Introdução a Estatística Descritiva - Apresentação dos

Universidade de Brasília
Departamento de Engenharia Mecânica
Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas
Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Professor
Métodos Experimentais em
Ciências Mecânicas
Jorge Luiz A. Ferreira
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Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Estatística Descritiva
Definição
o É a parte da Estatística que procura somente descrever e avaliar um
certo grupo, sem tirar quaisquer conclusões ou inferências sobre um
grupo maior.
Técnicas usadas na descrição dos dados:
1. Decrição Gráfica: São usados vários tipos de gráficos para sumarizar os
dados. Por exemplo: Histogramas.
2. Descrição Tabular: Na qual se usam tabelas para sumarizar os dados. Por
exemplo tabelas de Freqüências.
3. Descrição Paramétrica: Na qual estimamos os valores de certos parâmetros,
os quais assumimos que completam a descrição do conjunto dos dados. Por
exemplo: Média.
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Estatística Descritiva
Apresentação Gráfica e Tabular
o Tabela é uma representação matricial, isto é, em linhas e colunas, dos dados
coletados. As tabelas são realmente a conjugação entre o pensamento abstrato e a
nossa necessidade de visualização. Mas elas têm um ponto muito forte que é a
capacidade de nos dar muita informação em pouco espaço.
o Um gráfico é a tentativa de se expressar visualmente dados ou valores numéricos,
de maneiras diferentes, Visando facilitar a compreensão dos mesmos. A apresentação
gráfica constitui uma das mais eficientes forma de apresentação de dados.
600
1
2
3
4
5
6
8
353
2,27E+06
1,75E+06
8,50E+05
1,70E+06
2,11E+06
1,75E+06
5,06E+05
400
5,26E+05
3,21E+05
5,05E+05
4,00E+05
4,38E+05
5,63E+05
4,21E+05
440
2,60E+05
2,62E+05
2,60E+05
509
5,12E+04
6,35E+04
4,61E+04
5,60E+04
7,06E+04
500
Tensão Alternada, Sa, [MPa]
Ensaios
Tensão Alternada, Sa
400
300
104
105
106
Número de Ciclos para Falha, N
107
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Estatística Descritiva
Características Importantes de uma Tabelas
a)
Corpo: conjunto de linhas e colunas que contêm informações sobre a variável em
estudo;
b) Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;
c)
Coluna indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;
d) Linhas: retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados
que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas;
e)
Casa ou célula: espaço destinado a um só número;
f)
Título: conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às
perguntas: O quê ( referente ao fato); Onde ( relativo ao lugar); Quando (
corresponde à época).
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Estatística Descritiva
Construção de Tabelas
o Conforme comentado anteriormente, uma tabela pode ser construída na forma
horizontal ou vertical, dependendo do número de dados ou grandezas apresentados.
o Não utilize mais casas decimais do que o necessário para não mascarar as
comparações de interesse. Os Números devem preferencialmente ser representados na
forma inteira, ou, pelo menos, possuírem o mesmo número de casas decimais.
o No topo da tabela deve-se representar as grandezas por meio de símbolos, e entre
parênteses a sua unidade de medição.
o Deve constar ainda, no espaço superior da tabela o título de forma sucinta.
o Se os valores da tabela são representativos de uma faixa de medição, pode-se
apresentar o comportamento médio seguido da incerteza.
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Estatística Descritiva
Construção de Tabelas - Exemplos
Tabela 2.1. Definições de carregamentos cíclicos com amplitude constante.
Tabela 4.5 – Parâmetros da Curva S-N do Aço ASTM A743 CA6NM
Parâmetro
Limites do Intervalo
de Confiança
Valor Esperado
Estimativa Erro Padrão
Inferior
Superior
A
1406,94
102,91
1197,05
1616,83
b
-0,094
0,006
-0,106
-0,082
σ máx − σ mín
Amplitude de tensão
σa =
Tensão média
σm =
Variação de tensão
∆σ = σ máx − σ mín
Razão de carregamento
R=
2
Representação gráfica
σ máx + σ mín
2
σ mín
σ máx
Tabela 2 – Caracterização Química do Material – Resultados Analíticos
Critério de
Elementos
Conformidade/ Normas
ASTM A 743/A
743M - 06
DIN EN 10283
Amostra
Carbono(C)
≤0,06
≤0,06
0,016±0,002
Cobre (Cu)
≤0,5
N/I
0,15±0,01
Cromo (Cr)
11,5-14,0
12,0-13,5
12,5±0,02
Enxofre (S)
≤0,03
≤0,025
Fósforo (P)
≤0,04
Manganes (Mn)
COTAÇÃO
Compra
Venda
Dólar Comercial
1,7940
1,7960
0,016±0,001
Dólar Paralelo
1,8700
1,9700
≤0,035
0,03±0,01
Euro (Dólar)
1,3420
1,3410
≤1,0
≤1,0
0,70±0,01
Euro (Real)
2,4080
2,4090
Molibdênio (Mo)
0,40-1,0
≤0,7
0,45±0,01
Níquel (Ni)
3,5 -4,5
3,5-5,0
3,7±0,03
Silício (Si)
≤1,0
≤1,0
0,43±0,02
Vanádio (V)
≤0,05
N/I
0,03±0,01
Atualizado 30/03/2010 13h45
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Estatística Descritiva
Construção de Gráficos
Requisitos Fundamentais:
Simplicidade
O gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim
como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise
inconsistente.
Clareza
O gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores
representativos do fenômeno em estudo.
o Veracidade
o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo
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Estatística Descritiva
Construção de Gráficos
o Propor um título auto explicativo.
o Escolher o tipo de gráfico apropriado para a apresentação dos dados.
o Rotular os eixos apropriadamente, incluindo unidades de medida.
o Escolher adequadamente as escalas dos eixos para não distorcer a informação que se pretende
transmitir. Se o objetivo for comparar as informações de dois os mais gráficos, use a mesma
escala.
o Incluir indicações de “quebra” nos eixos para mostrar que a origem (zero) está deslocada.
o Alterar as dimensões do gráfico até encontrar o formato adequado.
o Incluir uma legenda.
o Tomar cuidado com a utilização de áreas para comparações, pois elas variam com o quadrado
das dimensões lineares.
o Não exagerar nas ilustrações que acompanham o gráfico para não o “poluir” visualmente,
mascarando seus aspectos mais relevantes.
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Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos
É importante escolher um tipo de gráfico apropriado para o tipo de dados que você
está apresentando. Isto determinará como os dados podem ser interpretados quando
colocados em formato de gráfico.
Gráficos de Linha
Gráficos de barras
Gráficos de colunas
Gráficos de Área
Gráficos de Setores
Gráficos polares
Gráficos de Intervalo
Gráficos de dispersão
Gráficos de formas
Gráfico de Caixa
Gráficos de estoque
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Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos
Gráfico de Dispersão
O gráfico, ou diagrama, de dispersão exibe uma
série como um conjunto de pontos. Os valores
são representados pela posição dos pontos no
gráfico. As categorias são representadas por
diferentes marcadores no gráfico. Normalmente,
os gráficos de dispersão são usados para
comparar dados agregados por categorias.
constitui a melhor maneira de visualizar a
relação entre duas variáveis quantitativas
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Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos
180
165
150
Gráfico de Linha
Variável Resposta, Simbolo (Unidade)
135
180
165
Sua construção é feita colocando-se no eixo vertical
(y) a mensuração da variável em estudo e na abscissa
(x), as unidades da variável numa ordem crescente.
Este tipo de gráfico permite representar séries longas,
o que auxilia detectar suas flutuações tanto quanto
analisar tendências.
Variável Resposta, Simbolo (Unidade)
150
120
105
90
75
60
135
45
120
30
105
15
90
0
0
0.2
0.4
75
0.6
1
1.4
0.8
1.2
Variável de Controle, Simbolo (Unidade)
60
45
30
15
0
0
0.2
0.4
0.6
1
1.4
0.8
1.2
Variável de Controle, Simbolo (Unidade)
1.6
1.8
2
1.6
1.8
2
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Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos
Gráfico Polares
Um gráfico polar exibe uma série como um conjunto de
pontos agrupados por categoria em um círculo de 360
graus. Os valores são representados pelo comprimento
do ponto, conforme medido do centro do círculo. É o
gráfico ideal para representar séries temporais que
apresentam em seu desenvolvimento determinada
periodicidade, por exemplo:
-a variação da precipitação pluviométrica ao longo do
ano ou da temperatura ao longo do dia;
-o consumo de energia elétrica durante o mês ou o ano;
- o número de passageiros de uma linha de ônibus ao longo da semana.
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Tipos de Gráficos
Gráfico de Estoque (stock)
É especificamente projetado para dados
financeiros ou científicos que usam até quatro
valores por ponto de dados. Esses valores se
alinham com os valores alto, baixo, aberto e
fechado usados para plotar dados de estoque
financeiro. Esse tipo de gráfico exibe valores de
abertura e fechamento usando marcadores, que
geralmente são linhas ou triângulos.
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Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos
Gráfico de Intervalo
Um gráfico de intervalos exibe um conjunto de
pontos de dados que são definidos por diversos
valores para a mesma categoria. Os valores são
representados pela altura do marcador, de
acordo com a medição feita pelo eixo y. Os
rótulos de categoria são exibidos no eixo de
categoria. O gráfico de intervalos comum
preenche a área entre os valores superior e
inferior de cada ponto de dados.
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Tipos de Gráficos
Gráfico de Área
Um gráfico de áreas exibe uma série como um
conjunto de pontos conectados por uma linha,
com toda a área preenchida abaixo da linha
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Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos
180
8.5
15
Gráfico de Colunas
Um gráfico de coluna exibe uma série como um
conjunto de barras verticais agrupadas por categoria.
Os gráficos de coluna são úteis para mostrar
alterações de dados em um período de tempo ou para
ilustrar comparações entre itens.
O S D E Z E S T A D O S E M Q UE A C O LE T A D E LIX O UR B A N O É
M A IS P R E C Á R IA - E M % D A P O P ULA ÇÃ O A T E N D ID A
80
70
60
50
40
30
20
62
48
51,5
55
PA
TO
66,5
68
71
AC
CE
AM
75
76
RR
BA
26,5
10
0
MA
PI
AP
EST A D OS
Variável Resposta, Simbolo (Unidade)
150
120
90
.9
68
60
9
.41
42
.03
30
.97 6
22
.4
18 5.34 07 5
1 13.
.3
11 10
30
19 35 9 8
8.9 8.0 7.29 6.67 .147 .689 .29
6 5
5
0
0
0.4
0.8
1.2
Variável de Controle, Simbolo (Unidade)
1.6
2
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Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos
Gráfico de Barras
O gráfico de barras é o único tipo de
gráfico
que
exibe
dados
horizontalmente. Por esse motivo, é
conhecido por representar dados que
ocorrem com o tempo, com uma data
inicial e final finita. Também é
conhecido por mostrar informações
categóricas uma vez que as categorias
podem ser exibidas horizontalmente
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Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos
Gráfico de Setores
É a representação gráfica de uma série
estatística, em círculos, por meios de
setores. É utilizado principalmente
quando se pretende comparar cada
valor da série com o total. Gráficos de
setores (pizza) e de rosca junto com os
gráficos pirâmide e funil, compõem um
grupo de gráficos conhecido como
gráficos de Forma
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- Dados Brutos -
Altura dos Membros da Turma
]
Individuo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Altura
1.93
2.03
1.66
1.76
1.86
1.77
1.83
1.90
1.79
1.81
1.79
1.77
1.90
2.00
2.02
1.77
1.74
1.91
1.80
1.82
1.77
1.76
1.61
1.90
1.84
1.69
1.79
Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Aspectos da Forma de
Distribuição dos Dados
Bloco
1.55
1.66
1.76
1.86
1.97
2.07
Mais
Freqüência
1
8
29
35
22
5
0
Análise
Descritiva
Aspectos Quantitativos
de como os Dados se
Localizam no “espaço”
Medidas que Permitam
representar por meio de um valor
único o lugar mais provável de
encontra os elementos da amostra,
bem como sua variabilidade
(MEDIDAS RESUMO)
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Distribuição de Freqüências
É uma técnica estatística para
apresentar
uma
coleção
de
objetos classificados de modo a
mostrar o número existente em
cada classe.
• O uso desta técnica é conveniente quando se dispõem de uma massa
grande de dados
• Embora se perca alguma informação a respeitos dos dados, a
distribuição é útil na investigação das características da variável
em estudo.
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Distribuição de Freqüências – Conceitos Importantes
• Dados Brutos: são os valores numéricos obtidos após a crítica dos dados.
• Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de freqüência crescente ou
decrescente.
• Amplitude total ou “range” ( R ): é a diferença entre o maior e o menor
valor observados.
•
Classes: Intervalos de divisão dos dados
• Freqüência
( Fi ): é o número de vezes que o elemento aparece na
amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma mesma classe.
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Distribuição de Freqüências – Conceitos Importantes
• Número de classes ( K ): não há uma fórmula exata para o cálculo do
número de classes. Tipicamente, a estimativa do número de classes é
realizado com base número total de observações, n. As duas formas mais
usuais são:
a) Regra prática :
5 ⇒ n ≤ 25
k =
 n ⇒ n > 25
b) Fórmula de Sturges:
k = 1 + 3.22 ⋅ Log (n )
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Distribuição de Freqüências – Conceitos Importantes
• Amplitude das classes, ou intervalo ( h ): é a amplitude total ( R )
dividida pelo número de classes:. Assim como no caso do número de
classes ( k ), a amplitude das classes ( h) deve ser aproximada para o
maior inteiro.
• Limites das classes: são os extremos de cada classe e existem diversas
maneiras de representá-los, exemplos:
• 15 ├─ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20, excluindo o 20
• 15 ├─┤ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20.
• 15 ── 20: limite aparente, limite real 14,5 ── 19,5.
• 15 ─┤ 20: compreende os valores entre 15 e 20, excluindo o 15.
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Distribuição de Freqüências – Conceitos Importantes
• Pontos médios das classes (xi ): é a média aritmética entre o limite
superior e o limite inferior da classe. Estes pontos estão representando
cada um dos dados pertencentes à classe. Assim, se a classe for 15 ├─
20, teremos: 17,5 como ponto médio da classe.
• Freqüência acumulada ( Fac): é a soma das freqüências das classes.
• Freqüência relativa (fi): é a porcentagem de um valor na amostra e é
dada por fi=Fi/n.
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Distribuição de Freqüências – Construção
Histograma
Função Amostral
{
{
Intervalo, h
{
0
Classes
10
20
30
40
50
60
Numero de Eventos, k
Evento
k = Numero de Eventos Observados em Cada Classe
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Distribuição de Freqüências - Exemplo
Histogramas
10000 Observações
5000 Observações
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Distribuição de Freqüências – Construção
Distribuição de Freqüências
Função Amostral
Intervalo, h
ki
fi =
K
0
10
20
30
40
Freqüências,
f
50
60
K = Numero de Eventos Observados em Cada Classe
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Distribuição de Freqüências - Exemplo
Distribuição de Freqüências
10000 Observações
5000 Observações
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Função Densidade de Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade
é
um
afirmação
numérica
sobre a possibilidade de que algo ocorra,
quantificando
o grau
de incerteza
eventos, variando de 0 a 1, ou 0% a 100%.
dos
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Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Função Densidade de Probabilidade
Probabilidade - Exemplo
Experimento Probabilístico – Jogar um dado de seis faces.
Resultado – Jogar um 2, {2}.
Espaço Amostral – {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento –Jogar um número par {2, 4, 6}.
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Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Função Densidade de Probabilidade
Probabilidade - Definições
Variável Aleatória – Uma variável aleatória é uma função
que atribui um número real a cada evento em S, segundo o
critério que se deseja observar.
Uma variável aleatória é discreta se o número de resultados possíveis for
finito ou pode ser enumerado.
-2
-1
0
1
2
Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de
determinado intervalo. O número de resultados possíveis não pode ser
listado. Variáveis aleatórias contínuas são determinadas por medições.
Número de resultados infinitos
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Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Função Densidade de Probabilidade
Distribuição de Probabilidade
Função que descreve a chance que uma variável pode
assumir ao longo de um espaço de valores. Uma distribuição
de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de
dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se
ajustem à distribuição de probabilidade.
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Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Função Densidade de Probabilidade
Densidade de Probabilidade
Função Amostral
Intervalo, h
ki
pi =
K ⋅h
0
10
20
30
40
50
Densidade de Probabilidade
60
K = Numero de Eventos Observados em Cada Classe
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Distribuição de Freqüências - Exemplo
Densidade de Probabilidade
1000 Observações
5000 Observações
10000 Observações
106 Observações
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Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Função Densidade de Probabilidade
Distribuição de Probabilidade – Aprox. da F.D.P
Função Amostral
Intervalo, h
f.d.p