fundamentos da análise de estruturas de concreto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
FUNDAMENTOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE
CONCRETO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
AMÉRICO CAMPOS FILHO
2003
Fundamentos da análise de estruturas de concreto pelo método dos
elementos finitos
1 - Modelos constitutivos dos materiais
1.1 – Introdução
1.2 – Comportamentos reológicos básicos
2 – As leis constitutivas dos materiais: o concreto e o aço
2.1 – Introdução
2.2 – As propriedades básicas do concreto e do aço
2.2.1 - O concreto
2.2.1.1 - O concreto sob carregamento uniaxial
2.2.1.2 – O concreto sob carregamento biaxial
2.2.1.3 – O concreto sob carregamento triaxial
2.2.2 – O aço
3 - A aderência entre o concreto e a armadura
4 - A fissuração do concreto
5 - O modelo de elementos finitos
5.1 - Elementos finitos para o concreto
5.2 - Elementos finitos para a armadura
5.3 - Algoritmos de solução
6 - Aplicações
1 - MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS
1.1 - Introdução
Para a análise do comportamento de uma estrutura, é essencial o
conhecimento das equações constitutivas dos materiais que compõem esta
estrutura. Estas equações constitutivas são expressões que relacionam as
tensões, as deformações e o tempo. Estas equações são estudadas, por um ramo
da Física, chamado de Reologia. Existem três tipos básicos de comportamento
reológico: o elástico, o plástico e o viscoso. O comportamento dos materiais
reais pode ser descrito com maior ou menor precisão pela combinação destes
tipos básicos, dando origem aos chamados modelos conjugados.
Como, em geral, o comportamento reológico dos materiais reais é
bastante complexo, é comum procurar associar aos mesmos vários modelos
reológicos, de modo que cada um deles descreva satisfatoriamente o
comportamento do material real em determinadas circunstâncias. Embora seja
possível estabelecer um único modelo para todas as situações possíveis, a
simplificação que se obtém com a decomposição é quase sempre vantajosa.
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1
1.2 - Comportamentos reológicos básicos
O primeiro modelo reológico básico é o elástico. O modelo elástico
apresenta a propriedade da elasticidade, que é o fenômeno do aparecimento de
deformações imediatas e reversíveis. As deformações imediatas são aquelas que
aparecem simultaneamente com as tensões correspondentes e que permanecem
constantes ao longo do tempo se as tensões correspondentes também
permanecerem. As deformações reversíveis são aquelas que se anulam ao se
anularem as tensões correspondentes, ou seja, aquelas que desaparecem
integralmente no descarregamento.
O diagrama tensão-deformação de um material elástico se caracteriza por
deformações imediatas, por deformações que não variam com o tempo quando a
tensão permanecer constante e por uma curva de descarga que coincide com a
curva de carga. Conforme a Fig. 1.1, na elasticidade linear existe
proporcionalidade entre tensões e deformações. Na elasticidade não linear, não
existe está proporcionalidade, porém existe uma função que dá univocamente o
valor da tensão para cada valor de deformação.
σ
σ
ε
(a) elástico linear
ε
(b) elástico não-linear
Figura 1.1 - Relações constitutivas elásticas
O segundo modelo reológico básico é o plástico. Este modelo apresenta a
propriedade da plasticidade, que é o fenômeno do aparecimento de deformações
imediatas não reversíveis, ou seja, deformações imediatas, que não desaparecem
na descarga. Conforme a Fig. 1.2, a partir da tensão σy (tensão de escoamento),
começam a aparecer as deformações plásticas. A descarga ocorre sem
reversibilidade das deformações.
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2
σ
σ
σy
σy
ε
(a) plástico perfeito
ε
(b) plástico com endurecimento
Figura 1.2 – Relações constitutivas plásticas
O modelo viscoso é o terceiro modelo reológico básico. Este modelo
apresenta viscosidade que é a propriedade do aparecimento de deformações não
imediatas. As deformações não aparecem simultaneamente com as tensões
correspondentes e não permanecem constantes ao longo do tempo, mesmo que
as tensões correspondentes o façam.
Conforme a Fig. 1.3, no instante em que é aplicada uma tensão σ, aparece
uma velocidade de deformação ε& , tal que σ =η ε& , com η sendo a constante de
viscosidade do material. No instante de aplicação de σ, a deformação ε é nula.
No entanto, como aparece velocidade de deformação ε& , surgirão, no decorrer do
tempo, deformações ε.
σ
ε
σ0
t
t
Figura 1.3 – Relação constitutiva viscosa
Caso σ permaneça constante e igual a σ0, a velocidade de deformação será
constante e dada por ε& =σ 0 / η . Partindo do instante t=0, integrando esta
expressão com a condição inicial ε(0)=0, obtém-se ε (t ) =σ 0 / η t , que comprova
que no transcurso do tempo surgirão deformações.
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3
Os materiais reais tem seu comportamento descrito por combinações
destes três tipos básicos, dando origem aos chamados modelos conjugados. Por
exemplo, o concreto, na região de compressão, os ensaios têm indicado que suas
deformações não lineares são basicamente inelásticas, visto que na descarga
somente uma parcela destas deformações pode ser recuperada. A resposta
tensão-deformação do concreto pode ser separada em uma componente
recuperável elástica e uma componente irrecuperável plástica. O comportamento
recuperável é tratado pela teoria da elasticidade, enquanto que a parte
irrecuperável é baseada na teoria da plasticidade. Tal separação é essencial para
tratar uma descarga (Fig. 1.4). Contudo, para situações em que a carga aumenta
monotonicamente, um modelo baseado na elasticidade pode ser suficiente.
σ
ε =ε e+ε p
εp
εe
ε
Figura 1.4 – Comportamento elastoplástico do concreto comprimido
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4
2 - AS LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS: O CONCRETO E O AÇO
2.1 - Introdução
Para uma análise precisa de uma estrutura de concreto armado, é
necessário descrever realisticamente a relação entre tensões e deformações nos
materiais. Desta maneira, as equações constitutivas, que traduzam o
comportamento dos materiais, são de importância fundamental.
Antes de apresentar estas leis constitutivas, serão descritas as
propriedades típicas do concreto e do aço, conforme foi apresentado por Chen
(1982). Estas propriedades são essenciais para o desenvolvimento de um modelo
matemático, que reproduza o funcionamento dos materiais.
2.2 - As propriedades básicas do concreto e do aço
2.2.1 - O concreto
O concreto pode ser idealizado como um sistema de duas fases: uma
matriz (a pasta de cimento endurecido) envolvendo um conjunto de partículas de
agregado. A presença de microfissuras, especialmente na interface da pasta de
cimento e dos agregados, é fundamental para o seu comportamento mecânico. A
propagação destas microfissuras, durante o carregamento, produz o
comportamento não-linear do concreto.
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5
2.2.1.1 - O concreto sob carregamento uniaxial
(a)
(b)
Figura 2.1 - Relações típicas da tensão de compressão com as deformações
axial, lateral e volumétrica
A Fig. 2.1(a) mostra uma relação tensão-deformação típica para o
concreto comprimido axialmente. A curva apresenta um comportamento linear
até cerca de 30% da tensão máxima de compressão fc . A partir deste ponto,
gradualmente, aumenta a sua inclinação, até atingir o valor de fc. Após este pico,
a curva tensão-deformação passa a um ramo descendente, até atingir a
deformação última ε u em que o esmagamento ocorre.
Na Fig. 2.1(b), está apresentada a relação da tensão com a deformação
volumétrica, ε v = ε 1 + ε 2 + ε 3. Inicialmente, a mudança de volume é quase linear,
até cerca de 0,75 a 0,9 fc. Neste ponto, o sentido da variação de volume é
invertido, resultando em uma dilatação nas proximidades de fc. A tensão, na qual
a deformação volumétrica, ε v é um mínimo, é chamada de tensão crítica.
As formas das curvas, mostradas na Fig. 2.1, estão intimamente
relacionadas com os mecanismos internos de microfissuração progressiva. Para
as tensões, até cerca de 30% de fc as fissuras existentes no concreto antes de
entrar em carga (causadas por segregação, retração ou efeitos térmicos)
permanecem inalteradas. Isto significa que a energia interna disponível é menor
que a energia necessária para criar novas microfissuras.
Para tensões entre 30 e 50% de fc as microfissuras junto aos agregados
começam a se estender. Nesta etapa, as fissuras na matriz continuam
desprezáveis. A energia interna disponível é gasta na formação das fissuras junto
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aos agregados. A propagação da fissuração é estável, isto é, as fissuras alcançam
rapidamente o seu comprimento final, quando a tensão é mantida constante.
Para tensões entre 50 e 75% de fc algumas das fissuras junto aos
agregados começam a ligar-se através da matriz. Quando a tensão excede 0,75
de fc as fissuras continuam a propagar-se, mesmo se for mantida constante a
carga. A energia interna disponível é maior do que a necessária para formar as
fissuras, isto é, o sistema está instável. Neste nível de tensão, a tensão crítica é
atingida.
A ruptura progressiva do concreto, nas proximidades de fc é causada pela
microfissuração da matriz. Estas fissuras, ligadas às fissuras junto aos
agregados, formam zonas internas microfissuradas. Com o aumento da
deformação de compressão, segue o esmagamento do concreto e entra-se no
ramo descendente do diagrama tensão-deformação. Nesta região, aparecem
fissuras macroscópicas.
Conforme aparece na Fig. 2.2, as curvas tensão-deformação, para o
concreto tracionado são lineares até altos níveis de tensão. Suas formas são
semelhantes às das curvas de compressão. Isto era de esperar, pois aqui o
aparecimento das microfissuras também é fundamental. Porém existem algumas
diferenças.
Figura 2.2- Curvas tensão-deformação para o concreto sob tração
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7
Para tensões menores do que 60% da tensão fct o aparecimento de
microfissuras pode ser desconsiderado. A partir deste nível de tensão, as
microfissuras junto aos agregados, começam a crescer. Esta etapa, contudo, é
mais breve do que no caso de compressão. Quando a tensão de tração atinge
75% de fct a propagação de fissuras torna-se instável.
A direção de propagação de fissuras para tração uniaxial é transversal à
direção da tensão. O aparecimento e o crescimento de cada nova fissura reduz a
área resistente, causando um aumento nas tensões e uma rápida propagação da
fissuração.
2.2.1.2 - O concreto sob carregamento biaxial
Nos últimos anos, muitos estudos foram realizados sobre as propriedades
mecânicas do concreto sob carregamento biaxial. Têm-se disponíveis diversos
resultados experimentais considerando resistência, deformação e o
comportamento das microfissuras do concreto sujeito a tensões biaxiais. As
Figs. 2.3 a 2.5 apresentam resultados obtidos por Kupfer (1973).
Figura 2.3 - Curvas tensão-deformação para o concreto sob compressão biaxial
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Figura 2.4 - Curvas tensão-deformação para o concreto
sob tração-compressão biaxial
Figura 2.5 – Curvas tensão-deformação para o concreto sob tração biaxial
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9
Destes resultados, observa-se que a resistência máxima à compressão
aumenta no estado de compressão biaxial. Este aumento e máximo, em torno de
25%, para a relação entre tensões σ2/σ1 = 0,5. Para σ2/σ1 = 1, este aumento se
reduz para 16%. Sob tração-compressão biaxial, a resistência a compressão
diminui quase linearmente, a medida que a tensão de tração é aumentada. Sob
tração biaxial, a resistência é aproximadamente a mesma da tração uniaxial,
conforme aparece na Fig. 2.6, de resultados experimentais de Kupfer (1973).
Figura 2.6 - Envoltória de resistência biaxial do concreto
A ductilidade do concreto sob tensões biaxiais tem valores diferentes, se o
estado de tensão é de compressão ou de tração. Segundo a Fig. 2.3, para
compressão uniaxial ou biaxial, o encurtamento máximo é de cerca de 3‰ e o
alongamento máximo varia de aproximadamente 2‰ a 4‰. A ductilidade é
maior sob compressão biaxial do que sob compressão uniaxial. Sob traçãocompressão biaxial, os valores de ruptura das deformações principais de tração e
compressão diminuem (Fig. 2.4). Sob tração uniaxial e biaxial (Fig. 2.5), a
deformação principal máxima é da ordem de 0,08‰.
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10
Figura 2.7 - Curvas da variação de volume do concreto
sob compressão uniaxial e biaxial
Conforme mostra a Fig. 2.7, nas proximidades da ruptura, ocorre um
aumento de volume do concreto. Em geral, atribui-se esta dilatação ao
progressivo crescimento das microfissuras do concreto.
2.2.1.3 - O concreto sob carregamento triaxial
Figura 2.8 - Relação tensão-deformação triaxial para o concreto
A Fig. 2.8 mostra curvas tensão-deformação típicas para o concreto,
obtidas em ensaios triaxiais por Balmer, conforme Chen (1982). Observa-se que
a resistência axial cresce com o aumento das tensões confinantes. Para tensões
confinantes elevadas, resistências extremamente altas são alcançadas.
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11
Figura 2.9 - Superfície de ruptura esquemática do concreto
no espaço de tensões tridimensionais
Sob carregamento triaxial, os ensaios indicaram que o concreto tem uma
superfície de ruptura bem definida, que e função das três tensões principais. Se o
concreto é considerado um material isotrópico, o limite de elasticidade e o limite
de ruptura podem ser representados como superfícies no espaço de tensões
principais tridimensionais (Fig. 2.9).
2.2.2 - O aço
Devido à forma de utilização do aço nas peças de concreto armado, é
suficiente conhecer o seu comportamento uniaxial. Basicamente, o diagrama
tensão-deformação dos aços (Fig. 2.10) consta de um primeiro trecho retilíneo,
com uma inclinação de 210000 MPa (módulo de deformação longitudinal).
Neste trecho, o aço comporta-se como um material perfeitamente elástico.
Segue-se um trecho, em que as deformações são grandes para pequenos
acréscimos no valor da tensão limite de elasticidade. Este escoamento do aço
segue até uma deformação da ordem de 2%. Neste ponto, o diagrama toma uma
forma curva, com grandes deformações, até atingir a ruptura, com deformações
da ordem de 20%. As curvas tensão-deformação dos aços são praticamente
iguais à tração e à compressão.
Nos aços encruados a frio, ao contrário dos aços com dureza natural, o
patamar de escoamento não é bem definido. Eles apresentam, a partir do limite
de elasticidade, um diagrama curvilíneo, continuamente crescente até a ruptura.
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Figura 2.10 - Diagramas tensão-deformação dos aços
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CRITÉRIOS DE RUPTURA PARA O CONCRETO
Com base nas características da superfície de ruptura do concreto
observadas experimentalmente (ver anexo A), diversos critérios de ruptura têm
sido propostos. A maioria destes critérios foram classificados, por Chen (1982),
conforme o número de constantes do material, que aparecem na expressão do
critério de ruptura. Assim, os critérios foram classificados com sendo de um até
cinco parâmetros. Alguns dos modelos mais utilizados estão apresentados na
figura seguinte.
Os modelos de um parâmetro, como os de Tresca e de von Mises,
idealizados como critério de ruptura para metais, foram utilizados nas primeiras
análises por elementos finitos para concreto sob tensões de compressão. Este
tipo de superfície de ruptura é independente da pressão hidrostática. Para
considerar a baixa resistência à tração do concreto, estas superfícies de ruptura
são associadas a um truncamento à tração (tension cutoff).
Entre os critérios de dois parâmetros, os de Mohr-Coulomb e de DruckerPrager são as mais simples superfícies de ruptura dependentes da pressão
hidrostática. Estes critérios com linhas retas como meridianos são inadequados
para descrever a ruptura do concreto especialmente sob altas tensões de
compressão.
A superfície de Bresler-Pister é um modelo de três parâmetros, que admite
uma relação parabólica entre τoct e σoct , mas tem seções transversais
independentes de θ. A primeira versão de superfície de três parâmetros
desenvolvida por Willam-Warnke apresenta uma relação linear entre τoct e σoct ,
porém as seções transversais apresentam dependência de θ.
Os modelos de quatro parâmetros de Ottosen e Hsieh-Ting-Chen e o
modelo refinado de cinco parâmetros de Willam-Warnke têm relação parabólica
de τoct e σoct e dependência de θ. Estes modelos mais refinados reproduzem todas
as mais importantes características da superfície de ruptura do concreto e
apresentam ótimas aproximações com os dados experimentais disponíveis.
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Critérios de ruptura para o concreto
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Critério de ruptura de Tresca (critério da máxima tensão de cisalhamento)
1
1
1

máx  σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ1  = k = τmáx
2
2
2

1
f ( r, θ ) = r sen  θ + π  − 2 k = 0
3 

este critério é independente da pressão hidrostática (ξ); a superfície corresponde
a um prisma que tem por base um hexágono regular
r
ξ
curva em uma plano meridiano
σ1
σ3
σ2
seção transversal em um plano desviador
σ2
σ1
curva no plano σ1, σ2
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Critério de ruptura de von Mises (critério da máxima energia de distorção)
f (J 2) = J 2 − k 2
σy = 3 k
este critério é independente de ξ e θ; a superfície de ruptura é um cilindro que
tem o eixo hidrostático como eixo
r
ξ
σ
σ
curva em um plano meridiano
1
σ
2
3
seção transversal em um plano desviador
σ2
σ1
curva no plano σ1, σ2
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Critério de ruptura de Mohr-Coulomb
1 

f (ξ , r ,θ ) = 2 ξ sen φ + 3 r sen  θ + π  + r cos
3 

com
0 ≤θ ≤ π 3
 π
θ +  sen φ − 6 c cos φ = 0
3

; a superfície de ruptura é uma pirâmide de base hexagonal; é
o critério de ruptura mais simples para o concreto
r
ξ
σ
σ
curva em um plano meridiano
1
σ
2
3
seção transversal em um plano desviador
σ2
σ1
curva no plano σ1, σ2
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18
Critério de ruptura de Drucker-Prager
f (ξ , r ) = 6αξ + r − 2 k = 0
a superfície de ruptura é um cone; este critério apresenta, para o concreto, duas
deficiências: a relação linear entre ξ e r e a independência do ângulo θ
r
ξ
σ
σ
curva em um plano meridiano
1
σ
2
σ2
3
seção transversal em um plano desviador
σ1
curva no plano σ1, σ2
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Critério de ruptura de Ottosen
f ( I 1 , J 2 ,θ ) = a J 2 2 + λ J 2 + b I 1 − 1 = 0
fc
fc
fc

1

cos
arccos
(
cos
3
θ
)
k
k
2
 1
 3
 , para cos 3θ ≥ 0
com λ = 
k1 cos π − 1 arccos (− k 2 cos 3θ ) , para cos 3θ ≤ 0
 3 3


a, b, k1, k2 são parâmetros calculados a partir dos seguintes valores:
• resistência à compressão uniaxial f c;
• resistência à tração uniaxial ft ;
• resistência à compressão biaxial f2c
• um estado de ruptura no meridiano de compressão
o critério de ruptura de Ottosen apresenta todas as características observadas
experimentalmente para a superfície de ruptura do concreto
Meridianos da superfície de ruptura de Ottosen
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20
seções transversais da superfície de ruptura de Ottosen
curva no plano σ1, σ2
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21
O MODELO CONSTITUTIVO PARA O CONCRETO, PROPOSTO POR
OTTOSEN
1 - Fundamentos do modelo
O modelo constitutivo para o concreto, proposto por Ottosen (1979), é
baseado na elasticidade não-linear, usando valores secantes dos parâmetros do
material. Este modelo apresenta uma série de aspectos positivos:
• inclui os efeitos dos três invariantes de tensão;
• considera a dilatação;
• as curvas tensão-deformação obtidas são contínuas;
• prevê realisticamente as tensões na ruptura;
• o modelo é aplicável a todos estados de tensão, inclusive nos que ocorrem
tensões de tração.
Adicionalmente, este modelo é de simples utilização e requer para
calibragem unicamente resultados experimentais, obtidos de ensaios uniaxiais
tradicionais. Os valores calculados com o modelo têm boa concordância com os
resultados experimentais, abrangendo uma ampla faixa de estados de tensão e
diferentes tipos de concreto.
2 - O índice de não-linearidade
O índice de não-linearidade é uma medida da proximidade do estado
corrente de carregamento com a superfície de ruptura. É importante observar
que o termo ruptura, empregado aqui e ao longo deste item, refere-se a ruptura
local do ponto considerado e não à ruptura global da peça. Assim, mesmo após o
estado de tensão de um ponto atingir a superfície de ruptura, este ponto pode
alcançar o equilíbrio, com uma redução do valor das componentes de tensão
nele aplicadas. Esta redução será compensada pelo aumento de tensão nos
pontos adjacentes.
Para se determinar o índice de não-linearidade, primeiro é necessário
definir a qual estado de ruptura, o estado de tensão corrente deve ser
relacionado. A fim de ilustrar de forma simples este problema, adota-se o
critério de ruptura de Mohr, mostrado na Fig. 1.
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22
Figura 1 - Diagramas de Mohr: (a) diferentes maneiras de alcançar a ruptura;
(b) definição do índice de não-linearidade β
Conforme aparece na Fig. 1 (a), onde o estado corrente de tensão é dado
por σ1 e σ3 (σ1>σ2>σ3), a ruptura pode ser alcançada, aumentando-se o valor de
σ1 (círculo I) ou mantendo-se fixo o valor médio (σ1+σ3)/2 (círculo II). Em
ambos os casos, ficam envolvidas tensões de tração. Uma avaliação de um
estado de tensão de compressão uniaxial, por exemplo, envolveria a resistência à
tração; o que não seria conveniente. Uma terceira possibilidade, dada pelo
círculo III, onde todas as tensões são alteradas proporcionalmente, também é
afastada, porque dependendo da forma da curva de ruptura, a ruptura pode não
ser obtida, para alguns estados de tensão de compressão, localizados junto ao
eixo hidrostático. Contudo, a ruptura pode ser sempre obtida, diminuindo-se o
valor de σ3 como mostra o círculo IV. Este é o procedimento adotado neste
modelo.
Como medida do estado corrente de tensão, adotou-se no modelo, o
quociente da tensão corrente σ3, pelo valor correspondente da tensão de ruptura
σ3f (failure), mantendo-se constantes σ1 e σ2 como mostra a Fig. 1(b). Ou seja, o
índice de não-linearidade é dado por
β = σ3
σ3 f
(1)
Assim, β<1, β=1 e β>1 correspondem a estados de tensão localizados dentro,
sobre e fora da superfície de ruptura, respectivamente.
Quando ocorrem tensões de tração, é necessário alterar a definição do
índice de não-linearidade. O comportamento do concreto é tanto mais linear,
quanto mais o estado de tensão envolva tensões de tração. Com este propósito,
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23
transforma-se o estado corrente de tensão (σ1,σ2,σ3), onde ao menos σ1 é uma
tensão de tração, superpondo uma pressão hidrostática -σ1, obtendo-se um novo
estado de tensão dado por (σ1',σ2',σ3')=(0,σ2-σ1,σ3-σ1), isto é, um estado de
compressão biaxial. Neste caso, β é definido como
β = σ´3
σ´3 f
(2)
onde, σ3f' é o valor de ruptura de σ3', com σ1' e σ2' constantes, isto é, o estado de
tensão (σ1',σ2',σ3f') satisfaz o critério de ruptura.
3 - As relações tensão-deformação
Pode-se aproximar a curva tensão-deformação para um carregamento de
compressão uniaxial através da expressão
2
ε
ε
−A
+ ( D − 1)  
σ
εc
 εc 
−
=
2
fc
ε
ε
1 − ( A − 2) + D  
εc
 εc 
(3)
Figura 2 - Controle do comportamento pós-ruptura por meio do parâmetro D
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24
As tensões de tração e os alongamentos são considerados positivos; ε c é a
deformação correspondente à fc (resistência cilíndrica à compressão uniaxial). O
parâmetro A é definido por A = E0/Ec (A>4/3), em que Ec = fc/ε c. Os módulos de
deformação longitudinal E0 e Ec são o módulo inicial e o secante, correspondente
à tensão fc. O parâmetro D determina, principalmente, o comportamento do
ramo descendente da curva tensão-deformação (fase de pós-ruptura). A Eq.(3)
depende de quatro parâmetros: fc, ε c, E0 e D. Assim, a inclinação da curva é E0
na origem e nula na ruptura, onde (σ,ε) = (fc,ε c) satisfaz a Eq.(3).
O ramo descendente da curva tensão-deformação não pode ser obtido do
ensaio padrão de compressão uniaxial; é necessário realizar um ensaio com
deformação controlada. O parâmetro D pode ser arbitrado dentro de certos
limites: (1 -A/2)2 < D < 1 + A (A - 2), quando A < 2; 0 < D < 1, quando A > 2.
Deve-se observar, que quanto maior o valor de D, mais dúctil será o
comportamento pós-ruptura. Conforme aparece na Fig. 2, este parâmetro não
afeta de maneira significativa o ramo ascendente do diagrama tensãodeformação. Valores típicos de D estão entre 0 e 0,2.
Pode-se obter o valor secante do módulo de deformação ES da Eq.(3).
Nesta expressão, a tensão corrente aparece sempre na razão -σ/|fc |. No caso de
compressão uniaxial, β = -σ/|fc |. Desta forma, pode-se generalizar a expressão de
ES para a compressão triaxial. Assim,
ES =
1
 1
1

E 0 − β  E 0 − E f  ±  E 0− β  E 0 − E f 
2
2
 2
2

1
2
2
[ (
) ]
+ E f β D 1 − β − 1 (4)
onde, utiliza-se o sinal positivo ou negativo para o ramo ascendente ou
descendente da curva tensão-deformação, respectivamente.
O valor do módulo de deformação longitudinal secante Ec, correspondente
à tensão de compressão uniaxial fc, é substituído por Ef, módulo de deformação
longitudinal secante na ruptura para estado triaxial de tensão. O valor de Ef pode
ser determinado através da expressão
Ef =
Ec
1 + 4( A − 1)κ
(5)
A variável κ representa a dependência do carregamento corrente e é dada por


1
κ =  J 2  −
3
 f c f
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(6)
25
onde o invariante
(
)
J 2 f c f é calculado para o estado de tensão de ruptura,
dado por (σ1,σ2,σ3f) ou (σ1',σ2',σ3f') conforme o caso. O valor de κ é maior ou
igual a zero. Quando κ=0, tem-se Ef =Ec; se κ>0, então Ef <Ec.
Na fissuração, admite-se um comportamento frágil. O comportamento
pós-ruptura para estados intermediários de tensão, onde estão presentes
pequenas tensões de tração, mas não ocorrem nem fissuração, nem
esmagamento do concreto, é obtido através de um processo híbrido. Na ruptura,
este estado intermediário de tensão corresponde a um índice de não-linearidade
βf determinado pela Eq.(2), que é menor do que a unidade. Como mostra a Fig.
3, a curva pós-ruptura AB é obtida pela translação do segmento MN, do braço
descendente da curva original, paralelamente ao eixo horizontal. O valor secante
de ES, correspondente a algum valor corrente de β, será dado, então, por
ES =
β E MN E A E M
β E A E M + β f E MN ( E M − E A )
(7)
onde EMN é o valor secante ao longo da curva de pós-ruptura original, obtida
por meio da Eq. (4), usando o sinal negativo. As constantes EA e EM são também
determinadas da Eq. (4), usando-se os sinais positivo e negativo,
respectivamente, e o valor do índice de não-linearidade na ruptura, isto é, β=βf.
Figura 3 - Comportamento pós-ruptura para estados de tensão intermediários
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26
Figura 4 - Determinação de ES no caso de descarga no concreto
Mesmo para carregamentos monótonos, pode ocorrer, eventualmente,
uma redução no valor das componentes de tensão, que atuam em um ponto do
concreto, antes de atingir-se a superfície de ruptura. Isto acontece, por exemplo,
quando surgem deformações de fluência ou de retração em peças armadas de
concreto. Ao considerar-se, em tais situações, o comportamento do concreto
como elástico, conforme o modelo de Ottosen, corre-se o risco de descrever
inadequadamente o seu funcionamento real, em especial para níveis de tensão
elevados. Nestes casos, adota-se para o módulo de deformação secante do
concreto, o valor dado pela expressão
ES =
1
βP  1
1 1
− +

β  E P E 0  E0
(8)
onde E0 é o módulo de deformação inicial do concreto; β é o índice de nãolinearidade, correspondente ao estado corrente de tensão; βP e EP são valores
referentes ao estado de tensão anterior à descarga (ponto P), conforme a Fig. 4.
Para se determinar o valor secante do coeficiente de Poisson, ν S, deve-se
observar que, tanto para um carregamento de compressão uniaxial, como
triaxial, o comportamento volumétrico é uma compactação, seguida por uma
dilatação. Assim, têm-se
ν S = ν 0 , quando β<βa
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(9)
27
ν S = ν f − (ν f − ν 0 )
 β −β a 

1 − 
 1− β a 
2
, quando β>βa
(10)
onde ν 0 é o coeficiente de Poisson inicial; ν f é o valor secante do coeficiente de
Poisson na ruptura. Utiliza-se βa=0,8 e ν f=0,36 para todos tipos de concreto e
carregamento.
Figura 5 - Variação do valor secante do coeficiente de Poisson
A Eq. (10) só é válida até a ruptura. Pouco é conhecido sobre o
comportamento de ν S na região de pós-ruptura, mas há uma constatação
experimental de que a dilatação continua nesta fase. Desta forma, este aumento
de ν S é aproximado pelo seguinte procedimento: com dois valores consecutivos
conhecidos de ES (i, i+1 simbolizam dois estados de tensão sucessivos) e com o
valor conhecido de ν S,i admite-se que os módulos volumétricos correspondentes
permanecem constantes. Assim, calcula-se ν S,i+1 da relação
K S , i = K S , i +1 =
E S ,i =
E S ,i +1
3(1 − ν S , i ) 3(1 − 2ν S , i +1)
(11)
O valor de ν S deve ser menor do que 0,5.
Resumindo, o modelo é calibrado por seis parâmetros: os parâmetros
elásticos iniciais E0 e ν 0, os dois parâmetros de resistência fc e fct , o parâmetro de
ductilidade ε c e o parâmetro de pós-ruptura D.
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28
A ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO
1 - Generalidades
O comportamento carga-deslocamento do concreto armado é fortemente
influenciado pela interação dos seus dois componentes: o concreto e o aço. A
aderência entre estes materiais é que torna possível a transmissão de esforços.
Pode-se dividir os mecanismos de aderência em três componentes: a adesão
química, o atrito e o engrenamento mecânico entre o aço e o concreto.
O efeito da aderência evidencia-se a partir da fissuração do concreto. No
estado não-fissurado, o carregamento produz tensões principais de tração e
compressão nos materiais. Com o aumento da carga, atinge-se a resistência à
tração do concreto. Neste momento, ocorre uma ruptura local do material e a
fissura se forma. Após a fissuração, as tensões de tração normais à fissura, que
eram inicialmente transmitidas pelo concreto, passam a ser transmitidas pela
armadura. A transferência das tensões do concreto para o aço é feita pelos
mecanismos de aderência.
A qualidade da aderência é decisiva para a distribuição e para a abertura
das fissuras. Ela depende das características das barras da armadura
(conformação superficial e diâmetro), da resistência do concreto, da história de
carga (especialmente se ocorrerem cargas cíclicas) e das tensões normais à
superfície da barra.
A incorporação da aderência nos cálculos, através do método dos
elementos finitos, depende da forma de conectar os elementos de aço aos de
concreto. Existem duas maneiras distintas para se modelar esta ligação. Na
primeira, usam-se elementos especiais de aderência. Nestes, as propriedades da
aderência são modeladas por suas relações tensões-deslocamentos. Da segunda
maneira, os elementos de aço e de concreto são ligados diretamente. Neste caso,
admite-se completa compatibilidade de deformações entre aço e concreto, e
modifica-se a lei do material (concreto ou aço), para considerarem-se os
mecanismos de interação.
A escolha da forma de modelar a aderência depende do problema
específico a ser analisado. O uso de elementos especiais de aderência requer
grande esforço computacional. Portanto seu emprego só se justifica nos casos
em que as tensões de aderência são de particular interesse (por exemplo, estudo
de zonas de ancoragem). Em geral, no cálculo de estruturas completas, admitese completa compatibilidade de deformações entre o concreto e a armadura, e
modela-se o efeito da aderência indiretamente, incrementando-se a rigidez à
tração.
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29
Figura 1 - O elemento “ligação de aderência”
2 - Os elementos de aderência
Neste item, descreve-se, brevemente, os três tipos básicos de elementos de
aderência encontrados na literatura.
O elemento de aderência mais simples é o elemento “ligação de
aderência” (bond link), desenvolvido por Ngo e Scordelis (1967). Este elemento,
que é mostrado na Fig. 1, conecta um nó do elemento de concreto com um nó do
elemento de aço adjacente. O elemento não tem dimensão física, ou seja, as
coordenadas dos nós ligados coincidem.
O elemento consiste de duas molas, uma paralela e uma normal ao eixo
longitudinal da barra de armadura. A mola paralela relaciona as tensões locais
de aderência com o deslizamento. A sua rigidez kb, chamada de módulo de
deslizamento, é estimada a partir de valores experimentais de ensaios de
arrancamento, podendo seguir leis lineares ou não-lineares. A mola normal ao
eixo da armadura transmite o esforço normal entre a armadura e o concreto. É
importante para modelar o efeito de pino da armadura. Em problemas em que
este efeito pode ser negligenciado, toma-se um valor grande para kc. Caso
contrário, a rigidez kc deve ser determinada experimentalmente.
Nilson, em (1971), sugeriu um refinamento para este elemento,
distinguindo entre elementos dentro da massa de concreto e elementos próximos
à face de uma fissura, que exibem comportamentos significativamente
diferentes.
A segunda maneira de modelar a aderência, no cálculo por elementos
finitos, é empregando “elementos de contato” (contact elements), desenvolvidos
por Schäfer (1975). Estes elementos (Fig. 2) ligam os nós de um elemento de
aço com os nós correspondentes do elemento de concreto adjacente.
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30
Figura 2 - O elemento de contato linear
O elemento de contato tem ao menos dois nós duplos e o mesmo
comprimento que o elemento conectado de armadura. Entre os nós duplos,
estabelece-se uma função de interpolação para os deslocamentos relativos. Para
um elemento de contato com dois nós duplos, esta função é linear, para três nós
duplos é quadrática. Formulações de ordem superior são possíveis, mas não são
geralmente usadas. Naturalmente, a ordem do elemento de contato deve ser
compatível com a ordem dos elementos conectados de concreto e de armadura.
Para estabelecer a matriz de rigidez, tanto do elemento de contato, como
do elemento de ligação, pode-se empregar uma função constante ou uma que
dependa não-linearmente do deslizamento ou de outros fatores. Isto permite a
consideração da influência da tensão no concreto adjacente, da fissuração e de
outras não-linearidades.
A previsão "exata" dos valores das tensões de aderência pode ser feita
apenas nos nós. As tensões de aderência entre os nós dependem, além dos
valores nodais, da função de interpolação (linear ou quadrática) do elemento.
O terceiro grupo de elementos de aderência é o dos chamados “elementos
da zona de aderência” (bond zone elements), desenvolvidos por Groot, Kusters e
Monnier (1981). Estes elementos (Fig. 3) modelam o concreto na vizinhança da
barra de armadura, adotando uma lei para o material que considera as
propriedades especiais desta zona de aderência.
Neste modelo, a tensão de aderência τ é considerada como a soma da
resistência ao deslizamento τ0 e do engrenamento mecânico τk.
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31
Figura 3 - O elemento da zona de aderência
3 - Modelos sem os elementos especiais de aderência
Quando a tensão principal de tração no concreto atinge a sua resistência à
tração, ocorre uma ruptura local, formando-se uma fissura. O concreto entre as
fissuras continua resistindo a esforços de tração. Estes esforços são transmitidos
ao concreto pelos mecanismos de aderência. Negligenciar esta capacidade de
carga implica em subestimar significativamente a rigidez pós-fissuração a níveis
de carga de serviço. Portanto, na análise de estruturas de concreto armado sob
cargas de serviço, é fundamental a consideração da capacidade resistente do
concreto entre as fissuras.
Em geral, este efeito é considerado indiretamente, modificando-se a lei
material para o concreto ou para o aço. Algumas maneiras de fazer isto são:
• ajustando uma relação momento curvatura média;
• considerando uma armadura virtual adicional;
• introduzindo um ramo descendente suave na relação tensão-deformação do
concreto sob tração;
• calculando as tensões na armadura em função de suas deformações médias.
Estes métodos indiretos são utilizados quando os elementos de concreto e
aço são ligados diretamente nos nós. Este modo de considerar a rigidez à tração
não permite qualquer previsão sobre deslizamento ou tensão de aderência.
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32
O MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
1 – Elementos finitos para o concreto
Para o estudo das estruturas de concreto são utilizados os mesmos
elementos finitos empregados em qualquer análise através do método dos
elementos finitos. Estes elementos podem ser bi ou tridimensionais, permitindo
a análise de situações de estado plano de tensão ou deformação, flexão de placa,
cascas, etc.
No Boletim No. 159, do Comité Euro-International du Béton (1983),
encontram-se relacionados mais de cem trabalhos de aplicações do método dos
elementos finitos à análise de estruturas de concreto. Neste Boletim, são
apresentados a referência completa do trabalho, incluindo autores, tipo de
estrutura analisada, tipo de elemento empregado para o concreto e para a
armadura, modelo constitutivo para os materiais e superfície de ruptura para o
concreto, modelo de aderência e modelo de fissuração.
2 – Elementos finitos para a armadura
A armadura pode ser introduzida no modelo de elementos finitos de três
formas distintas:
(i)
(ii)
(iii)
Modelo contínuo equivalente: conveniente no caso de placas e cascas com
armadura densamente distribuída, onde se usa uma discretização em
camadas.
Modelo discreto: a armadura é representada por elementos
unidimensionais, tipo treliça, cujas matrizes de rigidez são superpostas às
dos elementos de concreto. Este modelo é, em geral, empregado com os
“elementos especiais de aderência”. Tem a desvantagem de limitar a
malha de elementos finitos de concreto em função da distribuição da
armadura.
Modelo incorporado: a barra de armadura é considerada como uma linha
de material mais rígido no interior de um elemento de concreto. Pode-se
Ter dentro de cada elemento quantas barras se desejar. Supõe-se, em
geral, que exista aderência perfeita entre o aço e o concreto (varia-se a
rigidez do concreto tracionado para incorporar a degradação da
aderência). Os deslocamentos ao longo da barra de armadura são
expressos em função dos deslocamentos nodais do elemento de concreto.
Com isto, obtém-se para a armadura uma matriz de rigidez de mesmas
dimensões que a matriz de rigidez do concreto. A matriz de rigidez do
elemento de concreto armado vai ser a soma das matrizes de rigidez da
armadura e do concreto.
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33
ALGORITMOS PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA NÃO-LINEAR
A análise por elementos finitos de uma estrutura de concreto envolve a
solução de um problema do tipo
[K ({U })] {U } = {F }
onde
[K ({U })] é a matriz de rigidez global do sistema, que é função do estado de
deformação da estrutura.
{U } é o vetor de deslocamentos nodais.
{F} é o vetor de forças nodais equivalentes externas.
Este problema é não-linear, pois, para determinar-se
conhecer-se
[K ] , que, por sua vez, é uma função de {U }.
{U }, é necessário
Existe uma infinidade de algoritmos para resolver problemas desta
natureza.
(i)
Método das aproximações sucessivas (rigidez secante)
[K ], em função do estado de
S
0
(a) calcula-se a matriz de rigidez inicial secante,
deslocamentos iniciais,
{U }; iteração inicial
i = 1.
0
(b) determina-se uma estimativa para os deslocamentos, correspondentes às
forças nodais {F} por
{U }= [K ] {F }
S −1
i −1
i
(c) verifica-se a convergência
{∆U }= {U } −{U }
i −1
i
{∆U } {∆U }< ε
{U } {U }
T
T
i
i
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34
[K ], correspondente ao estado de
S
i
(d) calcula-se a matriz de rigidez secante
deslocamento {U i}; incrementa-se i (i = i + 1) e volta-se ao passo (b).
(ii) Método da rigidez tangente (Newton-Raphson)
(a) calcula-se a matriz de rigidez inicial tangente,
deslocamentos iniciais,
{U }.
[K ], em função do estado de
T
0
0
(b) estabelece-se que o vetor inicial de forças não equilibradas
próprio vetor de forças nodais
{F}; iteração inicial
i = 1.
{∆F }
0
é o
(c) determina-se o incremento de deslocamentos por
{∆U }= [K ] {∆F }
T −1
i −1
i
i −1
(d) determina-se a nova estimativa de deslocamentos
{U }= {U } −{∆U }
i −1
i
i
(e) verifica-se a convergência por
{∆U } {∆U } <ε
{U } {U }
T
i
i
T
i
i
(f) determina-se o vetor de forças nodais equilibradas por
{F }= ∫ {B} {σ }dV
T
eq
i
V
(g) determina-se o novo vetor de forças nodais não equilibradas
{∆F }= {F }− {F }
eq
i
i
(h) teste alternativo de convergência
{∆F } {∆F } <ε
{F } {F }
T
i
i
T
i
i
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35
[K ], correspondente ao estado de
T
i
(i) calcula-se a matriz de rigidez tangente
{U }; incrementa-se i (i = i + 1) e volta-se ao passo (c).
deslocamento
(iii)
i
Método da rigidez inicial
Substitui-se a expressão do item (c) do algoritmo de rigidez tangente por
{∆U }= [K ] {∆F }
i
Não é necessário, no passo (i), calcular
T −1
0
i −1
[K ].
T
i
Ø Variações:
• Quando incrementa-se
{F }= {F } + {∆F } , calcula-se [K ] em função de
T
{U } da última iteração da etapa anterior.
• Calcula-se
[K ] na 2 iteração de cada etapa de carga ou a cada n iterações.
T
ª
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36
ANEXO A -FUNDAMENTOS SOBRE O CRITÉRIO DE RUPTURA PARA O
CONCRETO
A.1 - Generalidades
Um critério de ruptura de um material isotrópico deve ser uma função do
estado de tensão, independente da escolha do sistema de coordenadas em que a
tensão esta definida. Um modo de representar tal função e através do uso das
tensões principais, ou seja,
f (σ 1,σ 2 ,σ 3) = 0
(A.1)
Uma forma mais conveniente de expressar o critério de ruptura é
utilizando os invariantes de tensão. Assim, por exemplo, tem-se
f ( I 1, J 2 , J 3) = 0
(A.2)
onde I1 é o primeiro invariante do tensor de tensão σij e J2, J3 são o segundo e o
terceiro invariantes do tensor de tensão anti-esférico s ij. Estes três invariantes
permitem uma interpretação simples, independente das propriedades do
material.
Neste anexo, serão apresentados os elementos básicos para a formulação
de um critério de ruptura para o concreto, conforme estudo de Chen (1982).
A.2 - Os invariantes de tensão
Por definição, as tensões tangenciais em um ponto são nulas sobre um
plano principal. Este plano é definido pela direção principal ni de uma tensão
principal σ. Assim, a direção do vetor de tensões, Ti, neste ponto, deve ser a
mesma da normal ni ou seja, Ti = σ ni. Desta forma, tem-se para cada direção
(σ ij −σ δ ij ) nj = 0
(A.3)
onde o tensor de tensão, σij, está relacionado com o vetor Ti pela fórmula de
Cauchy, T i = σ ij n j , δ ij =δ ji é o delta de Kronecker, cujo valor é 1, se i=j e 0, se
i≠j. A Eq. (A.3) é um sistema de três equações lineares homogêneas (n1,n2,n3).
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37
Este sistema tem solução, se e somente se o determinante dos coeficientes é
nulo.
| σ ij −σ δ ij | = 0
(A.4)
ou
σ x −σ
τ yx
τ zx
τ xy
σ y −σ
τ zy
τ xz
τ yz = 0
σ z −σ
(A.5)
A Eq. (A.5) pode ser escrita na forma
onde
σ 3 − I 1σ 2 + I 2 σ − I 3 = 0
(A.6)
I 1 =σ x +σ y +σ z =σ ii
(A.7)
1
1
2
2
2
I 2 = (σ x σ y +σ y σ z + σ z σ x ) −τ xy −τ yz −τ zx = I 12 − σ ij σ ij
2
2
(A.8)
σ x τ xy τ xz
1
1
1 3
I 3 = τ yx σ y τ yz = σ ij σ jk σ ki − I 1σ ij σ ji + I 1
3
2
6
τ zx τ zy σ z
(A.9)
Usando as tensões principais, têm-se
I 1 =σ 1 +σ 2 +σ 3
(A.10)
I 2 = (σ 1σ 2 +σ 2 σ 3 +σ 3 σ1)
(A.11)
I 3 = σ 1σ 2σ 3
(A.12)
As quantidades I1, I2, I3 não dependem do sistema de coordenadas e são
chamadas de invariantes de tensão σij.
Pode-se expressar o tensor de tensão σij como a soma de uma tensão
hidrostática (esférica) σm e um desvio do estado hidrostático s ij. Assim,
σ ij = s ij + σ m δ ij
(A.13)
onde
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38
1
1
1
σ m = (σ x +σ y +σ z ) = σ ii = I 1
3
3
3
(A.14)
A tensão hidrostática σm representa a
tensão média ou a tensão hidrostática pura. O tensor de tensão anti-esférico s ij
representa um estado de cisalhamento puro.
Os invariantes do tensor anti-esférico s ij são obtidos de forma análoga a
anterior. Desta maneira, tem-se
| sij − sδ ij |= 0
(A. 15)
ou
onde
s3 − J1 s 2 − J 2 s − J 3 = 0
(A.16)
J 1 = s ii = s x +s y + s z = 0
(A.17)
[
]
1
1
2
2
2
2
2
2
J 2 = sij s ji = (σ x −σ y ) + (σ y −σ z ) + (σ z −σ x ) +τ xy +τ yz +τ zx (A.18)
2
6
s x τ xy τ xz
1
J 3 = sij s jk s ki = τ yx s y τ yz
3
τ zx τ zy s z
(A.19)
Da expressão (A.13), conclui-se que as direções principais de σij e s ij são
as mesmas. Assim, quando os eixos coordenados coincidem com as direções
principais, têm-se
J 1 = s1 +s 2 + s3 = 0
J2=
[
1 2 2 2 1
(s1 + s2 + s3 )= (σ 1 −σ 2 )2 + (σ 2 −σ 3 )2 + (σ 3 −σ 1)2
2
6
J 3=
1 3 3 3
(s1 + s2 + s3 )= s1 + s2 + s3
3
(A.20)
]
(A.21)
(A.22)
Às vezes, é conveniente expressar as tensões em relação ao plano
octaédrico. Este plano forma ângulos iguais com cada uma das direções
principais de tensão. A tensão normal, neste plano, chamada tensão normal
octaédrica, σoct , é igual a tensão normal média σm.
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39
Figura A.1 - Decomposição das tensões no espaço das tensões principais
1
σ oct = I 1 =σ m
3
(A.23)
A tensão transversal, neste plano, chamada tensão tangencial octaédrica,
τoct, é dada por
τ oct =
2
J2
3
(A.24)
A direção da tensão transversal octaédrica é definida pelo ângulo θ, dado
por
cos 3θ = 2
J3
τ 3oct
(A.25)
A representação geométrica mais simples do estado de tensão é obtida
usando-se as três tensões principais σ1, σ2, σ3 como coordenadas de um ponto no
espaço de três dimensões. Na Fig. A.1, o vetor {OP} representa um estado de
tensão.
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40
Figura A.2 - Projeção no plano desviador dos eixos coordenados σ1, σ2 e σ3
Pode-se definir, neste espaço, o eixo hidrostático como a diagonal d, que
dista igualmente dos três eixos (σ1=σ2=σ3). O vetor unitário, que direciona esta
diagonal, é dado por
1
{e} =
3
1

1
1

(A.26)
Todos os pontos sobre esta diagonal representam estados de tensão
hidrostáticos, isto é, as tensões anti-esféricas são nulas. Os planos
perpendiculares à diagonal d são chamados planos desviadores. O plano
desviador que passa pela origem do sistema de coordenadas é chamado plano π
e é expresso por
σ 1 +σ 2 +σ 3 = 0
(A. 27)
Os pontos do plano π representam estados de cisalhamento puro com
nenhuma componente hidrostática.
Como o estado de tensão pode ser representado pelo vetor {OP}, é
possível decompor este vetor em duas componentes, uma na direção do eixo
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41
hidrostático, {ON}, e outra perpendicular ao eixo hidrostático, {NP}.
O comprimento de {ON} é
ON = ξ = {OP} .{e} = {σ 1 σ 2 σ 3}
t
1
3
1
 1
I1
1 =
3
1

(A.28)
ou
1
I 1 = 3 σ m = 3 σ oct
3
ξ=
(A.29)
A componente {NP} é determinada por
σ 1  σ m   s1 
{NP}={OP}−{ON }= σ 2  − σ m  = s2 
σ  σ   s 
 3  m   3
(A. 30)
O quadrado do comprimento de {NP} é
2
NP = r 2 = s12 + s 22 + s 23 = 2 J 2
r ≥0
(A.31)
ou
2
2
2
r = 2 J 2 = 5 τ m = 3 τ oct
(A.32)
Desta forma, o estado de tensão, dado pelo ponto P(σ1,σ2,σ3), pode
também ser caracterizado pelas coordenadas ξ, r, θ, conforme a Fig. A.1 e a Fig.
A.2.
A.3 - Os invariantes de deformação
De modo semelhante, pode-se obter os invariantes de deformação. Assim,
I ´1 =ε x +ε y + ε z = ε ii
1
1
2
2
2
I ´2 = (ε x ε y +ε y ε z + ε z ε x ) −ε xy −ε yz − ε zx = I ´12 − ε ij ε ij
2
2
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(A.33)
(A.34)
42
ε x ε xy ε xz
1
1
1 3
I ´3 = ε yx ε y ε yz = ε ij ε jk ε ki − I ´1ε ij ε ji + I ´1
3
2
6
ε zx ε zy ε z
(A.35)
ou, em termos das deformações principais
I ´1 = ε 1 +ε 2 + ε 3 = ε ii
(A.36)
I ´2 = (ε 1 ε 2 + ε 2 ε 3 + ε 3 ε 1)
(A.37)
I ´3 = ε 1 ε 2 ε 3
(A.38)
A deformação anti-esférica eij é obtida por
eij = ε ij −
1
ε v δ ij
3
(A.39)
onde ε v = I´1 . Os invariantes do tensor de deformação anti-esférico são
J ´1 = e x +e y + e z = eii = 0
[
(A.40)
]
1
1
2
2
2
2
2
2
J ´2 = eij e ji = (ε x − ε y ) + (ε y −ε z ) + (ε z − ε x ) + ε xy +ε yz +ε zx
2
6
ex ε xy ε xz
1
J ´3 = eij e jk eki = ε yx ey ε yz
3
ε zx ε zy ez
(A.41)
(A. 42)
ou, em termos das deformações principais
J ´1 = e1 +e2 + e3 = 0
J ´2 =
[
1 2 2 2 1
(e1 + e2 + e3 )= (ε1 −ε 2 )2 + (ε 2 − ε 3 )2 + (ε 3 −ε1)2
2
6
J ´3 =
1 3 3 3
(e1 + e2 + e3)= e1 + e2 + e3
3
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(A.43)
]
(A.44)
(A.45)
43
De forma análoga, define-se as deformações octaédricas como
1
1
ε oct = ε v = I ´1
3
3
(A.46)
e
γ oct =
2
8
J ´2
3
(A.47)
A.4 - Características da superfície de ruptura do concreto
Neste item, serão resumidas as características da superfície de ruptura do
concreto, determinadas experimentalmente. A forma de uma superfície de
ruptura, em um espaço de tensões tridimensional, pode ser melhor descrita
através de suas seções transversais nos planos desviadores e de seus meridianos
nos planos meridianos.
As seções transversais da superfície de ruptura são as curvas de interseção
entre a superfície de ruptura e um plano desviador, que é perpendicular ao eixo
hidrostático, com ξ constante. Os meridianos da superfície de ruptura são as
curvas de interseção entre a superfície de ruptura e um plano (o plano
meridiano), que contém o eixo hidrostático, com θ constante.
Se o material for isotrópico, os índices 1, 2, 3 associados aos eixos
coordenados são arbitrários. Isto resulta na tríplice simetria, que apresenta a
superfície de ruptura, conforme aparece na Fig. A.2.
Assim, torna-se necessário apenas o estudo do setor θ=00 a 600, ficando
os demais setores conhecidos por simetria. A curva de ruptura no plano
desviador apresenta, segundo evidências experimentais, as seguintes
características:
• a curva de ruptura é suave;
• a curva de ruptura é convexa, ao menos para tensões de compressão;
• a curva de ruptura tem aspecto do tipo apresentado na Fig. A.2;
• a curva de ruptura é aproximadamente triangular para tensões de tração e
baixas tensões de compressão (correspondendo a valores de ξ pequenos,
próximos ao plano π), ficando mais circular a medida que as tensões de
compressão aumentam (crescimento dos valores de ξ).
Os meridianos determinados por valores de θ iguais a 00, 300 e 600 são
chamados, respectivamente, de meridiano de tração, de cisalhamento e de
compressão.
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Figura A.3 - Meridianos de compressão e de tração
Conforme aparece na Fig. A.3, as curvas de ruptura nos planos meridianos
apresentam as seguintes características:
• as curvas de ruptura dependem da componente hidrostática da tensão, I1 ou ξ;
• as curvas de ruptura são suaves e convexas;
• rt /rc < 1, onde os índices t e c correspondem aos meridianos de tração e
compressão, respectivamente;
• o valor da relação rt /rc aumenta com o aumento da pressão hidrostática;
• um carregamento hidrostático não pode causar a ruptura.
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