Curso de Estatística para Concursos – André L. Santos

ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Sumário
APRESENTAÇÃO .......................................................................... 2
1.
CONCEITOS ......................................................................... 4
2.
TABELAS DE FREQUÊNCIAS E HISTOGRAMAS ........................... 8
3.
GRÁFICOS DE PARETO ........................................................ 12
4.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ....................................... 16
5.
ASSIMETRIA ...................................................................... 19
6.
GRÁFICOS DE CAIXA (BLOXPLOT), QUARTIS E PERCENTIS ...... 21
7.
MEDIDAS DE VARIABILIDADE .............................................. 22
8.
FÓRMULA ABREVIADA DA VARIÂNCIA ................................... 26
9.
PROPRIEDADES DA MÉDIA E DA VARIÂNCIA .......................... 27
10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................... 31
11. ENUNCIADOS DE EXERCÍCIOS ............................................. 79
12. GABARITOS ....................................................................... 93
13. FORMULÁRIO DESTA AULA ................................................... 95
14. TIPOS DE GRÁFICOS VISTOS ............................................... 97
15. RESUMÃO DE CONCEITOS ................................................... 99
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1
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
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APRESENTAÇÃO
Futuros analistas,
Em preparação ao nosso longo edital de Analista do Tesouro, é bom já ir
se preparando em nossas matérias básicas.
Tema
Data
imediata
Estatística
Descritiva
0
1
2
3
4
Estatística
Probabilística
Distribuição
de
Probabilidades
Probabilidades
Discretas
Probabilidades
Contínuas
18/02
28/02
10/03
20/03
30/03
Inferência
Estatística
5
6
Teste de
hipóteses
10/04
20/04
Correlação e
Índices
7
Item do edital
Descrição univariada: população e amostra; estatística descritiva e
inferencial; classificação e caracterização de uma variável estatística; níveis
de mensuração; dados em série e agrupados; distribuições de freqüências;
histograma e polígono de freqüências; medidas de tendência central;
medidas de variabilidade absoluta e relativa; medidas de assimetria e
curtose.
Fundamentos da Teoria de Probabilidades: experimento aleatório; espaço
amostra e eventos; os principais conceitos de probabilidade e os teoremas
fundamentais do cálculo; probabilidade condicional; independência de
eventos; teorema de Bayes
Técnicas de Contagem e Análise Combinatória. Distribuições de
probabilidades discretas e contínuas (conceitos gerais e usos de descritiva).
Proporções e regras de proporcionalidade de grandezas. Combinações,
Arranjos e Permutação.
Variáveis aleatórias unidimensionais discretas: conceito de variável aleatória;
função de probabilidade e função de distribuição; valor esperado e desvio
padrão de variável aleatória discreta; modelos probabilísticos discretos:
Binomial e Poisson.
. Variáveis aleatórias unidimensionais contínuas: função de densidade e
função de distribuição; valor esperado e desvio padrão de variável aleatória
contínua; modelos probabilísticos contínuos; distribuição Normal;
Variáveis contínuas: distribuição T de Student; distribuição F de Snedecor e
distribuição Qui-quadrado. Amostragem e estimação: estimador, estimativa
e distribuições amostrais; distribuição amostral da média; distribuição
amostral da proporção; características de um bom estimador. Intervalos de
confiança: intervalo para a média populacional; intervalo para a proporção;
cálculo do tamanho da amostra para os intervalos de confiança para média e
proporção.
Testes de Hipóteses: tipos de erros; significância e potência de um teste;
testes sobre a média e a proporção populacionais
Variável aleatória bidimensional: independência de variáveis aleatórias;
covariância e independência linear; o coeficiente de correlação de Pearson
Análise de variância de classificação simples. Modelo de Regressão Linear
Simples e Múltipla: pressupostos básicos; estimadores de Mínimos
Quadrados e suas propriedades; testes de significância; coeficientes de
determinação; coeficiente de determinação ajustado; estimação de formas
linearizáveis; predição por regressão simples e múltipla. Testes de hipóteses
para médias e proporções. Correlação e Regressão Linear simples. Descrição
de variações: índices, fatores e taxas; índices de preços e de quantidades
pelo critério de Laspeyres e Paasche; poder aquisitivo e deflacionamento
A banca provavelmente será a ESAF, e certamente as questões
seguirão a linha da estatística para os concursos de fiscal. A ESAF,
tradicional banca da Receita Federal, é bem heterodoxa na sua abordagem de
estatística. Seu caminho das pedras só será entendido por quem tiver bastante
prática. Por isso, além da ESAF, incluí exercícios de outras bancas como FGV e
FCC, especialmente a FCC que tem se tornado o benchmarking em estatística
fiscal. Faça exercícios de outras bancas, afinal, antes de entender como a ESAF
pensa estatística, você precisa entender estatística.
Quanto a mim, seu professor, Sou André Luiz dos Santos, sou formado
engenheiro pela USP, com mestrado pelo IPT-SP. Fui aprovado nos concursos
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fiscais da prefeitura de Cotia (15º), Arujá (10º) e no Tribunal de Justiça do
Estado de São Paulo (14º). Concluí um MBA pela notória FGV, estrela de tantos
outros concursos. Como trabalho na área técnica, procuro ser bem “mão na
massa” com matemática. Trabalho com Estatística na minha vida profissional,
você está lendo material de quem lida com o que ensina. E em concursos
temos que ser pragmáticos
Sigo a abordagem tradicional, porque sei que a maioria de vocês não
tem habilidade, e mesmo para tomar atalhos é requerida habilidade. No
começo é melhor ir com segurança. A primeira parte da aula será a teoria
explicada devagar e com exemplos bem simples. Depois teremos os exercícios
resolvidos, ai vem a parte pesada. Não passe por ela sem fazer. Dificilmente
alguém entende lendo apenas a teoria.
Procurei fazer este curso com respeitando a dedicação, pragmatismo e
senso de objetivo do candidato. Espero que vocês não só gostem, mas
passem.
Vamos lá, bons estudos!
André L. Santos
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. CONCEITOS
Durante nossos exercícios de estatística para concurso, vamos ver
diversos conceitos espalhados pelos enunciados. No início desta aula de
estatística descritiva é prudente que repassemos os conceitos mais pedidos
pelas bancas. Dessa forma, tendo visto o conceito com rigor, poderemos
rapidamente compreender os enunciados.
A Ciência da Estatística é a ramo da Matemática que se preocupa
com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados
experimentais. Exemplo: Este curso visa ensinar a Ciência da Estatística
População é uma coleção completa de todos os elementos a
serem estudados. Exemplo que veio da vida para a matemática, o conjunto
de todos os brasileiros é a população brasileira. O conjunto de todos os
planetas do sistema solar é uma população.
Censo é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de
uma população. Como exemplo, a contagem dos cidadãos do um país feito
pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (por que será que tem este
nome, hein?)
Amostra é uma subcoleção de elementos extraídos de uma
população. Ao se sortear pessoas para uma entrevista, fazemos uma
“amostra” da população. Ao se tirar 2 ml de sangue para um exame clínico
com uma seringa, tiramos uma “amostra” de sangue para análise. Neste
exemplo, a população seria todo o sangue do paciente. Rapidamente percebese que trabalhar com populações é inviável.
Parâmetro é uma medida numérica que descreve uma
característica de uma população. Por exemplo, o parâmetro de expectativa
de vida do brasileiro (até agora) é 76 anos. Em média, a população de
cidadãos brasileiros vive 76 anos.
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Uma estatística no sentido estrito é uma medida numérica que
descreve uma característica de uma amostra. No exemplo do sangue, se
a análise resultar que o nível de glicose é de 86 mg/dl esta é uma estatística
da amostra, e só se refere à amostra. No decorrer do curso, veremos como
avaliar se a amostra é representativa da população. Pode não ser. Se
tomarmos uma amostra de óbitos de cidadãos brasileiros de zonas
notadamente carentes de saúde, teremos uma estatística de expectativa de
vida menor que 76 anos, que é diferente do parâmetro da população brasileira.
Um dado é uma unidade básica de informação, normalmente o
resultado da experiência ou observação. Por exemplo, “este frasco de talco
tem peso líquido de 199,8g”
Uma informação é o conhecimento obtido pela comparação de
diversos dados. Por exemplo, “Os frascos de talco desta marca tem peso
líquido médio de 200g”. Nota-se que esta informação não poderia ter sido
obtida do dado de um único frasco, ela veio de mais de um dado, seja da
medição de uma amostra ou população de frascos. Mas estas definições não
são escritas na rocha: No caso, se o fabricante tivesse afirmado, seria um
dado.
Uma proposição é o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento ou juízo de sentido completo. Por exemplo,
“este frasco de talco tem peso líquido de 199,8g” ou 9<6. As proposições são
expressas em linguagem. Nos exemplos, a primeira foi em bom português, a
segunda em símbolos matemáticos. As proposições podem ser verdadeiras ou
falsas. No exemplo dado, 9<6 é uma proposição falsa. As proposições podem
ser simples (no caso os exemplos) ou compostas, por exemplo “este frasco de
talco tem peso líquido de 199,8g e tem gipsita em sua composição”. A
estatística lidará com proposições, mas a disciplina que lida com elas por
excelência é o raciocínio lógico.
Dados quantitativos consistem em números que representam
contagens ou medidas. Por exemplo, “Alturas dos alunos de uma sala em
metros: 1,52; 1,61; 1,54; 1,52; 1,85; 1,71”
Dados qualitativos (ou dados categóricos ou dados atributos)
podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por
alguma característica não-numérica. Por exemplo, “Principais bancas no
Brasil: CESPE, ESAF, FCC, FGV, Cesgranrio, Vunesp”
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Dados discretos são dados quantitativos que resultam de um
conjunto finito de valores possíveis, ou de um conjunto enumerável destes
valores. Por exemplo, “Pontuações possíveis num concurso de 160 questões de
alternativa de um ponto cada: 0,1,2,3... 157,158,159,160”
Dados contínuos (numéricos) são dados quantitativos resultam
de um número infinito de valores possíveis que podem ser associados
a pontos em uma escala contínua de tal maneira que não haja
interrupções. Por exemplo, “Velocidades instantâneas de carros num
determinado ponto da estrada em km/h: 100,2; 110,5; 96,3”
Importante: A mínima unidade de medição não significa que um dado
contínuo é discreto. Se minha régua mede até milímetros, não quer dizer
que minha medida de distância é discreta em milímetros. Se a régua mediu
25mm, a medida real bem poderia ter sido 25,46mm se tivesse um
instrumento com mais precisão, como um micrômetro, por exemplo.
Nível nominal de mensuração é caracterizado por dados que
consistem apenas em nomes, rótulos ou categorias. Os dados não podem
ser dispostos segundo um esquema ordenado. Exemplo, “Respostas possíveis
a uma pesquisa eleitoral de segundo turno: Candidato Alfa, Candidato Beta,
Branco, Nulos, Indecisos”.
Nível ordinal de mensuração envolvem dados que podem ser
dispostos em alguma ordem, mas as diferenças entre valores dos
dados não podem ser determinadas ou não tem sentido. Exemplo,
“Respostas possíveis a uma pergunta em uma pesquisa: Concordo fortemente,
concordo, indiferente, discordo, discordo fortemente, não sei”. Dá para
perceber que há uma ordem e hierarquia, mas não há uma medição precisa da
distância entre elas.
Nível intervalar de mensuração é análogo ao nível ordinal, com a
propriedade de que podemos determinar diferenças significativas
entre os dados. Todavia não existe um ponto de partida zero inerente ou
natural onde não haja qualquer quantidade presente. Isto é muito comum em
escalas com zero arbitrado. Exemplo, “temperaturas médias mensais em São
Paulo em graus Celsius, 25; 24;20;16;18;22;25”. Não se pode dizer que 20ºC
é 20% mais quente que 24ºC porque 0ºC foi determinado arbitrariamente no
congelamento da água (isto não se aplica graus Kelvin, que parte do zero
absoluto)
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Nível de razão de mensuração é o nível de intervalo modificado
de modo a incluir o ponto de partida zero inerente, onde zero significa
nenhuma quantidade presente. Para valores neste nível, tanto as
diferenças como as razões tem significado. Exemplo, “Receitas trimestrais de
uma empresa em milhões de reais: 250, 300, 200, 180”. Pode-se dizer que R$
200.000.000,00 é 20% menor que 240.000.000,00. Pode-se dizer que R$
300.000.000,00 é cem milhões de reais maior que R$ 200.000.000,00. E que
receita zero é receita nenhuma.
Um
estudo
observacional
verificam-se
e
medem-se
características específicas, mas não se tenta manipular ou modificar os
elementos a serem estudados.
Por exemplo, “Peso total bruto de
caminhões trafegando numa rodovia: 25t; 20t; 12t; 8t; 23t”
Em um experimento aplica-se determinado tratamento e passa-se
a observar seus efeitos a serem pesquisados. Exemplo “Teores de
determinada substância na urina de pacientes submetidos a tratamento:
60mg/ml; 56 mg/ml; 80 mg/ml”. Ou seja, é uma condição não natural, houve
um tratamento que podia ou não ter alterado os teores normais.
Uma amostra aleatória os elementos da população são escolhidos
de tal forma que cada um deles tenha igual chance de figurar na
amostra. Exemplo, num tanque perfeitamente agitado, 100ml de líquido são
retirados a título de amostra. Como é um granel misturado, pode-se considerar
uma amostra aleatória. Outro exemplo, num tanque com uma população de
peixes, uma rede é lançada e captura 3 peixes para exames. Supõe-se que os
peixes estejam nadando aleatoriamente.
Uma amostragem estratificada é uma amostragem que a
população é subdividida em no mínimo duas subpopulações que
compartilham das mesmas características e em seguida se extrai uma
amostra aleatória de cada extrato. Por exemplo, os computadores da
Receita Federal separam as declarações de renda de pessoas físicas em faixas
de renda e sorteiam algumas de cada faixa para escrutínios dos fiscais.
Uma amostragem por conglomerados é uma estratificada em que
o espaço amostral é um dos conglomerados/extratos. Repetindo o
exemplo anterior, os computadores da Receita Federal separam as declarações
de IRPF em faixas de renda, mas especificamente os fiscais se interessam no
escrutínio de amostras aleatórias na faixa de renda superior do estudo. A
banca FGV considerou esta como uma definição de amostragem por
conglomerados: “na amostragem por conglomerado a população é
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dividida em diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos
conglomerados selecionados”
Uma amostragem sistemática escolhemos um ponto de partida e
selecionamos um elemento a cada determinada distância ou
frequência. Exemplo, uma tecelagem extrai uma amostra para análise de fio
a cada 10000m de fio produzido.
Um erro amostral é a diferença entre os resultados amostrais e o
verdadeiro resultado populacional; tais erros resultam de flutuações
amostrais aleatórias. Exemplo, uma linha de produção envasa um silo de 200t
de dolomita em 200.000 sacos de 1000g por hora. Em uma amostra de 5
sacos retirados aleatoriamente dos produzidos, a média de peso foi de 995g.
Este 5g é o erro amostral. Se todos os sacos, ie, a população pudesse ser
medida, o peso médio seria de 1000g.
Um erro não amostral ocorre quando os dados amostrais são
coletados, registrados ou analisados incorretamente, é um erro que não
se atribui à variação amostral aleatória, como a escolha de uma amostra não
aleatória e tendenciosa ou a utilização de um instrumento de mensuração
defeituoso. Por exemplo, no caso da linha de produção acima, os cinco sacos
de amostra podem ser medidos numa balança descalibrada que dá média de
peso deles de 975g. 25g é um erro não amostral. No caso, o amostrador
também propositadamente podia ter escolhido os sacos mais murchos para
retirar de amostra e subavaliar de caso pensado o peso do envase.
Todas as definições acima deram precisas definições do que veremos ao
longo do curso e das questões de estatística.
2. TABELAS DE FREQUÊNCIAS E HISTOGRAMAS
Este tema é querido às bancas. Ele é bem básico, mas por que não tirar
pontos preciosos dele? Só requer experiência para no dia da pressão da prova
manipular os dados e extrair o ponto.
Uma tabela de frequências relaciona categorias (ou classes) de valores
juntamente com contagens (ou frequências) do número de valores que se
enquadram em cada categoria.
Vamos ao exemplo: Um grande fabricante de peças dividiu seus clientes
em classes de faturamento anual de pedidos para determinar o nível de
atendimento, pós-venda e assistência técnica a cada um deles.
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Classe de cliente
Pedidos anuais
# clientes
Padrão
Até R$ 100.000
80
Preferencial
de R$ 100.000 até R$ 200.000
20
Premium
de R$ 200.000 até R$ 300.000
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Nesta tabela, os limites inferiores de classe são os menores números
que podem efetivamente pertencer a cada classe. No caso, 0 (hipoteticamente.
Quem fez R$0 de pedido não é cliente); 100.000 e 200.000. Os limites
superiores de classe são os maiores números que podem efetivamente
pertencer a cada classe. Ou seja, 100.000; 200.000 e 300.000.
Uma questão que sempre pode surgir é o que fazer nas fronteiras. No
caso, a tabela já explicou usando o de... até. “De“ pertence à classe, “até” não
é da classe. Por exemplo, um cliente que tenha pedido R$ 200.000,00 exatos é
cliente Premium, porque a categoriam Premium é “de 200.000” enquanto a
Preferencial
é
“até
200.000”.
Em
linguagem
matemática,
100.000<=Preferencial<200.000
O aluno também encontrará as seguintes notações nos enunciados, todas
análogas:




100.000 <= x < 200.000
100.000 [ ---------------- [ 200.000
100.000 |----------------- 200.000
100.000
200.000
Todas elas significam a mesma coisa. Que 100.000 está incluso no
intervalo, mas 200.000 não faz parte.
Marcas de Classe ou Pontos Médios de Classe é auto explicativo, é o
ponto médio da classe. No caso, Padrão 50.000; Preferencial 150.000;
Premium 250.000.
Finalmente, amplitude de classe é a diferença entre dois limites de
classe. Na tabela é de R$ 100.000. O exemplo apresentou amplitudes iguais,
mas nem sempre é assim. A empresa poderia ter dito que os Premium iam de
200.000 até 1.000.000. Ou até infinito, oras, alguém que quisesse fazer um
bilhão em pedido seria um tremendo cliente Premium, não?
Usualmente, a amplitude de classe para uma boa construção de classes é
dada pela amplitude dos dados dividido pelo número de classes desejada.
Amplitude é o maior menos o menor valor dos dados. A regra prática de
histogramas é que o número de classes seja a raiz quadrada do número de
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valores. Sendo assim, para 50 valores termos 7 classes é um bom número a se
trabalhar (√50=7,071067...)
Finalmente, podemos montar o famoso gráfico de colunas de frequências
por classes tão venerado da estatística chamado de HISTOGRAMA. Enquanto
você ouvir falar de estatística na sua vida você ouvirá dos histogramas.
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Histograma de clientes
80
20
5
R$ 0
Padrão
Preferencial
R$ 100.000
Premium
R$ 300.000
R$ 200.000
Uma outra modalidade de tabela de frequência muito usada é a de
frequência relativa. Ela tem a vantagem que os dados dela podem ser usados
para cálculos de probabilidade, se desejar.
Frequência relativa = frequência da classe / frequência total
No exemplo dos clientes, a frequência total é a somatória do número de
clientes, ie, 105 clientes. Dividindo cada classe de cliente pela somatória
Classe de cliente
Pedidos anuais
# clientes
Freq.
Relativa
Padrão
Até R$ 100.000
80
0,76
Preferencial
de R$ 100.000 até R$ 200.000
20
0,19
Premium
de R$ 200.000 até R$ 300.000
5
0,05
Soma clientes
105
1,00
Também o histograma pode ser feito com frequências relativas
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Histograma de freq. Relativa de clientes
0,80
0,76
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,19
0,20
0,10
0,05
0,00
Padrão
Preferencial
Premium
Outra forma comum de expressar nestas tabelas é a frequência
acumulada, que é a soma das frequências daquela classe e de suas
precedentes, seja em termos absolutos, sejam em termos relativos. No caso
do exemplo, a tabela fica trabalhada um pouco diferente:
Pedidos anuais
Número clientes
Freq. Relativa Acumulada
Até R$ 100.000
80
0,76
Até R$ 200.000
100
0,95
Até R$ 300.000
105
1,00
E o histograma vira uma escadinha:
Freq. Relativa Acumulada
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Até R$ 100.000
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Até R$ 300.000
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O aluno perspicaz que vai ganhar muitos pontos na prova já percebeu
que forçosamente a última classe da frequência acumulada é a somatória da
tabela, e tem frequência de 1.
Um “irmão” do gráfico de histograma de frequência relativa é o famoso
gráfico de pizza. No gráfico de pizza a área de um círculo é dividida
radialmente de acordo com a frequência relativa de cada categoria. Portanto
uma categoria com 50% da frequência ocupará uma meia-lua, e assim
sucessivamente.
Vermelha; 130; 7%
Azul; 100; 5%
Cores de automóveis vendidos
Outras; 5; 0%
Verde; 15; 1%
Marrom; 50; 2%
Prata; 1000; 50%
Prata
Preta
Branca; 200; 10%
Branca
Marrom
Verde
Azul
Vermelha
Outras
Preta; 500; 25%
3. GRÁFICOS DE PARETO
Uma aplicação muito comum das tabelas de frequências e frequências
acumuladas é o chamado gráfico de Pareto. Trata-se de dois gráficos num só.
As barras são as frequências individuais das categorias, e uma linha expressa a
frequência acumulada.
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Pareto Chart of Campeoes
20
100
Count
60
10
40
5
0
Campeoes
Count
Percent
Cum %
Percent
80
15
20
Brasil
5
26,3
26,3
Italia
4
21,1
47,4
Alemanha Argentina
3
2
15,8
10,5
63,2
73,7
Uruguai
2
10,5
84,2
Other
3
15,8
100,0
0
No exemplo acima, podemos ver uma população de campeões das Copas
do Mundo até 2013. As barras é a frequência absoluta da população de
maneira ordenada decrescentemente (os últimos valores, para o bem da visão,
costumam ser agrupados). Portanto lê-se diretamente das barras que foram 5
campeonatos do Brasil, 4 da Itália, 3 da Alemanha, por exemplo. A ordenação
decrescente permite logo se perceber as maiores frequências. Qual país mais
ganhou a Copa? O Brasil, a primeira barra. Os gráficos de Pareto servem por
excelência para ressaltar as categorias mais frequentes.
A linha vermelha é a frequência acumulada. Ela permite responder, por
exemplo, a pergunta: “Quais países correspondem sozinhos à 50% das vitórias
na Copa?”. A resposta é “Brasil e Itália correspondem sozinhos à metade dos
campeonatos”.
O gráfico tem duas escalas. A da esquerda é a frequência absoluta, já a
porcentagem da direita pode ser tanto a frequência relativa (para as barras)
quanto a acumulada (para a linha).
Gráficos de pareto são especialmente usados como ferramentas da
qualidade para avaliar as principais causas. Foram desenvolvidos pelo célebre
Juran (quem estiver estudando Administração Industrial ou Geral
provavelmente o conhece) baseado na conclusão atribuída ao economista
italiano Pareto: “Em geral, 20% das pessoas/causas consomem/geram cerca
80% dos recursos/conseqüências”. Os 20% no caso seriam as barras
absolutas, os 80% a linha acumulada.
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Exemplo: Construa o gráfico de pareto das seguintes causas de interrupção de
produção industrial:
Causa de perda de
produção
Ocorrência
Falta de matéria-prima
6
Falta de embalagem
5
Falta de demanda
4
Falta de mão de obra
2
Quebra do reator
10
Quebra da esteira
2
Acerto de estoque
1
Auditoria física
1
Força maior
1
Quedas de energia
3
Erro de instrumentação
2
Ordena-se decrescentemente as categorias pela frequência absoluta
Causa de perda de
produção
Ocorrência
Quebra do reator
10
Falta de matéria-prima
6
Falta de embalagem
5
Falta de demanda
4
Quedas de energia
3
Quebra da esteira
2
Falta de mão de obra
2
Erro de instrumentação
2
Força maior
1
Auditoria física
1
Acerto de estoque
1
Calcula-se a frequência relativa de cada categoria. Relembrando, frequência relativa
= frequência absoluta/soma de frequências
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Causa de perda de
produção
Ocorrência
Freq.
Rel
Quebra do reator
10
0,270
Falta de matéria-prima
6
0,162
Falta de embalagem
5
0,135
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14
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Falta de demanda
4
0,108
Quedas de energia
3
0,081
Quebra da esteira
2
0,054
Falta de mão de obra
2
0,054
Erro de instrumentação
2
0,054
Força maior
1
0,027
Auditoria física
1
0,027
Acerto de estoque
1
0,027
Aula 0
Calcula-se a frequência acumulada de cada categoria. Relembrando,
frequência acumulada = frequência absoluta/soma de frequências +
frequência relativa anterior. Se você fez certo as contas, a última categoria
de frequência acumulada será igual a 1.
Ocorrência
Freq.
Relativa
Freq.
Relativa
acumulada
Quebra do reator
10
0,270
0,270
Falta de matéria-prima
6
0,162
0,432
Falta de embalagem
5
0,135
0,568
Falta de demanda
4
0,108
0,676
Quedas de energia
3
0,081
0,757
Quebra da esteira
2
0,054
0,811
Falta de mão-de-obra
2
0,054
0,865
Erro de instrumentação
2
0,054
0,919
Força maior
1
0,027
0,946
Auditoria física
1
0,027
0,973
Acerto de estoque
1
0,027
1,000
Causa de perda de
produção
Num gráfico de dois eixos de colunas/linhas atribui-se as frequências absolutas às
colunas e as frequências acumuladas à linha
12
10
8
6
4
2
0
10
6
0,432
0,270
5
0,676
0,757
0,811
0,865
0,919
0,946
0,973
1
1
1
0,568
4
3
2
2
2
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
Ocorrência
Freq. Abs
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15
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Vê-se que é uma poderosa ferramenta estatística de qualidade. No
exemplo acima, mais de 40% das paradas foram geradas pelas duas causas
principais. Como os recursos são limitados, resolver estas duas únicas causas
de parada prioritariamente geraria um grande ganho de produtividade.
4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Uma medida de tendência central é um valor no centro ou no meio de
um conjunto de dados
A média aritmética ou simplesmente média de um conjunto de valores
é o valor obtido somando-se todos eles e dividindo o total pelo número de
valores. É a medida de tendência central mais importante e mais usada.
Notações
Somatória de um conjunto de valores

x
Uma variável usada
individuais dos dados
para
representar
n
Número de valores de uma amostra
N
Número de valores de uma população
𝑥̅ =
∑𝑥
=
∑𝑥
Média de um conjunto de valores de uma amostra
𝑛
𝑁
valores
Média
população
de
um
conjunto
de
valores
de
uma
Exemplo, qual a média do conjunto: 10; 20; 25; 75?
∑ 𝑥 = 10 + 20 + 25 + 75 = 130
Como n=4:
𝑥̅ =
∑𝑥
𝑛
=
130
4
= 32,5
Cuidado! Não confunda o símbolo “traço” da média com o símbolo NÃO
do operador lógico!
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16
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
No exemplo acima, vê-se uma propriedade importante da média: valores
extremos afetam a média. Naquela amostra há 3 números menores que a
média, mas o 75 é tão grande comparado a eles que “puxa” a média para si.
A média ponderada de um conjunto de valores é o valor obtido pela
multiplicação dos dados pela sua proporção dividida pela soma total. É útil
para misturas e quando componentes se mesclam
𝑥̅ =
∑ 𝑥. 𝑃(𝑥)
∑𝑥
Exemplo: Uma fábrica de suco mistura duas polpas concentradas de frutas, a
primeira tem 300l e 50% de sólidos, a segunda tem 1000l e 30% de sólidos. Qual a
concentração final?
𝑥̅ =
∑ 𝑥. 𝑃(𝑥)
𝑥1𝑃1 + 𝑥2𝑃2 300.0,50 + 1000.0,30 150 + 300
=
=
=
= 0,3461 = 35%
∑𝑥
𝑥1 + 𝑥2
300 + 1000
1300
A média de teores finais é 35%. Os valores de concentração foram ponderados.
Veremos mais detalhes da média ponderada na aula de distribuição de
probabilidades.
A mediana de um conjunto de valores é o valor que divide o conjunto
em duas partes iguais quando os valores estão em ordem crescente. O símbolo
da mediana é 𝑥̃
Quando o conjunto tem um número ímpar de elementos, a mediana é o
elemento central. Se um número par, a média dos valores centrais.
Exemplo, qual a mediana do conjunto: 500; 10; 17; 20; 19; 75; 40?
O primeiro passo é ordenar o conjunto, portanto: 10 17 19 20 40 75
500
A mediana é o número do meio porque temos um número ímpar de
elementos
10
17
19
20
40 75
500
portanto 𝑥̃= 20
Podemos perceber uma propriedade interessante da mediana, ela não é
afetada por pontos extremos. O 500 não move a mediana. Podia ser 76 no
lugar de 500, a mediana continuaria 20.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Exemplo, qual a mediana do conjunto: 10; 20; 25; 75?
Já temos o conjunto ordenado, mas é um número par de elementos:
10
20
25 75
A mediana é a média dos elementos centrais, ie 20 e 25. Portanto 𝑥̃= (20+25)/2 =
22,5
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com mais
frequência. Cuidado, não necessariamente a moda é única. Se há duas, o
conjunto é bimodal. Se há mais, é multimodal.
Histogram of a
30
moda
25
Frequency
20
15
10
5
0
-2,25
-1,50
-0,75
0,00
a
0,75
1,50
Abaixo, um conjunto bimodal:
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Conjunto bimodal
12
moda
moda
Frequency
10
8
6
4
2
0
19,5
21,0
22,5
24,0
b
25,5
27,0
28,5
O ponto médio é o valor que está no meio do caminho entre o maior e
o menor valor.
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor. Tecnicamente
a amplitude não é uma medida de tendência central, e sim de variação. Mas
como o ponto médio é a média da amplitude, explico aqui.
Exemplo: calcule a amplitude e o ponto médio de 10; 50; 60; 100; 20
O maior valor é 100, o menor é 10. Portanto a amplitude é 90. O ponto médio é a
média de 10 e 100, portanto (10+100)/2= 55
5. ASSIMETRIA
Diz-se que uma distribuição é simétrica quando as metades esquerdas
e direitas de seu histograma são iguais. Uma propriedade importantíssima de
uma distribuição simétrica é que a mediana, a moda e a média são iguais, ie,
coincidem.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Exemplo de distribuição simétrica
0
900
Média = Mediana = Moda
800
700
Frequency
600
500
400
300
200
100
0
-5,2
-3,9
-2,6
-1,3
0,0
1,3
2,6
3,9
A
Diz-se que uma distribuição é assimétrica quando as metades
esquerdas e direitas de seu histograma não são iguais e estendem-se mais
para um lado que para o outro. As distribuições assimétricas podem ser à
direta ou à esquerda, respectivamente positiva e negativa.
Uma distribuição assimétrica à esquerda tem a média e a mediana à
esquerda da moda. Já uma distribuição assimétrica à direita tem a média e a
mediana à direita da moda.
Distribuição assimétrica a direita
1
6000
1,89
2
Moda 1
Média 1,89
Mediana 2
5000
Frequency
4000
Assimetria a direita:
Média > Moda
Mediana > Moda
3000
2000
1000
0
0
2
4
6
8
10
B
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Aula 0
Distribuição assimétrica a esquerda
8,98 9,29 9,8
1200
Moda 9,8
Mediana 9,29
Media 8,98
1000
Frequency
800
Assimetria a esquerda:
Moda > Mediana
Moda > media
600
400
200
0
1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
7,2
8,4
9,6
d
Assimétrica à
esquerda ou
negativamente
assimétrica
Simétrica
Assimétrica à direta
ou positivamente
assimétrica
Mediana < Moda
Moda = Média =
Mediana
Mediana > Moda
Média < Moda
Média > Moda
6. GRÁFICOS DE CAIXA (BLOXPLOT), QUARTIS E PERCENTIS
A mediana tem dois “irmãos”. São o primeiro quartil e o terceiro
quartil. Se a mediana divide a distribuição ordenada em duas partes iguais,
cada uma com 50% de elementos, o primeiro quartil divide no primeiro um
quarto, ie, 25% antes versus 75% após. Analogamente, o terceiro quartil
divide em 75% e 25%.
Para calcular os quartis é da mesma maneira que a mediana. Ordena-se
a distribuição e pega-se o elemento em 25/100 n-ésima posição para o
primeiro quartil (Q1) e 75/100 n-ésima posição para o terceiro (Q3),
lembrando sempre que n é o número de elementos na distribuição. Se os
quartis ficarem entre dois elementos, adota-se o inteiro mais próximo. Em
certo sentido, a mediana é o segundo quartil (Q2).
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Posição Q1 = 25/100 * n
Mediana (Q2) = 50/100 * n
Aula 0
; Posição Q3 = 75/100 * n; Posição da
A distância interquartílica é a diferença entre Q3 e Q1.
Os percentis são análogos aos quartis e são calculados da mesma
forma. Exemplo, O 10% percentil de uma distribuição é o elemento ordenado
que ocupa a posição 10/100 * n. O 64% percentil de forma análoga é
64/100*n. O Q1 é o 25% percentil, o Q3 é o 75% percentil e a mediana é o
50% percentil.
Posição 10% percentil = 10/100*n; Posição 64% percentil = 64/100*n
Posição k percentil = k/100 * n; onde 0<k<100%
Um gráfico muito comum em estatística para observar os quartis e
medianas é o gráfico de caixa ou bloxplot. Trata-se de uma caixa dividida na
mediana que vai do Q1 até o Q3. Veja o exemplo:
Exemplo de Boxplot
250
Os pontos avulsos são "Outliers"
Valores extremos acima ou abaixo
dos limites
Limite superior = Q3 + 1.5 (Q3 - Q1)
200
150
Q3
100
Distância
interquartílica
mediana
Q1
50
0
Limite inferior = Q1- 1.5 (Q3 - Q1)
Os boxplot também possuem uma linha ligando até 150% da distância
interquartílica abaixo e acima de Q1 e Q3 respectivamente. Os pontos fora
deste intervalo são os ditos “outliers”, os pontos famosos da expressão “pontos
fora da curva”. Não se preocupe com outliers por hora, nunca vi caírem em
prova alguma mesmo nos exercícios de boxplot, mas sempre é bom saber.
7. MEDIDAS DE VARIABILIDADE
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Aula 0
A amplitude de uma distribuição é a diferença entre o maior e o menor
valor. Tem uso limitado, exceto para o cálculo do ponto médio. A medida de
variação por excelência é o desvio-padrão:
O desvio-padrão de um conjunto de dados é uma medida de variação
dos valores em relação à média. É uma medida de dispersão absoluta.
A variância de um conjunto de dados é a média dos quadrados das
diferenças dos valores em relação à sua média.
Na prática, o desvio-padrão (e sua mãe, a variância) representa o “grau
de espalhamento” que os pontos estão da média. Veja o exemplo abaixo para
entender. O histograma mais “espalhado” tem maior desvio-padrão.
Histogram of a; b
Normal
0,0016
A população "b"
tem menor desvio
padrão que "a".
Os dados são
menos
"espalhados" ao
redor das médias
0,0014
Density
0,0012
0,0010
0,0008
Variable
a
b
Mean StDev
N
5010 403,1 200
5003 275,2 200
0,0006
0,0004
0,0002
0,0000
4200
4500
4800
5100
Data
5400
5700
6000
Desvio-padrão é a raiz quadrada (√ ) da variância. Não posso
deixar de reforçar a importância deste conceito. Porque se calcula a variância
da distribuição em primeiro lugar e todas as operações com desvio devem ser
feitas com a variância. Porém o desvio-padrão é realmente aquilo útil para se
compreender a distribuição por ter a unidade dos elementos. Ou seja, fala-se
em desvio-padrão, mas se mexe nele com a variância. Insisto, este conceito
cai muito.
Vamos revisar as notações e fórmulas. Algumas são novas, outras você
já conhece:
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Notações
Somatória de um conjunto de valores x
∑x
S2=
n
Número de valores de uma amostra
N
Número de valores de uma população
∑𝑥
=
∑𝑥
𝑛−1

𝑁
Uma variável usada para representar valores
individuais dos dados
𝑥̅ =
∑(𝑥−𝑥̅ )2
1
x
Média de um conjunto de valores de uma
população
𝑁
n(∑ x2 )−(∑ x)2
=
𝑛(𝑛−1)
∑(𝑥−µ)2
𝑁
(∑ 𝑥2 −
∑(𝑥−𝑥̅ )2
s=√𝑆 2 =√
Média de um conjunto de valores de uma amostra
𝑛
𝑛−1

Variância de um conjunto de valores de uma
população

2
(∑ 𝑥)
𝑁
)
n(∑ x2 )−(∑ x)2
=√
Variância de um conjunto de valores de uma
amostra
𝑛(𝑛−1)
Desvio-padrão de um conjunto de valores de uma
amostra

√𝜎 2 =
∑(𝑥−µ)2
𝑁
1
√𝑁 (∑ 𝑥2 −
2
(∑ 𝑥)
𝑁
)
Desvio-padrão (sigma) de
valores de uma população
um
conjunto
de
A mesma distinção entre amostra e população deve ser feita com mais
rigor no cálculo de desvio-padrão que no cálculo das médias e as bancas
cobram nas questões este conhecimento. Quando é uma amostra, a divisão é
por n-1, quando é população, por N. Por quê? Porque uma amostra perde um
grau de liberdade. Ela é uma partição de um sistema, é algo a menos que um
sistema, é um grau de liberdade a menos, portanto n-1. Ora, como a divisão é
feita por um número menor, percebemos que o desvio-padrão de uma amostra
é MAIOR que o de uma população. Lógico! A amostra é uma tentativa de
previsão da população por um subconjunto, naturalmente tem medidas mais
imprecisas.
Usualmente, o desvio-padrão “padrão” é o amostral, isto é, o s,
calculado com n-1. Inclusive é o padrão das maiorias das calculadoras
científicas. Mas cuidado, elas também tem o botão sigma N. O candidato deve
ficar esperto para perceber quando se fala de desvio-padrão se é o amostral ou
populacional. Dá para perceber que quanto maior for o tamanho da amostra,
menos importante será o desvio-padrão amostral e populacional. Natural,
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
porque se uma amostra começa a crescer, fica menos imprecisa perante o todo
da população, que a perda de um grau de liberdade é irrelevante.
Chega de papo! Vamos a um exemplo bem simples:
Calcule o desvio-padrão da amostra: 2; 10; 3; 6 ;8; 2; 3 :
O procedimento é simples e pode ser usada uma tabela que nem precisa ser
ordenada:
Calcule a média 𝑥̅ =
∑𝑥
𝑛
Calcule cada um dos quadrados (𝑥 − 𝑥̅ )2
Faça a somatória ∑(𝑥 − 𝑥̅ )2
Calcule a variância S2=
∑(𝑥−𝑥̅ )2
𝑛−1
Calcule o desvio-padrão s=√𝑆 2
x
x-𝑥̅
(x-𝑥̅ )
2
-2,9
8
10
5,1
26
3
-1,9
3
6
1,1
1
8
3,1
10
2
-2,9
8
3
-1,9
3

34
-
61
n
7
média 𝑥̅
4,9
n-1
6
Variância s
2
Desvio-padrão s
2
10
3
O desvio-padrão sempre tem o número de algarismos depois da
vírgula da média. Portanto arredondamos para 27, porque esta amostra não
tem algarismos depois da vírgula.
Podemos dizer que a amostra acima tem média 𝑥̅ = 126 ± 11. O
desvio-padrão tem as mesmas unidades da média, e é sempre um “mais ou
menos” de dispersão em torno da média
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
O coeficiente de variação é definido como o quociente entre o desviopadrão e a média. Sua vantagem é caracterizar a dispersão dos dados em
termos relativos.
CV=
𝑠
𝑥̅
Exemplo, uma amostra com média de 100 e desvio padrão de 20 tem coeficiente de
variação de 0,2
É uma medida de dispersão relativa.
CUIDADO! As bancas muitas vezes chamam sem critério o coeficiente de
variação de VARIABILIDADE, pura e simplesmente, e fazem uma confusão
danada entre variabilidade relativa (o CV) e absoluta (o desvio). Fique
atento.
8. FÓRMULA ABREVIADA DA VARIÂNCIA
Aqui vai um macete precioso para a sua prova.
Na aula anterior, vimos a fórmula usual para o cálculo do desvio-padrão:
∑(𝑥−𝑥̅ )2
s=√
𝑛−1
Esta fórmula requer que se faça uma tabela para o cálculo da média.
Muitas vezes esta fórmula agrega erros de truncamentos nas médias.
Esta fórmula pode ser expressa de um segundo modo, que é
interessante por não precisar da média. É usada pelas calculadoras, porque
permite que o desvio seja recalculado a cada dado novo que se coloca na
amostra. É importante conhecê-la porque algumas bancas pedem exercícios
em que ela é usada.
Variância: s2=
n(∑ x2 )−(∑ x)2
𝑛(𝑛−1)
n(∑ x2 )−(∑ x)2
Desvio: s=√
𝑛(𝑛−1)
Ela é um desenvolvimento da primeira fórmula. Ambas resultam no
mesmo valor. Pode fazer a conta.
Antes que me perguntem... e para populações?
1
Variância: 2=𝑁 (∑ 𝑥 2 −
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(∑ 𝑥)2
𝑁
)
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
1
Desvio: =√𝑁 (∑ 𝑥 2 −
(∑ 𝑥)2
𝑁
Aula 0
)
Qual fórmula você usa na prova? Ora, veja o jeitão da questão. Se der
somatórias ou seus quadrados, pimba, use a abreviada.
Variância de Populações
Fórmula clássica
Fórmula abreviada
- Usa a média -
- Usa os quadrados -
σ2 =
∑(𝑥 − µ)2
𝑁
1
2=𝑁 (∑ 𝑥 2 −
∑(𝑥−𝑥̅ )2
Variância de Amostras
s2=
(∑ 𝑥)2
𝑁
)
n(∑ x2 )−(∑ x)2
s2=
𝑛−1
𝑛(𝑛−1)
9. PROPRIEDADES DA MÉDIA E DA VARIÂNCIA
As bancas adoram cobrar propriedades das medidas de distribuições.
As propriedades da média são:
9.1 Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma
constante, a média do conjunto fica multiplicada por esta constante;
𝑥̅
Elementos
População
10
20
Multiplicando por 2
Nova População
30
10
10
16
20
20
32
X2
20
40
60
9.2 Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de
uma variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa constante
𝑥̅
Elementos
População
10
20
Somando 4
Nova População
30
10
10
16
14
14
20
+4
14
24
34
Fique atento. Especialmente porque como sempre estou reforçando aqui,
não se faz cálculos com desvio, e sim com a variância. Portanto as
propriedades da variância são:
9.3 Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma
constante, a variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado desta
constante
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
𝜎2
Elementos
População
10
20
30
Multiplicando por 2
10
10
64
X2
256
Nova População
20
40
60
20
20
(64 X 2^2)
9.4 Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de
uma variável, a variância não se altera. (Natural, porque a média se move,
não a dispersão dos valores)
𝜎2
Elementos
População
10
20
30
Somando 4
10
10
64
14
14
64
+4
Nova População
14
24
34
Agora vamos num exemplo com desvio-padrão amostral e variância para
o aluno ver que estas propriedades são da variância, não do desvio.
S
s
1670
41
2
Elementos
Amostra
10
5
Multiplicando por 2
Nova amostra
10
10
100
X2
20
10
20
X 4 (ie, 2^2)
20
6680
200
82
4X41=
164
A propriedade da
variância não se
conservou no desvio!
9.5 Variância combinada ocorre na combinação de duas populações:
2 (𝐴 + 𝐵) =
(∑ 𝐴 + ∑ 𝐵)2
1
{(∑ 𝐴2 + ∑ 𝐵 2 ) −
}
𝑁𝐴 + 𝑁𝑏
𝑁𝑎 + 𝑁𝑏
1
Onde 𝑎 2=𝑁 (∑ 𝐴2 −
𝐴
(∑ 𝐴)2
𝑁𝐴
)
1
𝑏 2=𝑁 (∑ 𝐵 2 −
𝐵
(∑ 𝐵)2
𝑁𝐵
)
Cuidado: 𝝈𝟐𝑨 + 𝝈𝟐𝑩 <> 𝝈𝟐𝑨+𝑩
Não tem mistério, é pura equação e decoreba. Mas a banca adora esta
fórmula e não foram poucas provas em que cobrou. Se você olhar com
cuidado, verá que é pura e simplesmente a fórmula de desvios de população
abreviada somada.
ADVERTÊNCIA: O desvio-padrão combinado é a raiz da variância
combinada. Mais uma vez digo e repito, não se faz contas com desvio, e sim
com a variância.
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28
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Calcule o desvio-padrão combinado das populações A e B abaixo:
A
0
0
0
1
0
0
2
2
B
4
6
5
9
4
2
6
6
7
1
6
8
Vamos fazer os cálculos necessários
A
0
0
0
1
0
0
2
2
5
A
A2
Na
A2
0
0
0
1
0
0
4
4
B
4
6
5
9
4
2
6
6
7
1
6
8
64
9
8
B
B2
400
Nb
2 (𝐴 + 𝐵) =
=
B2
16
36
25
81
16
4
36
36
49
1
36
64
12
(∑ 𝐴 + ∑ 𝐵)2
1
{(∑ 𝐴2 + ∑ 𝐵 2 ) −
}
𝑁𝐴 + 𝑁𝑏
𝑁𝑎 + 𝑁𝑏
(5 + 64)2
(69)2
1
1
{(9 + 400) −
}=
{(409) −
} = 8,5475 = 8
8 + 12
8 + 12
20
20
E o desvio: 𝜎 = √𝜎 2 =√8,5475=2,9236=3
Quer fazer o tira teima? Vamos juntar as duas populações e calcular a
variância:
AUB
0
0
0
1
0
0
2
2
4
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(A U B)2
0
0
0
1
0
0
4
4
16
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29
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
6
5
9
4
2
6
6
7
1
6
8
69

2
N
2
Aula 0
36
25
81
16
4
36
36
49
1
36
64
409
20
8,5475
Como queríamos demonstrar
Cuidado: 𝝈𝟐𝑨 + 𝝈𝟐𝑩 <> 𝝈𝟐𝑨+𝑩
2
No exemplo acima também vale: 𝜎𝐴2 + 𝜎𝐵2 <> 𝜎𝐴+𝐵
Sabendo que 𝜎𝐴2 = 0,73
𝜎𝐵2 = 4,42
0,73 + 4,42 <> 8,55
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
10.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ESAF/Analista STN/ 2013 - Suponha que X seja uma variável
aleatória com valor esperado 10 e variância 25. Para que a variável Y
dada por Y = p - q x, com p e q positivos, tenha valor esperado 0 e
variância 625, é necessário que p + q seja igual a:
1.
a) 50
b) 250
c) 55
d) 100
e) 350
Para resolver este exercício precisamos fazer que 𝑦̅ = 0 e 𝜎 2 𝑦 = 625. Isso
nos dará duas equações capazes de resolver as duas incógnitas p e q. Estas
equações serão dadas pelas propriedades.
Propriedades das variâncias: Multiplicando-se todos os valores de
uma variável por uma constante, a variância do conjunto fica multiplicada pelo
quadrado desta constante; somando-se ou subtraindo-se uma constante a
todos os valores de uma variável, a variância não se altera. (Natural, porque a
média se move, não a dispersão dos valores)
𝑦 = 𝑝 − 𝑞𝑥 logo:
𝜎𝑦2 = (−𝑞)2 𝜎𝑥2
625 = 𝑞 2 25
𝑞 2 = 25
𝑞=5
Lembrem-se que a soma p não afeta as variâncias
Propriedades das médias: Multiplicando-se todos os valores de uma
variável por uma constante, a média do conjunto fica multiplicada por esta
constante; Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de
uma variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa
constante.
Ou seja, a média de y,𝑦̅ , será multiplicada por –q e somada a p. O
exercício quer
𝑦̅ = 𝑝 − 𝑞𝑥̅
0 = 𝑝 − 5.10
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
0 = 𝑝 − 50
𝑝 = 50
Agora é fazer a soma q+p = 5+50=55
GABARITO: C
ESAF/Receita Federal/2014 - A variância da amostra formada
pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a
2.
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 4.
e) 5.
Variância de Populações
Fórmula clássica
Fórmula abreviada
- Usa a média -
- Usa os quadrados -
σ2 =
∑(𝑥 − µ)2
𝑁
1
2=𝑁 (∑ 𝑥 2 −
∑(𝑥−𝑥̅ )2
Variância de Amostras
s2=
(∑ 𝑥)2
𝑁
)
n(∑ x2 )−(∑ x)2
s2=
𝑛−1
𝑛(𝑛−1)
É uma amostra, portanto atento às fórmulas!
Soma
x
3
2
1
4
5
3
x2
9
4
1
16
25
9
18
64
n(∑ x2 )−(∑ x)2
s2=
𝑛(𝑛−1)
=
6.64−182
6.(6−1)
=2
GABARITO: B
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
ESAF/Receita
Federal/2005
Para
dados
agrupados
representados por uma curva de frequências, as diferenças entre os
valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria
da curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma
distribuição negativamente assimétrica.
3.
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra
abaixo da moda.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra
abaixo da mediana.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se
encontra abaixo da moda.
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em
valor.
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra
abaixo da média.
Distribuição assimetricamente negativa.
Assimetria negativa ou “a esquerda”
 Mediana < Moda
E
 Média < Moda
Vamos retornar ao nosso exemplo de curva assimetricamente negativa.
Distribuição assimétrica a esquerda
8,98 9,29 9,8
1200
Moda 9,8
Mediana 9,29
Media 8,98
1000
Frequency
800
Assimetria a esquerda:
Moda > Mediana
Moda > media
600
400
200
0
1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
7,2
8,4
9,6
d
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra
abaixo da moda. – ERRADA. Nas assimétricas negativas ou “a esquerda”
a média e a mediana estão a esquerda/abaixo da moda. Então não tem como a
média apresentar o maior valor.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da
mediana. – ERRADA. Não necessariamente a media e mediana definem
assimetria.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da
moda. – CERTA. Pela definição de assimetria negativa ou “à esquerda”
Mediana < Moda
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. – ERRADA.
Só seria verdade em distribuições simétricas
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da
média. – ERRADA. Pela definição, a moda é o valor mais frequente. Se a
curva é assimétrica à esquerda, a média e mediana estão abaixo da moda.
GABARITO: C
ESAF/ Receita Federal/2005 - Em uma determinada semana uma
empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os
produtos A e B:
4.
Produto A
Produto B
39 33
50 52
25
47
30
49
41
54
36
40
37
43
Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos
dois produtos:
a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%
b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%
c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%
d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%
Este exercício pede o coeficiente de variação, que é a razão entre o
desvio-padrão e a média.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
O pulo do gato é saber se a banca se refere ao desvio-padrão da
população ou da amostra. Faz toda a diferença porque no primeiro caso é
dividido por n, no segundo é n-1. A banca julgou que era o da amostra. Eu não
estou satisfeito, porque poderia ser considerada a população da semana, o
exercício dá a entender que é a totalidade dos pedidos. Cabia recurso, até
porque maquiavelicamente a alternativa que considera a população é a D,
enquanto a que foi o gabarito é a B, a da amostra. Cabia um belíssimo recurso.
CV=s/𝑥̅ .
Para a média
𝑥̅𝐴 =
39+33+25+30+41+36+37
𝑥̅𝐵 =
50+52+47+49+54+40+43
7
7
=34
=48
Agore use a fórmula que você achar melhor para a variância:
Fórmula clássica
Fórmula abreviada
- Usa a média -
- Usa os quadrados -
Variância de Populações
σ2 =
∑(𝑥 − µ)2
𝑁
1
2=𝑁 (∑ 𝑥 2 −
∑(𝑥−𝑥̅ )2
Variância de Amostras
s2=
(∑ 𝑥)2
𝑁
)
n(∑ x2 )−(∑ x)2
s2=
𝑛−1
𝑛(𝑛−1)
Eu sempre prefiro a fórmula abreviada para a variância, mas nos
exercícios que se faz necessário calcular CV é melhor ir pela clássica, porque
temos de calcular a média de qualquer jeito, então na clássica passamos pela
média
𝑥̅
34
48
m
2
2
A
A- 𝑥̅
(A-𝑥̅ )
B
B- 𝑥̅
(B- 𝑥̅ )
39
5
21
50
2
5
33
-1
2
52
4
17
25
-9
89
47
-1
1
30
-4
20
49
1
1
41
7
43
54
6
38
36
2
2
40
-8
62
37
3
7
43
-5
24

184

147
n
7
n
7
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
n-1
s
2
s
6
n
31
s
6
s
Aula 0
6
2
24
5
Quer ainda assim calcular com a abreviada para ver? Vamos lá:
A2
1521
1089
625
900
1681
1296
1369
Cálculo da Média

n
A
39
33
25
30
41
36
37

n
̅ 
𝑥
(A)2
(A2)
n-1
2

241
7
34
̅
𝑥
B
50
52
47
49
54
40
43
335
7
48
Cálculo da Variância
(B)2
112225
2
8481
(B )
n-1
6
2
31

6

58081
6
B2
2500
2704
2209
2401
2916
1600
1849
16179
24
5
𝐶𝑉𝐴 ==6/34=0,1765=17,6%
𝐶𝑉𝐵 ==5/48=0,104=10%
Atenção! Aqui vai uma lição poderosa para você, candidato. A
resposta é letra D, mas vejam que por causa de meu arredondamento
prematuro nas médias e sigmas eu não cheguei exatamente à resposta pedida,
CVA = 16,1% e CVB = 10,3%. Só arredonde ao chegar ao fim!!!
Fazendo sem arredondar:
𝑥̅
A
39
33
25
30
41
36
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A-𝑥̅
4,6
-1,4
-9,4
-4,4
6,6
1,6
34,4
(A-𝑥̅ )2
20,9
2,0
88,9
19,6
43,2
2,5
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
37

n
s2
s
2,6
Aula 0
6,6
183,7
7,0
30,6
5,5
𝐶𝑉𝐴 ==5,5/34,4=0,1598=16,0%
Só de tira-teima, à alternativa se chega usando duas casas:
𝐶𝑉𝐴 ==5,53/34,43=0,1606=16,1%
Temos que sempre chegar ao valor aproximado da alternativa. Mas fica a
cargo da consciência dos examinadores quem no meio da prova vai fazer
divisões e raízes até a segunda decimal para chegar na alternativa, tsc, tsc,
tsc...
GABARITO: B
ESAF / ISS Recife / 2003 - Em uma amostra, realizada para se
obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres,
encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio
observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi
de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta.
5.
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
Esta questão se resolve com mais com malícia que matemática. Vamos
desenhar
Média
mulheres: 1100
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Média geral:
1200
Média homens:
1300
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Ora, se houvesse 100 homens e 2 mulheres, a “gangorra” não penderia
para os homens? A média é justamente o ponto que equilibra a gangorra. Se
houvesse 1000 mulheres e 30 homens não penderia mais para a média das
mulheres?
Portanto não importa muito nem quanto vale os homens e as mulheres
individualmente, como a média central é exatamente o ponto médio deles,
naturalmente há tantos homens quanto mulheres.
GABARITO: A
FCC/ICMS-RJ/2014 - O Departamento de Pessoal de certo órgão
público fez um levantamento dos salários, em número de salários
mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os seguintes
resultados:
6.
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários
calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear é
igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400
funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos
os valores incluídos em um intervalo de classe são coincidentes com o
ponto médio do intervalo, é igual a
a) 8,54
b) 8,83
c) 8,62
d) 8,93
e) 8,72
O enunciado deu uma informação muito preciosa, de que a mediana foi
interpolada em 8,8, ou seja, e está no intervalo [8,10[. Ou seja, está em x.
Outra informação é que temos 400 elementos. Se a mediana divide meio
a meio, quando chegarmos ao 8,8 temos 200 de cada lado.
Vamos entender o intervalo x
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Ora, se até 8 temos a frequência acumulada de 148 e até 8,8 temos de 200, por
divisão simples vemos que temos 200-148 em 8,8-8,0
Ou seja, 52 em 0,8
Como a classe de x tem uma extensão de 2, pela regra de 3
8,8 − 8,0
0,8 2
=
=
200 − 148 52
𝑥
x= 130
Como a somatória dos intervalos é 400, temos uma equação onde chegamos à y
48 + 100 + x+ y+40=400
x+y=212
Se temos x, teremos y
130 + y = 212
y = 82
Refazendo nossa tabela
Inf (contém)
Sup (não
contém)
PM
Freq abs
4
6
5
48
6
8
7
100
8
10
9
130
10
12
11
82
12
16
14
40
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Total
Aula 0
400
E a média? Ora, é aplicar a fórmula da média ponderada, usando como x os pontos
médios dos intervalos
𝑥̅ =
∑ 𝑥. 𝑓
𝑛
Melhor fazer esta conta com uma tabela
Inf
(contém)
Sup (não
contém)
PM (x)
Freq abs (f)
PM X Freq (x.f)
4
6
5
48
240
6
8
7
100
700
8
10
9
130
1170
10
12
11
82
902
12
16
14
40
560
Total (n)
400
xf
3572
médiaxf/n
8,93
GABARITO: D
FCC/ICMS-RO/2010 - Em uma cidade é realizado um
levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo
estadual no período de um mês. Analisando os documentos de
arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo
horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as
quantidades de recolhimentos correspondentes.
7.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se
que o valor da
a) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a
moda.
b) média aritmética é igual ao valor da mediana.
c) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00.
d) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00.
e) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.
Qual é a moda? A moda é 1500. É o valor de maior ocorrência, é o valor
da maior barra.
E a boa e velha média? Vamos calcular na marra.
𝑥̅ =x/n=(30X500+50X1000+60X1500+30X2000+20X2500+10X3000)/(
30+50+60+30+20+10)=(15000+50000+90000+60000+50000+30000)/200
=295000/200=2950/2=1475
Observe aqui que o histograma dá a frequência dos eventos. Sendo
assim, se fôssemos escrever a população, seriam trinta linhas de 500,
cinquenta linhas de 1000, sessenta de 1500 e assim vai. O número de linhas,
ie, a somatória das frequências, é o número de elementos, n.
A mediana é um cálculo interessante. Se temos 200 elementos (n) e o
histograma está ordenado, amediana é o número entre o 99º e 100º
elemento. Ora, se temos 30 de 500, 50 de 1000 e 60 de 1500, raciocine
comigo graficamente:
1500
500
0
1000
30º
99º-100º
elemento
é
um
1500
80º
140º
200º
Portanto a mediana ẋ =1500
Agora é comentarmos as questões:
a) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a
moda. – Nananinanão. A média é 1475, e a soma da mediana e da moda
é 1500+1500=3000
b) média aritmética é igual ao valor da mediana. – Negativo.
𝑥̅ =1475 <> 𝑥̇ =1500
c) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. –
Hum... A moda é 1500, a média é 1475. A moda supera a média em 25,
não 125. Errada
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
d) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. – A moda é
1500, a mediana é 1500. Elas são iguais. Errada
e) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. –
Opa, certa, certíssima. A 𝑥̇ =1500 e 𝑥̅ =1475, portanto 𝑥̇ - 𝑥̅ = R$ 25,00
GABARITO: E
8.
FCC/ICMS-SP/2013 - Considere:
I. O coeficiente de variação de uma variável é uma medida de
dispersão absoluta que é o resultado da divisão entre a média e o
desvio padrão da variável em questão.
II. Um dispositivo útil quando se deseja verificar se existe
correlação linear entre duas variáveis é o gráfico de colunas
justapostas.
III. O desvio padrão é mais apropriado do que o coeficiente de
variação quando se deseja comparar a variabilidade de duas variáveis.
IV. Na amostragem aleatória estratificada, a população é dividida
em estratos, usualmente, de acordo com os valores ou categorias de
uma variável, e, depois, uma amostragem aleatória simples é utilizada
na seleção de uma amostra de cada estrato.
Está correto o que se afirma APENAS em
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e IV.
e) IV.
Ah, questões teóricas não são pontos dados não! São terríveis às vezes!
I - O coeficiente de variação de uma variável é uma medida de dispersão
absoluta que é o resultado da divisão entre a média e o desvio padrão da
variável em questão. – ERRADA. O CV é a divisão do desvio pela média. E é
uma medida relativa.
II. Um dispositivo útil quando se deseja verificar se existe correlação
linear entre duas variáveis é o gráfico de colunas justapostas. – ERRADA.
Você coloca duas colunas justapostas e faz o quê com elas? Gráfico de colunas
é útil para populações e amostras, não variáveis.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
III. O desvio-padrão é mais apropriado do que o coeficiente de variação
quando se deseja comparar a variabilidade de duas variáveis. – ERRADA. Sem
levar em conta a questão subjetiva de ser apropriado ou não, o desvio-padrão
não fala nada em relação à média. Veja o exemplo abaixo. Ambas populações
tem =100, dá para perceber que b é menos dispersa que a. Porém o CV de B
é menor que A.
Histogram of a; b
0
a
800
1600 2400 3200 4000 4800
b
700
600
Frequency
500
400
300
200
100
0
0
800 1600 2400 3200 4000 4800
IV. Na amostragem aleatória estratificada, a população é dividida em
estratos, usualmente, de acordo com os valores ou categorias de uma variável,
e, depois, uma amostragem aleatória simples é utilizada na seleção de uma
amostra de cada estrato. – CERTA. Impecável. É praticamente a definição.
GABARITO: E
FCC/ISS-SP/2007 - No presente mês, o salário médio mensal
pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se
que os salários médios mensais dos homens e mulheres são
respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês,
todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as
mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais.
Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses
reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a
ser igual a:
9.
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Aula 0
a) R$ 540,00
b) R$ 562,00
c) R$ 571,00
d) R$ 578,00
e) R$ 580,00
Esta é uma questão de propriedades da média requer um certo
pensamento para sair do problema da ponderação. Porque mesmo que seja
simples aplicar os reajustes aos salários, depois não vai se conseguir sair para
a soma ponderada
𝑥̅ ℎ = 600; 𝑥̅ 𝑚 = 500
𝑥̅ todos = 530
Aumento homens + R$20
Novo 𝑥̅ℎ = 600 + 20 = 620
Aumento mulheres X R$1,10
Novo 𝑥̅𝑚 = 500 X 1,1 = 550
E ai? Temos que chegar à proporção de homens e mulheres na firma!
𝑥̅todos = 𝑥̅ℎ . PropH + 𝑥̅ 𝑚 . PropM
530 = 600. PropH + 500. PropM
A Proporção de homens e mulheres dá 1. Então temos a segunda
equação:
PropH + PropM = 1
PropH = 1 − PropM
Voltando acima
530 = 600. PropH + 500. PropM
530 = 600. (1 − PropM) + 500. PropM
530 = 600 − 600PropH + 500. PropM
−70 = −100. PropM
PropM = 0,7 in consequentiam PropH=0,3
Agora vai:
Nova media = Novo 𝑥̅𝑚 X 0,7 + Novo 𝑥̅ℎ X 0,3 = 550 X0,7 + 620 X0,3
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44
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
= 385 + 186 = 571
GABARITO: C
10.
FCC/ISS-SP/2012 - Considere as seguintes afirmações:
I.
Um dispositivo útil quando se quer verificar a associação entre
duas variáveis quantitativas é o gráfico de dispersão entre essas duas
variáveis.
II.
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa
que depende da unidade de medida da variável que está sendo
analisada.
III. Dentre as medidas de posição central, a média é considerada
uma medida robusta pelo fato de não ser afetada por valores
aberrantes.
IV.
Se o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas
variáveis for igual a zero, não haverá associação linear entre elas,
implicando a ausência de qualquer outro tipo de associação.
Está correto o que se afirma APENAS em
a) II e III.
b) I e II.
c) I e III.
d) II e IV.
e) I.
I. Um dispositivo útil quando se quer verificar a associação entre duas
variáveis quantitativas é o gráfico de dispersão entre essas duas variáveis. CERTA
Vamos a um exemplo de gráfico de dispersão, vulgo X versus Y
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45
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Dispersão de A versus C
10
8
6
a
Aparentemente há
correlação
4
2
0
5
10
15
20
25
c
II.
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa que
depende da unidade de medida da variável que está sendo analisada. –
ERRADA – De jeito nenhum. Média e desvio-padrão que compõe o CV tem a
mesma unidade.
III. Dentre as medidas de posição central, a média é considerada uma
medida robusta pelo fato de não ser afetada por valores aberrantes. –
ERRADA – Uma das propriedades e desvantagens da média é justamente ser
afetada por valores extremos.
IV.
Se o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis
for igual à zero, não haverá associação linear entre elas, implicando a ausência
de qualquer outro tipo de associação. – ERRADA – Veremos com mais
detalhes na última aula. O coeficiente linear de Pearson, como o nome mesmo
já diz, mede correlações lineares. OU seja, quando é zero, significa que a
correlação não é linear, mas pode haver outra correlação.
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46
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
O exemplo abaixo é uma correlação quadrática. Observem que o coeficiente linear é
bem próximo de zero, mas HÁ correlação.
Scatterplot of a vs d
Regression fit; a = 2,176 + 0,08634 d
12
Indica quase nenhuma correlação
LINEAR
10
a
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
d
GABARITO: E
FCC/ICMS-RO/2010 - A média aritmética de todos os salários dos
funcionários em uma repartição pública é igual a R$ 1.600,00. Os
salários dos funcionários do sexo masculino apresentam um desvio
padrão de R$ 90,00 com um coeficiente de variação igual a 5%. Os
salários dos funcionários do sexo feminino apresentam um desvio
padrão de R$ 60,00 com um coeficiente de variação igual a 4%.
Escolhendo aleatoriamente um funcionário desta repartição, a
probabilidade dele ser do sexo feminino é igual a
11.
a) 1/2
b) 1/3
c) 3/4
d) 3/5
e) 2/3
Vamos colocar os dados do enunciado:
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47
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Homens
Mulheres
𝜎𝐻 = 90
𝜎𝑀 = 60
𝐶𝑉𝐻 =0,05
Aula 0
População
µ=1600
𝐶𝑉𝑀 =0,04
Pela definição de CV: CV=
𝜎𝐻 = 90
𝐶𝑉𝐻 = 𝜎𝐻⁄𝜇𝐻 ---> 0,05=90/𝜇𝐻
𝜇𝐻 =
90
= 1800
0,05
𝜎𝑀 = 60
𝐶𝑉𝑀 = 𝜎𝑀⁄𝜇𝑀 ---> 0,04=90/𝜇𝐻
𝜇𝑀 =
Homens
𝜎𝐻 = 90
60
= 1500
0,04
Mulheres
𝜎𝑀 = 60
𝐶𝑉𝐻 =0,05
𝐶𝑉𝑀 =0,04
𝜇𝐻 =1800
𝜇𝐻 =1500
População
µ=1600
A média da população é a média (ponderada) de homes e mulheres
𝑥𝐻 𝜇𝐻 + 𝑥𝑀 𝜇𝐻 = 𝜇
𝑥𝐻 1800 + 𝑥𝑀 1500 = 1600
Como homens e mulheres são frequências relativas a somatória precisa
ser 1
𝑥𝐻 + 𝑥𝑀 = 1
Temos duas equações e duas incógnitas
𝑥 1800 + 𝑥𝑀 1500 = 1600
{ 𝐻
𝑥𝐻 + 𝑥𝑀 = 1
Arrumando a segunda equação e a colocando na primeira:
𝑥𝐻 + 𝑥𝑀 = 1
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𝑥𝑀 = 1 − 𝑥𝐻
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48
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
𝑥𝐻 1800 + 𝑥𝑀 1500 = 1600
𝑥𝐻 1800 + (1 − 𝑥𝐻 )1500 = 1600
1800𝑥𝐻 + 1500 − 1500𝑥𝐻 = 1600
300𝑥𝐻 = 1600 − 1500 = 100
𝑥𝐻 =
100
= 1/3
300
Em consequência da complementaridade 𝑥𝑀 = 1 − 𝑥𝐻 =
Gênero
x
Homens
1/3
Mulheres
2/3
2
3
As mulheres corresponde a 2/3 do total, portanto P(Mulher)=2/3
GABARITO: E
FCC/ICMS-BA/2004 - O gráfico abaixo é o histograma de
frequências absolutas de uma amostra de valores arrecadados de
determinado tributo em um município.
12.
Com relação aos dados dessa amostra, é verdade que
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1 500,00 e
menores que R$ 3 000,00.
b) mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2 500,00 e
menores que R$ 3 500,00.
c) a porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3 500,00 é
maior que a porcentagem dos valores inferiores a R$ 1 500,00.
d) a frequência relativa de valores inferiores a R$ 1 500,00 é
menos que 10%.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
e) a amplitude da amostra é igual a R$ 4 000,00.
Neste caso temos que fazer a frequência acumulada numa tabela. Vou
abrir os limites para enxergar melhor os valores
Limite
Inferior
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
Limite
superior
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Soma
Frequencia
absoluta
100
100
200
400
300
300
200
1600
Frequencia
acumulada
100
200
400
800
1100
1400
1600
Frequencia acumulada
relativa
6%
13%
25%
50%
69%
88%
100%
Vamos lá, alternativa por alternativa:
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1 500,00 e
menores que R$ 3 000,00. – ERRADA. Vamos a nossa tabela
Limite
Inferior
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
Limite
superior
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Soma
Frequencia
absoluta
100
100
200
400
300
300
200
1600
Frequencia
acumulada
100
200
400
800
1100
1400
1600
Frequencia acumulada
relativa
6%
13%
25%
50%
69%
88%
100%
Ora, até R$ 3000 temos 69%, mas depois de R$ 1500 temos
valores acima de 13%. Fazendo graficamente:
1500
3000
13%
69%
Diferença 69%-13%=43%
b) mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2 500,00 e
menores que R$ 3 500,00. – CORRETA. Veja por quê:
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Limite
Inferior
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
Limite
superior
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Soma
Frequencia
absoluta
100
100
200
400
300
300
200
1600
Frequencia
acumulada
100
200
400
800
1100
1400
1600
Aula 0
Frequencia acumulada
relativa
6%
13%
25%
50%
69%
88%
100%
2500
3500
50%
88%
Diferença 88%-50%=38%
c) a porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3 500,00 é
maior que a porcentagem dos valores inferiores a R$ 1 500,00. –
ERRADA. Vamos diretamente a nossa régua:
3500
4000
88%
100%
Diferença 100%-88%=12%
0
1500
0%
13%
Diferença 13%-0%=13%
12% (>=3500) é MENOR que 13% (<=1500).
d) a frequência relativa de valores inferiores a R$ 1 500,00 é
menos que 10%. – ERRADA. Pela coluna das frequências relativas já se
vê que é 13%
e) a amplitude da amostra é igual a R$ 4 000,00. – ERRADA.
Amplitude é máximo – mínimo
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Amplitude = Max – Min = 4000-500= R$ 3.500 <> R$ 4.000
GABARITO:B
FCC/Analista FHEMIG/2013
conjunto de dados,
13.
-
Na
análise
descritiva
de
um
a) a média corresponde sempre ao valor que divide os dados
ordenados ao meio.
b) o desvio padrão representa uma medida de tendência central.
c) se existem valores diferentes uns dos outros em um conjunto de
dados, sempre teremos valores abaixo e acima da média.
d) a mediana é sempre diferente da média.
e) o desvio padrão corresponde ao quadrado da variância.
a) a média corresponde sempre ao valor que divide os dados
ordenados ao meio. – ERRADA. Esta é a definição de mediana.
b) o desvio padrão representa uma medida de tendência central. –
ERRADA. O desvio-padrão é uma medida de dispersão.
c) se existem valores diferentes uns dos outros em um conjunto de
dados, sempre teremos valores abaixo e acima da média. – CORRETA.
Nem precisa saber estatística para acertar esta. O nome até já diz
“média“. Quem está “na média” está “no meio”, mas NÃO É
EXATAMENTE O MEIO COMO É A MEDIANA!!!
d) a mediana é sempre diferente da média. – ERRADA. Em
distribuições simétricas ela é igual à média.
e) o desvio padrão corresponde ao quadrado da variância. –
ERRADA. É ao contrário. A variância é o quadrado do desvio-padrão.
GABARITO:C
FCC/Analista FHEMIG/2013 - A respeito do boxplot é correto
afirmar:
14.
a) Medidas descritivas como a mediana e o intervalo interquartil
são utilizadas para se obter o gráfico, entre outros elementos.
b) Entre os percentis 25% e 50% há metade dos valores do
conjunto de dados representado.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
c) O intervalo interquartil é construído a partir do 1o e 2o quartis.
d) É usual se considerar um valor aberrante àquele que exceda 2
intervalos interquartis, para cima ou para baixo dos limites
da caixa definida pelo intervalo interquartil.
e) Não se permite a visualização da variabilidade dos dados
Vamos relembrar o boxplot:
Exemplo de Boxplot
250
Os pontos avulsos são "Outliers"
Valores extremos acima ou abaixo
dos limites
Limite superior = Q3 + 1.5 (Q3 - Q1)
200
150
Q3
100
Distância
interquartílica
50
0
mediana
Q1
Limite inferior = Q1- 1.5 (Q3 - Q1)
a) Medidas descritivas como a mediana e o intervalo interquartil
são utilizadas para se obter o gráfico, entre outros elementos. –
CORRETA – Sim. Basta ver o gráfico.
b) Entre os percentis 25% e 50% há metade dos valores do
conjunto de dados representado. – ERRADA – Há na verdade um
quarto. Abaixo de 50% (a mediana) que há metade
c) O intervalo interquartil é construído a partir do 1º e 2º quartis.
– ERRADA – É construído a partir do 3º e 1º quartis
d) É usual se considerar um valor aberrante àquele que exceda 2
intervalos interquartis, para cima ou para baixo dos limites da caixa
definida pelo intervalo interquartil. – ERRADA – Esta não é a definição
de outlier, que fica nos 10% finais (ie, o 90%-ésimo)
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
e) Não se permite a visualização da variabilidade dos dados –
ERRADA – Como não? Um boxplot bem espalhado fala muito sobre a
variabilidade!
GABARITO:A
FCC/Analista
Legislativo/Contador
da
Câmara
dos
Deputados/2007 - Se a média e a variância da variável aleatória X são
12 e 80 respectivamente, então a média e a variância da variável
aleatória Y = X/4 + 1 são dadas respectivamente por
15.
a) 4 e 20
b) 4 e 5
c) 3 e 20
d) 4 e 21
e) 3 e 5
Questão clássica de propriedades da média (𝑥̅ =12) e variância (s2=80).
Temos em Y uma multiplicação por constante (ie, dividir por 4 é
multiplicar por 1/4=0,25) e uma soma por constante.
Vamos relembrar as propriedades da média:
Somando-se uma constante a todos os valores de uma variável, a
média do conjunto fica acrescida dessa constante
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma
constante, a média do conjunto fica multiplicada por esta constante;
Ora, Y é X multiplicado por ¼ e somado 1. Então a nova média terá
estas mesmas operações
𝑥̅𝑛𝑜𝑣𝑎 =
𝑥̅
12
+1=
+1= 3+1 =4
4
4
Vamos relembrar as propriedades da variância:
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Somando-se uma constante a todos os valores de uma variável, a variância não
se altera
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a
variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado desta constante
Portanto a única operação que mudará a variância será a multplicação
por ¼, que na variância será a multiplicação por 1/16
1 2
1
4
16
2
𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎
=𝑠 2 . ( ) = 𝑠 2 . =80/16=5
GABARITO: B
FCC/Analista
Legislativo
&
Contador
da
Câmara
dos
Deputados/2007 - Para se estudar o desempenho das corretoras de
ações A e B, selecionou-se de cada uma delas amostras aleatórias das
ações negociadas. Para cada ação selecionada computou-se a
porcentagem de lucro apresentada durante o período de um ano. Os
gráficos a seguir apresentam os desenhos esquemáticos relativos à
porcentagem de lucro das amostras de A e B durante o período citado.
16.
Relativamente à porcentagem
corretoras pode-se afirmar que
de
lucro
obtida
por
essas
a) exatamente 25% dos valores de A são inferiores a 55.
b) menos de 50% dos valores de B são superiores a 55.
c) o maior valor de A é 60.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
d) os valores de A apresentam maior variabilidade que os de B.
e) os valores de B apresentam assimetria positiva.
Vamos relembrar:
Valor
máximo
Mediana
Q3
quartil
–
terceiro
Q1
quartil
–
primeiro
Valor
mínimo
 Até o Q1;
temos 25% dos valores
 Até a mediana (seria o Q2); 50% dos valores
 Até o Q3;
75% dos valores
a) exatamente 25% dos valores de A são inferiores a 55. –
ERRADA. Dá para ler no gráfico que Q1 de A está em +- 52
b) menos de 50% dos valores de B são superiores a 55. –
ERRADA. Dá para ver no gráfico que a mediana de B está em
+- 56/57
c) o maior valor de A é 60. – ERRADA. O maior valor de A é 70
d) os valores de A apresentam maior variabilidade que os de B. –
CERTA. Ainda que eu odeie o termo variabilidade solto assim,
os dados de A são mais espalhados
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
e) os valores de B apresentam assimetria positiva. - ERRADA Sem
entrar em muita conta, vemos que a assimetria de B está mais à
esquerda/inferior (negativa em relação à mediana) que a direita.
GABARITO: D
FCC/Analista Bacen/2006 - O histograma de frequências
absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na
revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o
comportamento das empresas construtoras do ramo da construção
civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15
milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais
17.
Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do
faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os
valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o
ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste
histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo
de classe que contém
a) 24% das empresas.
b) 16% das empresas.
c) 9% das empresas.
d) 7% das empresas.
e) 5% das empresas.
Bem, vamos transformar este histograma em tabela?
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Classes
Frequencia
Absoluta
15 - 30
31
30 - 45
24
45 - 60
16
60 - 75
9
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
75 - 90
5
90 - 105
7
105 - 120
8
Aula 0
O exercício diz que “todos os valores incluídos num certo intervalo de
classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo”. Portanto vamos
considerar os pontos médios para as classes
Classes
Pontos Medios
Frequencia
Absoluta
15 - 30
22,5
31
30 - 45
37,5
24
45 - 60
52,5
16
60 - 75
67,5
9
75 - 90
82,5
5
90 - 105
97,5
7
105 - 120
112,5
8
Agora há dois métodos para resolver. O simples e brutal, útil se você
tiver uma planilha Excel, que é o que é mostrado abaixo... mas, haja conta!
Você perderá minutos preciosos na prova!
Classes
Pontos Medios
Frequencia
Absoluta
x.f
15 - 30
22,5
31
697,5
30 - 45
37,5
24
900
45 - 60
52,5
16
840
60 - 75
67,5
9
607,5
75 - 90
82,5
5
412,5
90 - 105
97,5
7
682,5
105 120
112,5
8
900
100
5040
f
xf
̅=xf/f
𝒙
50,4
∑
E o método esperto e sem muita conta, que é útil numa prova de
concurso. Este método consiste em atribuir índices aos pontos médios, já que
os intervalos são naturalmente espaçados de 15 em 15.
(Veremos mais sobre escore z nas aulas 3 e 4)
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58
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Pontos Médios
ìndice Z
22,5
-3
37,5
-2
52,5
-1
67,5
0
82,5
1
97,5
2
112,5
3
Aula 0
Ou seja, quando x=67,5; z=0. Quando x=52,5; z=-1. E por simetria,
quando x=82,5, z=1
Na verdade, nosso histograma ficaria assim, o que é essencialmente o
mesmo:
35
30
25
20
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
A diferença é que usamos o índice z. E como é o índice z?
z=(x-62,5)/15 onde 62,5 é o ponto escolhido para 0 e 15 a amplitude
das classes
Com o índice z fica facílimo fazer as contas na prova! Veja:
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Pontos
Médios
Índice
Z
Frequencia
Absoluta
z.f
22,5
-3
31
-93
37,5
-2
24
-48
52,5
-1
16
-16
67,5
0
9
0
82,5
1
5
5
97,5
2
7
14
112,5
3
8
24
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
100
-114
f
zf
𝒛̅=zf/f
-1,14
Aula 0
Opa, opa, opa, você deve estar dizendo. No método simples e brutal deu
50,4 e no índice z deu -1,14??? Claro, a média está expressa em índice z.
Vamos desconverter de volta para x
𝑧̅=(𝑥̅ -62,5)/15
-1,14 = (𝑥̅ -62,5)/15
𝑥̅ =-1,14*15+62,5
𝑥̅ =50,4
Ohhhh...
E onde está este 50,4 no Histograma?
A classe da média tem 16 empresas num universo de 100 (que é f).
Então 16/100=16%, nossa resposta.
GABARITO: B
FCC/ Analista Bacen/2006 - Em uma instituição bancária, o
salário médio dos 100 empregados do sexo masculino é de R$
1.500,00, com desvio padrão de R$ 100,00. O salário médio dos 150
empregados do sexo feminino é de R$ 1.000,00, com desvio padrão de
R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos dois grupos reunidos é de:
18.
a) 25.600,00
b) 28.000,00
c) 50.000,00
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
d) 62.500,00
e) 88.000,00
Exercício de variância combinada
2 (𝐴 + 𝐵) =
(∑ 𝐴 + ∑ 𝐵)2
1
{(∑ 𝐴2 + ∑ 𝐵 2 ) −
}
𝑛𝐴 + 𝑛𝑏
𝑛𝑎 + 𝑛𝑏
O grande segredo aí é tentar obter as somatórias do enunciado
𝑥̅ℎ =1500; 𝑁ℎ =100
∑𝐻
⁄𝑁
ℎ
Ora, 𝑥̅ℎ =
1500 =
∑ 𝐻⁄
100
∑ 𝐻 = 150.000
De maneira análoga com as mulheres:
𝑥̅𝑚 =1000; 𝑁𝑚 =150 portanto ∑ 𝑀 = 150.000
Mas não temos as somatórias ao quadrado ainda. Porém temos as
variâncias individuais pelos desvios-padrão:
𝜎ℎ = 100 portanto 𝜎ℎ2 = 10000
2
𝜎𝑚 = 200 portanto 𝜎𝑚
= 40000
Agora usamos a seguinte equação da variância:
𝑁1 (∑ 𝑥2 − (∑𝑁𝑥)

𝜎ℎ 10000 =
10000 =
1
100
(∑ 𝐻
1
100
2
−
(∑ 𝐻)
100
2
2
)
1
(150000)
)100
(∑ 𝐻2 − 100
2
)
2
2
(∑ 𝐻 −
(150000)
100
)
∑ 𝐻 2 = 226.000.000
De maneira análoga para as mulheres
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
𝜎𝑚 40000 =
40000 =
1
150
(∑ 𝑀2 −
1
150
(∑ 𝑀)
150
2
1
(150000)
)150
(∑ 𝐻2 − 100
Aula 0
2
)
2
(∑ 𝑀2 −
(150000)
100
)
∑ 𝑀2 = 156.000.000
Agora juntamos todos estes números na equação combinada e fazemos
uma tremenda calculeira:

2 (𝐻
=
(300.000)2
250
(∑ 𝐻 + ∑ 𝑀)2
1
2
2
+ 𝑀) =
{(∑ 𝐻 + ∑ 𝑀 ) −
}
𝑛𝐻 + 𝑛𝑀
𝑛𝐻 + 𝑛𝑀
1
{(226.000.000 + 156.000.000) −
100+150
(150.000+150.000)2
100+150
1
}=250 {(382.000.000) −
}= 88.000
GABARITO: E
FCC – Analista Legislativo/Contador da Câmara dos Deputados
2007 – Numa pesquisa realizada com 300 famílias levantaram-se as
seguintes informações.
19.
Número de filhos
Proporção das famílias
0
0,17
1
0,20
2
0,24
3
0,15
4
0,10
5
0,10
6
0,04
Com base nestas informações, a média e a mediana do número
dos filhos são dadas, respectivamente, por:
a) 2,27 e 3
b) 3 e 2
c) 2,27 e 2
d) 2,5 e 3,5
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
e) 2,5 e 3
Como estamos lidando com proporções, a média desta distribuição não
será a média aritmética, mas a média ponderada (mais detalhes veremos na
aula de Distribuição de Probabilidades)
Média: 𝑥̅ =
∑ 𝑓.𝑥
∑𝑓
= ∑𝑥 . 𝑃 (𝑥)
Portanto vamos fazer uma nova tabela para calcular a média:
Número de filhos
x
Proporção das
famílias
P(X)
x . P(X)
0
0,17
0
1
0,20
0,2
2
0,24
0,48
3
0,15
0,45
4
0,10
0,4
5
0,10
0,5
6
0,04
0,24
Média=  x P(x)
2,27
Metade da questão foi resolvida. Agora vamos calcular a mediana. Para
calcular a mediana, o valor que divide a amostra/população ordenada
crescentemente em 50%, vamos calcular a frequência acumulada:
Número
de filhos
x
Proporção das
famílias
P(X)
P acumulada (X)
0
0,17
0,17
1
0,20
0,37
2
0,24
0,61
3
0,15
0,76
4
0,10
0,86
5
0,10
0,96
6
0,04
1,00
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Ora, o valor de 50% só é alcançado em 2. Como estamos lidando com
uma tabela de frequência e números discretos, não podemos interpolar. Sendo
assim, por aproximação, a mediana é dois, 2.
GABARITO: C
CESPE/ Analista Superior Tribunal Militar - STM/2010 - A partir
do histograma mostrado na figura abaixo, é correto inferir que a
distribuição da variável X é simétrica.
20.
Se a distribuição fosse simétrica, “um lado” é igual ao outro. Simples
assim.
Ponto médio
Se fosse
simétrico seria
assim
GABARITO: ERRADA
Para as duas questões a seguir, considere o seguinte conjunto de
dados composto por cinco elementos: {82,93; 94,54; 98,40; 115,41;
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
123,07}. Com base nesses dados, julgue os próximos dois itens
subsequentes (3 – 4) acerca das medidas de tendência central.
CESPE / Analista Superior Tribunal Militar / 2010 - A média do
conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o
valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a
mediana continuará sendo 98,40.
21.
Ou seja, de:
82,93 94,54 98,40 115,41 123,07
Como já está ordenado, é fácil perceber que 98,40 é a mediana. Aliás o
exercício até já fala
Vira:
82,93 94,54 98,40 115,41 200,00
A média de fato muda, mas a mediana não sofre a influência de pontos
extremos. A mediana continua 98,40. Questão correta
GABARITO: CERTA
CESPE / Analista Superior Tribunal Militar / 2010 - Se o valor de
um dos elementos do conjunto não for fornecido, esse valor pode ser
determinado se a média do conjunto for conhecida, mas não será
possível obter esse valor conhecendo-se apenas a mediana.
22.
E então? Questão deveras interessante. Vamos tirar um elemento do
conjunto e chamar de incógnita Y
82,93
94,54
98,40
y
123,07 com 𝑥̅ =102,87
Ora, vamos aplicar a fórmula da média
𝑥̅ =
∑𝑥
𝑛
(82,93+94,54+98,40+y+123,07)/5=102,87
Uma equação e uma incógnita. Podemos resolvê-la:
398,94+y=514,35
y = 115,41
Portanto pudemos chegar ao elemento faltante tendo a média.
E no caso da mediana?
82,93
94,54
98,40
y
123,07 com  𝑥̇ =102,87
Vamos raciocinar indutivamente imaginando um y entre 98,40 e 123,07.
Se y=99
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82,93 94,54 98,40 99
123,07 com  𝑥̇ =102,87
Aula 0
OK
Se y=102
82,93 94,54 98,40 102
123,07 com  𝑥̇ =102,87
OK
Então eis o ponto! A mediana não envolve fórmula, e sim posição do
elemento! Qualquer y tal que 98,40<y<123,07 faz uma mediana de 102,87.
Portanto de fato não é possível determinar o elemento faltante se a mediana
for dada.
GABARITO: CERTA
COPS/ICMS-PR/2013 - Os preços, em reais, de uma máquina de
lavar roupas e de um ferro de passar roupas de marcas e modelos
idênticos variam em sete lojas, conforme mostra a tabela a seguir.
23.
Em relação aos preços desses produtos, assinale a alternativa
correta.–
a) A mediana dos preços da máquina de lavar roupas é R$ 787,14.
b) A variabilidade dos preços é igual para os dois produtos.
c) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é maior do que
a variabilidade dos preços do ferro de
passar roupas.
d) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é menor do
que a variabilidade dos preços do ferro de passar roupas.
e) O escore padronizado, z, do maior preço do ferro de passar roupas é
0,208 e isso indica que o preço é excepcionalmente alto em relação aos preços
das demais lojas.
Vamos alternativa por alternativa:
a) A mediana dos preços da máquina de lavar roupas é R$ 787,14. ERRADA
Basta ordenar os preços e tirar a mediana. Como há sete preços, a
mediana será o quarto preço.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Posição
Preço
1
750,00
2
760,00
3
780,00
4 - MEDIANA
790,00
5
800,00
6
810,00
7
8200,00
Aula 0
b) A variabilidade dos preços é igual para os dois produtos. - ERRADA
c) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é maior do que
a variabilidade dos preços do ferro de passar roupas. . - ERRADA
d) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é menor do
que a variabilidade dos preços do ferro de passar roupas. - CERTA
Particularmente detestei estas alternativas e são dignas de recurso. A
banca chamou de variabilidade o coeficiente de variação que é dispersão
relativa. Mas o desvio-padrão mede a dispersão absoluta e desvio-padrão para
o ferro é menor que da máquina de lavar roupa. Se fosse por uma medida de
dispersão absoluta, ie, o desvio, a resposta correta seria a letra C. Quem foi
por esta interpretação errou sonoramente. Injusto.
CV máquina = s máquina / 𝑥̅ máquina = 25,63 / 1841 = 0,013
CV ferro = s ferro / 𝑥̅ ferro = 4,81 / 1841 = 0,098
Portanto é a alternativa D, já que o CV máquina < CV ferro
e) O escore padronizado, z, do maior preço do ferro de passar roupas é
0,208 e isso indica que o preço é excepcionalmente alto em relação aos preços
das demais lojas. - ERRADA
Blá, Blá, blá para enrolar o candidato. Veremos escore padronizado na
aula de distribuição normal. E daí que haja um preço excepcionalmente alto
em relação às outras lojas? Estatisticamente esta afirmação não tem
significado. Se se dissesse que é um “outlier” aí teria um certo significado
estatístico.
GABARITO: D
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
FGV/ICMS-AP/2011 - Os dados a seguir são as quantidades de
empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A variância da
quantidade de empregados dessas cinco empresas é igual a:
24.
a) 0,8.
b) 1,2.
c) 1,6.
d) 2,0.
e) 2,4.
Apesar de simples, aqui há um poço em que o aluno pode cair. Se ele
usar a variância de amostras (não é o caso) ele dividira por n-1, não n.
Vamos usar as duas fórmulas possíveis. Você concluirá sozinho qual é a
melhor de se usar na prova.
Fórmula clássica: 
2=
x
(x-)2
6
0,16
5
1,96
8
2,56
5
1,96
8
2,56
x
32
n
5

6,4
(x-)2
∑(𝑥−µ)2
𝑁
9,2
∑(𝑥−µ)2
1,840=2
𝑁
2
Fórmula abreviada: 𝑁1 (∑ 𝑥2 − ( 𝑁𝑥) )
∑
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x
x2
6
36
5
25
8
64
5
25
8
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
x
x2
2
Aula 0
32
214
2
𝑁1 (∑ 𝑥2 − ( 𝑁𝑥) )15 (214 − 325 )(o desvio deve ser expresso no mesmo
∑
número dos dados)
Veja que a tal “fórmula abreviada” é abreviada para calcular, não para se
expressar. É melhor na prova ir pela fórmula abreviada. Vejam como as contas
ficaram mais simples!
Ai algum aluno me dirá no fórum: “PROFESSOOOOR, EU FIZ NO EXCEL
PARA CONFERIR E NÃO DEU O MESMO VALOR. DEU 2,3 ”
Porque você usou VAR() ou VARA() que calculam a variância amostral
(divide por n-1). Neste caso é população, e tinha que ser a função VARP ().
GABARITO: B
FGV/ICMS-RJ/2011 - A respeito das técnicas de amostragem
probabilística, NÃO é correto afirmar que
25.
a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em
diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados
selecionados.
b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida
em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre
si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo.
c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da
população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de
serem selecionados.
d) na amostragem por voluntários a população é selecionada de
forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados.
e) na amostragem sistemática os elementos da população se
apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita
periodicamente.
a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em
diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados
selecionados. – CORRETA. É a definição de amostragem por
conglomerados.
Uma amostragem por conglomerados é uma estratificada em que o
espaço amostral é um dos conglomerados/estratos.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida
em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre
si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo. – CORRETA
Uma amostragem estratificada é uma amostragem que a população é
subdividida em no mínimo duas subpopulações que compartilham das
mesmas características e em seguida se extrai uma amostra aleatória
de cada extrato. Por exemplo, os computadores da Receita Federal separam
as declarações de renda de pessoas físicas em faixas de renda e sorteiam
algumas de cada faixa para escrutínios dos fiscais.
c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da
população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de
serem selecionados. – CORRETA. Nem há muito que comentar. Se um
elemento tivesse mais chance não seria aleatória.
d) “na amostragem por voluntários a população é selecionada de
forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados” – ERRADA.
Ora, se são “voluntários” houve vontade e arbítrio de se “voluntariar”,
então não pode ser aleatório. Façamos um exemplo, suponha que algum
instituto de pesquisa eleitoral deseje fazer uma pesquisa eleitoral
baseada em voluntários. Ora, ela nunca seria válida nem representativa,
porque os partidários de algum candidato poderiam acorrer em massa
para se voluntariar e os resultados seriam favoráveis para seu candidato.
e) “na amostragem sistemática os elementos da população se
apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita
periodicamente”. CORRETA. É uma paráfrase de nossa definição:
Uma amostragem sistemática escolhemos um ponto de partida e
selecionamos um elemento a cada determinada distância ou
frequência.
Exemplo, uma tecelagem extrai uma amostra para análise de fio a cada
10000m de fio produzido.
GABARITO: D
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
CESPE/Tecnologista Jr/ 2010 - Dado é definido como um valor
quantitativo referente a um fato ou circunstância, número bruto que
não sofreu qualquer espécie de tratamento estatístico ou a matériaprima da produção de informação.
26.
Um dado é uma unidade básica de informação, normalmente o resultado
da experiência ou observação.
Se o dado vem da experiência ou observação, ele não sofreu tratamento
de fato
GABARITO: CERTO
CESPE/Tecnologista Jr/ 201 - Entende-se como informação o
conhecimento obtido a partir dos dados, o dado trabalhado ou o
resultado da análise e combinação de vários dados, sem haver, no
entanto, nenhuma interferência por parte do analista.
27.
Uma informação é o conhecimento obtido pela comparação de diversos
dados
Em um experimento aplica-se determinado tratamento e passa-se a
observar seus efeitos a serem pesquisados.
Pode haver sim interferência,
Experimentos geram informação.
como
no
caso
de
experimentos.
GABARITO:ERRADA
CETRO/ISS-SP/2014 - Foram obtidos os seguintes dados para a
idade dos filhos de uma amostra aleatória de 50 pessoas:
28.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15,
15, 16, 16, 18, 23
Dessa amostra, conclui-se que a distribuição:
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
a) tem assimetria negativa.
b) indica subpopulações com assimetria negativa.
c) é simétrica.
d) tem assimetria positiva.
e) é parte assimétrica positiva e parte simétrica.
Vamos já descartar a alternativa E. Se é “A”-simétrico não pode ser
simétrico, é um paradoxo.
Bem, você pode desenhar um histogramazinho na sua prova
(logicamente não precisa ser tão bonito e caprichoso quanto este feito por
software):
Histogram of Questão Cetro 2014
16
14
Frequency
12
10
8
6
4
2
0
4
8
12
16
Questão Cetro 2014
20
Ou fazer uma tabela. Na prática você fará a tabela antes do histograma.
Valores Frequencia
4
1
5
2
6
4
7
6
8
9
10
8
11
2
12
2
13
2
14
1
15
3
16
2
18
1
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
23
Aula 0
1
Parece simétrico? Não, né? Simétrico tem os dois lados iguais. Elimina-se
a alternativa C
Histogram of Simetrico
6
Frequency
5
4
3
2
1
0
4
5
6
Simetrico
7
8
Finalmente há que se verificar se a distribuição é assimétrica à direta, ou
positiva, ou à esquerda, ou negativa. Você poderia calcular moda, a média e a
mediana para concluir. Mas isso dá muito trabalho. Ora, é só verificar no seu
histograma para onde a cauda da distribuição se estende. Dá para ver que ela
se estende para a direita, ou seja, é positiva. Nisso já se acerta a alternativa D
e se descaram as A e B
Histogram of Questão Cetro 2014
16
14
Frequency
12
10
8
6
4
2
0
4
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8
12
16
Questão Cetro 2014
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73
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Nesta questão o que dá trabalho é fazer um histograma na prova, mas,
uma vez feito, a resposta é evidente. Na prova, apesar do tempo, certos
esforços valem a pena pela segurança e rapidez da resposta.
GABARITO: D
CETRO – Ministério das Cidades – Estatístico/ 2013 - Tomada
uma amostra de medidas de comprimento de um tipo de inseto,
obtiveram-se os resultados abaixo, em três medições: 2,21cm;
2,23cm; 2,26cm. Com base nesses dados, é correto afirmar que a
variância populacional da amostra é:
29.
a) 0,0015.
b) 0,00065.
c) 0,0011.
d) 0,0009.
e) 0,0007.
Variância de Populações
Fórmula clássica
Fórmula abreviada
- Usa a média -
- Usa os quadrados -
σ2 =
∑(𝑥 − µ)2
𝑁
∑(𝑥−𝑥̅ )2
Variância de Amostras
s2=
𝑛−1
1
2=𝑁 (∑ 𝑥 2 −
(∑ 𝑥)2
𝑁
)
n(∑ x2 )−(∑ x)2
s2=
𝑛(𝑛−1)
Vamos lá. O enunciado pediu a variância populacional, atento para usar
a fórmula certa!
Como são apenas 3 elementos, preferi usar a fórmula clássica. Você
pode usar a fórmula abreviada
∑(𝑥 − µ)2
σ =
𝑁
Mas primeiro se calcula a média
2
=
∑𝑥
𝑁
=
2,21+2,23+2,26
3
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=
6,7
3
= 2,23333 … = 2,23
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
σ2 =
Aula 0
∑(𝑥 − µ)2 (2,21 − 2,23)2 + (2,23 − 2,23)2 + (2,26 − 2,23)2
=
𝑁
3
(−0,02)2 + (0)2 + (0,03)2 0,0004 + 0,0009 0,0013
=
=
=
= 0,00065
3
3
3
Você pode usar a fórmula abreviada e se poupar de calcular a média
também:
1
2=𝑁 (∑ 𝑥 2 −
(∑ 𝑥)2
𝑁
1
) = 3 ((2,21)2 + (2,23)2 + (2,26)2 −
(2,21+2,23+2,26)2
3
) = 0,00065
Neste exercício em específico é melhor usar a fórmula clássica e se
poupar de calcular os quadrados que a mão são complicados. Em outros casos
a fórmula abreviada é melhor. Você ganhará experiência para decidir qual
fórmula usar apenas fazendo exercícios.
GABARITO: B
CETRO – Ministério das Cidades – Estatístico/ 2013 - Dada a
sequência de números: 71; 24; 36; 10; 12; 41; 52, o número que
define o 3º quartil é:
30.
a) 12
b) 24
c) 36
d) 41
e) 52
Basta ordenar os números e checar o que divide em (3:1)=(75%:25%) a
distribuição:
75%
25%
Terceiro Quartil
10
12
24
36
41
52
71
O terceiro quartil, o 75/100 número estaria entre 41 e 52, que deixa “5
pra lá e 2 pra cá”, um hipotético número que dividisse “6 pra lá e 2 pra cá”
seria maior que 41 e menor que 52. Porém esta é uma distribuição discreta e
questão não aceita quebrados. A banca arredondou a menor, para 41. Mas se
usarmos softwares estatísticos, eles optam pelo 52. Mesmo a função
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
QUARTIL.EXC do Excel programada para o 3º quartil. Penso que caberia
recurso.
GABARITO: D
FUNCAB/ Estatístico pref Serra-ES/2011 - A seguir estão os
valores das médias salariais anuais, em salários mínimos,
correspondendo a um período de 25 anos, para uma amostra de
funcionários aposentados de uma prefeitura.
31.
12, 11, 19, 16, 22, 20, 14, 17, 14, 15, 21, 21,
16, 9, 15, 8, 13, 16, 17, 15, 26, 9, 20, 16, 18.
A mediana deste conjunto de números é:
a) igual à moda.
b) desconhecida.
c) um número primo.
d) maior que a média.
e) igual a 15.
Temos que ordenar os dados para chegar à mediana
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Posição
1 2 3
Elemento
8 9 9 11 12 13 14 14 15 15 15 16 16 16 16 17 17 18 19 20 20 21 21 22 26
a) A mediana é 16. E é o elemento com maior ocorrência, 4, portanto é a
moda. A mediana é igual à moda. - CERTA
b) Não há como a mediana ser desconhecida se os elementos são
conhecidos. - ERRADA
c) 16 não é número primo, pois é divisível por 2,4 e 8. - ERRADA
d) A média é 16 que é igual à mediana e a moda, portanto não há como
sr maior. - ERRADA
e) A mediana é igual a 16, não 15. - ERRADA
GABARITO: A
FUNCAB/ Estatístico pref Serra-ES/2011 - Para os três conjuntos
de números a seguir, assinale a opção FALSA.
32.
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76
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
X - 70, 70, 70, 70, 70
Y - 68, 69, 70, 71, 72
Z - 5, 15, 50, 120, 160
a) As médias dos três conjuntos são iguais.
b) As medianas são números pares.
c) As variâncias são desiguais.
d) Os conjuntos são unimodais.
e) As amplitudes são menores que 157.
a) “As médias dos três conjuntos são iguais”. – Fazendo as contas,
as médias são 70 mesmo - CERTA
b) “As medianas são números pares” – As medianas são 70,70 e
50- CERTA
c) “As variâncias são desiguais” – Nem perca tempo em fazer as
contas, a variância de Z é zero, e as de Y e Z nunca podem ser zero –
CERTA
d) “Os conjuntos são unimodais” – X é unimodal, mas Y e Z não
têm moda, porque todos os elementos tem o mesmo número de
frequência. - ERRADA
e) “As amplitudes são menores que 157” – A amplitude de X é
zero, a de Y é 4 e a de Z é 155 - CERTA
GABARITO: D
FUNCAB/ Estatístico pref Serra-ES/2011 - Após verificar que as
notas obtidas em sua última prova haviam sido muito baixas, um
professor do ginásio municipal resolveu desconsiderar cada questão
que não houvesse sido respondida corretamente por algum dos alunos.
Isto feito, ele percebeu que as notas foram todas aumentadas de 3
(três) pontos. Pode-se afirmar que:
33.
a) a média aritmética e a mediana das notas se alteraram.
b) somente a média aritmética das notas se alterou.
c) somente a mediana das notas se alterou.
d) nem a média, nem a mediana das notas se alteraram.
e) o efeito sobre as notas depende
Propriedades da média
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
média do conjunto fica multiplicada por esta constante
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma
variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa constante
Ou seja, a média aumentou em 3 pontos.
E a mediana? É tentador responder que a mediana não se alterou, mas
lembro que em números absolutos, sendo a mediana um elemento do conjunto
na posição 50%-ésimo, como todos os membros do conjunto de notas
aumentou, a mediana aumentou também em 3 pontos.
GABARITO: A
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
ENUNCIADO DE EXERCÍCIOS
AGORA FAÇA VOCÊ
11.
ENUNCIADOS DE EXERCÍCIOS
1. ESAF/Analista STN/ 2013 - Suponha que X seja uma variável
aleatória com valor esperado 10 e variância 25. Para que a
variável Y dada por Y = p - q x, com p e q positivos, tenha valor
esperado 0 e variância 625, é necessário que p + q seja igual a:
a) 50
b) 250
c) 55
d) 100
e) 350
2. ESAF/Receita Federal/2014 - A variância da amostra formada
pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 4.
e) 5.
3. ESAF/Receita
Federal/2005
Para
dados
agrupados
representados por uma curva de frequências, as diferenças entre
os valores da média, da mediana e da moda são indicadores da
assimetria da curva. Indique a relação entre essas medidas de
posição para uma distribuição negativamente assimétrica.
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra
abaixo da moda.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra
abaixo da mediana.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se
encontra abaixo da moda.
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em
valor.
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra
abaixo da média.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
4. ESAF/ Receita Federal/2005 - Em uma determinada semana uma
empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os
produtos A e B:
Produto A
Produto B
39 33
50 52
25
47
30
49
41
54
36
40
37
43
Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos
dois produtos:
a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%
b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%
c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%
d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%
5. ESAF / ISS Recife / 2003 - Em uma amostra, realizada para se
obter informação sobre a distribuição salarial de homens e
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O
salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e
para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta.
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
6. FCC/ICMS-RJ/2014 - O Departamento de Pessoal de certo órgão
público fez um levantamento dos salários, em número de salários
mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os seguintes
resultados:
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários
calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear é
igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400
funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos
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80
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
os valores incluídos em um intervalo de classe são coincidentes com o
ponto médio do intervalo, é igual a
a) 8,54
b) 8,83
c) 8,62
d) 8,93
e) 8,72
7. FCC/ICMS-RO/2010 - Em uma cidade é realizado um
levantamento referente aos valores recolhidos de determinado
tributo estadual no período de um mês. Analisando os
documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores
conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as
colunas
representam
as
quantidades
de
recolhimentos
correspondentes.
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se
que o valor da
a) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a
moda.
b) média aritmética é igual ao valor da mediana.
c) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00.
d) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00.
e) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.
8. FCC/ICMS-SP/2013 - Considere:
I. O coeficiente de variação de uma variável é uma medida de
dispersão absoluta que é o resultado da divisão entre a média e o
desvio padrão da variável em questão.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
II. Um dispositivo útil quando se deseja verificar se existe
correlação linear entre duas variáveis é o gráfico de colunas
justapostas.
III. O desvio padrão é mais apropriado do que o coeficiente de
variação quando se deseja comparar a variabilidade de duas variáveis.
IV. Na amostragem aleatória estratificada, a população é dividida
em estratos, usualmente, de acordo com os valores ou categorias de
uma variável, e, depois, uma amostragem aleatória simples é utilizada
na seleção de uma amostra de cada estrato.
Está correto o que se afirma APENAS em
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e IV.
e) IV.
9. FCC/ISS-SP/2007 - No presente mês, o salário médio mensal
pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00.
Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres
são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo
mês, todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e
todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários
atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou,
após esses reajustes o salário médio mensal de todos os
funcionários passará a ser igual a:
a) R$ 540,00
b) R$ 562,00
c) R$ 571,00
d) R$ 578,00
e) R$ 580,00
10.
FCC/ISS-SP/2012 - Considere as seguintes afirmações:
I.
Um dispositivo útil quando se quer verificar a associação entre
duas variáveis quantitativas é o gráfico de dispersão entre essas duas
variáveis.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
II.
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa
que depende da unidade de medida da variável que está sendo
analisada.
III.
Dentre as medidas de posição central, a média é considerada
uma medida robusta pelo fato de não ser afetada por valores
aberrantes.
IV.
Se o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas
variáveis for igual a zero, não haverá associação linear entre elas,
implicando a ausência de qualquer outro tipo de associação.
Está correto o que se afirma APENAS em
a) II e III.
b) I e II.
c) I e III.
d) II e IV.
e) I.
11.
FCC/ICMS-RO/2010 - A média aritmética de todos os
salários dos funcionários em uma repartição pública é igual a R$
1.600,00. Os salários dos funcionários do sexo masculino
apresentam um desvio padrão de R$ 90,00 com um coeficiente de
variação igual a 5%. Os salários dos funcionários do sexo
feminino apresentam um desvio padrão de R$ 60,00 com um
coeficiente de variação igual a 4%. Escolhendo aleatoriamente
um funcionário desta repartição, a probabilidade dele ser do sexo
feminino é igual a
a) 1/2
b) 1/3
c) 3/4
d) 3/5
e) 2/3
12.
FCC/ICMS-BA/2004 - O gráfico abaixo é o histograma de
frequências absolutas de uma amostra de valores arrecadados de
determinado tributo em um município.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Com relação aos dados dessa amostra, é verdade que
a) 60% dos valores são maiores ou iguais a R$ 1 500,00
menores que R$ 3 000,00.
b) mais de 30% dos valores são maiores ou iguais a R$ 2 500,00
menores que R$ 3 500,00.
c) a porcentagem dos valores iguais ou superiores a R$ 3 500,00
maior que a porcentagem dos valores inferiores a R$ 1 500,00.
d) a frequência relativa de valores inferiores a R$ 1 500,00
menos que 10%.
e) a amplitude da amostra é igual a R$ 4 000,00.
e
e
é
é
13.
FCC/Analista FHEMIG/2013 - Na análise descritiva de um
conjunto de dados,
a) a média corresponde sempre ao valor que divide os dados
ordenados ao meio.
b) o desvio padrão representa uma medida de tendência central.
c) se existem valores diferentes uns dos outros em um conjunto de
dados, sempre teremos valores abaixo e acima da média.
d) a mediana é sempre diferente da média.
e) o desvio padrão corresponde ao quadrado da variância.
14.
FCC/Analista FHEMIG/2013 - A respeito do boxplot é correto
afirmar:
a) Medidas descritivas como a mediana e o intervalo interquartil
são utilizadas para se obter o gráfico, entre outros elementos.
b) Entre os percentis 25% e 50% há metade dos valores do
conjunto de dados representado.
c) O intervalo interquartil é construído a partir do 1o e 2o quartis.
d) É usual se considerar um valor aberrante àquele que exceda 2
intervalos interquartis, para cima ou para baixo dos limites
da caixa definida pelo intervalo interquartil.
e) Não se permite a visualização da variabilidade dos dados
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
15.
FCC/Analista
Legislativo/Contador
da
Câmara
dos
Deputados/2007 - Se a média e a variância da variável aleatória
X são 12 e 80 respectivamente, então a média e a variância da
variável aleatória Y = X/4 + 1 são dadas respectivamente por
a) 4 e 20
b) 4 e 5
c) 3 e 20
d) 4 e 21
e) 3 e 5
16.
FCC/Analista Legislativo & Contador da Câmara dos
Deputados/2007 - Para se estudar o desempenho das corretoras
de ações A e B, selecionou-se de cada uma delas amostras
aleatórias das ações negociadas. Para cada ação selecionada
computou-se a porcentagem de lucro apresentada durante o
período de um ano. Os gráficos a seguir apresentam os desenhos
esquemáticos relativos à porcentagem de lucro das amostras de
A e B durante o período citado.
Relativamente à porcentagem
corretoras pode-se afirmar que
de
lucro
obtida
por
essas
a) exatamente 25% dos valores de A são inferiores a 55.
b) menos de 50% dos valores de B são superiores a 55.
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c) o maior valor de A é 60.
d) os valores de A apresentam maior variabilidade que os de B.
e) os valores de B apresentam assimetria positiva.
17.
FCC/Analista Bacen/2006 - O histograma de frequências
absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações
contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que
demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo
da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004
maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120
milhões de reais
Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do
faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os
valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o
ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste
histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo
de classe que contém
a) 24% das empresas.
b) 16% das empresas.
c) 9% das empresas.
d) 7% das empresas.
e) 5% das empresas.
18.
FCC/ Analista Bacen/2006 - Em uma instituição bancária, o
salário médio dos 100 empregados do sexo masculino é de R$
1.500,00, com desvio padrão de R$ 100,00. O salário médio dos
150 empregados do sexo feminino é de R$ 1.000,00, com desvio
padrão de R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos dois grupos
reunidos é de:
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a) 25.600,00
b) 28.000,00
c) 50.000,00
d) 62.500,00
e) 88.000,00
19.
FCC – Analista Legislativo/Contador da Câmara dos
Deputados 2007 – Numa pesquisa realizada com 300 famílias
levantaram-se as seguintes informações.
Número de filhos
Proporção das famílias
0
0,17
1
0,20
2
0,24
3
0,15
4
0,10
5
0,10
6
0,04
Com base nestas informações, a média e a mediana do número
dos filhos são dadas, respectivamente, por:
a) 2,27 e 3
b) 3 e 2
c) 2,27 e 2
d) 2,5 e 3,5
e) 2,5 e 3
20.
CESPE/ Analista Superior Tribunal Militar - STM/2010 - A
partir do histograma mostrado na figura abaixo, é correto inferir
que a distribuição da variável X é simétrica.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Para as duas questões a seguir, considere o seguinte conjunto de
dados composto por cinco elementos: {82,93; 94,54; 98,40; 115,41;
123,07}. Com base nesses dados, julgue os próximos dois itens
subsequentes acerca das medidas de tendência central.
21.
CESPE / Analista Superior Tribunal Militar / 2010 - A média
do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40.
Se o valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar,
mas a mediana continuará sendo 98,40.
22.
CESPE / Analista Superior Tribunal Militar / 2010 - Se o
valor de um dos elementos do conjunto não for fornecido, esse
valor pode ser determinado se a média do conjunto for
conhecida, mas não será possível obter esse valor conhecendo-se
apenas a mediana.
23.
COPS/ICMS-PR/2013 - Os preços, em reais, de uma
máquina de lavar roupas e de um ferro de passar roupas de
marcas e modelos idênticos variam em sete lojas, conforme
mostra a tabela a seguir.
Em relação aos preços desses produtos, assinale a alternativa
correta.–
a) A mediana dos preços da máquina de lavar roupas é R$ 787,14.
b) A variabilidade dos preços é igual para os dois produtos.
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
c) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é maior do que
a variabilidade dos preços do ferro de
passar roupas.
d) A variabilidade dos preços da máquina de lavar roupas é menor do
que a variabilidade dos preços do ferro de passar roupas.
e) O escore padronizado, z, do maior preço do ferro de passar roupas é
0,208 e isso indica que o preço é excepcionalmente alto em relação aos preços
das demais lojas.
24.
FGV/ICMS-AP/2011 - Os dados a seguir são as quantidades
de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A
variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é
igual a:
a) 0,8.
b) 1,2.
c) 1,6.
d) 2,0.
e) 2,4.
25.
FGV/ICMS-RJ/2011
A
respeito
das
técnicas
amostragem probabilística, NÃO é correto afirmar que
de
a) na amostragem por conglomerado a população é dividida em
diferentes grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados
selecionados.
b) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida
em subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre
si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo.
c) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da
população, sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de
serem selecionados.
d) na amostragem por voluntários a população é selecionada de
forma a estratificar aleatoriamente os grupos selecionados.
e) na amostragem sistemática os elementos da população se
apresentam ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita
periodicamente.
26. CESPE/Tecnologista Jr/ 2010 - Dado é definido como um valor
quantitativo referente a um fato ou circunstância, número bruto
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
que não sofreu qualquer espécie de tratamento estatístico ou a
matéria-prima da produção de informação.
27.
CESPE/Tecnologista Jr/ 201 - Entende-se como informação
o conhecimento obtido a partir dos dados, o dado trabalhado ou o
resultado da análise e combinação de vários dados, sem haver,
no entanto, nenhuma interferência por parte do analista.
28.
CETRO/ISS-SP/2014 - Foram obtidos os seguintes dados
para a idade dos filhos de uma amostra aleatória de 50 pessoas:
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15,
15, 16, 16, 18, 23
Dessa amostra, conclui-se que a distribuição:
a) tem assimetria negativa.
b) indica subpopulações com assimetria negativa.
c) é simétrica.
d) tem assimetria positiva.
e) é parte assimétrica positiva e parte simétrica.
29.
CETRO – Ministério das Cidades – Estatístico/ 2013 Tomada uma amostra de medidas de comprimento de um tipo de
inseto, obtiveram-se os resultados abaixo, em três medições:
2,21cm; 2,23cm; 2,26cm. Com base nesses dados, é correto
afirmar que a variância populacional da amostra é:
a) 0,0015.
b) 0,00065.
c) 0,0011.
d) 0,0009.
e) 0,0007.
30.
CETRO – Ministério das Cidades – Estatístico/ 2013 - Dada a
sequência de números: 71; 24; 36; 10; 12; 41; 52, o número que
define o 3º quartil é:
a) 12
b) 24
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90
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
c) 36
d) 41
e) 52
31.
FUNCAB/ Estatístico pref Serra-ES/2011 - A seguir estão os
valores das médias salariais anuais, em salários mínimos,
correspondendo a um período de 25 anos, para uma amostra de
funcionários aposentados de uma prefeitura.
12, 11, 19, 16, 22, 20, 14, 17, 14, 15, 21, 21,
16, 9, 15, 8, 13, 16, 17, 15, 26, 9, 20, 16, 18.
A mediana deste conjunto de números é:
a) igual à moda.
b) desconhecida.
c) um número primo.
d) maior que a média.
e) igual a 15.
Temos que ordenar os dados para chegar à mediana
32.
FUNCAB/ Estatístico pref Serra-ES/2011 - Para os três
conjuntos de números a seguir, assinale a opção FALSA.
X - 70, 70, 70, 70, 70
Y - 68, 69, 70, 71, 72
Z - 5, 15, 50, 120, 160
a) As médias dos três conjuntos são iguais.
b) As medianas são números pares.
c) As variâncias são desiguais.
d) Os conjuntos são unimodais.
e) As amplitudes são menores que 157.
33.
FUNCAB/ Estatístico pref Serra-ES/2011 - Após verificar
que as notas obtidas em sua última prova haviam sido muito
baixas, um professor do ginásio municipal resolveu desconsiderar
cada questão que não houvesse sido respondida corretamente
por algum dos alunos. Isto feito, ele percebeu que as notas foram
todas aumentadas de 3 (três) pontos. Pode-se afirmar que:
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91
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
a) a média aritmética e a mediana das notas se alteraram.
b) somente a média aritmética das notas se alterou.
c) somente a mediana das notas se alterou.
d) nem a média, nem a mediana das notas se alteraram.
e) o efeito sobre as notas depende
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92
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
12.
Aula 0
GABARITOS
Questão
Banca
Cargo/Órgão
Ano
Resposta
1
ESAF
Analista STN
2013
C
2
ESAF
Receita
2014
B
3
ESAF
Receita
2005
C
4
ESAF
Receita
2005
B
5
ESAF
ISS Recife
2003
A
6
FCC
ICMS-RJ
2014
D
7
FCC
ICMS-RO
2010
E
8
FCC
ICMS-SP
2013
E
9
FCC
ISS-SP
2007
C
10
FCC
ISS-SP
2012
E
11
FCC
ICMS-RO
2010
E
12
FCC
ICMS-BA
2004
B
13
FCC
Analista FHEMIG
2013
C
14
FCC
Analista FHEMIG
2013
A
15
FCC
Analista Câmara
2007
B
16
FCC
Analista Câmara
2007
D
17
FCC
Analista Bacen
2006
B
18
FCC
Analista Bacen
2006
E
19
FCC
Analista Câmara
2007
C
20
Cespe
Analista Tribunal
Militar
2010
Errada
21
Cespe
Analista Tribunal
Militar
2010
Certa
22
Cespe
Analista Tribunal
Militar
2010
Certa
23
COPS
ICMS-PR
2013
D
24
FGV
ICMS-AP
2011
B
25
FGV
ICMS-RJ
2011
D
26
Cespe
Tecnologista
2010
Certo
27
Cespe
Tecnologista
2010
Errada
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93
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
28
CETRO
ISS-SP
2014
D
29
CETRO
Ministério das
Cidades
2013
B
30
CETRO
Ministério das
Cidades
2013
D
31
FUNCAB
Pref. Serra-ES
2011
A
32
FUNCAB
Pref. Serra-ES
2011
D
33
FUNCAB
Pref. Serra-ES
2011
A
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94
ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
13.
Aula 0
FORMULÁRIO DESTA AULA
∑x
Somatória de um conjunto de valores
x
Uma variável usada para representar valores individuais dos
dados
n
Número de valores de uma amostra
N
Número de valores de uma população
𝑥̅ =
∑𝑥
=
∑𝑥
𝑥̅ =
Média (aritmética) de um conjunto de valores de uma amostra
𝑛
Média (aritmética) de um conjunto de valores de uma população
𝑁
∑ 𝑥. 𝑃(𝑥)
∑𝑥
Média (ponderada) de uma tabela de frequências
Divide 50%/50%
Mediana 𝑥̃
𝑥̃ =50%_ésimo valor
(Segundo Quartil)
Divide 25%/75%
Primeiro quartil
𝑄1 =25%_ésimo valor
Divide 75%/25%
Terceiro quartil
𝑄3 =75%_ésimo valor
Dinter=Q3-Q1
Distância interquartílica
Valor que ocorre com mais frequência
moda
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝑀á𝑥 − 𝑀í𝑛
amplitude
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒/2
Ponto médio
S2=
∑(𝑥−𝑥̅ )2
𝑛−1

1
𝑁
n(∑ x2 )−(∑ x)2
=
𝑛(𝑛−1)
∑(𝑥−µ)2
𝑁
2
(∑ 𝑥 −
∑(𝑥−𝑥̅ )2
s=√𝑆 2 =√
𝑛−1

Variância de um conjunto de valores de uma amostra
Variância de um conjunto de valores de uma população

2
(∑ 𝑥)
𝑁
)
n(∑ x2 )−(∑ x)2
=√
Desvio-padrão de um conjunto de valores de uma amostra
𝑛(𝑛−1)

√𝜎 2 =
∑(𝑥−µ)2
𝑁
1
√𝑁 (∑ 𝑥2 −
2
(∑ 𝑥)
𝑁
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Desvio-padrão (sigma) de um conjunto de valores de uma
população
)
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Diferentes maneiras de calcular a variância
Variância de Populações
Variância de Amostras
Fórmula clássica
Fórmula abreviada
- Usa a média -
- Usa os quadrados -
σ2 =
∑(𝑥 − µ)2
𝑁
∑(𝑥−𝑥̅ )2
s2=
𝑛−1
1
2=𝑁 (∑ 𝑥 2 −
(∑ 𝑥)2
𝑁
)
n(∑ x2 )−(∑ x)2
s2=
𝑛(𝑛−1)
Assimetria
Assimétrica a
esquerda ou
negativamente
assimétrica
Simétrica
Assimétrica a direta
ou positivamente
assimétrica
Mediana < Moda
Moda = Média =
Mediana
Mediana > Moda
Média < Moda
Média > Moda
Propriedades da média (aritmética)
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a média
do conjunto fica multiplicada por esta constante
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma
variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa constante
Propriedades da Variância
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a
variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado desta constante
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma
variável, a variância não se altera. (Natural, porque a média se move, não a
dispersão dos valores)

2 (𝐴
(∑ 𝐴 + ∑ 𝐵)2
1
2
2
+ 𝐵) =
{(∑ 𝐴 + ∑ 𝐵 ) −
}
𝑁𝐴 + 𝑁𝑏
𝑁𝑎 + 𝑁𝑏
Equação da variância
combinada
Cuidado: 𝝈𝟐𝑨 + 𝝈𝟐𝑩 <> 𝝈𝟐𝑨+𝑩
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
14.
Aula 0
TIPOS DE GRÁFICOS VISTOS
Histograma
100
Histograma de clientes
80
80
60
40
20
20
5
0
Padrão
R$ 0
R$
PreferencialR$
Premium
R$
Histograma de frequência acumulada
Freq. Relativa Acumulada
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Até R$ 100.000 Até R$ 200.000 Até R$ 300.000
Gráfico de Pareto
Gráfico de Pareto: Lançamentos por bairros paulistanos
160
100
140
100
80
60
80
60
40
20
0
bi ão ros na zes nia da kl in pa ma ntã ga de her
La oe uta iran S aú O t
um olaç hei ar ia edi S ô Fun oo
r
o
P ila r a
M B Ip
Br
M ons Pin a M
r
V
l
C
Ba
Vi
Lançamentos
18 15 14 14 13 13 12 11 11 11 9 6 4
7
Percent
11 9 9 9 8 8 8 7 7 7 6 4 3
4
Cum %
11 21 30 39 47 55 63 70 77 84 89 93 96 100
Bairros
Gráfico de Pizza
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%
Lançamentos
120
40
20
0
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
Cores de automóveis vendidos
Vermelha; 130; 7%
Azul; 100; 5%
Outras; 5; 0%
Verde; 15; 1%
Prata
Marrom; 50; 2%
Preta
Branca; 200; 10%
Branca
Marrom
Verde
Azul
Vermelha
Outras
Preta; 500; 25%
Prata; 1000; 50%
Dispersão XY
Dispersão de A versus C
10
8
6
a
Aparentemente há
correlação
4
2
0
5
10
15
20
25
c
Boxplot
Exemplo de Boxplot
250
Os pontos avulsos são "Outliers"
Valores extremos acima ou abaixo
dos limites
Limite superior = Q3 + 1.5 (Q3 - Q1)
200
150
Q3
100
50
0
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Distância
interquartílica
mediana
Q1
Limite inferior = Q1- 1.5 (Q3 - Q1)
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
15.
Aula 0
RESUMÃO DE CONCEITOS
Conceito
Definição
Ciência da Estatística
Ramo da Matemática que se preocupa com a
organização, descrição, análise e interpretação dos
dados experimentais.
População
Uma coleção completa de todos os elementos a
serem estudados
Censo
Uma coleção de dados relativos a todos os
elementos de uma população
Amostra
Uma subcoleção de elementos extraídos de uma
população
Parâmetro
Uma medida numérica que descreve uma
característica de uma população
estatística
Medida numérica que descreve uma característica
de uma amostra.
dado
uma unidade básica de informação
informação
conhecimento obtido pela comparação de diversos
dados
proposição
conjunto de palavras ou símbolos que exprimem
um pensamento ou juízo de sentido completo
Dados quantitativos
números que representam contagens ou medidas
Dados qualitativos / dados categóricos / dados
atributos
Dados separados em diferentes categorias que se
distinguem por alguma característica não-numérica
Dados discretos
Dados quantitativos que resultam de um conjunto
finito de valores possíveis
Dados contínuos
Dados quantitativos resultam de um número infinito
de valores possíveis que podem ser associados a
pontos em uma escala contínua de tal maneira que
não haja interrupções
Nível nominal de mensuração
Dados que consistem apenas em nomes, rótulos
ou categorias
Nível ordinal de mensuração
Dados que podem ser dispostos em alguma
ordem, mas as diferenças entre valores dos dados
não podem ser determinadas ou não tem sentido
Nível intervalar de mensuração
Dados que podem ser dispostos em alguma ordem
com a propriedade de que podemos determinar
diferenças significativas entre os dados. Não existe
um ponto de partida zero
Nível de razão de mensuração
Nível de intervalo modificado de modo a incluir o
ponto de partida zero inerente, onde zero significa
nenhuma quantidade presente
estudo observacional
Estudo em que se verificam e medem-se
características específicas, mas não se tenta
manipular ou modificar os elementos a serem
estudados
experimento
Aplicação de determinado tratamento para
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ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO
Aula 0
observar seus efeitos a serem pesquisados
amostra aleatória
Amostra em que elementos da população são
escolhidos de tal forma que cada um deles tenha
igual chance de figurar na amostra
amostragem estratificada
Amostragem que a população é subdividida em no
mínimo duas subpopulações que compartilham das
mesmas características e em seguida se extrai
uma amostra aleatória de cada extrato
amostragem por conglomerados
a população é dividida em diferentes grupos,
extraindo-se uma amostra apenas dos
conglomerados selecionados
amostragem sistemática
Amostragem em que define-se um ponto de partida
e seleciona-se um elemento a cada determinada
distância ou frequência
erro amostral
Diferença entre os resultados amostrais e o
verdadeiro resultado populacional atribuido à
variação amostral aleatória
erro não amostral
Diferença entre os resultados amostrais e o
verdadeiro resultado populacional quando os
dados amostrais são coletados, registrados ou
analisados incorretamente
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