Exercícios Resolvidos

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Álgebra
FRENTE 1
MÓDULO 19
Máximo Divisor Comum e
Mínimo Múltiplo Comum
Em símbolos:
MÁXIMO DIVISOR COMUM
M*+(a) ∩ M*+(b) = M*+[mmc(a; b)]
❑
Definição
Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente
nulos. O máximo divisor comum de a e b é o máximo
elemento do conjunto [D(a) ∩ D(b)].
Representa-se mdc(a, b).
Assim sendo:
mdc (a, b) = máx [D(a) ∩ D(b)]
❑
Propriedades
• mdc (a, 0) = a, ∀a ∈ *
• b ∈ D(a) ⇒ mdc(a, b) = b, ∀b ∈ *
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
❑
Definição
Sejam a e b dois inteiros não nulos. O mínimo
múltiplo comum de a e b é o menor elemento do conjunto [M*+(a) ∩ M*+(b)].
Representa-se mmc(a, b).
Assim sendo:
mmc(a, b) = mín [M*+(a) ∩ M*+(b)]
c)
mdc(a; b) . mmc(a; b) = a . b, ∀a, b ∈ *
✍ Exercícios Resolvidos
1. Determinar o máximo divisor dos números 12 e 18.
Resolução
1o. Processo:
Utilizar a definição de m.d.c.
1
12 2 2
6 2 4
3 3 3, 6, 12
1
1
18 2 2
9 3 3, 6
3 3 9, 18
1
D(12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
D(18) = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}
⇒
⇒ D(12) D(18) = {±1, ±2, ±3, ±6} ⇒
⇒ máx. [D(12) D(18)] = 6 ⇒ mdc(12, 18) = 6
❑ Propriedades
2o. Processo:
• mmc(a, 1) = a, ∀a ∈ *
É o produto dos fatores primos comuns e com o
• b ∈ D(a) ⇒ mmc(a, b) = a, ∀a ∈ *
menor expoente
Observações
Se a e b são dois inteiros não nulos, então,
12 = 22 . 3
18 = 2 . 32
} ⇒ mdc(12,18) = 2.3 = 6
a) Os divisores comuns de a e b são os divisores do
máximo divisor comum de a e b.
Em símbolos:
3o. Processo:
Método das divisões sucessivas
D(a) ∩ D(b) = D[mdc (a; b)]
b) Os múltiplos comuns, estritamente positivos, de a
e b são os múltiplos, estritamente positivos, do mínimo
múltiplo comum de a e b.
18
6
1
12
0
2
6
⇒ mdc(18, 12) = 6
Resposta: mdc(12,18) = 6
–1
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2 o. Processo:
2. Determinar o mínimo múltiplo comum dos números
12 e 18
Produto dos fatores primos comuns e não comuns, e
Resolução
quando comuns com o maior expoente.
1o.
12 = 22 . 3
18 = 2 . 32
Processo:
Utilizar a definição de mmc.
M*+(12) = {12,24,36,48,60,72,...}
M*+(18)
= {18,36,54,72,90,.........}
⇒
Decomposição simultânea em fatores primos
12,
6,
3,
1,
1,
⇒ mín [M*+(12) M*+(18)] = 36 ⇒
⇒ mmc = (12,18) = 36
2
2 ⇒ mmc(12, 18) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36
3
3
Números Decimais e Números Reais
❑
Números Decimais Exatos
São os que apresentam um número finito de casas
decimais não nulas.
❑
Números decimais não exatos
São os que apresentam um número infinito de
casas decimais não nulas.
Podem ser:
• Periódicas (dízimas)
Exemplos
2,333 ...........................................
0,424242 .....................................
• não periódicas
Exemplos
π = 3,1415926535 ......................
e = 2,71822818284590453 ........
2 = 1,4142 .........................….
2. NÚMEROS REAIS
O Conjunto Um número é chamado real quando é inteiro ou
decimal. O conjunto formado por todos os números
2–
18,
9,
9,
3,
1,
Resposta: mmc(12,18) = 36
1. NÚMEROS DECIMAIS
❑
⇒ mmc(12,18) = 22 . 32 = 36
3 o. Processo:
⇒ M*+(12) M*+(18)= {36, 72, .......} ⇒
MÓDULO 20
reais é chamado conjunto dos números reais e é representado por .
3. NÚMEROS RACIONAIS
E NÚMEROS IRRACIONAIS
❑
O Conjunto Q
Diz-se que um número real x é racional se, e somente
se, existem números inteiros a e b, com b ≠ 0, tais que
a
x = ––– .
b
O conjunto formado por todos os números racionais
é chamado conjunto dos números reais racionais e é
representado por .
a
= x = | x = ⎯, a ∈ , b ∈ *
b
{
}
Notar que: Teorema
Sejam a ∈ e b ∈ *. O quociente (número racional)
da divisão de a por b, ou é inteiro, ou decimal exato ou
decimal não exato periódico.
Consequência do Teorema
Os únicos números reais que não são racionais são
os números decimais não exatos, não periódicos.
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MÓDULO 21
Números Complexos I
1. DEFINIÇÃO
3. OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA
• Número complexo é um par ordenado (x, y) de
números reais.
Efetuando as operações com os complexos na forma
a + bi, como se a + bi fosse um binômio da forma
a + bx, lembrando que i2 = – 1, obtemos os mesmos
resultados da definição e de uma forma mais simples.
Representando por o conjunto dos números
complexos, temos:
Assim sendo:
= { (x, y) x ∈ e y ∈ }
• Sendo (a, b) ∈ e (c, d) ∈ , definimos em :
• Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd; ad + bc)
• Subtração
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i
• (, +, .) é o corpo dos números complexos.
• Multiplicação
2. FORMA ALGÉBRICA
❑
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 =
= (ac – bd) + (ad + bc)i
Definição
• x = (x; 0), em que x é um número real qualquer e
• Divisão
• i = (0; 1), como sendo a unidade imaginária dos
números complexos.
Decorre da definição que:
• i2 = (0;1) . (0;1) = (– 1;0) = – 1, assim: i2 = – 1
a + bi
Para efetuarmos ––––––– , com c + di ≠ 0, devemos
c + di
a + bi
multiplicar o numerador e o denominador de –––––––
c + di
pelo conjugado do denominador, a saber, c – di.
• (0, y) = (y, 0) . (0, 1) = yi
• (x, y) = (x, 0) + (0, y)
(...)+(...)i
a + bi = –––––––
a + bi . ––––––
c – di = ––––––––––
=
–––––––
c + di
c + di
c – di
c2+d2
• (x, y) = x + yi
❑
Nomenclatura
• z é a notação de um elemento de .
• x é a parte real de z, indicada por: x = Re(z).
(...)
(...)i
= ––––––– + ––––––– , com c + di ≠ 0
c2 + d2 c2 + d2
Observação
• yi é a parte imaginária de z.
O produto de um número complexo z ≠ 0 pelo seu
conjugado z– é sempre real e positivo. Esse produto
• y é o coeficiente da parte imaginária, indicada por:
chama-se norma de z.
y = Im(z).
• y = 0 ⇒ z = x + yi = x ⇒ z é real.
De fato:
• x = 0 ⇒ z = x + yi = yi ⇒ z é imaginário puro.
• z– = a – bi é chamado conjugado de z.
Sendo z = a + bi, com a, b ∈ , e z– = a – bi, então:
z . z– = (a + bi) . (a – bi) = a2 – b2i2 = a2 + b2 ∈ +
–3
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MÓDULO 22
Potências Naturais de i
Consideremos as potências do tipo in, em que n é
Ou seja:
in ∈ {1, i, – 1, – i} (n ∈ )
natural. Vejamos alguns exemplos:
i0 = 1
Para n ≥ 4, temos:
i1 = i
n | 4
–––– ⇔ n = 4q + r e r < 4
r | q
i2 = –1
i3 = i2. i = – i
Então:
i4 = i3 . i = – i . i = 1
in = i4q + r = i4q . ir = (i4)q . ir = (1) q . ir = ir e, portanto:
in = ir , em que r é o resto da divisão de n por 4.
i5 = i4 . i = 1 . i = i
i6 = i5 . i = i . i = – 1
Em resumo, temos:
i7 = i6 . i = – 1 . i = – i
i8 = i7 . i = – i . i = 1
i9 = i8 . i = 1 . i = i
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = –1
i4n + 3 = –i
,
n∈
i10 = i9 . i = i . i = –1
i11 = i10 . i = – 1 . i = – i
Assim: i4n + i4n + 1 + i4n + 2 + i4n + 3 =
Notemos que, à medida que n cresce, os resultados
= 1 + i + (–1) + (– i) = 0, ou seja: a soma de quatro
de in vão-se repetindo periodicamente, assumindo
potências de i cujos expoentes são números naturais
sempre um dos valores da sequência: 1, i, – 1, – i.
consecutivos é igual a zero.
MÓDULO 23
Números Complexos II
1. FORMA ALGÉBRICA
Um número complexo, indicado genericamente por
z, pode ser escrito na forma:
z = x + yi
x, y ∈ e i2 = – 1
• x denomina-se coeficiente da parte real: x = Re(z)
• y denomina-se coeficiente da parte imaginária:
y = Im(z)
Observações
1) Se y = 0, então z = x + yi = x é real, ou seja, todo
número real é complexo.
2) Se y ≠ 0, então z = x + yi é imaginário.
3) Se x = 0, então z = x + yi = yi é imaginário puro.
4–
2. IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
Sejam z1 = x + yi e z2 = a + bi dois números
complexos, com x, y, a e b ∈ , temos:
z1 = z2 ⇔ x + yi = a + bi ⇔ x = a e y = b
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MÓDULO 24
Representação Geométrica
de um Número Complexo
1. INTRODUÇÃO
Consideremos num plano, chamado Plano de
Argand-Gauss ou Plano Complexo, um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais x O y e nele um
ponto P, de coordenadas x e y.
Lembrando que z = (x, y) = x + yi, concluímos que
existe uma correspondência biunívoca entre os pontos
do plano e os números complexos. Em outras palavras:
“O conjunto dos números complexos pode ser
representado geometricamente pelos pontos do plano”.
O ponto P é a imagem geométrica de z ou afixo de z.
• Módulo de z: z = ρ = OP
No ΔPQO, retângulo em O, temos:
x2 + y2
ρ2= x2+ y2 ⇒ ρ = z = ρ =
x2 + y2
• Argumento de z: é o número real θ, 0 ≤ θ < 2 π, tal
que:
x
cos θ = ⎯
ρ
y
sen θ = ⎯
ρ
(ρ ≠ 0)
3. FORMA TRIGONOMÉTRICA
2. MÓDULO E ARGUMENTO
Sendo z = (x, y) = x + yi, com x, y ∈ , um número
complexo, temos:
Sendo z = x + yi um número complexo diferente de
zero; ρ, o módulo de z e θ, o argumento de z, temos:
z = (x, y) = x + yi = ρ(cos θ + i . sen θ)
forma de par
ordenado
forma
algébrica
forma
trigonométrica
–5
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Álgebra
FRENTE 2
Teorema de Laplace,
Regra de Chió e Outras Propriedades
MÓDULO 19
1. COMPLEMENTO ALGÉBRICO (COFATOR)
O complemento algébrico (ou COFATOR) do elemento aij da matriz quadrada de ordem n > 1, que se
indica por Aij, é o produto de (– 1)i+j pelo determinante
da matriz obtida de A com a retirada da linha i e da
coluna j.
• Por exemplo, o complemento algébrico do eleA=
mento a31 da matriz
Linha retirada
冤
2 7 4
3 1 5
8 6 9
冥
é:
Coluna retirada
• Assim, por exemplo, se
–9 3 2
A = 5 4 7 , então
1 6 8
A11 = (–1)1+1 .
4 7
= – 10
6 8
A12 = (–1)1+2 .
5 7
= – 33
1 8
A13 = (–1)1+3 .
5 4
= 26
1 6
e
det A = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 ⇔
| |
A31 = (– 1)3+1 . 7 4 = (– 1)4 . (7 . 5 – 4 . 1) = 31
1 5
• O cofator do elemento a22 da matriz
A=
1 2
5 4
3 3
2 –7
0 4
5 –5 é – 10, pois
2 5
0 3
A22 = (– 1)2+2 .
1
3
2
0 4
2 5
0 3
= (– 1)4 . (6 – 16) = – 10
⇔ det A = (– 9) . (– 10) + 3 . (– 33) + 2 . 26 = 43
Observe que no cálculo do determinante de ordem
três, os cofatores usam determinantes de ordem dois.
No cálculo de um determinante, o Teorema de
Laplace permite usar determinantes de ordens menores.
3. A REGRA DE CHIÓ
Para calcular o determinante de uma matriz M de
ordem n ≥ 3, é interessante abaixar a ordem, o que pode
ser feito pelo Teorema de Laplace. Existe, além disso,
uma regra prática dada por Chió que consiste em:
a) Suprimir de M a linha e a coluna que contêm um
2. O TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz quadrada M, de
ordem n > 1, é a soma dos produtos dos elementos
de uma fila pelos seus respectivos cofatores.
Se
a11
a21
A= …
ai1
…
an1
c) Calcular o determinante da matriz M’ que foi
obtida de M de acordo com (a) e (b) e multiplicar o
a12
a22
…
ai2
…
an2
…
…
…
…
…
…
a1j
a2j
…
aij
…
anj
…
…
…
…
…
…
a1n
a2n
… , então
ain
…
ann
det M = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j + … + anj . Anj
6–
elemento aij = 1.
b) Subtrair de cada elemento de M o produto dos
elementos que se acham nas extremidades das perpendiculares traçadas desse elemento à linha e à coluna
eliminadas.
resultado por (–1)i+j.
1 a
a' m
b' q
c' t
b
n
r
u
c
p
s
v
=
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Elementos da linha
retirada
m – a.a' n – b.a' p – c.a'
= q – a.b' r – b.b' s – c.b' . (–1)1+1
t – a.c' u – b.c' v – c.c'
dos elementos da segunda linha, diferenças estas feitas
nesta ordem: segundo menos o primeiro, terceiro menos
o primeiro, terceiro menos o segundo e assim por diante.
Assim, no exemplo anterior temos:
1 1
2 3
4 9
8 27
Elementos da coluna
retirada
1
4
16
64
1
5
25
125
=
= (3 – 2) . (4 – 2) . (4 – 3). (5 – 2) . (5 – 3) . (5 – 4) = 12
4. PROPRIEDADES COMPLEMENTARES
❑
Teorema de Binet
O determinante de um produto de duas matrizes
quadradas é o produto dos determinantes destas
matrizes.
Por exemplo
det
det
1 2
–1 5
0 1
1 –1 0
2
0 1
4
3 1
1 2
–1 5
0 1
4
3
2
= 7,
❑
Determinante Diagonal Principal
Se todos os elementos situados de um mesmo lado
da diagonal principal de uma matriz quadrada são iguais
a zero, o determinante é o produto dos elementos dessa
diagonal principal.
• No determinante seguinte, todos os elementos
acima da diagonal principal são nulos. O determinante é
o produto dos elementos da diagonal.
2 0
5 4
–1 7
3 2
4 –3
=–5
e
det
= det
4
3
2
21 11 6
21 10 8
10 6 3
.
1 –1 0
2 0 1
4 3 1
=
= – 35 = 7 . (– 5)
❑
Determinante de Vandermonde
Um determinante é de Vandermonde quando os
elementos da primeira fila são todos iguais a 1, os
elementos da segunda fila são números quaisquer, os da
terceira fila são os quadrados dos elementos da segunda
fila, os da quarta fila são os cubos dos elementos da
segunda fila, e assim por diante.
Por exemplo,
1
1
1
1
2
3
4
5
4
9 16 25
8 27 64 125
é de Vandermonde, pois
4 = 22, 9 = 32, 16 = 42 e 25 = 52 e ainda
8 = 23, 27 = 33, 64 = 43 e 125 = 53
O determinante de Vandermonde pode ser calculado
de maneira simples, efetuando o produto das diferenças
0
0
5
–6
1
0
0
0
0
0
0
0
3
8 –2
= 2 . 4 . 5 . 3 . (– 2) = – 240
❑
Determinante Diagonal Secundária
Se todos os elementos situados de um mesmo lado
da diagonal secundária de uma matriz quadrada são
iguais a zero, o determinante é o produto dos elementos
dessa diagonal secundária, multiplicado por (–1)
em que n é a ordem da matriz.
n(n – 1)
––––––––
2
,
• No determinante seguinte, todos os elementos
acima da diagonal secundária são nulos. O determinante é o produto dos elementos da diagonal secundária,
multiplicado por (–1)
0
0
0
0
–2
5(5 – 1)
––––––––
2
0
0
0 2
0
0
4 5
0
5
7 –1
3 –6
2 3
8
1 –3 4
.
=
5.(5–1)
––––––
2
= 2 . 4 . 5 . 3 . (– 2) . (– 1)
= (–240). (–1)10 = – 240
–7
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MÓDULO 20
Inversão de Matrizes
1. MATRIZ DOS COFATORES
Seja M uma matriz quadrada de ordem n > 2.
Chama-se matriz dos cofatores M’ a matriz que se obtém
de M, substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo
cofator.
a11 a12 a13
Assim, dada a matriz M =
a21 a22 a23 , a
matriz dos cofatores de M é M’ =
a31 a32 a33
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
Por exemplo, dada a matriz M =
matriz dos cofatores de M é M’ =
—
matriz adjunta de M é M =
,
,
–17
–8
10
5 4
= 7,
2 3
6 8
=
6 8
2 3
–3 1
= 11,
2 3
M–1.M =
3
––
–4
2
–1 3
A22 = (–1)2+2 .
2 1
= 7,
–1 3
4. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA DE M
A23 = (–1)2+3.
2 –3
= – 1,
–1 2
A31= (–1)3+1 .
–3 1
= – 17,
5 4
A32 = (–1)3+2.
2 1
= – 8,
0 4
=
M.M–1
0 5
= 5,
A13 = (–1)1+3 .
–1 2
A21
A33 = (–1)3+3 .
cofatores de M é M’ =
, pois
.
3
––
–4
2
–1 3
.
=
0 1 =I
1 0
2
e
62 83 = 10 01 = I
2
Pode-se calcular a matriz inversa de M usando a
fórmula
1
—
M–1 = ––––––– . M
det M
—
em que M é a matriz adjunta de M.
2 –3
= 10, e, assim, a matriz dos
0 5
7 –4 5
11 7 –1
–17 –8 10
ea
2 3 , a matriz inversa é
M–1
0 4
A12 = (–1)1+2 .
= – 4,
–1 3
= (–1)2+1.
,a
3
––
–4
2
–1 3
A11 = (–1)1+1 .
7 –4 5
11 7 –1
–17 –8 10
7 11
–4
7
5 –1
Chama-se matriz inversa de M e indica-se por M–1 a
matriz tal que M–1 . M = M.M–1 = In, ou seja, a matriz
que multiplicada por M resulta na matriz identidade.
Dada a matriz M =
tem-se os cofatores:
2. MATRIZ ADJUNTA
Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada M
—
a matriz M, transposta da matriz dos cofatores de M.
8–
2 –3 1
0 5 4
–1 2 3
3. MATRIZ INVERSA DE M
em que Aij é o cofator do elemento aij de M.
2 –3 1
0 5 4
–1 2 3
Por exemplo, dada a matriz M =
Regra Prática
• Calcula-se o determinante de M.
• Calcula-se o cofator de cada elemento e monta-se
a matriz dos cofatores de M (M’).
—
• Determina-se a matriz adjunta de M ( M ) usando
—
M = (M’)t.
• Obtém-se a matriz inversa usando a fórmula:
1
—
M–1 = ––––––– . M
det M
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Por exemplo, dada a matriz M =
têm-se:
2 –3 1
0 5 4
–1 2 3
5. EXISTÊNCIA DA MATRIZ INVERSA DE M
,
A condição necessária e suficiente para existir a
inversa de uma matriz quadrada M é que det M ≠ 0.
Quando det M ≠ 0, a matriz é chamada de invertível
ou não singular.
• O determinante de M é det M = 35.
• A matriz dos cofatores de M é
M’ =
7 –4 5
11 7 –1
–17 – 8 10
Quando det M = 0, a matriz é chamada de não
invertível ou singular.
6. PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA DE M
• A matriz adjunta de M é
—
M=
7
–4
5
11
–17
7
–1
–8
10
• Se uma matriz é invertível, então a inversa é única.
• Se A é invertível, então (A–1)– 1 = A, ou seja, a
inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz.
1
—
• A matriz inversa de M é M–1 = –––––– M =
det M
1
= ––– .
31
7
–4
5
11 –17
7 –8
– 1 10
=
7
–––
31
– 17
11 –––––
–––
31
31
–4
––––
31
7
–––
31
–8
––––
31
5
–––
31
–1
––––
31
10
–––
31
MÓDULO 21
• Se A e B são matrizes invertíveis e de mesma
ordem, então (A . B)–1 = B–1 . A–1.
• Se A é invertível, então (At)–1 = (A–1)t.
1
• Se A é invertível, então det (A–1) = –––––––– .
det (A)
Sistemas Lineares
1. EQUAÇÃO LINEAR
❑
Definição
Chama-se equação linear a toda sentença aberta
em x1, x2, x3, …, xn, da forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b
em que xi (i = 1, 2, 3, …, n) são as incógnitas, ai são
os coeficientes das incógnitas e b é uma
constante chamada de termo independente.
• Assim, 2x1 + 3x2 + 5x3 – 7x4 = 6 é uma equação
linear nas incógnitas x1, x2, x3 e x4, de coeficientes 2, 3, 5
e – 7 e 6 é o termo independente.
• 3x + 5y – 2z = – 7 é uma equação linear nas
2. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
❑
Definição
A ênupla (α1, α2, …, αn) é solução da equação
linear a1x1 + a2x2 + … + anxn = b se, e somente se, a
sentença a1α1 + a2α2 + … + anαn = b for verdadeira.
Exemplo
A ênupla (1, 3, 2, 5 ) é uma solução da equação
2x + 3y + z – 2w = 3, pois: 2.1 + 3.3 + 2 – 2.5 = 3 é uma
sentença verdadeira. Verifique que a ênupla (1, 1, 2, 2) é
uma outra solução da mesma equação.
Se ai = 0 (∀i, i = 1, 2, …,n) e b ∈ *, a equação linear
toma a forma:
incógnitas x, y e z e termo independente – 7.
Quando o termo independente é nulo, a equação
linear é dita homogênea.
• As equações lineares 5x1 – 2x2 + 3x3 – 4x4 = 0,
2x – 5y + 3z = 0 são equações lineares homogêneas.
0x1 + 0x2 + … + 0xn = b (b ≠ 0)
Nesse caso, não existe ênupla que torne a sentença
acima verdadeira; logo, essa equação linear não admite solução.
–9
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 10
Se ai = 0 (∀i, i = 1, 2,…, n) e b = 0, a equação linear
toma a forma:
minado, pois apresenta infinitas soluções. São todos os
pares ordenados do tipo (K; 4 – K). Algumas dessas
soluções são (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0) etc.
0x1 + 0x2 + … + 0xn = 0
Nesse caso, qualquer ênupla é uma solução da
equação.
x + y = 5
x+y=4
é impossível, pois não
Definição
existe par odenado (x; y) que torne as duas sentenças
verdadeiras “simultaneamente”. Em outras palavras: não
existem 2 números reais x e y cuja soma é 4 e 5 “simultaneamente”.
Chama-se sistema linear a todo conjunto de m
5. SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES
3. SISTEMAS LINEARES
❑
• O sistema
(m > 2) equações lineares em n incógnitas, x1, x2, …, xn,
e é indicado da seguinte forma:
❑
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
Dois sistemas lineares (S) e (S’) são equivalentes e
indicados por (S) ~ (S’), se toda solução de (S) é solução
de (S’) e reciprocamente.
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
Desta forma, os sistemas lineares
..…………………….....................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
Sistema linear homogêneo
x+y=0
e
2x + y = 5
x – y = 10
x – 3y = 20
são equivalentes, pois possuem o mesmo conjunto
solução {(5, – 5)}.
Um sistema linear é dito homogêneo quando todas
as equações lineares são homogêneas. Neste caso bi = 0
(∀i, i = 1, 2, …, m).
❑
6. MATRIZES DE UM SISTEMA LINEAR
Dado um sistema linear (S)
Solução do sistema linear
A ênupla (α1, α2, ... αn) é solução do sistema linear (S),
se ela é solução de cada uma das m equações de (S).
4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES
• Um sistema linear (S) é Possível (ou compatível)
se admite pelo menos uma solução.
• Um sistema linear (S) é Impossível (ou incompa-
Assim,
• Um sistema linear (S) é Possível e Deter miMI =
• Um sistema linear (S) é Possível e Indeterminado se admite infinitas soluções.
Veja os exemplos:
• O sistema
x + y = 3
x + 3y = 5
é possível e determi-
nado e sua única solução é o par ordenado (2; 1).
• O sistema
10 –
2x + 2y = 8 é possível e indeterx+y=4
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
…………………..….................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
chama-se Matriz Incompleta de S (MI) a matriz
formada pelos coeficientes das incógnitas de S e Matriz
Completa de S (MC) a matriz formada pelos
coeficientes das incógnitas de S acrescida da coluna de
termos independentes.
tível) se não admite solução nenhuma.
nado se admite uma única solução.
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
MC =
a11
a21
…
am1
a11
a21
…
am1
a12
a22
…
am2
a12
a22
…
am2
… a1n
… a2n
… …
… amn
… a
1n
… a2n
… …
… amn
b1
b2
…
bm
e
Se a matriz MI for quadrada, o seu determinante é
chamado determinante do sistema (D).
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 11
No sistema linear
é MI =
MC =
3x + 4y = 11 , a matriz incompleta
x + 2y = 5
D=
3 4 e a matriz completa é
13 24 = – 2, D = 115 24 = – 2 e
1 2
3
1
Dy =
2 5
. O determinante do sistema é
4 11
D = det (MI) =
1 2
3 4
13 115 = – 4.
De acordo com o Teorema de Cramer, têm-se
Dx
–2
x = –––
= –––– = 1 e
D
–2
= – 2.
Dy
–4
y = ––– = –––– = 2
D
–2
7. SISTEMA NORMAL
O sistema linear (S) com m equações e n incógnitas
é chamado de sistema normal quando o número de
equações e o número de incógnitas são iguais (m = n) e
o determinante do sistema é diferente de zero.
8. O TEOREMA DE CRAMER
Todo sistema linear normal admite uma única solução
D
(x1, x2, x3, …, xn), em que xi = –––i (i = 1, 2, 3, …, n),
D
9. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
• Vimos que um sistema linear de n equações a n
incógnitas com determinante D não nulo é possível e
determinado, isto é, tem solução única, que pode ser
obtida pela Regra de Cramer. Quando o determinante D
for nulo, o sistema poderá ser possível e indeterminado, ou impossível. Guarde os seguintes resultados:
Para sistemas com 2 equações e 2 incógnitas, têm-se:
D é o determinante do sistema e Di é o determinante que
se obtém de D substituindo a coluna dos coeficientes de
xi pela coluna dos termos independentes.
D
3x + 4y = 11 , têm-se
D
• No sistema linear normal
x
MÓDULO 22
x + 2y = 5
D=0
⇒ Sistema Possível e Indeterminado (SPI) e
x = Dy = 0
D=0
⇒ Sistema Impossível (SI)
x ≠ 0 ou Dy ≠ 0
Método de Gauss (Escalonamento)
1. SISTEMA ESCALONADO
Consideremos o seguinte sistema:
Exemplo 1
Consideremos o sistema:
2x + 3y + z + w = 1
y+ z+ w=1
3z + w = 5
2w = 4
Neste sistema temos uma equação (2w = 4) com
uma única incógnita, outra (3z + w = 5) com duas incógnitas, outra com três incógnitas (y + z + w = 1), e assim
por diante. Um sistema deste tipo é dito escalonado,
e pode ser facilmente resolvido se, da última equação,
determinarmos o valor de w e, posteriormente, substituirmos nas demais equações.
O método de Gauss para a resolução de sistemas
consiste em escalonar um sistema por meio de simples
transformações elementares, como permutar duas equações de lugar, multiplicar uma equação por um número
real não nulo ou mesmo adicionar ou subtrair uma
equação de outra e, posteriormente, determinar as
incógnitas começando pela equação mais simples.
1o. )
(I)
(II)
(III)
Podemos eliminar a incógnita x da segunda
equação, multiplicando a primeira por – 1 e
adicionando à segunda, obtendo-se:
2o. )
x – y + z = –2
x – 2y – 2z = –1
2x + y + 3z = 1
x – y + z = –2
(I)
– y – 3z = 1
(IV)
2x + y + 3z = 1
(III)
A seguir, eliminamos a incógnita x da terceira
equação, multiplicando a primeira por – 2 e
adicionando à terceira, obtendo-se:
x– y+ z=–2
– y – 3z = 1
3y + z = 5
(I)
(IV)
(V)
– 11
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 12
3o. )
Então eliminamos a incógnita y da terceira
equação, multiplicando a segunda por 3 e
adicionando à terceira, obtendo-se o sistema
escalonado seguinte:
x– y+ z=–2
– y – 3z = 1
– 8z = 8
(I)
(IV)
(VI)
• substituir os valores de y e z na equação (I)
x – 2 + (– 1) = – 2 ⇔ x = 1
Observe que a equação (VI) admite uma única
solução e o sistema é possível e determinado.
MÓDULO 23
4o. ) Para resolvê-lo, devemos:
• determinar z a partir da equação (VI)
8
z = ––––– ⇔ z = – 1
–8
• substituir o valor de z na equação (IV)
– y – 3 . (– 1) = 1 ⇔ y = 2
Assim, a solução do sistema é a trinca (1, 2, – 1) e o
conjunto solução é V = {(1, 2, – 1)}.
Sistema Linear Homogêneo
1. EQUAÇÃO LINEAR HOMOGÊNEA
Pode-se discutir um sistema linear homogêneo com
n equações e n incógnitas analisando o determinante da
Uma equação linear é chamada homogênea quando
seu termo independente é zero.
matriz incompleta (determinante do sistema).
Sendo D o determinante da matriz incompleta de um
Assim, 2x + y + 3z = 0 é uma equação homogênea.
sistema linear homogêneo de n equações com n incóg-
2. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
nitas, como consequência do teorema de Cramer, temos:
Um sistema linear é dito homogêneo quando todas
as suas equações são homogêneas.
Assim, por exemplo:
(admite apenas a solução trivial).
Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado
(admite infinitas soluções além da trivial).
2x – 3y + 8z = 0
x+y+z=0
Os sistemas
x+y=0
8x – y = 0 ;
Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado
é um sistema linear homogêneo.
x+y+z=0
8x – y + z = 0 e
2y + z = 0
x + y + z = 0
Assim, por exemplo, o sistema
8x – y + z = 0
MÓDULO 24
D=
21 34 = 5 ≠ 0
e o sistema
4x + 6y = 0
2x + 3y = 0
é possível e indeterminado, pois
D=
24 36 = 0
Noção Geral de Média
1. INTRODUÇÃO
Dado um conjunto de valores: x1, x2, x3, ... , xn,
efetuando determinadas operações entre eles, obtemos
um certo resultado R. Caso possamos substituir cada um
12 –
x + 4y = 0
é possível e determinado, pois
são homogêneos.
Observemos que o par ordenado (0, 0) é solução do primeiro sistema e a trinca (0, 0, 0) é solução
do segundo e terceiro sistemas.
Todo sistema linear homogêneo com n incógnitas
admite a sequência de n elementos (0, 0, …, 0) como
solução. Esta solução é chamada nula, imprópria ou
trivial.
Consequentemente, todo sistema linear homogêneo
é sempre possível, podendo eventualmente admitir
outras soluções, além da solução trivial.
2x + 3y = 0
dos valores x1, x2, ... , xn por um mesmo valor x e efetuar
as mesmas operações, obtendo ainda o mesmo
resultado R, diremos que esse valor x é a média dos
valores x1, x2, x3, ... , xn relativa às operações em questão.
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 13
Além disso, não devemos separar este “conceito” de
sua aplicação na prática quando, por exemplo, ao calcularmos a “média” de um dado “conjunto de valores”,
encontramos mais de uma resposta. Neste caso, a
“natureza da grandeza” que esses valores representam
e o “bom senso” determinarão qual das respostas é a
mais indicada para o problema.
4. MÉDIA HARMÔNICA
(OPERAÇÃO ADIÇÃO DE INVERSOS)
A média harmônica H entre os números x1, x2, x3, …, xn
é tal que:
1
1
1
1
––– + ––– + ––– + ... + ––– =
H
H
H
H
n parcelas
2. MÉDIA ARITMÉTICA (OPERAÇÃO ADIÇÃO)
A média aritmética A entre os números x1, x2, x3, …,
xn é tal que:
A + A + ... + A = x1 + x2 + x3 + ... + xn ⇒
n parcelas
n parcelas
x1 + x2 + x3 + ... + xn
⇒ A = –––––––––––––––––––––––––
n
A média aritmética de n valores é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de
valores.
• Assim, por exemplo, a média aritmética entre os
números 3, 4, 6, 9 e 13 é 7, pois:
3 + 4 + 6 + 9 + 13
35
A = –––––––––––––––––– = –––– = 7
5
5
3. MÉDIA GEOMÉTRICA (OPERAÇÃO
MULTIPLICAÇÃO)
A média geométrica G entre os números x1, x2, x3, …,
xn é tal que:
G . G . ... . G = x1 . x2 . x3 . ... . xn ⇒
n fatores
n fatores
⇒ Gn = x1 . x2 . x3 . ... . xn ⇒
n fatores
⇒ G=
1
1
1
1
= ––– + ––– + ––– + ... + ––– ⇒
x1
x2
x3
xn
n parcelas
n
1
1
1
1
⇒ –– = –– + –– + –– + ... + –– ⇒
H
x2
x3
xn
x1
1
⇒ H = –––––––––––––––––––––––––
1
1
1
1
––– + ––– + ––– ... + –––
x1
x2
x3
xn
––––––––––––––––––––––––
n
A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos.
• Assim, por exemplo, a média harmônica entre os
números 2, 3 e 6 é 3, pois:
1
1
1
H = ––––––––––––– = ––– = ––– = 3
1
1
1
6
1
–– + –– + ––
––
––
2
3
6
6
3
––––––––––––– –––
3
3
5. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
(OPERAÇÃO ADIÇÃO)
Dado um conjunto de números p1, p2, p3, ..., pn chamados pesos, chama-se média aritmética ponderada
dos números x1, x2, x3, ..., xn ao número P, tal que
p1.P + p2 .P + ... + pn.P = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn ⇒
p1.x1 + p2.x2 + … + pn.xn
⇒ P = –––––––––––––––––––––––––––––
p1 + p2 + … + pn
n
x1 . x2 . x3 . ... . xn ,
desde que valores x1, x2, x3, ... , xn sejam positivos.
A média geométrica de n valores é a raiz n-ésima
do produto dos n valores.
• Assim, por exemplo, a média geométrica entre os
números 12, 45 e 50 é 30, pois:
3
3
G = 12.45.50 = 27 000 = 30
A média aritmética ponderada é a soma dos
produtos de cada valor pelo respectivo peso
dividida pela soma dos pesos.
• Assim, por exemplo, a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10, com pesos 2, 3 e 5,
respectivamente, é 18, pois:
180
2.35 + 3.20 + 5.10
P = ––––––––––––––––– = –––– = 18
2+3+5
5
– 13
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 14
Trigonometria e Geometria Analítica
FRENTE 3
MÓDULO 19
Arco Duplo
❑
1. DEFINIÇÃO
A partir das fórmulas de adição de arcos, podemos
deduzir fórmulas para o cálculo das funções trigonométricas de um arco duplo (2a), bastando, para isso,
admitir b = a nas fórmulas sen (a + b), cos (a + b) e
tg (a + b).
❑
Cálculo de tg (2a)
tg a + tg a
tg (2a) = tg (a + a) = –––––––––––––
1 – tg a . tg a
Assim:
2 tg a
tg (2a) = ––––––––––
1 – tg2a
Cálculo de cos (2a)
cos (2a) = cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a
Assim:
cos (2a) = cos2a – sen2a
ou ainda:
• Lembrando que sen2a = 1 – cos2a, temos:
cos (2a) = cos2a – (1 – cos2a) = cos2a – 1 + cos2a
Assim:
cos (2a) = 2
• Lembrando que
cos2a
cos2a
=1–
π
π
π
com a ≠ ––– + n . π e a ≠ ––– + n . ––– , (n ∈ )
2
4
2
Portanto:
–1
sen2a,
temos:
cos (2a) =
cos (2a) = (1 – sen2a) – sen2a = 1 – sen2a – sen2a
Assim:
❑
cos (2a) = 1 – 2 sen2a
Cálculo de sen (2a)
sen (2a) = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a
Assim:
cos2a – sen2a
2 cos2 a – 1
1 – 2 sen2a
sen (2a) = 2 sen a . cos a
2 tg a
tg (2a) = –––––––––––
1 – tg2a
sen (2a) = 2 . sen a . cos a
MÓDULO 20
Lei dos Senos e dos Cossenos
1. INTRODUÇÃO
A trigonometria permite determinar os elementos não
dados de um triângulo. A resolução de um triângulo, pelo
cálculo, fundamenta-se em relações existentes entre os
elementos do triângulo.
As mais importantes são Lei dos Senos e Lei dos
Cossenos.
2. LEI DOS SENOS
Demonstra-se que "em todo triângulo, as medidas
dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos, e a razão de proporcionalidade é a medida do
diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo".
14 –
a
b
c
––––––– = ––––––– = ––––––– = 2R
sen A
sen B
sen C
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 15
3. LEI DOS COSSENOS
Demonstra-se que "em todo triângulo, o quadrado da
medida de um lado é igual à soma dos quadrados das
medidas dos outros lados, menos o dobro do produto
destas medidas pelo cosseno do ângulo que eles
formam".
^
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A
MÓDULO 21
Coordenadas Cartesianas Ortogonais
1. DEFINIÇÃO
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em
O e seja α o plano determinado por eles. Temos, assim,
o sistema de eixos cartesianos ortogonais.
O plano α fica assim dividido:
Notando que (a; b) = (c; d) ⇔ a = c e b = d, concluímos que a cada ponto P do plano α corresponde
um único par ordenado (xp; yp) que o representa.
Dessa forma, podemos admitir que, em Geometria Analítica, conhecer um ponto significa conhecer suas coordenadas.
Assim:
• Ao pedir um ponto, estamos pedindo suas coordenadas.
• Ao dar um ponto, estamos dando suas coordenadas.
A partir das definições, notamos que:
I. O ponto P(xp; yp) pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, yp = 0.
Simbolicamente:
P(xp; yp)
∈ Ox ⇔ yp = 0
Tomemos agora um ponto P qualquer do plano α e
por ele conduzamos perpendiculares aos eixos, as quais
interceptarão x e y em P1 e P2 respectivamente.
II. O ponto P(xp; yp) pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, xp = 0.
Simbolicamente:
Define-se:
P(xp; yp)
∈ Oy ⇔ xp = 0
• Abscissa de P é o número real xp = OP1.
• Ordenada de P é o número real yp = OP2.
• Coordenadas de P são os números reais xp e
yp indicados por (xp; yp).
• x ou Ox é o eixo das abscissas.
• y ou Oy é o eixo das ordenadas.
• O (0; 0) é a origem do sistema cartesiano ortogonal.
– 15
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 16
III.O ponto P(xp; yp) pertence à bissetriz (r) dos
quadrantes ímpares se, e somente se, xp = yp.
Simbolicamente:
P(xp; yp)
∈ r ⇔ xp = yp
IV. O ponto P(xp; yp) pertence à bissetriz (s) dos
quadrantes pares se, e somente se, xp = – yp.
Simbolicamente:
P(xp; yp)
2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Consideremos dois pontos quaisquer, A(xA; yA) e
B(xB; yB).
No triângulo ABC, AC = xB – xA, BC = yB – yA e
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 ⇔ AB = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 .
Notando que a ordem dos termos em cada diferença não
∈ s ⇔ xp = – yp
altera o cálculo da distância entre os pontos A e B,
podemos escrever
AB =
(xB – xA)2 + (yB – yA)2
=
(Δx)2 + (Δy)2
assim:
Δx = xB – xA = xA – xB e Δy = yB – yA = yA – yB
MÓDULO 22
Razão de Secção
1. DEFINIÇÃO
—
Razão de secção de um segmento AB (A ≠ B) por um
ponto C(C ≠ B) da mesma reta suporte de AB é o número
real r, tal que:
AC
r = –––––
CB
Temos:
xC – xA
yC – yA
r = –––––––––––
= –––––––––––
xB – x C
yB – yC
Observação
❑
Problema I
Dados A (xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), obter r.
16 –
—
• r > 0 ⇔ C interno a AB
—
• r < 0 ⇔ C externo a AB
—
• r = 1 ⇔ C ponto médio de AB
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❑
❑
Problema II
Dados A (xA, yA), B(xB, yB) e r ≠ – 1, obter C(xC, yC).
xA + r . xB
yA + r . yB
C –––––––––––––,
––––––––––––
1+r
1+r
(
Temos:
MÓDULO 23
)
Seja o determinante
xA
xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
(
)
Alinhamento de Três Pontos e Curvas
1. ALINHAMENTO DE TRÊS
PONTOS (ÁREA DE UM TRIÂNGULO)
D=
Caso particular
Dados A (xA,yA) e B(xB, yB), obter M, ponto médio de
AB (r = 1).
xA + xB
yA + yB
M ––––––––– , –––––––––
Temos:
2
2
constituído pelos pontos A(xA; yA),
A determinação dos interceptos é feita da seguinte
maneira:
• toma-se y = 0, na equação da curva, calculando-se
o valor de x;
• toma-se x = 0, na equação da curva, calculando-se
o valor de y.
B(xB; yB) e C(xC; yC), não coincidentes.
Temos que
• A C.N.S para que A, B e C sejam colineares é
D = 0.
• A C.N.S para que A, B e C formem um triângulo é
D ≠ 0, e nesse caso, a área do triângulo será
D S = ––––––
2
Exemplo
• Os interceptos da curva de equação x + 2y – 5 = 0
(
5
2
)
são 0; –– e (5; 0), pois
5
2
Para x = 0 ⇒ 0 + 2y – 5 = 0 ⇒ y = ––
Para y = 0 ⇒ x + 2 . 0 – 5 ⇒ x = 5
❑
Intersecção
As intersecções de duas curvas são os pontos de
encontro das duas curvas.
Exemplos
• Os pontos A(2; 3), B(0; 1) e C(1; 2) estão alinha2 3 1
dos, pois D = 0 1 1 = 0
1 2 1
• Os pontos A(1; 3), B(0;
1
alinhados, pois D = 0
3
–1)
3
–1
2
e C(3; 2) não estão
1
1 =9≠0
1
E, portanto, são vértices de um triângulo de área
9
9
D = –––– ⇒ S = –––
2
2
5. CURVAS
❑
Interceptos
Os interceptos de uma curva são os pontos em que
a curva corta os eixos coordenados.
As coordenadas dos pontos de intersecção são as
soluções reais, obtidas na resolução do sistema determinado pelas equações das duas curvas.
Exemplo
• Obter a intersecção das retas: (r) x + 2y – 5 = 0
e (s) x – y + 1 = 0
Resolução
Considerando o sistema determinado pelas retas r e
s, temos
{
x + 2y – 5 = 0
x – y + 1 = 0
(I)
(II)
• fazendo I – II, temos 3y – 6 = 0 ⇒ y = 2
• substituindo y = 2 em I, x + 2 . 2 – 5 = 0 ⇒
⇒ x=1
Resposta: A intersecção das retas r e s é o
ponto (1; 2).
– 17
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 18
Equação Geral da Reta
MÓDULO 24
1. TEOREMA
“A toda reta r do plano cartesiano, associa-se uma
equação do tipo ax + by + c = 0, com a e b não simultaneamente nulos.”
2. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DA RETA
reta, então suas coordenadas satisfazem à equação da
reta, isto é, axp + byp + c = 0, e reciprocamente.
Exemplo
• O ponto C (2; 3) pertence à reta de equação
x – y + 1 = 0, pois suas coordenadas satisfazem a
equação da reta. Com efeito, temos
2–3+1=0 .
• Podemos também demonstrar o seguinte:
Teorema: Toda equação do 1o. grau do tipo
ax + by + c = 0, com a e b não simultaneamente nulos,
é equação de uma reta.
3. CASOS PARTICULARES
DA EQUAÇÃO DA RETA
• x = k, k ≠ 0 (reta paralela ao eixo y)
Seja r a reta do plano cartesiano, determinada pelos
pontos A(xA; yA) e B(xB; yB). Tomemos P(x; y) um ponto
qualquer de r.
Teremos:
P, A e B alinhados ⇒
x
xA
xB
y
yA
yB
1
1
1
=0
• x = 0 (eixo y)
Desenvolvendo-se o determinante, resulta:
(yA – yB)x + (xB – xA)y + (xAyB – xByA) = 0
a
e finalmente
b
c
ax + by + c = 0 , com a e b não
simultaneamente nulos, que é chamada Equação
Geral da reta.
Exemplos
• Determine a equação geral da reta r que passa
pelos pontos A (1; 2) e B (– 1; 0).
Resolução
Tomemos P (x; y) um ponto qualquer de r. Os pontos
P, A e B estão alinhados, então:
x
y
1
1
2
1 =0
–1 0
1
Desenvolvendo o determinante:
2x – y + 2 – y = 0 ⇒ 2x – 2y + 2 = 0 ⇒ x – y + 1 = 0
Resposta: A equação da reta r é x – y + 1 = 0.
Observações
• Lembre-se sempre de que, na equação: ax + by + c = 0,
x e y são as coordenadas de um ponto qualquer dessa
reta. Isso significa que, se um ponto P(xp, yp) pertence à
18 –
• y = k, k ≠ 0 (reta paralela ao eixo x)
• y = 0 (eixo x)
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 19
FRENTE 4
Álgebra e Geometria dos Sólidos
MÓDULO 19
Probabilidade da União e
Probabilidade Condicional
1. UNIÃO DE DOIS EVENTOS
• Sendo A e B dois eventos de um espaço amostral S,
a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• Se A ∩ B = ø, A e B são chamados eventos
mutuamente exclusivos e:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Logo:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =
5
3
1
7
= –– + –– – –– = –– = 70%
10
10 10
10
• Considerando a urna do exemplo anterior e os
eventos “número ímpar” (C), e “múltiplo de 6” (D), temos:
P(C ∪ D) = P(C) + P(D),
pois C e D são mutuamente exclusivos.
Portanto:
5
1
6
P(C ∪ D) = –– + –– = –– = 60%
10
10
10
2. PROBABILIDADE CONDICIONAL
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral
S ≠ Ø, chama-se probabilidade de A condicionada a B a
probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu
ou vai ocorrer o evento B.
Indica-se por P(A / B).
P(A ∩ B)
P(A / B) = ––––––––––––
P(B)
• Se A ∩ B = ø e A ∪ B = S, A e B são chamados
eventos exaustivos e:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1
Exemplos
• Numa urna, existem 10 bolas numeradas de 1 a
10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade
de ocorrer múltiplo de 2 ou múltiplo de 3?
O espaço amostral é:
S = {1, 2, 3, ... , 10}
“Múltiplo de 2” é o evento:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
“Múltiplo de 3” é o evento:
B = {3, 6, 9}
Exemplo
Numa urna, existem quatro bolas brancas, numeradas de 1 a 4, e seis bolas pretas, numeradas de 1 a 6.
Retirando-se uma bola ao acaso, observa-se que ela é
preta. Qual a probabilidade de seu número ser par?
Sendo A o evento “número par” e B, “bola preta”,
3
temos:
–––
P(A ∩ B)
10
1
P(A | B) = ––––––––– = ––––– = ––
P(B)
2
6
–––
10
Observação
Para esse problema, basta considerar como espaço
amostral o conjunto dos números das bolas pretas, isto
é, {1, 2, 3, 4, 5, 6} e a probabilidade de o resultado ser
1
3
par é –– = –– .
6
2
– 19
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 20
MÓDULO 20
Probabilidade da Intersecção e
Lei Binomial de Probabilidade
1. INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS
1
1
1
1
P(A ∩ C) = –– e P(A) . P(C) = –– . –– = ––
5
2
2
4
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)
❑
2. LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE
Eventos independentes
Os eventos A e B de um espaço amostral S são
independentes se P(A/B) = P(A).
❑
Propriedade
A e B dependentes ⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)
A e B independentes ⇔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Exemplos
Numa urna, existem quatro bolas brancas numeradas
de 1 a 4 e seis bolas pretas numeradas de 1 a 6; considere
os eventos A, B e C, respectivamente, “número par”, “bola
preta” e “número primo”.
A e B são independentes, pois:
1
1
P(A | B) = –– e P(A) = ––
2
2
Repetindo n vezes uma experiência em que um evento
A tem probabilidade de ocorrer igual a p, qual a
probabilidade de ocorrer k vezes o evento A?
Se ocorre k vezes o evento A num total de n,
—
consequentemente ocorre n – k vezes o evento A.
Se a probabilidade de ocorrer A é p, então a pro—
babilidade de ocorrer A é 1 – p. Assim, a probabilidade
—
de ocorrer k vezes o evento A, e n – k vezes o evento A,
numa certa ordem, é:
pk . (1 – p)n – k
Como são possíveis Cn,k ou Cn,n – k ordens diferentes, a
probabilidade procurada é:
Cn,k . pk . (1 – p)n – k
Exemplo
Um dado não viciado é lançado seis vezes. Qual a
probabilidade de ocorrer o resultado 5, exatamente duas
vezes?
Resolução
1
São possíveis C6,2 ordens diferentes e, como p = ––
6
5
e 1 – p = –– , temos que a probabilidade procurada é:
6
A e C não são independentes, pois
2
1
P(A | C) = –– e P(A) = ––
5
2
Assim, P(A ∩ B) = P(A) . P(B) =
1
3
3
= –– . –– = ––
2
5
10
625
3 125
= ––––––– ≅ 20%
( ) . ( ––56 ) =15 . ––––––––
46 656
15 552
e P(A ∩ C) ≠ P(A) . P(C)
1
C6,2 . ––
6
Observe que
MÓDULO 21
Prismas
1. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Consideremos uma região poligonal com n lados e
uma reta não paralela nem contida no plano do polígono.
Chama-se PRISMA à união de todos os segmentos
congruentes com um extremo na região e paralelos à reta.
20 –
2
4
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A1 A2 A3 … An e B1 B2 B3 … Bn são polígonos
côngruos e paralelos chamados BASES.
–––––– ––––––
A 1B 1 , A 2B 2 ,
–––––
…, AnBn são segmentos côngruos e
paralelos chamados ARESTAS LATERAIS.
–————
––––––– –––––– ––––––
–––––– –––––––
A1 A2, A2 A3 , …, An–1 An , B1 B2 , B2 B3 , … Bn–1 Bn são
chamados ARESTAS DAS BASES.
A1 A2 B2 B1, A2 A3 B3 B2, … são paralelogramos
chamados FACES LATERAIS.
h, distância entre as duas bases, é chamada de
ALTURA DO PRISMA.
2. CLASSIFICAÇÃO
Os prismas podem ser RETOS OU OBLÍQUOS, conforme as arestas laterais sejam ou não perpendiculares às
bases.
4. ÁREAS E VOLUMES
Sendo Al a área lateral de um prisma (soma das
áreas de cada face lateral), Ab a área de uma de suas
bases e At a sua área total, temos:
At = Al + 2 . Ab
Num prisma, cuja área da base é Ab e a altura é h, o
volume é dado por:
V = Ab . h
Nos prismas retos, as faces laterais são retângulos.
Os prismas retos, cujas bases são polígonos regulares, são denominados PRISMAS REGULARES.
3. NATUREZA
Os prismas são triangulares, quadrangulares,
pentagonais, hexagonais etc., conforme suas bases
sejam triângulos, quadriláteros, pentágonos,
hexágonos etc.
MÓDULO 22
Paralelepípedos e Cubos
1. PARALELEPÍPEDOS
São prismas cujas bases são paralelogramos.
2. PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO
Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo é todo paralelepípedo reto (prisma reto) cujas
bases são retângulos.
– 21
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 22
___
As suas seis faces são retângulos. AG é uma de suas
diagonais.
Num paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a,
b, e c, sendo D a medida de uma de suas diagonais, At
sua área total e V o seu volume, têm-se:
Num cubo de aresta a, têm-se:
D=
a2 + b2 + c2
At = 2 (ab + ac + bc)
V=a.b.c
3. HEXAEDRO REGULAR (CUBO)
É o paralelepípedo reto-retângulo (prisma) cujas seis
faces (duas bases e quatro laterais) são quadrados.
MÓDULO 23
Af = a2
(área da face)
At = 6 a2
(área total)
D = a
3
(diagonal)
V = a3
(volume)
Pirâmide
1. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Dados um plano α, um ponto V, tais que V ∉ α e uma
região poligonal S do plano α, chama-se pirâmide a
—
união de todos os segmentos VP em que P ∈ S.
O ponto V é denominado vértice e a região poligonal
S é denominada base da pirâmide.
Na pirâmide da figura, temos:
— — —
• Arestas laterais: VA, VB, VC, …
• Faces laterais: ΔVAB, ΔVBC, ΔVCD, …
— — —
• Arestas da base: AB, BC, CD, …
• Altura da pirâmide: h (distância de V a α)
2. NATUREZA
As pirâmides são triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais etc., conforme
suas bases sejam triângulos, quadriláteros,
pentágonos, hexágonos etc.
3. PIRÂMIDE RETA E PIRÂMIDE REGULAR
Uma pirâmide é RETA quando a projeção ortogonal
do vértice incide sobre o centro do polígono da base.
Uma pirâmide é denominada REGULAR quando é
reta e o polígono da base é regular.
22 –
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✍ Exercícios Resolvidos
1. Determinar a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular cuja base tem 64 m2 de área e cuja
altura mede 3 m.
Resolução
Ab = l2 = 64 ⇒ l = 8 m
Na pirâmide regular da figura, temos:
a) OA = R é o raio da circunferência circunscrita à
base e é denominado simplesmente raio da base;
b) OM = a é denominado apótema da base;
c) VM = g é denominado apótema da pirâmide
(altura de uma face lateral);
d) g2 = a2 + h2 ;
e) (VA)2 = R2 + h2.
4. CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES
Para qualquer pirâmide, têm-se:
• Área lateral (Aᐉ)
É a soma das áreas das faces laterais da pirâmide.
Assim:
Al = A1 + A2 + A3 …, + An, sendo que A1, A2, A3, …,
No triângulo VOH, temos
l
g2 = a2 + 32 e a = ––– = 4 m, então:
2
g2 = 42 + 32 ⇒ g = 5 m
l.g
Al = 4 . ––––– = 2 . 8 . 5 ⇒ Al = 80 m2
2
Resposta: 80 m2
2. Calcular a área total da pirâmide do exercício
anterior.
Resolução
Al = 80 m2
Ab = 64 m2
At = Al + Ab
Assim: At = 80 m2 + 64 m2 ⇒ At = 144 m2
Resposta: 144 m2
3. Calcular o volume de uma pirâmide hexagonal
regular de aresta da base l e altura l.
Resolução
An são as áreas das faces laterais.
• Área total (At)
É a soma da área lateral e da área da base.
Assim:
At = Al + Ab
• Volume (V)
É a terça parte do volume de um prisma de mesma
base e mesma altura.
Assim:
1 A .h
V = ––
3 b
33 l2
l23
Ab = 6 . –––––– = –––––––
2
4
h=l
1
V = –– . Ab . h
3
33l2
3l3
1 . ––––––
Assim: V = ––
. l ⇔ V = –––––
2
2
3
3l3
Resposta: –––––
2
– 23
C3_SOROCABA_MAT_TEO_Rose_2014 10/02/14 14:01 Página 24
MÓDULO 24
Tetraedro Regular e Tronco de Pirâmide
1) As arestas laterais e a altura ficam divididas na
mesma razão:
1. TETRAEDRO REGULAR
É a pirâmide triangular que possui as seis arestas
congruentes entre si.
VA’ VB’ VC’
h
–––– = –––– = –––– = … = –––
VA
VB
VC
H
2) A secção obtida e a base são polígonos semelhantes.
3) A razão entre as áreas da secção (As) e da base
(Ab) é igual ao quadrado da razão entre suas
distâncias ao vértice.
As
h
–––– = –––
Ab
H
2
( )
4) A “parte” (região) da pirâmide compreendida
A altura, a área total e o volume de um tetraedro
regular de aresta a são dados, respectivamente, por:
a
6
h = ––––––
3
At = a2
3
a3
2
V = ––––––
12
entre a base e a citada secção é denominada
TRONCO DE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS.
3. CÁLCULO DO VOLUME DE UM TRONCO
DE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS
2. SECÇÃO PARALELA
À BASE DE UMA PIRÂMIDE
Sendo AB e Ab as áreas das bases, H, a altura
(distância entre os planos das bases) e V, o volume de
Quando interceptamos todas as arestas laterais da
pirâmide por um plano paralelo à base, que não contém
a base nem o vértice, obtemos uma secção poligonal tal
que:
24 –
um tronco de pirâmide de bases paralelas, tem-se:
H
V = –––
3
( AB + Ab + AB . Ab )