Slides de Aula

Unidade II
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Luiz Felix
Distribuição de frequências - média
ƒ Cálculo da Média
x = ∑ Xi . fi
n
Onde:
ƒ x média aritmética da distribuição de
frequência
ƒ Xi ponto médio de cada classe (Li + Ls)
2
ƒ fi frequência absoluta simples
ƒ n número de observações
Distribuição de frequências - média exemplo
Calcule a média da seguinte distribuição de
frequências:
Saldo (R$)
Correntistas
400 |--- 500
12
500 |--- 600
15
600 |--- 700
8
700 |--- 800
3
800 |--- 900
1
900 |--- 1000
1
Distribuição de frequências - média exemplo
Saldo (R$)
fi
Xi
Xi . fi
400 |--- 500
12
450
5400
500 |--- 600
15
550
8250
600 |--- 700
8
650
5200
700 |--- 800
3
750
2250
800 |--- 900
1
850
850
900 |--- 1000
1
950
950
∑
40
---
22900
x = ∑ Xi . fi = 22900 = 572,50
572 50
n
40
Distribuição de frequências mediana
ƒ Cálculo da Mediana
ƒ
Distribuição de frequências mediana - exemplo
Calcule a mediana da seguinte distribuição
de frequências:
Saldo (R$)
Correntistas
400 |--- 500
12
500 |--- 600
15
600 |--- 700
8
700 |--- 800
3
800 |--- 900
1
900 |--- 1000
1
Distribuição de frequências mediana - exemplo
Saldo (R$)
fi
Fi
400 |--- 500
12
12
n = 40 = 20
500 |--- 600
15
27
2
600 |--- 700
8
35
A classe da
700 |--- 800
3
38
mediana
800 |--- 900
1
39
será a 2ª classe
900 |--- 1000
1
40
∑
40
---
2
md = 500 + (20 – 12).100 = 500 + 800 = 553,33
15
15
Distribuição de frequências - moda
ƒ Cálculo da Moda
ƒ
Distribuição de frequências - moda exemplo
Calcule a moda da seguinte distribuição de
frequências:
Saldo (R$)
Correntistas
400 |--- 500
12
500 |--- 600
15
600 |--- 700
8
700 |--- 800
3
800 |--- 900
1
900 |--- 1000
1
Distribuição de frequências - moda exemplo
A classe modal será
Saldo (R$)
fi
400 |--- 500
12
a 2ª classe, pois
500 |--- 600
15
apresenta a maior
600 |--- 700
8
frequência.
700 |--- 800
3
800 |--- 900
1
900 |--- 1000
1
∑
40
mo = 500 + (15 – 12).100
12) 100 = 500 + 300 = 530
(15–12)+(15-8)
10
Interatividade
Quando uma amostra apresenta valores
extremamente discrepantes, pode-se
afirmar que a melhor maneira de
representar uma variável quantitativa é:
a) Erro padrão
b) Desvio padrão
c) Moda
d) Mediana
e) Média
Distribuição de frequências - média exemplo
Calcule a média da seguinte distribuição de
frequências:
Idade
Pessoas
2 |--- 5
1
5 |--- 8
10
8 |--- 11
8
11 |--- 14
1
Distribuição de frequências - média exemplo
Idade
fi
Xi
Xi . fi
2 |--- 5
1
3,5
3,5
5 |--- 8
10
6,5
65
8 |--- 11
8
9,5
76
11 |--- 14
1
12,5
12,5
20
---
157
∑
x = ∑ Xi . fi = 157 = 7,85
n
20
7,85 é o valor em torno do qual os
elementos desta série se concentram.
Distribuição de frequências mediana - exemplo
Calcule a mediana da seguinte distribuição
de frequências:
Idade
Pessoas
3 |--- 6
2
6 |--- 9
5
9 |--- 12
8
12 |--- 15
3
15 |--- 18
1
Distribuição de frequências mediana - exemplo
Idade
fi
Fi
3 |--- 6
2
2
n = 19 = 9,5
6 |--- 9
5
7
2
9 |--- 12
8
15
A classe da
12 |--- 15
3
18
mediana
15 |--- 18
1
19
será a 3ª classe
19
---
∑
2
md = 9 + (9,5 – 7).3 = 9 + 7,5 = 9,94
8
8
Distribuição de frequências - moda exemplo
Calcule a moda da seguinte distribuição de
frequências:
Idade
Pessoas
0 |--- 10
1
10 |--- 20
3
20 |--- 30
6
30 |--- 40
2
Distribuição de frequências - moda exemplo
Saldo (R$)
fi
A classe modal será a
0 |--- 10
1
3ª classe, pois
10 |--- 20
3
apresenta a maior
20 |--- 30
6
frequência.
30 |--- 40
2
∑
12
mo = 20 + (6 – 3).10 = 20 + 30 = 24,29
(6 3)+(6-2)
(6–3)+(6-2)
7
Interatividade
Calcule a média da seguinte distribuição de
frequências:
a) R$ 205,00
b) R$ 305,00
c) R$ 405
405,00
00
d) R$ 505,00
e) R$ 605,00
Salários (R$)
fi
350 |– 370
7
370 |– 390
20
390 |– 410
33
410 |– 430
25
430 |– 450
11
450 |– 470
4
Distribuição de frequências desvio médio
ƒ Cálculo do Desvio Médio
Dmédio = ∑ |Xi – x|. fi
n
Onde:
ƒ Dmédio desvio médio
ƒ Xi ponto médio de cada classe
ƒ x média da distribuição de frequência
ƒ xi ponto médio de cada classe
ƒ fi frequência absoluta simples
ƒ n total de observações
Distribuição de frequências desvio médio - exemplo
Calcule o desvio médio da seguinte
distribuição de frequências:
Saldo (R$)
Correntistas
400 |--- 500
12
500 |--- 600
15
600 |--- 700
8
700 |--- 800
3
800 |--- 900
1
900 |--- 1000
1
Distribuição de frequências desvio médio - exemplo
Saldo (R$)
fi
Xi
|Xi – x|
|Xi – x|.fi
400 |--- 500
12
450
122,50
1470
500 |--- 600
15
550
22,50
337,50
600 ||--- 700
00
8
6 0
650
77,50
0
620
700 |--- 800
3
750
177,50
532,50
800 |--- 900
1
850
277,50
277,50
900 |--- 1000
1
950
377,50
377,50
∑
40
---
---
3615
Sendo x = 572,50
Dmédio = ∑ |Xi – x|. fi = 3615 = 90,37
n
40
Distribuição de frequências variância e desvio padrão
(população e amostra)
ƒ População
Variância: σ2 = ∑ (Xi – x)2. fi
n
¬
Desvio Padrão: σ = √σ
√ 2
ƒ Amostra
Variância: S2 = ∑ (Xi – x)2. fi
n–1
¬
Desvio Padrão: S = √S2
Distribuição de frequências variância e desvio padrão - exemplo
Calcule a variância e o desvio padrão da
seguinte distribuição de frequências
(população):
Saldo (R$)
Correntistas
400 ||--- 500
12
500 |--- 600
15
600 |--- 700
8
700 |--- 800
3
800 ||--- 900
1
900 |--- 1000
1
Distribuição de frequências variância e desvio padrão - exemplo
(Xi – x)2
(Xi – x)2.fi
Saldo (R$)
fi
Xi
400 |--- 500
12
450
15006,25
180075
500 |--- 600
15
550
506,25
7593,75
600 |--- 700
8
650
6006,25
48050
700 |--- 800
3
750
31506,25
94518,75
800 |--- 900
1
850
77006,25
77006,25
900 |--- 1000
1
950
142506,25
142506,25
∑
40
---
---
549750
S d x = 572,50
Sendo
572 50
σ2 = ∑ (Xi – x)2. fi = 549750 = 13743,75
¬
n
40
σ = √σ2 = √13743,75 = 117,23
Desvio padrão
Média
1 DP
1 DP
34% 34%
2 DP
2 DP
3 DP
3 DP
68 3%
68,3%
95,5%
99,7%
Interatividade
Qual o desvio padrão, para a seguinte
distribuição (Amostra):
a) 49,46
b) 55,38
Consumo por
Nota Fiscal
Número De
Notas
c) 63,63
63 63
0 ||--- 50
10
d) 71,02
50 |--- 100
28
e) 84,91
100 |--- 150
12
150 |--- 200
2
200 |--- 250
1
250 |--- 300
1
Origem da teoria das probabilidades
ƒ A origem da teoria das probabilidades
encontra-se nos jogos de azar desde o
século XVII. Surgiu da necessidade de
um método racional para calcular os
riscos dos jogadores em jogos de cartas,
dados etc.
etc
ƒ Posteriormente passou a auxiliar
governos, empresas e organizações
profissionais em seus processos de
decisões, ajudando a desenvolver
estratégias.
estratégias
Probabilidade
Eventos – Teoria de conjuntos
Espaço Amostral (S) é o conjunto de todos
os possíveis resultados de um experimento
Evento é todo subconjunto de S.
S = {1,
{1 2
2, 3,
3 4
4, 5
5, 6}
1
2
A = {1, 2, 3} (números menores que 4)
3
B = {1, 3, 5} (números ímpares)
4
5
6
S
C=Ø
(números múltiplos de 7)
D=S
(números maiores que 0)
Probabilidade
Eventos – Teoria de conjuntos
1
3
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2
A = {1, 2, 3}
B = {1,
{1 3
3, 5}
C=Ø
D=S
4
5
6
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ P(S) = 1
P(A) = 0,5
P(B) = 0
0,5
5
P(C) = 0
P(D) = 1
S
P=
# eventos favoráveis
# eventos possíveis
í i
0 ≤ P(evento qualquer ) ≤ 1
Operações com eventos - exemplos
Um dado é lançado e observa-se o número
de face de cima.
Se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Se A = {1,2,3} B = {2,3,6} C = {2,6} então:
A ∪ B = {1,2,3,6}
A ∪ B = {4,5}
A ∩ B = {2,3}
A ∩ B = {1,4,5,6}
A = {4,5,6}
(A ∩ B) ∪ C = {2,3,6}
B – C = {3}
A ∩ B ∩ C = {2}
Probabilidade: propriedades
P(A∪B) = P(A) +P(B) −P(A∩B)
A∪B
P(A∪B) = P(A) +P(B)
A
P( A) =1− P( A)
eventos
independentes
Probabilidade
Exemplo:
A∪B
Qual a
probabilidade
do objeto
selecionado
ser quadrado
ou ser
vermelho?
P(Quadrado∪Vermelho) = 8
9
P(Quadrado∪Vermelho) = P(Quadrado) +
P(Vermelho) P(Q d d ∩V
P(Quadrado∩Vermelho)
lh )
= 5 + 5 - 2 = 8
9
9
9
9
Probabilidade
Exemplo:
A∪B
Qual a
probabilidade do
objeto
selecionado ser
quadrado
d d ou ser
vermelho?
P(Quadrado ∪ Vermelho) = 8
9
P(Quadrado ∪ Vermelho) ≠ P(Quadrado) +
P(Vermelho)
= 5 + 5 = 10 > 1 ?
9
9
9
Probabilidade - exemplos
Considere 3 fábricas A, B e C, que
produzem um determinado produto em
lotes de 100, 200 e 300 peças,
respectivamente. Um lote de cada fábrica é
selecionado e as peças são misturadas.
Suponha que a probabilidade de se
encontrar peças defeituosas em cada uma
das fábricas seja respectivamente de 10%;
5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao
acaso, calcule a seguinte probabilidade:
a) Ser da fábrica A
P(A) = 100 = 1 = 0,1666 ou 16,66%
600
6
Probabilidade - exemplos
Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem
um determinado produto em lotes de 100, 200
e 300 peças, respectivamente. Um lote de
cada fábrica é selecionado e as peças são
misturadas. Suponha que a probabilidade de
se encontrar peças defeituosas em cada uma
das fábricas seja respectivamente de 10%;
5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao
acaso, calcule a seguinte probabilidade:
b) Ser defeituosa, sabendo que a peça
provém da fábrica A
P(D/A) = 10 = 0,1 ou 10%
100
Probabilidade - exemplos
Ser defeituosa
ƒ A Æ 10% de 100 = 10 . 100 = 10
100
ƒ B Æ 5% de 200 = 5 . 200 = 10
100
ƒ C Æ 1% de 300 = 1 . 300 = 3
100
Total
T
t l de
d peças defeituosas
d f it
= 10 + 10 + 3 =
23 Como temos no total 600 peças, a
probabilidade ficará: P(D) = 23
600
= 0,0383 = 3,83%
Probabilidade - exemplos
d) Ser da fábrica A, sabendo que a peça é
defeituosa
Total de peças defeituosas: 23
Qual a probabilidade de ser da fábrica A
que produziu 10 peças defeituosas?
P(A / D) = 10 = 0,4347 = 43,47%
23
Interatividade
Num café estão 20 pessoas. Sabendo que 8
são mulheres, indique a probabilidade de,
ao escolher uma das pessoas ao acaso, ser
um homem?
a) 20%
b) 12%
c) 40%
d) 25%
e) 60%
ATÉ A PRÓXIMA!