Decomposição de um número composto

Decomposição de um
número composto
• Todo número composto pode ser decomposto em
fatores primos
Ex: 420 2
210 2
105 3
35 5
7 7
1
420= 22 X 3 X 5 X 7
Determinação do número de
divisores de um número
natural n
• Você deve decompor n em fatores primos, adicionar uma
unidade aos expoentes desses fatores e efetuar o
produto dos números obtidos.
Ex: no exemplo anterior o número 420 tem:
420= 22 x 3 x 5 x 7 →
(2+1)x(1+1)x(1+1)x(1+1)=3 x 2 x 2 x 2= 24 divisores
Determinação dos divisores
de um número natural
Ex: Quais são os divisores do número 480?
• 1 - Faça a decomposição do nº 480 em fatores primos.
• 2 - Trace uma vertical à direita dos fatores primos.
• 3 - Escreva o nº 1 à direita do traço vertical.
• 4 - Multiplique o primeiro fator primo 2 por 1 e escreva o
resultado do 2 abaixo da unidade.
• 5 - Multiplique todos os fatores primos pelos números
que estão à direita do traço vertical, sem repetir
eventuais resultados.
• 6 - Os números obtidos à direita do traço vertical são os
divisores de 480.
Determinação dos divisores
de um número natural
1
480 2 2
240 2 4
120 2 8
60 2 16
15 3,6,12,24,48,96
5 5,10,20,40,80,160,15,30,60,120,240,480
Máximo divisor comum
Dados dois números naturais a e b, não nulos, chama-se
máximo divisor comum de a e b a um número natural c, tal
que:
• C é divisor comum de a e b;
• Todo divisor comum de a e b é divisor de c.
Representa-se o máximo divisor comum de dois números
naturais a e b pelas seguintes notações: m.d.c(a,b) ou a∩b
Máximo divisor comum
Processo para a determinação do m.d.c
• Algoritmo de Euclides ou processo das divisões
sucessivas
Ex: m.d.c de 423 e 45 →m.d.c.(423,45)=9 ou 423 ∩ 45=9
423 45 18 9
18 9 0
Decomposição em fatores
primos
• ex: m.d.c. de 180, 600 e 48
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
600 2
300 2
150 2
75 3
25 5
55
1
48 2
24 2
12 2
62
33
1
180= 22x32x5
600= 23x3x52
48= 24x3
Decomposição em fatores
primos
• Os fatores primos comuns são os números 2 e 3
• O máximo divisor comum é o produto dos fatores primos
comuns, com os menores expoentes.
• Portanto, m.d.c(180,600,48)= 22x3 =12
Propriedades do m.d.c.
a∩b = b ∩ a
36 ∩ 45= 45 ∩ 36= 9
Se a for divisor de b, então a ∩ b=a
5 é divisível de 15, então 5 ∩ 15= 5
1 ∩ a = a ∩ 1= 1
1 ∩ 7= 7 ∩ 1= 1
a ∩ b= 1 quando a e b são primos
entre si
6 ∩ 13= 1 pois 6 e 11 são primos entre si
(a ∩ b) ∩ c= a ∩ (b ∩ c)
(3 ∩15) ∩ 6= 3 ∩ (15 ∩ 6)= 3
Os divisores comuns de dois ou
mais números são divisores do seu
m.d.c
Os divisores comuns de 36 e 45 são os
divisores do seu m.d.c.=9, cujos divisores
são 1,3 e 9.
Se multiplicarmos vários números
pelo número k (k≠0), o seu m.d.c.
ficará multiplicado por k.
3 ∩ 15 ∩ 6= 3, então, (3 x 2) ∩ 15 x 2∩ 6
∩ 2= 3 x 2= 6
Se dividirmos vários números por
um divisor desses números, o seu
m.d.c. ficará dividido por k.
30 ∩ 150 ∩ 60=30, então 30:10∩
150:10 ∩ 60:10= 30:10 ou 3 ∩ 15 ∩ 6 =3
Mínimo Múltiplo Comum
Dados dois números naturais a e b, não nulos, chama-se
mínimo múltiplo comum de a e b a um número natural m,
diferente de zero, tal que:
- M é múltiplo comum de a e b.
- Todo múltiplo comum de a e b é múltiplo de m.
Representa-se o mínimo múltiplo comum de dois números
naturais a e b pelas seguintes notações: m.m.c. (a,b)=m ou
a U B= m
Processos para a
determinação de m.m.c
• Processo da decomposição simultânea
Ex: m.m.c. de 48,120,180
48 – 120 – 180 2
24 – 60 - 90 2
12 - 30 - 45 2
6 - 15 - 45 2
3 - 15 - 45 3
15 - 15 3
15- 5 5
11- 1
48 U 120 U 180= 24 X 32 X 5= 620
Processo da decomposição
em fatores primos
Ex: m.m.c. de 48,120 e 180
48 2
24 2
12 2
62
33
1
120 2 180 2
60 2 90 2
30 2 45 3
15 3
15 3
55
55
1
1
- Os fatores primos comuns são 2 e
3. O fator 5 não é comum.
- O mínimo múltiplo comum é igual
ao produto dos fatores primos
comuns e não comuns com os
maiores expoentes.
- Portanto o m.m.c.(48,120,180)=
24x32x5= 620
Propriedades do m.m.c
aUb = bUa
12 U 56= 56 U 12= 168
Se a for múltiplo de b, então aUb=a
12 é múltiplo de 4, então 12 U 4=12
O m.m.c. de dois números primos entre
si (a∩b)=1 é o produto deles a∩b=1 →
aUb = axb
6∩11=1 → 6 U 11= 6 X 11
7∩10=1 → 7 U 10= 7 X 10
(a U b)U c = a U (b U c)
(12 U 8) U 3= 12 U (8 U 3)= 24
Os múltiplos comuns de dois ou mais
números são múltiplos do seu m.mc
Os múltiplos comuns de 8 e 12 são os
múltiplos de 24 que é o m.m.c.(8,12), isto é,
os múltiplos comuns de 8 e 12 são:
6,24,48,72...
Se multiplicarmos dois ou mais
números por um número K(K≠0), o seu
m.m.c. ficará multiplicado por K.
18 U 6 U 3=18, então:
(18 x 3) U (6 X 3) U (3 X 3)= 18X3= 54
Se dividirmos dois ou mais números
por um divisor K desses números, o
seu m.m.c. ficará dividiDo por K (K≠0)
180 U 60 U 30=180, então 180:10 U 60:10
U 30:10= 180:10 = 18
Propriedade do m.d.c. e do
m.m.c. de dois números naturais
• O m.m.c. de dois números multiplicado pelo seu m.d.c. é
igual ao produto dos números
Ex: Sejam os números 24 e 4.
24 U 4=24 e 24 ∩ 4=4
Então: (24 U 4) X (24∩4)= 24 X 4= 96
Conjunto do números inteiros – z
- Conjunto de números inteiros não nulos - z⃰
z⃰ = {...,-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4...}
- Conjunto de números inteiros não negativos- z+
z+ = {0,1,2,3,4...}
- Conjunto de números inteiros positivos- z⃰+
z⃰+ = {1,2,3,4...}
- Conjunto de números inteiros não positivos- zz- = {..., -4, -3, -2, -1,0}
- Conjunto de números inteiros não negativos- z⃰z⃰- = { ...,-4, -3, -2, -1,}
Operações com números inteiros
- Adição – adicionar números inteiros do mesmo sinal é adicionar os valores
absolutos das parcelas e dar à soma o sinal comum dessas parcelas.
Ex: (+3) + (+6)= +9 = 9 ; (-5) + (-2) = -7
Subtração – subtrair números inteiros é adicionar ao primeiro o simétrico ou
oposto do segundo.
Ex: (+8) – (-5)= (+8) + (+5) = 13 ; (-7) - (+2)= (-7) + (-2) = - 9
-
Multiplicação – O produto de números inteiros de mesmo sinal é positivo e
de sinais contrários é negativo.
Ex: (+3) x (+2)= +6 ; (-3) x (-2) = +6 ; (-3) x (+2)= -6
-
Divisão – O quociente de números inteiros segue a mesma regra do
produto.
Ex: (-5) : (-1)= 5 ; (-10) : (-2) = 5 ; (-9) : (+3) = -3
-
Operações com números
inteiros
- Potenciação – Seja n um número natural positivo e x um número inteiro:
Toda potência de base inteira e expoente ímpar conserva o sinal da base
Ex: (+2)3 = +8 ; (-2)3 = -8
Toda potência de base e expoente par é um número não negativo
Ex: (-2)4 = +16 ; (-3)2= +9
• am x an = am+n → ex: (-2)3 x (-2)2= (-2)5= -32
• (a x b)m = am x bm → ex: (2 x 3)2 = 22 x 32= 4 x 9 = 36
• am : an= am-n → ex: 35: 32= 33= 27
• (a:b)n = an: bn → ex: (8:2)2 = 82:22 = 64:4 = 16
• (am)n = amxn → ex: (22)2 = 24 = 16
Radiciação
Sejam a, b e n números inteiros com n maior que zero
Se o índice n for um
número par
Radicando a≥0
Radicando a <0
n√an
n√an
=a
Se o índice n for um n√an = a para todo
número ímpar
aϵZ
= -a