Apostila de Estatistica

Estatística – Notas de Aulas
ESTATÍSTICA
Notas de Aulas
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
2
Estatística – Notas de Aulas
SUMÁRIO
1
CONCEITOS BÁSICOS
1.1 Estatística
1.2 Estatística Descritiva
1.3 Estatística Inferencial
1.4 População
1.5 Amostra
1.6 Variável
1.7 Séries Estatísticas
5
2
APRESENTAÇÃO DE DADOS
2.1 Apresentação Tabular
2.2 Apresentação Gráfica
7
3
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
3.1 Dados Brutos
3.2 Rol
3.3 Amplitude Total
3.4 Número de Classes
3.5 Amplitude de Classe
3.6 Intervalo de Classe
3.7 Freqüência Simples
3.8 Freqüência Acumulada
3.9 Freqüência Relativa
3.10 Ponto Médio de Classe
3.11 Representações Gráficas
11
4
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO
4.1 Média Aritmética
4.2 Mediana
4.3 Moda ...........................................................................................................................
4.4 Relação entre Média, Mediana e Moda
4.5 Percentil
4.6 Decil
4.7 Quartil
17
5
MEDIDAS DE DISPERSÃO
5.1 Amplitude
5.2 Desvio Médio
5.3 Variância
5.4 Desvio Padrão
5.5 Coeficiente de Variação
26
6
ASSIMETRIA E CURTOSE
6.1 Coeficiente de Assimetria
6.2 Coeficiente de Curtose
32
7
TEORIA DA PROBABILIDADE
7.1 Teoria dos Conjuntos
7.2 Técnicas de Contagem
7.3 Introdução à Probabilidade
36
8
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
8.1 Tipos de Variáveis Aleatórias
8.2 Função de Probabilidade
8.3 Função Densidade de Probabilidade
8.4 Expectância
8.5 Variância
47
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
3
Estatística – Notas de Aulas
8.6 Distribuição Conjunta
8.7 Independência
8.8 Função Distribuição Acumulada
9
MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS DISCRETAS
9.1 Distribuição Uniforme
9.2 Distribuição de Bernoulli
9.3 Distribuição Binomial
9.4 Distribuição Geométrica
9.5 Distribuição de Pascal
9.6 Distribuição de Poisson
9.7 Distribuição Hipergeométrica
9.8 Distribuição Multinomial
56
10
MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS
10.1 Distribuição Uniforme
10.2 Distribuição Normal
10.3 Distribuição Gama
10.4 Distribuição Exponencial
10.5 Distribuição de Weibull
10.6 Distribuição Qui-Quadrado
10.7 Distribuição t, de Student
10.8 Distribuição F, de Fisher
10.9 Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal
61
11
INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
11.1 Estimadores e Estatísticas
11.2 Estimadores Eficientes
11.3 Estatísticas Suficientes
11.4 Família Exponencial
11.5 Método da Máxima Verossimilhança
11.6 Distribuição Amostral da Média
67
12
INTERVALOS DE CONFIANÇA
12.1 Intervalo de Confiança para a Média
12.2 Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias
12.3 Intervalo de Confiança para a Proporção
12.4 Intervalo de Confiança para a Diferença de Proporções
12.5 Intervalo de Confiança para a Variância
12.6 Determinação do Tamanho de uma Amostra
74
13
CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO (CEP)
13.1 Conceitos
13.2 Diagrama de Pareto
13.3 Diagrama de Ishikawa
13.4 Gráfico de Controle para Média e Amplitude
13.5 Capabilidade
13.6 Gráficos de Controle para Amplitudes Móveis
13.7 Gráficos de Controle por Atributos
81
14
TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA
14.1 Teste de Hipótese
14.2 Teste de Hipótese para a Média
14.3 Teste de Hipótese para a Diferença de Médias
14.4 Teste de Hipótese para a Proporção
14.5 Teste de Hipótese para a Diferença de Proporções
98
15
ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA)
15.1 ANOVA para um Fator
15.2 ANOVA para dois Fatores
104
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
4
Estatística – Notas de Aulas
16
TESTE QUI-QUADRADO
16.1 Teste de Bondade de Ajustamento
16.2 Teste de Independência de Variáveis
110
17
TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
17.1 Teste U, de Wilcoxon, Mann e Whitney
17.2 Teste H, de Kruskal – Wallis
113
18
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E DE REGRESSÃO
18.1 Coeficiente de Correlação
18.2 Análise de Regressão Linear
18.3 Método dos Mínimos Quadrados
18.4 Modelo Exponencial
18.5 Modelo Potência
18.6 Modelo Logarítmico
118
APÊNDICE I – INTEGRAIS EULERIANAS
APÊNDICE II – MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
1.
5
CONCEITOS BÁSICOS
1.1 Estatística
A Estatística compreende os métodos científicos utilizados para coleta, organização, resumo,
apresentação e análise, ou descrição, de dados de observação. Também abrange métodos utilizados para
tomadas de decisões sob condições de incerteza.
1.2 Estatística Descritiva
Inclui as técnicas empregadas para coleta e descrição de dados. Também é empregada na análise
exploratória de dados.
1.3 Estatística Inferencial
É utilizada para tomar decisões a respeito de uma população, geralmente utilizando dados de
amostras. Uma vez que tais decisões são tomadas sob condições de incerteza, faz-se necessário o uso de
conceitos relativos à Teoria da Probabilidade.
1.4 População
Um dos conceitos fundamentais na Estatística, é empregado para designar um conjunto de
indivíduos que possuem pelo menos uma característica, ou atributo, em comum. Alguns autores
empregam o termo universo para referir-se a uma população.
1.5 Amostra
Refere-se a qualquer subconjunto de uma população. A amostragem é uma das etapas mais
importantes na aplicação de métodos estatísticos, envolvendo aspectos como determinação do tamanho da
amostra, metodologia de formação e representatividade da amostra com relação à população.
1.6 Variável
É usada para atribuição dos valores correspondentes aos dados observados. É importante
ressaltar que os dados em questão não são necessariamente numéricos, uma vez que podem dizer respeito
a atributos qualitativos observados na população. Por esta razão costuma-se classificar as variáveis nas
categorias definidas a seguir.
1.6.1 – Variável Numérica. Também chamada variável quantitativa, é utilizada para representação de
dados numéricos, ou quantitativos.
1.6.1.1 – Variável Numérica Discreta. Variável cujo domínio é um conjunto enumerável. Geralmente
corresponde a dados de contagem. Exemplo: Número de defeitos em um componente, total de unidades
defeituosas em uma amostra.
1.6.1.2 – Variável Numérica Contínua. Variável cujo domínio é um conjunto não enumerável. Refere-se a
dados de mensuração. Exemplo: Diâmetro de um eixo, peso de um recém-nascido.
1.6.2 – Variável Qualitativa. É utilizada para representação de atributos. Pode ser dicotômica, ou
binária, quando assume apenas dois possíveis valores, ou politômica, também referida como multinomial,
quando pode assumir mais de dois possíveis valores.
1.6.2.1 – Variável Qualitativa Categórica. É empregada para representar categorias, ou classes, às quais
pertencem as observações registradas. Exemplo: Cor dos olhos, sexo.
1.6.2.2 – Variável Qualitativa Ordinal. Utiliza-se este tipo de variável em situações nas quais presume-se
a necessidade de uma ordem, crescente ou decrescente, para os resultados. Exemplo: Grau de
escolaridade, categoria salarial.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
6
Estatística – Notas de Aulas
1.7 – Séries Estatísticas
Uma série estatística consiste basicamente de um conjunto de valores observados para diferentes
categorias de uma variável. As séries estatísticas são classificadas em três categorias, apresentadas a
seguir.
1.7.1 – Série Temporal. A variável de interesse refere-se a um período de tempo.
Exemplo 1.7.1 – A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY.
Mês
Faturamento
Tabela 1.1 – Faturamento mensal (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY).
Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Jul Ago Set Out Nov
0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68
Dez
0,82
Total
10,77
Fonte: Dados fictícios.
1.7.2 – Série Geográfica. Aqui a variável estudada é o local.
Exemplo 1.7.2 – A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY, nas respectivas regiões de atuação.
Tabela 1.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por região.
Grande Interior Interior
Porto
Interior Campo
Região
Cuiabá
Curitiba
do PR
de SC
Alegre
do RS
Grande
Faturamento
2,75
2,58
1,82
1,42
0,80
0,75
0,70
Total
10,77
Fonte: Dados fictícios.
1.7.3 – Série Específica.
Exemplo 1.7.3 - A tabela a seguir mostra o faturamento, em milhões de reais, da empresa fictícia ABC
durante o ano de 20XY, especificado por produto.
Produto
Faturamento
Tabela 1.3 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por produto.
Rolamento
Mancal
Óleo
Junta
Válvula
Retentor
3,48
1,84
1,75
1,45
1,25
1,00
Total
10,77
Fonte: Dados fictícios.
1.7.4 – Séries Combinadas. Na prática, é comum combinar séries estatísticas com o objetivo de
aumentar, ou detalhar, as informações disponíveis.
Exemplo 1.7.4 – O quadro a seguir mostra o faturamento da empresa ABC por produto e região, isto é,
uma combinação de uma série geográfica e uma série específica.
Quadro 1.1 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC, por produto e região.
Produto
Região
Total
Rolamento Mancal Óleo Junta Válvula Retentor
Grande Curitiba
0,89
0,46
0,45 0,37
0,32
0,26
2,75
Interior do PR
0,83
0,44
0,42 0,35
0,30
0,24
2,58
Interior de SC
0,59
0,31
0,30 0,25
0,21
0,16
1,82
Porto Alegre
0,45
0,24
0,23 0,19
0,16
0,15
1,42
Interior do RS
0,26
0,14
0,13 0,11
0,09
0,07
0,80
Campo Grande
0,24
0,13
0,12 0,10
0,09
0,07
0,75
Cuiabá
0,22
0,12
0,10 0,08
0,08
0,10
0,70
3,48
1,84
1,75 1,45
1,25
1,00
10,77
Total
Fonte: Dados fictícios.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
7
Estatística – Notas de Aulas
2.
APRESENTAÇÃO DE DADOS
A apresentação de dados pode ser efetuada através de dois modos, tabular ou gráfico, não
mutuamente exclusivos. Para esta tarefa deve-se ter em mente o objetivo da apresentação, no que diz
respeito ao nível de detalhamento e ao tipo de informação que se deseja extrair dos dados em questão. A
apresentação tabular permite obter informações mais detalhadas, enquanto a apresentação gráfica permite
uma compreensão mais rápida a respeito do comportamento da variável observada.
2.1 – Apresentação Tabular
Em primeiro lugar, é importante frisar que os termos “tabela” e “quadro” são utilizados para
designar objetos distintos. O primeiro designa o arranjo de dados na forma de grade com laterais abertas,
enquanto o segundo termo é empregado para designar arranjos em grades com laterais fechadas,
conforme a Figura 2.1.
Variável
Total
Valores
Variável
Valores
Total
Figura 2.1 – Formatos de tabela e quadro.
Independente do formato escolhido, uma tabela deve conter três elementos:
1 – Cabeçalho. Deve conter o máximo de informações sobre os dados apresentados
2 – Corpo. De dimensões variáveis, é o espaço destinado à apresentação propriamente dita dos dados.
3 – Rodapé. Deve conter a fonte dos dados e outras informações necessárias à compreensão.
2.1.1 – Tabela Simples.
É o tipo mais comum de tabela, utilizado para representar os valores correspondentes a uma série
estatística. A disposição pode ser feita tanto por colunas como por linhas.
Exemplo 2.1 – Exemplo de tabela simples. Dados dispostos em linha.
Mês
Faturamento
Tabela 1.1 – Faturamento mensal (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY).
Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Jul Ago Set Out Nov
0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68
Fonte: Dados fictícios.
Exemplo 2.2 - Exemplo de tabela simples. Dados dispostos em coluna.
Tabela 2.1 – Número de
beneficiários de planos privados
de saúde, em milhões, no período
2000 – 2006.
Ano Beneficiários (milhões)
2000
34,5
2001
34,3
2002
35,0
2003
36,2
2004
38,8
2005
41,6
2006
44,7
Fonte: Jornal Folha de São Paulo. 4/6/2007
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Dez
0,82
Total
10,77
8
Estatística – Notas de Aulas
2.1.2 – Tabela de Dupla Entrada. É utilizada para representar dados de duas séries combinadas.
Exemplo 2.3 – Exemplo de tabela de dupla entrada.
Tabela 2.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC, por produto e região.
Produto
Região
Total
Rolamento Mancal Óleo Junta Válvula Retentor
Grande Curitiba
0,89
0,46
0,45 0,37
0,32
0,26
2,75
Interior do PR
0,83
0,44
0,42 0,35
0,30
0,24
2,58
Interior de SC
0,59
0,31
0,30 0,25
0,21
0,16
1,82
Porto Alegre
0,45
0,24
0,23 0,19
0,16
0,15
1,42
Interior do RS
0,26
0,14
0,13 0,11
0,09
0,07
0,80
Campo Grande
0,24
0,13
0,12 0,10
0,09
0,07
0,75
Cuiabá
0,22
0,12
0,10 0,08
0,08
0,10
0,70
3,48
1,84
1,75 1,45
1,25
1,00
10,77
Total
Fonte: Dados fictícios.
2.1.3 – Tabela de Múltiplas Entradas. É utilizada na representação de dados correspondentes a mais de
duas séries.
Exemplo 2.4 – Exemplo de tabela de múltipla entrada.
Tabela 2.3 – Unidades vendidas por região e por semestre.
Produto
Região
Rolamento
Mancal
1o Semestre 2o semestre 1o Semestre 2o semestre
Sul
38
24
18
14
Sudeste
26
20
14
12
Centro Oeste
16
18
8
17
80
62
40
43
Total
Total
94
72
59
225
Dados Fictícios.
2.2 – Apresentação Gráfica
Para a apresentação gráfica deve-se levar em consideração o tipo de série estatística estudada e o,
também, o tipo de variável observada, quantitativa ou qualitativa. Também é possível combinar as duas
formas de apresentação, tabular e gráfica. Os principais tipos de gráficos são:
2.2.1 – Gráfico Linear. É utilizado principalmente para representar séries temporais.
Exemplo 2.5
Tabela 1.1 – Faturamento mensal (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY).
Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Jul Ago Set Out Nov
0,95 1,03 1,12 1,24 1,02 0,92 0,84 0,78 0,72 0,65 0,68
Fonte: Dados fictícios.
Faturam ento da Em presa ABC
R$ 1000000,00
Mês
Faturamento
1,5
1
0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Meses
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
10
11
12
Dez
0,82
Total
10,77
9
Estatística – Notas de Aulas
2.2.2 – Gráfico Setorial. É utilizado para representar séries geográficas ou específicas.
Exemplo 2.6
Tabela 1.2 – Faturamento (R$ 1000000) da empresa ABC (20XY), por região.
Grande Interior Interior
Porto
Interior Campo
Região
Cuiabá
Curitiba
do PR
de SC
Alegre
do RS
Grande
Faturamento
2,75
2,58
1,82
1,42
0,80
0,75
0,70
Total
10,77
Fonte: Dados fictícios.
Faturam ento por Região
Cuiabá; 0,7
Campo Grande;
0,75
Grande Curitiba
Grande Curitiba;
2,75
Interior do RS; 0,8
Interior do PR
Interior de SC
Porto Alegre
Porto Alegre; 1,42
Interior de SC; 1,82
Interior do RS
Interior do PR; 2,58
Campo Grande
Cuiabá
2.2.3 – Gráfico de Colunas. Pode ser utilizado no lugar do gráfico setorial.
Exemplo 2.7 – Os dados da Tabela 1.2 poderiam ser representados através do gráfico a seguir.
Faturam ento por Região
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Grande
Curitiba
Interior do
PR
Interior de
SC
Porto
Alegre
Interior do
RS
Campo
Grande
Cuiabá
2.2.4 – Gráfico de Colunas Superpostas. É utilizado para representar os dados de tabelas de dupla
entrada.
Exemplo 2.8 – Representação dos dados da Tabela 2.2.
Faturamento por Produto e por Região (%)
100%
80%
Retentor
60%
Válvula
40%
Junta
Óleo
20%
Mancal
0%
Grande Interior do Interior de
Curitiba
PR
SC
Porto
Alegre
Interior do Campo
RS
Grande
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Cuiabá
Rolamento
10
Estatística – Notas de Aulas
2.2.5 – Gráfico de Colunas Justapostas. È utilizado para representar dados de tabelas de dupla entrada.
Faturam ento por Produto e por Região
1
0,8
Rolamento
0,6
Mancal
0,4
Óleo
0,2
Junta
Válvula
0
Grande Interior do Interior de
Curitiba
PR
SC
Porto
Alegre
Interior do Campo
RS
Grande
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Cuiabá
Retentor
11
Estatística – Notas de Aulas
3.
DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS
As distribuições de freqüências são usadas principalmente para a apresentação de grandes
conjuntos de dados.
3.1 – Dados Brutos
É a designação para um conjunto de dados não ordenados.
3.2 – Rol
É um conjunto de dados ordenados.
Exemplo 3.1 – Teores de ácido palmítico (%) observados em 120 amostras de óleos vegetais, utilizadas
em um estudo para comparar as características de óleos obtidos a partir de diferentes fontes.
3,8
3,9
4,1
4,5
4,6
4,8
4,8
4,8
4,9
5
5,1
5,1
5,1
5,1
5,1
5,2
5,4
5,4
5,5
5,6
5,7
5,9
5,9
5,9
6
6
6
6
6,1
6,1
6,1
6,1
6,1
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,3
6,4
6,4
6,4
6,5
6,6
6,7
6,7
6,8
7
7,2
7,5
7,6
7,7
8
8
8,2
8,3
8,3
9,3
9,4
9,6
9,7
9,7
9,7
9,8
9,8
9,8
9,9
10
10
10
10,1
10,2
10,4
10,4
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,7
10,8
10,8
10,9
10,9
10,9
10,9
11
11
11
11
11,1
11,1
11,1
11,1
11,2
11,2
11,3
11,4
11,4
11,5
11,5
11,5
11,5
11,6
11,6
11,9
11,9
12,2
12,2
12,2
13
13
13,1
13,1
Fonte: Brodnjak – Vončina et al. (2005)
3.3 – Amplitude Total (R)
É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados no conjunto de dados, isto é:
R = x ( n ) − x (1)
(3.1)
Exemplo 3.2 – Para o conjunto de dados do exemplo anterior a amplitude total é R = 13,1 – 3,8 = 9,3
3.4 – Número de Classes (k)
Pode ser determinado arbitrariamente ou de acordo com a expressão a seguir, denominada fórmula de
Sturges, onde n é o número de observações, ou tamanho da amostra.
k = 1 + 3,3 log n
(3.2)
Exemplo 3.3 – Uma distribuição de freqüências para os dados do Quadro 3.1, de acordo com a fórmula de
Sturges, terá
k = 1 + 3,3 log(120) = 7,86 ≅ 8
3.5 – Amplitude de Classe (h)
Pode ser calculada por
h=
R
k
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(3.3)
12
Estatística – Notas de Aulas
h=
Exemplo 3.4 – Para os dados dos exemplos anteriores, a amplitude de classe é
9,3
≅ 1,2 .
8
3.6 – Intervalo de Classe
Os limites de cada classe podem ser definidos de quatro modos distintos, mostrados a seguir.
1.
Intervalo “exclusive – exclusive”:
2.
Intervalo “inclusive – exclusive”:
3.
Intervalo “inclusive – inclusive”:
4.
Intervalo “exclusive – inclusive”:
Exemplo 3.5 – Para os dados utilizados como exemplo até agora, as classes e intervalos são:
Tabela 3.1 – Distribuição de freqüências para os teores
(%) de ácido palmítico observados em amostras de
óleos vegetais.
Classe Teores de Ácido Palmítico Observações
1
3,8 |-- 5,0
9
2
5,0 |-- 6,2
24
3
6,2 |-- 7,4
21
4
7,4 |-- 8,6
8
5
8,6 |-- 9,8
6
6
9,8 |-- 11,0
24
7
11,0 |-- 12,2
21
8
12,2 |-- 13,4
7
120
Total (N)
3.7 – Freqüência Simples (fi)
A freqüência simples da i–ésima classe é igual ao número do observações pertencentes à mesma.
Exemplo 3.6 – Na distribuição do exemplo anterior: f1 = 9 , f2 = 24 , ... , f8 = 4.
3.8 – Freqüência Acumulada
i
A freqüência acumulada crescente da i–ésima classe é dada por:
faci = ∑ f j
(3.4)
j =1
Exemplo 3.7 – A freqüência acumulada crescente da quarta classe, na distribuição mostrada na Tabela
3.1, é: fac4 = 9 + 24 + 21 + 8 = 62.
k
A freqüência acumulada decrescente da i–ésima classe é dada por:
fad i = ∑ f j
(3.5)
j =i
Exemplo 3.8 – Para a quarta classe da distribuição anterior, a freqüência acumulada decrescente é dada
por: fad4 = 8 + 6 + 24 + 24 + 4 = 66.
3.9 – Freqüência Relativa (fri)
A freqüência relativa da i–ésima classe é dada por:
fri =
fi
∑
j =1
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(3.6)
k
fj
Estatística – Notas de Aulas
13
Exemplo 3.9 – As freqüências relativas para distribuição da Tabela 3.1 são
Tabela 3.2 – Distribuição de freqüências simples e relativas para os teores (%) de
ácido palmítico observados em amostras de óleos vegetais.
Classe Teores de Ácido Palmítico Observações Freqüências Relativas
1
3,8 |-- 5,0
9
0,0750
2
5,0 |-- 6,2
24
0,2000
3
6,2 |-- 7,4
21
0,1750
4
7,4 |-- 8,6
8
0,0667
5
8,6 |-- 9,8
6
0,0500
6
9,8 |-- 11,0
24
0,2000
7
11,0 |-- 12,4
21
0,1750
8
12,4 |-- 13,6
7
0,0583
120
1,0000
Total (N)
3.10 – Ponto Médio de Classe (Xi)
O ponto médio da i–ésima classe é dado por:
Xi =
LI i + LS i
2
(3.7)
onde LIi e LSi são os limites inferior e superior da classe, respectivamente.
Exemplo 3.10 – As classes da distribuição da Tabela 3.1 têm os seguintes pontos médios:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Tabela 3.3 – Distribuição de freqüências simples e
pontos médios de classe para os teores (%) de ácido
palmítico observados em amostras de óleos vegetais.
Teores de Ácido Palmítico Observações Pontos Médios (Xi)
3,8 |-- 5,0
9
4,4
5,0 |-- 6,2
24
6,2 |-- 7,4
21
7,4 |-- 8,6
8
8,6 |-- 9,8
6
9,8 |-- 11,0
24
11,0 |-- 12,2
21
12,2 |-- 13,4
7
12,8
120
Total (n)
3.11 – Representações Gráficas
As distribuições de freqüências podem ser representadas através de três tipos de gráficos, não
mutuamente exclusivos.
3.11.1 – Histograma
É um gráfico de colunas justapostas, onde a largura da base de cada coluna representa o intervalo de
classe correspondente e a altura representa a freqüência simples da referida classe.
Exemplo 3.11 – A Figura 3.1 mostra o histograma da distribuição mostrada na Tabela 3.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
14
Estatística – Notas de Aulas
30
25
20
15
10
5
0
3,8 - 5,0
5,0 - 6,2
6,2 - 7,4
7,4 - 8,6
8,6 - 9,8
9,8 - 11,0
11,0 - 12,2
12,2 - 13,4
Figura 3.1 – Histograma da distribuição de freqüências de teores de ácido palmítico.
3.11.2 – Polígono de Freqüências
É definido por uma linha poligonal cujos vértices são definidos pelos pontos médios e pelas freqüências
das classes representadas.
Exemplo 3.12 – O polígono de freqüências para a distribuição anterior é mostrado na Figura 3.2.
30
Freqü ên cias
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Classes
Figura 3.2 – Polígono de freqüências da distribuição de teores de ácido palmítico.
3.11.3 – Curva de Freqüências
Exemplo 3.13 – A curva de freqüências para a distribuição dos exemplos anteriores é mostrada na Figura
3.3.
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 3.3 – Curva de freqüências para a distribuição de teores de ácido palmítico.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
15
Estatística – Notas de Aulas
3.12 – Exercícios
O Quadro 3.1 mostra 150 valores correspondentes ao comprimento da sépala, observados em flores de
três espécies: íris virginica, íris setosa e íris versicolor, para um estudo cujo é a comparação das
diferenças entre as dimensões observadas para cada um dos três grupos.
Quadro 3.1 – Comprimentos (mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
43
46
44
46
50
54
50
49
56
44
47
44
48
56
55
51
57
61
58
59
46
48
45
49
56
55
55
58
61
60
46
47
50
50
48
49
50
51
56
58
55
56
56
57
60
64
62
63
62
63
48
51
49
52
59
57
57
64
63
63
48
51
50
53
59
58
57
65
64
64
49
49
51
51
50
50
55
57
60
61
60
60
58
58
65
67
64
67
65
67
50
52
51
63
61
60
61
68
69
67
50
52
51
64
61
63
62
72
72
67
51
54
54
54
52
54
65
66
62
63
66
67
63
63
73
76
72
74
68
69
54
57
55
69
64
67
65
77
77
69
58
57
55
70
67
68
71
77
79
77
Fonte: Fisher (1936).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Calcular a amplitude total.
Calcular o número de classes para construir uma distribuição de freqüências.
Calcular a amplitude de cada classe.
Determinar os intervalos e limites de classes.
Distribuir as freqüências.
Calcular as freqüências acumuladas.
Calcular os pontos médios.
Traçar o histograma.
Resposta:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Comprimento (mm)
43 |-- 47
47 |-- 51
51 |-- 55
55 |-- 59
59 |-- 63
63 |-- 67
67 |-- 71
71 |-- 75
75 |-- 79
Total
Flores
9
23
19
28
20
23
16
6
6
150
faci
9
32
51
79
fadi
150
141
118
99
150
6
fri
0,0600
0,1533
0,1267
0,1867
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Ponto médio
45
49
53
57
Estatística – Notas de Aulas
16
30
25
20
15
10
5
0
Figura 3.4 – Histograma para os dados do Quadro 3.1.
Referências
Brodnjak – Vončina, D., Kodba, Z., Novič, M., Multivariate data analysis in classification of
vegetable oils characterized by the content of fatty acids. Chemometrics and Intelligent Laboratory
Systems 75, pp. 31-43, 2005.
Fisher, R. A., The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of Eugenics 7, pp.
179-178, 1936.
Johnson, R. A., Wichern, D. W., Applied multivariate statistical analysis. 2nd. Ed. New Jersey: PrenticeHall International, Inc., 1988.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
17
Estatística – Notas de Aulas
4.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO
São medidas utilizadas principalmente para a descrição de dados. Neste caso o que se deseja
encontrar são os valores representativos do conjunto de dados, de modo a resumir ao máximo as
observações sobre os dados em questão. As principais medidas de posição são a média aritmética, a
mediana e a moda. As definições, e algumas propriedades, destas medidas são brevemente descritas a
seguir.
4.1 – Média Aritmética ( x )
dada por
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }. A média aritmética, ou simplesmente “média”, é
n
∑x
i
i =1
x=
(4.1)
n
Exemplo 4.1 – Seja o conjunto {2 , 4 , 3 , 5 , 6 , 2 , 5}. Então a média aritmética é:
x =
2+4+3+5+6+2+5
= 3,8571 .
7
OBS: A notação x é empregada para representar a média de uma amostra de valores. A média da
população costuma ser representada pela letra grega µ (“mi” ou “mu”).
4.1.1 – Propriedades da Média Aritmética:
P1: Se uma constante k é somada a cada valor do conjunto, então a média será acrescida de k.
Exemplo 4.2 – Se todos os valores do conjunto do exemplo 3.1 forem aumentados em 5, a média será
8,8571.
P2: Se cada valor do conjunto é multiplicado por uma constante k, então a média também será
multiplicada pelo mesmo valor.
Exemplo 4.3 – Se todos os valores do conjunto do exemplo 3.1 forem multiplicados por 5, a média será
19,2855.
n
P3: Seja
d i = xi − x o desvio do i – ésimo valor em relação à média aritmética. Então
∑d
i
= 0.
i =1
4.1.2 – Média Aritmética Ponderada
Para dados agrupados em distribuições de freqüências calcula-se a média ponderada, sendo que a
freqüência observada para cada valor é o peso do mesmo. Então, se um conjunto de n valores foi
agrupado em k classes, com pontos médios X1 , X2 , ... , Xk , e freqüências simples f1 , f2 , ... , fk ,
respectivamente, então a média aritmética é dada por:
k
∑X
x=
fi
i
i =1
k
∑f
(4.2)
i
i =1
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
18
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 4.4 – O teor médio de ácido palmítico, para os dados da Tabela 3.1, é dado por:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
x =
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Xi
4,4
Xi fi
39,6
12,8
89,6
1024 , 4
≅ 8 , 54
120
OBS: Se a média para os 120 valores fosse obtida diretamente do conjunto, através da fórmula (4.1), o
valor encontrado seria 8,40.
4.2 – Mediana ( ~
x)
É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados, quando organizados em ordem
crescente. Se a quantidade de valores é ímpar, a mediana, ou valor mediano, é simplesmente o valor
central. Se a quantidade de valores é par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Exemplo 4.5 – Seja o conjunto {2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 , 7 , 9 , 9 , 10}. Neste caso a mediana é ~
x = 6.
Exemplo 4.6 – Seja o conjunto {0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 7 , 8}. Aqui a mediana é dada pela média
dos dois valores centrais, isto é, ~
x = (4 + 5)/2 = 4,5.
4.2.1 – Mediana para dados agrupados em distribuições de freqüências
Para dados agrupados em distribuições de freqüências pode-se utilizar para o cálculo da mediana
a expressão:
~
x = LI ~x
n
 − fca
+2
 fme



h


(4.3)
onde:
LIx = limite inferior da classe que contém o valor mediano, isto é, da classe cuja freqüência
acumulada crescente é igual ou imediatamente superior a n / 2.
fca = freqüência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o valor mediano.
fme = freqüência simples da classe que contém o valor mediano.
h = amplitude da classe que contém o valor mediano.
Exemplo 4.7 – O teor mediano de ácido palmítico, para os dados da Tabela 3.1, é dado por:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
faci
9
33
54
62
19
Estatística – Notas de Aulas
n
= 60 (Então a mediana pertence à 4ª. classe).
2
LIx = 7,4
fca = 54
fme = 8
h = 8,6 – 7,4 = 1,2
Substituindo na expressão (4.3):
OBS: Se a mediana fosse obtida a partir da definição, diretamente do conjunto de dados, o valor
encontrado seria 8,25.
4.3 - Moda
A moda, ou valor modal, de um conjunto de dados é o valor com maior freqüência individual. É
importante ressaltar que o valor modal pode não existir, além disto, caso exista, pode não ser único. Neste
último caso, diz-se que o conjunto é bimodal, trimodal, etc.
Exemplo 4.8 – O valor modal para o conjunto de observação dos teores de ácido palmítico é 6,2, cuja
freqüência é 10.
3,8
3,9
4,1
4,5
4,6
4,8
4,8
4,8
4,9
5
5,1
5,1
5,1
5,1
5,1
5,2
5,4
5,4
5,5
5,6
5,7
5,9
5,9
5,9
6
6
6
6
6,1
6,1
6,1
6,1
6,1
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,2
6,3
6,4
6,4
6,4
6,5
6,6
6,7
6,7
6,8
7
7,2
7,5
7,6
7,7
8
8
8,2
8,3
8,3
9,3
9,4
9,6
9,7
9,7
9,7
9,8
9,8
9,8
9,9
10
10
10
10,1
10,2
10,4
10,4
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,5
10,7
10,8
10,8
10,9
10,9
10,9
10,9
11
11
11
11
11,1
11,1
11,1
11,1
11,2
11,2
11,3
11,4
11,4
11,5
11,5
11,5
11,5
11,6
11,6
11,9
11,9
12,2
12,2
12,2
13
13
13,1
13,1
Para dados agrupados em distribuições de freqüências, a moda pode ser calculada através da fórmula dada
por:
Mo
= LI
mod

∆1
+ 
∆1 + ∆
2

h

onde:
LImod = limite inferior da classe modal, isto é, a de maior freqüência simples.
∆1 = (freqüência simples da classe modal menos a freqüência simples da classe anterior).
∆2 = (freqüência simples da classe modal menos a freqüência simples da classe posterior).
h = amplitude da classe modal.
Exemplo 4.9 – Calcular a moda para a distribuição de freqüências dos teores de ácido palmítico.
A distribuição de freqüências é dada na tabela a seguir.
Classe
Teores de Ácido Palmítico (%)
Observações (fi)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(4.4)
20
Estatística – Notas de Aulas
1
2
3
4
5
6
7
8
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Neste caso as classes 2 e 6 têm a mesma freqüência. Então a distribuição obtida é bimodal, conforme se
pode notar na Figura 3.3, com a curva de freqüências para este conjunto de dados. As respectivas modas
são:
Primeiro valor modal:
LImod = 5,0
∆1 = 24 – 9 = 15
∆2 = 24 – 21 = 3
h = 6,2 – 5,0 = 1,2
Substituindo na fórmula (4.4): Mo
1

= 5 ,0 + 
 15 + 3

.
 ( 1 ,2 ) =

Segundo valor modal:
LImod = 9,8
∆1 = 24 – 6 = 18
∆2 = 24 – 21 = 3
h = 11,0 – 9,8 = 1,2
Substituindo na fórmula (4.4):
Mo
2


= 9 ,8 + 
 ( 1 ,2 ) =
 18 + 3 
.
OBS: É importante chamar a atenção para o fato de que nenhum dos valores coincide com o real valor
modal, que é igual a 6,2.
Comentário
Nos exemplos anteriores é possível observar que as medidas calculadas para um conjunto de
dados podem apresentar discrepância quando calculadas através de abordagens distintas. Para a
distribuição de freqüências dos teores (%) de ácido palmítico observados em amostras de óleos vegetais,
por exemplo, a média aritmética foi calculada como 8,54, para os dados agrupados, e 8,40 para os dados
apenas ordenados. O mesmo ocorre com a mediana, que, por definição, é 8,25. Entretanto, para os
mesmos dados, quando agrupados, a mediana é igual a 8,30. Para o cálculo da moda a diferença é ainda
mais gritante, pois foram encontrados dois valores, 6,0 e 10,8, para a moda. Contudo, é fácil perceber que
o valor em questão é igual a 6,2.
Este tipo de ocorrência deve ser levado em consideração quando se opta pela apresentação, e
tratamento, de dados na forma de distribuições de freqüências. O fácil acesso a programas
computacionais e aplicativos pode tornar dispensável a construção de distribuições de freqüências,
especialmente quando o interesse do estudo restringe-se aos resultados obtidos para as diferentes medidas
aqui estudadas. Neste caso, a distribuição de freqüências pode ser usada apenas como meio de
apresentação dos dados.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
21
Estatística – Notas de Aulas
4.4 – Relação entre Média, Mediana e Moda
A relação entre os valores encontrados para a média, para a mediana e para a moda indica o tipo
de assimetria da distribuição de freqüências. Aqui entende-se por assimetria o grau de desvio dos dados
em relação ao centro da distribuição.
Figura 4.1 – Assimetria positiva (Mo < ~
x < x ).
Figura 4.2 – Assimetria negativa (Mo > ~
x>
x ).
22
Figura 4.3 – Distribuição simétrica (normal) (Mo = ~
x=
x ).
Na prática é comum obter distribuições de freqüências cujas medidas não apresentam nenhum dos
comportamentos descritos, e ilustrados, nas Figuras 4.1 a 4.3. Neste caso recomenda-se excluir a moda
nas relações mostradas acima, isto é, comparar apenas a média e a mediana.
4.5 - Percentil
O valor mediano é aquele que divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais. Da
mesma forma, também pode ser útil discriminar valores correspondentes a uma determinada
percentagem. Este tipo de situação ocorre, por exemplo, quando se deseja determinar a renda familiar que
define os 10% mais ricos em uma sociedade.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
22
Estatística – Notas de Aulas
Para determinar certo percentil em um conjunto de dados é suficiente ordenar estes mesmos
dados e localizar o elemento correspondente à fração desejada, de modo análogo ao usado para
determinar a mediana.
Exemplo 4.10 – Seja o conjunto de dados mostrado no Quadro 4.1. O 90o percentil é o valor que separa
90% dos exemplares com menor largura dos 10% com a maior largura. Então, considerando que o
conjunto tem n = 150 observações, basta separar os 15 últimos elementos, que são justamente os
pertencentes à última coluna. Neste caso o 90o percentil é igual a 37. Isto significa que 90% dos
exemplares apresentam largura inferior a 37 mm.
Quadro 4.1 – Larguras (em mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
Fonte: Fisher (1936).
Para dados agrupados em distribuições de freqüências pode-se utilizar a fórmula dada por:
P p = LI
P
 pn

 100 − fca 
+ 
h
fP




(4.5)
onde:
LIP = limite inferior da classe que contém o p–ésimo percentil, isto é, da classe cuja freqüência
acumulada crescente é igual ou imediatamente superior a pn / 100.
fca = freqüência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o p–ésimo percentil.
fP = freqüência simples da classe que contém o p–ésimo percentil.
h = amplitude da classe que contém o p–ésimo percentil.
Exemplo 4.11 – Calcular o 90o percentil e o 10o percentil para os dados da distribuição de freqüências dos
dados mostrados no Quadro 4.1.
Classes
1
2
3
4
5
6
7
8
Largura (mm)
20 |-- 23
23 |-- 26
26 |-- 29
29 |-- 32
32 |-- 35
35 |-- 38
38 |-- 41
41 |--| 44
Total
Exemplares
4
15
28
47
31
13
9
3
150
faci
4
19
47
94
125
138
147
150
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
23
Neste caso: p = 90. Então 90 × 150 = 135 . O valor procurado pertence à 6ª. classe, que tem freqüência
100
acumulada crescente igual a 138.
LIP = 35
fca = 125
fP = 13
h = 38 – 35 = 3
Substituindo na fórmula 4.5: P = 35 +  135 − 125
90

13


.
 ( 3 ) ≅ 37 , 3

O cálculo do 10o percentil é deixado como exercício.
4.6 - Decil
Esta medida é aplicada quando de deseja dividir um conjunto de dados ordenados em dez partes
iguais. Não é difícil perceber que:
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
...
D9 = P90
Exemplo 4.12 – Para os dados do Quadro 4.1, o quarto decil corresponde ao valor que separa quatro
décimos, ou 40% dos valores. Para n = 150 observações, isto representa 60 valores, ou as quatro
primeiras colunas. Então D4 = 30.
4.7 - Quartil
Esta medida divide um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais. Também é fácil
perceber que:
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
Exemplo 4.13 – Para os dados do Quadro 4.1, o terceiro quartil é valor que separa o conjunto em duas
partes, uma correspondente a 75% dos valores e outra correspondente a 25% dos valores. Como o
conjunto possui 150 observações, e ¾ de 150 correspondem a 112,5, o elemento procurado é a média do
112o e do 113o valores. Então o Q3 = 33 (verifique no próprio quadro !)
4.8 - Exercícios
4.8.1) O Quadro 3.1 foi utilizado para construir uma distribuição de freqüências no Exercício 3.12.
Calcular, para a distribuição de freqüências obtida:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Média.
Mediana.
Moda.
Comparar os resultados obtidos com os reais valores.
Estudar a assimetria da distribuição.
Calcular o 10o e o 90o percentís.
Calcular o 1o e o 4o quartís.
Respostas: O quadro original é dado a seguir.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
24
Estatística – Notas de Aulas
Quadro 3.1 – Comprimentos (mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
43
44
46
47
44
44
46
48
50
56
54
55
50
51
49
57
56
61
58
59
46
48
45
49
56
55
55
58
61
60
46
50
48
50
56
55
56
60
62
62
47
48
50
51
49
49
51
52
58
59
56
57
57
57
64
64
63
63
63
63
48
51
50
53
59
58
57
65
64
64
49
51
50
55
60
60
58
65
64
65
49
50
51
52
50
51
57
63
61
61
60
60
58
61
67
68
67
69
67
67
50
52
51
64
61
63
62
72
72
67
51
54
52
65
62
66
63
73
72
68
54
54
54
57
54
55
66
69
63
64
67
67
63
65
76
77
74
77
69
69
58
57
55
70
67
68
71
77
79
77
Fonte: Fisher (1936).
A distribuição de freqüências obtida é dada na tabela a seguir.
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Comprimento (mm)
43 |-- 47
47 |-- 51
51 |-- 55
55 |-- 59
59 |-- 63
63 |-- 67
67 |-- 71
71 |-- 75
75 |-- 79
Total
Flores
9
23
19
28
20
23
16
6
6
150
faci
9
32
51
79
99
122
138
144
150
fadi
150
141
118
99
71
51
28
12
6
fri
0,0600
0,1533
0,1267
0,1867
0,1333
0,1533
0,1067
0,0400
0,0400
Ponto médio
45
49
53
57
61
65
69
73
77
1) Média: x = 59,03 mm.
2) Mediana: ~
x = 58,43 mm.
3) Moda: Mo = 57,12 mm.
4) x = 55,42 mm.
4.8.2) O Quadro 4.1 mostra os valores observados para as larguras (mm) das sépalas observadas nos 150
exemplares mencionados nos exemplos anteriores.
1)
2)
3)
4)
5)
Construir uma distribuição de freqüências para os dados observados.
Calcular a largura média.
Calcular a largura mediana.
Calcular a largura modal.
Comparar os valores obtidos a partir da distribuição de freqüências com os valores obtidos
diretamente no conjunto de dados.
6) Estudar a assimetria da distribuição.
7) Calcular o 10o e o 90o percentís.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
25
Estatística – Notas de Aulas
Quadro 4.1 – Larguras (em mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
Fonte: Fisher (1936).
Respostas:
1) A distribuição de freqüências fica:
Classes
1
2
3
4
5
6
7
8
2) A largura média é:
Largura (mm)
20 |-- 23
23 |-- 26
26 |-- 29
29 |-- 32
32 |-- 35
35 |-- 38
38 |-- 41
41 |--| 44
Total
Exemplares
4
15
28
47
31
13
9
3
150
x = 31,02 mm.
3) A largura mediana é: ~
x = 30,78 mm.
4) A largura modal é: Mo = 30,63 mm.
50
40
30
20
10
0
20 - 23
23 - 26
26 - 29
29 - 32
32 - 35
35 - 38
38 - 41
Figura 4.4 – Histograma para os dados do Quadro 4.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
41 - 44
26
Estatística – Notas de Aulas
5.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
A principal utilidade das medidas de tendência central, quando calculadas para determinado conjunto
de dados, é a determinação de valores característicos ou típicos deste conjunto. Entretanto, a informação
fornecida por tais medidas é incompleta, se não for acompanhada de alguma informação sobre a
variabilidade dos dados. Esta informação é obtida através do cálculo de medidas de dispersão, ou
variabilidade.
5.1 – Amplitude Total
Seja um conjunto de dados ordenados {x(1) , x(2) , ... , x(n) }, onde x(1) e x(n) representam o valor
mínimo e o valor máximo, respectivamente, do conjunto. A amplitude total é dada por:
R = x( n ) − x(1)
(5.1)
Exemplo 5.1 – A amplitude total para o conjunto de dados do Quadro 4.1 é: R = 44 – 20 = 24 mm.
Quadro 4.1 – Larguras (em mm) das sépalas
observadas em 150 exemplares de flores íris.
20 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 28 30 30 31 32 34 37
22 25 27 29 30 30 31 33 34 37
22 25 28 29 30 30 31 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 34 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
23 26 28 29 30 30 32 33 35 38
24 26 28 29 30 31 32 34 35 38
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
24 27 28 29 30 31 32 34 35 39
25 27 28 29 30 31 32 34 36 40
25 27 28 30 30 31 32 34 36 41
25 27 28 30 30 31 32 34 36 42
25 27 28 30 30 31 32 34 36 44
Fonte: Fisher (1936).
5.2 – Desvio Médio
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Então o desvio
médio dos valores do conjunto em relação à sua média é dado por:
n
∑
D =
xi − x
(5.2)
i =1
n
Exemplo 5.2 – O Quadro 5.1 mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
A média é x = 3 , 2286 . O desvio médio é: D = 3 , 9 − 3 , 2286 + ... + 2 , 7 − 3 , 2286
7
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
= 0 , 4612 .
27
Estatística – Notas de Aulas
Para uma distribuição de freqüências com k classes, com freqüências simples f1 , ... , fk , e pontos
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, o desvio médio é dado por:
k
∑
X i − x fi
(5.3)
i =1
D =
k
∑
fi
i =1
Exemplo 5.3 – O desvio médio para a distribuição de freqüências dos dados do Quadro 4.1 é calculado
como:
A média é x = 31,02 mm.
Classes
1
2
3
4
5
6
7
8
Largura (mm)
20 |-- 23
23 |-- 26
26 |-- 29
29 |-- 32
32 |-- 35
35 |-- 38
38 |-- 41
41 |--| 44
Total
Ponto Médio (Xi)
21,5
24,5
27,5
30,5
33,5
36,5
39,5
42,5
Exemplares
4
15
28
47
31
13
9
3
150
| Xi – x |
9,52
6,52
3,52
0,52
2,48
5,48
8,48
11,48
| Xi – x | fi
38,08
97,80
98,56
24,44
76,88
71,24
76,32
34,44
517,76
Então D = 517 , 76 3 , 4517 .
150
5.3 – Variância
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Assim como o
desvio médio, a variância é gerada a partir das diferenças dos valores do conjunto de dados em relação à
média do mesmo. Entretanto, é necessário ter em mente a natureza dos dados estudados, mais
especificamente, se os mesmos constituem uma população ou uma amostra. Para o primeiro caso, e
representando a média populacional por µ , a variância é dada por:
n
∑ (x
2
σ
i
− µ
)2
.
i =1
=
(5.4)
n
A fórmula acima pode ser facilmente transformada para uma expressão mais simples, dada por:
n
∑
2
σ
x i2
i =1
=
− µ
n
2
.
(5.6)
Quando o conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn } representa uma amostra, calcula-se o estimador
corrigido para a variância amostral, dado por
n
∑ (x
s
2
i
− x)
2
i =1
=
n −1
.
(5.7)
2
O estimador acima também costuma ser representado por σˆ , e a fórmula (5.7) pode ser transformada
para
n
∑
s
2
=
x i2
i =1
n −1
−
nx 2
n −1
.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(5.8)
28
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 5.4 – Calcular a variância para a amostra de teores de vanádio, mostrados no Quadro 5.1.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
A média é x = 3 , 2286 . Então, usando a fórmula (5.8):
s2 =
3,9 2 + 2 ,7 2 + ... + 2 ,7 2 ( 7 )( 3, 2286 2 ) 74 ,7 72 ,97
−
=
−
= 0 , 2833 .
7 −1
7 −1
6
6
Para uma distribuição de freqüências com k classes, com freqüências simples f1 , ... , fk , e pontos
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, a variância populacional é dada por:
k
∑
σ
2
=
X
2
i
fi
i =1
− µ
k
∑
2
.
(5.9)
fi
i =1
Para dados amostrais, o estimador corrigido é dado por
k
∑
s2 =
X
2
i
fi
i =1
−
n −1
nx 2 .
n −1
(5.10)
Exemplo 5.5 – Calcular a variância amostral para os dados da distribuição de freqüências dos dados do
Quadro 4.1.
Classes
1
2
3
4
5
6
7
8
A média é
Largura (mm)
20 |-- 23
23 |-- 26
26 |-- 29
29 |-- 32
32 |-- 35
35 |-- 38
38 |-- 41
41 |--| 44
Total
Exemplares (fi)
4
15
28
47
31
13
9
3
150
Ponto Médio (Xi)
21,5
24,5
27,5
30,5
33,5
36,5
39,5
42,5
Xi2
462,25
600,25
756,25
930,25
1122,25
1332,25
1560,25
1806,25
Xi2fi
1849
9003,75
21175
43721,75
34789,75
17319,25
14042,25
5418,75
147319,5
x = 31,02 mm. Então, usando a fórmula (5.10):
s2 =
147319 , 5 (150 )( 31 , 02 2 ) 147319 ,5 144336 , 06
−
=
−
= 20 , 0231 .
150 − 1
150 − 1
149
149
Quando não tem à disposição uma planilha de cálculo, ou mesmo uma calculadora adequada,
pode-se reduzir o esforço para calcular a variância. Isto é possível através das fórmulas (5.12) e (5.13),
obtidas a partir das fórmulas (5.9) e (5.10), respectivamente. Para tanto basta efetuar a substituição de
variável dada por:
X i = A + hd i .
(5.11)
Efetuada a substituição nas fórmulas (5.9) e (5.10), após convenientes manipulações algébricas obtém-se
as fórmulas dadas por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
29
Estatística – Notas de Aulas
σ
 k

2
 ∑ d i fi 
= h 2  i = 1k
−



 ∑ fi

 i =1
2
k
∑d
i =1
k
∑
i =1
2

fi 


fi 

i
2
 k
 k

 ∑ di fi 
 ∑ d i2 f i

= h 2  i =1
−  i =1
 n −1
n ( n − 1)


s2






(5.12)






(5.13)
Nas fórmulas acima:
A = ponto médio de uma classe de referência escolhida arbitrariamente (em geral escolhe-se a classe
modal, isto é, a que possui a maior freqüência simples).
h = amplitude de classe (deve ser igual para todas as classes).
di = desvio da i-ésima classe em relação à classe escolhida como classe de referência.
k
n = ∑ fi .
i =1
Exemplo 5.6 – Calcular a variância amostral para a distribuição de freqüências do exemplo anterior.
Escolhendo, arbitrariamente, a quarta classe como classe de referência:
Classes
1
2
3
4
5
6
7
8
Largura (mm)
20 |-- 23
23 |-- 26
26 |-- 29
29 |-- 32
32 |-- 35
35 |-- 38
38 |-- 41
41 |--| 44
Total
Exemplares (fi)
4
15
28
47
31
13
9
3
150
di
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
difi
- 12
- 30
- 28
0
31
26
27
12
26
di2fi
36
60
28
0
31
52
81
48
336
Lembrando que h = 3 e n = 150:
 336

26 2
s 2 = (3 2 ) 
−
 = 9[2, 2550 − 0,0302 ] = 20 ,0232
150
−
1
(
150
)(
150
−
1
)


5.3.1 – Método Breve para o Cálculo da Média Aritmética
A substituição (5.15) aplicada à fórmula da média, permite a seguinte transformação:
k
k
∑
x=
∑d
X i fi
i =1
↔
k
∑
i =1
fi
x = A+h
i
fi
i =1
k
∑f
(5.14)
i
i =1
A fórmula (5.14) também é conhecida como Método Breve para o cálculo da média.
5.4 – Desvio Padrão
È dado pela raiz quadrada da variância. Deste modo, para o cálculo do desvio padrão, deve-se
levar em consideração a natureza dos dados. È a medida de dispersão mais utilizada para a descrição de
dados, juntamente com a média aritmética.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
30
Estatística – Notas de Aulas
Seja o conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }, não necessariamente ordenados. Se o conjunto
representa uma população, o desvio padrão é dado por:
n
∑x
2
i
−µ2 .
i =1
σ =
n
(5.15)
Se o conjunto representa uma amostra, o estimador corrigido é dado por:
n
∑x
2
i
i =1
s=
nx 2
n −1
−
n −1
.
(5.16)
Exemplo 5.7 – Calcular o desvio padrão para os dados do Quadro 5.1.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
A média é x = 3 , 2286 . Então, usando a fórmula (5.16):
s =
3 , 9 2 + ... + 2 , 7 2
( 7 )( 3 , 2286
−
7 −1
7 −1
2
)
=
0 , 2833
= 0 , 5323 .
5.4.1 – Desvio Padrão para Dados Agrupados em Distribuições de Freqüências
Para uma distribuição de freqüências com k classes, com freqüências simples f1 , ... , fk , e pontos
médios X1 , ... , Xk , respectivamente, o desvio padrão populacional é dado por:
k
∑
2
i
X
fi
i =1
σ =
− µ
k
∑
2
.
(5.17)
.
(5.18)
fi
i =1
O estimador corrigido para o desvio padrão amostral é dado por:
k
∑
X
2
i
fi
i =1
s =
nx 2
n −1
−
n −1
Para o cálculo do desvio padrão através das fórmulas (5.17) e (5.18) também é possível efetuar a
mesma substituição de variável aplicada ao cálculo da variância. Neste caso as duas fórmulas são
transformadas para:
k
∑
σ = h
d i2 f i
i =1
k
∑
fi
i =1


− 




d i fi 
∑
i =1

k

fi 
∑
i =1

k
2
,
(5.19)
.
(5.20)
e
k
∑
s = h
d i2 f i
i =1
n −1
 k

 ∑ d i fi 
i =1


−
n ( n − 1)
2
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
31
Estatística – Notas de Aulas
5.5 – Coeficiente de Variação
É definido como a razão entre o desvio padrão e a média, isto é
CV =
s
x
(5.21)
Exemplo 5.8 – Calcular o coeficiente de variação para os dados do Quadro 5.1.
0 ,5323
CV =
= 0 ,1649 .
3, 2286
5.6 – Exercícios
5.6.1) Seja a distribuição de freqüências dos dados do Quadro 3.1, ou seja:
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Comprimento (mm)
43 |-- 47
47 |-- 51
51 |-- 55
55 |-- 59
59 |-- 63
63 |-- 67
67 |-- 71
71 |-- 75
75 |-- 79
Total
Flores
9
23
19
28
20
23
16
6
6
150
faci
9
32
51
79
99
122
138
144
150
fadi
150
141
118
99
71
51
28
12
6
fri
0,0600
0,1533
0,1267
0,1867
0,1333
0,1533
0,1067
0,0400
0,0400
Ponto médio
45
49
53
57
61
65
69
73
77
Calcular:
1) O desvio padrão.
2) O coeficiente de variação.
5.6.2) Repetir o exercício anterior para os dados da distribuição de teores de ácido palmítico.
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
Teores de Ácido Palmítico (%)
3,8 |-- 5,0
5,0 |-- 6,2
6,2 |-- 7,4
7,4 |-- 8,6
8,6 |-- 9,8
9,8 |-- 11,0
11,0 |-- 12,2
12,2 |-- 13,4
Total (n)
Observações (fi)
9
24
21
8
6
24
21
7
120
Respostas: Desvio padrão: s = 2,6515 ; Coeficiente de variação: CV = 0,3123.
6.
ASSIMETRIA E CURTOSE
Assimetria é o afastamento de uma distribuição em relação a um valor central. Curtose é o
achatamento de uma distribuição.
6.1 – Coeficiente de Assimetria
Já foi visto que uma distribuição de freqüências pode ser assimétrica positiva, negativa ou
simétrica, neste caso também chamada distribuição normal. Os três casos são ilustrados nas figuras a
seguir.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
32
Figura 4.1 – Assimetria positiva (Mo < ~
x < x ).
Figura 4.2 – Assimetria negativa (Mo > ~
x > x ).
22
Figura 4.3 – Distribuição simétrica (normal) (Mo = ~
x = x ).
O coeficiente de assimetria de Pearson mede o afastamento que caracteriza o tipo de assimetria.
Este coeficiente é dado por:
ass =
3( x − ~
x)
.
s
Exemplo 5.1 – Calcular o coeficiente de assimetria para os dados do Quadro 5.1.
Depois de ordenados, os valores ficam:
Quadro 5.1 – Teores de vanádio (ordenados)
Estrato
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Teor (%) 2,7 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 3,9
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
A média é x = 3,2286 e o desvio padrão é s = 0,5323. A mediana é ~
x = 3,1. Então:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(6.1)
33
Estatística – Notas de Aulas
ass =
3 ( 3 , 2286 − 3 ,1)
= 0 , 7248 .
0 , 5323
6.2 – Coeficiente de Curtose
O coeficiente de curtose mede o achatamento de uma distribuição de freqüências, em
comparação com uma distribuição normal. Na prática só é calculado para distribuições simétricas, ou
muito aproximadamente simétricas. O coeficiente percentílico de curtose é dado por:
C =
P75 − P25
2 ( P90 − P10 )
.
(6.2)
Para uma distribuição normal, o coeficiente de curtose é C = 0,263. Se o valor calculado para C é inferior
a 0,263, diz-se que a distribuição é leptocúrtica (alongada). Se o valor é superior a 0,263, diz-se que a
distribuição é platicúrtica (achatada). As três situações são ilustradas nas Figuras 6.1, 6.2 e 6.3.
70
60
50
40
30
20
10
0
Figura 3.1 – Distribuição leptocúrtica.
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Figura 3.2 – Distribuição mesocúrtica.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
34
30
25
20
15
10
5
0
Figura 3.3 – Distribuição platicúrtica.
A caracterização do tipo de curtose auxilia na avaliação da dispersão dos dados do conjunto.
Uma distribuição leptocúrtica possui dispersão baixa, enquanto uma distribuição platicúrtica possui
dispersão elevada, tomando como referência a dispersão verificada em uma distribuição normal.
6.3 – Exercícios
6.3.1) Seja a distribuição de freqüências para os dados do Quadro 4.1. Isto é,
Classes
1
2
3
4
5
6
7
8
Largura (mm)
20 |-- 23
23 |-- 26
26 |-- 29
29 |-- 32
32 |-- 35
35 |-- 38
38 |-- 41
41 |--| 44
Total
Exemplares
4
15
28
47
31
13
9
3
150
Calcular:
1) O coeficiente de assimetria de Pearson.
2) O coeficiente percentílico de curtose.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
35
Estatística – Notas de Aulas
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
O Quadro 6.1 contém os teores de ácido oléico observados em 120 observações de óleos vegetais.
22,3
22,7
22,8
22,9
23,1
23,1
23,2
23,2
24
24,1
24,1
24,4
24,4
24,4
24,5
24,5
24,6
24,6
24,7
24,9
25,1
25,1
25,2
25,3
25,3
25,3
25,5
25,6
25,7
25,7
25,8
25,8
25,9
26
26
26,1
26,1
26,4
26,5
26,7
26,8
27
27,1
27,1
27,1
27,2
27,4
27,8
28,3
28,3
28,3
29,1
29,4
29,5
29,6
29,6
29,8
29,9
30,3
30,4
30,4
31
31,1
31,1
31,1
31,1
31,1
31,7
31,7
31,8
31,8
32,1
32,6
32,9
33,6
33,6
33,9
34
34,4
34,5
34,8
34,9
35
35
35
35,2
35,2
35,2
35,4
35,8
37,4
37,7
38,4
39,3
39,7
40,1
41,4
43
43,3
45,7
52,2
53,2
54,6
55,5
55,9
56,6
57,2
58
58,2
59
59,1
59,2
59,2
59,3
61,6
61,8
62,6
64,9
77,8
80,6
Construir uma distribuição de freqüências para os dados.
Traçar o histograma.
Calcular a média aritmética.
Calcular a mediana.
Calcular a moda.
Tanto a mediana como a moda podem ser obtidas diretamente no Quadro 6.1. Comparar os
valores encontrados pela observação direta com os valores obtidos pelas fórmulas, nos exercícios
4 e 5.
7) Calcular o desvio padrão.
8) Estudar a assimetria da distribuição.
9) O cálculo do coeficiente de curtose é justificado para este conjunto de dados ? Por quê ?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Algumas respostas:
1) Amplitude total: R = 58,3; Número de classes: k = 1 + 3,3log(120) = 8 ; Amplitude de classe
(R/n) : h = 7,3.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
36
Estatística – Notas de Aulas
7.
TEORIA DA PROBABILIDADE
As mais freqüentes aplicações da estatística envolvem processos de tomada de decisões sob
condições de incerteza. Este tipo de situação ocorre, por exemplo, em processos de inspeção de qualidade.
Aqui o tomador de decisões deve decidir, após inspecionar uma amostra, se um lote de certo produto está
conforme parâmetros de qualidade previamente definidos. Neste caso a incerteza decorre de fatores como
tamanho da amostra, representatividade da mesma e método de inspeção, entre outros. Esta incerteza é
tratada pela estatística com o auxílio da teoria da probabilidade. Na seqüência apresenta-se uma breve
revisão dos principais conceitos envolvidos no estudo desta teoria.
7.1 – Teoria dos Conjuntos
7.1.1 – Conjunto.
É o termo empregado para designar uma lista, ou coleção, bem definida de elementos. Um
conjunto é representado por letra maiúscula, enquanto seus elementos são representados por letras
minúsculas. Se um elemento x pertence a um conjunto C, escreve-se x ∈ C . Caso contrário, x ∉ C .
Diz–se que um conjunto A está contido em outro conjunto B, se todos os elementos de A
pertencem também ao conjunto B. Neste caso escreve-se A ⊂ B , ou B ⊃ A . A negação para a
primeira representação é A ⊄ B .
Há duas formas de se representar um conjunto. Pode-se listar os seus elementos ou utilizar uma
representação gráfica conhecida como Diagrama de Venn. Seja por exemplo o conjunto C, de todos os
resultados observáveis no lançamento de um dado. Então:
C={1,2,3,4,5,6}
1
2
3
4
5
6
Se um conjunto V não possui quaisquer elementos, diz-se que o mesmo é vazio. Neste caso podese representar como V = { } ou V = Ø.
7.1.2 – Operações com Conjuntos
Sejam A, B e C três conjuntos arbitrários. São definidas as seguintes operações:
7.1.2.1 – União
A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou
a B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} .
Exemplo 7.1 – Seja os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e B = {7,8,9,10,11,12}. Então a união de A e B
resulta no conjunto A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} .
7.1.2.2 – Intersecção
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a
A e a B.
A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Exemplo 7.2 – A intersecção dos conjuntos A e B do exemplo anterior resulta no conjunto
A ∩ B = {7,8,9} .
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
37
7.1.2.3 – Diferença
A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto de elementos de que pertencem ao conjunto A, mas
não ao conjunto B.
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B} .
Se A ⊂ B , diz-se que B \ A é o complemento de A em relação a B.
B
A
Exemplo 7.3 – A diferença dos conjuntos A e B dos exemplos anteriores resulta no conjunto
A \ B = {1,2,3,4,5,6} .
Exemplo 7.4 – Sejam os conjuntos X = {2,3,4,5,6,7} e Y = {4,5,6}. Então o complemento de Y em relação
a X é X \ Y = {2,3,7}.
7.1.3 – Conjuntos Finitos e Enumeráveis
Diz-se que um conjunto A é finito quando é formado por n elementos, onde n é um número
inteiro positivo. Diz-se que um conjunto é enumerável quando é possível atribuir uma seqüência aos seus
elementos.
Exemplo 7.5 – Seja X o conjunto de todos os possíveis resultados observáveis no lançamento de um dado.
Neste caso, X = {1,2,3,4,5,6} é finito e enumerável.
Exemplo 7.6 – Seja I o conjunto de todos os números reais compreendidos entre 0 e 1. Então o conjunto
dado por I = {x : 0 < x < 1} não é finito e nem enumerável.
Exemplo 7.7 – Seja P o conjunto de todos os números inteiros positivos ímpares. Então o conjunto dado
por P = {1,3,5,...} é infinito e enumerável.
7.1.4 – Produto Cartesiano
Sejam dois conjuntos, A e B. O produto cartesiano de A e B, representado por A × B é o conjunto
de todos os pares ordenados (x , y) onde x pertence a A e y pertence a B.
A × B = {( x, y ) : x ∈ A ∧ y ∈ B}
Exemplo 7.8 – Sejam os conjuntos A = {2,4,6} e B = {5,7}. Então o produto cartesiano é o conjunto dado
por A × B = {(2,5) , (2,7) , (4,5) , (4,7) , (6,5) , (6,7)}.
7.1.5 – Classes
Há situações nas quais os elementos de um conjunto também são conjuntos. Seja por exemplo o
conjunto dos números naturais, IN. O subconjunto de todos os múltiplos de 7 forma um conjunto. Seja um
conjunto A. Uma classe de A é um conjunto de subconjuntos de A.
Exemplo 7.9 – Seja o conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Algumas classes de A são dadas por:
[{1,3,5,7,9} , {2,4,6,8,10} , {1,2,3,4}] , [{1,3,5} , {7,9} , {2,4} , {6,8,10}] , [{1},{3},{5},{7},{9}].
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
38
7.1.5.1 – Classe Indexada
Em algumas situações utiliza-se a expressão classe indexada de conjuntos, cuja notação
geralmente é { Ai : i ∈ I } . Neste caso deseja-se esclarecer que a cada elemento i de I corresponde um
conjunto A i . O conjunto I é chamado conjunto dos índices, e os conjuntos A i são os conjuntos indexados
por I. Quando I é subconjunto do conjunto IN, dos números naturais, a classe indexada {A1 , A2 , ... } é
chamada seqüência de conjuntos.
O conjunto de elementos, cada um dos quais pertencente a pelo menos um conjunto A i , é
chamado união dos A i , e pode ser representado por U i∈I Ai .
O conjunto de elementos, cada um dos quais pertencente a todos os conjuntos A i , é chamado
intersecção dos A i , e pode ser representado por I i∈I Ai .
7.1.6 – Partição
Seja um conjunto A. Uma partição é uma classe de subconjuntos não vazios e disjuntos deste
conjunto.
Exemplo 7.10 – Seja o conjunto D = {2,3,4,5,7,8,9}. Uma partição de D é [{2,3,4} , {5,7} , {8,9}]. Por
outro lado, a classe [{2,3,4} , {4,5,7} , {8,9}] não é uma partição, pois o elemento “4” pertence a dois
subconjuntos.
7.1.7 – σ – Álgebra
Sejam um conjunto A e uma classe A não vazia de subconjuntos de U i∈I Ai . Diz-se que A é
uma σ – álgebra se:
1.
2.
O complemento de qualquer conjunto de A pertence a A.
A união de um número finito, e enumerável, de conjuntos de A pertence a A.
7.2 – Técnicas de Contagem
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um procedimento pode ser executado
de m modos possíveis, e um segundo procedimento pode ser executado de n modos possíveis, então o
número de modos pelos quais é possível executar os dois procedimentos é m.n .
Exemplo 7.11 – Seja um experimento que consiste em lançar um dado e, na seqüência, uma moeda. Então
o número de possíveis resultados é 6.2 = 12.
Exemplo 7.12 – Quantas placas com três letras seguidas de quatro algarismos podem ser confeccionadas,
sabendo que nenhuma placa possui quatro algarismos iguais a zero ?
Neste caso pode-se considerar que há 26 letras disponíveis (incluindo k, w e y) e 10 algarismos, 0 , ... , 9.
Como nenhuma placa pode ter quatro algarismos iguais a zero, para a última posição há nove algarismos
possíveis. Então o total de placas possíveis é: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 9 = 158 184 000
7.2.1 – Fatorial
Seja n um número inteiro positivo. O fatorial de n é dado por:
n! = n( n − 1)( n − 2)...1 .
É possível demonstrar que 0 ! = 1.
Exemplo 7.13 – 5 ! = 5.4.3.2.1 = 120 ; 8 ! / 6 ! = (8.7.6 !) / 6 ! = 8.7 = 56.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(7.1)
39
Estatística – Notas de Aulas
7.2.2 – Coeficiente Binomial
Sejam dois números inteiros positivos n e p, tais que p ≤ n. Então o coeficiente binomial de n
sobre p é dado por:
n 
n!
  =
 p  p ! (n − p) !
.
(7.2)
7!
7!
7 . 6 . 5! 7 . 6
42
Exemplo 7.14 –  7  =
 5  5! ( 7 − 5 )! = 5! 2! = 5! 2 . 1 = 2 . 1 = 2 = 21
 
Propriedades:
n
P1:   = 1 .
0
 
n
P2:   = n .
1
 
n
P3:   = 1 .
n
 
n  n
 =   .
 p q
P4: Se p + q = n , então 
7.2.3 – Permutação
A disposição dos elementos de um conjunto seguindo certa ordem é chamada permutação. O
total de permutações que pode efetuar com n elementos é dado por
Pn = n !
.
(7.3)
Exemplo 7.15 – Seja o conjunto X = {2,4,6}. As possíveis permutações com os três elementos são:
246 , 426 , 462 , 264 , 624 , 642. Total: 3 ! = 3.2.1 = 6.
7.2.4 – Arranjo
Sejam n elementos. Uma permutação de p, p ≤ n, destes elementos, de acordo com determinada
ordem, é denominada arranjo. O número de arranjos de n elementos, tomados p a p, é dado por:
An , p =
n!
.
(n − p) !
(7.4)
Exemplo 7.16 – Sejam os algarismos 1 , 2 , ... , 8 , 9. Quantos números com três dígitos podem ser
formados a partir dos algarismos dados ?
A9 , 3 =
9! 9 .8 .7 .6!
=
= 9 .8 .7 = 504 .
6!
6!
OBS: Alguns autores não fazem distinção entre permutação e arranjo, preferindo utilizar apenas a
primeira expressão.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
40
7.2.5 – Permutação com Repetição
Há situações nas quais alguns dos n elementos com os quais deseja-se efetuar um arranjo são
iguais. Então, se n1 , n2 , ... , nr são iguais, o número de permutações é dado por:
n!
n1! n2 !... n r !
.
(7.5)
Exemplo 7.17 – De quantos modos é possível arranjar as letras da palavra PARANÁ ?
6!
6 .5 .4 .3 !
=
= 120
3!
3!
7.2.6 – Combinação
Sejam n elementos. Uma disposição de p, p ≤ n, destes elementos, sem levar em consideração a
ordem, é denominada combinação. O número de combinações de n elementos, tomados p a p, é dado por:
n 
C n , p =   .
 p
(7.6)
Exemplo 7.18: Sejam os algarismos 1 , 2 , ... , 8 , 9. Quantas combinações com três dígitos podem ser
formadas a partir dos algarismos dados ?
Neste caso considera-se que 567 e 675, por exemplo, são uma só combinação, já que a ordem é
irrelevante. Então o total de combinações é dado por:
C 9 ,3 =
9!
9 . 8 .7 .6!
=
= 84 .
3 ! 6 ! 3 . 2 .1 .6!
7.2.7 – Exercícios
7.2.7.1) Arme e efetue:
a) 6 !
b) 8 !
8 
 
 6
8 
d)  
 2
c)
e)
7
 
5
7
 
 2
7.2.7.2) Uma loteria consiste em 60 números, numerados de 1 a 60, entre os quais o apostador deve
escolher seis. De quantos modos é possível escolher os seis números ?
7.2.7.3) Quantos anagramas é possível formar com as letras da palavra ESTATÍSTICA ?
7.2.7.4) Um baralho completo possui 52 cartas, divididas em quatro grupos iguais (naipes). Deste baralho
são retiradas cinco cartas. Quantos resultados são possíveis ?
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
41
7.3 – Introdução à Probabilidade
As origens da teoria da probabilidade remontam a meados do século 17. Os conceitos
fundamentais, como probabilidade e esperança matemática, surgiram nas correspondências trocadas
entre Pascal e Fermat, e que geralmente tratavam de jogos de azar. De acordo com Gnedenko (1962), as
questões então levantadas não faziam parte do escopo da matemática da época. O desenvolvimento da
teoria da probabilidade, observado nos séculos subseqüentes, foi impulsionado em grande parte pelas
necessidades das ciências naturais. A abordagem matemática, caracterizada pelo rigor formal, teve início
em meados do século 19, prolongando-se até meados do século 20. As aplicações da teoria da
probabilidade podem ser observadas em praticamente qualquer área de pesquisa, seja através da
modelagem de experimentos aleatórios, ou através da aplicação de testes estatísticos fundamentados em
conceitos da mencionada teoria.
Embora não haja uma definição formal para o termo probabilidade, pode-se entender que o
mesmo designa o estudo de experimentos aleatórios, isto é, experimentos cujos resultados estão sujeitos
ao acaso. Alguns conceitos necessários ao referido estudo são apresentados a seguir.
7.3.1 – Espaço Amostral e Evento
Seja um experimento aleatório realizado sob condições fixas. Chama-se espaço amostral do
experimento o conjunto Ω de todos os resultados observáveis para o experimento. Chama-se evento a
qualquer subconjunto E, de Ω. Vale lembrar que um espaço amostral pode conter mais de um evento.
Neste caso é possível combinar eventos através de operações com conjuntos, isto é:
1.
2.
Evento união: A ∪ B .
Evento intersecção: A ∩ B .
3.
Evento complementar: A
C
(só ocorre quando A não ocorre).
Exemplo 7.19 – Um exemplo de experimento aleatório é o lançamento de um dado. Neste caso o espaço
amostral correspondente é o conjunto Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Um exemplo de evento é o subconjunto de
Ω dado por E = {2 , 4 , 6}, que corresponde ao resultado “número par”.
Exemplo 7.20 – Imagine-se que um experimento aleatório consiste em registrar o tempo t, em horas, entre
falhas apresentadas por determinado equipamento. Então Ω = {t ∈ IR ; 0 < t}. Não é difícil perceber que
este espaço amostral contém resultados claramente impossíveis. Entretanto, na definição de um espaço
amostral, deve-se ter a preocupação de definir um conjunto que contenha todos os possíveis resultados
para o experimento aleatório em questão. Neste sentido, a escolha do conjunto acima é bastante adequada.
7.3.1.1 – Eventos Mutuamente Exclusivos
Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. Diz-se que A e B são eventos mutuamente
exclusivos se, e somente se, A e B são disjuntos.
Exemplo 7.21 – O espaço amostral associado ao lançamento de um dado é Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Não é
difícil perceber que os eventos A = {número par} = {2 , 4 , 6} e B = {número ímpar} = {1 , 3 , 5} são
mutuamente exclusivos.
7.3.2 – Enfoques
Para a formalização do conceito de probabilidade pode-se adotar um de três enfoques:
7.3.2.1 – Enfoque Clássico
Também conhecido como definição clássica de probabilidade, estabelece que, se Ω é um espaço
amostral finito, então a probabilidade de qualquer evento E, contido em Ω, é dada por
P( E ) =
# (E)
# (Ω )
.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(7.8)
Estatística – Notas de Aulas
42
7.3.2.2 – Enfoque Relativo
De acordo com este enfoque, a probabilidade de um evento E é dada pela razão entre o total de
ocorrências do evento e o total de observações. De outra forma, a probabilidade de ocorrência é igual à
proporção de “sucessos”. Neste caso o cálculo da probabilidade está baseado na coleta de observações,
razão pela qual este enfoque também é denominado enfoque empírico.
Exemplo 7.22 – Se, numa entrevista com 200 eleitores, observou-se que 120 pretendem votar em
determinado candidato, então a probabilidade encontrar um eleitor daquele candidato é p = 0,6.
7.3.2.3 – Enfoque Subjetivo
Também chamado personalístico, é baseado no “grau de crença” na ocorrência do evento em
questão. Atualmente, é muito aplicado à tomada de decisões em finanças e mercado de capitais, por
exemplo.
7.3.3 – Axiomas de Probabilidade
A1: Para qualquer evento E de um espaço amostral Ω: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
A2: P(Ω) = 1.
A3: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) .
7.3.4 – Teoremas de Probabilidade
C
T1: P ( A ) = 1 − P ( A) .
T2: A ⊂ B ⇒ P ( A) ≤ P ( B ) .
T3: P ( A \ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) .
T4: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) .
7.3.5 – Espaço de Probabilidade
Seja Ω um espaço amostral finito, isto é, Ω = {e1 , e2 , ... , en }. Um espaço de probabilidade é o
conjunto P = {p1 , p2 , ... , pn } , obtido ao associar-se a cada ei ∈ Ω um valor pi ∈ IR, denominado
probabilidade de ei , e tal que:
1.
0 ≤ pi , i = 1 , ... , n.
n
2.
∑p
i
= 1.
i =1
Exemplo 7.23 – Uma moeda é lançada três vezes, com o objetivo de observar o número de “caras”,
representado por k.
Espaço amostral: Ω = {0 , 1 , 2 , 3}
Probabilidades: P(k = 0) = ⅛ ; P(k = 1) = ⅜ ; P(k = 2) = ⅜ ; P(k = 3) = ⅛ .
Então o espaço de probabilidade é: P = { ⅛ , ⅜ , ⅜ , ⅛ }.
Exemplo 7.24 – Um dado é lançado até obter o número 6. O número de lançamentos é representado por x.
Espaço amostral: Ω = {1 , 2 , 3 , ... , ∞}
Probabilidades: P(x = 1) = 1/6 ; P(x = 2) = (5/6)(1/6) ; P(x = 3) = (5/6)2(1/6) ; ... ; P(x = n) = 5/6n
Espaço de probabilidade: P = {1/6 , 5/36 , 5/216 , ... , 0}.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
43
Estatística – Notas de Aulas
7.3.6 – Eventos Independentes
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω, observados em seqüência. Diz-se que ambos
são independentes quando a ocorrência, ou não, do primeiro não afeta a probabilidade de ocorrência do
outro. Neste caso:
P( A ∩ B) = P ( A).P( B) .
(7.9)
Exemplo 7.25 – Um dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de obter os resultados 4 e 5 ?
P (4 ∩ 5) =
1 1
1 .
=
6 6
36
7.3.7 – Eventos Dependentes e Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω. Diz-se que ambos são dependentes quando a
ocorrência, ou não, do primeiro afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Neste caso:
P( A ∩ B) = P( A).P( B | A) .
(7.10)
OBS: P(B | A) significa “probabilidade de ocorrência de B após a ocorrência de A”.
Exemplo 7.26 – Uma urna contém seis bolas brancas e quatro bolas vermelhas. São retiradas duas bolas,
sem reposição. Sejam os eventos B1 , bola branca na primeira retirada, e V2 , bola vermelha na segunda
retirada. Neste caso, para calcular a probabilidade de V2 deve-se levar em consideração o resultado da
primeira retirada, isto é:
P (V 2 | B1 ) =
6 4
4
=
10 9 15
ou
P (V 2 | V1 ) =
4 3
2
=
10 9 15
A probabilidade condicional de um evento B ocorrer após a ocorrência de um evento A é dada
por:
P( B | A) =
P( A ∩ B)
.
P ( A)
(7.11)
Exemplo 7.27 – Um dado é lançado duas vezes. Se a soma dos resultados é sete, qual a probabilidade de
que um dos resultados tenha sido quatro ?
Ω = {(1,1) , (1,2) , ... , (1,6) , (2,1) , ... , (2,6) , (3,1) , ... , (3,6) , ... , (1,6) , ... , (6,6)} → #(Ω) = 36.
S = {a soma é sete} = {(1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1)} →
#(S) = 6.
D = {um dos resultados é quatro} = {(1,4) , (4,1) , (2,4) , ... , (3,4) , (4,3) , ... , (4,6)} → #(D) = 12.
S ∩ D = {(3,4) , (4,3)} → #(S ∩ D) = 2.
2
P (D | S ) =
7.3.7.1 – Comentário
6
36 = 1
3
36
É importante ressaltar que eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes não são
necessariamente o mesmo tipo de evento. A primeira expressão é utilizada para situações nas quais
apenas um dos eventos pode ocorrer, excluindo qualquer possibilidade de ocorrência do outro. A segunda
expressão é utilizada quando a ocorrência de um dos eventos não tem qualquer efeito sobre a ocorrência
do outro.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
44
Estatística – Notas de Aulas
7.3.8 – Teorema da Probabilidade Total
Seja um espaço amostral Ω e sejam A1 , A2 , ... , An partições de Ω, isto é, Ai ∩ Aj = Ø e a união
de todos os Ai é o próprio espaço Ω. Seja B um evento qualquer de Ω.
A1
A2
A3
A4
...
A5
An
B
Então a probabilidade de B é dada por:
P(B) =
n
∑ P( A )P(B | A ) .
i
(7.12)
i
i =1
Exemplo 7.28 – Uma indústria adquire certo componente de três fornecedores, A, B e C. O primeiro é
responsável por 40% da produção e o segundo é responsável por 25% da produção. A proporção de
defeituosos é de 2% para o fornecedor A, 5% para o fornecedor B e 4% para o fornecedor C. Qual a
probabilidade de uma unidade selecionada ao acaso ser defeituosa ?
P(A) = 0,40 , P(B) = 0,25 , P(C) = 0,35. P(D|A) = 0,02 , P(D|B) = 0,05 e P(D|C) = 0,04.
P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) = (0,40)(0,02) + (0,25)(0,05) + (0,35)(0,04) = 0,0345
7.3.9 – Teorema de Bayes
Seja um espaço amostral Ω e sejam A1 , A2 , ... , An partições de Ω, isto é, Ai ∩ Aj = Ø e a união
de todos os Ai é o próprio espaço Ω. Seja B um evento qualquer de Ω. Então, para qualquer i = 1 , ... , n:
P ( Ai | B ) =
P ( Ai ) P ( B | A i )
n
∑ P( A
j
.
(7.13)
)P(B | A j )
j =1
Exemplo 7.29 – Sejam os dados do exemplo anterior. Se uma peça é defeituosa, qual a probabilidade de
ter sido entregue pelo fornecedor C ?
P (C | D ) =
P (C | D ) =
P (C ) P ( D | C )
P ( A ) P ( D | A ) + P ( B ) P ( D | B ) + P (C ) P ( D | C )
(0,35)(0,04)
0,014
=
= 0,4058
(0,40)(0,02) + (0,25)(0,05) + (0,35)(0,04) 0,0345
7.4 – Exercícios
7.4.1) Um caixa contém 12 unidades de certo componente, sendo três defeituosas. São retiradas três
unidades ao acaso, e sem reposição. Seja X o número de unidades defeituosas obtidas neste experimento
aleatório. Determinar os espaços amostral e de probabilidades.
7.4.2) Dois dados são lançados. Calcular a probabilidade de:
a) Obter dois números diferentes.
b) O segundo resultado ser menor que o primeiro.
c) Pelo menos um dos resultados ser 2.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
45
Estatística – Notas de Aulas
7.4.3) São escolhidos ao acaso, em seqüência e sem reposição, dois números entre 0 e 9. Se a soma é par,
qual a probabilidade de que os dois números sejam ímpares ?
7.4.4) Uma caixa contém quatro bolas brancas e seis bolas pretas. Quatro bolas são retiradas, sem
reposição. Qual a probabilidade de que três sejam pretas ?
7.4.5) Um jogador tem na mão quatro cartas de paus. Se ele deve receber mais duas cartas, qual a
probabilidade de:
a) Ambas serem de paus ?
b) Pelo menos uma ser de paus ?
7.4.6) Em uma indústria de móveis, 7% das unidades apresentam risco na pintura, 5% apresentam
dobradiças soltas e 4% apresentam os dois defeitos. Uma unidade é escolhida aleatoriamente.
a) Se apresenta risco na pintura, qual a probabilidade de também apresentar dobradiças soltas ?
b) Se apresenta dobradiças soltas, qual a probabilidade de também apresentar risco na pintura ?
c) Qual a probabilidade de apresentar risco na pintura ou dobradiças soltas ?
7.4.7) Um lote de 20 unidades de um componente contém quatro unidades defeituosas. Escolhe-se
aleatoriamente uma amostra de cinco unidades do lote. Qual a probabilidade de que a amostra contenha
duas unidades defeituosas ?
7.4.8) Uma loja tem no estoque 12 furadeiras da marca X, das quais duas operam em 220 v, 15 furadeiras
da marca Y, das quais três operam em 220 v e oito furadeiras da marca Z, das quais apenas uma opera em
220 v. Uma furadeira é escolhida ao acaso.
a) Qual a probabilidade de ser da marca X e operar em 220 v ?
b) Se opera em 220 v, qual a probabilidade de ser da marca X ?
7.4.9) Em uma escola, 70% dos alunos são do sexo masculino. Sabe-se também que 20% dos rapazes
usam óculos, o mesmo ocorrendo com 30% das moças. Se um nome é escolhido ao acaso e verifica-se
que usa óculos. Qual a probabilidade de ser uma moça ?
7.4.10) Uma urna contém duas bolas vermelhas e três bolas amarelas. Retira-se uma bola da urna e, na
seqüência coloca-se uma bola da outra cor. Em seguida retira-se outra bola da urna. Qual a probabilidade
desta segunda bola ser branca ?
Respostas
1) Ω = {0 , 1 , 2 , 3} P(X = 0) = (9/12)(8/11)(7/10) = 504/1320 = 0,3818
P(X = 1) = 0,4909 P(X = 2) = 0,1228 P(X = 3) = 0,0045
P = {0,3818 ; 0,4909 ; 0,1228 ; 0,0045}
3) Se a soma é par, os dois números ou são pares ou são ímpares.
Ω = {(0,1) , ... , (0,9) , (1,0) , (1,2) , ... , (1,9) , (2,0) , (2,1) , (2,3) , ... , (2,9) , ... , (9,0) , ... , (9,8)}
Soma Par = {(0,2) , ... , (0,8) , (1,3) , ... , (1,9) , (2,4) , ... , (2,8) , (3,1) , ... , (3,9) , ... , (9,1) , .... , (9,7)}
Ímpares = {(1,3) , (1,5) , (1,7) , (1,9) , (3,1) , (3,5) , (3,7) , (3,9) , (5,1) , ... , (5,9) , ... , (9,1) , .... , (9,7)}
#( Ω ) = 90
#( Soma Par ) = 40
#( Ímpares ) = 20
P( Ímpares | Soma Par ) = 20/40 = ½
5) a) Se o jogador tem quatro cartas de paus, há 48 cartas na mesa, sendo nove de paus. Então o total de
possíveis resultados é dado por  48  = 1128 . Se há nove cartas de paus, então o total de resultados
 2 


com duas cartas de paus é dado por  9  = 36 . Então p = 36 / 1128 = 0,0319.
2
 
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
46
Estatística – Notas de Aulas
7) Se a amostra contém cinco unidades, e duas devem ser defeituosas, então três devem ser perfeitas. O
número de possibilidades de encontrar duas defeituosas entre as quatro existentes é dado por  4  = 6 .
2
 
As três unidades perfeitas podem ser escolhidas entre as 16 nestas condições. Então o total de
possibilidades é  16  = 560 . Finalmente, o total de possíveis combinações é dado por


 3 
 20

 5

 = 15504 . Então p = (6)(560) / 15504 = 0,2167.

9) O diagrama de árvore fica
Usa óculos
0,20
Rapaz
0,70
0,80
Não usa óculos
Usa óculos
0,30
0,30
Moça
0,70
Não usa óculos
P( Moça | Usa óculos) = 0,09 / 0,23 = 0,3913.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
47
Estatística – Notas de Aulas
8.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Sejam um espaço amostral Ω e um espaço de probabilidade P, associados a um experimento
aleatório. Uma variável aleatória X no espaço de probabilidade é uma função real X(ω): Ω → IR definida
em Ω e tal que [X ≤ x] é um evento aleatório para qualquer x real.
Exemplo 8.1 – Um lote contém 20 unidades de um componente, sendo quatro defeituosas. São retiradas
quatro peças e X representa o número de unidades defeituosas entre as quatro retiradas. Neste caso a
variável X assume seus valores no conjunto Ω = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}. O espaço de probabilidade P é dado por
P = {0,3756 ; 0,4623 ; 0,1486 ; 0,0132 ; 0,0002}.
x
P( X = x)
0
0,3756
As probabilidades acima são dadas por:
1
0,4623
2
0,1486
3
0,0132
P ( X = 0) =
4
0,0002
Total
1
16 15 14 13
43680
=
= 0 ,3756
20 19 18 17 116280
P ( X = 1) = 4
16 15 14 4
= 0 , 4623
20 19 18 17
P ( X = 2) = 6
P ( X = 3) = 4
16 4 3 2
= 0, 0132
20 19 18 17
P ( X = 4) =
16 15 4 3
= 0,1486
20 19 18 17
4 3 2 1
= 0, 0002
20 19 18 17
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias em um espaço Ω. Então:
P1: (X + Y )(ω) = X(ω) + Y(ω)
P2: (kX )(ω) = kX (ω)
P3: (X + k )(ω) = X(ω) + k
P4: (XY )(ω) = X (ω) Y (ω)
8.1 – Tipos de Variáveis Aleatórias
São considerados dois tipos de variáveis aleatórias, discreta e contínua, ambos definidos a
seguir.
8.1.1 – Variável Aleatória Discreta
Seja X uma variável aleatória definida no espaço amostral Ω. Diz-se que X é uma variável
aleatória discreta (v.a.d.) se assume um número finito, ou enumerável, de valores. De outro modo, X é
discreta se existe um conjunto enumerável {x1 , x2 , ... , xn }, contido em IR, tal que X(ω) ∈ {x1 , ... , xn },
para qualquer ω ∈ Ω.
Exemplo 8.2 – A variável aleatória X do exemplo anterior é discreta.
8.1.2 – Variável Aleatória Contínua
Seja X uma variável aleatória definida no espaço amostral Ω. Diz-se que X é uma variável
aleatória contínua (v.a.c.) se assume seus valores em um intervalo de números reais.
Exemplo 8.3 – Seja t a variável aleatória que representa o tempo entre duas falhas consecutivas
apresentadas por um equipamento. Neste caso t é uma variável aleatória contínua, e Ω = {t ∈ IR ; 0 ≤ t }.
8.2 – Função de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória discreta no espaço amostral Ω, tal que X(ω) ∈ {x1 , x2 ,... , xn },
para qualquer ω ∈ Ω. Diz-se que p (x) é uma função de probabilidade (f.p.) de X se:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
48
Estatística – Notas de Aulas
1.
p (xi ) = P( X = xi ).
2.
p(xi ) ≥ 0 .
3.
∑ p( x ) = 1
n
i
i =1
Exemplo 8.4 – Seja X a v.a.d. que indica o total de resultados iguais a 6, obtidos em cinco lançamentos de
um dado. Então X ∈ {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}. As probabilidades são dadas por:
P(X = 0) = C5 , 0 (1/6)0 (5/6)5 = 0,4019
P(X = 1) = C5 , 1 (1/6)1 (5/6)4 = 0,4019
x
Não é difícil verificar que: 1) P ( X = x ) = p ( x ) = C 5 , x  1   5 
5− x
6 6
3)
6
∑
i =1
 5

 xi
x
 1  i  5 
    
 6   6 
5 − xi
= (1)
...
. 2) p ( xi ) ≥ 0 .
55
54
53
52
5
1
7776
+ ( 5 ) 5 + (10 ) 5 + (10 ) 5 + ( 5 ) 5 + (1 ) 5 =
= 1.
5
7776
6
6
6
6
6
6
8.3 – Função Densidade de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória contínua em um espaço amostral Ω. Diz-se que f (x) é uma função
densidade de probabilidade (f.d.p.) se:
1. f ( xi ) ≥ 0 .
x2
∫ f ( X )dX
2. P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) =
x1
+∞
3.
∫ f ( X )dX = 1
−∞
Exemplo 8.5 – Sejam uma v.a.c. X , 0 ≤ X e a função f ( X ) = e – X . A função dada é uma f.d.p., pois:
1. f ( xi ) ≥ 0
x2
∫e
2. P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) =
−X
dX = −e − x2 + e − x1 .
x1
+∞
2.
∫e
−X
dX = − e − X
0
+∞
0
=1
8.4 – Expectância
A expectância, também chamada esperança, valor esperado ou valor médio, de uma variável
aleatória X é dada por:
n
1. E ( X ) =
µ X = ∑ xi p ( x i ) , se X é uma variável aleatória discreta.
(8.1)
i =1
+∞
2. E ( X ) =
µX =
∫ Xf ( X )dX
, se X é uma variável aleatória contínua.
−∞
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(8.2)
49
Estatística – Notas de Aulas
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço amostral Ω, k um número real. Então:
P1: E(kX ) = kE(X )
P2: E(X + k) = E( X ) + k
P3: E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) P4: E(XY) = E(X)E(Y)
Exemplo 8.6 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1. Então a sua expectância é calculada como:
x
P( X = x)
xP(X = x)
0
0,3756
0
1
0,4623
0,4623
2
0,1486
0,2972
3
0,0132
0,0396
4
0,0002
0,0008
Total
1
0,7999
E (X ) = 0,7999
Exemplo 8.7 – Sejam a variável aleatória e a função densidade de probabilidade dadas no exemplo 8.5.
Então:
∞
E(X ) =
∫ xe
−x
dx = Γ ( 2 ) = 1 .
0
8.5 – Variância
A variância de uma variável aleatória X é dada por:
1. Var [ X ] = σ
2
n
=
∑ [x
i
− E ( X )] 2 p ( x i ) , se X é uma variável aleatória discreta.
(8.3)
i =1
+∞
2. Var [ X ] = σ
2
=
∫ [ X − E ( X )]
2
f ( X ) dX , se X é uma variável aleatória contínua.
(8.4)
−∞
Propriedades
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas em um mesmo espaço amostral Ω, k um número real. Então:
P2: Var(kX) = k2 Var(X)
P1: Var(X + k) = Var(X) .
A variância também pode ser calculada através da fórmula:
Var [ X ] = E ( X 2 ) − [ E ( X )] 2 .
Na fórmula (8.5): E ( X 2 ) =
n
∑x
2
i
p ( xi ) , para v.a.d. e E ( X 2 ) =
i =1
(8.5)
+∞
∫X
2
i
f ( X ) dX , para v.a.c..
−∞
Exemplo 8.8 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1. Então a sua variância é calculada como:
x
P( X = x)
x2 P(X = x)
0
0,3756
0
1
0,4623
0,4623
2
0,1486
0,5944
3
0,0132
0,1188
4
0,0002
0,0032
Total
1
1,1787
Então: Var[X] = 1,1787 – (0,7999)2 = 0,5389.
Exemplo 8.9 – Sejam a variável aleatória e a função densidade de probabilidade dadas no exemplo 8.5.
Então:
∞
E(X 2) =
Logo, Var[X] = 2 – 12 = 1.
∫x
2
e − x dx = Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 .
0
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
50
Estatística – Notas de Aulas
8.6 – Distribuição Conjunta
Sejam duas variáveis aleatórias, X e Y, definidas em um espaço amostral Ω, e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }. Seja também o produto cartesiano dado por:
X (ω ) × Y (ω ) = {( x1 , y1 ),..., ( x n , y m )} .
Chama-se distribuição conjunta, ou função de probabilidade conjunta de X e Y a função definida por:
H ( x i , y j ) = P ( X = xi ; Y = y j )
.
(8.6)
Se X e Y são variáveis aleatórias discretas:
1. H ( xi , y j ) ≥ 0 .
n
2.
m
∑∑ H ( x , y
i
j
) = 1.
i =1 j =1
3. P ( X = xi ; Y = y j ) = H ( xi , y j ) .
Se X e Y são variáveis aleatórias contínuas:
1. H ( X , Y ) ≥ 0 .
+∞ +∞
2.
∫ ∫ H ( X , Y )dXdY = 1 .
− ∞− ∞
x2 y 2
3. P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ; y1 ≤ Y ≤ y 2 ) =
∫ ∫ H ( X , Y )dYdX
x1 y1
Para a função (8.6) há um espaço de probabilidades. Tais probabilidades podem ser apresentadas
em tabelas, ou quadros, de dupla entrada.
Tabela 8.1 – Distribuição de Probabilidade Conjunta.
Y
y1
y2
...
ym
H(x1 , y1)
H(x1 , y2)
...
H(x1 , ym)
H(x2 , y1)
H(x2 , y2)
...
H(x2 , ym)
...
...
...
...
H(xn , y1)
H(xn , y2)
...
H(xn , ym)
g(y1)
g(y2)
...
g(ym)
X
x1
x2
...
xn
Total
Total
f(x1)
f(x2)
...
f(xn )
1
Na Tabela 8.1 as funções f e g são chamadas distribuições marginais, e são definidas por:
1. f ( x i ) =
m
∑ H (x , y
i
n
j
)
g ( y j ) = ∑ H ( x i , y j ) , para X e Y discretas.
j =1
i =1
+∞
2. f ( x ) =
∫ H ( x, y )dy
+∞
g ( y) =
−∞
∫ H ( x, y )dx
, para X e Y contínuas.
−∞
8.7 – Independência de Variáveis
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω, com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com distribuição conjunta H(xi , yj). Diz-se
que X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
51
Estatística – Notas de Aulas
H ( xi , y j ) = f ( xi ) g ( y j ) .
Exemplo 8.10 – Um experimento aleatório consiste em lançar uma moeda e retirar uma carta de um
baralho. Sejam as variáveis aleatórias X , resultado observado na moeda(0 = cara e 1 = coroa), e Y , naipe
da carta retirada (1 = paus, 2 = ouro, 3 = copas, 4 = espada). Então o espaço de probabilidades é:
X
0
1
Total
Y
1
⅛
⅛
¼
2
⅛
⅛
¼
3
⅛
⅛
¼
4
⅛
⅛
¼
Total
½
½
1
Neste caso as variáveis são independentes, pois H(xi , yj) = f(xi )g(yj ).
8.7.1 – Expectância
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω, com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com distribuição conjunta H(xi , yj). A
expectância do produto de X e Y é dada por:
n
1. E ( XY ) =
µ XY = ∑ xi y j H ( xi , y j )
, se X e Y são variáveis aleatórias discretas.
(8.7)
i =1
+∞ +∞
2. E ( XY ) =
∫ ∫ XYH ( X , Y )dXdY
µ XY =
, se X e Y são variáveis aleatórias contínuas.
(8.8)
− ∞− ∞
8.7.2 – Covariância
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω, e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com expectâncias µX e µY , respectivamente.
Além disto, considere-se que a distribuição conjunta das duas variáveis é H(xi , yj). Então a covariância
de X e Y é dada por:
n
m
Cov( X , Y ) = ∑∑ [ xi − µ X ][ y j − µY ]H ( xi , y j ) , para X e Y discretas.
(8.9)
i =1 j =1
+∞ +∞
Cov ( X , Y ) =
∫ ∫ (X − µ
X
)(Y − µ Y ) H ( X , Y )dXdY , para X e Y contínuas.
(8.10)
− ∞− ∞
A covariância também pode ser calculada por:
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) .
(8.11)
8.7.3 – Correlação
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω, e com os
contradomínios X(ω) = {x1 , ... , xn } e Y(ω) = {y1 , ... , ym }, e com variâncias σ2X e σ2Y, respectivamente.
O coeficiente de correlação de X e Y é a medida da relação linear entre as duas variáveis, e é dado por:
ρ ( X ,Y ) =
Cov ( X , Y )
σ
2
X
.
(8.12)
σ Y2
O coeficiente de correlação ρ pertence ao intervalo real [– 1 ; 1] . Se ρ = 1 ou ρ = – 1, a relação é perfeita,
e neste caso Y = aX + b , onde a e b são números reais. Quanto maior a independência entre as variáveis
X e Y, mais próximo de zero é o valor de ρ.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
52
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 8.11 – Um experimento aleatório consiste em lançar uma moeda três vezes e anotar os
resultados. Sejam as variáveis aleatórias X = número de caras e Y é definida como: Y = 1, se o primeiro
resultado é cara, ou Y = 0, se o primeiro resultado é coroa.
Espaço amostral
{1,1,1}
{1,1,0}
{1,0,1}
{0,1,1}
{0,0,1}
{0,1,0}
{1,0,0}
{0,0,0}
Probabilidade
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
X
3
2
2
2
1
1
1
0
Y
1
1
1
0
0
0
1
0
A distribuição conjunta é dada por:
X
Y
0
1
Total
0
0,125
0
0,125
1
0,25
0,125
0,375
2
0,125
0,25
0,375
3
0
0,125
0,125
Total
0,5
0,5
1
É possível notar que as variáveis não são independentes. Por exemplo: P(X = 0;Y = 0) ≠ P(X = 0)P(Y = 0).
As expectâncias são: µ X = 0 1 + 1 3 + 2 3 + 3 1 = 12 = 1,5
8
8
8
8
8
e
µY = 0
4
4
4
+ 1 = = 0 ,5 .
8
8
8
A expectância do produto é: E ( XY ) = ( 0 )( 0 )( 0 ,125 ) + (1)( 0 )( 0, 25 ) + ... + ( 3)(1)( 0,125 ) = 1
Nota-se que E(XY) ≠ E(X)E(Y) .
As variâncias são: σ
2
X
=
12 9
− = 0 , 75
4
4
e
σ Y2 =
1 1
− = 0 , 25 .
2 4
A covariância é: Cov ( X , Y ) = 1 − (1,5 )( 0 ,5 ) = 0 , 25 .
O coeficiente de correlação é:
ρ =
0 , 25
1, 5 0 ,5
= 0 , 2887 .
8.8 – Função Distribuição Acumulada
Seja uma variável aleatória X, discreta ou contínua, definida no espaço amostral Ω, e tal que
X(ω) ∈ {x1 ,... , xn }, para qualquer ω ∈ Ω. Chama-se função de distribuição acumulada a função dada
por:
i
1. F ( xi ) =
∑ f ( x ) . Se X é uma variável aleatória discreta.
i
j =1
x
2. F ( x) =
∫ f (t )dt . Se X é uma variável aleatória contínua.
−∞
Em qualquer dos casos:
P1: se a ≤ b, então F(a) ≤ F(b).
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
53
Estatística – Notas de Aulas
P2: lim F ( x) = 0
x → −∞
e
lim F ( x) = 1 .
x → +∞
Exemplo 8.12 – Seja X a variável aleatória do exemplo 8.1.
x
P( X = x)
x2 P(X = x)
0
0,3756
0
1
0,4623
0,4623
2
0,1486
0,5944
3
0,0132
0,1188
4
0,0002
0,0032
Total
1
1,1787
F(3) = P(X ≤ 3) = 0,3756+ 0,4623 + 0,0132 = 0,9997.
Exemplo 8.13 – Sejam a variável aleatória e a função densidade de probabilidade dadas no exemplo 8.5.
Então:
3
F (3) =
∫e
−x
dx = − e − x | 30 = − e − 3 + e 0 = 0 , 9502 .
0
8.9 – Exercícios,
8.9.1) Seja x uma variável aleatória contínua, e seja a função dada por:
1
 x , 0 ≤ x ≤ 3
f (x) =  k
 0 , outro caso .
a)
b)
c)
d)
e)
Se f é uma função densidade de probabilidade, qual o valor de k ?
Qual a expectância ?
Qual a variância ?
Calcular P(1 ≤ x ≤ 2).
Calcular a função de distribuição acumulada.
8.9.2) Seja X uma variável aleatória discreta, com a distribuição de probabilidade mostrada no quadro a
seguir.
X
P(X)
0
0,12
1
0,24
2
0,28
3
0,18
4
0,10
5
0,08
a) Qual a expectância ?
b) Qual a variância ?
c) Calcular P(0 ≤ x ≤ 3).
8.9.3) Um experimento aleatório consiste em lançar um dado e observar o resultado. Há duas variáveis
aleatórias associadas a este experimento: X, que é igual ao dobro do resultado, e Y, que vale 1 (um)
quando o resultado é um número primo e 0 (zero) quando não é primo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Definir o espaço amostral.
Definir os espaços X(ω) e Y(ω).
Definir o espaço de probabilidade conjunta.
Verificar se as duas variáveis são independentes.
Calcular a expectância e a variância para X.
Idem para Y.
Calcular o coeficiente de correlação para X e Y.
8.9.4) Seja o experimento aleatório do exercício anterior e seja Z a variável aleatória que é igual ao
número de divisores de X, incluindo 1 e excluindo X.
a) Definir o espaço Z(ω).
b) Definir o espaço de probabilidade conjunta.
c) Verificar se X e Z são independentes.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
54
Estatística – Notas de Aulas
d) Calcular a expectância e a variância para Z.
e) Calcular o coeficiente de correlação para X e Z.
8.9.5) Um jogo consiste em lançar uma moeda duas vezes. Se der uma “cara”, o jogador ganha R$ 1,00.
Se der duas “caras”, o jogador recebe R$ 2,00. Se não der “cara”, o jogador perde R$ 4,00. Este jogo
pode ser considerado como favorável ao jogador ?
8.9.6) Um automóvel custa R$ 45000,00. Sabe-se que em anos anteriores a taxa de roubo deste mesmo
automóvel foi de 2%. Neste caso, qual o valor “justo” do prêmio de um seguro contra roubo ?
8.9.7) Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores {– 1 , 0 , 1} com as probabilidades dadas
no quadro a seguir. Seja Y = X 2.
X
P(X)
a)
b)
c)
d)
–1
¼
0
¼
1
½
Obter a distribuição de probabilidades para a variável Y.
Obter a distribuição conjunta de probabilidades.
Calcular a expectância e a variância para X.
Idem para Y.
8.9.8) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
 k , a ≤ x ≤ b.
f ( x) = 
 0 , outro caso .
a) Qual o valor de k ?
b) Quanto vale a expectância ?
c) Quanto vale a variância ?
8.9.9) Seja X uma variável aleatória discreta. Verificar que Var[X] = E[X 2] – {E[X]}2.
8.9.10) Uma caixa contém 10 unidades de um componente, das quais três são defeituosas. Deve-se testar
as unidades até encontrar duas defeituosas. Seja X o número de testes necessários.
a) Obter a distribuição de probabilidades para X.
b) Calcular a expectância e a variância para X.
Respostas
8.9.3)
a) Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
b) X(ω) = {2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12}
Y(ω) = {0 , 1}
c)
Y
0
1
Total
d) X e Y não são independentes.
X
2
0
1/6
1/6
4
0
1/6
1/6
6
0
1/6
1/6
8
1/6
0
1/6
10
0
1/6
1/6
12
1/6
0
1/6
e) E[X] = 7 Var[X] = 11,6667
Total
2/6
4/6
1
f) E[Y] = 0,6667 Var[Y] = 0,2222
8.9.4) a) Z(ω) = {1 , 2 , 3 , 3 , 3 , 5}
c) As variáveis não são independentes.
d) E[Z] = 2,8333 Var[Z] = 1,4722
b) A distribuição conjunta é dada no quadro a seguir.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
55
Estatística – Notas de Aulas
X
Z
2
1/6
0
0
0
1/6
1
2
3
5
Total
4
0
1/6
0
0
1/6
6
0
0
1/6
0
1/6
8
0
0
1/6
0
1/6
10
0
0
1/6
0
1/6
12
0
0
0
1/6
1/6
Total
1/6
1/6
3/6
1/6
1
8.9.6) Neste caso, o “jogo” é honesto se P(ser roubado).Valor = P(não ser roubado).Prêmio
Então: (0,02)(45000) = (0,98)(Prêmio) → Prêmio = 918,37
b
8.9.8) a)
∫ kdx = kx
b
a
= k (b − a ) = 1 ⇒ k =
a
1
b−a
b
b
x
1  x2 
1 b2 − a2
a+b
b) E [ x ] =
dx
=
=
=
 
∫a b − a
b − a  2 a b − a
2
2
b
c) E [ x 2 ] =
x2
1
∫a b − a dx = b − a
b
 x3 
1 b 3 − a 3 b 2 + ab + a 2
=
=
 
3
3
 3 a b − a
(b − a ) 2
b 2 + ab + a 2
b 2 + 2 ab + b 2
−
=
3
4
12
8.9.10) a) Ω = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
Var [ x ] =
X
P(X)
2
0,0667
3
0,1167
4
0,0150
5
0,1667
6
0,1667
7
0,1500
Referência:
Gnedenko, B.V., Theory of Probability. Chelsea Publishing Company. 1962.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
8
0,1167
9
0,2015
56
Estatística – Notas de Aulas
9.
MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS DISCRETAS
Certos problemas práticos são bastante adequados à utilização de variáveis aleatórias discretas.
Em tais situações, a compreensão da natureza destas variáveis é requisito fundamental para a formulação
de modelos probabilísticos associados a este tipo de variável. Os principais modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias discretas, também chamados distribuições, são apresentados na seqüência.
9.1 – Distribuição Uniforme Discreta
Seja uma variável aleatória discreta X, que assume os valores x1 , x2 , ... , xk . Diz-se que X tem
distribuição uniforme discreta se, e somente se, para todo i = 1 , 2 , ... , k:
P ( X = xi ) =
1
k
.
(9.1)
A expectância e a variância são dadas por:
k
∑x
E(X ) =
i =1
k
i
(9.2)
e
Var ( X ) =
1 k 2 1 k

xi ) 2 
∑ xi − k (∑
k  i =1
i =1

(9.3)
A função de distribuição acumulada é dada por
F ( x) =
n( x)
.
k
(9.4)
Na fórmula (9.4), n(x) é número de elementos xi ≤ x.
Exemplo 9.1 – Seja X a variável aleatória que representa o resultado observado no lançamento de um
dado. Neste caso:
X
P(X)
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
P( X = xi ) =
5
1/6
6
1/6
1
6
9.2 – Distribuição de Bernoulli
Para definir este modelo é conveniente apresentar um experimento aleatório conhecido como
experimento de Bernoulli. Este experimento consiste na observação de sucessivos eventos, que
apresentam as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
Apenas dois resultados são admitidos: sucesso ou insucesso.
A probabilidade p, de sucesso, é constante ao longo do experimento.
Cada evento é independente.
Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores 0 (zero) ou 1 (um), conforme o
resultado de um evento em um experimento de Bernoulli seja insucesso ou sucesso, sendo p a
probabilidade de sucesso. Nestas condições, diz-se que X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p.
O modelo de probabilidade correspondente é dado por:
P( X = x ) = p x (1 − p )1− x .
(9.5)
Também se utiliza a notação X ~ Ber(p). A expectância e a variância são dadas, respectivamente, por:
E( X ) = p
(9.6)
Var ( X ) = p (1 − p )
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(9.7)
57
Estatística – Notas de Aulas
A função de distribuição acumulada é dada por:
0 , x < 0

F ( x ) = 1 − p , 0 ≤ x < 1 .
1 , 1 ≤ x

(9.8)
Exemplo 9.2 – Um experimento aleatório consiste em lançar um dado e observar o seu resultado. Seja X a
variável aleatória que vale 1, se o resultado é “6”, e 0 em outro caso. Neste caso a probabilidade de
sucesso é p = 1/6. Então o modelo correspondente é dado por:
x
1 5
P( X = x) =    
6 6
1− x
.
9.3 – Distribuição Binomial
Seja X uma variável aleatória que indica o número de sucessos observados em n eventos de um
experimento de Bernoulli, com probabilidade p de sucesso. Então diz-se que X tem distribuição binomial
com parâmetros n e p, e modelo de probabilidade dado por:
n
P ( X = x ) =   p x (1 − p ) n − x
 x
.
(9.9)
A notação para X é X ~ b(n , p). A expectância e a variância são respectivamente:
E ( X ) = np
Var ( X ) = np(1 − p )
(9.10)
(9.11)
Exemplo 9.3 – A proporção de não conformidade de certo componente é 8%. Ao se inspecionar um lote
de 12 unidades deste componente, qual a probabilidade de se encontrar três unidades não conformes ?
12 
P ( X = 3) =   (0,08 ) 3 ( 0,92 ) 9 = ( 220 )( 0,000512 )( 0,472161 ) = 0,0532
3
Exemplo 9.4 – No exemplo anterior, o número esperado de unidades defeituosas, e a variância, são:
E ( X ) = (12 )( 0 , 08 ) = 0 ,96
Var ( X ) = 0 ,8832
9.4 – Distribuição Geométrica
Seja X uma variável aleatória discreta que indica o número de observações de um experimento
de Bernoulli até a ocorrência de um sucesso, com probabilidade p, isto é, o número de tentativas até se
obter um sucesso. Neste caso, diz-se que X tem distribuição geométrica, com parâmetro p. O modelo
probabilístico é dado por:
P( X = x) = p (1 − p ) x −1
.
(9.12)
A expectância e a variância são dadas por:
E( X ) =
1
p
(9.13)
Var ( X ) =
1− p
p2
(9.14)
Exemplo 9.5 – A proporção de não conformidade de certo componente é 8%. Ao se inspecionar um lote
de 12 unidades deste componente, qual a probabilidade de se encontrar uma unidade defeituosa apenas na
quarta observação ?
P ( X = 4) = (0,08)( 0,92) 3 = 0,0623
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
58
Estatística – Notas de Aulas
9.5 – Distribuição de Pascal
Seja X uma variável aleatória discreta que indica o número de observações de um experimento
de Bernoulli, com probabilidade p de sucesso, até a ocorrência de n sucessos. Aqui diz-se que X tem
distribuição de Pascal, cujo modelo probabilístico é dado por:
 x − 1 n
 p (1 − p ) x − n .
P( X = x) = 
n
−
1


(9.15)
A expectância e a variância são dadas por:
E( X ) =
n
p
(9.16)
Var ( X ) =
n (1 − p )
p2
(9.17)
Exemplo 9.6 – A proporção de não conformidade de certo componente é 8%. Ao se inspecionar um lote
de 12 unidades deste componente, qual a probabilidade de se ter que inspecionar cinco unidades para
encontrar duas não conformes ?
 5 −1
(0,08) 2 (0,92 ) 3 = 0,0199 .
P ( X = 5) = 
 2 − 1
9.6 – Distribuição Hipergeométrica
Seja um conjunto com N elementos e k ocorrências de determinado evento. Seja um subconjunto
com n elementos, extraídos do conjunto citado. Se X é a variável aleatória discreta que indica o número
de ocorrências no subconjunto, então diz-se que X tem distribuição hipergeométrica, com parâmetros N, k
e n, e o seu modelo probabilístico é:
 N − k  k 

 
n − x   x 

P ( X = x) =
N
 
n 
.
(9.18)
A expectância e a variância são:
E(X ) =
nk
N
 k  1 − k  N − n 
Var ( X ) = n   


 n  n  N − 1 
(9.19)
(9.20)
Exemplo 9.7 – Em um lote de 20 motores há dois defeituosos. São retiradas cinco unidades para inspeção.
Qual a probabilidade de se encontrar uma unidade defeituosa entre as cinco retiradas para inspeção ?
 20 − 2  2 

 
.
5 − 1  1  ( 3060 )( 2 )

P ( X = 1) =
=
= 0 ,3947
15504
 20 
 
 5 
9.7 – Distribuição Multinomial
Seja um experimento aleatório executado n vezes, com k possíveis resultados, e probabilidades
p1 , p2 , ... , pk . Sejam X1 , X2 , ... , Xk as variáveis aleatórias discretas que indicam o total de ocorrências
de cada uma das k respostas, e tais que X1 + X2 + ... + Xk = n. Aqui diz-se que X tem distribuição
multinomial, ou polinomial. O modelo de probabilidade é dado por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
59
Estatística – Notas de Aulas
 k

 ∑ xi  ! k
x
P ( X 1 = x1 ,..., X k = x k ) =  i =k1  ∏ p i i
∏ x i ! i =1
.
(9.21)
i =1
A expectância e a variância são dadas por:
E ( X i ) = npi
Var ( X i ) = npi (1 − pi )
(9.22)
(9.23)
Exemplo 9.8 – Na inspeção de qualidade de um produto são utilizadas quatro categorias para
classificação: conforme, aproveitável, reciclável e refugado. As probabilidades de pertencer a cada um
dos grupos são, respectivamente: p1 = 0,70 , p2 = 0,15 , p3 = 0,10 e p3 = 0,05. Em um lote de 10 unidades,
qual a probabilidade de se encontrar seis unidades conformes, duas aproveitáveis, uma reciclável e uma
refugada ?
P ( X 1 = 6, X 2 = 2, X 3 = 1, X 4 = 1) =
10 !
( 0,70 ) 6 ( 0,15 ) 2 ( 0,10 ) 1 ( 0,05 ) 1 = 0,0334 .
6 ! 2 ! 1! 1!
9.8 – Distribuição de Poisson
Um experimento aleatório é chamado Experimento de Poisson quando consiste em observar as
ocorrências de determinado evento ao longo de um intervalo contínuo subdividido em pequenos
intervalos, de acordo com as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
O numero de sucessos em determinado intervalo independe do número de sucessos em
qualquer outro intervalo.
A probabilidade de sucesso em um intervalo é proporcional ao comprimento deste mesmo
intervalo.
A probabilidade de mais de um sucesso em um intervalo muito pequeno é desprezível.
Seja X a variável aleatória discreta que indica o número de sucessos observados em um intervalo
de um experimento de Poisson. Neste caso diz-se que X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ, e o
modelo de probabilidade é dado por:
P( X = x) =
e −λ λ x
x!
.
(9.24)
A expectância e a variância são dadas por:
E( X ) = λ
Var ( X ) = λ
(9.25)
(9.26)
Exemplo 9.9 – O número médio de clientes atendidos por um terminal é de 12 por hora. Qual a
probabilidade de se ter que atender cinco clientes em meia hora ?
1h → 12
1
h→ λ
2
λ=6
P ( X = 5) =
e −6 6 5
= 0 ,1606 .
5!
Em aplicações práticas que envolvem experimentos de Poisson, geralmente o intervalo
considerado pode ser de tempo, de comprimento, de área ou de volume. As aplicações práticas desta
distribuição incluem o controle de qualidade, a teoria das filas e o processamento de sinais, entre outras.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
60
9.9 – Exercícios
9.9.1) Um aeroporto registra em média oito pousos a cada período de seis horas. Qual a probabilidade de
registrar dois pousos em uma hora ?
9.9.2) Um procedimento de inspeção de qualidade consiste em retirar para inspeção duas unidades de
cada lote de 20 unidades. Se nenhuma das duas unidades é defeituosa, o lote é aprovado. Supondo que um
lote contenha duas unidades defeituosas, qual a probabilidade de ser aprovado ?
9.9.3) A proporção de não conformidade de um produto é igual a 6%. Qual a probabilidade de uma
amostra de 15 unidades apresentar duas não conformes ?
9.9.4) No exercício anterior, qual a probabilidade de que se tenha que inspecionar quatro unidades até
encontrar uma defeituosa ?
9.9.5) No processo de fabricação de um produto, a taxa de rejeição é de 20%. Ao receber uma encomenda
de oito unidades do produto, a gerência decide confeccionar dez unidades. Qual a probabilidade desta
quantidade ser suficiente para atender à encomenda ?
9.9.6) No exercício anterior, se o custo de cada unidade fabricada é R$ 400,00, qual o custo esperado para
atender à encomenda ?
9.9.7) Uma instituição financeira classifica os clientes em três grupos de risco de inadimplência: Alto
risco, médio risco e baixo risco. Um levantamento apontou que 6% dos clientes pertencem ao primeiro
grupo, 12% ao segundo e 82% ao terceiro. Qual a probabilidade de um grupo de 15 clientes apresentar
um cliente do primeiro grupo, dois do segundo e 12 do terceiro ?
9.9.8) Certo tipo de cabo é vendido em rolos de 50m. Verificou-se que cada rolo apresenta em média duas
imperfeições. Qual a probabilidade de um segmento de 10m apresentar uma falha ?
9.9.9) A proporção de não conformidade de um produto é de 4%. O produto é comercializado em
embalagens com 12 unidades. Uma embalagem é rejeitada se for encontrada mais de uma unidade não
conforme. Qual a probabilidade de que, em uma encomenda de dez embalagens, no máximo duas sejam
rejeitadas ?
9.9.10) No exercício anterior, se cada embalagem rejeitada representa um custo de R$ 5,00 para o
fabricante, qual o custo esperado para uma encomenda de 1000 embalagens ?
9.9.11) Uma linha de produção, trabalhando continuamente, apresenta em média duas falhas a cada oito
horas. Cada falha implica em uma interrupção de 20 minutos. Ao receber uma encomenda que demanda
16 horas de trabalho, a empresa reserva 18 horas para a tarefa. Qual a probabilidade de que o prazo seja
suficiente ?
9.9.12) Uma rede de auto-atendimento possui 12 unidades, que operam oito horas por dia. Em média são
atendidos dois clientes por hora. Qual a probabilidade de que, em um intervalo de 15 minutos, oito
unidades estejam ocupadas ?
Respostas:
9.9.2) P(X = 0) = 0,8053 (X é o número de unidades defeituosas entre as duas retiradas para inspeção).
9.9.4) P(X = 4) = 0,0498 (X é o número de unidades inspecionadas até que se encontre a defeituosa).
9.9.6) Custo esperado = 400 × E(X) = 400 × 10 = 4000,00.
9.9.8) P(X = 1) = 0,2681
9.9.10) Custo esperado = (5,00) × (1000) × P(rejeição) = 404,50
9.9.12) A probabilidade de um terminal atender um cliente em um intervalo de 15 minutos é p = 0,3033.
Então a probabilidade de que oito dos doze terminais estejam ocupados é P(X = 8) = 0,0084.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
61
Estatística – Notas de Aulas
10. MODELOS DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Assim como as variáveis aleatórias discretas, as variáveis aleatórias contínuas podem ser de
grande utilidade na abordagem de problemas práticos. Os principais modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias contínuas são apresentados na seqüência. Estes modelos também são denominados
funções densidades de probabilidades, e podem envolver mais de um parâmetro.
10.1 – Distribuição Uniforme Contínua
Seja uma variável aleatória contínua X, que assume seus valores no intervalo I = ]0 , θ[. Diz-se X
tem distribuição uniforme no intervalo I, o que se denota por X ~ U(0 , θ), se a função densidade de
probabilidade de X é dada por:
θ − 1 , 0 < x < θ
f (x |θ ) = 
 0 , outro caso .
(10.1)
A função (10.1) também pode ser representada por:
f (x | θ ) =
1
θ
I ( 0 ,θ ) ( x )
.
(10.2)
Na forma (10.2):
1 , 0 < x < θ
I ( 0 ,θ ) ( x ) = 
 0 , outro caso
.
(10.3)
A expectância e a variância são dadas por:
E[ X ] =
θ
2
(10.5)
θ2
Var [ X ] =
12
(10.6)
10.2 – Distribuição Normal
Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal, com parâmetros µ e σ2, o
que se denota por X ~ N(µ , σ2), quando a função densidade de probabilidade de X é dada por:
f ( x | µ ,σ 2 ) =
 1 (x − µ )2 
exp  −
σ 2 
2π
 2
1
σ
.
(10.7)
A expectância e a variância são:
E[ X ] = µ
Var[ X ] = σ 2
(10.8)
(10.9)
A probabilidade de X pertencer ao intervalo I = [x1 , x2] é dada por:
x2
P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) =
∫ f ( x | µ ,σ
2
) dx .
x1
A integral acima não pode ser calculada analiticamente, e exige o uso de algum método de integração
numérica. Este problema pode ser resolvido, em parte, pela distribuição normal padronizada, ou padrão.
Inicialmente efetua-se a mudança de variável:
z=
x−µ
σ
.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(10.10)
Estatística – Notas de Aulas
62
Demonstra-se, neste caso, que a variável z, definida por (10.10), também tem distribuição normal, com
média igual a zero e variância igual a um. A função densidade de probabilidade é dada por:
φ ( z) =
 z2 
 .
exp  −
2π
 2 
1
(10.11)
Figura 10.1 – Gráfico da distribuição normal padrão.
Desta forma:
x − µ .
x −µ
≤ z ≤ 2
P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) = P  1

σ
 σ

(10.12)
O valor para a expressão (10.12) corresponde à área limitada por z1 , z2 e pelo gráfico da função. Esta área
pode ser encontrada com o auxílio da Tabela da distribuição normal padrão, que fornece a área entre z = 0
e z = zc .
Exemplo 10.1 – Seja uma v.a.c. X, tal que X ~ N(12 , 4).
a)
Calcular P(12 ≤ X ≤ 13,5)
z(12) = 0 e z(13,5) = 0,75. Então P(12 ≤ X ≤ 13,5) = Área(0 ≤ z ≤ 0,75) = 0,2734 .
b) Calcular P(10,5 ≤ X ≤ 12)
z(12) = 0 e z(10,5) = – 0,75. Então P(10,5 ≤ X ≤ 12) = Área(- 0,75 ≤ z ≤ 0) = Área(0 ≤ z ≤ 0,75) = 0,2734 .
c)
Calcular P(10,7 ≤ X ≤ 13,7)
z(10,7) = – 0,65 e z(13,7) = 0,85. Então P(10,7 ≤ X ≤ 13,7) = Área(– 0,65 ≤ z ≤ 0,85).
P(10,7 ≤ X ≤ 13,7) = Área(– 0,65 ≤ z ≤ 0) + Área(0 ≤ z ≤ 0,85) = 0,2422 + 0,3023 = 0,5445.
10.3 – Distribuição Gama
Diz-se que uma v.a.c. X, 0 ≤ X, tem distribuição gama quando a sua função densidade de
probabilidade é dada por:
f (x | α , β ) =
β α α −1 − β x .
x e
Γ (α )
Em (10.13), Γ(α) = (α – 1)!
A expectância e a variância são dadas por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(10.13)
63
Estatística – Notas de Aulas
+∞
E[ X ] =
∫x
0
β α α −1 − β x
β α +∞ α − β x .
x e dx =
x e dx
Γ (α )
Γ (α ) ∫0
Fazendo βx = t :
E[ X ] =
+∞
1
1
α
β α +∞ t α − t dt
e
=
t α e − t dt =
Γ (α + 1) = .
Γ (α ) ∫0 β α
β
β
β Γ (α ) ∫0
β Γ (α )
Var [ X ] =
α .
β2
(10.14)
(10.15)
10.4 – Distribuição Exponencial
Seja um experimento aleatório de Poisson, conforme descrito em (9.8). Seja T a variável
aleatória que representa o intervalo entre dois sucessos. Neste caso diz-se que T tem distribuição
exponencial com parâmetro λ, o que se denota por T ~ Exp(λ). A função densidade de probabilidade é
dada por:
 0,t <0

.
f (t | λ ) =  1 − λt
 λ e , 0 ≤ t
(10.16)
A expectância e a variância são dadas por:
E[T ] = λ
Var[T ] = λ2
(10.17)
(10.18)
Exemplo 10.2 – Sabe-se que a vida útil média de um componente segue uma distribuição exponencial
com parâmetro λ = 600. Qual a probabilidade de que uma unidade deste componente dure mais de 800
horas ?
+∞
P (800 < T ) =
∫
800
t
t
−
1 − 600
1
+∞
e
dt =
( − 600 ) e 600 | 800
= 0 , 2636 .
600
600
Exemplo 10.3 – Uma v.a.c. T tem distribuição exponencial com parâmetro λ = 4. Determinar um valor t
para T tal que P(t < T) = 0,95.
P(x < T ) =
1
4
+∞
∫e
−
t
4
t
dt =
x
−
1
( − 4)e 4
4
+∞
= 0 ,95 ⇒ x = 0 , 205 .
x
10.5 – Distribuição de Weibull
Diz-se que uma v.a.c. X , 0 ≤ X, tem distribuição de Weibull, com parâmetros α e β, quando a sua
função densidade de probabilidade é dada por:
f ( x | α , β ) = αβ x β −1 exp( −α x β ) .
(10.19)
A expectância e a variância são dadas por:
E[ X ] = α
−
1
β

1
Γ  1 + 
β


(10.20)
Var [ X ] = α
−
2
β
2
 
2  
1   
 Γ  1 +  −  Γ  1 +   
β  
β  
 

(10.21)
Uma das aplicações mais freqüentes da distribuição de Weibull é na fixação de períodos de
garantia contra falhas apresentadas por equipamentos.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
64
Estatística – Notas de Aulas
10.6 – Distribuição Qui-Quadrado (χ2)
Diz-se que uma v.a.c. X, 0 ≤ X, tem distribuição Qui-Quadrado (χ2), com φ graus de liberdade,
quando a sua função densidade de probabilidade é dada por:
ϕ
12
 
ϕ
x
−1 −
2
f ( x) =   x 2 e 2 .
ϕ 
Γ 
2
(10.22)
Aqui se utiliza a notação X ~ χ2φ . A expectância e a variância são dadas por:
E[ X ] = ϕ
Var[ X ] = 2ϕ
(10.23)
(10.24)
10.7 – Distribuição t, de Student
Sejam duas variáveis aleatórias contínuas, z ~ N(0 , 1) e U ~ χ2φ . Então a v.a.c. t, dada por
t =
z
,
U
ϕ
tem distribuição t, de Student com ν graus de liberdade. A expectância e a variância são dadas por:
E[t ] = 0
Var [t ] =
(10.23)
ϕ
(10.24)
ϕ−2
10.8 – Distribuição F, de Fisher
Sejam U e V duas variáveis aleatórias contínuas, tais que U ~ χ2ν e V ~ χ2η . Então a variável
aleatória W, definida por
W =
U ,
V
tem função densidade de probabilidade dada por:
ν + η 
Γ

 2   ν
f (W ) =
ν   η   η
Γ  Γ   
2 2



ν
ν −2
2
W
2
 ν 
 1 + η 


.
(10.25)
ν +η
2
A expectância e a variância são dadas por:
E [W ] =
η
η −2
(10.26)
Var [W ] =
2η 2 (ν + η − 2)
ν (η − 2) 2 (η − 4 )
(10.27)
10.9 – Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal
Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição binomial de parâmetros n e p. Para
valores muito grandes de n é possível substituir a distribuição binomial pela distribuição normal, quando
se deseja calcular determinada probabilidade, como P(X ≤ x), por exemplo. Neste caso basta calcular o
escore reduzido para x, dado por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
zx =
x C − np
.
np (1 − p )
65
(10.28)
Na fórmula (10.28), xC = x – 0,5 para calcular P(x ≤ X), e xC = x + 0,5 para calcular P(X ≤ x).
Exemplo 10.4 – A proporção de não conformidade de certo componente é igual a 4%. Em um lote de 500
unidades, qual a probabilidade de se encontrar no máximo 30 unidades não conformes ?
P(X ≤ 30) = P(XC ≤ 30,5) ; µ = (500)(0,04) = 20 ; σ2 = (500)(0,04)(0,96) = 19,2 ; σ = 4,3818.
O escore reduzido é zx = 2,39. Então P(X ≤ 30) = área(zx ≤ 2,39) = 0,5 + 0,4916 = 0,9916.
10.10 – Exercícios
10.10.1) Uma variável aleatória X é normalmente distribuída, com média igual a 5 e variância igual a 4.
Calcular as probabilidades:
a) P(5 ≤ X ≤ 7,5)
b) P(4,5 ≤ X ≤ 7,5)
c) P(5,8 ≤ X ≤ 8,5)
d) P(6,5 ≤ X )
e) P(X ≤ 7,5)
f) P(X ≤ 4,5)
10.10.2) Os diâmetros dos tubos produzidos por uma máquina são normalmente distribuídos, com média
igual a 49,7 mm e desvio padrão igual a 0,18 mm. Um cliente rejeita qualquer unidade com diâmetro
superior a 50,2 mm. Qual a probabilidade de uma unidade ser rejeitada ?
Resposta: 0,9973
10.10.3) O peso líquido dos potes de margarina de certa marca é normalmente distribuído, com média
igual a 500 g e desvio padrão igual a 8 g. Um cliente rejeitou 15% de um lote, alegando que o peso
líquido era inferior ao seu limite de tolerância. Quanto vale este limite ?
10.10.4) Um aeroporto registra em média cinco aterrissagens por hora. Qual a probabilidade de que o
intervalo entre duas aterrissagens seja superior a 20 minutos ?
Resposta: 0,1889
10.10.5) No exercício anterior, qual a probabilidade de que o intervalo de tempo seja inferior a 15
minutos?
10.10.6) Seja T uma variável aleatória contínua tal que T ~ Exp(λ). Verificar que E[T] = λ e Var[T] = λ2.
10.10.7) Seja X uma variável aleatória contínua com distribuição de Weibull, de parâmetros α e β.
Encontrar a expectância e a variância de X.
10.10.8) O tempo médio até a ocorrência da primeira falha em um componente é igual a 500 horas. O
fabricante oferece uma garantia de 200 horas. Qual a probabilidade de que a primeira falha ocorra dentro
deste prazo ?
Resposta: 0,6703
10.10.9) Seja uma variável aleatória X, tal que X ~ N(µ , σ2). Calcular:
a)
P(X ≤ µ + σ)
b) P(X ≤ µ + 2σ)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
c)
66
P(µ – σ ≤ X ≤ µ + σ)
d) P(µ – 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ)
10.10.10) Seja X uma variável aleatória contínua tal que X ~ χ27 . Determinar xc tal que:
a)
P(X ≤ xc ) = 0,95
b) P( xc ≤ X ) = 0,95
c)
P( xc ≤ X ) = 0,025
10.10.11) Uma empresa aérea registra um índice de 8% de desistência para determinado vôo. Para
compensar o prejuízo a empresa, que utiliza um avião com capacidade para 150 passageiros, costuma
vender 155 passagens. Qual a probabilidade de que haja excesso de lotação (overbooking) ?
Resposta: 0,0096
10.10.12) O tempo médio até a ocorrência da primeira falha em um componente é igual a 500 horas. O
fabricante oferece uma garantia de 200 horas. Um equipamento utiliza oito unidades deste componente.
Qual a probabilidade de no máximo duas unidades apresentarem defeito no prazo de garantia ?
10.10.13) Seja X uma v.a.c. com distribuição de Weibull, de parâmetros α = 0,0281 e β = 2,3499.
Calcular:
a) P(2,5 ≤ X )
b) P(X ≤ 3)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
67
Estatística – Notas de Aulas
11. INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Seja X uma variável aleatória, contínua ou discreta, com função densidade de probabilidade, ou
função de probabilidade dada por f (x | θ), onde θ é o parâmetro desconhecido. A inferência estatística é
o nome dado ao problema que tem por objetivo especificar um ou mais valores para θ, tendo como base
um conjunto de valores observados para a variável aleatória X.
Exemplo 11.1 – Seja X uma variável aleatória discreta, com distribuição de Bernoulli. Então a função de
probabilidade de X é:
f ( x | θ ) = θ x (1 − θ )1− x
Neste caso, o parâmetro desconhecido é θ.
11.1 – Estimadores e Estatísticas
Seja uma variável aleatória X. Uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição de X é uma
seqüência x1 , x2 , ... , xn de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com
função densidade, ou de probabilidade, f (x | θ). A função densidade, ou de probabilidade, conjunta é dada
por:
n
f ( x 1 , x 2 ,..., x n | θ ) =
∏
f ( xi | θ )
.
(11.1)
i =1
A função (11.1) também é denominada função de verossimilhança de θ correspondente à amostra:
 x1 
x 
X =  2.
 ... 
 
 xn 
A função de verossimilhança é denotada por:
L (θ ; X ) =
n
∏
f ( xi | θ )
.
(11.2)
i =1
Uma estatística é qualquer função da amostra, e que não depende de parâmetros desconhecidos.
Exemplo 11.2 – Seja X = [ x1 , ... , xn ]T uma amostra aleatória de uma variável aleatória X ,com f.d.p., ou
f.p., dada por f (x | θ). São exemplos de estatísticas:
a) X = 1
n
n
∑
xi .
b) X (1) = min( x1 ,..., x n ) .
i =1
Chama-se espaço paramétrico o conjunto Θ, no qual θ assume seus valores.
Exemplo 11.3 – Seja a variável aleatória X do exemplo 11.1. Neste caso o espaço paramétrico é o
conjunto Θ = {θ ; 0 ≤ θ ≤ 1}.
Um estimador para θ é qualquer estatística que assuma valores no espaço paramétrico Θ. Em
alguns casos o objetivo é a estimação de uma função g(θ). Então qualquer estatística que assume valores
apenas no conjunto de possíveis valores para g(θ) é um estimador para a função.
O erro quadrático médio (EQM) de um estimador θˆ é dado por:
EQM [θˆ ] = Var [θˆ ] − B 2 [θˆ ] .
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(11.3)
68
Estatística – Notas de Aulas
Na fórmula (11.3), B[θˆ ] = E [θˆ ] − θ é o viés, ou vício, do estimador. Se E [θˆ ] = θ , diz-se que o
estimador é não viciado, ou não viesado. Neste caso EQM [θˆ ] = Var [θˆ ] . Também, se lim B [θˆ ] = 0 ,
n→ ∞
diz-se que o estimador é assintoticamente não viesado.
Exemplo 11.4 – Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória X, tal que E[X] = µ
e Var[X] = σ2. Neste caso:
1
E[ X ] = E 
n
Então X = 1
n
n
∑
n
∑x
i =1
i
 1  n
 1
 = n E ∑ x i  = n

 i =1 
n
∑ E[ x
]= µ.
i
i =1
x i é um estimador não viesado para µ.
i =1
11.2 – Estimadores Eficientes
Seja θˆ o estimador para um parâmetro desconhecido θ. A eficiência do estimador em questão é
dada por:
e [θˆ ] =
LI [θ ]
.
Var [θˆ ]
(11.4)
Na fórmula (11.4), LI[θ] é o limite inferior da variância dos estimadores não viesados de θ. Se e [θˆ ] = 1 ,
diz-se que o estimador é eficiente.
11.3 – Estatísticas Suficientes
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória X, com f.d.p., ou f.p., dada
por f(x| θ). Quando se utiliza uma estatística para resumir as informações a respeito do parâmetro
desconhecido θ, deve-se evitar que haja perda de informação. Neste sentido, se existe uma estatística,
dada por T = T(x1 , x2 , ... , xn), que contém toda a informação fornecida por X, diz-se que T é uma
estatística suficiente para estimar θ. De acordo com Bolfarine e Sandoval (2001), diz-se que a estatística
T = T(x1 , x2 , ... , xn) é suficiente para θ, quando a distribuição condicional de x1 , ... , xn dado T é
independente de θ.
11.3.1 – Critério da Fatoração de Neyman
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória X, com f.d.p., ou f.p., dada
por f(x| θ), e função de verossimilhança L(θ ; X). Então a estatística T = T(x1 , x2 , ... , xn) é suficiente para
θ se, e somente se:
L(θ ; X) = h( x1 ,..., x n ) g θ (T ( x1 ,..., x n )) .
(11.5)
Na expressão (11.5), h é uma função que depende apenas de X e gθ depende de θ e de X apenas através de
T.
Exemplo 11.5 – Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com
distribuição de Poisson, isto é, X ~ P(θ). Então:
L (θ ; X ) =
n
∏
f (xi | θ )
i =1
e −θ θ x1 e −θ θ x n
L (θ ; X ) =
...
=
x1 !
xn!
n
1
e
n
− nθ
θ
∏x!
i
i =1
Neste caso:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
∑ xi
i =1
69
Estatística – Notas de Aulas
n
h (X ) =
1
e g θ (T ( X )) = e
n
− nθ
θ
∑ xi
i =1
. Então a estatística suficiente para θ é:
∏x!
i
i =1
T (X ) =
n
∑x
i
.
i =1
O critério da fatoração de Neyman é válido também no caso de funções multiparamétricas, isto é,
com mais de um parâmetro desconhecido.
11.4 – Família Exponencial
Seja uma variável aleatória X, com f.d.p., ou f.p., dada por f(x| θ). Diz-se que a distribuição de X
pertence à família exponencial se:
f ( x | θ ) = exp[ c (θ )T ( x ) + d (θ ) + S ( x )] .
(11.6)
Na forma (11.6), c e d são funções reais de θ, enquanto T e S são funções reais de x.
Exemplo 11.6 – Seja X uma v.a.d. com distribuição de Poisson, ou seja, X ~ P(θ). Então:
f (x |θ ) =
e −θ θ
x!
x
= exp[ −θ + x ln θ − ln x ! ] .
Neste caso, d(θ) = – θ ; c(θ) = ln θ ; S(x) = – ln x! ; T(x) = x.
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória X, com f.d.p., ou f.p., dada
por f(x| θ), pertencente à família exponencial. Então a distribuição conjunta de x1 , x2 , ... , xn é dada por:
f ( x1 ,..., x n | θ ) = exp[ C (θ )T ( X ) + D (θ ) + S ( X )] .
(11.7)
A distribuição conjunta também pertence à família exponencial:
T (X ) =
n
∑ T (x
i
S (X ) =
)
i =1
n
∑ S (x
i
)
i =1
De acordo com o critério da fatoração de Neyman, T(X) é uma estatística suficiente para estimar o
parâmetro desconhecido θ.
Exemplo 11.7 – Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com
distribuição de Poisson, ou X ~ P(θ). Então:
e −θ θ x1 e −θ θ x n
f ( x1 ,..., x n | θ ) =
...
=
x1 !
xn !
n
1
e
n
− nθ
θ
∑ xi
i =1
.
∏x!
i
i =1
T (X ) =
n
∑x
i =1
i


f ( x1 ,..., x n | θ ) = exp  ln



1
S (X ) = ln n
∏ xi !
1
n
∏
i =1


 n

− n θ +  ∑ x i  ln θ  .

 i =1 
xi !


C (θ ) = ln θ
i =1
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
D (θ ) = − n θ
70
Estatística – Notas de Aulas
11.5 – Método da Máxima Verossimilhança
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória X, com f.d.p., ou f.p., dada
por f(x|θ), pertencente à família exponencial. A função de verossimilhança de θ, correspondente à amostra
é dada por:
L (θ ; X ) =
n
∏
f (xi | θ )
i =1
O estimador de máxima verossimilhança de θ é o valor θˆ que maximiza a função de
verossimilhança. Em geral é mais prático trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança, isto é,
com a função log-verossimilhança, dada por:
n
l (θ ; X ) = ln( ∏ f ( x i | θ ) ) .
(11.8)
i =1
Desta forma o estimador do parâmetro θ é dado por:
∂ l (θ | X )
=0
∂θ
.
(11.9)
Exemplo 11.8 – Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com
distribuição de Poisson, ou X ~ P(θ). Então:
e −θ θ x1 e −θ θ x n
...
L (θ | X ) =
=
x1 !
xn !
n
1
e
n
− nθ
θ
∑ xi
i =1
∏x!
i
i =1
l (θ ; X ) = ln
1
n
∏
 n

− n θ +  ∑ x i  ln θ
 i =1 
xi !
i =1
∂
 n
1
l (θ ; X ) = − n +  ∑ x i  = 0
∂θ
 i =1  θ
O estimador de máxima verossimilhança de θ é:
θˆ =
1 n

 ∑ xi 
n  i =1 
⇒
θˆ = X .
Há situações nas quais a derivada (11.9) não apresenta solução analítica explícita. Neste caso
pode-se utilizar algum método numérico para obter o valor para o estimador de máxima verossimilhança.
Seja a função escore, dada por:
U (θ ) =
∂ l (θ | X )
∂θ
.
(11.10)
O método mais utilizado para obter a solução é o método de Newton-Raphson, que resulta na expressão:
θ k +1 = θ k −
U (θ k )
U ' (θ k )
.
(11.11)
11.6 – Distribuição Amostral da Média
Seja a variável aleatória X, associada a uma população de tamanho N, cujos parâmetros são a
média populacional, µ = E[X], e a variância populacional σ2 = Var[X]. Além disto, supõe-se que os dois
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
71
Estatística – Notas de Aulas
parâmetros são conhecidos. Sejam todas as possíveis amostras aleatórias, de tamanho n, extraídas da
população em questão. Se for calculada a média para cada uma das amostras, obtém-se uma distribuição
amostral da média, com expectância e variância dadas, respectivamente, por:
E[ X ] = µ
(11.12)
Var [ X ] =
σ
2
n
(11.13)
Seja a variância populacional dada por:
σ
2
=
1
N
N
∑ (x
i
2
− µ) .
(11.14)
i =1
Pode-se considerar como estimador para a variância populacional a estatística dada por:
σˆ 2 =
σˆ 2 =
σˆ 2 =
1 n
2
∑ (x i − X )
n i =1
1  n
∑ (x i − µ + µ − X
n  i =1
(11.15)
)
2
,


n
n
1 n
( x i − µ )2 − 2 ∑ (x i − µ )( X − µ ) + ∑ (X − µ )2  ,
∑

n  i =1
i =1
i =1

1  n
2 
2
2
σˆ =  ∑ ( x i − µ ) − n ( X − µ )  .
n  i =1

Desta forma:
1 n

∑ E [ x i − µ ] 2 − nE [ X − µ ] 2 
n  i =1
1 n

E [σˆ 2 ] =  ∑ Var [ x i ] − nVar [ X ]
n  i =1

E [σˆ 2 ] =

σ2
2
σ
n
−
n


n 

n −1 2.
E [σˆ 2 ] =
σ
n
E [σˆ 2 ] =
1
n
(11.16)
Com isto, observa-se que o estimador (11.15) possui um viés, dado por:
1
B (σˆ 2 ) = E [σˆ 2 ] − σˆ 2 = − σˆ 2 .
n
Um estimador não viesado é dado por
definido por:
(11.17)
2
n
σˆ 2 . Desta forma, um estimador não viesado para σ é
n −1
s2 =
n
1
(xi − X ) 2 .
∑
n − 1 i =1
(11.18)
11.6.1 – Erro Padrão
O erro padrão para a média amostral é definido como a raiz quadrada da variância, dada por
(11.13), isto é:
EP [ X ] =
σ
n
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
72
Estatística – Notas de Aulas
11.7 – Exercícios
11.7.1) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com distribuição
de Bernoulli, isto é:
f ( x | θ ) = θ x (1 − θ ) 1 − x .
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar uma estatística suficiente para estimar θ.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para θ.
11.7.2) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com distribuição
exponencial, isto é:
f (x | θ ) =
1
θ
e
−
x
θ
.
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar uma estatística suficiente para estimar θ.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para θ.
Respostas: b )
 n

T (X ) =  ∑ xi 
 i =1 
c ) θˆ = X .
11.7.3) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória discreta X, com distribuição
de Weibull, isto é:
f ( x | θ 1 , θ 2 ) = θ 1θ 2 x θ − 1 exp( − θ 1 x θ ) .
2
2
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar uma estatística suficiente para estimar θ = [θ1 , θ2]T .
c) Encontrar os estimadores de máxima verossimilhança para θ.
11.7.4) O fabricante de certo equipamento deseja estimar o tempo médio entre falhas. Para tanto,
observou o funcionamento do equipamento e registrou os tempos, em horas, entre as ocorrências das dez
primeiras falhas. Os valores são dados no quadro abaixo. Supondo que o tempo entre as falhas segue
distribuição exponencial, qual a probabilidade de que o tempo entre duas falhas seja superior a oito horas?
Falha
1
Tempo 5,5
Resposta: P(8 < t) = 0,3053.
2
8,5
3
7,0
4
9,0
5
8,5
6
6,0
7
6,5
8
5,0
9
7,0
10
5,0
11.7.5) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua X, X ~ N(µ,1).
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar uma estatística suficiente para estimar µ.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para µ.
11.7.6) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua X, X ~ N(0 , σ2).
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar a estatística suficiente para estimar σ2.
c) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para σ2.
Respostas: b )
 n 2
T ( X) =  ∑ xi 
 i =1

1 n 2
c ) θˆ = ∑ x i .
n i =1
11.7.7) Um criador de galinhas, que entrega ovos em embalagens de doze unidades, deseja estimar a
probabilidade de que uma embalagem seja entregue com mais de um ovo quebrado. O criador
inspecionou dez embalagens, cada uma com uma dúzia de ovos, e registrou o número de ovos quebrados.
Os valores são mostrados no quadro a seguir.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
73
Estatística – Notas de Aulas
Embalagem
Ovos quebrados
1
1
2
0
3
1
4
2
5
0
6
1
7
1
8
0
9
0
10
3
a)
Qual a distribuição de probabilidade da variável aleatória X, que representa o número de ovos
quebrados em uma embalagem ?
b) Qual a estatística suficiente para estimar o parâmetro desconhecido θ ?
c) Estimar o parâmetro desconhecido θ.
d) Qual a probabilidade de uma embalagem apresentar mais de um ovo quebrado ?
e) Quanto vale a expectância de X ?
11.7.8) O processo de fabricação de determinado componente mecânico apresenta uma elevada taxa de
rejeição. O componente é entregue ao cliente em lotes de cinco unidades. O fabricante está interessado
em descobrir o número de unidades produzidas até que se obter as cinco unidades. O quadro a seguir
mostra o número de unidades produzidas para atender aos dez primeiros pedidos.
Pedido
Unidades produzidas
1
8
2
7
3
7
4
6
5
8
6
9
7
5
8
6
9
7
10
7
a)
Caracterizar a variável aleatória X, que representa o número de unidades produzidas até se obter
as cinco unidades necessárias.
b) Qual a estatística suficiente para estimar o parâmetro desconhecido θ ?
c) Estimar o parâmetro desconhecido θ.
d) Qual a quantidade média necessária para atender cada pedido ?
e) Se o custo para produzir uma unidade é de R$ 100,00, qual o custo médio para produzir um lote?
Respostas:
a) X é variável aleatória discreta com distribuição de Pascal. Então f ( x | θ ) =  x − 1 θ 5 (1 − θ ) x − 5 .
5 −1


b)
 10

T (X) =  ∑ xi 
 i =1 
c ) θˆ = 5 X
−1
d) E(X) = 5,8
e) Custo médio = R$ 580,00.
11.7.9) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua X, tal que:
f (x | θ ) =
x +1
 x
exp  − 
θ (θ + 1 )
 θ
a) Mostrar que a função pertence à família exponencial.
b) Encontrar a estatística suficiente para estimar θ.
c) Encontrar o estimadore de máxima verossimilhança para θ.
11.7.10) Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da v. a. c. X, 0 ≤ X ≤ 1, e seja a função dada por:
f ( x | θ ) = θ x θ −1 .
a)
b)
c)
d)
Calcular a expectância e a variância de X.
Se a função é uma f.d.p., verificar se pertence à família exponencial.
Encontrar, caso exista, uma estatística suficiente para estimar o parâmetro desconhecido.
Encontrar, se existir, o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro desconhecido.
a) E [ X ] =
θ
θ +2
,
Var [ X ] =
θ ( 2θ − 1)
(θ + 2 )( θ + 1) 2
b) Sim.
c) T ( X ) =
n
∑ ln x
i
.
i =1
Referências
Bolfarine, H., Sandoval, M.C., Introdução à Inferência Estatística. Sociedade Brasileira de Matemática.
Rio de Janeiro, RJ. 2001.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
74
Estatística – Notas de Aulas
12. INTERVALOS DE CONFIANÇA
Os estimadores estudados até aqui são denominados pontuais, uma vez que especificam um
único valor para o estimador. Este método, embora correto, impede uma avaliação mais precisa do erro
cometido no processo. Para aumentar a informação a respeito do valor do estimador pode-se utilizar a
estimação por intervalo de confiança. Tal intervalo é construído com relação à média amostral, e permite
especificar a probabilidade de que o valor do parâmetro desconhecido pertença ao intervalo em questão.
O nível de confiança associado a um intervalo de confiança indica a percentagem de intervalos que
incluiriam o valor do parâmetro que se deseja estimar.
12.1 – Intervalo de Confiança para a Média
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da v. a. c. X, com distribuição normal, com
variância σ2 . Então um intervalo de confiança para a média populacional µ é dado por:
σ
σ .

; X + zα
 X − zα 2

2
n
n

(12.1)
Na expressão (12.1), α = 1 – β, onde β é o nível de confiança desejado. O valor de α é tal que:
σ
σ 

.
P  X − zα
≤ µ ≤ X + zα
 = β
2
2
n
n

(12.2)
Exemplo12.1 – Sabe-se que o peso da semente de certa espécie de planta é normalmente distribuído, com
variância igual a 0,25 g. Uma amostra de 15 sementes apresentou os pesos mostrados no quadro a seguir.
Construir um intervalo de 95% de confiança para estimar o peso médio das sementes da planta em
questão.
Observação
Peso (g)
1
8,0
2
7,5
3
6,7
4
7,2
5
8,0
6
7,1
7
7,8
8
7,2
9
6,8
10
7,3
11
6,6
12
8,2
13
8,1
14
7,4
15
6,9
Neste caso, σ2 = 0,25. A média amostral é X = 7 ,3867 . Como o nível de confiança desejado é β = 0,90,
α = 0,05. Isto significa que α deve ser tal que:

0 ,5
0 ,5 
.
P  7 , 3867 − z α
≤ µ ≤ 7 , 3867 + z α
 = 0 , 90
2
2
15
15 

A tabela da distribuição normal mostra que esta probabilidade é obtida para z = 1,645. Então o intervalo
de confiança procurado é:

0 ,5
0 ,5 
P  7 , 3867 − 1, 645
≤ µ ≤ 7 , 3867 + 1, 645
 = 0 , 90
15
15 

P [7 , 3867 − 0 , 2124 ≤ µ ≤ 7 , 3867 + 0 , 2124
]=
0 , 90
P [7 ,1743 ≤ µ ≤ 7 , 5991 ] = 0 , 90 .
Os níveis de confiança, e os respectivos valores críticos, mais utilizados na prática são mostrados
no Quadro 12.1.
Quadro 12.1 – Níveis de confiança.
β 0,90 0,95 0,99
zc 1,645 1,96 2,58
12.1.1 – Intervalo de Confiança para a Média, com σ2 Desconhecida.
No exemplo anterior a variância populacional é conhecida. Entretanto, tal fato não é freqüente na
prática, quando não se dispõe de informação a respeito da variância populacional. Em situações com esta
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
75
Estatística – Notas de Aulas
deve-se utilizar a variância amostral. Neste caso os valores para determinação da probabilidade
correspondente ao nível de confiança desejado são dados pela distribuição t, de Student.
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da v. a. c. X, com distribuição normal, com
média e variância desconhecidas. Então um intervalo de confiança para a média populacional µ é dado
por:

 X − tc

s
n
s .

n
; X + tc
(12.3)
Na expressão (12.3) o valor de tc é obtido na tabela da distribuição t, de Student, com φ = n – 1 graus de
liberdade.
Exemplo 12.2 – O Quadro 5.1 mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”. Construir um intervalo de 95% de
confiança para o teor médio.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Aqui, a média e o desvio padrão amostrais são: X = 3,2286 e s = 0,5376 . Como o nível de confiança
desejado é 95%, o valor procurado para tc é: t(α = 0,025 ; φ = 7 – 1 = 6) = 2,4469. Então o intervalo é:

0 ,5376
0 ,5376 
P  3 ,2286 − 2 ,4469
≤ µ ≤ 3 ,2286 + 2 ,4469
 = 0 ,95
7
7 

P [3 , 2286 − 0 , 4972 ≤ µ ≤ 3 , 2286 + 0 , 4972
P [2 , 7314 ≤ µ ≤ 3 , 7258
]=
]=
0 , 95
0 , 95 .
12.2 – Intervalo de Confiança para a Proporção
Seja uma variável aleatória discreta X, associada a uma população na qual se observa a
ocorrência de certo evento. Seja p a proporção de sucessos na população em questão. Neste caso a
variável X é tal que:
 0 , insucesso
X = 
1 , sucesso
.
Então a expectância e a variância de X são dadas por: E ( X ) = p e Var ( X ) = p (1 − p ) , respectivamente.
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória extraída da população referida anteriormente, e
seja Xn o total de sucessos na amostra. Então Xn tem distribuição binomial com parâmetros n e p. A
proporção de sucessos na amostra é dada por:
pˆ =
Xn .
n
Conforme foi visto em 10.9, a distribuição binomial, da variável Xn , pode ser aproximada pela
distribuição normal, isto é:
X n ~ N ( np , np (1 − p ) .
Além disto,
p (1 − p )  .

pˆ ~ N  p ,

n


Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
76
Estatística – Notas de Aulas
O intervalo de confiança para a proporção p, com nível β de confiança, é dado por:

P  pˆ − z α
2

pˆ (1 − pˆ ) 
.
 = β
n

p (1 − p )
≤ p ≤ pˆ + z α
2
n
(12.4)
Exemplo 12.3 – Efetuou-se uma inspeção em uma amostra de 15 unidades de certo produto. Seja X a
v.a.d. que representa a ocorrência de alguma não conformidade, ou seja, X = 0, se a unidade é conforme,
ou X = 1, caso esteja fora de conformidade. O resultado da inspeção é mostrado no quadro a seguir.
Construir um intervalo de 90% de confiança para a proporção de não conformidade do produto.
Unidade
X
1
0
2
0
3
0
4
1
5
0
6
1
7
0
8
0
9
0
10
0
11
0
12
0
13
0
14
0
15
1
A proporção de sucessos é: pˆ = 3 = 0 , 2 . Para o nível β = 90%, z = 1,645. Então o intervalo é:
15

( 0 , 2 )( 1 − 0 , 2 )
( 0 , 2 )( 1 − 0 , 2 ) 
P  0 , 2 − (1, 645 )
≤ p ≤ 0 , 2 + (1, 645 )
 = 0 , 90
15
15


P [0 , 2 − 0 ,1699 ≤ p ≤ 0 , 2 + 0 ,1699 ] = 0 , 90
P [0 , 0301 ≤ p ≤ 0 , 3699 ] = 0 , 90 .
12.3 – Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias
Na prática, a necessidade de comparar duas médias populacionais pode ser observada em
experimentos em áreas como medicina e agronomia, por exemplo. Aqui são consideradas duas
populações, supostamente com distribuição normal, com médias e variâncias dadas por µ1 e σ12, para a
primeira população, e µ2 e σ22, para a segunda população. Uma questão importante diz respeito à
igualdade das variâncias populacionais. Uma prática comum é utilizar a variância ponderada para a
construção do intervalo de confiança para a diferença de duas médias. Sejam duas amostras aleatórias das
populações de interesse, X1 = [x11 , x12 , ... , x1n1 ]T e X2 = [x21 , x22 , ... , x2n2]T, com médias e variâncias
dadas por X 1 e s12 e X 2 e s 22 , respectivamente. Então o intervalo de confiança para a diferença
das duas médias populacionais é dado por:

σˆ (2X 1 − X 2 ) σˆ (2X 1 − X 2 )
σˆ (2X 1 − X 2 ) σˆ (2X 1 − X 2 )
P ( X 1 − X 2 ) − t c
+
≤ (µ 1 − µ 2 ) ≤ ( X 1 − X 2 ) + t c
+

n1
n2
n1
n2


=β


(12.5)
O erro padrão para a diferença das médias é dado por:
σˆ (2X
1
−X
2
)
=
( n 1 − 1) s 12 + ( n 2 − 1) s 22 .
n1 + n 2 − 2
(12.6)
O valor de tc é obtido diretamente na tabela da distribuição t, de Student, com φ = n1 + n2 – 2 graus de
liberdade.
Exemplo 12.3 – O Quadro 12.2 mostra os teores de ferro observados em amostras de óleo cru, uma
oriunda de argila Wilhelm e outra de argila sub-mulinia. Construir um intervalo de 95% de confiança para
a diferença dos teores médios das duas amostras.
Quadro 12.2 – Teores de ferro (%) em amostras de óleo cru.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Wilhelm
51 49 36 45 46 43 35
Sub-Mulinia 47 32 12 17 36 35 41 36 32 46 30
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
77
Estatística – Notas de Aulas
As médias e variâncias são: X 1 = 43,57
O erro padrão é dado por: σˆ 2
(X
1−
X2)
=
e
s12 = 37,2857 ; X 1 = 33,0909 e
s 22 = 115,8909 .
( 7 − 1)( 37 , 2857 ) + (11 − 1)(115 ,8909 )
= 86 , 414 .
7 + 11 − 2

86 ,414 86 ,414
86,414 86 ,414 
P 10 ,4791 − ( 2,1199 )
+
≤ ( µ 1 − µ 2 ) ≤ 10 ,4791 + ( 2,1199 )
+
 = 0,95
7
11
7
11 

P [10 , 4791 − 9,5279 ≤ ( µ 1 − µ 2 ) ≤ 10 , 4791 + 9,5279 ] = 0,95
P [0,9512 ≤ ( µ 1 − µ 2 ) ≤ 20 ,0070 ] = 0,95 .
12.4 – Intervalo de Confiança para a Diferença de Proporções
Sejam duas populações com proporções p1 e p2 de sucessos. Sejam duas amostras, de tamanhos
n1 e n2, e proporções p̂ 1 e p̂ 2 de sucessos, respectivamente. O intervalo de confiança para a diferença das
duas proporções populacionais é dado por:

πˆ (1 − πˆ ) πˆ (1 − πˆ )
πˆ (1 − πˆ ) πˆ (1 − πˆ ) 
. (12.7)
P ( pˆ 1 − pˆ 2 ) − z c
+
≤ ( p1 − p 2 ) ≤ ( pˆ 1 − pˆ 2 ) + z c
+
=β
n1
n2
n1
n2


Na expressão (12.7): πˆ = n 1 pˆ 1 + n 2 pˆ 2 .
n1 + n 2
Exemplo 12.4 - Em set/2006 foi publicado um estudo sobre os efeitos do medicamento Celecoxib sobre o
câncer de cólon e reto. O estudo envolveu 1561 pacientes, dos quais 933 utilizaram o medicamento,
enquanto os demais foram tratados com placebo. No grupo tratado com o medicamento, 314
apresentaram lesões típicas da moléstia. Entre o grupo tratado com placebo, a doença foi detectada em
309 pacientes. Construir um intervalo de 95% para a diferença de proporções de incidência da doença
entre os pacientes tratados com o medicamento e os pacientes tratados com placebo.
pˆ 1 =
314 + 309
309
314
= 0 , 3991 .
= 0 , 4920 (placebo), pˆ 2 =
= 0 , 3365 (medicamento) , πˆ =
933 + 628
628
933

0,2398 0,2398
0, 2398 0,2398 
P 0,155 − (1,96 )
+
≤ ( p1 − p 2 ) ≤ 0,155 + (1,96 )
+
=β
933
628
933
628 

P [0,155 − 0,0495 ≤ ( p 1 − p 2 ) ≤ 0,155 + 0,0495 ] = 0,95
P [0,1055 ≤ ( p 1 − p 2 ) ≤ 0, 2045 ] = 0,95 .
Então o índice de incidência da doença no grupo tratado com placebo é de 10,55% a 20,45% superior ao
índice verificado no grupo tratado com o medicamento, com 95% de confiança.
12.5 – Intervalo de Confiança para a Variância
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da v. a. c. X, com distribuição normal, com
média e variância desconhecidas. Então um intervalo de confiança para a variância populacional σ2 é
dado por:
( n − 1) s 2
2
χα
2
, n −1
≤σ
2
≤
( n − 1) s 2
χ 12− α
.
(12.8)
, n −1
Na fórmula (12.8), α = 1 – β.
Exemplo 12.5 – O Quadro 5.1 mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”. Construir um intervalo de 95% de
confiança para a variância.
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
7
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9 2,7
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
78
Estatística – Notas de Aulas
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Aqui, a média e o desvio padrão amostrais são: X = 3,2286 e s = 0,5376 . Como o nível de confiança
desejado é 95%, os valores procurados para χ2 são: χ2( 0,025 ; 6 ) = 14,449 e χ2( 0,95; 6 ) = 1,635. Então:
( 7 − 1)( 0 , 5376 ) 2
( 7 − 1)( 0 , 5376 ) 2
≤σ 2 ≤
14 , 449
1, 237
P [ 0 ,1200 ≤ σ 2 ≤ 1, 4018 ] = 0 , 95 .
12.6 – Determinação do Tamanho de uma Amostra
A coleta de dados pode ser precedida do cálculo do tamanho mínimo da amostra necessária para
estimar a média ou a proporção. Neste caso deve-se especificar o nível de confiança desejado e o erro
aceitável.
12.6.1 – Tamanho da Amostra para Estimar a Média
Há duas situações a considerar, ambas relativas ao tamanho da população, que pode ser
conhecido ou não. No primeiro caso, o tamanho mínimo da amostra é dado por:
n ≥
Nz c2 s 2
ε ( N − 1 ) + z c2 s 2
2
.
(12.8)
Na fórmula (12.8): N = tamanho da população; s2 = estimador para a variância populacional, calculado a
partir de uma amostra piloto; zc = valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado; ε = erro
máximo admitido para a estimativa da média.
Quando o tamanho da amostra é desconhecido, o tamanho da amostra pode ser calculado por:
n≥
z c2 s 2
.
ε2
(12.9)
Exemplo 12.5 – Uma empresa de serviços deseja estimar o valor médio das contas, com um nível de
confiança de 95% e admitindo um erro máximo de R$ 2,00, a mais ou a menos. Uma amostra piloto
apresentou os valores mostrados no quadro a seguir. Determinar o tamanho mínimo da amostra necessária
à estimação.
Observação
Valor (R$)
1
85,50
2
86,30
3
69,40
4
85,60
5
72,30
6
98,80
7
78,90
8
69,50
9
64,20
10
85,30
Nível de confiança: β = 0,95 → zc = 1,96. Erro: ε = 2. O valor estimado para a variância é s2 = 112,6464.
Então:
n≥
(1,96 ) 2 (112 ,6464 ) 2
≅ 109 .
22
12.6.2 – Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção
Assim como no caso anterior, há duas situações:
1. Tamanho da população conhecido: n ≥
Nz c2 pˆ (1 − pˆ )
.
ε ( N − 1 ) + z c2 pˆ (1 − pˆ )
2. Tamanho da população desconhecido: n ≥
2
z c2 pˆ (1 − pˆ )
ε2
.
Nos dois casos, p̂ é o estimador da proporção populacional, obtido a partir de uma amostra piloto.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
79
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 12.6 – Uma empresa deseja estimar o percentual de clientes dispostos a aceitar uma alteração
contratual. Um levantamento preliminar apontou 35% de concordância. A empresa deseja que a
estimativa tenha um erro máximo de 4%, e um nível de 95% de confiança. Qual deve ser o tamanho
mínimo da amostra ?
(1 , 96 ) 2 ( 0 , 35 )( 1 − 0 , 35 )
0 , 8740
n ≥
=
≅ 546 .
( 0 , 04 ) 2
0 , 0016
12.7 – Exercícios
12.7.1) O quadro a seguir mostra os preços de venda observados para um determinado modelo de veículo
usado. Construir um intervalo de 95% de confiança para o preço médio do produto.
Anúncio
Valor (R$10000,00)
1
2,5
2
2,4
3
2,38
4
2,45
5
2,35
6
2,5
7
2,45
8
2,35
9
2,45
10
2,38
12.7.2) Uma técnica utilizada no diagnóstico de esclerose múltipla consiste em produzir um estímulo
visual sobre cada um dos olhos. Em seguida anota-se a diferença entre os tempos de resposta observados
para cada um dos olhos. O quadro a seguir mostra os valores observados para 15 portadores (diagnóstico
positivo) e 15 não portadores (diagnóstico negativo) da doença. Construir um intervalo de 95% de
confiança para a diferença dos tempos médios de resposta entre os dois grupos.
Quadro 12.3 – Diferenças de tempos de resposta a um estímulo visual para diagnóstico de esclerose
múltipla.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14 15
Negativo
1,6 0,4 3,2 0,8
1,6 3,2 4,8 1,6
3,2 2,8 1,6 0,8 2,4 3,4 0,6
Positivo
0,8 3,2 8,0 14,2 12,8 6,8 3,4 29,2 18,4 1,6 1,8 9,2 16,8 8,0 4,6
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
12.7.3) A vacina Salk, contra poliomielite, foi desenvolvida no início da década de 50, e sua eficácia foi
colocada à prova em 1954. Para tanto, foram formados dois grupos, cada um com 200000 crianças. A um
dos grupos foi ministrada a vacina, enquanto ao outro grupo foi ministrado um placebo. No primeiro
grupo a doença manifestou-se em 33 crianças, o mesmo acontecendo com 115 crianças do segundo grupo.
Construir um intervalo de 95% de confiança para a diferença de proporções entre os dois grupos.
12.7.4) O New England Journal of Medicine, v. 318, no. 4, publicou um estudo sobre os efeitos da
Aspirina na prevenção de ataques cardíacos. O experimento envolveu 22131 médicos, que foram
monitorados durante seis anos. O medicamento foi ministrado em doses regulares a 11097 médicos,
enquanto 11034 médicos tomaram placebo. Ao final do período de acompanhamento verificou-se que 104
médicos do primeiro grupo sofreram ataque cardíaco, contra 189 médicos do grupo que ingeriu placebo.
Construir um intervalo de 95% de confiança para a diferença de proporções nos dois grupos.
12.7.5) A tabela a seguir mostra a distribuição de freqüências dos comprimentos das sépalas de 150
exemplares de flores íris.
a) Construir um intervalo de 95% de confiança para o comprimento médio.
b) Construir intervalo de 95% de confiança para a variância.
Classe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Comprimento (mm)
43 |-- 47
47 |-- 51
51 |-- 55
55 |-- 59
59 |-- 63
63 |-- 67
67 |-- 71
71 |-- 75
75 |-- 79
Total
Flores
9
23
19
28
20
23
16
6
6
150
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
80
Estatística – Notas de Aulas
12.7.6) Um comerciante deseja estimar o valor médio gasto por cliente. De estudos anteriores, sabe-se
que o desvio padrão pode ser estimado em R$ 1,85. Admite-se um erro de R$ 0,50 e deseja-se um nível
de confiança de 95%. Qual o tamanho mínimo da amostra necessária ?
Resposta: n ≥ 53
12.7.7) Uma pesquisa eleitoral publicada em agosto de 2007, junto a 1091 eleitores paulistanos, apontou
que 24% dos entrevistados pretendem votar na candidata Marta Suplicy, nas próximas eleições
municipais. Construir um intervalo de 95% de confiança para o percentual de votos da candidata.
Resposta: P[0,2147 ≤ p ≤ 0,2653] = 0,95.
12.7.8) O fabricante de um produto efetuou uma pesquisa para avaliar a renda dos seus clientes. Uma
amostra de 12 clientes apresentou os valores mostrados no quadro a seguir. Construir um intervalo de
95% de confiança para a renda média.
Cliente
Renda (R$1000,00)
1
1,5
2
2,9
3
2,8
4
2,5
5
3,3
6
3,5
7
3,5
8
4,5
9
4,4
10
3,8
11
4,8
12
3,9
Resposta: P[2,86 ≤ µ ≤ 4,04] = 0,95.
12.7.9) O quadro a seguir mostra os teores de ácido palmítico observados em sete amostras de azeite.
a) Construir um intervalo de 95% de confiança para a média.
b) Idem para a variância.
Amostra
Teor (%)
1
14,9
Respostas: a) P[9,92 ≤ µ ≤ 13,13] = 0,95.
2
9,3
3
10,9
4
10,5
5
12,0
6
11,7
7
11,4
b) P[1,28 ≤ σ2 ≤ 14,60] = 0,95.
12.7.10 – O quadro a seguir mostra os teores de ácido esteárico observados em amostras de óleos vegetais
de diferentes origens. Construir um intervalo de 95% de confiança para a diferença dos teores médios
observados nas amostras de óleo de:
a) Oliva e colza.
b) Colza e girassol.
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Oliva
14,9
9,3
10,9
10,5
12,0
11,7
11,4
Origem
Colza
Milho
9,6
4,5
9,7
4,8
10,0
4,8
10,2
5,1
10,4
5,1
10,5
5,1
10,5
5,4
10,5
5,5
10,9
5,7
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Girassol
9,7
9,8
9,8
9,3
11,5
12,2
13,1
10,5
Estatística – Notas de Aulas
81
13. CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO (CEP)
O Controle Estatístico de Processo (CEP) é uma técnica muito utilizada no Controle Estatístico
de Qualidade. De modo informal, pode-se dizer que é um conjunto de métodos estatísticos empregados
com a finalidade de manter as variações de um processo dentro de certos limites, chamados limites de
tolerância. Para melhor compreender as propriedades do CEP, deve-se ter em mente o conceito de
qualidade, aqui entendida como a capacidade de um produto, ou serviço, de superar as expectativas do
cliente. Na seqüência serão apresentados os principais métodos empregados no CEP.
13.1 – Conceitos
13.1.1 – Qualidade
O conceito de “qualidade” é extremamente subjetivo, variando de indivíduo para indivíduo.
Todavia, não há como negar que o termo está diretamente relacionado à satisfação do cliente, ou usuário,
de um produto, ou serviço. Uma das definições mais utilizadas na prática é dada a seguir:
“Qualidade é a capacidade que um produto apresenta de superar as expectativas do cliente”.
Em qualquer aplicação das técnicas de qualidade é imprescindível que se definam, em primeiro
lugar, os parâmetros de qualidade. Uma vez que se tenha isto em mente, os trabalhos subseqüentes
deverão ter tal parâmetro como foco.
13.1.2 – Processo
O conceito mais frequëntemente adotado na prática é conhecido por 6 M’s , e envolve os
seguintes elementos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Material
Mão de obra
Máquina
Meio ambiente
Método
Meio de medição
13.1.3 – Controle
É um conjunto de técnicas adotadas com objetivo de garantir que determinados padrões,
previamente estabelecidos, sejam alcançados.
13.1.4 – Tolerância
É a maior diferença admitida entre um padrão estabelecido (parâmetro) e um padrão alcançado.
A tolerância pode ser:
1.1.4.1 – Bilateral: Quando admite tanto uma diferença positiva como negativa. O diâmetro de um eixo,
por exemplo, pode ser especificado como 105 mm ± 0,3 mm. Neste caso admite-se que o diâmetro varie
de 104,7 mm até 105,3 mm.
13.1.4.2 – Unilateral: Quando admite a diferença em apenas um sentido. No exemplo citado acima, a
especificação poderia ser 105 mm + 0,3 mm. Neste caso qualquer unidade com diâmetro inferior a 105
mm seria rejeitada.
13.1.5 – Característico
É o termo usado para designar qualquer elemento que esteja sendo estudado na busca da
qualidade. Assim, p.ex., o diâmetro de um eixo e o conteúdo de uma lata de refrigerante podem ser
considerados característicos de qualidade.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
82
Estatística – Notas de Aulas
13.1.6 – Variação
No Controle Estatístico de Processo as variações são classificadas como:
13.1.6.1 – Aleatórias: São as variações inerentes ao processo de fabricação. Este tipo de variação não
pode ser eliminado. Neste caso o que se pretende é a manutenção de tais variações dentro de certos
limites. Diz-se que um processo está sob controle quando as variações aleatórias estão dentro dos limites
acima referidos.
13.1.6.2 – Causais: São as variações estranhas ao processo, indicando um desvio do processo com relação
aos parâmetros do projeto. A eliminação de tais variações é o principal objetivo do CEP.
13.2 – Diagrama de Pareto
A primeira etapa a ser cumprida na busca de melhoria na qualidade deve ser o levantamento dos
problemas existentes. Tal procedimento visa identificar os problemas que ocorrem com maior freqüência,
permitindo que sejam abordados em primeiro lugar. Deste modo as ações têm resultados mais efetivos.
Uma técnica muito usada nesta primeira fase é conhecida como diagrama de Pareto. Este diagrama é
uma forma de representar graficamente os resultados do levantamento já mencionado, e consiste de um
gráfico de colunas, cada uma representando uma ocorrência, apresentadas em ordem decrescente de
freqüências.
Exemplo 13.1 – O quadro a seguir mostra os problemas apresentados por um determinado produto, bem
como as suas freqüências.
Quadro 13.1 – Problemas detectados em certo produto.
Problema
Freqüência absoluta Freqüência relativa
Vazamento de óleo
46
35,38%
Folga no mancal
32
24,62%
Superaquecimento
20
15,38%
Oxidação do bocal mestre
12
9,23%
Vibração no cabeçote
8
6,15%
Outras
12
9,23%
O diagrama de Pareto correspondente é mostrado na Figura 13.1.
O
ut
ra
s
V
ib
ra
çã
o
O
xi
da
çã
o
Freqüência Relativa
S
up
F
er
aq olg
a
ue
ci
m
en
to
V
az
am
en
to
50
40
30
20
10
0
Figura 13.1 – Diagrama de Pareto para os Dados do Quadro 13.1
13.3 – Diagrama de Ishikawa
Também é chamado de gráfico de causa – efeito e gráfico espinha de peixe. É utilizado para
analisar as causas do problema a ser resolvido, sempre com relação a cada um dos seis elementos
envolvidos no processo. A sua forma é mostrada na Figura 13.2. Para elaboração do diagrama
correspondente a determinado problema, deve-se considerar as opiniões de todos os envolvidos no
processo. Para tanto deve-se promover encontros nos quais todos possam expressar suas opiniões.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
83
Estatística – Notas de Aulas
Máquina
Mão de Obra
Meio Ambiente
Problema
Método
Meio de Medição
.
Material
Figura 13.2 – Estrutura do Diagrama de Ishikawa.
Exemplo 13.2 – Um exemplo de diagrama de Ishikawa para o problema vazamento de óleo, do exemplo
anterior é mostrado na Figura 13.3.
Máquina
Vibrando
Mão de Obra
Meio Ambiente
Sem treinamento
Poeira
Vazamento de óleo
Posição de difícil acesso
Método
Junta ressecada
Meio de Medição
Material
Figura 13.3 – Exemplo de Diagrama de Ishikawa para o vazamento de óleo.
13.4 – Gráfico de Controle para Média e Amplitude
Também chamado carta de controle, é formado por três linhas paralelas ao eixo das abscissas. A
intermediária é chamada “linha média” (LM). As outras duas são chamadas “limites de controle”. A
região compreendida entre os limites de controle é chamada “zona de controle”. As regiões abaixo do
limite inferior de controle (LIC) e acima do limite superior de controle (LSC) são denominadas “zonas de
ação”. Quando usados de forma adequada os gráficos de controle proporcionam benefícios como:
1) Auxiliar os operadores a atingir e manter o controle de um processo.
2) Proporcionar uma linguagem comum para acompanhar o desempenho do processo.
3) Ajudar a tornar o processo mais consistente e previsível.
Medidas
Zona de ação
LSC
Zona de controle
LM
Zona de controle
LIC
Zona de ação
Amostras
Figura 13.4 – Estrutura de um Gráfico de Controle.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
84
Estatística – Notas de Aulas
Diz-se que um processo está sob controle quando nenhum ponto correspondente a uma medida
está fora da zona de controle. Caso um ponto fique fora dos limites de controle, diz-se que o processo está
fora de controle, o que indica a ocorrência de uma variação causal naquele ponto. Adiante serão
apresentadas outras situações que indicam a ocorrência de variações causais, mesmo que nenhum ponto
esteja fora da zona de controle.
As etapas para a construção do gráfico da média e da amplitude, denotado por ( x − R ) são
dadas a seguir.
1) Determinar a quantidade ( k ) de amostras.
2) Determinar o tamanho ( n ) das amostras.
3) Para cada amostra calcular a média aritmética:
n
∑
x
j
j
i
= X
(13.1)
j = 1,2 ,..., k
n
4) Para cada amostra calcular a amplitude:
R
X
i =1
=
− X
j (n)
(13.2)
j (1 )
k
∑x
5) Calcular a média das médias:
x=
j
j =1
(13.3)
k
k
∑R
6) Calcular a média das amplitudes:
R=
j
j =1
(13.4)
k
7) Calcular os limites de controle para o gráfico da média:
LSC = x + A2 R
Limite Superior de Controle:
LM = x
(13.6)
LIC = x − A2 R
(13.7)
Linha Média:
Limite Inferior de Controle:
(13.5)
8) Calcular os limites de controle para o gráfico da amplitude:
Limite Superior de Controle:
LSC R = R.D4
(13.8)
LM R = R
(13.9)
Linha Média:
LIC R = R.D3
Limite Inferior de Controle:
(13.10)
As constantes A2 , D3 e D4 são dadas no quadro 13.2.
Quadro 13.2 – Constantes Multiplicativas para o Gráfico
n
D4
D3
D2
A2
2
3,27
1,13
1,88
3
2,57
1,69
1,02
4
2,28
2,06
0,73
5
2,11
2,33
0,58
6
2,00
2,53
0,48
7
1,92
0,08
2,70
0,42
8
1,86
0,14
2,85
0,37
x−R
9
1,82
0,18
2,97
0,34
10
1,78
0,22
3,08
0,31
Para amostras com menos de sete unidades considera-se que não há limite inferior para o gráfico
da amplitude.
Exemplo 13.3: A seguir são mostrados os valores observados para um determinado característico de
qualidade. Por comodidade foram anotados apenas os valores decimais, isto é, se o valor observado foi
85,92 mm, anotou-se apenas “2”. Esta é uma prática bastante comum, e não compromete os resultados
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
85
Estatística – Notas de Aulas
finais. No total foram observadas 20 amostras, cada uma com cinco elementos. O objetivo é construir o
gráfico
x− R.
Amostra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
X1
2
1
6
3
2
4
4
2
5
5
3
4
3
2
3
2
2
1
0
2
X2
1
2
1
3
3
3
2
5
4
4
2
2
1
3
4
4
3
2
0
1
X3
3
1
2
2
2
3
3
1
1
4
4
5
4
3
2
3
1
2
0
1
X4
4
3
2
2
3
4
2
5
4
2
1
2
3
2
2
1
2
3
2
1
Quantidade de amostras: k =
Média das médias:
X5
5
2
2
2
1
1
2
2
3
1
1
4
3
4
3
3
3
5
2
2
3
R
4
2,2
2
3,2
4
2,8
2
1,4
1
x
Tamanho das amostras:
Amplitude média:
A2 =
D3 =
n=
D4 =
Grafico X barra - R para os dados do exemplo 8.03.
5
UCL = 4,16
4
CTR = 2,54
LCL = 0,92
3
2
1
0
0
4
8
12
16
20
Amostras
Causas especiais:
Gráfico para a amplitude
6
UCL = 5,92
5
CTR = 2,80
4
LCL = 0,00
3
2
1
0
0
4
8
12
16
20
Amostras
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
86
13.4.1 – Interpretação do Gráfico de Controle
A ocorrência de um ponto fora da zona de controle indica uma variação causal, o que exige uma
intervenção no processo. Entretanto, é possível que tenha ocorrido um erro de medição, ou mesmo de
plotagem. Também é possível que o instrumento de medição foi trocado, ou sofreu alguma avaria. Outro
ponto a ser ressaltado é que todas as medições devem ser efetuadas por uma mesma pessoa, a fim de
evitar erros de observação.
Além da ocorrência de pontos fora da zona de controle, deve-se prestar atenção à possível
ocorrência de determinados padrões, descritos a seguir.
1.
Uma seqüência crescente de três pontos acima da linha média. Isto indica que o processo está
se desviando da média, e talvez da especificação. O gráfico da média e da amplitude, do
exemplo 13.3, apresenta esta ocorrência nas amostras 7, 8 e 9.
2.
Uma seqüência decrescente de três pontos abaixo da linha média. O significado é o mesmo da
situação anterior.
3.
Uma seqüência de sete pontos, todos acima, ou abaixo, da linha média. Isto indica um desvio
do processo, possivelmente causado por um problema de máquina.
4.
Sazonalidade. Variações periódicas podem indicar troca de operador, ou de funcionário
encarregado de efetuar a coleta de amostras e anotar os valores observados.
13.4.2 – Processo Normalizado
Diz-se que um processo está normalizado quando a curva de freqüências do mesmo é simétrica,
ou normal, conforme a Figura 13.7. O estudo também ser feito com o auxílio do histograma da
distribuição de freqüências, conforme a figura 13.8. É importante ressaltar que esta é uma condição
essencial para a implantação do CEP, uma vez que a aplicação do controle sobre um processo com
distribuição assimétrica poderá mascarar variações causais. De fato, a aplicação do CEP pode ser
precedida de uma análise exploratória dos dados, isto é, do cálculo das principais medidas de tendência
central e de dispersão.
Figura 13.7 – Curva de freqüências de um processo normalizado.
70
60
50
40
30
20
10
0
Figura 13.8 – Histograma de um processo normalizado.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
87
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 13.4 – Construir a distribuição de freqüências para os valores observados no processo do
exemplo anterior.
Valor Observado
85,90
1
2
3
4
5
6
Total
Freqüência
3
17
33
23
16
7
1
100
A média e o desvio padrão são, respectivamente, X = 2,57 e s = 1,28 (na verdade, a média é igual a
85,9257). A moda é igual a 2 (maior freqüência). Deve-se prestar atenção ao fato de que a média dos
valores observados é igual a 85,9254. O histograma é mostrado na Figura 13.9, e permite observar que a
distribuição é assimétrica positiva.
35
30
25
20
15
10
5
0
Figura 13.9 – Histograma para a distribuição de freqüências dos valores do exemplo 13.3.
A assimetria pode ser melhor avaliada através da comparação da média com a mediana e a moda. Neste
caso, ambas são iguais a 85,92. Neste caso é recomendável que se faça uma análise do processo, a fim de
descobrir, e eliminar, as causas desta assimetria. Os resultados obtidos pelo CEP são mais efetivos
quando o método é aplicado a processos normalizados, isto é, que apresentam uma curva de freqüências
simétrica.
13.4.3 – Estimação do Desvio Padrão
O desvio padrão do processo, quando se utiliza o gráfico da média e da amplitude, é calculado
pelo estimador:
R .
(13.11)
σˆ =
D2
Os valores para D2 são dados no Quadro 13.2.
Quadro 13.2 – Constantes Multiplicativas para o Gráfico x − R
n
D2
2
1,13
3
1,69
4
2,06
5
2,33
6
2,53
7
2,70
8
2,85
9
2,97
10
3,08
Exemplo 13.5 – O desvio padrão estimado para o processo do exemplo 13.3 é: σˆ = 0 , 028 = 0 , 0120 .
2 , 33
13.5 – Capabilidade
A capabilidade de um processo indica a capacidade do mesmo em atender as especificações do
projeto, e pode ser descrita em termos da distância entre a média do processo e os limites de controle, em
unidades de desvio padrão. Os principais índices de capabilidade são apresentados na seqüência.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
88
Estatística – Notas de Aulas
13.5.1 – Índice Cp. Quando o processo está centrado, isto é, quando a média das médias é igual à
especificação, ou parâmetro (µ) do projeto, pode-se estimar a capabilidade pelo índice dado por:
LSE − LIE
6σˆ
Cp =
.
(13.12)
Na fórmula acima, LSE é o limite superior de especificação e LIE é o limite inferior de especificação.
13.5.2 – Índice Cpm. Em alguns casos os limites de especificação não são simétricos, isto é, quando se
verifica que LSE – µ ≠ µ – LIE. Nestes casos pode-se calcular o índice dado por:
LSE − LIE
Cpm =
6 σˆ
2
.
+ (µ − T )
(13.13)
2
Na fórmula acima, T = LSE + LIE .
2
13.5.3 – Índice Cpk. Quando o processo não está centrado, pode-se calcular o índice Cpk, que leva em
consideração a média do processo. Este índice é igual ao menor dos dois valores a seguir.
x − LIE
3σˆ
LSE − x
Cps =
3σˆ
Cpi =
(13.14)
13.5.4 – Classificação do Processo
Com relação à capabilidade, o processo é classificado como:
Quadro 13.3 – Classificação de um Processo.
Valor do índice (Cp, Cpm ou Cpk)
Classificação
C<1
Incapaz.
1 ≤ C < 1,33
Adequado. Exige inspeção.
1,33 ≤ C
Capaz.
Exemplo 13.6 – Calcular o índice de capabilidade do processo do exemplo 13.3, supondo que a
especificação é 85,90mm e que os limites de especificação inferior e superior são, respectivamente,
85,87mm e 85,95mm.
Como o processo não está centrado, calcula-se o índice Cpk.
85 , 9254 − 85 , 87
=
3 ( 0 , 0120 )
85 , 95 − 85 , 9254
Cps =
=
3 ( 0 , 0120 )
Cpi =


.

 ⇒ Cpk =


Então o processo é classificado como ...................................................
Os dois valores calculados acima podem ser usados para estimar a proporção de não
conformidade (p.n.c.). Basta verificar que zLIE = 4,62 e que zLSE = 2,04. Em seguida, com o auxílio da
tabela da distribuição normal padrão, calcula-se as áreas à esquerda de zLIE e à direita de zLSE , ou seja:
P(X ≤ 85,87) = Área(z ≤ – 4 ,62) = 0,000 e P(85,95 ≤ X ) = Área(2,04 ≤ z) =
Então estima-se a p.n.c. como igual a
.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
89
13.6 – Gráfico de Controle para Observações Individuais e Amplitudes Móveis (X – MR)
Este gráfico é usado quando o controle é efetuado sobre observações individuais. Este tipo de
controle é aplicado quando não há possibilidade de coletar amostras de tamanhos elevados, ou mesmo
quando a amostragem não é justificada. Exemplos deste tipo de situação podem ser encontrados na
indústria química, quando uma única amostra de um produto armazenado em um tanque é suficiente para
obter as informações desejadas. Também pode ser utilizado quando a informação prescinde de ensaios
destrutivos, que podem ser excessivamente onerosos para grandes amostras.
O gráfico X – MR pode ser utilizado nestas situações, desde que sejam observados os seguintes
fatos:
•
•
•
Observações individuais não têm a mesma eficiência que observações amostrais.
Deve-se ter cuidado com as conclusões, principalmente se a distribuição de freqüências do
processo não for normal (simétrica).
Como as observações são individuais, a média do processo e o seu desvio padrão podem
apresentar grande variabilidade.
As etapas para construção do gráfico são dadas a seguir.
1) Determinar a quantidade k de observações
2) A partir da n – ésima observação (em geral a segunda), determinar a diferença (amplitude) entre
cada observação e a observação anterior. Não levar em consideração o sinal. Se o cálculo é
efetuado a partir da segunda observação:
R
j
=
X
j
− X
, j = 2 , 3 , ... , k
j −1
3) Calcular a amplitude média
k
∑R
R=
j
j =2
(13.15)
k −1
4) Calcular a média do processo
k
∑
x =
X
i
i =1
k
5) Calcular os limites de controle para as observações individuais:
Limite Superior de Controle
Linha Média
Limite Inferior de Controle
LSC = x + E 2 R
LM = x
LIC = x − E 2 R
(13.16)
(13.17)
(13.18)
6) Calcular os limites de controle para o gráfico da amplitude
Limite Superior de Controle:
LSC R = R.D4
(13.19)
Linha Média:
LM R = R
(13.20)
Limite Inferior de Controle:
LIC R = R .D 3
(13.21)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
90
Estatística – Notas de Aulas
As constantes E2 , D3 e D4 são dadas no Quadro 13.4.
Quadro 13.4 – Constantes Multiplicativas para o Gráfico X – MR
n
D4
D3
D2
E2
2
3,27
1,13
2,66
3
2,57
1,69
1,77
4
2,28
2,06
1,46
5
2,11
2,33
1,29
6
2,00
2,53
1,18
7
1,92
0,08
2,70
1,11
8
1,86
0,14
2,85
1,05
9
1,82
0,18
2,97
1,01
10
1,78
0,22
3,08
0,98
13.6.1 – Capabilidade
A estimação da capabilidade segue os mesmos procedimentos adotados no gráfico x − R .
Exemplo 13.7: O quadro a seguir mostra as observações efetuadas para um processo industrial qualquer.
Os dados referem-se à concentração, em p.p.m., de certa substância. Construir o gráfico X – MR.
Obs. 1
Xi
10
Rj
-
2
15
5
3
13
2
4
10
3
5
15
6
16
7
18
8
14
9
10
10
12
11
8
12
10
13
9
14
12
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
15
13
16
10
17
11
18
9
19
8
1
20
10
2
Estatística – Notas de Aulas
91
13.7 – Gráficos de Controle por Atributos
Embora sejam extremamente confiáveis como ferramentas de apoio à decisão, os gráficos de
controle por variável apresentam alguns inconvenientes de ordem prática, alguns dos quais listados a
seguir:
•
Cada gráfico, ou carta, pode ser usado para apenas uma variável. Se um produto tem cinco
característicos a serem controlados, serão necessários cinco gráficos.
•
Em algumas etapas da produção o interesse resume-se à simples verificação de conformidade em
relação a algum parâmetro. Uma situação típica deste caso é a inspeção efetuada com o objetivo
de verificar se o diâmetro de um eixo está dentro dos limites de tolerância. Aqui não há interesse
em determinar o diâmetro, o que dispensa a coleta de amostras e os cálculos das medidas já
estudadas.
•
Alguns componentes são inspecionados apenas com o objetivo de verificar a presença de algum
defeito. Nas indústrias automobilísticas as partes da carroceria de um veículo são inspecionadas
com a finalidade de verificar se apresentam riscos. A simples ocorrência de um risco na pintura é
suficiente para que a peça seja rejeitada, não importando a dimensão ou a quantidade de riscos.
O controle por atributo trabalha apenas com os conceitos “passa – não passa”, “presente –
ausente” e “conforme – não conforme”, entre outros. É de grande utilidade nos trabalhos de inspeção
final, e em alguns setores industriais, como na indústria eletrônica e na indústria de confecções, p. ex.
Também pode ser utilizado para controlar falhas em processos administrativos, como o monitoramento do
nível de reclamações na prestação de algum serviço.
A estrutura de um gráfico de controle por atributo é igual à do gráfico de controle por variável,
isto é, possui dois limites de controle, que definem a zona de controle, e uma linha média, definida com
base na proporção de ocorrências do atributo.
Antes de se adotar o controle por atributo deve-se tomar alguns cuidados, entre os quais
destacam-se:
•
Inspecionar cada unidade, de cada uma das amostras selecionadas.
•
Definir claramente o que é uma “não conformidade”.
•
Criar um ambiente favorável, do ponto de vista do gerenciamento. Algumas empresas delegam a
elaboração de gráficos de controle por variável aos próprios operários responsáveis pela
fabricação dos componentes avaliados. Para o controle por atributo esta prática é um tanto
temerária, pois o item inspecionado pode ser proveniente de um processo ao qual são aplicadas
técnicas de CEP. Neste caso o controle por atributo pode ser usado mais como ferramenta de
apoio à decisão, já que na inspeção de vários atributos pode-se detectar falhas não identificadas
anteriormente.
•
Levar em consideração as necessidades do cliente/usuário ao definir os critérios de decisão.
13.7.1 – Gráfico da Proporção de Unidades Não Conformes ( p )
O gráfico p mostra a proporção de não conformidade, ou de itens não conformes, em um grupo
de amostras inspecionadas. Este gráfico pode apresentar tanto as variações para um atributo como para
vários deles. As etapas para elaboração são dadas a seguir.
1) O tamanho (n) das k amostras não precisa ser igual. Este tipo de gráfico normalmente requer
amostras grandes, geralmente de tamanho não inferior a 50. Este detalhe pode se tornar uma
desvantagem, pois em alguns setores industriais, ou mesmo de serviços, a observação de uma
amostra deste tamanho pode demandar um período de tempo muito grande, o que acabaria por
impedir a detecção de padrões que podem evidenciar uma variação causal.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
92
Estatística – Notas de Aulas
2) Para cada uma das k amostras, calcular a fração defeituosa, ou proporção de não conformidade,
que se obtém dividindo o número de itens defeituosos (dj) da amostra pelo tamanho (nj) da
mesma.
dj
pj =
(13.22)
nj
3) Calcular a fração defeituosa média, ou proporção média de não conformidade.
k
∑d
p =
j
(13.23)
j =1
k
∑n
j
j =1
4) Se as amostras têm tamanhos diferentes, calcular o tamanho médio das amostras:
k
∑n
j
j =1
n =
(13.24)
k
5) Calcular o desvio padrão do processo:
σ
p
=
p (1 − p )
n
(13.25)
6) Calcular os limites de controle:
Limite Superior de Controle:
Linha Média:
Limite Inferior de Controle:
LSC p = p + 3σ p
(13.26)
LM p = p
(13.27)
LIC p = p − 3σ p
(13.28)
Exercício 13.8: O quadro a seguir mostra o resultado das observações sobre 20 amostras de um
determinado produto. Construir o gráfico de controle da fração defeituosa.
Amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Tamanho 50 40 50 60 50 50 30 40 40 30 60 20 40 50 50 40 20 30 50 50
Defeituosos 3 2 2 3 3 2 1 1 2 0 3 3 1 0 2 3 2 1 4 0
pj
Linha Média:
Limite Superior de Controle:
Desvio padrão:
Limite Inferior de Controle:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
93
Estatística – Notas de Aulas
13.7.2 – Gráfico do Número de Unidades Não Conformes (np)
Também conhecido como Gráfico do Número de Defeituosos, pode ser usado como alternativa
ao gráfico da fração defeituosa, desde que as amostras tenham o mesmo tamanho, ao contrário do gráfico
anterior, que permite a observação de amostras de diferentes tamanhos. As etapas para construção do
gráfico np são dadas a seguir.
1) Selecionar k amostras, de tamanho n.
2) Calcular o número médio de unidades não conformes do processo:
k
∑ np
np =
j
(13.29)
j =1
k
3) Calcular o desvio padrão do processo:
σˆ np =
(13.30)
n p (1 − p )
4) Calcular os limites de controle:
Limite Superior de Controle:
Linha Média:
Limite Inferior de Controle:
(13.31)
LSC = n p + 3σˆ np
LM = n p
(13.32)
LIC = n p − 3σˆ np
(13.33)
Exemplo 13.9: Construir o gráfico do número de unidades não conformes para os dados a seguir. Os
valores apresentados referem-se à observação de 20 amostras, de tamanho 50, de certo produto.
Amostra
1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
Defeituosos 2
3
1 0 3 4 0 0 2 2 3 5 4 2 3 3 0 1
3
4
p
0,04 0,06
0,06 0,08
Linha Média:
Limite Superior de Controle:
Desvio padrão:
Limite Inferior de Controle:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
94
Estatística – Notas de Aulas
13.7.3 – Gráfico do Número de Não Conformidades
Este gráfico é utilizado para avaliar o número de não conformidades, ou defeitos, em uma
amostra. A utilização deste gráfico requer tamanho constante para as amostras observadas. Algumas
aplicações são, p.ex., controle de bolhas em garrafas e riscos em peças estampadas. A principal diferença
com relação ao gráfico p, é que este último se utiliza da contagem de unidades defeituosas, não se
preocupando com a quantidade de defeitos. Uma idéia desta diferença é dada pela figura 13.10, a seguir.
Considerando cada quadro como uma unidade, e cada ponto em destaque como um defeito, nota-se que
há na amostra da esquerda quatro unidades defeituosas, e um total de sete defeitos. Na amostra da direita
há duas unidades defeituosas, e o mesmo número de defeitos da primeira.
Figura 13.10
As etapas para construção do gráfico c são dadas a seguir.
1) Selecionar k amostras com o mesmo tamanho, e determinar o número de defeitos, c , para cada
amostra.
2) Calcular o número médio de não conformidades, ou defeitos.
k
∑c
c =
j
j =1
(13.34)
k
3) Calcular os limites de controle.
Limite Superior de Controle:
(13.35)
LSC = c + 3 c
Linha Média:
Limite Inferior de Controle:
LM = c
(13.36)
LIC = c − 3 c
(13.37)
Exemplo 13.10: Os dados a seguir referem-se à observação de 20 amostras, cada uma com 10 camisas. A
cada amostra observada anotou-se o número de defeitos verificados (c). Construir um gráfico c para os
dados.
Amostra
cj
1
3
2
2
3
5
4
4
Linha Média:
Limite Superior de Controle:
5
2
6
0
7
3
8
4
9
5
10
1
11
1
12
2
13
0
14
3
15
4
16
3
17
2
18
2
19
0
Desvio padrão:
Limite Inferior de Controle:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
20
3
95
Estatística – Notas de Aulas
13.7.4 – Gráfico do Número de Não Conformidades por Unidade (u)
Este gráfico mede o número de não conformidades, ou defeitos, por unidade. Pode ser uma
alternativa ao gráfico c, quando as amostras não têm o mesmo tamanho. Também pode ser usado quando
a amostra é constituída de apenas uma unidade, mas que possui muitos componentes que devem ser
inspecionados, como um motor, p. ex.,.
As etapas para construção do gráfico u são dadas a seguir.
1) Selecionar k amostras, que podem ter tamanhos diferentes, e registrar o número de defeitos (c)
encontrados em cada uma.
2) Para cada uma das k amostras, determinar o número de defeitos por unidade.
uj =
cj
(13.38)
nj
onde cj é o número de defeitos encontrados na j – ésima amostra.
3) Calcular o número médio de defeitos por unidade:
k
∑u
u =
j
(13.39)
j =1
k
4) Calcular o tamanho médio das amostras:
k
∑n
n =
5) Calcular os limites de controle.
Limite Superior de Controle:
j
(13.40)
j =1
k
u
n
LSC = u + 3
(13.41)
LM = u
Linha Média:
Limite Inferior de Controle:
(13.42)
u
n
LIC = u − 3
(13.43)
Exemplo 13.11: Os dados a seguir referem-se à observação de 15 amostras de certo produto. A cada
amostra observada anotou-se o número de defeitos verificados. Construir um gráfico u para os dados.
Amostra ( j )
nj
cj
uj
1
30
3
2
25
2
Linha Média:
Limite Superior de Controle:
3
50
5
4
20
4
5
20
2
6
10
0
7
25
3
8
30
4
9
40
5
10
40
1
11
50
1
12
20
2
13
30
0
14
30
3
15
20
4
Desvio padrão:
Limite Inferior de Controle:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
96
Estatística – Notas de Aulas
Comentário
Além dos gráficos estudados neste material, há outros menos utilizados, como, por exemplo, o
gráfico para mediana e amplitude e o gráfico para média e desvio padrão, este último recomendado para
amostras com tamanho igual ou superior a dez unidades. A opção por não apresenta-los decorre da
constatação de que sua utilização é muito rara na prática. Também é necessário esclarecer que o índice
Cpk prescinde do cálculo do estimador para o desvio padrão. Quando o estimador do desvio padrão
(13.11) é substituído pelo desvio padrão amostral s, calculado para todas as observações, utiliza-se a
notação Ppk.
13.8 – Exercícios
13.8.1) Um gráfico x − R tem os seguintes valores: x = 135,0 mm e R = 2,5 mm. Foram
inspecionadas 25 amostras, com cinco unidades cada uma. As especificações do cliente são: µ = 135,2
mm, LSE = 136,5 mm e LIE = 133,6 mm. Calcular o índice de capabilidade e estimar a proporção de não
conformidade.
13.8.2) Em uma confecção foram inspecionadas 15 amostras, cada uma com 30 calças. Registrou-se o
número de defeitos em cada amostra. Calcular os limites de controle e construir o gráfico.
Amostra
Defeitos
1
6
2
4
3
8
4
4
5
5
6
4
7
2
8
8
9
4
10
3
11
4
12
4
13
2
14
6
15
4
13.8.3) Os gráficos de controle por variável devem ser construídos para processos normalizados, isto é,
quando a curva de freqüências é normal. O quadro a seguir mostra o resultado da inspeção em 20
amostras, cada uma com cinco unidades, de tubos de PVC. O característico avaliado é o diâmetro.
a)
Construir uma distribuição de freqüências para os valores observados. (Use amplitude de
classe igual a 0,2 mm para as oito classes).
b) Calcular a média, a mediana e a moda.
c) Verificar se o processo está normalizado.
d) Calcular os limites de controle para um gráfico x − R .
e) Calcular o índice de capabilidade, supondo que as especificações do cliente são: LIE = 24,0
mm e LSE = 25,5 mm.
f) Classificar o processo quanto à sua capabilidade e estimar a p.n.c.
Amostra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
X1
24,3
24,8
24,5
25,3
24,6
25,3
24,8
24,8
25,0
24,8
25,0
25,2
24,5
25,2
25,2
24,6
24,6
24,8
24,6
25,0
X2
24,1
24,8
24,4
25,4
24,7
25,5
24,8
24,8
24,5
24,8
25,0
25,3
24,2
25,3
25,0
24,7
24,7
24,9
24,7
25,0
X3
24,0
24,7
24,4
25,5
24,7
25,4
24,9
24,8
24,5
24,1
25,1
25,4
24,6
25,3
25,2
24,7
24,4
24,8
24,6
25,3
X4
24,2
24,9
24,5
25,5
24,7
25,5
24,8
24,9
24,5
24,0
25,1
25,2
24,0
25,3
25,0
24,2
24,6
24,9
24,6
25,1
X5
24,3
24,8
24,4
24,3
24,6
24,3
24,8
24,3
24,4
24,2
24,9
24,5
24,3
24,4
24,8
24,3
24,7
24,9
24,7
25,3
Média
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Amplitude
97
Estatística – Notas de Aulas
13.8.4) Uma indústria química produz certo tipo de solvente, cujo principal característico é a salinidade.
Uma inspeção em 15 tonéis do produto apresentou os valores dados no quadro abaixo, referentes à
concentração de sal, em p.p.m. Construir o gráfico de controle apropriado.
Tonel
p.p.m.
1
15
2
20
3
16
4
18
5
22
6
14
7
17
8
13
9
22
10
15
11
19
12
25
13
20
14
18
15
14
13.8.5) Da produção de uma máquina foram extraídas 20 amostras, cada uma com 50 unidades de um
componente. As unidades foram inspecionadas para a verificação da ocorrência de certo defeito. Calcular
os limites de controle e construir o gráfico de controle.
Amostra
Defeituosos
1
2
2
3
3
0
4
2
5
0
6
5
7
1
8
0
9
0
10
3
11
2
12
0
13
5
14
4
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
15
1
16
2
17
3
18
0
19
2
20
3
98
Estatística – Notas de Aulas
14. TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA
Este assunto trata do teste de hipóteses relacionadas a suposições a respeito de algum parâmetro
e sua finalidade é verificar se a mencionada suposição é válida, isto é, se a hipótese inicial pode ser aceita.
É uma das principais ferramentas da pesquisa científica aplicada e abrange as mais variadas áreas de
estudo.
14.1 – Teste de Hipótese
Este tipo de teste parte de uma suposição inicial, isto é, de uma hipótese, a respeito do valor de
algum parâmetro, como média e proporção, por exemplo, e tem como principal objetivo verificar a
validade da referida suposição. Também é comum utilizar a expressão hipótese estatística para designar
este tipo de suposição, que se refere ao valor de um parâmetro e que toma por base o resultado de uma
observação sobre uma amostra. A realização de um teste de hipóteses pode seguir os passos listados a
seguir.
1. Formular a hipótese.
Na realidade, são formuladas duas hipóteses. A primeira é chamada hipótese nula (H0), e contém o
suposto valor para o parâmetro estudado. O objetivo é testar a validade desta hipótese. A segunda é
chamada hipótese alternativa (H1), e contradiz a hipótese anterior. A forma como esta hipótese é
formulada define o tipo de teste a ser efetuado, isto é, se o teste é unilateral ou bilateral.
2. Determinar o nível de significância.
Ao se testar uma hipótese pode-se cometer um de dois tipos de erros. O primeiro, chamado Erro tipo I,
ocorre quando se rejeita uma hipótese nula válida. O Erro tipo II ocorre quando se aceita uma hipótese
nula que não é válida. A probabilidade de cometer um erro do tipo I é chamada nível de significância.
Este nível, representado pela letra grega α, está associado a um valor crítico, que será usado para testar a
validade da hipótese em questão.
3. Escolher a estatística, ou estimador, para o teste.
A estatística de teste é, na maioria das vezes, o estimador não tendencioso do parâmetro estudado, que
pode ser obtido a partir de uma amostra retirada da população à qual pertence o parâmetro.
4. Tomar a decisão.
Nesta etapa compara-se o valor de teste com o valor crítico associado ao nível de significância desejado.
A partir desta comparação toma-se a decisão de aceitar, ou rejeitar, a hipótese nula.
14.2 – Teste de Hipótese para a Média
Neste caso há duas situações a considerar, ambas envolvendo a variância populacional, que
pode, ou não, ser conhecida. Na prática são mais comuns situações nas quais não se conhece o verdadeiro
valor da variância populacional.
14.2.1 – Teste de Hipótese para a Média com Variância Populacional Conhecida
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua X, com
distribuição normal, isto é, X ~ N(µ , σ2), onde σ2 é conhecida e supõe-se que µ assume determinado valor.
Neste caso a estatística de teste é dada por:
z calc =
x−µ
σ
n
.
(14.1)
Para tomar a decisão de aceitar, ou rejeitar, a hipótese nula, deve-se comparar o valor de zcalc
com o valor crítico associado ao nível de significância α. A hipótese nula é aceita quando o valor da
estatística de teste pertence ao intervalo limitado pelo valor crítico. Os valores críticos associados aos
níveis de significância mais utilizados na prática são mostrados no Quadro 14.1.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
99
Estatística – Notas de Aulas
Quadro 14.1 – Principais valores críticos.
Nível de significância
Tipo de teste
0,01
0,05
0,10
± 2,33 ± 1,645 ± 1,28
Unilateral
± 2,58 ± 1,96 ± 1,645
Bilateral
Os valores críticos são os valores de z que delimitam a área correspondente ao nível de significância
adotado, conforme a Figura 14.1.
– zcrít
zcrít
Figura 14.1 – Intervalo de não rejeição da hipótese nula.
Exemplo 14.1 - Sabe-se que o peso da semente de certa espécie de planta é normalmente distribuído, com
variância igual a 0,25 g. Um pesquisador suspeita que o peso médio da semente estudada é igual a 7,5 g.
Uma amostra de 15 sementes apresentou os pesos mostrados no quadro a seguir. Com 5% de
significância, pode-se confirmar a suposição do pesquisador ?
Observação
Peso (g)
1
8,0
2
7,5
3
6,7
4
7,2
5
8,0
6
7,1
7
7,8
8
7,2
9
6,8
10
7,3
11
6,6
12
8,2
13
8,1
14
7,4
15
6,9
14.2.2 – Teste de Hipótese para a Média com Variância Populacional Desconhecida
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória da variável aleatória contínua X, com
distribuição normal, isto é, X ~ N(µ , σ2), onde σ2 é desconhecida e supõe-se que µ assume determinado
valor. Neste caso a estatística de teste é dada por:
t calc =
x−µ
s
n
.
Os valores críticos podem ser obtidos na tabela da distribuição t, de Student.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(14.2)
100
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 14.2 – O Quadro a seguir mostra os teores (%) de vanádio encontrados em uma amostra de sete
estratos de óleo cru extraídas de solo do tipo “Wilhelm sandstone”. Pode-se afirmar, com 5% de
significância, que o teor médio de vanádio deste tipo de óleo é igual a 3,5% ?
Quadro 5.1 – Teores de vanádio.
Estrato
1
2
3
4
5
6
Teor (%) 3,9 2,7 2,8 3,1 3,5 3,9
7
2,7
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
14.3 – Teste de Hipótese para a Diferença de Médias
Sejam duas amostras aleatórias, X1 = [x11 , x12 , ... , x1n1 ]T e X2 = [x21 , x22 , ... , x2n2]T, com médias
e variâncias amostrais dadas por X1 e s12 e X2 e s22, respectivamente. Em última análise o que se deseja
determinar é se as duas amostras são provenientes de uma mesma população. Uma questão importante diz
respeito à variância populacional, que deve ser a mesma para as duas amostras, já que se supõe que ambas
são originárias da mesma população. Uma prática comum é utilizar a variância ponderada. A estatística
de teste é dada por:
Na fórmula (14.3):
Também: σˆ 2
(X
1
−X2)
sp =
=
x1 − x 2
sp
.
(14.3)
ˆ 2 ( x1 − x 2 ) σ
ˆ 2 ( x1 − x 2 )
σ
+
n1
n2
(14.4)
t calc =
( n 1 − 1 ) s 12 + ( n 2 − 1 ) s 22 .
n1 + n 2 − 2
Exemplo 14.3 - O Quadro 12.2 mostra os teores de ferro observados em amostras de óleo cru, uma
oriunda de argila Wilhelm (Tipo W) e outra de argila sub-mulinia (Tipo SM). Pode-se afirmar, com 5% de
significância, que o teor médio de ferro do Tipo W é significativamente superior ao teor médio do Tipo
SM ?
Quadro 12.2 – Teores de ferro (%) em amostras de óleo cru.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Wilhelm
51 49 36 45 46 43 35
Sub-Mulinia 47 32 12 17 36 35 41 36 32 46 30
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
101
Estatística – Notas de Aulas
14.4 – Teste de Hipótese para a Proporção
Seja X = [x1 , x2 , ... , xn]T uma amostra aleatória extraída de uma população com proporção p de
sucessos, onde p é desconhecida, e seja Xn o total de sucessos na amostra. Neste caso a variável X é tal
que:
 0 , insucesso
X = 
1 , sucesso
dada por:
.
Então Xn tem distribuição binomial com parâmetros n e p. A proporção de sucessos na amostra é
pˆ =
Xn .
n
Conforme foi visto em 10.9, a distribuição binomial da variável Xn pode ser aproximada pela distribuição
normal, isto é:
X n ~ N ( np , np (1 − p ) .
Além disto,
p (1 − p )  .

pˆ ~ N  p ,

n


Para se testar uma hipótese a respeito do valor de p utiliza-se a estatística de teste dada por
p − pˆ
pˆ (1 − pˆ )
n
z calc =
.
(14.5)
Para tomar a decisão de aceitar, ou rejeitar, a hipótese nula, deve-se comparar o valor de zcalc
com o valor crítico associado ao nível de significância α. A hipótese nula é aceita quando o valor da
estatística de teste pertence ao intervalo limitado pelo valor crítico.
Exemplo 14.4 – Efetuou-se uma inspeção em uma amostra de 15 unidades de certo produto. Seja X a
v.a.d. que representa a ocorrência de alguma não conformidade, ou seja, X = 0, se a unidade é conforme,
ou X = 1, caso esteja fora de conformidade. Com 5% de significância, pode-se afirmar que a proporção de
não conformidade do produto é igual a 10% ?
Unidade
X
1
0
2
0
3
0
4
1
5
0
6
1
7
0
8
0
9
0
10
0
11
0
12
0
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
13
0
14
0
15
1
102
Estatística – Notas de Aulas
14.5 – Teste de Hipótese para a Diferença de Proporções
Sejam duas populações com proporções p1 e p2 de sucessos, ambas desconhecidas. Sejam duas
amostras, de tamanhos n1 e n2, e proporções p̂ 1 e p̂ 2 de sucessos, respectivamente. A estatística de teste
para hipóteses relativas à diferença entre as duas proporções populacionais é dada por:
z calc =
Na fórmula (14.6):
σˆ ( pˆ − pˆ ) =
1
2
πˆ (1 − πˆ )
n1
pˆ 1 − pˆ 2
σˆ ( pˆ1 − pˆ 2 )
+
πˆ (1 − πˆ )
n2
.
(14.6)
e
πˆ =
n1 pˆ 1 + n 2 pˆ 2
n1 + n 2
.
Exemplo 14.5 - Em set/2006 foi publicado um estudo sobre os efeitos do medicamento Celecoxib sobre o
câncer de cólon e reto. O estudo envolveu 1561 pacientes, dos quais 933 utilizaram o medicamento,
enquanto os demais foram tratados com placebo. No grupo tratado com o medicamento, 314
apresentaram lesões típicas da moléstia. Entre o grupo tratado com placebo, a doença foi detectada em
309 pacientes. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que o medicamento em questão é eficaz no
combate à referida moléstia ?
14.6 – Exercícios
14.6.1) A vacina Salk, contra poliomielite, foi desenvolvida no início da década de 50, e sua eficácia foi
colocada à prova em 1954. Para tanto, foram formados dois grupos, cada um com 200000 crianças. A um
dos grupos foi ministrada a vacina, enquanto ao outro grupo foi ministrado um placebo. No primeiro
grupo a doença manifestou-se em 33 crianças, o mesmo acontecendo com 115 crianças do segundo grupo.
Testar a eficácia do medicamento, com 5% de significância.
14.6.2) O New England Journal of Medicine, v. 318, no. 4, publicou um estudo sobre os efeitos da
Aspirina na prevenção de ataques cardíacos. O experimento envolveu 22131 médicos, que foram
monitorados durante seis anos. O medicamento foi ministrado em doses regulares a 11097 médicos,
enquanto 11034 médicos tomaram placebo. Ao final do período de acompanhamento verificou-se que 104
médicos do primeiro grupo sofreram ataque cardíaco, contra 189 médicos do grupo que ingeriu placebo.
Pode-se afirmar, com 5% de significância, que a Aspirina é eficaz na prevenção de ataques cardíacos ?
14.6.3) Uma pesquisa eleitoral publicada em agosto de 2007, junto a 1091 eleitores paulistanos, apontou
que 262 dos entrevistados pretendem votar na candidata Marta Suplicy, nas próximas eleições municipais.
Pode-se afirmar, com base na pesquisa e com 5% de significância, que a candidata terá 35% dos votos ?
14.6.4) Uma técnica utilizada no diagnóstico de esclerose múltipla consiste em produzir um estímulo
visual sobre cada um dos olhos. Em seguida anota-se a diferença entre os tempos de resposta observados
para cada um dos olhos. O quadro a seguir mostra os valores observados para 15 portadores (diagnóstico
positivo) e 15 não portadores (diagnóstico negativo) da doença. Pode-se afirmar que os tempos de
resposta são significativamente diferentes, com 5% de significância ?
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
103
Estatística – Notas de Aulas
Quadro 12.3 – Diferenças de tempos de resposta a um estímulo visual para diagnóstico de esclerose
múltipla.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14 15
Negativo
1,6 0,4 3,2 0,8
1,6 3,2 4,8 1,6
3,2 2,8 1,6 0,8 2,4 3,4 0,6
Positivo
0,8 3,2 8,0 14,2 12,8 6,8 3,4 29,2 18,4 1,6 1,8 9,2 16,8 8,0 4,6
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
14.6.5) O quadro a seguir mostra o teor de vanádio observado em diferentes amostras de óleo cru,
provenientes de dois estratos geológicos diferentes. Com 5% de significância, é possível afirmar que os
teor médio do óleo proveniente do estrato Sub-Mulinia é significativamente superior ao do óleo
proveniente do estrato Wilhelm ?
Observação
Wilhelm
Sub-Mulinia
1
3,9
5,0
2
2,7
3,4
3
2,8
1,2
4
3,1
8,4
5
3,5
4,2
6
3,9
4,2
7
2,7
3,9
8
9
10
11
3,9
7,3
4,4
3,0
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
Resposta: tcalc = 1,5866 < tcrit = 1,7459 :
Aceita-se H0.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
104
Estatística – Notas de Aulas
15. ANÁLISE DA VARIÂNCIA (ANOVA)
A análise da variância (ANOVA) é uma ferramenta para analisar as diferenças entre k > 2
médias, seguindo a suposição inicial de que as médias amostrais avaliadas são oriundas de populações
normalmente distribuídas e com a mesma variância. As origens da ANOVA remontam ao início do século
XX, quando os principais conceitos foram formulados por Ronald A. Fisher e William Gosset (Student) e
aplicados a experimentos agrícolas na estação experimental de Rothamstead, Inglaterra, o que explica a
utilização de alguns termos técnicos relacionados à agricultura. As aplicações da ANOVA não se
restringem à agronomia, e podem ser encontradas nas engenharias, na medicina, na administração de
empresas e na biologia, para citar apenas algumas áreas de pesquisa. Neste material serão apresentados os
principais conceitos e métodos envolvidos na ANOVA. Uma abordagem mais ampla e detalhada pode ser
encontrada em Vieira (2006), por exemplo.
15.1 – Experimentos com Um Fator
A ANOVA para experimentos com um fator está relacionada ao teste de hipótese de diferença
entre k médias amostrais, onde k > 2. Neste tipo de experimento, os tratamentos aos quais as amostras
estão relacionadas são designados aleatoriamente às unidades experimentais, adotando-se o critério de
similaridade das unidades com relação à variável resposta, isto é, ao fator estudado. Os valores
observados podem ser anotados em um quadro, conforme mostrado a seguir. São consideradas k
amostras, de tamanhos n1 , n2 , ... , nk , respectivamente.
Quadro 15.1 – Valores para ANOVA com um fator.
Amostras (Tratamentos)
Observações
1
2
...
1
x11
x21
...
2
x12
x22
...
3
x13
x23
...
...
...
...
...
...
T1
T2
Total
k
xk1
xk2
xk3
...
Tk
Aqui se supõe que cada resposta é dada por: xij = µ + αk + εij = média + efeito no grupo k + resíduo.
Também se supõe que: i – os resíduos são v.a.’s independentes; ii – a variância é constante; iii – os
resíduos seguem distribuição normal, ou muito aproximadamente normal. O quadro para ANOVA
aplicada a experimentos com um fator é:
Fonte de Variação
Entre os grupos
Resíduos
Total
Quadro 15.2 – Quadro para ANOVA com um fator.
Soma Quadrática Graus de Liberdade
Quadrado Médio
SQE
k–1
QME = SQE ÷ (k – 1)
SQR
N–k
QMR = SQR ÷ (N – k)
SQT
N–1
Fcalc
QME ÷ QMR
A hipótese nula é: H0 : αk = 0 (O tratamento não tem efeito sobre o grupo k). Se a hipótese nula é
verdadeira, tem-se que: µ1 = µ2 = ... = µk .
ni
k
T2 .
(15.1)
Os valores para cálculo são:
SQT = ∑ ∑ x ij2 −
N
i =1 j =1
k
SQE =
∑
i =1
Ti 2 T 2
−
ni
N
k
T =
∑T
i =1
.
k
i
N =
∑n
i
(15.2)
.
i =1
SQR = SQT − SQE .
Os valores críticos para a estatística F são obtidos na tabela da distribuição F, de Fisher.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(15.3)
105
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 15.1 – O quadro a seguir mostra o teor de ferro observado em amostras de óleo cru provenientes
de três estratos geológicos. Com 5% de significância, é possível afirmar que os teores médios são
significativamente diferentes ?
1
51
47
13
Wilhelm
Sub-Mulinia
Superior
2
49
32
27
3
36
12
24
4
45
17
18
5
46
36
25
6
43
35
26
7
35
41
17
8
9
10
11
12
13
14
36
14
32
20
46
34
30
18
22
52
41
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
H0 :
H1 :
T1 = 305
T2 = 364
T3 = 351
n1 = 7
n2 = 11
SQT =
n3 = 14
N=
T=
SQE =
SQR =
O quadro para ANOVA fica:
Fonte de Variação
Entre os grupos
Resíduos
Total
Soma Quadrática
SQE =
SQR =
SQT =
Graus de Liberdade
k–1=
N–k=
N–1=
Quadrado Médio
QME =
QMR =
Fcalc
15.2 – Experimento com Dois Fatores
Na ANOVA para dois fatores são considerados dois conjuntos de classificação, ou tratamentos.
Este tipo de experimento também é conhecido como delineamento de blocos aleatórios, pois as unidades
experimentais são designadas aleatoriamente para cada combinação de fatores, ou tratamentos. Neste tipo
de experimento considera-se que cada resposta é dada por: xij = µ + αi + βj + εij = média + efeito do fator i
+ efeito do fator j + resíduo. Os valores observados podem anotados em um quadro na forma a seguir.
Quadro 15.3 – Valores para ANOVA com dois fatores.
Fator 2
Fator 1
Total
Nível 1
Nível 2
...
Nível n
Nível 1
x11
x12
...
x1n
L1
Nível 2
x21
x22
...
x2n
L2
...
...
...
...
...
...
Nível m
xm1
xm2
...
xmn
Lm
C1
C2
...
Cn
T
Total
O quadro para ANOVA aplicada a experimentos com dois fatores é:
Fonte de
Variação
Fator 1
Fator 2
Resíduos
Total
Quadro 15.4 – Quadro para ANOVA com dois fatores.
Soma
Graus de
Quadrado Médio
Quadrática
Liberdade
SQL
m–1
QML = SQL ÷ (m – 1)
SQC
n–1
QMC = SQC ÷ (n – 1)
SQR
(m – 1)(n – 1)
QMR = SQR ÷ (m – 1)(n – 1)
SQT
N–1
Fcalc
QML ÷ QMR
QMC ÷ QMR
As hipóteses nulas são: H0 : αi = 0 (O efeito do fator 1 é nulo) e H0 : βj = 0 (O efeito do fator 2 é nulo).
Os valores para cálculo são:
m
SQT =
n
∑∑x
i =1 j =1
2
ij
−
T2
N
.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(15.4)
106
Estatística – Notas de Aulas
SQL =
SQC =
1
n
∑L
1
m
∑C
m
2
i
−
T2
N
−
T2
N
i =1
n
2
i
j =1
.
(15.5)
.
(15.6)
SQR = SQT − SQL − SQC .
(15.7)
Exemplo 15.2 – Deseja-se determinar os efeitos sobre a resistência à tensão de ruptura exercidos por três
diferentes composições de ligas metálicas e por quatro diferentes níveis de temperatura para tratamento
térmico. Os valores observados, em kgf/mm2, são mostrados no quadro a seguir.
Liga
A
B
C
Total
Nível 1
1,2
0,8
0,7
Temperatura
Nível 2
Nível 3
1,4
0,9
1,1
0,7
1,3
1,1
Nível 4
1,5
1,4
0,8
Total
O quadro para ANOVA fica:
Fonte de
Variação
Liga
Temperatura
Resíduos
Total
Soma
Quadrática
Graus de
Liberdade
Quadrado Médio
Fcalc
QML =
QMC =
QMR =
15.3 – Experimento com Dois Fatores Repetidos
Neste tipo de experimento é possível estudar a ocorrência de interação entre os fatores. Este
fenômeno, quando observado, indica que as respostas observadas para os dois fatores não são
independentes entre si. Aqui são testadas três hipóteses, as duas tratadas no caso anterior e mais a
hipótese nula segundo a qual não há interação entre os fatores. Para realizar o estudo em questão basta
efetuar mais de uma observação para cada combinação de fatores. Os valores observados podem anotados
em um quadro na forma a seguir.
Quadro 15.5 – Valores para ANOVA com dois fatores com repetição.
Fator 2
Fator 1
Total
Nível 1
Nível 2
...
Nível n
x111
x121
x1n1
...
...
...
Nível 1
...
L1
x11p
x12p
x1np
x211
x221
x2n1
Nível 2
...
...
...
...
L2
x21p
x22p
x2np
...
...
...
...
...
...
xm11
xm21
xmn1
Nível m
...
...
...
...
Lm
xm1p
xmnp
xmnp
C1
C2
...
Cn
T
Total
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
107
Estatística – Notas de Aulas
O quadro para ANOVA aplicada a experimentos com dois fatores com repetição é:
Fonte de
Variação
Fator 1
Fator 2
Interação
Resíduos
Total
Quadro 15.6 – Quadro para ANOVA com dois fatores.
Soma
Graus de
Quadrado Médio
Quadrática
Liberdade
SQL
m–1
QML = SQL ÷ (m – 1)
SQC
n–1
QMC = SQC ÷ (n – 1)
SQI
(m – 1)(n – 1)
QMI = SQI ÷(m – 1) (n – 1)
SQR
mn(p – 1)
QMR = SQR ÷ mn(p – 1)
SQT
mnp – 1
m
Os valores para cálculo são:
SQT =
p
n
∑∑ ∑x
i =1 j =1
SQC =
SQL =
SQI =
1
p
m
n
i =1
n
∑C
1
np
∑L
2
ij
T2
mnp
−
k =1
1
mp
∑∑S
2
ijk
2
j
−
j =1
m
2
i
−
i =1
−
j =1
(15.8)
.
(15.9)
.
(15.10)
T2
− SQL − SQC
mnp
p
S ij =
∑x
ijk
QML ÷ QMR
QMC ÷ QMR
QMI ÷ QMR
.
T2
mnp
T2
mnp
Fcalc
.
(15.11)
.
(15.12)
k =1
SQR = SQT − SQL − SQC − SQI
.
(15.13)
Exemplo 15.3 – A fim de estudar as condições ótimas para extrusão de plástico costuma-se aplicar uma
técnica denominada Operação Evolucionária. Um dos fatores estudados é a resistência à tração, medida
em dois níveis de fatores, taxa de extrusão e total de aditivo. Dados observados em um destes
experimentos são mostrados no quadro a seguir. Com 5% de significância, pode-se afirmar que:
a) Os dois níveis de taxa de extrusão produzem respostas significativamente diferentes ?
b) Os dois níveis de aditivo produzem respostas significativamente diferentes ?
c) Há interação entre os dois fatores ?
Taxa de extrusão
- 10%
10%
Total
Total de aditivo
1,0%
1,5%
6,5 6,2 5,8 6,5 6,5 6,9 7,2 6,9 6,1 6,3
6,7 6,6 7,2 7,1 6,8 7,1 7,0 7,2 7,5 7,6
65,9
Total
Fonte: Johnson e Wichern (1988).
O quadro para ANOVA é:
Fonte de
Variação
Taxa de extrusão
Total de aditivo
Interação
Resíduos
Total
Soma
Quadrática
Graus de Liberdade
m–1
n–1
(m – 1)(n – 1)
mn(p – 1)
N–1
Quadrado Médio
QML =
QMC =
QMI =
QMR =
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Fcalc
108
Estatística – Notas de Aulas
15.4 – Exercícios
15.4.1) O quadro seguir mostra os comprimentos das pétalas observados em uma amostra de flores de três
espécies diferentes. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que os comprimentos observados entre as
três espécies são significativamente diferentes ?
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
íris setosa
51
49
47
46
50
54
46
50
44
49
Espécie
íris versicolor
70
74
69
65
55
57
63
49
66
52
íris virginica
65
76
49
73
67
72
65
64
68
57
Fonte: Fisher (1936).
15.4.2) O quadro a seguir mostra o valor inverso do teor de hidrocarbonetos saturados observado em
amostras de óleo cru provenientes de três estratos geológicos. Com 5% de significância, é possível
afirmar que os teores médios são significativamente diferentes ?
Wilhelm
Sub-Mulinia
Superior
1
7,06
7,06
4,24
2
7,14
5,82
5,69
3
7,00
5,54
4,34
4
7,20
6,31
3,92
5
7,81
9,25
5,39
6
6,25
5,69
5,02
7
5,11
5,63
3,52
8
9
10
11
12
6,19
4,65
8,02
4,27
7,54
4,32
5,12
4,38
3,06
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
15.4.3) Um experimento tem por objetivo avaliar os efeitos sobre a resistência à tensão de ruptura, em
kgf/mm2, de cabos de aço, causados por dois fatores: composição da liga e processo de fabricação. Os
valores observados no experimento são mostrados no quadro a seguir. Com 5% de significância, pode-se
afirmar que:
a) As ligas metálicas produzem valores significativamente diferentes para a tensão de ruptura ?
b) Os processos de fabricação produzem valores significativamente diferentes para a tensão de
ruptura ?
Processo
Liga
A
B
C
1,5 1,6 1,2
1
1,8 1,8 1,4
2
1,4 1,4 1,3
3
0,9 1,7 1,4
4
15.4.4) O quadro a seguir mostra os valores observados em um experimento cujo objetivo é determinar os
efeitos produzidos por dois aditivos, em diferentes proporções, sobre o ponto de fusão (oC) de
determinado material. Pode-se afirmar que:
a) O aditivo 1 produz resultados significativamente diferentes ?
b) O aditivo 2 produz resultados significativamente diferentes ?
Aditivo 1
10%
15%
20%
5%
256
248
249
Aditivo 2
7,5%
10%
264
259
260
245
268
251
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
12,5%
265
258
255
109
Estatística – Notas de Aulas
15.4.5) Um dos fatores estudados no experimento mencionado no exemplo 15.3 é a opacidade, também
medida em dois níveis de fatores, taxa de extrusão e total de aditivo. Dados observados em um destes
experimentos são mostrados no quadro a seguir. Com 5% de significância, pode-se afirmar que:
d) Os dois níveis de taxa de extrusão produzem respostas significativamente diferentes ?
e) Os dois níveis de aditivo produzem respostas significativamente diferentes ?
f) Há interação entre os dois fatores ?
Taxa de - 10%
extrusão 10%
Total
Proporção de aditivo
1,0%
1,5%
4,4 6,4 3,0 4,1 0,8 5,7 2,0 3,9 1,9 5,7
2,8 4,1 3,8 1,6 3,4 8,4 5,2 6,9 2,7 1,9
Total
Fonte: Johnson e Wichern (1988).
15.4.6) O quadro a seguir mostra os teores de ácido esteárico observados em amostras de quatro tipos de
óleos vegetais. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que os teores observados são
significativamente diferentes ?
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Oliva
14,9
9,3
10,9
10,5
12,0
11,7
11,4
Origem
Colza Girassol
9,6
9,7
9,7
9,8
10,0
9,8
10,2
9,3
10,4
11,5
10,5
12,2
10,5
13,1
10,5
10,5
10,9
Fonte: Brodnjak-Vončina et al. (2005)
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
110
Estatística – Notas de Aulas
16. TESTE QUI-QUADRADO
Na prática, é comum que os resultados obtidos através de uma amostragem não correspondam
aos resultados esperados. Esta discrepância pode ser avaliada através do Método Qui-Quadrado, que
compara as freqüências observadas no experimento com as freqüências esperadas. Estas últimas podem
ser baseadas em distribuições de probabilidade ou observações conhecidas a priori. O método em questão
pode ser aplicado a dois tipos de estudos: teste de bondade de ajustamento, ou de aderência, e teste de
independência de variáveis. No primeiro caso o objetivo é determinar se as freqüências observadas
seguem uma determinada distribuição de probabilidade. No segundo caso o objetivo é verificar a
dependência de duas variáveis aleatórias, tomando por base os conceitos apresentados no capítulo 8, mais
especificamente no parágrafo que trata da independência de duas variáveis (8.7).
16.1 – Teste de Bondade de Ajustamento
Sejam os experimentos ε1 , ε2 , ... , εk , que ocorrem com freqüências observadas O1 , O2 , ... , Ok ,
respectivamente, e cujas freqüências esperadas são E1 , E2 , ... , Ek , respectivamente. A medida de
discrepância é a estatística χ2 (lê-se “qui-quadrado”), calculada por:
χ
2
k
∑
=
i =1
(O i − E i ) 2 .
Ei
(16.1)
A hipótese nula, H0, supõe que as freqüências observadas concordam com as freqüências esperadas, isto
é, Oi = Ei , i = 1 , 2 , ... , k. O valor crítico para a tomada de decisão é obtido diretamente na tabela da
distribuição qui-quadrado, com o número de graus de liberdade dado por φ = k – p – 1 , onde p é o
número de parâmetros da distribuição de probabilidade em questão. Neste caso, se as freqüências decem
seguir uma distribuição exponencial, por exemplo, o valor de p é 1, já que a referida distribuição possui
apenas uma parâmetro. Se a distribuição de interesse é a normal, então p = 2, correspondente aos
parâmetros µ e σ2.
Exemplo 16.1 – Uma reportagem publicada no jornal New York Post (data não disponível) mostrou os
resultados de 144 páreos, relacionando o número de vitórias com a posição de largada. Pode-se afirmar,
com 1% de significância, que há relação entre as posições de largada e de chegada ?
Posição
Vitórias
1
29
2
19
3
18
4
25
5
17
6
10
7
15
8
11
16.2 – Teste de Independência de Variáveis
Aqui são estudadas as discrepâncias observadas em experimentos que envolvem duas variáveis,
em diferentes níveis. O objetivo é verificar o grau de relação existente entre as variáveis estudadas. Os
valores observados podem ser anotados em um quadro da forma:
Variável X
X1
X2
...
Xm
Total
Variável Y
Y2
...
O12
...
O22
...
...
...
Om2
...
C2
...
Y1
O11
O21
...
Om1
C1
Yn
O1n
O2n
...
Omn
Cn
Total
L1
L2
...
Lm
T
A hipótese nula consiste na suposição de que não há relação, ou dependência, entre as variáveis,
isto é, Oij = Eij , i = 1 , 2 , ... , m e j = 1 , 2 , ... , n. A estatística de teste é dada por:
χ2 =
m
n
( O ij − E ij ) 2
i =1
j =1
E ij
∑∑
.
As freqüências esperadas são dadas por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(16.2)
111
Estatística – Notas de Aulas
E ij =
Li C j
T
.
(16.3)
Para a tomada de decisão utiliza-se o valor crítico obtido na tabela da distribuição qui-quadrado, com o
número de graus de liberdade dado por φ = (m – 1)(n – 1).
Exemplo 16.2 – O New England Journal of Medicine, v. 318, no. 4, publicou um estudo sobre os efeitos
da Aspirina® na prevenção de ataques cardíacos. O experimento envolveu 22131 médicos, que foram
monitorados durante seis anos. O medicamento foi ministrado em doses regulares a 11097 médicos,
enquanto 11034 médicos tomaram placebo. Os resultados observados são mostrados de forma mais
detalhada no quadro a seguir. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que há relação entra o uso do
medicamento e a ocorrência de ataques cardíacos ?
Placebo
Aspirina
Total
Ataque fatal
18
5
23
Ataque não fatal
171
99
270
Nenhum ataque
10845
10993
21838
Total
11034
11097
22131
Fonte: Agresti (1990)
16.3 – Exercícios
16.3.1) O quadro a seguir mostra os resultados de uma pesquisa publicada pelo jornal Folha de São Paulo,
em 23/09/2007. Na pesquisa foram entrevistadas 2771, das quais 588 declararam-se fumantes. As pessoas
incluídas neste grupo foram entrevistadas a respeito da intenção de abandonar o vício, e foram
classificadas de acordo com a renda, em salários mínimos. É possível afirmar, com 5% de significância,
que o comportamento está relacionado à renda ?
Já tentou parar de fumar ?
Sim
Não
Total
Até 2
115
45
160
Renda (SM)
De 2 a 5 De 5 a 10
83
115
45
45
128
160
Mais de 10
89
51
140
Total
402
186
588
Fonte: Jornal Folha de São Paulo, 23/09/2007
16.3.2) O quadro a seguir mostra os resultados observados em um estudo relacionando a aplicação da
pena de morte e a cor dos réus acusados de homicídio, bem como a cor das vítimas. Os dados foram
coletados em 20 municípios do estado norte-americano da Flórida, entre os anos de 1976 e 1977. Com 5%
de significância, é possível afirmar que há relação entre:
a) A cor dos réus e a sentença ?
b) A cor das vítimas e a sentença ?
Cor
Vítima
Branca
Branca
Negra
Branca
Negra
Negra
Réu
Pena de Morte
Sim
Não
19
132
0
9
11
52
6
97
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
112
Estatística – Notas de Aulas
16.3.3) O quadro a seguir mostra os resultados de uma pesquisa publicada no SPSS™ Advanced Statistics
Guide, 2nd. Ed. O objetivo da pesquisa era verificar a relação entre a renda e o nível de satisfação de 901
trabalhadores de áreas distintas. Com 5% de significância, pode-se afirmar que o nível de satisfação está
associado à renda ?
Renda (US$)
Muito insatisfeito
< 6000
6000 – 15000
15000 – 25000
25000 <
20
22
13
7
Nível de satisfação/insatisfação
Moderadamente
Moderadamente
insatisfeito
satisfeito
24
80
38
104
28
81
18
54
Muito satisfeito
82
125
113
92
Fonte: Agresti, 1990.
16.3.4) O quadro a seguir o número de casos de leucemia registrados pelo British Cancer Registry, entre
os anos de 1946 e 1960. Pode-se afirmar que o número de registros independe do mês ?
Mês
Casos
Jan
40
Fev
34
Mar
30
Abr
44
Mai
39
Jun
58
Jul
51
Ago
56
Set
36
Out
48
Nov
33
Dez
38
16.3.5) O quadro a seguir mostra os resultados de uma pesquisa eleitoral na qual os eleitores foram
classificados de acordo com a escolaridade. Com 5% de significância, pode-se afirmar que a intenção de
voto está associada à escolaridade ?
Escolaridade
Fundamental
Médio
Superior
Total
Lula
45
41
30
116
Candidato
Alckmin
Garotinho
19
14
26
10
33
7
78
31
Fonte: Jornal Folha de São Paulo, 19/03/2006.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
H. Helena
4
8
12
24
Total
82
85
82
249
113
Estatística – Notas de Aulas
17. TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
Os testes de hipóteses estudados até agora envolvem suposições sobre a distribuição das
populações das quais são extraídas as amostras. Na prática, contudo, há situações nas quais não há
justificativas para tais suposições. Em tais situações é possível utilizar testes que não dependam de
suposições a respeito de distribuições populacionais ou dos parâmetros envolvidos. Também podem ser
utilizados quando os dados estudados não envolvem variáveis numéricas.
17.1 – Teste do Sinal
Este teste é indicado para estudos que envolvem uma variável qualitativa binária, isto é, com
apenas dois possíveis resultados, traduzidos por seus sinais (positivo ou negativo). Este tipo de situação
ocorre, por exemplo, quando consumidores são indagados a respeito da melhora, ou não, da qualidade de
serviços ou produtos. Também pode ser aplicado em estudos que envolvem amostras casadas, ou
emparelhadas, isto é, amostras formadas por indivíduos observados individualmente e submetidos a dois
cenários diferentes. A hipótese nula postula que não há diferença significativa entre os totais de sinais
negativos e positivos, e toma por base uma distribuição binomial, aproximada pela normal, que supõe que
a proporção, tanto de sinais positivos como negativos, é igual a 0,5. A decisão é tomada a partir de
valores da distribuição normal. As etapas são resumidas a seguir.
Etapa 1: Registrar o número de sinais positivos, ou negativos, e representar o total por X.
Etapa 2: Considerar p = 0,5 e calcular Np, onde N é o total de sinais positivos e negativos.
Etapa 3: Se X < Np, fazer X* = X + 0,5. Se Np < X, fazer X* = X – 0,5.
Etapa 4: Efetuar a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal, isto é, calcular a
estatística z, dada por:
z=
X * − Np
.
Np (1 − p )
(17.1)
Etapa 5: Tomar a decisão, comparando o valor z com o valor crítico zC , correspondente ao nível de
significância desjado.
Exemplo 17.1 – Um estudo, com o objetivo de avaliar os efeitos de determinada dieta sobre portadores de
certa moléstia, acompanhou 20 pacientes por determinado período de tempo. Ao final deste período o
peso de cada paciente foi comparado com o peso (kg) anotado no início do estudo, a fim de verificar se o
mesmo havia aumentado ou diminuído. Os resultados são mostrados no quadro a seguir. Pode-se afirmar,
com 5% de significância, que a dieta é eficaz para a redução de peso ?
Paciente
Antes
Depois
1
85
76
2
78
70
3
77
82
H0: A dieta é inócua.
Paciente
Antes
Depois
Sinal
1
85
76
-
2
78
70
-
4
69
74
5
94
88
6
85
80
7
79
83
8
68
68
H1: A dieta é eficaz.
3
77
82
+
4
69
74
+
5
94
88
-
6
85
80
-
Total de sinais negativos: X = 13
→
7
79
83
+
9
72
68
10
75
78
11
79
82
12
84
80
13
85
81
14
76
79
15
96
88
16
85
79
17
86
82
18
78
75
19
80
75
20
76
72
15
96
88
-
16
85
79
-
17
86
82
-
18
78
75
-
19
80
75
-
20
76
72
-
Quantidade de sinais N =
8
68
68
0
z =
9
72
68
-
10
75
78
+
11
79
82
+
12
84
80
-
13
85
81
-
14
76
79
+
(13 − 0 , 5 ) − (19 )( 0 , 5 )
(19 )( 0 , 5 )( 0 , 5 )
Para o nível de significância desejado, o valor crítico é:
Decisão:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
=
114
Estatística – Notas de Aulas
17.2 – Teste U, de Mann-Whitney
É indicado para testes que envolvem variáveis ordinais, observadas para duas amostras. Também
pode substituir o teste t, para diferença de médias. As etapas são descritas a seguir.
Etapa 1: Ordenar os valores dentro de cada amostra. A ordenação é feita do menor para o maior.
Etapa 2: Atribuir postos para os valores ordenados, de modo que os menores valores recebam os menores
postos. Em caso de empate, isto é, de valores iguais, atribui-se a mediana dos postos que seriam
atribuídos, caso os valores fossem diferentes.
Etapa 3: Somar os postos dentro de cada amostra. Se as amostras têm tamanhos diferentes, representar
por R1 e n1 a soma dos postos e o tamanho da menor amostra, respectivamente.
Etapa 4: Calcular a estatística U, dada por:
U = n1 n 2 +
n 1 ( n 1 + 1)
− R1
2
(17.2)
Etapa 5: Calcular a média e a variância, dadas por:
n1 n 2
2
n 1 n 2 ( n 1 + n 2 + 1)
=
12
(17.3)
µU =
σ U2
(17.4)
Etapa 6: Calcular a estatística de teste, dada por:
zU =
U − µU
(17.5)
σU
Etapa 7: Tomar a decisão com base na distribuição normal.
Exemplo 17.2 – Uma pesquisa com 22 casais observou o grau de envolvimento amoroso de maridos e
esposas para com os respectivos parceiros. A variável resposta assume seus valores conforme a escala a
seguir:
1 – Nenhum
2 – Pouco
3 – Algum
4 – Muito
5 – Tremendo
Os valores observados são mostrados no quadro a seguir. Com 5% de significância, é possível afirmar
que o grau de envolvimento amoroso é significativamente diferente para maridos e esposas ?
Casal
Marido
Esposa
1
2
4
2
5
4
3
4
4
4
4
4
5
3
4
6
3
3
7
3
4
8
4
3
9
4
4
10
4
3
11
4
4
12
5
5
13
4
4
14
4
4
15
4
4
16
3
3
17
4
5
18
5
4
19
5
3
20
4
5
21
4
5
22
4
4
16
4
17
4
18
4
19
5
20
5
21
5
22
5
19
5
20
5
21
5
22
5
Fonte: Johnson e Wichern (1988).
Etapa 1: Ordenar os valores dentro de cada amostra (complete o quadro):
Casal
Marido
Esposa
1
2
2
3
3
3
4
3
5
3
6
4
7
4
8
4
9
4
10
4
11
4
12
4
13
4
14
4
15
4
Etapa 2: Atribuir postos para os valores ordenados (complete o quadro):
Casal
Marido
Postos
Esposa
Postos
1
2
1
3
6
2
3
6
3
6
3
3
6
3
6
4
3
6
3
6
5
3
6
3
6
6
4
7
4
8
4
9
4
10
4
11
4
12
4
13
4
14
4
15
4
16
4
17
4
18
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
115
Estatística – Notas de Aulas
Etapa 3: R1 =
n1 =
R2 =
n2 =
Etapa 4: Calcular a estatística U:
Etapa 5: Calcular a média e a variância:
Etapa 6: Calcular a estatística de teste:
Etapa 7: Tomar a decisão com base na distribuição normal:
17.3 – Teste H, de Kruskal-Wallis
O teste H pode ser considerado uma generalização do teste U pra mais de duas amostras. De fato,
as etapas para realização deste teste seguem o mesmo raciocínio utilizado para estudos com duas
amostras, com a diferença de que a estatística H segue distribuição qui-quadrado, com φ = k – 1 graus de
liberdade.
Sejam k amostras de tamanho n1 , ... , nk , de valores correspondentes a uma variável ordinal.
Inicialmente deve-se ordenar os valores dentro de cada amostra. Na seqüência, deve-se atribuir postos aos
valores ordenados, de modo análogo ao empregado no teste U. As somas dos postos, R1 , ... , Rk são
utilizadas para calcular a estatística H, dada por:
H =
Onde: N =
k
∑n
i
k
Ri2
12
− 3( N + 1)
∑
N ( N + 1) i =1 n i
.
(17.6)
.
i =1
Exemplo 17.3 – O quadro seguir mostra os comprimentos das pétalas observados em uma amostra de
flores de três espécies diferentes. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que os comprimentos
observados entre as três espécies são significativamente diferentes ?
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
íris setosa
51
49
47
46
50
54
46
50
44
49
Espécie
íris versicolor
70
74
69
65
55
57
63
49
66
52
íris virginica
65
76
49
73
67
72
65
64
68
57
Fonte: Fisher (1936).
Sugestão: Transformar os valores conforme a seguinte escala:
[44 ; 52[ = 1
[52 ; 60[ = 2
[60 ; 68[ = 3
[68 ; 76] = 4
O quadro com os valores convertidos para a escala acima é dado a seguir (complete):
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
116
Estatística – Notas de Aulas
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
íris setosa
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
Espécie
íris versicolor
4
4
4
íris virginica
3
4
1
Espécie
íris versicolor
íris virginica
Ordenar os valores:
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
íris setosa
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
Determinar a soma dos postos: R1 =
R2 =
R3 =
Calcular a estatística H:
Tomar a decisão:
17.4 – Exercícios
17.4.1) Aplicar o teste do sinal ao problema tratado no exemplo 17.2.
17.4.2) Para avaliar o grau de satisfação dos clientes com relação a certa modalidade de serviço, uma
empresa solicitou a um grupo de clientes que atribuísse uma nota, que varia de 0 a 5, conforme o grau de
satisfação de cada um. Os valores observados são mostrados no quadro a seguir. Com 5% de
significância, pode-se afirmar que o nível de satisfação não é significativamente diferente entre as
modalidades ?
Cliente
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Premium
2
5
4
5
5
4
3
3
2
1
Modalidade
Classic Personal
3
3
4
5
4
3
3
4
3
4
4
5
2
3
5
2
4
3
3
2
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
117
17.4.3) O Quadro 12.2 mostra os teores de ferro observados em amostras de óleo cru, uma oriunda de
argila Wilhelm (Tipo W) e outra de argila sub-mulinia (Tipo SM). Pode-se afirmar, com 5% de
significância, que o teor médio de ferro do Tipo W é significativamente superior ao teor médio do Tipo
SM ?
Quadro 12.2 – Teores de ferro (%) em amostras de óleo cru.
Observação 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Wilhelm
51 49 36 45 46 43 35
Sub-Mulinia 47 32 12 17 36 35 41 36 32 46 30
Fonte: Johnson e Wichern (1988)
17.4.4) O quadro a seguir mostra os teores de ácido esteárico observados em amostras de quatro tipos de
óleos vegetais. Pode-se afirmar, com 5% de significância, que os teores observados são
significativamente diferentes ?
Observação
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Oliva
14,9
9,3
10,9
10,5
12,0
11,7
11,4
Origem
Colza Girassol
9,6
9,7
9,7
9,8
10,0
9,8
10,2
9,3
10,4
11,5
10,5
12,2
10,5
13,1
10,5
10,5
10,9
Fonte: Brodnjak-Vončina et al. (2005)
Sugestão:
[9,3 ; 10,4[ = 1 [10,4 ; 11,5[ = 2 [11,5 ; 12,6[ = 3 [12,6 ; 13,7[ = 4 [13,7 ; 14,9] = 5.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
118
Estatística – Notas de Aulas
18. ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E DE REGRESSÃO
O conceito de correlação foi apresentado na unidade 8, e pode ser entendido como a expressão
do grau de relação entre duas variáveis aleatórias. A análise de correlação tem por objetivo avaliar este
grau a fim de verificar se é possível ajustar um modelo funcional que expresse a mencionada relação, que
é o objetivo da análise de regressão.
18.1 – Coeficiente de Correlação
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas definidas em um espaço amostral Ω, para as
quais são conhecidas n realizações na forma {(x1 , y1) , ... , (xn , yn)}, e com variâncias σ2X e σ2Y,
respectivamente. Conforme foi visto na unidade 8.7.3, o coeficiente de correlação de X e Y é a medida da
relação linear entre as duas variáveis, e é dado por:
ρ ( X ,Y ) =
Cov ( X , Y )
σ
2
X
.
(8.12)
σ Y2
O coeficiente de correlação ρ pertence ao intervalo real [– 1 ; 1] . Se ρ = 1 ou ρ = – 1, diz-se que a relação
é perfeita, e neste caso pode-se representa-la na forma Y = aX + b , onde a e b são números reais. Na
prática utiliza-se o coeficiente de correlação de Pearson, dado por:
n
 n
 n

n ∑ x i y i −  ∑ x i  ∑ y i 
i =1
 i =1   i =1 
r=


n ∑ x i2 −  ∑ x i 
i =1
 i =1 
n
n
2
.


n ∑ y i2 −  ∑ y i 
i =1
 i =1 
n
n
(18.1)
2
O coeficiente de correlação de Pearson fornece uma medida do grau de relação entre as duas variáveis. Se
r → 0, diz-se que há fraca correlação entre X e Y. Se r → – 1, ou r → 1, diz-se que há forte correlação.
Esta idéia é ilustrada, de forma bastante simplificada, na figura 18.1.
Ausência de correlação
Fraca correlação positiva
Forte correlação negativa
Forte correlação positiva
Figura 18.1 – Diagramas de Dispersão.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
119
Estatística – Notas de Aulas
Exemplo 18.1 – O quadro a seguir mostra a evolução das populações masculina e feminina no Brasil, de
1940 a 2000, em milhões de pessoas. Calcular o coeficiente de correlação.
Quadro 18.1 – População Brasileira 1940 – 2000.
Ano
1940 1950 1960 1970 1980 1991
População Masculina 20,6 25,9 35,0 46,3 59,1 72,5
População Feminina 20,6 26,0 35,1 46,8 59,9 74,3
2000
83,6
86,2
Fonte: IBGE – Folha de São Paulo (30/09/2003)
X = população masculina
Y = população feminina
Diagram a de Dispersão para o Quadro 18.1
100
80
60
40
20
0
0
∑ Xi = 343,0
∑ Yi = 348,9
20
40
∑ Xi2 = 20201,88
60
80
∑ Yi2 = 21061,55
100
∑ XiYi = 20626,26
n=7
18.2 – Análise de Regressão Linear
Na análise de correlação linear, o objetivo é determinar o grau de relacionamento entre duas
variáveis. Na análise de regressão linear, o objetivo é determinar o modelo que expressa esta relação.
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas, conforme apresentadas na introdução. Conforme já foi
visto, se o coeficiente de correlação é muito próximo de 1, ou de ( – 1), existe uma relação linear entre X e
Y, que pode ser expressa na forma:
yi = α + βxi + ε i
.
(18.2)
No modelo acima, α e β são os parâmetros do modelo, e εi é o resíduo correspondente à i – ésima
observação. Os resíduos também podem ser escritos na forma:
ε i = yi − α − β xi
.
(18.3)
Outra informação importante é que, na análise de regressão linear, parte-se da suposição de que os
resíduos têm distribuição normal, com média igual a zero e variância σ2, isto é, ε ~ N( 0 , σ2 ).
18.3 – Método dos Mínimos Quadrados
Para obter os Estimadores de Máxima Verossimilhança (EMV) dos parâmetros α e β, utiliza-se o
Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). O objetivo é minimizar a Soma dos Quadrados dos Resíduos
(SQR), na forma (18.3), dada por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
120
Estatística – Notas de Aulas
n
SQR =
∑ (y
i
− α − β xi )
.
2
(18.4)
i =1
As derivadas parciais, em relação aos parâmetros α e β, são dadas por:
n
∂
SQR = (− 2 )∑ ( y i − α − β x i ) .
∂α
i =1
(18.5)
n
∂
SQR = (− 2 )∑ ( y i − α − β x i )x i .
∂β
i =1
(18.6)
Após igualar as duas expressões a zero, e efetuar algumas manipulações algébricas elementares, obtém-se
o sistema de equações dado por:
n
ˆ
ˆn+β
α
∑ xi =
i =1
n
ˆ∑
α
n
∑y
i =1
n
ˆ
xi + β
∑ x i2 =
i =1
i
i =1
n
∑
i =1




xi yi 

.
(18.7)
O sistema (18.7) é chamado sistema normal, e a sua resolução fornece os estimadores para os parâmetros
desconhecidos do modelo linear, na forma:
ˆx.
ˆ +β
ŷ = α
Os parâmetros α e β também são chamados, respectivamente, de intercepto e coeficiente angular.
Exemplo 18.2 – Calcular os estimadores de máxima verossimilhança para o modelo linear ajustado aos
dados do Quadro 18.1.
∑ Xi = 343,0
∑ Yi = 348,9
∑ Xi2 = 20201,88
∑ Yi2 = 21061,55
∑ XiYi = 20626,26
n=7
18.3.1 – Análise da Variância (ANOVA) para o Modelo de Regressão Linear
A ANOVA pode ser empregada para testar a existência, e a significância, da regressão linear.
Este estudo tem por objetivo verificar se o modelo encontrado é consistente, ou seja, se produz resultados
confiáveis. O quadro para ANOVA do modelo de regressão linear é dado por:
Fonte de Variação
Regressão
Resíduos
Total
Quadro 18.2 – Quadro para ANOVA.
Soma Quadrática Graus de Liberdade
Quadrado Médio
VM
1
QVM = VM
VR
n–2
QVR = VR ÷ (n – 2)
VT
n–1
As hipóteses testadas são: H0: β = 0 × H1: β ≠ 0.
As somas quadráticas são dadas por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Fcalc
QVM ÷ QVR
121
Estatística – Notas de Aulas
 n
1 n
 n

VM = b  ∑ x i y i −  ∑ x i   ∑ y i   .
n
 i =1   i =1  
 i =1
2
 n
1 n
 
VT = b  ∑ y i2 −  ∑ y i  
n  i =1  
 i =1
.
.
VR = VT − VM
(18.9)
(18.10)
(18.11)
Exemplo 18.3 – Efetuar a ANOVA para o modelo obtido no exemplo anterior.
18.4 – Modelo Exponencial
Há situações nas quais o modelo linear não é o mais adequado para expressar a relação entre as
variáveis estudadas. Nestes casos pode-se pesquisar a possibilidade de expressar a referida relação através
de modelos não lineares. Os principais modelos não lineares serão apresentados de forma bastante sucinta
na seqüência.
O modelo exponencial é dado por:
y = α e βx
.
(18.12)
O gráfico para o modelo exponencial é mostrado na Figura 18.2.
Figura 18.2 – Gráfico do Modelo Exponencial.
Para obter os EMV dos parâmetros do modelo pode-se partir da forma linearizada, dada por:
ln y = ln α + β x
Fazendo A = ln α, obtém-se o sistema normal dado por:
n
ˆ
 n + β
∑ xi =
i =1
n
∑ ln y
i =1
n
n
i =1
i =1
ˆ
 ∑ x i + β
∑ x i2 =
n
∑
i =1
i




x i ln y i 

(18.13)
É importante ressaltar que, do ponto vista estritamente matemático, o procedimento adotado não
é consistente, uma vez que, ao efetuar a linearização, os resíduos são considerados na forma
multiplicativa, isto é, o procedimento exige que cada observação seja escrita na forma y i = α e β x i ε i .
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
122
Estatística – Notas de Aulas
Se os resíduos forem considerados na forma aditiva, dada por y i = α e β xi + ε i , a obtenção dos
estimadores exigiria a aplicação de métodos iterativos, entre os quais se destaca o método de NewtonRaphson. Entretanto, não é difícil verificar que o modelo obtido através da linearização é adequado.
O coeficiente de correlação para o modelo exponencial é dado por:
n
 n
 n

n ∑ x i ln y i −  ∑ x i   ∑ ln y i 
i =1
 i =1   i =1

r =
n
 n

n ∑ x i2 −  ∑ x i 
i =1
 i =1 
2
n
 n

n ∑ ln 2 y i −  ∑ ln y i 
i =1
 i =1

.
(18.14)
2
Exemplo 18.4 – O quadro a seguir mostra o faturamento total das empresas brasileiras de produtos light e
diet no período 1990 – 2002. Calcular o coeficiente de correlação e os EMV para um modelo
exponencial, a fim de estimar o faturamento total para determinado ano.
Quadro 18.3 – Faturamento, em milhões de US$, do mercado brasileiro de produtos diet e light.
Ano
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
Faturamento
160
175
400
736
1000
1700
2800
Fonte: Jornal Folha de São Paulo, 18/08/2004.
18.5 – Modelo Potência
O modelo, ou função, potência é dado por
y = αx β .
1
2
3
4
5
6
(18.15)
7
8
9
Figura 18.3 – Gráfico do Modelo Potência (β > 1).
Os EMV são obtidos a partir da linearização do modelo (18.15), o que resulta na expressão dada por:
ln y = ln α + β ln x
(18.16)
Fazendo A = ln α, o sistema normal para estimar os parâmetros desconhecidos fica:



i =1
i =1

n
n
n
2
2

ˆ
(
)(
)
 ∑ ln x i + β
ln
x
=
ln
x
ln
y
∑
∑
i
i
i

i =1
i =1
i =1
n
ˆ
 n + β
∑ ln x i =
n
∑ ln y
i
O coeficiente de correlação para o modelo potência é dado por:
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
(18.17)
123
Estatística – Notas de Aulas
n
 n
 n

n ∑ (ln x i )( ln y i ) −  ∑ ln x i   ∑ ln y i 
i =1
 i =1
  i =1

r =


n ∑ ln 2 x i −  ∑ ln x i 
i =1
 i =1

n
n
2
.


n ∑ ln 2 y i −  ∑ ln y i 
i =1
 i =1

n
n
(18.18)
2
Exemplo 18.7 – O quadro a seguir mostra a evolução das populações masculina e feminina no Brasil, de
1940 a 2000, em milhões de pessoas. Calcular o coeficiente de correlação para o modelo potência e
compara-lo com o coeficiente de correlação linear, obtido no exemplo 18.1.
Quadro 18.1 – População Brasileira 1940 – 2000.
Ano
1940 1950 1960 1970 1980 1991
População Masculina 20,6 25,9 35,0 46,3 59,1 72,5
População Feminina 20,6 26,0 35,1 46,8 59,9 74,3
2000
83,6
86,2
Fonte: IBGE – Folha de São Paulo (30/09/2003)
X = população masculina
Y = população feminina
18.6 – Modelo Logarítmico
É dado na forma
.
y = α + β ln x
(18.19)
O coeficiente de correlação para este modelo é dado por:
n
 n
 n

n ∑ (ln x i )( y i ) −  ∑ ln x i   ∑ y i 
i =1
 i =1
  i =1 
r=


n ∑ ln 2 x i −  ∑ ln x i 
i =1
 i =1

n
n
2
.


n∑ y i −  ∑ y i 
i =1
 i =1 
n
n
(18.20)
2
Os estimadores de máxima verossimilhança são obtidos pela resolução do sistema dado por:
n
ˆ
ˆn+β
α
∑ ln x i =
i =1
n
∑y
i
i =1
n
n
i =1
i =1
ˆ
ˆ ∑ xi + β
α
∑ ln 2 x i =
n
∑
i =1




y i ln x i 

.
(18.21)
18.7 – Exercícios
18.7.1) O Quadro 18.4 mostra os totais de transações com cheques e cartões eletrônicos efetuadas no
Brasil, no período 1994-2002.
Quadro 18.4 – Totais (× 1000000) de transações com cartões eletrônicos e de cheques compensados no
Brasil, no período 1994 – 2002.
Ano
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
Transações
200
300
380
440
490
580
730
853
937
Cheques
4140
3400
3160
2940
2750
2600
2630
2600
2420
a) Qual o modelo mais adequado para estimar o total de cheques em função do total de transações ?
b) Usar o modelo obtido acima para estimar o total de cheques para um total de 2 bilhões de
transações com cartão.
c) Qual o modelo mais adequado para estimar o total de transações ao longo do tempo ?
d) Usar o modelo encontrado acima para estimar o total de transações para o ano de 2010.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
124
Estatística – Notas de Aulas
e) Qual o modelo mais adequado para estimar o total de cheques compensados ao longo do tempo ?
f) Usar modelo encontrado acima para estimar o total de cheques compensados para o ano de 2010.
g) Em que ano o total de cheques compensados será inferior a 1 bilhão ?
18.7.2) O Quadro 18.5 mostra os totais de transações com cheques e cartões eletrônicos efetuadas no
Brasil, no período 1994-2002. Qual o modelo mais adequado para estimar o total de cheques
compensados em função do total de transações com cartões eletrônicos.
Quadro 18.5 – Totais (× 1000000) de transações com cartões eletrônicos e de cheques compensados no
Brasil, no período 1994 – 2002.
Ano
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
Transações
200
300
380
440
490
580
730
853
937
Cheques
4140
3400
3160
2940
2750
2600
2630
2600
2420
Diagram a de dispersão para os dados do Quadro
18.3
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
200
400
600
800
1000
18.7.3) Qual o modelo mais adequado para estimar o total de cheques compensados ao longo do tempo ?
5000
4000
3000
2000
1000
0
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
18.7.4) Utilizando o modelo encontrado no exemplo anterior, estimar o total de cheques compensados
para o ano de 2010.
18.7.5) O quadro a seguir mostra os teores de ácidos palmítico, esteárico, oléico e linoléico observados
em uma amostra de óleo de colza.
a)
Qual o modelo mais adequado para estimar o teor de ácido palmítico em função do teor de ácido
esteárico ?
b) Qual o modelo mais adequado para estimar o teor de ácido palmítico em função do teor de ácido
oléico ?
c) Qual o modelo mais adequado para estimar o teor de ácido oléico em função do teor de ácido
esteárico ?
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
Estatística – Notas de Aulas
125
Quadro 18.6 Teores de ácidos graxos.
Palmítico Esteárico
Oléico
Linoleico
9,6
3,5
30,3
49,2
9,7
3,9
25,1
54,2
10
4,2
24,9
53,2
10,2
4
23,1
55,1
10,4
4,2
25,9
50,8
10,5
4,2
25,5
52
10,5
4,2
24,4
52,1
10,5
4,3
24,6
53,1
10,9
3,6
26
52,6
10,9
3,8
27,2
49,5
11,9
3,8
25,7
52,7
18.7.6) Um modelo não linear que pode ser de grande utilidade é o Modelo Inverso, dado por:
y=α+
β
.
x
a) Escrever a expressão para calcular o coeficiente de correlação para o modelo dado.
b) Definir o sistema normal para o cálculo dos EMV para os parâmetros.
18.7.7) Calcular o coeficiente de correlação para ajustar um modelo inverso aos dados do problema
18.7.3, isto é, para estimar o total de cheques compensados ao longo do tempo.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
126
Estatística – Notas de Aulas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
TABELA 1 - Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1)
P(0 ≤ Z ≤ zc)
zc
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4394
*0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
*0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
3,0
0,4987
0,4987
0,4987
0,4988
0,4988
0,4989
0,4989
0,4989
0,4990
0,4990
3,10 ou +
0,4999
NOTA: Para valores de Z acima de 3,09, use 0,4999 como área.
* Use esses valores comuns resultantes de interpolação:
Escore z
Área
1,645
0,4500
2,575
0,4950
Esta tabela foi obtida na página do Departamento de Estatística da UFRN.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
127
Estatística – Notas de Aulas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
TABELA 2 - Distribuição t de Student (Unicaudal e Bicaudal)
ϕ = graus de liberdade
α
25%
10%
5%
2,5%
1%
0,5%
ϕ
α
25%
10%
5%
2,5%
1%
0,5%
ϕ
1
2
3
4
5
1,0000
0,8165
0,7649
0,7407
0,7267
3,0777
1,8856
1,6377
1,5332
1,4759
6,3138
2,9200
2,3534
2,1318
2,0150
12,7062
4,3027
3,1824
2,7764
2,5706
31,8207
6,9646
4,5407
3,7469
3,3649
63,6574
9,9248
5,8409
4,6041
4,0322
46
47
48
49
50
0,6799
0,6797
0,6796
0,6795
0,6794
1,3002
1,2998
1,2994
1,2991
1,2987
1,6787
1,6779
1,6772
1,6766
1,6759
2,0129
2,0117
2,0106
2,0096
2,0086
2,4102
2,4083
2,4066
2,4049
2,4033
2,6870
2,6846
2,6822
2,6800
2,6778
6
7
8
9
10
0,7176
0,7111
0,7064
0,7027
0,6998
1,4398
1,4149
1,3968
1,3830
1,3722
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
2,4469
2,3646
2,3060
2,2622
2,2281
3,1427
2,9980
2,8965
2,8214
2,7638
3,7074
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
51
52
53
54
55
0,6793
0,6792
0,6791
0,6791
0,6790
1,2984
1,2980
1,2977
1,2974
1,2971
1,6753
1,6747
1,6741
1,6736
1,6730
2,0076
2,0066
2,0057
2,0049
2,0040
2,4017
2,4002
2,3988
2,3974
2,3961
2,6757
2,6737
2,6718
2,6700
2,6682
11
12
13
14
15
0,6974
0,6955
0,6938
0,6924
0,6912
1,3634
1,3562
1,3502
1,3450
1,3406
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7531
2,2010
2,1788
2,1604
2,1448
2,1315
2,7181
2,6810
2,6503
2,6245
2,6025
3,1058
3,0545
3,0123
2,9768
2,9467
56
57
58
59
60
0,6789
0,6788
0,6787
0,6787
0,6786
1,2969
1,2966
1,2963
1,2961
1,2958
1,6725
1,6720
1,6716
1,6711
1,6706
2,0032
2,0025
2,0017
2,0010
2,0003
2,3948
2,3936
2,3924
2,3912
2,3901
2,6665
2,6649
2,6633
2,6618
2,6603
16
17
18
19
20
0,6901
0,6892
0,6884
0,6876
0,6870
1,3368
1,3334
1,3304
1,3277
1,3253
1,7459
1,7396
1,7341
1,7291
1,7247
2,1199
2,1098
2,1009
2,0930
2,0860
2,5835
2,5669
2,5524
2,5395
2,5280
2,9208
2,8982
2,8784
2,8609
2,8453
61
62
63
64
65
0,6785
0,6785
0,6784
0,6783
0,6783
1,2956
1,2954
1,2951
1,2949
1,2947
1,6702
1,6698
1,6694
1,6690
1,6686
1,9996
1,9990
1,9983
1,9977
1,9971
2,3890
2,3880
2,3870
2,3860
2,3851
2,6589
2,6575
2,6561
2,6549
2,6536
21
22
23
24
25
0,6864
0,6858
0,6853
0,6848
0,6844
1,3232
1,3212
1,3195
1,3178
1,3163
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7081
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,5177
2,5083
2,4999
2,4922
2,4851
2,8314
2,8188
2,8073
2,7969
2,7874
66
67
68
69
70
0,6782
0,6782
0,6781
0,6781
0,6780
1,2945
1,2943
1,2941
1,2939
1,2938
1,6683
1,6679
1,6676
1,6672
1,6669
1,9966
1,9960
1,9955
1,9949
1,9944
2,3842
2,3833
2,3824
2,3816
2,3808
2,6524
2,6512
2,6501
2,6490
2,6479
26
27
28
29
30
0,6840
0,6837
0,6834
0,6830
0,6828
1,3150
1,3137
1,3125
1,3114
1,3104
1,7056
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
2,0555
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,4786
2,4727
2,4671
2,4620
2,4573
2,7787
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
71
72
73
74
75
0,6780
0,6779
0,6779
0,6778
0,6778
1,2936
1,2934
1,2933
1,2931
1,2929
1,6666
1,6663
1,6660
1,6657
1,6654
1,9939
1,9935
1,9930
1,9925
1,9921
2,3800
2,3793
2,3785
2,3778
2,3771
2,6469
2,6459
2,6449
2,6439
2,6430
31
32
33
34
35
0,6825
0,6822
0,6820
0,6818
0,6816
1,3095
1,3086
1,3077
1,3070
1,3062
1,6955
1,6939
1,6924
1,6909
1,6896
2,0395
2,0369
2,0345
2,0322
2,0301
2,4528
2,4487
2,4448
2,4411
2,4377
2,7440
2,7385
2,7333
2,7284
2,7238
76
77
78
79
80
0,6777
0,6777
0,6776
0,6776
0,6776
1,2928
1,2926
1,2925
1,2924
1,2922
1,6652
1,6649
1,6646
1,6644
1,6641
1,9917
1,9913
1,9908
1,9905
1,9901
2,3764
2,3758
2,3751
2,3745
2,3739
2,6421
2,6412
2,6403
2,6395
2,6387
36
37
38
39
40
0,6814
0,6812
0,6810
0,6808
0,6807
1,3055
1,3049
1,3042
1,3036
1,3031
1,6883
1,6871
1,6860
1,6849
1,6839
2,0281
2,0262
2,0244
2,0227
2,0211
2,4345
2,4314
2,4286
2,4258
2,4233
2,7195
2,7154
2,7116
2,7079
2,7045
81
82
83
84
85
0,6775
0,6775
0,6775
0,6774
0,6774
1,2921
1,2920
1,2918
1,2917
1,2916
1,6639
1,6636
1,6634
1,6632
1,6630
1,9897
1,9893
1,9890
1,9886
1,9883
2,3733
2,3727
2,3721
2,3716
2,3710
2,6379
2,6371
2,6364
2,6356
2,6349
41
42
43
44
45
0,6805
0,6804
0,6802
0,6801
0,6800
1,3025
1,3020
1,3016
1,3011
1,3006
1,6829
1,6820
1,6811
1,6802
1,6794
2,0195
2,0181
2,0167
2,0154
2,0141
2,4208
2,4185
2,4163
2,4141
2,4121
2,7012
2,6981
2,6951
2,6923
2,6896
86
87
88
89
90
0,6774
0,6773
0,6773
0,6773
0,6772
1,2915
1,2914
1,2912
1,2911
1,2910
1,6628
1,6626
1,6624
1,6622
1,6620
1,9879
1,9876
1,9873
1,9870
1,9867
2,3705
2,3700
2,3695
2,3690
2,3685
2,6342
2,6335
2,6329
2,6322
2,6316
100
120

0,677
0,677
0,674
1,290
1,289
1,282
1,660
1,658
1,645
1,984
1,980
1,960
2,364
2,358
2,326
2,626
2,617
2,576
Esta tabela foi obtida na página do Departamento de Estatística da UFRN.
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
128
Estatística – Notas de Aulas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
TABELA 3 - Distribuição Qui-Quadrado
ϕ = graus de liberdade
α
0,995
0,99
0,975
0,95
0,90
0,75
0,50
0,25
0,10
1
2
3
4
5
0,0004
0,010
0,072
0,207
0,412
0,002
0,020
0,115
0,297
0,554
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
0,102
0,575
1,213
1,923
2,675
0,455
1,386
2,366
3,357
4,351
1,323
2,773
4,108
5,385
6,626
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
6
7
8
9
10
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
3,455
4,255
5,071
5,899
6,737
5,348
6,346
7,344
8,343
9,342
7,841
9,037
10,219
11,389
12,549
11
12
13
14
15
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
7,584
8,438
9,299
10,165
11,036
10,341
11,340
12,340
13,339
14,339
16
17
18
19
20
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
11,912
12,792
13,675
14,562
15,452
21
22
23
24
25
8,034 8,897 10,283 11,591
8,643 9,542 10,982 12,338
9,260 10,196 11,689 13,091
9,886 10,856 12,401 13,848
10,520 11,524 13,120 14,611
13,240
14,042
14,848
15,659
16,473
26
27
28
29
30
11,160
11,808
12,461
13,121
13,787
12,198
12,879
13,565
14,257
14,954
13,844
14,573
15,308
16,047
16,791
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
31
32
33
34
35
14,458
15,134
15,815
16,501
17,192
15,655
16,362
17,074
17,789
18,509
17,539
18,291
19,047
19,806
20,569
36
37
38
39
40
17,887
18,586
19,289
19,996
20,707
19,233
19,960
20,691
21,426
22,164
41
42
43
44
45
21,421
22,138
22,859
23,584
24,311
50
60
70
80
90
100
27,991
35,534
43,275
51,172
59,196
67,328
ϕ
0,05
0,005
0,001
3,841 5,024 6,635
5,991 7,378 9,210
7,815 9,348 11,345
9,488 11,143 13,277
11,071 12,833 15,086
7,879
10,597
12,838
14,860
16,750
10,828
13,816
16,266
18,467
20,515
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
18,548
20,278
21,955
23,589
25,188
22,458
24,322
26,125
27,877
29,588
13,701
14,845
15,984
17,117
18,245
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
26,757
28,299
29,819
31,319
32,801
31,264
32,909
34,528
36,123
37,697
15,338
16,338
17,338
18,338
19,337
19,369
20,489
21,605
22,718
23,828
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
34,267
35,718
37,156
38,582
39,997
39,252
40,790
43,312
43,820
45,315
16,344
17,240
18,137
19,037
19,939
20,337
21,337
22,337
22,337
24,337
24,935
26,039
27,141
28,241
29,339
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
41,401
42,796
44,181
45,559
46,928
46,797
48,268
49,728
51,179
52,620
17,292
18,114
18,939
19,768
20,599
20,843
21,749
22,657
23,567
24,478
25,336
26,336
27,336
28,336
29,336
30,434
31,528
32,620
33,711
34,800
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
41,923
43,194
44,461
45,722
46,979
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
48,290
49,645
50,993
52,336
53,672
54,052
55,476
56,892
58,302
59,703
19,281
20,072
20,867
21,664
22,465
21,434
22,271
23,110
23,952
24,797
25,390
26,304
27,219
28,136
29,054
30,336
31,336
32,336
33,336
34,336
35,887
36,973
38,058
39,141
40,223
41,422
42,585
43,745
44,903
46,059
44,985
46,194
47,400
48,602
49,802
48,232
49,480
50,725
51,966
53,203
52,191
53,486
54,776
56,061
57,342
55,003
56,328
57,648
58,964
60,275
61,098
62,487
63,870
65,247
66,619
21,336
22,106
22,878
23,654
24,433
23,269
24,075
24,884
25,695
26,509
25,643
26,492
27,343
28,196
29,051
29,973
30,893
31,815
32,737
33,660
35,336
36,336
37,335
38,335
39,335
41,304
42,383
43,462
44,539
45,616
47,212
48,363
49,513
50,660
51,805
50,998
52,192
53,384
54,572
55,758
54,437
55,668
56,896
58,120
59,342
58,619
59,892
61,162
62,428
63,691
61,581
62,883
64,181
65,476
66,766
67,985
69,346
70,701
72,055
73,402
22,906
23,650
24,398
25,148
25,901
25,215
25,999
26,785
27,575
28,366
27,326
28,144
28,965
29,787
30,612
29,907
30,765
31,625
32,487
33,350
34,585
35,510
36,436
37,363
38,291
40,335
41,335
42,335
43,335
44,335
46,692
47,766
48,840
49,913
50,985
52,949
54,090
55,230
56,369
57,505
56,942
58,124
59,304
60,481
61,656
60,561
61,777
62,990
64,201
65,410
64,950
66,206
67,459
68,710
69,957
68,053
69,336
70,616
71,893
73,166
74,745
76,084
77,419
78,750
80,077
29,707
37,485
45,442
53,540
61,754
70,065
32,357
40,482
48,758
57,153
65,647
74,222
34,764
43,188
51,739
60,391
69,126
77,929
37,689
46,459
55,329
64,278
73,291
82,358
42,942
52,294
61,698
71,145
80,625
90,133
49,335
59,335
69,335
79,335
89,335
99,335
56,334
66,981
77,577
88,130
98,650
109,141
63,167
74,397
85,527
96,578
107,565
118,498
67,505
79,082
90,531
101,879
113,145
124,342
71,420
83,298
95,023
106,629
118,136
129,561
76,154
88,379
100,425
112,329
124,116
135,807
79,490
91,952
104,215
116,321
128,299
140,169
86,661
99,607
112,317
124,839
137,208
149,449
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.
0,025
0,01
129
Estatística – Notas de Aulas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
TABELA 4 - Distribuição F de Fisher α = 5%
Graus de liberdade para o denominador
Graus de liberdade para o numerador
φ1
φ2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
15
16
18
20
24
30
40
60
120
∞
161,4
18,51
10,13
7,71
6,61
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
234,0
19,33
8,94
6,16
4,95
236,8
19,35
8,89
6,09
4,88
238,9
19,37
8,85
6,04
4,82
240,5
19,38
8,81
6,00
4,77
241,9
19,40
8,79
5,96
4,74
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
245,4
19,42
8,72
5,87
4,64
245,9
19,43
8,70
5,86
4,62
246,5
19,43
8,69
5,84
4,60
247,3
19,44
8,67
5,82
4,58
248,0
19,45
8,66
5,80
4,56
249,1
19,45
8,64
5,77
4,53
250,1
19,46
8,62
5,75
4,50
251,1
19,47
8,59
5,72
4,46
252,2
19,48
8,57
5,69
4,43
253,3
19,49
8,55
5,66
4,40
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
6
7
8
9
10
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
3,96
3,53
3,24
3,03
2,87
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
3,92
3,49
3,20
2,99
2,83
3,90
3,47
3,17
2,96
2,80
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
11
12
13
14
15
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,74
2,64
2,55
2,48
2,42
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,70
2,60
2,52
2,44
2,39
2,67
2,57
2,48
2,41
2,35
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
16
17
18
19
20
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,37
2,34
2,29
2,26
2,22
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,33
2,29
2,25
2,22
2,18
2,30
2,26
2,22
2,18
2,15
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
21
22
23
24
25
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
3,47
3,44
3,42
3,40
3,39
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,20
2,17
2,15
2,13
2,11
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,16
2,13
2,11
2,09
2,07
2,12
2,10
2,08
2,05
2,04
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
26
27
28
29
30
4,23
4,21
4,20
4,18
4,17
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,09
2,08
2,06
2,05
2,04
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
2,05
2,04
2,02
2,01
1,99
2,02
2,00
1,99
1,97
1,96
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
40
60
120
∞
4,08 3,23 2,84
4,00 3,15 2,76
3,92 3,07 2,68
2,61 2,45 2,34 2,25
2,53 2,37 2,25 2,17
2,45 2,29 2,17 2,09
2,18 2,12
2,10 2,04
2,02 1,96
2,08 2,00
1,99 1,92
1,91 1,83
1,95
1,86
1,77
1,92 1,90
1,84 1,81
1,75 1,72
1,87
1,78
1,69
1,84
1,75
1,66
1,79
1,70
1,61
1,74 1,69
1,65 1,59
1,55 1,50
1,64 1,58
1,53 1,47
1,43 1,35
1,51
1,39
1,25
3,84 3,00 2,60
2,37 2,21 2,10 2,01
1,94 1,88
1,83 1,75
1,69
1,67 1,63
1,60
1,57
1,52
1,46 1,39
1,32 1,22
1,00
Professor Inácio Andruski Guimarães, DSc.