Distribuição de Probabilidades
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Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Professor Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Jorge Luiz A. Ferreira Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Função que descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade – Aprox. da F.D.P Função Amostral Intervalo, h f.d.p Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Propriedades Básicas das Funções de Distribuição Para ajudar a proteger sua priv acidade, o PowerPoint impediu o download automático desta imagem externa. Para baixar e exibir esta imagem, clique em Opções na Barra de Mensagens e clique em Habilitar conteúdo externo. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal A distribuição normal é uma das Além de descrever uma série de mais importantes distribuições da fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É estatística, conhecida também inteiramente descrita por seus como Distribuição de Gauss ou parâmetros de média e desvio padrão, Gaussiana. Foi desenvolvida pelo ou seja, conhecendo-se estes matemático francês Abraham de consegue-se determinar qualquer Moivre probabilidade Normal. em uma distribuição Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades • Suas média, mediana e moda são iguais. • Tem forma de sino e é simétrica em torno da média. x Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades • À medida que a curva se afasta da média, aproxima-se cada vez mais do eixo x, mas nunca o toca.. • Os pontos de inflexão da curva distam de 1 desvio padrão em relação ao centro da distribuição. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades pontos de inflexão σ = desvio padrão µ = média assíntota σ µ σ assíntota Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades • Alteração da média implica numa translação da curva N(µ,σ) N(µ+4,5,σ) 10 11 12 13 14 µ 4,5 15 16 17 18 19 8,0 N(µ+8,σ) 20 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades • Alteração do Desvio Padrão implica em uma Variação da Forma σ>σ>σ µ Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média. 68% Cerca de 95% da área está a dois desvios padrão. Cerca de 99,7% da área está a três desvios padrão da média. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Representação Matemática Uma variável aleatória x possui distribuição normal se a sua função densidade de probabilidade for igual a: (x − µ )2 1 exp − f ( x; µ ,σ ) = 2 σ 2π 2 σ onde σ e µ são números reais positivos enquanto x pode assumir qualquer valor real entre -∞ e +∞. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Representação Matemática Gráfico da função de distribuição acumulada F(x) = P(X≤x) onde x é uma variável aleatória normal padrão, isto é, com média µ = 0 e desvio padrão σ =1. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Representação Simbólica Usa-se a simbologia x ~ N (µ ,σ 2 ) para indicar que x é uma variável aleatória com distribuição normal de probabilidade, possuindo esperança µ e desviopadrão σ. Quando µ = 0 e σ = 1, a distribuição de x recebe o nome de distribuição padrão ou reduzida. Neste caso, usa-se a letra z para representar esta variável. Assim, z ~ N( 0, 1 ) Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal Padrão A distribuição normal padrão é importante pois, se X for uma variável aleatória normal, com média µ e desvio-padrão σ, então a variável z definida por: z= x−µ σ possui uma distribuição normal padrão ou normal reduzida, aquela cuja média é zero e desvio-padrão igual a 1. Esta é a fórmula de conversão de uma distribuição normal com média µ e desvio-padrão σ numa distribuição normal padrão com média zero e desvio-padrão igual a 1. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal Padrão – Representação Matemática Função Densidade de Probabilidade Normal Padrão f(z) 1 1 2 f (z) = exp − z 2π 2 Função Distribuição Probabilidade Acumulada F (z) = ∫ z s = −∞ de 1 1 2 exp − s ds 2π 2 F(z) Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal Padrão – Cálculo de Probabilidade Se x é uma variável aleatória com distribuição Normal com média µ e desvio-padrão σ, a probabilidade de x cair no intervalo a < x < b é P(a < x < b ) = F (α ) − F ( β ) =∫ β s =α α= a−µ σ β= 1 1 2 exp − s ds 2π 2 b−µ σ Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Combinação Linear de V.A. Normais Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal, tal que E(X) = µx Var(X) = σ x2, E(Y) = µy , Var(Y)= σ y2 , a, b e c constantes. Então, a variável aleatória Z = a·X + b·Y + c tem distribuição Normal com µz = a ⋅ µx + b ⋅ µy + c Var (z ) = a 2 ⋅Var (x ) + b 2 ⋅ Var ( y ) Em particular, a soma ou a diferença de duas ou mais variáveis aleatórias Normais é também uma variável aleatória Normal Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Distribuições de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Campo de Aplicação Campo de Aplicação Ensaios Estudo do Comportamento de • Resistência a Tração de Materiais Propriedades Mecânicas, Elétricas, Ferrosos e Não-Ferrosos, Químicas, etc • Variação da Temperatura Ambiente, • Consumo de Energia, • Dimensões de Peças, • Medida de Resistência de Resistores, • Velocidade de Moléculas gases, • Desgaste de Peças, • Pressão nas Câmara de Disparo de Munições • etc
