tratado neste texto, mas que está relacionado com a difração, é o espalhamento, fenômeno que ocorre quando os obstáculos interpostos no caminho das ondas tornam-se, eles próprios, fontes de novas ondas (fontes secundárias), como é o caso do espalhamento de ondas eletromagnéticas por elétrons individuais. 8.7 Difração de Fraunhofer Vamos considerar uma situação em que a luz passa através de uma abertura estreita (fenda) e projetada sobre uma tela. Para simplificar, consideramos que o anteparo está longe da fenda de tal forma que os raios que atingem a tela sejam aproximadamente paralelos. Se eles não forem paralelos, podemos fazer uso de uma lente convergente para focalizar os raios paralelos sobre o anteparo. Neste modelo simplificado, o padrão no anteparo é chamado de padrão de difração de Fraunhofer. A figura 8.8(a) a seguir mostra a luz penetrando numa fenda simples e sofrendo difração à medida que se propaga em direção ao anteparo. A parte (b) é uma fotografia do padrão de difração de Fraunhofer da fenda única. Observa-se uma região brilhante ao longo do eixo em θ =0 com franjas brilhantes e escuras alternadas em cada lado da franja brilhante central, Note que a largura das franjas diminui à medida que se distanciam da região central. 138 Óptica ondulatória Figura 8.8 – Padrão de difração de Fraunhofer – Franjas brilhantes e escuras Até esse momento, consideramos as fendas agem como fontes puntuais de luz. Vamos ver como as larguras finitas das fendas permitem compreender o padrão de difração de Fraunhofer produzido por uma fenda única. Para tal compreensão, vamos dividir a fenda em múltiplos pequenos espaços (fontes puntuais) e examinar as ondas que deles emergem. Pelo princípio de Huygens, cada porção de fenda age como se fosse uma fonte de onda que irá interferir com as outras ondas das outras porções, cuja intensidade resultante sobre o anteparo depende do ângulo θ. Para analisar o padrão de difração, é interessante dividir a fenda (largura a) em duas partes iguais com largura a/2, conforme figura 8.9, a seguir. Figura 8.9 – Difração por fenda estreita. Cada porção é uma fonte puntual. Todas as ondas que se originam na fonte estão em fase e com a mesma velocidade, visto o meio não mudar. Considere as ondas 1 e 3 que se originam na base e no centro da fenda, respectivamente. Para chegar ao anteparo, a onda 1 percorre uma distância maior que a onda 3. A diferença de percurso é igual a (a/2)senoθ, obtida através do triângulo retângulo pertinente. De forma semelhante, a diferença de percurso entre as ondas 3 e 5 é a mesma. Se a diferença de percurso espacial for exatamente a metade de um comprimento de onda λ/2, correspondendo a uma diferença de fase Φ = 180°, as duas ondas sofrem interferência destrutiva. Isso ocorre para quaisquer duas ondas que se originam em pontos separados por metade da largura da fenda, portanto, as ondas da metade superior da fenda interferem destrutivamente com as ondas da metade inferior da fenda, ou seja, a λ senθ = 2 2 →→ senθ = λ a (8.21) Se dividirmos a largura da fenda em 4, 6, 8,.....,”m” partes, veremos que a condição para interferência destrutiva será dada por, senθ = m λ a , para m = (±1, ± 2, ± 3, ±......) (8.22) A equação 8.22 fornece os valores do ângulo θ para os quais o padrão de difração tem intensidade nula no anteparo, formando uma franja escura, mas não diz nada a respeito da variação da intensidade ao longo do anteparo, para cima e para baixo em relação ao ponto central. As características gerais da distribuição de intensidade podem ser vistas na figura 10, onde a franja central brilhante e larga é ladeada por franjas alternadas brilhantes, mas bem mais fracas, até sumirem da observação visual. A posição dos pontos de interferência construtiva (franjas claras) fica aproximadamente na metade do caminho entre as fendas escuras. Note que a franja central 139 FÍsiCa gEral iv brilhante é duas vezes mais larga que os outros máximos laterais, afirmação válida para ângulo pequeno, tal que podemos fazer a aproximação senθ ≈ θ. O ponto de máximo central é observado quando θ = 0°, que não é um ponto de mínimo, diferindo, portanto, da experiência de fenda dupla de Young. Nesse ponto todas as ondas provenientes da fenda chegam em fase. Figura 8.10 – Franjas de difração. Máximos e mínimos Normalmente, o comprimento de onda λ é muito menor que a largura da fenda, que é de aproximadamente 10-4 m. Para o ângulo dado em radianos, podemos fazer a aproximação para ângulo pequeno (senθ ≈ θ), assim, a equação 8.22 torna-se, θ =m λ a , para m = (± 1, ± 2, ± ......) (8.23) Também, se a distância entre a fenda e o anteparo for L, a distância vertical entre a franja escura de ordem m (ym) e o centro da franja brilhante (ponto O), é dada por, ym= L ⋅ tgθ ou ym = m λL a (para tgθ ≈ θ) (8.24) Da aproximação para ângulo pequeno, temos também que ym << L. Exemplo 4 Um feixe de luz laser com λ = 633 nm incide sobre uma tela a 6 m de distância da fenda, produzindo uma figura de difração. A distância entre o centro do primeiro mínimo acima do máximo central e o primeiro mínimo abaixo do máximo central (m = ± 1) é de 32 mm. Qual é a largura da fenda? Solução: Nesse caso, temos que ym << L, portanto podemos aplicar a equação para ângulos pequenos (eq. 8.2). Logo, λL (6)(633x10−9) a m= (1). = = 0, 24mm ( y1 / 2) (32 x10−3 ) / 2 Qual é a distância entre os dois segundos mínimos, um de cada lado do ponto de máximo central? 8.8 Resolução de Fendas Simples e de Aberturas Circulares Imagine que você esteja dirigindo numa noite escura em uma estrada reta e plana. Quando um outro veículo vem em sua direção, com os faróis ligados, se ele estiver bem longe, você verá uma única fonte de luz. À medida que o veículo for se aproximando, chegará um momento que você conseguirá ver os dois faróis separadamente. Nessa situação, dizemos que sua visão “resolveu” o problema, isto é, os faróis que “pareciam” ser uma única fonte, agora “aparecem” como duas fontes puntuais distintas. A capacidade de um sistema óptico de distinguir dois objetos puntuais como duas entidades distintas e não como uma só é chamada de poder de resolução ou poder resolvente do sistema. Se o sistema for o olho humano, o poder de resolução é chamado de acuidade visual. A capacidade dos sistemas ópticos de distinguirem corpos distintos quando muito próximos é limitada pela natureza ondulatória da luz, que produz um padrão de difração para capa corpo. Se eles estão muito próximos linearmente ou o ângulo de separação for muito pequeno, os padrões se superpõem e a imagem parece ser uma só, implicando que o sistema não conseguiu “resolver“ a situação. Se as duas fontes estiverem distantes (linear ou angular) para assegurar que seus máximos centrais não se sobreponham, suas imagens podem ser distinguidas e o sistema óptico “resolveu” o problema. A figura 8.11 permite uma visualização melhor. 140 Óptica ondulatória Figura 8.11 – Situações resolvida (a) e não resolvida (b). Para decidir quando as duas fontes estão resolvidas, usam-se certos critérios, sendo o mais comum, denominado de critério de Rayleigh, que estabelece o seguinte: “Quando o máximo central do padrão de difração de uma fonte incide sobre o primeiro mínimo central do padrão de difração de outra fonte, diz-se que as duas fontes estão minimamente resolvidas. Esta condição estabelece o limite de resolução para as duas fontes”. A figura 8.12, a seguir, que simula três situações distintas, mostra os padrões de difração de aberturas circulares, como se fossem estrelas distantes. A intensidade está representa no anteparo, onde os padrões individuais estão representados pelas curvas cheias e o padrão resultante (somatório), pelas curvas tracejadas. Quando os corpos estão distantes, eles estão bem resolvidos (esquerda da figura). Na parte central, eles obedecem ao critério de Rayleigh, estando minimamente resolvidos e quando estão muito próximos, não estão resolvidos (direita da figura). Figura 8.12 – Aplicação do critério de Rayleigh – Limite de Resolução A partir do critério de Rayleigh, pode-se determinar a separação angular mínima de resolução (θmín) subentendida pelas fontes em uma fenda que esteja minimamente resolvida. A equação 8.21 estabelece a condição para o primeiro mínimo de difração de um padrão de difração para uma fenda simples, permitindo determinar o valor do ângulo θ. De acordo com o critério de Rayleigh, a equação 8.21 fornece a menor separação angular para a qual as fontes podem ser resolvidas, ou seja, que o sistema óptico perceba que existem dois corpos presentes e não apenas um. Como λ<< a, na maioria dos casos, podemos utilizar a aproximação angular, tal que senθ = θ, para θ expresso em radianos. Assim, o ângulo limite de resolução para uma fenda simples é dado por, θ mín = λ a (8.25) O ângulo subentendido pelas duas fontes na fenda deve ser pouquíssimo maior do que o valor λ/a para que as fontes estejam resolvidas (distinguidas com clareza). A distância angular mínima de resolução é válida para fendas verticais ou longitudinais, olhos de felinos, cobras, etc., desde que sejam estreitos e com certo comprimento. Muitos sistemas ópticos utilizam aberturas circulares em vez de fendas. O padrão de difração observado na figura 8.12, consiste de um disco central brilhante, circundado por anéis escuros e claros, os últimos, com intensidades cada vez mais fracas. O poder de resolução para tais sistemas 141 FÍsiCa gEral iv é dado pelo ângulo mínimo de resolução (raio angular), conforme a expressão, que usando a aproximação angular, fica, θ mín = 1,2 senθ = 1,2 λ D λ D , (8.26) onde D é o diâmetro do orifício. A figura 8.13 é típica para refração porá abertura circular. Figura 8.13 – Difração para abertura circular. Anéis concêntricos O círculo central brilhante é denominado de disco de Airy. O raio angular do disco de Airy é dão pelo raio angular do primeiro anel escuro obtido pela equação 8.26. As equações 8.25 e 8.26 são similares, com exceção do fator 1,22, que surge do padrão de difração para aberturas circulares. É esta equação que regula a dificuldade de enxergar dois faróis quando estão muito distantes, dois objetos circulares em um microscópio ou telescópio. Ela é válida para qualquer abertura circular do tipo lente, orifício e olhos humanos, de animais, insetos, onde o diâmetro D é o diâmetro da pupila. Exemplo 5 O telescópio Hale localizado no Mote Palomar, tem um diâmetro de 5,08 m (200 polegadas). Qual é seu ângulo limite de resolução para a luz de 600 nm? Solução: λ (6 x10−7 m) −7 22 1, 22 rad 0, 03 s de arco. θ min 1,= = = 1, 44 x10= D (5, 08m) Obs. Para condições atmosféricas ideais, qualquer par de estrelas que estejam subentendendo um ângulo maior ou igual a esse valor pode ser resolvido (distinguido). Devido às turbulências atmosféricas, o telescópio Hale jamais atinge seu ângulo mínimo de resolução. O telescópio espacial Hubble, pelo fato de não sofrer distorções atmosférica, mesmo tendo seu diâmetro menor, pode tirar fotografias com melhor resolução (melhor qualidade). Como sugestão, resolva o seguinte problema. O radiotelescópio de Arecibo, em Porto Rico, tem um diâmetro de 305 m e é projetado para detectar ondas de rádio de até 0,75 cm de comprimento. Qual é seu poder resolvente? Compare o valor obtido com o do telescópio Hale. 8.9 Difração de Raios X Os raios X possuem propriedades eletromagnéticas, comportando-se como ondas eletromagnéticas, portanto, numa chapa fotográfica, formam figuras de interferência. Os átomos de um cristal se agrupam em rede cristalina regular e a difração de raios X se tornou uma ferramenta fundamental, tanto para a medida do comprimento de onda dos raios X quanto para o estudo da estrutura da rede cristalina. Cada átomo da rede funciona como um centro espalhador (refletor) da radiação incidente (fonte secundária), que se reflete formando ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência (lei da reflexão regular). Além disso, para uma rede regular, os átomos estão empilhados em linhas horizontais e verticais, de tal forma que a reflexão em uma linha horizontal está sempre em fase com a radiação incidente. Nestas condições, para que a radiação refletida por uma linha atinja o anteparo, além dos ângulos de incidência e reflexão serem iguais, temos que a diferença de caminho entre linhas adjacentes deve ser igual a mλ, sendo m um número inteiro, de tal forma que, (8.27) 2dsenθ = mλ , para m = 1, 2, 3 A equação 8.27 é conhecida por Lei de Bragg para a interferência construtiva ou condição de Bragg para interferência construtiva, sendo o ângulo θ medido a partir da superfície do cristal e 142 não da reta normal, conforme figura 8.14, abaixo. Óptica ondulatória Figura 8.14 – Condição de Bragg para interferência construtiva. Rede cristalina Para uma rede de difração (rede múltipla), temos um conjunto de fendas paralelas, todas com a mesma largura e com a mesma distância em relação aos centros de duas fendas consecutivas (espaçamento d), a posição dos máximos obedece a mesma equação para a interferência de duas fendas de Young (equação 8.2). Para uma rede de difração, o termo fenda é substituído pelo termo ranhura ou linha com sulcos de mesma profundidade Exercícios 1) Luz de comprimento de onda igual a 580 nm incide sobre uma fenda cuja largura é de 0,030 mm. O anteparo está a 2,0 m da fenda. Encontre as posições das primeiras franjas escuras e a largura da franja brilhante central. 2) Luz monocromática com λ = 632,8 nm incide normalmente sobre uma rede de difração contendo 6.000 linhas/cm. Encontre os ângulos nos quais podem ser observados os máximos de primeira, segunda e terceira ordens. 3) Calcule a espessura mínima de um filme fino de uma bolha de sabão (n = 1,33) que resulta da interferência construtiva da luz refletida se o filme for iluminado com luz monocromática de 600 nm de comprimento, no vácuo. Que outras espessuras do filme produzem interferência construtiva? 4) Estime a maior distância em que é possível distinguir os dois faróis de um carro. Admita que o diâmetro da pupila seja de 5 mm, que os faróis estejam separados por 1 m e utilize o comprimento de onda médio igual a 550 nm. 5) Duas fontes de comprimento de onda de 700 nm estão separadas por uma distância horizontal “x” e a 5 m de uma fenda vertical de largura igual a 0,5 mm. Qual é o menor valor de “x” que permite sejam as fontes resolvidas pelo critério de Rayleigh? 6) Luz de 700 nm incide sobre um orifício de 0,1 mm de diâmetro. (a) Qual o ângulo entre o máximo central e o primeiro mínimo de difração, numa difração de Fraunhofer? (b) Qual a distância entre o máximo central e o primeiro mínimo de difração num anteparo a 8 m de distância do orifício?. 7) Um feixe de luz laser com comprimento de onda igual a 660 nm atravessa uma fenda vertical de largura 0,04 mm. Determine a largura do máximo central em um anteparo localizado a 1 m de distância da fenda. 8) Luz laser de 546 nm é utilizada para iluminar duas fendas separadas por 0,12 mm e distantes 55 cm de um anteparo. Calcule a distância que separa dois máximos adjacentes em relação ao máximo central. 9) Determine a resultante E(t) das seguintes ondas. E1(t) = E0 sem(ωt) E2(t) = E0 sem(ωt + 60°) E3(t) = E0 sem (ωt - 30°) Obs. Suponha que os fasores saiam de t = 0 10) Duas fendas paralelas a 7,70 μm de distância uma da outra são iluminadas por luz monocromática de 550 nm de comprimento. Calcule a posição angular da franja brilhante de terceira ordem em radianos e em graus. 143 FÍsiCa gEral iv Anotações 144 Óptica ondulatória Anotações 145 FÍsiCa gEral iv Anotações 146 9 Fótons, Elétrons e Átomos 9.1 introdução 9.2 ideia de quantização 9.3 Efeito Fotoelétrico 9.4 Espectro atômico e o átomo de hidrogênio 147 FÍsiCa gEral iv 9 FÓTONS, ELÉTRONS E ÁTOMOS 9.1 Introdução Muitos fenômenos, principalmente, os relacionados à emissão e absorção de ondas eletromagnéticas por átomos, sugerem aspectos da luz diferentes dos até então considerados. Nestes fenômenos, a energia de uma onda eletromagnética é quantizada. A onda eletromagnética é emitida e absorvida em pacotes semelhantes a partículas com energias definidas. Nestes casos, os pacotes são chamados de fótons ou quanta. A energia interna de uma átomo é quantizada. Em um átomo, a energia não pode assumir qualquer valor. Somente alguns valores de energia são possíveis. Estes valores de energia chamados níveis de energia. 9.2 Ideia de Quantização Ao final do século 19, a mecânica clássica tinha sério problema em explicar o espectro eletromagnético emitido por corpo a uma determinada temperatura. Os dados experimentais não concordavam com o resultado usando os conceitos da mecânica clássica. O experimento era uma cavidade ou forno, e observava o espectro eletromagnético emitido através de um orifício pequeno. Os dados experimentais indicavam que o espectro eletromagnético emitido depende somente da temperatura de equilíbrio. O espectro eletromagnético emitido independe do material do qual o forno é construído, e também da forma ou superfície. Com o aumento da temperatura, a radiação visível passa de uma coloração avermelhada a um vermelho vivo, depois vai-se tornando mais branca, indo após para o azulado. O espectro emitido é contínuo, mas a coloração predominante se desloca para comprimentos de onda mais baixos com o aumento da temperatura. Figura 9.1 espectro eletromagnético de um forno a uma determinada temperatura. Na figura 1 podemos observar o espectro eletromagnético a uma determinada temperatura. Pela mecânica clássica, a troca de energia entre a radiação e a parede se dá de forma contínua, isto quer dizer, qualquer quantidade de energia pode ser absorvida ou emitida. A previsão da mecânica clássica da intensidade em função do comprimento de onda λ e temperatura T é 2π ckT I (λ ) = 4 λ onde c é a velocidade da luz e= k 1,38 ×1023 J / K é a constante de Boltzmann. Esta equação é apresentada na figura 1 juntamente com os dados experimentais. Como podemos ver na figura 1, a previsão da mecânica clássica concorda razoavelmente com o experimento para comprimentos de onda altos. O problema é que para comprimentos de ondas baixos existe uma alta divergência entre a previsão da mecânica clássica e os dados experimentais. Esta altíssima divergência é chamada de “catástrofe ultravioleta”. Em dezembro de 1900, Max Karl Ernst Ludwig Planck apresentou em uma reunião da sociedade alemã de física uma proposta que permitia obter a expressão da intensidade I em dependência do comprimento de onda λ, a seguir 2π c 2 h 1 I (λ ) = λ5 hc exp −1 λ kT onde= h 6.63 ×10−34 J .s é a constante de Planck. Esta expressão de Planck está em concordância com os dados experimentais apresentados na figura 1. Para obter esta expressão, Planck deixou a ideia da mecânica clássica, onde a troca de energia é continua, e postulou que a troca de energia seria quantizada, isto é, um oscilador de frequência f só pode emitir ou absorver energia em 148 múltiplos inteiros de um quantum de energia. Valores de energia intermediários são proibidos. Portanto, as trocas de energia dentro de um forno a uma determinada temperatura têm valores discretos e bem definidos, não contínuos, como descrito pela mecânica clássica. Fótons, Elétrons e átomos Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 —1947) foi um físico alemão, considerado o pai da física quântica. Seu professor de física Philipp von Jolly recomendou Planck a não estudar física, dizendo: “neste campo, quase tudo já está descoberto, e tudo o que resta é preencher alguns buracos”. Planck respondeu que ele não queria encontrar coisas novas, apenas compreender os fundamentos conhecidos do assunto. Max Planck teve como professores os físicos Hermann von Helmholtz e Gustav Kirchhoff e o matemático Karl Weierstrass. Teve sua vida conturbada pela segunda guerra mundial, onde perdeu seu filho, morto pelo regime nazista. A termodinâmica ocupou o jovem cientista desde cedo, o que levou a postular os princípios da mecânica quântica. Planck foi agraciado com o Nobel de Física em 1918. 9.3 Efeito Fotoelétrico Heinrich Rudolf Hertz, em 1887, verificou a ocorrência de centelhas entre duas esferas, com uma grande diferença de potencial entre elas, quando iluminadas com luz. A luz que incidia sobre a superfície das esferas promovia liberação de elétrons. Estes elétrons em condições normais não eram liberados pois eles tinham que vencer uma barreira de potencial φ . Melhorias foram feitas na parte experimental (figura 2a), o que possibilitou uma observação mais detalhado do efeito. Inúmeros estudos foram realizados e descobriu-se que este efeito dependia estranhamente da diferença de potencial, da frequência e intensidade da luz incidente. Foi observado que a frequência da luz tinha que ser maior que um determinado valor para que os elétrons pudessem escapar da superfície, chamada de frequência de corte. Foi observado que a corrente causada pelo movimento dos elétrons independia da diferença de potencial, quando o experimento era feito em vácuo, isto quer dizer que os elétrons saiam da superfície iluminada sem aplicação de potencial. Foi observado também, se houvesse uma inversão do potencial elétrico, contrário ao movimento inicial dos elétrons, é possível determinar a energia cinética máxima dos elétrons que saiam da superfície iluminada (figura 2b). Esta energia cinética depende do comprimento de onda. A diferença de potencial Vo , em que a corrente não era mais observada, foi chama da de potencial de corte. Figura 9.2 (Nome da figura) Em 1905, foi feita finalmente a análise correta por Albert Einstein do efeito. Ele utilizou a ideia de pacotes de energia, desenvolvida por Max Planck cinco anos antes, para explicar a radiação do corpo negro. Einstein postulou que um feixe de luz era constituído por pequenos pacotes de energia chamados de fótons ou quanta. A energia E de um fóton é igual ao produto entre a constante h e a frequência f, assim, hc (9.1) = E hf= λ onde = h 6, 626 ×10−34 J .s e é chamada de constante de Planck, c é a velocidade da luz e λ é o comprimento de onda. Segundo Einstein, um fóton é absorvido por um elétron da superfície do material. Essa transferência de energia se dá totalmente, isto quer dizer que o elétron só pode absorve toda a energia do fóton, ou não absorve nada. Isso contraria o princípio de absorção contínua da mecânica clássica. Quando esta energia absorvida é maior que a barreira de potencial φ que impede o elétron de sair do material, o elétron escapa do material com uma energia potencial, portanto, 149 Ecin = FÍsiCa gEral iv 1 2 me v= hf − φ e 2 eV= hf − φ 0 O potencial de corte Vo é uma função linear que depende da frequência e desta função é possível determinar a barreira de potencial φ , ou também chamada de função trabalho. A tabela 9.1 mostra uma lista contendo valores da função trabalho φ de alguns elementos. Esses valores são aproximados, pois o efeito é muito sensível a impurezas existentes na superfície. Quanto maior o trabalho, menor deverá ser o comprimento de onda de corte necessária para emissão de fotoelétrons. Para comprimentos de onda abaixo do comprimento de corte haverá emissão de fotoelétrons. Função trabalho (eV) 5,1 5,1 5,0 4,8 4,7 4,6 4,3 4,3 2,7 2,3 elemento Níquel ouro carbono silício cobre tungstênio alumínio prata sódio lítio φ Comprimento de onda de corte (nm) 243 243 248 258 264 270 288 288 460 537 Tabela 9.1 Função trabalho φ e comprimentos de onda máximos calculados a partir dos valores de φ (valores aproximados) A quantização se aplica a todo o espectro de ondas eletromagnéticas. A relação entre o momento p e a energia E de uma partícula é dada pela teoria da relatividade especial, assim, E hf h = p = = c c λ onde a direção e o sentido do momento linear do fóton são a direção e o sentido da propagação da onda eletromagnética. Exemplo 1 O potencial de corte necessário para impedir a emissão de elétrons é igual a 0,181 V para quando um feixe de luz ultravioleta de 254 nm incide sobre uma superfície polida de cobre. Calcule o comprimento de onda de corte e a função trabalho φ . Solução: Como a energia correspondente ao comprimento de onda da onda eletromagnética é dada por E= hc λ e a energia correspondente ao potencial elétrico Vo de 0,181V em elétrons volts é 0,181eV (1 eV corresponde um elétron acelerado pelo potencial de 1 volt). A função trabalho é a diferença entre a energia correspondente a onda eletromagnética e o potencial de corte, assim, hc = φ − V0 ( eV ) φ = λ −15 4.1365 × 10 eV .s ) .(3 ×108 m / s ) ( 254 ×10−9 m φ = 4, 7 eV − 0,181eV esta função trabalho corresponde a uma onda eletromagnética de comprimento de onda 4.1365 ×10−15 eV .s .(3 ×108 m / s ) hc = λ = E 4, 7 eV ( ) λ =2, 64 ×10−7 m =264 nm Os valores da função trabalho φ e do comprimento de onda de corte λ concordam com os valores para o cobre na tabela 1. 150 Fótons, Elétrons e átomos Figura 9.3 Espectrômetro e espectros obtidos de diferentes átomos. Para obter o espectro de um feixe de luz empregamos um prisma ou uma rede de difração para separar os diversos comprimentos de onda que compõem a luz analisada. 9.4 Espectro Atômico e o Átomo de Hidrogênio Quando um gás de um elemento é convenientemente excitado por uma descarga elétrica, ele produz luz. Em 1859, Gustav Robert Kirchhoff e Robert Wilhelm Bunsen descobriram que o espectro de emissão de um elemento quando excitado é característico desse elemento e este espectro é formando por linhas bem definidas, como apresentado na figura 9.3., principalmente em função das linhas bem definidas, o espectro de emissão eletromagnética era incompreensível pela física clássica. Um espectro contínuo era esperado pelos modelos da mecânica clássica. Figura 9.4 Órbita circular Para compreender o espectro de emissão eletromagnética dos gases de elementos quando excitados,vamos considerar o modelo de Bohr do hidrogênio (figura 9.4), onde um elétron tem órbita circular em torno de um próton, sujeito apenas à forca columbiana, assim, q2 F k= ma = r2 A aceleração centrípeta é: v2 a= r portanto, q 2 mv 2 F k= = r2 r 2 q (9.2) k = mv 2 r Tomando o nível zero de energia total no infinito, ou seja, com o elétron infinitamente afastado do núcleo e em repouso, a soma da energia cinética e da potencial é a energia E total do sistema. 1 2 q2 E mv − k = 2 r A energia potencial tem sinal negativo, pois é necessário fornecer energia para levar o elétron até o infinito. Como vimos (equação 9.2) mv 2 = kq 2 / r , assim, a energia total é dada por: q2 2r Quando o átomo tem sua energia diminuída quando emite um fóton. Por isso, associamos a variação de energia com a variação do raio da órbita, que passa de um valor inicial maior ri a um E = −k 151 FÍsiCa gEral iv valor final menor rf . q2 q2 − −k 2ri 2rf q2 1 1 k − ∆Ei →= f 2 rf ri Associando a variação de energia a frequência f do fóton (equação 1), temos, q2 1 1 hc ∆Ei → f = k − = hf = 2 rf ri λ ∆Ei → f =−k Por conseguinte, podemos escrever o comprimento de onda λ esperado como 1 kq 2 1 1 (3) = − λ 2hc rf ri Portanto, o comprimento de onda emitido pelo átomo depende da transição entre duas órbitas com raio maior e um raio menor. Portanto, temos que observar o espectro de emissão experimental do hidrogênio visto na figura 9.3. O menor comprimento de onda emitido pelo átomo de hidrogênio na faixa do visível é H δ = 364, 6 nm , o segundo é H γ = 410, 2 nm , o terceiro é H β = 486,1 nm e o quarto é H α = 656,3 nm . Os H x são as notações das respectivas linhas. A equação que descreve as linhas de emissão do hidrogênio da figura 9.3, havia sido descoberta anteriormente pelo método das tentativas por Johann Balmer, e é dada por: 1 1 1 (9.4) = R 2 − 2 λ 2 n onde = R 1, 097 ×107 m −1 e é chamada de constante de Rydberg, e n pode ter números inteiros 3, 4, 5, ... . Esta série é chamada de série de Balmer e se aplica aos comprimentos de onda no visível. Na região do ultravioleta temos a série de Lyman e na infravermelho temos três regiões que são determinadas pelas séries de Paschen, Brachkett e Pfund, como podemos ver na figura 5. A concordância entre a equação 9.3, desenvolvida por Bohr, e os dados experimentais descritos pela série de Balmer (equação 9.4) é evidente. Portanto, as linhas de emissão do átomo de hidrogênio podem ser explicadas usando as transições de um nível de energia para outro nível e o conceito de fóton. Portanto, ocorre que quando um elétron faz uma transição de um nível de energia para outro nível mais baixo emite um fóton com energia igual à diferença de energia entre o nível inicial e o nível final. Niels Henrick David Bohr nasceu, em 1885, em Copenhaga, Dinamarca. Estudando o átomo de hidrogênio, Bohr conseguiu formular um novo modelo atômico. Bohr concluiu que o elétron tinha orbita fixa e que não haveria emissão de radiação enquanto o elétron permanecesse na mesma órbita. A emissão ocorre apenas quando o elétron se desloca de um nível de maior energia (órbita mais distante do núcleo) para outro de menor energia (órbita menos distante do núcleo). Formulou o princípio da correspondência, e teve diversos trabalhos que contribuíram decisivamente para a compreensão da estrutura atômica e da física quântica. Foi contra a construção da bomba atômica. Ele ganhou o prêmio Nobel de Física, em 1922, por seus trabalhos da estrutura e a emissão dos átomos. Em 1957, Niels Bohr recebeu o Prêmio Átomos para a Paz. Bohr faleceu em 1962, em Copenhaga, aos 77 anos. 152 Fótons, Elétrons e átomos Figura 9.5 Modelo de Bohr - Orbitais permitidas para um elétron do átomo de hidrogênio (não em escala). As linhas espectrais ocorrem das diversas transições entre os níveis de energias. 153 FÍsiCa gEral iv Exemplo 2 Utilizando os dados da figura 5, calcule os comprimentos de onda dos fótons correspondentes a) a transição entre n=6 e n=2 (série de Balmer) e b) a transição entre n=6 e n=4 (série de Brackett). Solução: a) A energia entre os níveis 6 e 2 é −3, 40 + 0,38 eV = 3, 02 eV , assim, o comprimento de onda do fóton deve ser hc 4.136 eV .s 3, 00 ×108 m / s = = 4,11×10−7 m = 411 nm 3.02 eV E f − Ei λ= Este comprimento de onda está no visível (400 - 700 nm). O valor calculado está bem perto do valor no texto. A pequena discrepância é devido à pequena precisão dos dados da figura e a aproximação do valor da velocidade c. 0, 47 eV , assim, o comprimento de onda b) A energia entre os níveis 6 e 2 é −0,85 + 0,38 eV = do fóton deve ser hc 4.136 eV .s 3, 00 ×108 m / s = =2, 64 ×10−6 m =2640 nm λ= 0, 47 eV E f − Ei Este comprimento de onda está acima do visível, na região do infravermelho. As linhas de emissão de um espectro não são produzidas por um único elétron. Os espectros de emissão da figura 9.3 são produzidos por uma amostra de gás com uma quantidade muito grande de átomos, que são excitados para diversos níveis de energia em consequência de uma descarga elétrica no gás. O espectro do gás mostra a luz emitida pelo conjunto das transições ocorridas em vários átomos da amostra. Apenas alguns átomos e íons têm espectro de emissão que podem ser representados mediante uma formula simples com a série de Balmer para o átomo de hidrogênio. No entanto, os espectros mais complicados podem ser analisados usando transições entre diversos níveis de energia. Através do espectro de emissão é possível determinar os valores numéricos destes níveis de energia. O nível mais baixo de energia é denominado de nível fundamental, que corresponde ao estado de energia interna mínima que o átomo pode possuir. Todos os demais níveis de energia mais elevados são denominados de estados excitados ou níveis excitados. Um fóton correspondente a uma linha espectral é emitido quando um átomo faz uma transição de um nível excitado até um nível inferior ou até o nível fundamental. No átomo de hidrogênio, a série de Lyman corresponde a uma transição de um nível excitado até o fundamental. As demais séries correspondem a uma transição de um nível excitado até um nível mais inferior. Quando um átomo faz uma transição de um nível até um nível inferior, ele emite um fóton com uma determinada energia. Este fóton pode ser absorvido totalmente por um átomo semelhante que esteja inicialmente neste nível inferior. Quando um feixe de espectro contínuo, também chamada de luz branca, passa por um gás, observamos que o gás absorve em determinadas linhas, e uma série de linhas negras aparecem no espectro. Essas linhas correspondem ao chamado espectro de absorção. Em alguns casos um átomo absorve um fóton que atinge um nível excitado e a seguir volta ao nível fundamental em etapas, isto quer dizer, ele vai para um estado inferior e depois para um mais inferior e assim sucessivamente até atingir o estado fundamental. Neste processo, o átomo emite diversos fótons, correspondentes a cada etapa do processo até chegar ao estado fundamental. Este processo é chamado de Fluorescência. Em geral, o fóton inicialmente absorvido tem uma energia alta e geralmente está na região do ultravioleta. Exemplo 3 A lâmpada de vapor de sódio emite uma luz amarela com comprimento de onda de 586 nm. Qual é a energia, em eV, dos prótons emitidos. Solução: 6, 626 ×10−34 J .s Como o resultado é solicitado em elétrons Volts, podemos usar o direto o valor da constante de h 4.14 ×10−15 eV .s (o valor de h no S.I. é 6, 626 ×10−34 J .s e= Planck= 1J 6, 242 ×1018 eV ) hc = E = λ 154 ( 4.14 ×10 eV .s ) (3, 00 ×108 m / s ) = 2,11eV 5,89 ×10−9 m −15 Exercícios Fótons, Elétrons e átomos 1) Em qual região do espectro eletromagnético um corpo a 0,02K emite radiação? 2) Calcule o comprimento de onda predominante a uma temperatura de 3000K. 3) Um fóton de luz vermelha possui comprimento de onda igual a 650 nm. Calcule a frequência do fóton, o modulo de seu momento linear e sua energia. 4) O potencial de corte necessário para impedir a emissão de elétrons é igual a 0,4 V para quando um feixe de luz de 400 nm incide sobre uma superfície polida de sódio. Calcule o comprimento de onda de corte e a função trabalho φ . Compare os resultados com os valores da tabela 1. 5) Por volta de 1916, R. A. Milikan mediu diversos dados da voltagem de corte em função do comprimento de ondas para o lítio. Usando estes dados encontre a função trabalho e a constante de Planck. Comprimento de onda (nm) Potencial de corte (V) 433,9 0,55 404,7 0,73 365,0 1,09 313,5 1,67 253,5 2,57 6) Quando o hidrogênio é excitado ele emite uma luz verde com comprimento de onda de 486,1 nm. Usando a série de Balmer encontre o estado n. 7) Um átomo absorve um fóton de comprimento de onda de 370 nm e imediatamente emite um fóton com cumprimento de onda de 580 nm. Quanto de energia o átomo absorveu? 8) Usando a figura 5, qual é a energia, o momento e o comprimento de onda de um fóton quando o hidrogênio passa do estado n=3 ao estado n=1. 9) Quais são as características da emissão do átomo de hidrogênio? 10) Comente a energia de um elétron em um orbital ligado a um proton e um átomo não ligado? 155 FÍsiCa gEral iv Anotações 156 Fótons, Elétrons e átomos Anotações 157 FÍsiCa gEral iv Anotações 158 10 Referências SERWAY, R. A.; JEWETT J. W. Jr., Princípios de Física. Óptica e Física Moderna. 3. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. v. 4. YOUNG H. D., FREEDMAN R. A. Coleção Sears e Zemansky. Ótica e Física Moderna – 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2007. v. IV. HALLIDAY, D., RESNICK R., WALKER, J., Fundamentos da Física. Ótica e Física Moderna. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. TIPLER, P. A., Física. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois, 1978. v. 2. ALONSO, M., FINN, E. J., Física – Um Curso Universitário. Campos e Ondas. 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