UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Uma caracterização homotópica do espaço de laços da suspensão de um espaço topológico Juliano Damião Bittencourt de Godoi SÃO CARLOS 2008 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Uma caracterização homotópica do espaço de laços da suspensão de um espaço topológico Juliano Damião Bittencourt de Godoi Orientador: Prof. Dr. Tomas Edson Barros. Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de São Carlos, a como parte obtenção Matemática. SÃO CARLOS 2008 do dos Título requisitos de Mestre para em Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar G588ch Godoi, Juliano Damião Bittencourt de. Uma caracterização homotópica do espaço de laços da suspensão de um espaço topológico / Juliano Damião Bittencourt de Godoi. -- São Carlos : UFSCar, 2011. 126 f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2008. 1. Topologia algébrica. 2. Teoria dos funtores. 3. Teoria da homotopia. 4. Teoria de homologia. I. Título. CDD: 514.2 (20a) Agradecimentos Agradeço primeiramente à Deus por ter colocado em meu caminho tantas pessoas que me ajudaram e tornaram possível esse trabalho. Agradeço especialmente à minha mãe Henriqueta, pelo apoio, pelo exemplo de vida, de superação e de força de vontade. Às minhas sobrinhas Vanessa, Andressa e Karolayne, que sempre demonstraram muito carinho e apoio em tudo que eu zesse. Aos meus amigos do Departamento de Matemática: Rafael, Rômel, Liane, Taciana, Iris, Bruna, Patrícia, Tiago, Maicon, e tantos outros. À todos os meus professores, em especial aos da UFSM e os da UFSCar. Agradeço também aos professores Peneireiro e Bidel, pelo incentivo e apoio. Ao meu orientador Tomas Edson Barros, pela maneira responsável e sempre visando o meu melhor, com a qual conduziu esse trabalho. Sua paciência, dedicação e prossionalismo sempre me servirão como modelo ao longo de toda a minha vida. Por último, agradeço ao CNPq pelo apoio nanceiro. 3 Resumo Nosso objetivo neste texto é mostrar que o espaço de laços da suspensão reduzida de um complexo CW conexo livre gerado por X. X tem o mesmo tipo de homotopia que o monóide topológico Abstract Our main goal in this dissertation is to show that the loopspace of reduced suspension of a connected CW complex topological monoid generated by X. X has the same type of homotopy that the free Sumário 1 Pré-requisitos 9 1.1 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Pré-requisitos Homotópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Pré-requisitos Homológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Espaços Compactamente Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Complexos CW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7 Teoremas de Hurewicz 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Espaço de Laços 35 2.1 Espaço de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Funtores Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Espaço de Laços e Suspensão Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Colimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7 H-espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.8 Espaço de Laços de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Produto Reduzido de James 72 3.1 Monóide Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 A topologia de J(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 72 76 7 4 Teorema de James 87 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cálculo de b H∗ (J(X)) 4.3 Fibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4 Cálculo de H∗ (ΩM (ΣX, x0 )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.5 Prova do Teorema de James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 89 119 Introdução O objetivo deste texto é apresentar uma equivalência de homotopia entre o espaço de laços de um complexo CW conexo X e o monóide topológico livre gerado por X, tal espaço é conhecido como produto reduzido de James, o qual foi inicialmente apresentado em [7]. Um dos pilares que nos permitirá alcançar o objetivo acima citado é a construção do espaço de laços de Moore apresentada no Capítulo 2. Em tal capítulo trataremos do espaço de funções, o qual possui uma topologia adequada para o nosso trabalho, a topologia compacto-aberta, posteriormente apresentaremos alguns conceitos, tais como categorias, funtores, suspensão, cones, colimite, H-espaços, e nalmente o conceito de Espaço de Laços. Mostraremos que este espaço é um H-grupo, porém a estrutura de H-grupo não é suciente para chegarmos ao nosso objetivo. Para tanto, construiremos o espaço de laços de Moore e mostraremos que tal espaço é um monóide topológico que tem o mesmo tipo de homotopia que o espaço de laços. No terceiro capítulo mostraremos a existência de um monóide livre gerado por um conjunto qualquer, e mais, deniremos também o que vem a ser o produto reduzido de James, que na realidade é o monóide topológico livre gerado por um espaço topológico de Hausdor, para colocarmos a topologia adequada em tal monóide, utilizaremos fortemente a topologia compactamente gerada. Por m, no quarto capítulo obteremos o resultado-objetivo que desejamos. Os principais textos utilizados para a atingir tais metas são [2], [5], e [7]. 8 Capítulo 1 Pré-requisitos Neste capítulo resumimos o material que utilizaremos nos capítulos seguintes. Omitiremos as provas dos resultados, e também supomos que os leitores deste trabalho tenham algum conhecimento sobre teoria de homologia e teoria de homotopia. 1.1 Produto Tensorial Consideramos R um anel comutativo com elemento identidade. Denição 1.1 Sejam M1 , M2 , . . . Mk R-módulos. O produto tensorial de M1 , M2 , . . . Mk é um R-módulo M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk que satisfaz as seguintes propriedades: (1) Existe uma aplicação k-linear φ : M1 × M2 × . . . × Mk −→ M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk (2) Dados um R-módulo N e uma aplicação k-linear f : M1 × M2 × . . . × Mk −→ N, existe um único R-homomorsmo h : M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk −→ N tal que f = h ◦ φ, de outra maneira, o diagrama 9 10 6/ N mmm m m mmm mmmf m m m M1 ⊗ M2 ⊗O . . . ⊗ Mk φ h M1 × M2 × . . . × Mk pode ser completado comutativamente, quaisquer que sejam N e f . Observação 1φ(m1 , m2 , . . . mk ) quer por i ∈ {1, 2, . . . k}, Dado (m1 , m2 , . . . , mk ) ∈ M1 × M2 × . . . × Mk , m1 ⊗ m2 ⊗ . . . ⊗ mk , dados r∈R e e como φ denotamos é k-linear temos que, para qual- mi , ni ∈ Mi , m1 ⊗ . . . ⊗ (mi + ni ) ⊗ . . . ⊗ mk = m1 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ . . . ⊗ mk + m1 ⊗ . . . ⊗ ni ⊗ . . . ⊗ mk m1 ⊗ . . . ⊗ rmi ⊗ . . . ⊗ mk = r(m1 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ . . . ⊗ mk ) Observação 2- Dados R-módulos M1 , M2 , . . . Mk , sempre existe o produto tensorial M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk e quaisquer dois R-módulos satisfazendo (1) e (2) da denição anterior são isomorfos. Observação 3- A imagem de φ forma um conjunto gerador de M1 ⊗M2 ⊗. . .⊗Mk , M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk ou seja, todo elemento de m1 ⊗ m2 ⊗ . . . ⊗ mk com é uma soma nita de elementos da forma mj ∈ Mj , j = 1, 2, . . . k . A seguir listamos uma série de propriedades do Produto Tensorial de R-módulos. T 1- Sejam Mi , M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk com i = 1, 2, . . . , k , R-módulos também é um R-módulo livres com base livre e possui {b1 ⊗ b2 ⊗ . . . ⊗ bk : bi ∈ Bi } como uma base, logo, dim M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk = Bi . o Qk Então conjunto i=1 dim Mi . T 2- Temos os seguintes isomorsmos entre R-módulos (1) (M1 ⊗ M2 ) ⊗ M3 ∼ = M1 ⊗ (M2 ⊗ M3 ); (2) M1 ⊗ M2 ∼ = M2 ⊗ M1 ; (3) (M1 ⊕ M2 ) ⊗ N ∼ = (M1 ⊗ N ) ⊕ (M2 ⊗ N ); (4) N ⊗ (M1 ⊕ M2 ) ∼ = (N ⊗ M1 ) ⊕ (N ⊗ M2 ); (5) M ⊗R∼ = M; (6) R⊗M ∼ = M. T 3- Sejam M1 , M2 , M10 , M20 R-módulos e fi : Mi −→ Mi0 R-homomorsmos, para i = 1, 2. 11 A aplicação 0 0 g : M1 ×M2 −→ M1 ⊗M2 , denida por g(m1 , m2 ) = f1 (m1 )⊗f2 (m2 ), é bilinear, logo dá origem a um único R-homomorsmo 0 0 f1 ⊗ f2 : M1 ⊗ M2 −→ M1 ⊗ M2 , tal que (f1 ⊗ f2 )(m1 ⊗ m2 ) = f (m1 ) ⊗ f (m2 ). Observamos que, se disso, se cada fi fi é sobrejetora, então é isomorsmo, então f1 ⊗ f2 f1 ⊗ f2 também é sobrejetora. Além é isomorsmo, sendo (f1 ⊗ f2 )−1 = f1−1 ⊗ f2−1 . T 4- Dados R-homomorsmos fi : Mi −→ Mi0 e gi : Mi00 −→ Mi , para i = 1, 2, tem-se que (f1 ⊗ f2 ) ◦ (g1 ⊗ g2 ) = (f1 ◦ g1 ) ⊗ (f2 ◦ g2 ) As demonstrações dos resultados acima, bem como uma exposição clara sobre produto tensorial e suas principais propriedades podem ser encontradas em [6]. 1.2 Álgebras Seja R um anel comutativo com elemento identidade 1R . Denição 1.2 Uma R-álgebra é um R-módulo (A, +, ) munido de uma multiplicação · : A × A −→ A que, para a, b, c ∈ A e r ∈ R, satisfaz: (1) a · (b · c) = (a · b) · c (associatividade); (2) ∃ 1A ∈ A tal que a · 1A = 1A · a = a; (3) a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c; (4) r (a · b) = (r a) · b = a · (r b). Representaremos a R-álgebra A A, for uma R-álgebra, e para quaisquer R-álgebra comutativa. da denição anterior, por a, b ∈ A, a · b = b · a, (A, ·, , +). então diremos que Ainda, se A é uma 12 R-álgebra nos garante que (A, +, ·) Observamos que, (1), (2) e (3) na denição de é um anel com elemento identidade. e (B, ·, , +) são é um homomorsmo de R-álgebras se Se (A, ·, , +) f f (a + b) = f (a) + f (b), ∀ a, b ∈ A; (2) f (a · b) = f (a) · f (b), ∀ a, b ∈ A; (3) f (r a) = r f (a), ∀ a ∈ A R-álgebras f dizemos que a aplicação f : A −→ B satisfaz: (1) Dizemos que de R-álgebras, e ∀ r ∈ R. é um isomorsmo de R-álgebras se f é um homomorsmo bijetor . Na denição de R-álgebra, a propriedade (3) nos garante que uma aplicação bilinear, e assim, existe uma aplicação · : A × A −→ A é R-linear µ : A ⊗ A −→ A que torna o diagrama abaixo comutativo. A ⊗O A G GG µ GG GG GG # · / A. A×A φ A associatividade da multiplicação · do anel A implica na comutatividade do diagrama A⊗A⊗A 1A ⊗µ (A, ·, , +) / A⊗A µ A⊗A Se µ⊗1A µ / A é uma R-álgebra, podemos denir η : R −→ A r A aplicação η 7−→ η(r) = r 1A . é um homomorsmo de chamado homomorsmo estrutural de R-álgebras A. ( para maiores detalhes, veja [6] ), 13 Haja visto que A é um anel com elemento identidade, o diagrama 9 A eK ss O KKKK ∼ KK=K µ KKK /A⊗Ao A⊗R s ∼ = sss ss sss R⊗A η⊗1A 1A ⊗η comuta. Os três últimos diagramas caracterizam completamente a estrutura da R-álgebra, ou seja, temos o seguinte Teorema: Teorema 1.1 Sejam R um anel comutativo com elemento identidade 1R e A um R-módulo, então A tem estrutura de R-álgebra se, e somente se, existem aplicações lineares µ : A ⊗ A −→ A e η : R −→ A que tornam os últimos três diagramas comutativos. Prova: Ver [6]. Denição 1.3 Sejam (A, ·, +, ) uma R-álgebra e {An }n∈Z uma família de R-submódulos de A indexada pelos inteiros. A família {An }n∈Z constitui uma graduação em A se (i) A = M An ; n∈Z (ii) ar ∈ Ar e as ∈ As , então ar · as ∈ Ar+s . Uma R-álgebra com tal graduação é chamada uma R-álgebra graduada. O elemento x de A tem grau n, gr(x) = n, se x ∈ An . Se A é uma R-álgebra graduada, como acima, então (i) e (ii) implicam que 1A ∈ A0 . Sejam A e B R-álgebras graduadas; uma aplicação smo de R-álgebras graduadas se f ou seja, f (An ) ⊂ Bn , ∀ n. R-álgebras é um homomorsmo de Se ainda f f : A −→ B é um homomor- R-álgebras que preserva grau, for bijetora, diremos que f é um isomorsmo de graduadas. Exemplo 1- R n ∈ Z∗ = Z − {0}. é uma R-álgebra graduada, onde R0 = R e Rn = {0} para 14 Exemplo 2- Se V é um espaço vetorial graduado, isto é, V = M Vi , então i∈Z T (V ) = M T (n) (V ) é uma R-álgebra, sendo n∈Z T (n) (V ) = e para {z. . . ⊗ V}, se n ≥ 1 |V ⊗ V ⊗ n vezes R, {0}, se n = 0 se n < 0, u = u1 ⊗u2 ⊗. . .⊗um , v = v1 ⊗v2 ⊗. . .⊗vn ∈ T (V ), uv = u1 ⊗. . .⊗um ⊗v1 ⊗. . .⊗vn . Além disso, verica-se que T (V ) é uma R-álgebra graduada, com a seguinte estrutura graduada: Se v = v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ vn ∈ T (V ), então gr(v) = n X gr(vi ). A R-álgebra graduada i=1 T (V ) é chamada Álgebra Tensorial. Teorema 1.2 Se V é um espaço vetorial e A é uma R-álgebra graduada, sendo λ : V −→ A uma aplicação linear graduada, então existe um único homomorsmo de R-álgebras graduadas Λ : T (V ) −→ A tal que Λ|V = λ. Prova: Λ : T (v) −→ A por ! k k X X Λ v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ vi := λ(v1 ) · λ(v2 ) · . . . · λ(vn ) com k ≥ 1. Basta denirmos i=1 i=1 Consideremos e A∗ = ∞ M Ai uma V∗ um espaço vetorial graduado sobre um corpo F -álgebra graduada, com A0 = F . F, com V0 = {0}, Suponhamos ainda, que i=0 i : V∗ −→ A∗ = ∞ M Ai ⊂ A∗ i=1 seja uma aplicação entre espaços vetoriais graduados, então, pelo Teorema 1.2, existe um único homomorsmo de F -álgebras graduadas bi : T (V∗ ) −→ A∗ , tal que é um bi|V∗ = i. Finalizamos esta seção com um Teorema que nos diz em que condições F -isomorsmo. bi 15 ∞ M Teorema 1.3 Sejam A∗ = Ai uma F -álgebra graduada com A0 = F sendo um corpo, i=0 e com multiplicação · : A∗ × A∗ −→ A∗ , V∗ um espaço vetorial graduado sobre F com V0 = {0}, e A∗ = ∞ M Ai . Seja ainda i : V∗ −→ A∗ um homomorsmo entre espaços i=1 vetoriais graduados. Se a aplicação multiplicação µ : V∗ ⊗ A∗ −→ A∗ , denida por ! µ X v j ⊗ aj = X j i(vj ) · aj é isomorsmo de espaços vetoriais graduados, então bi : j T (V∗ ) −→ A∗ é um isomorsmo de álgebras graduadas. Prova: Necessitamos apenas provar que Sabemos que indução que bin Para bi(T (n) (V∗ )) ⊂ An , T (n) (V∗ ) é sobrejeção de n = 0, bi é n > 0, ibn : T (n) (V∗ ) −→ An a ∈ An , denotemos então em bin = bi|T (n) (V ) , ∗ e provemos por An . é dada por bi(r) = r e bijeção. Suponhamos que para todo Seja bijeção. bi : T (0) (V∗ ) = F −→ A0 = F temos que claramente segue que bi é como k < n, ibk seja uma sobrejeção, e mostremos que, para é sobrejeção. n > 0, a ∈ A∗ . Mas por hipótese, µ é um isomorsmo X existe vj ⊗ aj ∈ V∗ ⊗ A∗ tal que ou seja, de espaços vetoriais graduados, logo j ! X a=µ vj ⊗ aj = X i(vj ) · aj , j j ! com vj ∈ V∗ e aj ∈ An(j) . Como gr X i(vj ) · aj = n e Im (i) ⊂ A∗ , segue que j n(j) < n, logo pela nossa hipótese de indução, existe αj ∈ T (n(j)) (V ) tal que i(αj ) = aj . Deste modo, ! a= X i(vj ) · i(αj ) = bi j X vj ⊗ αj , j de onde segue a sobrejetividade de ibn . bi. l X Mostremos, agora, a injetividade de Seja {vj }j∈J uma base de V∗ , e x = αj vij1 ⊗ . . . ⊗ vijk ∈ T (V∗ ) tal que bi(x) = 0. j j=1 Logo l X αj i(vij1 ) · i(vij2 ) · . . . · i(vijk ) = 0. j j=1 (1) 16 Pode ser mostrado (por indução sobre k) que o conjunto {i(vi1 ) · i(vi2 ) · . . . · i(vik ) ∈ A∗ : vit ∈ {vj }j∈J , para t = 1, 2, . . . k, e k ∈ N} é linearmente independente, de onde segue por assim 1.3 x = 0. Portanto bi é (1) que αj = 0, para j = 1, 2, . . . , l, e injetora. Pré-requisitos Homotópicos Neste trabalho estamos supondo que os leitores tenham um certo conhecimento sobre os grupos de homotopia, e de homotopia relativa, a saber, respectivamente, bem como sobre suas propriedades, sendo um subespaço de X. X πn (X), e πn (X, A), um espaço topológico e A Nesta seção deniremos algumas relações e propriedades dos grupos de homotopia. Para um melhor esclarecimento do que trataremos, veja [5] ou [13]. Lembremos que para um espaço X com ponto base x0 , πn (X, x0 ) = [(S n , sn ), (X, x0 )] denota o conjunto das classes de homotopia relativa de funções onde sn = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1 Já para a terna e x0 ∈ A, temos que e f : (S n , sn ) −→ (X, x0 ), n ≥ 1. (X, A, x0 ), sendo X um espaço topológico, πn (X, A, x0 ) = [(Dn , S n−1 , sn−1 ), (X, A, x0 )] classes de homotopia relativa de funções A⊂X um subespaço, denota o conjunto das f : (Dn , S n−1 , sn ) −→ (X, A, x0 ), para n ≥ 2. Denição 1.4 Seja A ⊂ X . Uma retração de X sobre A é uma aplicação contínua r : X −→ A tal que a restrição r|A : A −→ A é a identidade em A. Se existir uma tal retração, diremos que A é um retrato de X . A é chamado retrato por deformação (no sentido fraco) de X , se A é retrato de X e i ◦ r ' 1X , onde r : X −→ A é uma retração e i : A −→ X é a inclusão. Deniremos agora, retrato por deformação no sentido forte. 17 Denição 1.5 Sejam X um espaço topológico, A um subespaço de X , e i : A −→ X a inclusão natural. Dizemos que A é um retrato por deformação forte de X , se existe aplicação contínua r : X −→ A tal que r ◦ i = 1A e i ◦ r ' 1X rel A, ou seja, existe uma aplicação contínua F : X × I −→ X satisfazendo, (1) F (x, 0) = x, ∀ x ∈ X; (2) F (x, 1) ∈ A, ∀ x ∈ A; (3) F (a, t) = a, ∀ a ∈ A e ∀ t ∈ I. É imediato vericar que, se então A é retrato por deformação (no sentido forte ou fraco), A ' X. Um teorema na teoria de homotopia que vale à pena ressaltarmos é o da existência da sequência exata do par. Uma demonstração de tal teorema se encontra em [10]. Teorema 1.4 Se (X, A) é um par de espaços topológicos, então existe uma sequência exata π(d)n+1 . . . πn+1 (A) −→ πn+1 (X) −→ πn+1 (X, A) −→ πn (A) −→ πn (X) −→ . . . π(d)1 . . . −→ π1 (A) −→ π1 (X) −→ π1 (X, A) −→ π0 (A) −→ π0 (X), sendo que π(d)n+1 : πn+1 (X, A) −→ πn (A) é dada por π(d)n+1 ([α]) = [α|S n ], enquanto as outras aplicações são induzidas pelas inclusões. Se X Y e sendo o conjunto τ = {A ⊂ X G são espaços topológicos, denimos a união disjunta de X F Y := (X × {0}) ∪ (Y × {1}) Y : A∩(X ×{0}) e A∩(Y ×{1}) são Observamos que X × {0} e Y × {1} X e Y como munido da topologia abertos em são abertos e fechados em X ×{0} e Y ×{1}, resp.}. X ×Y. Denição 1.6 Dados espaços topológicos com pontos bases, (X, x0 ) e (Y, y0 ), denimos a soma wedge X ∨ Y como sendo o quociente da união disjunta X F Y obtido pela iden- ticação de x0 e y0 em um único ponto. Mais geralmente, podemos formar a soma wedge 18 Xα para uma família de espaços topológicos com ponto base {(Xα , xα ) : α ∈ J}, onde J G é um conjunto de índices, como sendo o quociente da união disjunta Xα , identicando _ α α os pontos xα em um único ponto. Exemplo 1- O espaço S 1 ∨ S 1 é homeomorfo à gura oito. Denição 1.7 Sejam X , Y espaços topológicos, e f : X −→ Y uma aplicação contínua. Tomemos, agora, a união disjunta (X × I) Y . Neste espaço, consideremos a relação F de equivalência ∼ gerada pela identicação (x, t) ∼ y, se y = f (x) e t = 1. O cilindro induzido por f , denotado por If , é o espaço quociente [(X × I) Y ]/ ∼. F Denotaremos a classe de denição de (x, t), em If por [x, t], e a classe de y por [y] (pela ∼, [x, 1] = [f (x)]). Notamos que F : If × I −→ If Y é um retrato por deformação de If . De fato, basta denirmos por F ([x, t], s) = [x, (1 − s)t + s], F ([y], s) = [y], se se x ∈ X, t, s ∈ I; y ∈ Y, s ∈ I. Denição 1.8 No espaço X ×Y , X ×{y0 }, e {x0 }×Y são homeomorfos, respectivamente a X e Y , além disso, X × {y0 } ∩ {x0 } × Y = {(x0 , y0 )}, sendo assim, podemos identicar X × {y0 } ∪ {x0 } × Y com a soma wedge X ∨ Y . O produto smash X ∧ Y é então denido como o espaço quociente X × Y / (X × {y0 } ∪ {x0 } × Y ). Finalizamos nossos pré-requisitos homotópicos com o conceito de equivalência de homotopia fraca. No transcorrer do trabalho, veremos uma série de resultados interessantes sobre equivalência de homotopia fraca. Denição 1.9 Uma aplicação contínua f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) é equivalência de homotopia fraca se πn (f ) : πn (X, x0 ) −→ πn (Y, y0 ), dada por πn ([γ]) = [f ◦ γ], para [γ] ∈ πn (X, x0 ), é um isomorsmo para todo n. 19 1.4 Pré-requisitos Homológicos Nesta seção pressupomos que o leitor tenha um certo conhecimento sobre ho- mologia e suas propriedades. Os resultados e denições apresentados se encontram em [10]. Inicialmente, enunciaremos teoremas que dão a existência de sequências exatas em homologia singular. Teorema 1.5 Sejam X um espaço topológico e A um subespaço de X , então existe um homomorsmo H(d)n , de Hn (X, A) em Hn−1 (A) tal que a sequência Hn (i) Hn (j) H(d)n Hn−1 (i) . . . −→ Hn (A) −→ Hn (X) −→ Hn (X, A) −→ Hn−1 (A) −→ . . . −→ H0 (X, A) −→ 0 é exata. Prova: Veja [10]. Teorema 1.6 Seja X um espaço topológico, tal que X = A ∪ B , sendo A e B abertos de X , com a propriedade de que A ∩ B 6= ∅. Então existe homomorsmo ∂n : Hn (X) −→ Hn−1 (A ∩ B) tal que a sequência, chamada de Mayer-Vietoris, a b ∂ n n n . . . Hn (A ∩ B) −→ Hn (A) ⊕ Hn (B) −→ Hn (X) −→ Hn−1 (A ∩ B) −→ . . . −→ H0 (X), é exata, onde an = (Hn (i1 ), −Hn (i2 )) e bn = Hn (k1 ) + Hn (k2 ), sendo i1 : A ∩ B −→ A, i2 : A ∩ B −→ B , k1 : A −→ X e k2 : B −→ X as inclusões apropriadas. Prova: Veja [5]. A partir de agora listaremos alguns conceitos preliminares com o intuito de enunciar e compreender o Teorema de Kunneth, bem como, descrever algumas consequências deste Teorema. 20 Denição 1.10 Uma resolução livre de um R-módulo M é uma sequência exata ∂ ∂ ε n 1 Fn−1 −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ M −→ 0, . . . −→ Fn −→ na qual cada Fn é um R-módulo livre. Dado um conjunto arbitrário A e um anel comutativo com elemento identidade R, denimos F (A) como sendo o conjunto de todas as somas formais X ra a, onde ra ∈ R, a∈A e ra = 0 exceto para um número nito de índices a ∈ A. Considerando as operações de adição e multiplicação dadas em ! X ra a F (A) por ! + a∈A X sa a := a∈A X (ra + sa )a, a∈A ! r X ra a := a∈A F (A) mos (rra )a, a∈A torna-se um R-módulo livre, com base A, chamado R-módulo livre gerado por Observamos que qualquer R-módulo A possui uma resolução livre: basta tomar- F0 = F (A), ε : F (A) −→ A F1 = F (Ker ε), ∂1 : F1 −→ F0 e, em geral, Ker ∂n−1 de X sendo o homomorsmo que restrito a sendo o homomorsmo que restrito a Fn = F (Ker ∂n−1 ), ∂n : Fn −→ Fn−1 A A. é a identidade, Ker ε é a inclusão sendo o homomorsmo que restrito a é a inclusão. A resolução assim construída é chamada resolução livre canônica A. Se R é um domínio principal, então todo submódulo de um módulo livre é livre e deste modo a sequência ∂ ε 1 0 −→ F1 −→ F0 −→ A −→ 0 é uma resolução livre de A, com F0 = F (A) Tensorizando a sequência acima por e F1 = Ker ε. B, obtemos a sequência exata ∂ ⊗1 1 B F1 ⊗ B −→ F0 ⊗ B −→ A ⊗ B −→ 0. Denição 1.11 Se A e B são R-módulos, onde R é um domínio principal, então denimos T or(A, B), também denotado por A ∗ B , como sendo Ker (∂1 ⊗ 1B ). 21 Teorema 1.7 Sejam A e B R-módulos. Se A ou B é livre, então A ∗ B = 0. Prova: Ver [5]. O próximo teorema a ser enunciado é conhecido como Teorema dos Coecientes Universais. Teorema 1.8 Seja R um domínio de ideais principais. Sejam ainda X um espaço topológico e G um R-módulo. Então existe uma sequência exata 0 −→ Hn (X; R) ⊗ G −→ Hn (X; G) −→ Hn−1 (X; R) ∗ G −→ 0 que se fatora. Prova: Ver [5]. Corolário 1.1 Uma aplicação contínua f : X −→ Y induz isomorsmos em homologia com coecientes em Z se, e somente se, f induz isomorsmos em homologia com coecientes em Q e Zp , para todo primo p. Prova: Ver [5]. Teorema 1.9 Seja R um domínio de ideais principais. Sejam ainda X e Y espaços topológicos, G e G0 R-módulos tais que G ∗ G0 = 0, então existe uma sequência exata 0 × 0 0 0 −→ [H∗ (X; G)⊗H∗ (Y ; G )]n −→ Hn (X×Y ; G⊗G ) −→ [H∗ (X; G)∗H∗ (Y ; G )]n−1 −→ 0 que se fatora, onde [H∗ (X; G) ⊗ H∗ (Y, G0 )]n = M p+q=n 0 [H∗ (X; G) ∗ H∗ (Y ; G )]n−1 = M p+q=n−1 Hp (X; G) ∗ Hq (Y ; G ). 0 Hp (X; G) ⊗ Hq (Y ; G ) e 0 22 Prova: Ver [5]. O monomorsmo × é chamado produto cross em homologia, e o teorema acima é conhecido como Teorema de Kunneth para homologia singular. Se Hi (X) = Hi (X; R) e Hj (X) = Hj (X; R), H∗ (X) = M então denotamos: Hi (X) e i≥0 H∗ (X) ⊗ H∗ (Y ) = M [H∗ (X) ⊗ H∗ (Y )]n . n≥0 Corolário 1.2 Consideremos as hipóteses do Teorema anterior satisfeitas, porém sendo R um corpo. Então H∗ (X) ⊗ H∗ (Y ) ∼ = H∗ (X × Y ). Prova: Visto que R é um corpo, pelo Teorema 1.7, H∗ (X; R) ∗ H∗ (Y ; R) = {0}, agora, pela exatidão da sequência do Teorema acima, segue o resultado desejado. Denição 1.12 Um monóide é um conjunto não vazio M , munido de uma operação binária · : M × M −→ M associativa que admite elemento neutro bilateral, ou seja: (1) (m1 · m2 ) · m3 = m1 · (m2 · m3 ), ∀ m1 , m2 , m3 ∈ M ; (2) ∃ e ∈ M tal que m · e = e · m = m, ∀ m ∈ M. Se M é um espaço topológico e (M, ·) é um monóide, dizemos que (M, ·) é um monóide topológico se a operação binária · : M × M −→ M é contínua. Um homomorsmo entre monóides topológicos M e N é uma função contínua f : M −→ N que satisfaz f (m · n) = f (m) · f (n), ∀ m, n ∈ M . Nesta última igualdade, na primeira sentença, · representa a multiplicação em M , e na segunda sentença, · representa a multiplicação em N . Dizemos que um homomorsmo de monóides f é um isomorsmo se f é bijetora e sua inversa f −1 seja contínua. 23 Seja F um corpo, µ : M × M −→ M . Então, e M um monóide H∗ (M ) = H∗ (M ; F ) topológico é uma com F -álgebra multiplicação graduada (para maiores detalhes, veja [5]), sendo × H∗ (µ) P (µ) : H∗ (M ) ⊗ H∗ (M ) ∼ = H∗ (M × M ) −→ H∗ (M ) a aplicação conhecida como o produto de Pontryagin. Denimos homologia e n (X) = Hn (X, x0 ), H onde x0 reduzida de é um ponto de um espaço topológico X como sendo X. A seguir, citamos algumas propriedades de homologia reduzida que nos interessarão. As justicativas de tais propriedades se encontram em [5]. HR 1- Se X é conexo por caminhos, então e 0 (X) ∼ H = {0}. e 0 (X) ⊕ R e H e n (X) ∼ HR 2- H0 (X) ∼ =H = Hn (X), para n ≥ 1. HR 3- Se X e Y são espaços conexos por caminhos, então e ∗ (X × Y ) ∼ e ∗ (X) ⊗ H∗ (Y )] ⊕ H e ∗ (Y ). H = [H Mais ainda, em homologia reduzida, temos um Teorema de Kunneth análogo ao anterior, a saber, se 0 −→ R é um anel comutativo com elemento identidade, então a sequência n M e i (X; R) ⊗ H e n−i (Y ; R)] −→ H e n (X ∧ Y ; R) −→ Tn−1 −→ 0 [H i=0 é exata, sendo Tn−1 = n−1 M e i (X; R), H e n−i−1 (Y ; R)) e X ∧Y T or(H o produto smash denido i=0 na seção anterior. Como a sequência acima é exata, e ∗ (X) = H M e i (X), H segue que se R é um corpo, e ∗ (X) ⊗ H e ∗ (Y ) ∼ e ∗ (X ∧ Y ), H = H então, sabendo que e utilizando indução, i≥0 vemos que e ∗ (X ∧ X ∧ . . . ∧ X ) ∼ H {z } = | n vezes 1.5 n O e ∗ (X). H i=1 Espaços Compactamente Gerados Denição 1.13 Um espaço topológico X é compactamente gerado se, e somente se, X é um espaço de Hausdor, e cada subconjunto A de X com a propriedade de que A ∩ C é fechado para qualquer subconjunto compacto C de X , é um fechado. 24 Todo espaço de Hausdor localmente compacto é compactamente gerado, bem como qualquer espaço metrizável. Se espaço X k(X) subconjunto é um espaço de Hausdor, o espaço compactamente gerado associado é o denido da seguinte maneira: A de X é fechado em qualquer subconjunto compacto C k(X) de k(X) X e coincidem como conjuntos, e um se, e somente se, A∩C é fechado em X, para X. A seguir, listaremos uma série de resultados e propriedades que envolvem espaços compactamente gerados (c.f. [12]). CG 1- Se X é um espaço de Hausdor, então CG 2- Se X é compactamente gerado, então k(X) é compactamente gerado. k(X) = X . CG 3- Se X é espaço de Hausdor, então X e k(X) têm os mesmos subconjuntos compactos. CG 4- Se f : X −→ Y é uma função, sendo X e Y espaços de Hausdor, então k(f ) : k(X) −→ k(Y ) dada pela mesma expressão de f , porém considerando os conjuntos X e Y com a topologia copactamente gerada, é contínua se, e somente se, é contínua, para qualquer conjunto compacto Sejam A X f |C : C −→ Y C ⊂ X. um espaço compactamente gerado, e A um subconjunto de X . não é compactamente gerado, quando consideramos a topologia induzida de Sendo assim, denimos subespaço de topologia de X subespaço de X. em A X Em geral, X em A. da seguinte maneira: Inicialmente induzimos a e posteriormente consideramos k(A). O espaço k(A) é chamado Denição 1.14 A aplicação f : X −→ Y é uma proclusão (ou aplicação quociente) se, e somente se, f é sobrejetora, e um subconjunto U de Y é aberto se, e somente se, f −1 (U ) é aberto em X . CG 5- Se X é compactamente gerado, Y é uma proclusão, então CG 6- Se Y é um espaço de Hausdor, e p : X −→ Y é compactamente gerado. f : X −→ X 0 e g : Y −→ Y espaços compactamente gerados, então 0 são proclusões, sendo 0 f × g : X × Y −→ X × Y 0 0 X, Y, X , Y 0 também é proclusão. 25 Denição 1.15 Seja X um espaço compactamente gerado e seja A um subespaço de X . Então (X, A) é um par-NDR se, e somente se, existem aplicações contínuas u : X −→ I , h : I × X −→ X , tais que (1) A = u−1 (0); (2) h(0, x) = x para todo x ∈ X ; (3) h(t, x) = x para todo t ∈ I , x ∈ A; (4) h(1, x) ∈ A para todo x ∈ X tal que u(x) < 1. Dizemos que o par (u, h) representa (X, A) como um par-NDR. CG 7- Se X é compactamente gerado e se A é fechado em X, as seguintes condições são equivalentes: (1) (X, A) é um par-NDR; (2) (X, A) tem a propriedade de extensão de homotopia, com relação a espaços arbitrários. CG 8- Se (X, A) e (Y, B) são pares-NDR, então (X, A) × (Y, B) = (X × Y, X × B ∪ A × Y ) é um par-NDR. Denição 1.16 Uma aplicação contínua f : (X, A) −→ (Y, B) é um homeomorsmo relativo se, e somente se, f : X −→ Y é proclusão, e f |X−A : X − A −→ Y − B é um homeomorsmo. CG 9- Sejam (X, A) um par-NDR e f : (X, A) −→ (Y, B) um homeomorsmo relativo. Então (Y, B) é um par-NDR. CG 10- Se f : X −→ Y sendo If o cilindro induzido por é contínua, sendo f , (If , X) X e Y compactamente gerados, então, é um par-NDR. Finalizamos esta seção com o conceito de Espaços Filtrados e algumas de suas propriedades. Denição 1.17 Seja X um conjunto coberto por subconjuntos Aj , com j ∈ J , sendo J uma família de índices, ou seja, X = [ j∈J Aj . Se 26 (1) cada Aj é espaço topológico; (2) para cada i, j ∈ J , a topologia de Ai ∩ Aj como subconjunto de Ai e de Aj coincidem; (3) para cada i, j ∈ J , a intersecção Ai ∩ Aj é fechada em Ai e Aj . Então a topologia fraca de X determinada por {Aj : j ∈ J} é a topologia cujos fechados são os subconjuntos F de X tais que F ∩ Aj é fechado em Aj , para cada j ∈ J . A família {Aj : j ∈ J} é chamada família coerente sobre X . Quando em X, X tem a topologia fraca determinada por além disso, cada Exemplo 1união disjunta G Xj Aj visto como subespaço de X {Aj : j ∈ J}, cada Aj é fechado retém sua topologia original. Dada uma família de espaços topológicos {Xj : j ∈ J}, tem a topologia fraca determinada pela família então a {Xj : j ∈ J}. j∈J Teorema 1.10 Se X tem a topologia fraca determinada por {Aj : j ∈ J}, então, para qualquer espaço topológico Y , uma função f : X −→ Y é contínua se, e somente se, f |Aj é contínua, para todo j ∈ J . Prova: Veja [10]. Para uma família de espaços topológicos {Xj : j ∈ J}, um espaço topológico Y e {fj : Xj −→ Y : j ∈ J}, vemos, pelo teorema anterior, G fj : j∈J Xj −→ Y , denida por f (x) = fj (x), se x ∈ Xj , é uma família de funções contínuas que a aplicação f := G j∈J contínua. Seja X um espaço de Hausdor. Então X é compactamente gerado se, e somente se, ele tem a topologia fraca determinada pela coleção de todos subconjuntos compactos de X. CG 11- Se a família {Aα : α ∈ J} é coerente sobre X , sendo cada Aα um espaço compactamente gerado, e se compactamente gerado. X é um espaço de Hausdor (na topologia fraca), então X é 27 Denição 1.18 Para cada n ∈ N, seja Xn um espaço topológico. Dizemos que a sequência {Xn : n ∈ N} é expandida, se Xn é um subespaço fechado de Xn+1 , para todo natural n. Neste caso, a família {Xn : n ∈ N} é coerente sobre X = ∞ [ Xn . Quando X for n=0 um espaço de Hausdor munido com a topologia fraca determinada pela família acima, diremos que X é ltrado pela sequência {Xn }. CG 12- Seja X expandida em Xn , {Xn }. Então qualquer subconjunto compacto para algum gerado, e {Xn }. (X, Xn ) C de X está inteiramente contido n. CG 13- Seja X espandida um espaço tendo a topologia fraca determinada pela sequência um espaço tendo a topologia fraca determinada pela sequência (Xn+1 , Xn ) Se é um par-NDR para todo é um par-NDR, para todo CG 14- Sejam X , Y respectivamente. Então n, então X é compactamente n. espaços compactamente gerados, ltrados por X ×Y é ltrado por Zn = n [ {Zn }, {Xn }, {Yn }, onde Xi × Yn−i . i=0 Dizemos que par-NDR para todo CG 15- Zn = n [ é ltrado sob uma ltração NDR {Xn } se (Xn+1 , Xn ) é um n. Se Xi × Yn−i , X {Xn } então e {Yn } {Zn } são ltrações NDR de é ltração NDR de X e Y, respectivamente, e X ×Y. i=0 1.6 Complexos CW Denição 1.19 Uma n-célula en é uma cópia homeomórca do n-disco aberto Dn −S n−1 . Já uma n-célula fechada é uma cópia homeomórca do n-disco fechado Dn . Denição 1.20 Sejam X um espaço topológico, e E uma família de n-células (podendo n variar). Se X = [ como sendo e∈E {e}, então, para cada k ≥ 0, o k-esqueleto X (k) de X é denido X (k) = [ {en ∈ E : n ≤ k} 28 Observamos que X (0) ⊂ X (1) ⊂ . . . ⊂ . . . e X= [ X (k) . k≥0 Denição 1.21 Um complexo CW é uma terna (X, E, Φ), onde X é um espaço de Hausdor, E é uma família de células em X , e Φ = {φe : e ∈ E} é uma família de aplicações, tais que: (1) X = S {e : e ∈ E} (união disjunta); (2) para cada n-célula e ∈ E , a aplicação φe : (Dn , S n−1 ) −→ (e ∪ X (n−1) , X (n−1) ) é um homeomorsmo relativo; (3) se e ∈ E , então seu fecho, e, está contido numa união nita de células em E ; (4) X tem a topologia fraca determinada por {e : e ∈ E}. Se (X, E, Φ) é um complexo CW, então chamada uma decomposição CW de X é chamado de espaço CW, (E, Φ) é X , e φe ∈ Φ é chamada aplicação característica de e. A partir deste momento apresentaremos uma série de propriedades de complexos CW, e algumas consequências de tais propriedades, e na medida que listamos tais propriedades, daremos algumas denições que envolvem a teoria de complexos CW. CW 0- Uma reunião (intersecção) qualquer de complexos CW, ainda é um complexo CW. CW 1- Se X é um complexo CW, então X (n) CW 2- Se X é um complexo CW, então X CW 3- Sejam X um complexo CW e Y f : X −→ Y é contínua se, e somente se, f |en também é um complexo CW. é compactamente gerado. um espaço topológico. Então a aplicação é contínua, para cada n-célula en . CW 4- Seja X um complexo CW. Então X é conexo se, e somente se, X é conexo por caminhos. Um complexo CW (X, E, Φ) é nito, se E é um conjunto nito. Temos que um exemplo de complexo CW nito. Denição 1.22 Seja (X, E, Φ) um complexo CW. Se E 0 ⊂ E , denimos 0 |E | = [ 0 {e : e ∈ E } ⊂ X, Sn é 29 e Φ0 = {φe : e ∈ E 0 }. Dizemos que (|E 0 |, E 0 , Φ0 ) é um subcomplexo CW de (X, E, Φ) se Im φe ⊂ |E |, para qualquer e ∈ E . 0 0 Pela denição de k-esqueleto, segue que qualquer k-esqueleto de um complexo CW X é um subcomplexo CW de complexo CW e A X. é um subcomplexo CW de CW 5- Se X (X, A) Dizemos que é um complexo CW e Y X é um X/Y é um é um par-CW se X. é um subcomplexo CW, então complexo CW. Desta última propriedade, decorre que o produto smash de complexos CW é um complexo CW. Utilizando a propriedade CW 0 e a última propriedade citada, verica-se que a soma wedge de complexos CW ainda é um complexo CW. CW 6- Sejam X um complexo CW e Y ⊂ X um subcomplexo CW. Então existe um subconjunto aberto de U em X X um complexo CW, e contendo Y, Y sendo um retrato por deformação forte U. CW 7f : X −→ Y Sejam Y um espaço conexo por caminhos. Se é uma equivalência de homotopia fraca, então CW 8- Sejam Z e Z 0 complexos CW. Se são equivalências de homotopia fraca, e X é conexo por caminhos. f : Z −→ X g : X −→ X 0 e 0 0 f : Z −→ X 0 é uma aplicação contínua, então existe uma única (a menos de homotopia) aplicação contínua h : Z −→ Z 0 que satisfaz 0 g ◦ f ' f ◦ h. Denição 1.23 Sejam X e Y complexos CW, com k-esqueletos X (k) e Y (k) , respectivamente. Dizemos que a aplicação contínua f : X −→ Y é celular se f (X (k) ) ⊂ Y (k) , para todo k. CW 9- Se f : X −→ Y é aplicação celular, então o cilindro induzido por é complexo CW, tendo como subcomplexos CW, CW 10- Se X e Y são complexos CW, e então existe uma aplicação celular g : X −→ Y X e f , If , Y. f : X −→ Y é uma aplicação contínua, f ' g. Este resultado é conhecido tal que como o Teorema de Aproximação Celular. Finalizamos esta seção enunciando o Teorema de Whitehead. 30 Teorema 1.11 Sejam X e Y complexos CW, e suponhamos que f : X −→ Y seja uma equivalência de homotopia fraca. Então f é uma equivalência de homotopia. Para as devidas justicativas dos resultados listados, bem como, uma compreensão mais aprofundada do assunto em questão, veja [5], [10], e [13]. 1.7 Teoremas de Hurewicz Nesta seção, deniremos ação, ação trivial e daremos alguns resultados relaciona- dos, posteriormente enunciaremos os Teoremas de Hurewicz (absoluto e relativo), e por m, utilizando alguns resultados de ações triviais, e os Teoremas de Hurewicz, obteremos novos isomorsmos que nos interessarão. Denição 1.24 Sejam G um grupo e Y um conjunto. Dizemos que G atua sobre Y se existe uma função · : G × Y −→ Y , chamada ação de G em Y , que satisfaz: (1) (g · g0 ) · y = g · (g0 · y), para quaisquer g, g 0 ∈ G e y ∈ Y ; (2) 1G · y = y, ∀ y ∈ Y , sendo 1G o elemento neutro de G. Dizemos que G atua trivialmente sobre Y , ou que a ação de G em Y é trivial, se g · y = y , para quaisquer g ∈ G e y ∈ Y . Observamos que, se bijeção τg : Y −→ Y , atua sobre Y, então cada elemento que em geral, não é isomorsmo, dada por Exemplo 1x0 ∈ A , G Se X é um espaço topológico, então o grupo fundamental π1 (A, x0 ) A ⊂ X atua sobre g∈G determina uma τg (y) = g · y . é um subespaço de πn (X, A, x0 ) (n ≥ 2) X e da seguinte forma: Dados [w] ∈ π1 (A, x0 ) somente se, existe uma para α1 e [α0 ], [α1 ] ∈ πn (X, A, x0 ) w-homotopia é uma aplicação contínua de α0 para α1 , temos que [w] · [α1 ] = [α0 ] sendo que uma H : (Dn × I, S n−1 × I) −→ (X, A) H(q, 0) = α0 (q), ∀ q ∈ Dn , H(q, 1) = α1 (q), ∀ q ∈ Dn e H(sn−1 , t) = w(t), ∀ t ∈ I e sn−1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rn . w-homotopia tal que: se, e de α0 31 Verica-se que a relação α0 e α1 e que a operação w-homotopia [w] · [α1 ] = [α0 ] independe das classes de homotopia de denida acima é uma ação (c.f. [11]). sobre πn (X, x0 ) (n ≥ 1), α1 (α0 , α1 ∈ πn (X, x0 )) é uma homotopia Analogamente podemos denir uma ação de sendo que uma w-homotopia F : S n × I −→ X de α0 sendo o ponto base de para S n. Se de α1 α0 para tal que n = 1, w, π1 (X, x0 ) F (sn , t) = w(t), ∀ t ∈ I , sendo sn = (1, 0, . . . , 0) essa ação é a conjugação, ou seja, π1 (X, x0 ) × π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x0 ) 7−→ [w] · [α1 ] = [w] ∗ [α1 ] ∗ [w]−1 . ([w], [α1 ]) Observamos que, se [w] ∈ π1 (A, x0 ), então a bijeção τ[w] : πn (X, A, x0 ) −→ πn (X, A, x0 ) é na realidade um isomorsmo de grupos (se n ≥ 2). Analogamente τ[w] : πn (X, x0 ) −→ πn (X, x0 ) é isomorsmo ∀ [w] ∈ π1 (X, x0 ) e ∀ n ≥ 1. Denição 1.25 Um espaço X é n-simples, sendo n um inteiro positivo, se a ação de π1 (X, x0 ) em πn (X, x0 ) é trivial. Denimos X como sendo simples se X é n-simples, para todo inteiro positivo n. Denição 1.26 Um espaço topológico com ponto base, (X, x0 ), é n-conexo se πi (X, x0 ) = {0} para todo 0 ≤ i ≤ n. Deste modo, um espaço X é 0-conexo se, e somente se, X é conexo por caminhos. Já o par (X, A) é dito ser n-conexo, quando πi (X, A, x0 ) = 0 para todo i ≤ n. Seja f : X −→ Y uma aplicação contínua, sendo X e Y espaços topológicos. Dizemos que a aplicação f é n-conexa se, e somente se, o par (If , X) é n-conexo. Agora daremos algumas preliminares para enunciarmos os Teoremas de Hurewicz. O homomorsmo de Hurewicz ρX : πn (X, x0 ) −→ Hn (X) ρX ([f ]) = Hn (f )(in ), é dado por 32 onde in é o gerador básico de Hn (S n ), e [f ] ∈ πn (X). Temos também o homomorsmo ρA,B : πn (A, B) −→ Hn (A, B) relativo de Hurewicz, a saber, denido por ρA,B ([α]) = α∗ (e), onde α∗ [α] ∈ πn (A, B), sendo α : (Dn , S n−1 ) −→ (A, B), e o homomorsmo em homologia relativa ( X Sejam Hn (X, A) ) induzido por um espaço topológico com subespaço aplicação contínua, e um gerador de Hn (Dn , S n−1 ) α. A, f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) uma H(d)n : Hn (X, A) −→ Hn−1 (A), π(d)n : πn (X, A) −→ πn−1 (A) homomorsmos das sequências exatas do par (X, A) e os em homologia e homotopia, respec- tivamente. Então os seguintes diagramas comutam: πn (X, A) ρX,A Hn (X, A) π(d)n H(d)n / πn−1 (A) / ρA Hn−1 (A) πn (X) ρX Hn (X) πn (f ) / πn (Y ) Hn (f ) / ρY Hn (Y ). Denição 1.27 Sejam X um espaço topológico, e ξ ∈ π1 (X, x0 ). Seja τξ : πn (X, x0 ) −→ πn (X, x0 ) o isomorsmo dado pela ação de π1 (X, x0 ) em πn (X, x0 ) (n ≥ 1). Consideremos então Wn (X) como sendo o subgrupo de πn (X, x0 ) gerado pelo conjunto L = {α ∗ (τξ (α))−1 : ξ ∈ π1 (X, x0 ), α ∈ πn (X, x0 )}, ou seja, Wn (X) = hLi . Denimos πn∗ (X, x0 ) como sendo o grupo πn (X, x0 )/Wn (X). Notamos que se n = 1, então L = {α ∗ (τξ (α))−1 : ξ, α ∈ π1 (X, x0 )} = {α ∗ (ξ ∗ α ∗ ξ −1 )−1 : ξ, α ∈ π1 (X, x0 )} = {α ∗ ξ ∗ α−1 ∗ ξ −1 : ξ, α ∈ π1 (X, x0 )}, donde W1 (X) é o subgrupo dos comutadores de π1 (X, x0 ). 33 Teorema 1.12 Se X é n-simples, e x0 ∈ X , então πn∗ (X, x0 ) ∼ = πn (X, x0 ). Prova: Como Wn (X) = {0}, X é n-simples, π1 (X, x0 ) atua trivialmente em πn (X, x0 ), logo de onde segue o resultado. O Teorema Absoluto de Hurewicz nos diz que Teorema 1.13 Seja X um espaço (n-1)-conexo (n ≥ 1), com x0 ∈ X . Então ρ : πn∗ (X, x0 ) −→ Hn (X) é um isomorsmo, sendo ρ(x) = ρX (x), com x ∈ πn∗ (X, x0 ). Prova: Veja [13]. Utilizando 1.13 e 1.12, segue que o homomorsmo de Hurewicz ρX : πn (X, x0 ) −→ Hn (X) é um isomorsmo, desde que n = 1, o mesmo ocorre se X X for seja (n − 1)-conexo, sendo n um inteiro maior que 1. Se 1-simples. Denição 1.28 Sejam X um espaço topológico e A um subespaço de X , com x0 ∈ X e ξ ∈ π1 (A, x0 ). Consideremos então Wn (X, A) como sendo o subgrupo de πn (X, A, x0 ) gerado pelo conjunto 0 P = {α − τξ (α) : ξ ∈ π1 (A, x0 ), α ∈ πn (X, A, x0 )}, sendo τξ0 : πn+1 (X, A, x0 ) −→ πn+1 (X, A, x0 ) o isomorsmo determinado pela ação de ξ ∈ π1 (A, x0 ) em πn (X, A, x0 ), ou seja, Wn (X, A) = hP i. Denimos πn† (X, x0 ) como sendo o grupo πn (X, A, x0 )/Wn (X, A). 34 Teorema 1.14 Se π1 (A, x0 ) atua trivialmente sobre πn (X, A, x0 ), então πn† (X, A, x0 ) ∼ = πn (X, A, x0 ). Prova: Segue imediatamente das denições de Wn (X, A) e πn† (X, A, x0 ). Agora, o Teorema Relativo de Hurewicz arma que Teorema 1.15 Seja (X, A) um par (n-1)-conexo (n ≥ 2)tal que A e X sejam 0-conexos. Então ρe : πn† (X, A, x0 ) −→ Hn (X, A) é um isomorsmo, sendo ρe(x) = ρX,A (x), com x ∈ πn (X, A, x0 ) e x ∈ πn† (X, A, x0 ). Prova: Veja [13]. Finalmente observamos, pelas combinações dos Teoremas 1.14 e 1.15, que ρX,A : πn (X, A) −→ Hn (X, A) é um isomorsmo, desde que exista uma ação trivial de (X, A) seja (n − 1)-conexo. π1 (A, x0 ) em πn (X, A, x0 ) e o par Capítulo 2 Espaço de Laços Neste capítulo denimos espaço de laços de um espaço topológico base x0 , X com ponto o qual é um H-espaço. Porém, para mostrarmos o Teorema de James, devemos ter uma estrutura melhor para o espaço de laços. Tendo isto em vista, mostraremos que o espaço de laços tem o mesmo tipo de homotopia de um monóide topológico. Também neste capítulo daremos alguns conceitos funtoriais que nos auxiliarão nos próximos capítulos. 2.1 Espaço de Funções Nesta seção deniremos o espaço de funções. Além disso, enunciaremos e provare- mos alguns teoremas relacionados ao espaço de funções. Denição 2.1 Se X e Y são espaços topológicos, então X Y denota o conjunto de todas funções contínuas de Y em X . A topologia compacto-aberta sobre X Y é a topologia tendo uma subbase consistindo de todos subconjuntos (K; U ) = {f ∈ X Y /f (K) ⊂ U }, onde K é um subconjunto compacto de Y , U é um subconjunto aberto de X . Deste modo, um aberto básico em da forma XY (K; U ). 35 é uma intersecção nita de subconjuntos 36 A seguir, deniremos a aplicação avaliação e provaremos sua continuidade, mas para isso usaremos o seguinte lema, cuja demonstração pode ser encontrada em [10]. Lema 2.1 Sejam X e Y espaços topológicos, com Y compacto. Se x0 ∈ X e U é um subconjunto aberto de X × Y contendo {x0 } × Y , então existe uma vizinhança aberta L de x0 em X com {x0 } × Y ⊂ L × Y ⊂ U. Denição 2.2 Se X e Y são espaços topológicos, então a aplicação avaliação a : X Y × Y −→ X é denida por a(f, y) = f (y). Teorema 2.1 Sejam X e Z espaços topológicos, seja Y um espaço de Hausdor localmente compacto, e seja X Y munido da topologia compacto-aberta. Então: (1) A aplicação avaliação a : X Y × Y −→ X é contínua. (2) Uma função F : Z × Y −→ X é contínua se, e somente se, F : Z −→ X Y dada por F (z)(y) = F (z, y) é contínua. Prova:(1) Seja (f, y) um elemento de X Y × Y , e seja V de f (y) f (W ) ⊂ V ; com U (f, y). a X. em Visto que desde que Y 0 é contínua, existe uma vizinhança aberta W de y com é localmente compacto Hausdor, existe um conjunto aberto compacto tal que Se f uma vizinhança aberta y ∈ U ⊂ U ⊂ W. 0 (f , y ) ∈ (U ; V ) × U , então (U ; V ) × U Agora, 0 0 0 0 U, é uma vizinhança aberta de 0 0 a(f , y ) = f (y ) ∈ f (U ) ⊂ f (U ) ⊂ V . Portanto é contínua. (2) Suponhamos que F ×1 a Z × Y −→ X Y × Y −→ X; F : Z −→ X Y seja contínua. Temos que F é a composição a e F ×1 contínua. Inversamente, suponhamos que F seja contínua, e mostremos que visto que Para tanto, é suciente provarmos que se subbásica de Agora, F (z), Daí e (K; U ) então existe uma vizinhança aberta F (z) ∈ (K; U ) F ({z} × K) ⊂ U ; z ∈Z são contínuas segue que signica que continuidade de F F (z, y) ∈ U diz que V de z com é contínua. V de z com y ∈ K; F (V ) ⊂ (K; U ). equivalentemente, é um subconjunto aberto de F −1 (U ) ∩ (Z × K) é um subconjunto aberto de Z × K dá uma vizinhança aberta F também é é qualquer vizinhança aberta para todo F −1 (U ) F V × K ⊂ F −1 (U ). contendo {z} × K E daí segue que Z ×Y. e o Lema 2.1 F (V ) ⊂ (K; U ). 37 Existe um resultado mais geral, que arma o seguinte: Se mente gerados, então a aplicação avaliação a : X Y × Y −→ X X e Y são compacta- é contínua (ver [12]). Corolário 2.1 Sejam X e Z espaços topológicos, e seja Y um espaço localmente compacto de Hausdor. Uma função g : Z −→ X Y é contínua se, e somente se, a composição a ◦ (g × 1) é contínua. g×1 a Z × Y −→ X Y × Y −→ X Prova: Imediata do Teorema anterior. 2.2 Categorias Vários objetos matemáticos, tais como conjuntos, grupos, espaços topológicos, junto com as aplicações apropriadas entre estes objetos (funções para conjuntos, homomorsmos para grupos, funções contínuas para espaços topológicos) têm certas propriedades em comum. Por exemplo, em cada caso, a composição de aplicações (quando denida) é associativa, ou ainda, para cada objeto 1A : A −→ A com certas propriedades. A existe uma aplicação identidade Estas noções mais gerais são formalizadas na denição de categoria. Denição 2.3 Uma categoria é uma classe C de objetos, obj(C), denotados por A, B, . . ., junto com (1) uma classe de conjuntos disjuntos, denotados por HomC (A, B), um para cada par (A, B) de objetos em C . Um elemento f de HomC (A, B) é chamado um morsmo de A em B e é denotado por f : A −→ B . (2) uma função ◦ : HomC (A, B)×HomC (B, C) −→ HomC (A, C), para cada tripla (A, B, C) de objetos de C , sendo que cada par de morsmos f : A −→ B , g : B −→ C , 38 é levado no morsmo g ◦ f , chamado composição de g com f . Tal função deve satisfazer os seguintes axiomas: (I) Associatividade. Se f : A −→ B , g : B −→ C , h : C −→ D são morsmos de C , então h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . (II) Identidade. Para cada objeto B de C existe um morsmo 1B : B −→ B tal que para quaisquer f : A −→ B , g : B −→ C , 1B ◦ f = f e g ◦ 1B = g. Em uma categoria C um morsmo C, g : B −→ A equivalência, então A e B um morsmo tal que g ◦ f = 1A Seja obj(A) f ◦ g = 1B . Se f : A −→ B a classe de todos conjuntos, para é o conjunto de todas funções composição usual de funções. Um morsmo f e é uma equivalência se existir em é uma são ditos equivalentes. Exemplo 1- A = Sets. obj(A), HomA (A, B) f : A −→ B f de C f : A −→ B , A, B ∈ e a composição é a é uma equivalência se, e somente se, é uma bijeção. Exemplo 2- B = T op. e para cada par contínuas morsmo (A, B) f : A −→ B , f de B Neste caso obj(B) é a classe de todos espaços topológicos, B , HomB (A, B) de objetos de e a composição em B é a composição usual de funções. é uma equivalência se, e somente se, Exemplo 3- C = Grupos. A, B ∈ obj(C), HomC (A, B) Seja é o conjunto de todas funções obj(C) f é um homeomorsmo. a classe de todos grupos, é o conjunto de todos homomorsmos composição é a composição usual de funções. Um morsmo e somente se, g X é um espaço topológico e HomD ((X, A), (Y, B)) f (A) ⊂ B , Seja obj(D) de C f : A −→ B , e a é uma equivalência se, a classe de todos pares ordenados A é um subespaço de X . Para é o conjunto de todas funções contínuas (X, A), (X, A), (Y, B) ∈ obj(D), f : X −→ Y , tais que, e a composição é a composição usual de funções. Exemplo 5- E = T M on. cos. Para g para é um isomorsmo de grupos. Exemplo 4- D = T op2 . onde Um Seja M, N ∈ obj(E), HomE (M, N ) f : M −→ N , obj(E) a classe de todos monóides topológi- é o conjunto de todos homomorsmos contínuos e a composição é a composição usual de funções. 39 Agora deniremos subcategorias, e a seguir citaremos alguns exemplos de subcategorias de determinadas categorias. Denição 2.4 Sejam C e A categorias com obj(C) ⊂ obj(A). Então C é uma subcategoria de A se HomC (A, B) ⊂ HomA (A, B), ∀ A, B ∈ obj(C) e se a função ◦ : HomC (A, B) × HomC (B, C) −→ HomC (A, C) é a restrição da correspondente composição com subscrito A. Exemplo 6- F = Ab. A, B ∈ obj(F), HomF (A, B) obj(F) Seja a classe de todos grupos abelianos. é o conjunto de todos homomorsmos Ab onde X Seja é um espaço topológico e Hom((X, x0 ), (Y, y0 )) f (x0 ) = y0 , x0 obj(C) a classe de todos pares ordenados (X, x0 ), é um ponto de estas funções serão denotadas por T op∗ e a Grupos. X. Para (X, x0 ), (Y, y0 ) ∈ obj(C), é o conjunto de todas funções contínuas é a composição usual de funções. f : A −→ B , é uma subcategoria de composição é a composição usual de homomorsmos. Exemplo 7- C = T op∗ . Para f : X −→ Y f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ). é uma subcategoria de com A composição T op2 . A próxima construção será útil na denição de uma nova categoria. Denição 2.5 Seja C uma categoria, uma congruência sobre C é uma relação de equivalência ∼ sobre a classe S (A,B) HomC (A, B) de todos morsmos em C , tais que: (1) f ∈ HomC (A, B) e f ∼ f 0 =⇒ f 0 ∈ HomC (A, B); (2) f ∼ f 0 , g ∼ g0 , e a composição g ◦ f existe =⇒ g ◦ f ∼ g0 ◦ f 0 . Sejam C uma categoria, equivalência de um morsmo f de ∼ uma congruência sobre C. Consideremos C 0 C, como segue: 0 obj(C ) = obj(C); Hom C 0 (A, B) = {[f ]/f ∈ HomC (A, B)}; [g] ◦ [f ] = [g ◦ f ]. e seja [f ] a classe de 40 Então, sem muitas diculdades, verica-se que é chamada uma categoria quociente de C, C 0 e denotaremos é uma categoria. Esta categoria HomC 0 (A, B) por [A, B]. A categoria quociente mais importante para nós é a categoria de homotopia, a qual deniremos a seguir. Lembremos antes da denição de homotopia. Denição 2.6 Se X e Y são espaços topológicos e se f, g são aplicações contínuas de X em Y , então f é homotópica a g, denotado por f ' g, se existe uma aplicação contínua F : X × I −→ Y com F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x) para todo x ∈ X . A aplicação F é chamada uma homotopia. Sabemos que homotopia é uma relação de equivalência sobre o conjunto de todas aplicações contínuas X −→ Y . é a classe de equivalência é denotada por A partir disso, se [f ] = {g ∈ X Y /g ' f }. f ∈ XY , então sua classe de homotopia A família de todas classes de homotopia [X, Y ]. Ainda, temos que, se g0 ◦ f 0 ' g1 ◦ f 1 , ou seja, fi ∈ Y X , gi ∈ Z Y , para i = 0, 1, f0 ' f1 , e g0 ' g1 , então [g0 ◦ f0 ] = [g1 ◦ f1 ]. Deste modo, pelo que vimos acima, Homotopia é uma congruência sobre a categoria T op. Assim, existe a categoria quociente sobre T op, denotada por hT op. Em hT op temos que, obj(hT op) = obj(T op) HomhT op (X, Y ) = {[f ] : f ∈ HomT op (X, Y )} [g] ◦ [f ] = [g ◦ f ] Esta categoria será útil para justicarmos a relação entre o espaço de laços e a suspensão reduzida de um espaço topológico. Tais noções serão introduzidas em seções posteriores. Em muitas categorias (por exemplo, Grupos), qualquer objeto na categoria é de fato um conjunto (geralmente com alguma estrutura adicional) e qualquer morsmo f : A −→ B na categoria é uma função entre os conjuntos fundamentais (geralmente com alguma estrutura). Entendemos conjuntos fundamentais, no sentido usual, como sendo conjuntos sem estrutura alguma. Formalizamos esta idéia na denição a seguir. 41 Denição 2.7 Uma categoria concreta é uma categoria C junto com uma função σ que leva cada objeto A de C no conjunto σ(A) (chamado o conjunto fundamental de A) de tal modo que: (1) Todo morsmo A −→ B de C é uma função entre os conjuntos fundamentais σ(A) −→ σ(B); (2) O morsmo identidade de cada objeto A de C é a função identidade sobre o conjunto fundamental σ(A); (3) Composição de morsmos em C funciona como composição usual de funções entre os conjuntos fundamentais. Exemplo 1- A categoria T M on, equipada com a função que leva cada monóide topológico em seu conjunto fundamental, no sentido usual, é uma categoria concreta. De maneira semelhante as categorias Grupos, Sets, T op Ab e são categorias concretas. Exemplo 2- Seja X um espaço topológico e consideremos a categoria C = Π(X), denida da seguinte forma: obj(C) = X. Dados x, y ∈ obj(C) = X , α : [0, 1] −→ X então f ∈ HomC (x, y) um caminho contínuo tal que [α] α(0) = y [β] x −→ y −→ z , β(2t), (β ∗ α)(t) = α(2t − 1), homotopia de caminhos de α. Se então se, e somente se, e α(1) = x, e f = [α], [α] [β] ◦ [α] = [β ∗ α], é a classe de sendo se 0 ≤ t ≤ 1/2 se 1/2 ≤ t ≤ 1 Π(X) é uma categoria não concreta, chamada grupóide fundamental de X . disso, verica-se que todo morsmo de Exemplo 3unitário) então C Temos que, se C Π(X) é uma categoria tal que ◦ : M × M −→ M obj(C) = {x} M = HomC (x, x), é uma operação em e possui elemento neutro, como na Denição 1.12. Verica-se que concreta. Além é uma equivalência. é chamada monóide. Notemos que, se um monóide algébrico, ou seja, sendo C M (conjunto então (M, ◦) é que é associativa é uma categoria não 42 Exemplo 4- Seja C = Π(x), sendo obj(Π(x)) = {x} ⊂ X topológico) e HomΠ(x) (x, x) = HomΠ(X) (x, x). Pelo exemplo anterior vemos que não concreta. Observamos que Então Π(x) (onde X é um espaço é uma subcategoria de Π(X). Π(x) é um monóide, e portanto é uma categoria (HomΠ(x) (x, x), ◦) é igual ao grupo fundamental π1 (X, x). Quando trabalhamos com grupos e módulos, se soubermos que um determinado grupo, ou módulo é livre, o conhecimento e as propriedades de tais estruturas tornamse, muitas vezes, mais simples de serem trabalhadas. Levando-se em consideração isto, denimos objeto livre em uma categoria concreta. Denição 2.8 Seja F um objeto em uma categoria concreta C , X um conjunto não vazio, e i : X −→ F uma aplicação (entre conjuntos). F é livre sobre o conjunto X se, para qualquer objeto A de C e qualquer aplicação f : X −→ A (entre conjuntos), existe um único morsmo de C , f : F −→ A, tal que f ◦ i = f . Objetos livres existem em diversas categorias. Veremos um exemplo no capítulo seguinte, a saber, a existência de objetos livres na categoria dos monóides, e na categoria dos monóides topológicos. Claro que existem objetos que não são livres em determinadas categorias, por exemplo, na categoria dos Z-módulos, Q não é um objeto livre (ver [6]). Geralmente, no estudo de qualquer objeto matemático fazemos considerações sobre as aplicações entre tais objetos, para conhecermos melhor a estrutura de tal objeto matemático. Na próxima seção estudaremos as aplicações entre categorias. 2.3 Funtores Um funtor pode ser pensado como uma aplicação entre categorias, que preserva a estrutura. A idéia fundamental em Topologia Algébrica é converter problemas sobre espaços topológicos e funções contínuas em problemas sobre objetos algébricos (por exemplo, grupos, módulos, anéis, etc.) e seus homomorsmos. Os funtores desempenham um papel fundamental em tais conversões. Iniciaremos esta seção com a denição de funtores covariantes e contravariantes, e a seguir listaremos alguns exemplos. 43 Denição 2.9 Sejam A e C categorias. Um funtor covariante T : A −→ C é uma função que satisfaz: (1) A ∈ obj(A) =⇒ T A ∈ obj(C), (2) se f : A −→ A0 é um morsmo em A, então T f : T A −→ T A0 é um morsmo em C , tal que: (I) se f, g são morsmos em A e g ◦ f está denida, então T (g ◦ f ) = (T g) ◦ (T f ); (II) T (1A ) = 1T A para todo A ∈ objA. Exemplo 1F (X) é o conjunto é a função f. F X, Seja F : T op −→ Sets e se f : X −→ Y tal que, para cada espaço topológico X, F (f ) : F (X) −→ F (X) é função contínua, então é chamado funtor esquecimento. Exemplo 2- Se C é uma categoria, o funtor identidade I : C −→ C é denido por I(A) = A para todo A ∈ obj(C), Exemplo 3- I(f ) = f Fixemos Hom(A, ) : C −→ Sets e cada morsmo e um para todo morsmo objeto A em é um funtor levando cada objeto f : B −→ B 0 uma B de C. categoria C de f C. no conjunto Então Hom(A, B) na aplicação induzida 0 Hom(A, f ) : Hom(A, B) −→ Hom(A, B ), denida por Hom(A, f )(g) = f ◦ g . Denotaremos Hom(A, f ) Denição 2.10 Sejam A e C duas categorias. por f∗ . Um funtor contravariante S : A −→ C é uma função que satisfaz: (1) A ∈ obj(A) =⇒ SA ∈ obj(C), (2) se f : A −→ A0 é um morsmo em A, então Sf : SA0 −→ SA é um morsmo em C , tal que: (I) se f, g são morsmos em A e g ◦ f está denida, então S(g ◦ f ) = (Sf ) ◦ (Sg); (II) S(1A ) = 1SA para todo A ∈ objA. Exemplo 4- Fixemos Hom( , B) : C −→ Sets um objeto B em uma categoria C. é um funtor contravariante, levando cada objeto A Então em C no 44 conjunto Hom(A, B) g : A −→ A e cada morsmo 0 na aplicação induzida 0 Hom(g, B) : Hom(A , B) −→ Hom(A, B), denida por por Hom(g, B)(h) = h ◦ g . Denotaremos a aplicação induzida de g , Hom(g, B), g∗. Finalizamos esta seção com um teorema interessante. Teorema 2.2 Sejam A e B categorias e T : A −→ B um funtor (covariante ou contravariante). Se f é uma equivalência em A então T (f ) é uma equivalência em C . Prova: Como f é uma equivalência, existe g , tal que, f ◦g = 1B nestas últimas expressões, e usando a hipótese de que T e g ◦f = 1A . Aplicando T, é um funtor, seguirá o resultado desejado. 2.4 Funtores Adjuntos Pares de funtores adjuntos ocorrem em muitos ramos da Matemática. Iniciaremos esta seção denindo transformação natural, que grosso modo, é uma aplicação entre dois funtores. Logo a seguir deniremos quando dois funtores são adjuntos. Adiante daremos um exemplo de pares de funtores adjuntos, em forma de teorema. Denição 2.11 Sejam A e C categorias e S, T : A −→ C funtores covariantes. Uma transformação natural α : S −→ T é uma função que leva cada objeto A de A em um morsmo αA : S(A) −→ T (A) em C de tal modo que, para todo morsmo em A f : A −→ A o diagrama abaixo é comutativo. 0 S(A) S(f ) 0 S(A ) αA α A 0 / / T (A) T (f ) 0 T (A ) Se αA é uma equivalência para todo A em A, então α é um isomorsmo natural dos funtores S e T . 45 Agora denimos quando dois funtores são adjuntos. Denição 2.12 Sejam F : A −→ C e G : C −→ A funtores. O par ordenado (F, G) é um par adjunto se, para cada objeto A em A e cada objeto C em C , existe uma bijeção τ = τAC : HomC (F A, C) −→ HomA (A, GC), que é natural em cada variável (A e C no caso, são as variáveis).Ou seja, os seguintes diagramas comutam para todas f : A0 −→ A e g : C −→ C 0 em C : HomC (F A, C) (F f )∗ / 0 τ f∗ HomA (A, GC) / HomC (F A, C) HomC (F A , C) τ 0 / 0 HomC (F A, C ) τ HomA (A, GC) HomA (A , GC) g∗ (Gg)∗ / τ 0 HomA (A, GC ) Neste caso, (F f )∗ (h) = h◦F f , f ∗ (k) = k ◦f , g∗ (m) = g ◦m, e (Gg)∗ (n) = Gg ◦n. 2.5 Espaço de Laços e Suspensão Reduzida Denição 2.13 Sejam (X, x0 ) um espaço com ponto base, e I = [0, 1] ⊂ R. Denimos P X = {γ : I −→ X : γ é contínua e γ(0) = x0 }. Visto que P X ⊂ X I , podemos considerar a topologia de P X como sendo a topologia compacto-aberta induzida do espaço X I . Uma propriedade interessante do espaço PX é dada pelo próximo Teorema. Teorema 2.3 Se (X, x0 ) é um espaço com ponto base, então P X é contrátil. Prova: Seja Devemos mostrar que c : I −→ X ∈ P X Temos que tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto denida por Consideremos então, g(γ) = c. PX c(t) = x0 , f : {c} −→ P X g ◦ f = 1{c} e para todo e t ∈ I. g : P X −→ {c} (f ◦ g)(γ) = c. {c}. dadas por f (c) = c e 46 f ◦ g ' 1P X . Mostremos que F (γ, t) = γt , γ1 (s) = γ(s), armamos que F De fato, F : P X × I −→ P X por γt (s) = γ(ts). onde Sem diculdades, vemos que com Para tanto, denimos logo F (γ, 0) = c, F (γ, 0) = γ0 , e com F (γ, 1) = γ , γ0 (s) = γ(0) = x0 para todo γ ∈ P X. e F (γ, 1) = γ1 , Além do mais, é contínua. F é contínua, desde que a composição i F P X × I −→ P X ,→ X I seja contínua. Mas como I é localmente compacto, segue do Teorema 2.1 que a composição acima é contínua se, e somente se, Fe : P X × I × I −→ X dada por Fe(γ, s, t) = γ(st) for contínua. Agora, Fe é a composição a|P X×I ϕ P X × I × I −→ P X × I −→ X, onde ϕ(γ, s, t) = (γ, st) segue que PX Fe e a é a aplicação avaliação. Haja visto que também é. E assim, pelo que comentamos acima, F ϕ e a são contínuas, é contínua. Portanto é contrátil. Em P X , temos um subespaço especial, o Espaço de Laços, denido como segue. Denição 2.14 Seja (X, x0 ) um espaço com ponto base. Então seu espaço de laços, denotado por Ω(X, x0 ), é o espaço de funções Ω(X, x0 ) = (X, x0 )(I,∂I) , visto como subespaço de X I (este último munido da topologia compacto-aberta). Escolhemos lx0 : I −→ X , denida por lx0 (t) = x0 ∀t ∈ I , como ponto base de Ω(X, x0 ). Observação 1: o espaço de laços de Se (X, x0 ) ∈ obj(hT op∗ ), (X, x0 ), Ω(X, x0 ) ∈ obj(hT op∗ ). denotado por Ainda, se então pela denição acima temos que Ω(X, x0 ), tem como ponto base f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) lx0 . Logo é função contínua, então existe 47 Ωf : Ω(X, x0 ) −→ Ω(Y, y0 ) detalhes, ver [10]). denida por Ωf (γ) = f ◦ γ , e mais, Sem muitos problemas, verica-se que Ωf (lx0 ) = ly0 (para mais Ω : hT op∗ −→ hT op∗ é um funtor. Denição 2.15 Se (Z, z0 ) é um espaço com ponto base, então a suspensão reduzida de Z , denotada por ΣZ , é o espaço quociente ΣZ = (Z × I)/((Z × ∂I) ∪ ({z0 } × I)). Observação 2: por [z, t]. Se (z, t) ∈ Z × I , denotamos o correspondente elemento de Abusaremos da notação, e escreveremos ΣZ z0 = [z, 0] = [z, 1] = [z0 , t] ∀ z ∈ Z e t ∈ I. Observação 3: acima, logo então existe Dado um espaço com ponto base (ΣZ, z0 ) ∈ obj(hT op∗ ). Além disso, se Σf : (ΣZ, z0 ) −→ (ΣW, w0 ) (Z, z0 ), existe ΣZ f : (Z, z0 ) −→ (W, w0 ) contínua dada por Observação 4: Sendo (X, x0 ) ' (Y, y0 ), então (para Σ : hT op∗ −→ hT op∗ é Ω(ΣX, lx0 ) ' Ω(ΣY, ly0 ). q : X × I −→ (X × I)/((X × ∂I) ∪ ({x0 } × I)) a aplicação quociente natural, podemos pensar no subespaço muitas diculdades, verica-se que C+ (X) = q(X × [1/2, 1]) de ΣX . Sem C+ (X) = (X × [1/2, 1])/(X × {1}) ∪ ({x0 } × [1/2, 1]). De maneira análoga, temos o subespaço C− (X) é contínua, Σf ([z.t]) = [f (z), t] mais detalhes, ver [10]). Sem muitas diculdades, mostra-se que um funtor. Além disso, notamos que, se denida como C− (X) = q(X × [0, 1/2]). Os espaços C+ (X) e são chamados cones reduzidos. Teorema 2.4 Os cones reduzidos C+ (X) e C− (X), denidos na última observação, são contráteis. Além disso, C+ (X) ∩ C− (X) e X são homeomorfos. Prova: Lembremos que um espaço X é contrátil se X tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto, o que é equivalente a dizer que existe uma retração por deformação entre X e o ponto em questão. Sendo assim, consideremos H+ : C+ (X) × I −→ C+ (X) e H− : C− (X) × I −→ C− (X) 48 denidas por H+ (([x, t], s)) = [x, (1 − s)t + s] e H− (([x, t], s)) = [x, t(1 − s)]. Verica-se que tanto H+ , H− quanto são contínuas, além disso, satisfazem: (1) H+ (([x, t], 0)) = [x, t], H+ (([x, t], 1)) = [x, 1] = x0 , e (2) H− (([x, t], 0)) = [x, t], H− (([x, t], 1)) = [x, 0] = 0 H− ((x0 , s)) = x0 . Portanto C+ (X) e C− (X) e são contráteis. Agora, que homeomorfos é imediato, basta denirmos G : C+ (X) ∩ C− (X) H+ ((x0 , t)) = x0 ; C+ (X) ∩ C− (X) por e X são G([x, 1/2]) = x. Um Teorema que relaciona o espaço de laços de um espaço topológico X e a teoria de complexos CW, é o Teorema de Milnor, o qual enunciaremos a seguir. Teorema 2.5 Qualquer espaço de laços de um complexo CW tem o mesmo tipo de homotopia de um complexo CW. Prova: Veja [9]. Observação 5: então, como I Suponhamos que é complexo CW, e X seja um complexo CW, sendo x0 uma 0-célula de (X × ∂I) ∪ ({x0 } × I) é subcomplexo de X × I aqui, a utilização da propriedade CW 1), pela propriedade CW 5, ΣX X, (notemos também é um complexo CW. Naturalmente, por um argumento análogo ao feito acima, cones reduzidos também são complexos CW, quando na realidade, subcomplexos CW de X for complexo CW. E mais, C+ (X) e C− (X) são ΣX . Suspensão Reduzida e Espaço de Laços de um espaço (X, x0 ) se relacionam através do próximo teorema. Teorema 2.6 (Σ, Ω) é um par adjunto de funtores sobre hT op∗ . Para demonstrarmos o Teorema acima, necessitaremos de dois resultados, que serão dados através de lemas. 49 Lema 2.2 Se F : (ΣX, x0 ) −→ (Y, y0 ) é contínua, então F # : X −→ Ω(Y, y0 ) denida por F # (x)(t) = F ([x, t]) é contínua. Prova: Se mostrarmos que F# inclusão, seguirá que Visto que i ◦ F # : X −→ Y I é contínua, onde i : Ω(Y, y0 ) −→ Y I é a é contínua. I é localmente compacto, pelo Teorema 2.1, temos que i◦F # : X −→ Y I é contínua se, e somente se, i ◦ F # : X × I −→ Y denida por i ◦ F # (x, t) = F ([x, t]), é contínua. Agora, i ◦ F# é a composição q F X × I −→ ΣX −→ Y, onde F# q(x, t) = [x, t]. E como q e F são contínuas, segue que i ◦ F# é contínua. Portanto é contínua. Lema 2.3 Se G : (X, x0 ) −→ (Ω(Y, y0 ), ly0 ) é contínua, então G[ : (ΣX, x0 ) −→ (Y, y0 ) denida por G[ ([x, t]) = G(x)(t) é contínua. Prova: Notemos inicialmente que notamos que G(x0 ) = ly0 , G[ ([x, 0]) = G[ ([x, 1]) = y0 . Como logo G G(x0 )(t) = ly0 (t) = y0 . Também é contínua, segue que i ◦ G : X −→ Y I também é contínua. i] ◦ G : X × I −→ Y , Sendo dada por I é localmente compacto, i] ◦ G(x, t) = G(x)(t), segue do Teorema 2.1 que é contínua. Temos ainda que i] ◦ G(x, 0) = G(x)(0) = y0 , i] ◦ G(x, 1) = G(x)(1) = y0 e i] ◦ G(x0 , t) = G(x0 )(t) = y0 . Deste modo, existe aplicação contínua G(x)(t) = G[ ([x, t]). Portanto G[ i ◦ G : ΣX −→ Y , tal que i ◦ G([x, t]) = i] ◦ G(x, t) = é contínua. 50 Prova do Teorema 2.6: podemos considerar (X, x0 ), (Y, y0 ) espaços com ponto base. τXY : [ΣX, Y ] −→ [X, ΩY ] Armamos que De fato, sejam homotopia Sejam τXY denida por Pelo Lema 2.2, τXY ([F ]) = [F # ]. está bem denida. F0 , F1 : (ΣX, x0 ) −→ (Y, y0 ) contínuas, tais que F0 ' F1 rel x0 via H : ΣX × I −→ Y . Seja H# H # : X × I −→ ΩY é contínua, pois H # (x, s)(t) = H([x, t], s). dada por H # : X × I × I −→ Y , denida por H # (x, s, t) = H([x, t], s) é contínua. Para tanto, basta notarmos que H# é a composição q×1 T H X × I × I −→ X × I × I −→I ΣX × I −→ Y, onde T (x, s, t) = (x, t, s), e q(x, t) = [x, t]. Temos que, H # (x, 0)(s) = H([x, s], 0) = F0 ([x, s]) = F0# (x)(s) =⇒ H # (x, 0) = F0# (x), H # (x, 1)(s) = H([x, s], 1) = F1 ([x, s]) = F1# (x)(s) =⇒ H # (x, 1) = F1# (x), H # (x0 , t)(s) = H([x0 , s], t) = y0 = ly0 (s) =⇒ H # (x0 , t) = ly0 . Portanto F0# ' F1# rel x0 H #. via homotopia Logo τXY está bem denida. γXY : [X, ΩY ] −→ [ΣX, Y ] Pelo Lema 2.3, podemos denir De maneira semelhante à que zemos anteriormente, verica-se que Além do mais, vê-se que −1 γXY = τXY . Finalmente, para 0 Logo f : X −→ X e τXY γXY γXY ([G]) = [G[ ]. está bem denida. é uma bijeção. g : Y −→ Y 0 por 0 em hT op∗ , temos: 0 (1) (F # ◦ f )(x )(t) = F # (f (x ))(t) 0 = F ([f (x ), t]) 0 = F (Σf ([x , t])) 0 = (F ◦ Σf )[x , t] 0 0 0 = (F ◦ Σf )# (x )(t), ∀x ∈ X , ∀t ∈ I. Logo F # ◦ f = (F ◦ Σf )# , e assim, para [F ] ∈ [ΣX, Y ], segue que 51 [τX 0 Y ◦ (Σf )∗ ]([F ]) = τX 0 Y ((Σf )∗ ([F ])) = τX 0 Y ([F ◦ Σf ]) = [(F ◦ Σf )# ] = [F # ◦ f ] = f ∗ ([F # ]) = f ∗ (τXY ([F ])). Deste modo, o diagrama [ΣX, Y ] τXY (Σf )∗ / 0 [ΣX , Y ] τ [X, ΩY ] f∗ / 0 0 X Y [X , ΩY ] é comutativo. (2) (g ◦ F )# (x)(t) = (g ◦ F )([x, t]) = g(F ([x, t])) = g(F # (x)(t)) = [g ◦ F # (x)](t) = Ωg(F # (x))(t) = [Ωg ◦ F # ](x)(t), ∀x ∈ X, e ∀t ∈ I. Logo (g ◦ F )# = Ωg ◦ F # , e assim, para [F ] ∈ [ΣX, Y ], segue que [τXY 0 ◦ g∗ ]([F ]) = τXY 0 (g∗ ([F ])) = τXY 0 ([g ◦ F ]) = [(g ◦ F )# ] = [Ωg ◦ F # ] = (Ωg)∗ ([F # ]) = (Ωg)∗ (τXY ([F ])) = [(Ωg)∗ ◦ τXY ]([F ]). 52 Portanto o diagrama g∗ [ΣX, Y ] τXY / 0 [ΣX, Y ] τ [X, ΩY ] (Ωg)∗ / 0 X Y 0 [X, ΩY ] é comutativo. De (1), (2), e pela bijeção de 2.6 τXY segue que (Σ, Ω) é um par de funtores adjuntos. Colimite Sejam A, e I categorias. F : I −→ A O colimite de um funtor (covariante) (se existir) é um objeto de A colimF = C ∈ obj(A), junto com morsmos é um morsmo de morsmos de A qi : F (i) −→ C em A, I , então qi ◦ F (αji ) = qj . para cada E se tais que, para cada morsmo então existe um único morsmo f : C −→ A i ∈ obj(I) tais que se αji : j −→ i A ∈ obj(A) e fi : F (i) −→ A (i ∈ I ) são αji : j −→ i tal que em I tem-se fi ◦ F (αji ) = fj , f ◦ qj = fj , ∀ j ∈ objI . O seguinte diagrama ilustra a propriedade denidora de colimF . /A f {= F 77 JJ qj { f j {{ 77 JJJ { 77 JJ {{ { 77 7 qi 77 F (j) fi 77 7F 77(αji) colimF [7 dJJ F (i) Exemplo 1- Consideremos a mesma notação anterior. discreta (isto é, os únicos morsmos são as identidades), então colim F i∈I = M i∈I F (i) Se I é uma categoria 53 Existe um conceito de limite, que é um conceito dual de colimite, porém para o que seguirá, utilizaremos apenas as noções de colimite. Finalizamos esta seção com o conceito de limite direto. Dizemos que um conjunto parcialmente ordenado quaisquer dois elementos i, j ∈ I I têm um limitante superior Mais geralmente, uma categoria pequena I é ltrado, ou dirigido, se k ∈ I (i ≤ k, e j ≤ k ). (categoria na qual a classe dos objetos é um conjunto) é ltrada se: (1) Para quaisquer i, j ∈ I , existem (2) Para quaisquer morsmos que w◦u=w◦v em k∈I u, v : i −→ j mos por I i −→ k , j −→ k ; existe um morsmo w : j −→ k tal Hom(i, k). Um colimite ltrado em uma categoria no qual e morsmos A é o colimite de um funtor A : I −→ A, é uma categoria ltrada. Tal colimite chamaremos de limite direto e denotare- lim Ai . −→ Observamos que se I é uma categoria pequena ltrada, e A é a categoria dos conjuntos, ou a categoria dos espaços topológicos, ou a categoria dos R-módulos, então qualquer funtor F : I −→ A No capítulo 2.7 possui limite direto (para maiores informações veja [3]). 4 provaremos a existência do limite direto na categoria dos R-módulos. H-espaço Nesta seção, todos espaços são espaços com ponto base, e o símbolo ' denota a relação de homotopia relativa ao ponto base entre funções. Denição 2.16 Um espaço topológico X com ponto base x0 é um H-espaço se existe uma multiplicação contínua µ : X × X −→ X tal que µ ◦ i1 ' 1X ' µ ◦ i2 , sendo i1 , i2 : X −→ X × X as inclusões denidas por i1 (x) = (x, x0 ), i2 (x) = (x0 , x) ∀x ∈ X 54 B Observamos que, se uma estrutura de H-espaço de é um H-espaço, e A ' B, então, naturalmente, A herda B. Exemplo 1- Todo monóide topológico é um H-espaço. Exemplo 2- Todo grupo topológico é um H-espaço. Denição 2.17 Sejam X e Y H-espaços, com multiplicações µX e µY . Uma aplicação contínua f : X −→ Y é uma H-aplicação se o seguinte diagrama comuta homotópicamente, X ×X µX f ×f / Y ×Y f X / µY Y, ou seja, µY ◦ f × f ' f ◦ µX . Exemplo 3- Todo homomorsmo de monóides topológicos é uma H-aplicação. Teorema 2.7 Se Y é um H-espaço, com ponto base y0 , então para cada espaço topológico X , o conjunto [X, Y ] das classes de homotopia (relativas a um ponto base) de aplicações de X em Y pode ser munido de um produto natural de tal maneira que a classe de homotopia da aplicação constante igual a y0 seja um elemento neutro bilateral. Prova: Y Suponhamos que seja um H-espaço, então dadas f1 , f2 : X −→ Y , podemos denir f1 · f2 = µ ◦ (f1 × f2 ) ◦ ∆X , sendo ∆X : X −→ X × X a aplicação diagonal. O produto assim denido é compatível com homotopia, pois sejam as aplicações g1 , g2 : X −→ Y H2 : X × I −→ Y tais que f1 ' g1 a homotopia entre através da homotopia f2 e g2 , H1 : X × I −→ Y , e seja então basta tomarmos H = H1 · H2 = µ ◦ (H1 × H2 ) ◦ ∆X×I , que teremos uma homotopia entre induz um produto em [X, Y ] f1 · f2 e g1 · g2 . Portanto, o produto acima denido, da seguinte forma: [f1 ] · [f2 ] := [f1 · f2 ] = [µ ◦ (f1 × f2 ) ◦ ∆], 55 onde [f1 ], [f2 ] ∈ [X, Y ]. Dizemos que um produto e X, e uma função contínua φ∗ ([f ]) = [f ◦ φ], · em [X, Y ] 0 φ : X −→ X , é natural, se dados quaisquer espaços então 0 φ∗ : [X, Y ] −→ [X , Y ], X 0 denida por é um homomorsmo, ou seja, φ∗ ([f1 ] · [f2 ]) = φ∗ ([f1 ]) · φ∗ ([f2 ]), ∀ [f1 ], [f2 ] ∈ [X, Y ]. Armamos que o produto acima denido é natural, pois seja que 0 φ∗ : [X, Y ] −→ [X , Y ], 0 φ : X −→ X tal e notemos que φ∗ [f1 · f2 ] = φ∗ [µ ◦ (f1 × f2 ) ◦ ∆X ] = [µ ◦ (f1 × f2 ) ◦ ∆X ◦ φ] φ∗ [f1 ] · φ∗ [f2 ] = [f1 ◦ φ] · [f2 ◦ φ] = [(f1 ◦ φ) · (f2 ◦ φ)] = [µ ◦ ((f1 ◦ φ) × (f2 ◦ φ)) ◦ ∆X 0 ], e como (f1 × f2 ) ◦ ∆X ◦ φ = ((f1 ◦ φ) × (f2 ◦ φ)) ◦ ∆X 0 Finalmente, veriquemos que neutro. mas que Para tanto, seja segue que o produto é natural. [ly0 ], a classe da aplicação constante igual a y0 , é o elemento [f ] ∈ [X, Y ], temos que [f1 ] · [ly0 ] := [µ ◦ (f × ly0 ) ◦ ∆X ], [µ ◦ (f × ly0 ) ◦ ∆X ](x) = µ(f (x), y0 ) = (µ ◦ i1 )(f (x)), µ ◦ (f × ly0 ) ◦ ∆X ' f , portanto [f ] · [ly0 ] = [f ]. e como µ ◦ i1 ' id segue De modo semelhante vemos que [ly0 ] · [f ] = [f ]. Denição 2.18 Dizemos que um H-espaço X é homotopicamente associativo quando µ ◦ (µ × 1X ) ' µ ◦ (1X × µ). Denição 2.19 Dada uma função contínua f : X −→ Y de um espaço topológico X para um H-espaço Y , dizemos que f é homotopicamente inversível se existe g : X −→ Y contínua, que satisfaz f · g = µ ◦ (f × g) ◦ ∆X ' µ ◦ (g × f ) ◦ ∆X ' Ly0 , onde Ly0 : X −→ Y é denida por Ly0 (x) = y0 ∀x ∈ X. 56 Denição 2.20 Um H-grupo (group like space) é um H-espaço Y homotopicamente associativo tal que a aplicação identidade 1Y : Y −→ Y é homotopicamente inversível. Teorema 2.8 Se Y é um H-grupo, então [X, Y ] é um grupo com a operação induzida de Y , para todo espaço topológico X . Prova: A condição e para cada µ ◦ (µ × 1Y ) ' µ ◦ (1Y × µ) é equivalente a associatividade em [X, Y ], [f ] ∈ [X, Y ], homotópica de 1Y , seu inverso homotópico é ou seja, [j ◦ f ], sendo j : Y −→ Y a inversa µ ◦ (j × 1Y ) ◦ ∆X ' Ly0 ' µ ◦ (1Y × j) ◦ ∆X . Um exemplo de H-grupo, é o espaço de laços. Teorema 2.9 Se (X, x0 ) é um espaço com ponto base, então Ω(X, x0 ) é um H-grupo. Prova: µ : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) Seja 0 (w ∗ w )(t) = w(2t), denida por 0 0 µ(w, w ) = w ∗ w , onde se 0 ≤ t ≤ 1/2 w0 (2t − 1), se 1/2 ≤ t ≤ 1 Para mostrarmos que µ i ◦ µ : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ X I , Agora, como se, I é contínua, onde basta vericarmos i : Ω(X, x0 ) ,→ X I é localmente compacto, pelo 2.1, µ = ig ◦ µ : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I −→ X , a continuidade de é a inclusão. i◦µ denida por é contínua se, e somente 0 0 µ(w, w , t) = (w ∗ w )(t), é contínua. Observamos que Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × [0, 1] = F1 ∪ F2 , sendo em F1 = Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × [0, 1/2] Ω(X, x0 )×Ω(X, x0 )×I . (pois 0 Ainda, em e F2 = Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × [1/2, 1] F1 ∩F2 = Ω(X, x0 )×Ω(X, x0 )×{1/2}, µ|F1 = µ|F2 0 0 µ|F1 (w, w , 1/2) = w(1) = x0 = w (0) = µ|F2 (w, w , 1/2)). Em F1 , ig ◦µ fechados é igual a composição 57 p1 ×q a F1 = Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) × I −→ X, onde p1 : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) q : [0, 1/2] −→ I é denida por q(t) = 2t é a projeção sobre o primeiro fator, a e é a aplicação avaliação. Logo µ|F1 é contínua. µ|F2 Um argumento análogo mostra que colagem, µ Portanto, pelo Lema da é conínua. Para mostrarmos que (1) é contínua. Ω(X, x0 ) µ ◦ i1 ' 1Ω(X,x0 ) ' µ ◦ i2 , denidas por i1 (w) = (w, lx0 ), e é um H-grupo falta-nos vericar que: sendo i1 , i2 : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) i2 (w) = (lx0 , w), para (2) µ ◦ (µ × 1Ω(X,x0 ) ) ' µ ◦ (1Ω(X,x0 ) × µ); (3) 1Ω(X,x0 ) : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) g : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) w ∈ Ω(X, x0 ); é homotopicamente inversível, isto é, existe tal que µ ◦ (1Ω(X,x0 ) × g) ◦ ∆Ω(X,x0 ) ' µ ◦ (g × 1Ω(X,x0 ) ) ◦ ∆Ω(X,x0 ) ' Ly0 . Prova de (1): µ ◦ i1 : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ), e µ ◦ i2 : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) 7−→ w ∗ lx0 w 7−→ lx0 ∗ w w são homotópicas à 1Ω(X,x0 ) : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) w De fato, seja 7−→ w F : Ω(X, x0 ) × I −→ Ω(X, x0 ) wt (s) = denida por F (w, t) = wt , w(2s/(t + 1)), se 0 ≤ s ≤ (t + 1)/2 x 0 , . se (t + 1)/2 ≤ s ≤ 1 onde 58 F é contínua se, e somente se, e isto equivale a mostrar que F i Fe : Ω(X, x0 ) × I −→ Ω(X, x0 ) −→ X I F : Ω(X, x0 ) × I × I −→ X , F (w, t, s) = wt (s) = denida por w(2s/(t + 1)), se (w, t, s) ∈ G1 x 0 , é contínua, , se (w, t, s) ∈ G2 onde G1 = {(w, t, s) ∈ Ω(X, x0 ) × I × I : 0 ≤ s ≤ (t + 1)/2}, e G2 = {(w, t, s) ∈ Ω(X, x0 ) × I × I : (t + 1)/2 ≤ s ≤ 1} são fechados em Ω(X, x0 ) × I × I . Vemos ainda que, em F |G1 = lx0 = F |G2 . Ainda, notemos que G1 ∩ G2 = {(w, t, s) ∈ Ω(X, x0 ) × I × I : s = (t + 1)/2}, Além disso, em G1 , F G1 ,→ Ω(X, x0 ) × I × I onde f (t, s) = 2s/(t + 1), e a Ω(X, x0 ) × I × I = G1 ∪ G2 . é a composição 1Ω(X,x0 ) ×f −→ é a avaliação. a Ω(X, x0 ) × I −→ X, Logo F |G1 é contínua. Já em G2 , F é a composição cx 0 G2 ,→ Ω(X, x0 ) × I × I −→ X, onde cx0 (w, t, s) = lx0 . Portanto F |G2 é contínua. Pelo que vimos acima, do lema da colagem, segue que F é contínua, e assim, F F (w, 1) = 1Ω(X,x0 ) . E é contínua. Além do mais, vê-se que assim, w ' w ∗ lx0 rel ponto. F (lx0 , t) = lx0 , F (w, 0) = w ∗ lx0 O argumento para provar que e µ ◦ 1Ω(X,x0 ) ' 1Ω(X,x0 ) . Prova de (2): Para denirmos uma homotopia G : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I −→ Ω(X, x0 ) entre µ ◦ (µ × 1Ω(X,x0 ) ) ' µ ◦ (1Ω(X,x0 ) × Ω(X, x0 )) é suciente denirmos F : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I × I −→ X 59 contínua (pelo 0 Teorema 2.1) tal G = F, que onde 00 x = (w, w , w , t) ∈ Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I , de F em XI F com e checarmos que a imagem Ω(X, x0 ). realmente está em Consideremos então F (x)(s) = F (x, s) denida por: w(4s/(t + 1)), se 0 ≤ s ≤ (t + 1)/4 0 00 F (w, w , w , t, s) = w0 (4s − t − 1), se (t + 1)/4 ≤ s ≤ (t + 2)/4 w00 ((4s − 2 − t)/(2 − t)), se (t + 2)/4 ≤ s ≤ 1 Segue facilmente do lema da colagem que 0 F é contínua, e que para todo 00 0 00 (w, w , w , s) ∈ Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I , F (w, w , w , s) ∈ Ω(X, x0 ). Ainda, temos que, para s, t ∈ I , 0 00 0 00 0 0 00 0 00 0 00 F (w, w , w , 0)(s) = F (w, w , w , 0, s) = [(w ∗ w ) ∗ w ](s) = µ ◦ (µ ◦ 1Ω(X,x0 ) )(s) 00 F (w, w , w , 1)(s) = F (w, w , w , 1, s) = [w ∗ (w ∗ w )](s) = µ ◦ (1Ω(X,x0 ) ◦ µ)(s) F (lx0 , lx0 , lx0 , t)(s) = F (lx0 , lx0 , lx0 , t, s) = lx0 (s) E assim µ ◦ (µ ◦ 1Ω(X,x0 ) ) ' µ ◦ (1Ω(X,x0 ) ◦ µ). Deste modo (2) vale. Prova de (3): Seja η : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) dada por Fazendo uso do Teorema 2.1 a continuidade de Consideremos η K(w, t, s) = onde w(s) = w(1 − s). seguirá. K : Ω(X, x0 ) × I × I −→ X x0 , w(2s − t), η(w) = w, denida por se 0 ≤ s ≤ t/2 se t/2 ≤ s ≤ 1/2 w(2 − 2s − t), se 1/2 ≤ s ≤ (2 − t)/2 x 0 , se (2 − t)/2 ≤ s ≤ 1. 60 Seja K(w, t, s). H : Ω(X, x0 ) × I −→ Ω(X, x0 ), A continuidade de K dada por H = K, segue do Teorema 2.1. Para s, t ∈ I , onde K(w, t)(s) = verica-se que K(w, 0)(s) = (w ∗ w)(s) = (µ ◦ (1Ω(X,x0 ) × η) ◦ ∆Ω(X,x0 ) )(w)(s) K(w, 1)(s) = Lx0 (s) K(lx0 , t)(s) = x0 = lx0 (s) Deste modo, temos que mostramos que µ◦(1Ω(X,x0 ) ×η)◦∆Ω(X,x0 ) ' Lx0 , e de maneira semelhante µ ◦ (η × 1Ω(X,x0 ) ) ◦ ∆Ω(X,x0 ) , e assim a armação (3) ca provada. Denição 2.21 Sejam X , e A H-espaços, sendo A ⊂ X , com multiplicações µX e µA , respectivamente. Dizemos que (X, A) é um H-par se (X, A) é um par-NDR, e µX |A×A ' µA . Temos os seguintes resultados relacionados à H-teoria: Teorema 2.10 Para qualquer H-espaço Y , existe um complexo CW, X , e uma equivalência de homotopia fraca f : X −→ Y . Prova: Veja [13]. Teorema 2.11 Se Y é um H-espaço, então π1 (Y ) atua trivialmente sobre [X, Y ], para todo espaço X . Prova: Veja [13]. 61 Teorema 2.12 Se (Y, B) é um H-par, então π1 (B) atua trivialmente sobre [X, A; Y, B], para qualquer par-NDR (X, A). Prova: Veja [13]. Teorema 2.13 Sejam X , Y H-espaços e complexos CW, e f : X −→ Y uma H-aplicação. Então (If , X) é um H-par, sendo If o cilindro induzido por f . Prova: Veja [13]. Teorema 2.14 Sejam X um complexo CW, e Y um H-espaço. Se f : X −→ Y é uma equivalência de homotopia fraca, então X admite uma H-estrutura que torna f uma H-aplicação. Prova: Veja [13]. Teorema 2.15 Sejam X , Y H-espaços, tendo X uma estrutura de complexo CW, f : X −→ Y uma H-aplicação, que é uma equivalência de homotopia fraca. Além disso, suponhamos que X e Y sejam 0-conexos. Então f é equivalência de homotopia. Prova: Veja [13]. Pelo Teorema 2.8 vimos que Ω(X, x0 ) é um H-grupo, porém para demonstrarmos o principal resultado deste trabalho, o Teorema de James, necessitaremos de um monóide topológico que possua o mesmo tipo de homotopia de nós iremos denir na próxima seção. Ω(X, x0 ), e este monóide topológico 62 2.8 Espaço de Laços de Moore Nesta seção denimos o Espaço de Laços de Moore de um espaço com ponto base, e provamos que ele é um monóide topológico que possui o mesmo tipo de homotopia do espaço de laços. que X R+ Inicialmente, relembremos que R+ = [0, ∞) = {x ∈ R : x ≥ 0} f : R+ −→ X , é o conjunto formado por todas funções contínuas e munido da topologia compacto-aberta ( Veja a Seção 1 deste Capítulo ). Denição 2.22 Seja X um espaço topológico, e x0 um ponto de X. Denimos ΩM (X, x0 ) como sendo o subespaço de X R+ × R+ tal que (φ, r) ∈ ΩM (X, x0 ) se, e somente se, φ(0) = x0 e φ(t) = x0 para todo t ≥ r. Teorema 2.16 Seja Ω(X, x0 ) = {(φ, r) ∈ ΩM (X, x0 )/r = 1}. Então Ω(X, x0 ) é homeomorfo a Ω(X, x0 ). Ou seja, Ω(X, x0 ) pode ser visto como um subespaço de ΩM (X, x0 ). Prova: Considere φ |[1,∞) = lx0 , Ψ Ω(X, x0 ), onde lx0 (t) onde 1 ∈ A, Com efeito, seja k \ L = (Si , Vi ) Seja com Si Ψ(φ) = (φ, 1), σ ∈ Ψ−1 (U ), R+ . então σ ∈ (Si , Vi ) ∀i = 1, 2, . . . k , Ki = Si ∩ I . U = [L × A] ∩ Ω(X, x0 ) compacto em i=1 e A um aberto básico de Para isto, seja donde tal que onde φ |I = φ e = x0 , ∀ t ∈ I = [0, 1]. é contínua. i = 1, 2, . . . k , Ω(X, x0 ). Ψ : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) R+ Vi Armamos que aberto em X, para todo Ψ−1 (U ) Ψ(σ) = (σ, 1) ∈ U , o que implica em Notamos e que um aberto básico de é um aberto em donde segue que σ ∈ L, σ(Si ) ⊂ Vi , ∀i = 1, 2, . . . k . σ ∈ (Ki , Vi ), ∀i = 1, 2, . . . k , pois σ(Ki ) = σ(Si ∩ I) = σ |I (Si ∩ I) ⊂ Vi , para cada i = 1, 2, . . . k . Consideremos enk \ tão V = M ∩ Ω(X, x0 ), com M = (Ki , Vi ), segue que V é um aberto em Ω(X, x0 ), e i=1 pelo que vimos anteriormente, Finalmente, que, para t ∈ Si Ψ(V ) ⊂ U , segue que, ou para o primeiro caso, π∈ Tk Logo i=1 (Si , Vi ) Ψ σ ∈V. = L, é contínua. pois dado t ∈ S i ∩ I = Ki π(t) = π(t) ∈ Vi , e como π ∈ V , Ψ(π) = (π, 1) ∈ Ω(X, x0 ). 1∈A ou t ∈ Si ∩ [1, ∞), e para o segundo caso, segue que Notamos donde vem que, π(t) = x0 . Assim, Ψ(π) = (π, 1) ∈ (L × A) ∩ Ω(X, x0 ) = U . 63 Seja Υ : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) Constata-se Υ ◦ Ψ = 1Ω(X,x0 ) . que Ω(X, x0 ) Seja e diculdades Ω(X, x0 ) são homeomorfos. k \ U = (Si , Vi ) ∩ Ω(X, x0 ) i=1 é compacto de De fato, seja 1Ω(X,x0 ) , Υ e além disso, é contínua, pois daí seguirá R+ , e Vi (σ, 1) ∈ Υ−1 (U ), Como um aberto básico em Ω(X, x0 ) (para cada Υ−1 (U ) é aberto em é aberto de X). Temos que ou seja, Si σ|I ∈ U , é compacto de donde vem que, I ⊂ R+ , σ|I ∈ Ω(X, x0 ) segue que é compacto R+ . Consideremos R+ = Deste modo resta-nos apenas provar que σ|I (Si ) ⊂ Vi ∀ i = 1, 2, . . . k . em Ψ ◦ Υ que, e i = 1, 2, . . . k Si Ω(X, x0 ). sem Υ(φ, 1) = φ|I . denida por com 1 ∈ A. Temos então que ∀ i = 1, 2, . . . k , Υ(π, 1) ∈ U , V = [P × A] ∩ Ω(X, ∗), e como Υ(V ) ⊂ U . Si ⊂ I segue que e daí segue a continuidade de onde P = k \ (Si , Vi ), i=1 De fato, se (π, 1) e A é um aberto em ∈ V, então π(Si ) ⊂ Vi Υ(π, 1)(Si ) = π|I (Si ) ⊂ Vi . Portanto Υ. Teorema 2.17 Seja X um espaço topológico, e x0 um elemento de X. Então os espaços ΩM (X, x0 ) e Ω(X, x0 ) têm o mesmo tipo de homotopia. Prova: Consideremos mostrarmos que e ΩM (X, x0 ) e Ω(X, x0 ) = {(φ, t) ∈ ΩM (X, x0 )/t ≥ 1} ⊂ ΩM (X, x0 ). e e Ω(X, x0 ) é retrato por deformação de ΩM (X, x0 ), daí seguirá que Ω(X, x0 ) têm o mesmo tipo de homotopia, além disso provaremos que é retrato por deformação de ΩM (X, x0 ) e Ω(X, x0 ). E isto nos permitirá concluir que têm o mesmo tipo de homotopia, e como Ω(X, x0 ) ΩM (X, x0 ) Ω(X, x0 ) e topia. Inicialmente, mostremos que e Ω(X, x0 ) é um retrato por deformação de Ω(X, x0 ) Ω(X, x0 ) é homeomorfo a (pelo Teorema 2.16), decorrerá que Seja A idéia é e Ω(X, x0 ) terão o mesmo tipo de homo- H : I × ΩM (X, x0 ) −→ ΩM (X, x0 ) denida por (φ, r + s), se r + s ≤ 1 H(s, (φ, r)) = (φ, 1), se r ≤ 1 ≤ r + s (φ, r), se r ≥ 1 ΩM (X, x0 ). 64 H é contínua. De fato, seja e : I × X R+ × R+ −→ X R+ × R+ , H (φ, r + s), e φ, r) = (φ, 1), H(s, (φ, r), e, H Se provarmos a continuidade de e I×ΩM (X,x ) . H = H| 0 dada por se r + s ≤ 1 se r ≤ 1 ≤ r + s se r ≥ 1 seguirá que H também será contínua, pois Deste modo basta-nos provar a continuidade de e. H Consideremos os seguintes conjuntos A1 = X R+ × {(s, r) ∈ I × R+ : r + s ≤ 1} A2 = X R+ × {(s, r) ∈ I × R+ : r ≤ 1 ≤ r + s} A3 = X R+ × {(s, r) ∈ I × R+ : r ≥ 1} Temos que I × X R+ × R+ é homeomorfo α : X R+ × I × R+ −→ I × X R+ × R+ são fechados em I × X R+ × R+ . X R+ × I × R+ dada por segue que Assim, podemos ver e H e1 H e i = H| eL H i para X R+ × I × R+ , α(φ, s, r) = (s, φ, r). Li = α(Ai ), para via Como i = 1, 2, 3, i = 1, 2, 3. A1 , A2 , e A3 são fechados em se (s, φ, r) ∈ L1 se (s, φ, r) ∈ L2 se (s, φ, r) ∈ L3 Temos que ei H é contínua. De fato, temos que é igual a composição α−1 p 1 R+ ×S L1 −→ A1 ,→ I × X R+ × R+ −→ X R+ × I × R+ X−→ X R+ × R+ , onde p(s, φ, r) = (φ, s, r) e2 H e (1X R+ × S)(φ, s, r) = (φ, r + s), é igual a composição aplicação como (φ, r + s), e φ, r) = (φ, 1), H(s, (φ, r), Sejam a logo e1 H é contínua. 65 α−1 T L2 −→ A2 ,→ I × X R+ × R+ −→ X R+ × R+ , onde T (s, φ, r) = (φ, 1). E nalmente, Portanto e3 H e2 H é contínua. é igual a composição α−1 π 2 X R+ × R+ , L3 −→ A3 ,→ I × X R+ × R+ −→ onde π2 (s, φ, r) = (φ, r). Donde segue que Ainda, temos que em e1 = H e2 = H e3. H E como por é contínua. e1 = H e2, L1 ∩ L2 , H H e em L1 ∩ L2 ∩ L3 , segue do lema da colagem que e H é imediata. Observamos que H(1, (φ, r)) = (φ, 1), (φ, r), E assim, temos que R e2 = H e3 L2 ∩ L3 , H e e i : Ω(X, x0 ) −→ ΩM (X, x0 ), a inclusão e R : ΩM (X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) dada R(φ, r) = H(1, (φ, r)). é contínua, em L1 ∪ L2 ∪ L3 = I × X R+ × R+ , é contínua, e daí a continuidade de Sejam e3 H e H(1, (φ, r)) ∈ Ω(X, x0 ). se 0 ≤ r ≤ 1 se r ≥ 1 Donde segue a boa denição de também será. Temos ainda que, para R. Como H e (φ, r) ∈ Ω(X, x0 ), (R ◦ i)(φ, r) = R(φ, r) = H(1, (φ, r)) = (φ, r) = 1Ω(X,x (φ, r) e 0) e i ◦ R ' 1ΩM (X,x0 ) via homotopia H. Notemos que (φ, r), H(0, (φ, r)) = (φ, 1), (φ, r), Portanto ΩM (X, x0 ) e Ω(X, x0 ) se r ≤ 1 se r ≤ 1 e r ≥ 1 se r ≥ 1 é retrato por deformação de ΩM (X, x0 ). E assim, e Ω(X, x0 ) e têm o mesmo tipo de homotopia. Mostremos agora que tal, mostraremos que e Ω(X, x0 ) e Ω(X, x0 ) têm o mesmo tipo de homotopia. Ω(X, x0 ) é retrato por deformação de e Ω(X, x0 ). Para Consideremos 66 e e G : I × Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) denida por G(s, (φ, r)) = (φrs , (1 − s)r + s), Armamos que G onde φrs (t) = φ[rt/((1 − s)r + s)]. é contínua. De fato, consideremos e : I × X R+ × [1, ∞) −→ X R+ × [1, ∞), G dada por que G e φ, r) = (φr , (1 − s)r + s), onde φr (t) = φ[rt/((1 − s)r + s)]. G(s, s s é contínua, basta vericarmos que e1 (s, φ, r) = φr , G s e Para provarmos e1 : I × X R+ × [1, ∞) −→ X R+ , G e2 : I × X R+ × [1, ∞) −→ [1, ∞), G dada por dada por e2 (s, φ, r) = (1 − s)r + s, G são contínuas. A continuidade de e2 G é mais evidente. De fato, sejam Π : I × X R+ × [1, ∞) −→ I × [1, ∞), e Φ : I × [1, ∞) −→ [1, ∞), denidas por e além disso Π(s, φ, r) = (s, r) e Φ(s, r) = (1 − s)r + s. e 2 = Φ ◦ Π, G e daí segue a continuidade de Veriquemos agora a continuidade de e1 . G Claramente ΠeΦ são contínuas, e2 . G Para isso, consideremos ∆ : I × X R+ × [1, ∞) −→ [1, ∞) × X R+ , denida por contínuas, ∆ ∆(s, φ, r) = (r/((1 − s)r + s), φ). também é contínua. Seja ainda ∆ Como as funções coordenadas de Θ : [1, ∞) × X R+ −→ X R+ são dada por Θ(r, φ)(t) = φ(rt) = φr (t) ∀ t ∈ R+ . Notemos que e1 . (Θ ◦ ∆)(s, φ, r) = Θ(r/((1 − s)r + s), φ) = φr/((1−s)r+s) = G modo, se provarmos que Θ Temos, pelo Teorema 2.1 que dada por e r, φ) = φ(rt) Θ(t, Seja é contínua, a continuidade de e1 G Deste seguirá imediatamente. e : R+ × [1, ∞) × X R+ −→ X Θ é contínua se, e somente se, Θ é contínua. Λ : R+ × [1, ∞) × X R+ −→ R+ × X R+ , denida por Λ(t, r, φ) = (rt, φ). as funções coordenadas de Λ são contínuas, segue que sabemos que a aplicação avaliação contínua, pelo Teorema 2.1. Λ a : R+ × X R+ −→ X , também é contínua. que satisfaz Como Ainda, a(t, φ) = φ(t) é 67 Notemos que contínua, bem como e r, φ), (a ◦ Λ)(t, r, φ) = a(rt, φ) = φ(rt) = Θ(t, Θ. Agora, como Logo, e1 G e e1 G e2 G Temos que segue que e G e e G| I×Ω(X,x0 ) = G e x0 ), G(1, (φ, r)) = (φr1 , 1) ∈ Ω(X, e L : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) dada por L(φ, r) = G(1, (φ, r)). L e Θ é é contínua. são contínuas, segue que e I × Ω(X, x0 ) ⊂ I × X R+ × [1, ∞), e daí vem que também é contínua. Ainda, para (φ, 1) ∈ Ω(X, x0 ), é contínua. Ainda, como é contínua. Assim podemos considerar Como G é contínua, segue que temos (L ◦ i)(φ, 1) = G(1, (φ, 1)) = (φ11 , 1), sendo e i : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) a inclusão. Mas, φ11 (t) = φ[1t/((1 − 1)1 + 1)] = φ(t) ∀ t ∈ R+ . Assim, G(1, (φ, 1)) = (φ11 , 1) = (φ, 1) = 1|Ω(X,x0 ) (φ, 1). G(0, (φ, r)) = (φ0 , r). Observamos que Mas, φr0 (t) = φ[rt/((1 − 0)r + 0)] = φ(rt/r) = φ(t), ∀ t ≥ 0, donde vem que φr0 = φ. Deste modo, temos que (φ, r). G(0, (φ, r)) = (φr0 , r) = (φ, r) = 1|Ω(X,x e 0) Usando o fato que G. Portanto, L(φ, r) = G(1, (φ, r)), Ω(X, x0 ) e Teorema 2.16, vimos que e Ω(X, x0 ) segue que i ◦ L ' 1Ω(X,x , e 0) têm o mesmo tipo de homotopia. via homotopia Finalmente, pelo Ω(X, x0 ) e Ω(x, x0 ) são homeomorfos, e assim têm o mesmo tipo de homotopia. Daí segue que ΩM (X, x0 ) e Ω(X, x0 ) têm o mesmo tipo de homotopia. Teorema 2.18 Seja µ : ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ ΩM (X, x0 ) denida por µ((φ, r), (ψ, s)) = (φ, r) • (ψ, s) = (φ ∗ ψ, r + s), onde φ(t), se 0 ≤ t ≤ r (φ ∗ ψ)(t) = ψ(t − r), se t ≥ r 68 Então o espaço ΩM (X, x0 ) com a operação µ é um monóide topológico, com elemento neutro (lx0 , 0). Prova: Inicialmente, mostremos que Associatividade de µ: Sejam (ΩM (X, x0 ), µ) é um monóide. (φ, r), (ψ, s) e (θ, t), elementos de ΩM (X, x0 ). Então temos [(φ, r) • (ψ, s)] • (θ, t) = (φ ∗ ψ, r + s) • (θ, t) = ((φ ∗ ψ) ∗ θ, (r + s) + t) = (φ ∗ (ψ ∗ θ), r + (s + t)) = (φ, r) • (ψ ∗ θ, s + t) = (φ, r) • [(ψ, s) • (θ, t)], estas igualdades decorrem da igualdade [(φ ∗ ψ) ∗ θ](l) = (φ ∗ ψ) ∗ θ = φ ∗ (ψ ∗ θ), (φ ∗ ψ)(l), a qual é justicada por: se 0 ≤ l ≤ r + s θ(l − (r + s)), se l ≥ r + s φ(l), se 0 ≤ l ≤ r = ψ(l − r), se r ≤ l ≤ r + s θ(l − (r + s)), se l ≥ r + s = φ(l), se 0 ≤ l ≤ r (ψ ∗ θ)(l − r), se r ≤ l ≤ r + s = [φ ∗ (ψ ∗ θ)](l) ∀ l ∈ R+ Agora veriquemos que ante a operação µ. Seja (φ, r) (lx0 , 0) de fato é o elemento neutro de um elemento de ΩM (X, x0 ), ΩM (X, x0 ), então temos: medi- 69 (lx0 , 0) • (φ, r) = (lx0 ∗ φ, 0 + r) = (φ, r), igualdade lx0 ∗ φ = φ, onde a última igualdade decorre da a qual se justica da seguinte maneira, (lx0 ∗ φ)(t) = lx0 (t), se t = 0 φ(t), = x0 , se t ≥ r se t = 0 φ(t), se 0 ≤ t ≤ r = φ(t) ∀ t ∈ R+ Deste modo, temos que desde que µ seja contínua. elementos de ΩM (X, x0 ). ΩM (X, x0 ) com a operação Veriquemos a boa denição de Armamos que µ. µ é um monóide topológico, Para isso, sejam (φ, r), (ψ, s) (φ, r) • (ψ, s) = (φ ∗ ψ, r + s) ∈ ΩM (X, x0 ). φ ∗ ψ : R+ −→ X , dada por φ(t), se t ∈ [0, r] (φ ∗ ψ)(t) = ψ(t − r), se t ∈ [r, ∞) De fato, temos que é contínua pelo lema da colagem. Além disso, (φ ∗ ψ)(0) = φ(0) = x0 , e (φ ∗ ψ)(r + s) = ψ(r + s − r) = ψ(s) = x0 Mostremos a continuidade de Temos que µ. µ : ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ ΩM (X, x0 ) é dada por µ((φ, r), (ψ, s)) = (φ ∗ ψ, r + s). Como ΩM (X, x0 ) ,→ X R+ × R+ , para provarmos a continuidade de continuidade de µ1 : ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ X R+ e µ2 : ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ R+ , µ, basta-nos provar a 70 µ1 ((φ, r), (ψ, s)) = φ ∗ ψ onde Continuidade de Mostrar que µ1 e µ2 ((φ, r), (ψ, s)) = r + s. µ1 : é contínua, é equivalente a mostrar a continuidade de µ e1 : R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ X, onde, µ e1 (t, (φ, r), (ψ, s)) = se 0 ≤ t ≤ r φ(t), ψ(t − r), se t ≥ r Mostremos então a continuidade de µ e1 . Sejam F1 = {(t, (φ, r), (ψ, s)) ∈ R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 )|0 ≤ t ≤ r}, F2 = {(t, (φ, r), (ψ, s)) ∈ R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 )|t ≥ r}. Os conjuntos F1 e F2 são fechados em R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ), além disso, F1 ∪ F2 = R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ), e em F1 ∩ F2 = {(t, (φ, r), (ψ, s)) ∈ R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 )|t = r}, temos µ e11 (r, (φ, r), (ψ, s)) = µ e1 |F1 (r, (φ, r), (ψ, s)) = φ(r) = x0 e µ e21 (r, (φ, r), (ψ, s)) = µ e1 |F2 (r, (φ, r), (ψ, s)) = ψ(r − r) = x0 . Deste modo, se provarmos que a continuidade de µ e11 µ e1 µ e11 e µ e21 são contínuas em F1 e F2 , respectivamente, seguirá pelo lema da colagem. é a composição p a F1 ,→ R+ ×ΩM (X, x0 )×ΩM (X, x0 ) ,→ R+ ×X R+ ×R+ ×X R+ ×R+ −→ R+ ×X R+ −→ X, onde p(t, φ, r, ψ, s) = (t, φ) e a(t, φ) = φ(t). segue que µ e11 µ e21 Como p é projeção, e a é a aplicação avaliação, é composição de funções contínuas, portanto também é contínua. é a composição q h×1 a F2 ,→ R+ × X R+ × R+ × X R+ × R+ −→ R+ × R+ × X R+ −→ R+ × X R+ −→ X, 71 onde q(t, φ, r, ψ, s) = (t, r, ψ), a(t, ψ) = ψ(t) aplicação avaliação e h e é contínua, segue que h(t, r) = |r − t|. µ e21 Como p é projeção, é a é composição de funções contínuas, logo também é contínua. Do que argumentamos acima, segue a continuidade de Mostremos agora a continuidade de a µ2 . µ2 µ1 . é a composição p2 ×p2 s ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) ,→ X R+ × R+ × X R+ × R+ −→ R+ × R+ −→ R+ , onde p2 : X R+ × R+ −→ R+ é a projeção sobre o segundo fator, e de números reais. Como s e µ1 e µ2 Agora, como que ΩM (X, x0 ) p1 são contínuas segue que são contínuas, segue que é um monóide topológico. µ2 µ s é a operação de soma também é contínua. é contínua. Deste modo, temos Capítulo 3 Produto Reduzido de James Neste capítulo deniremos o Produto Reduzido de James topológico 3.1 X, J(X) para um espaço com ponto base. Monóide Livre Nesta seção, para um conjunto não-vazio um objeto livre gerado por J(X) X com um ponto base M on, na categoria dos monóides e, construiremos que se chamará monóide livre X. Lembrando que a categoria dos monóides M on (1) obj(M on) = {M : M (2) HomM on (M, N ) = {f : M −→ N : f é tal que: é monóide} é homomorsmo de monóides}, onde M, N ∈ obj(M on) (3) a composição sendo ◦ : HomM on (M, N ) × HomM on (N, P ) −→ HomM on (M, P ), M, N, P ∈ obj(M on), Seja disjunta dos X é a usual. um conjunto não-vazio com ponto base X n, com n ≥ 1, onde Xn = X | × X{z× . . . X}. n vezes G X n e. . n≥1 72 Consideremos então a união Denotaremos tal união por 73 Em G X n, ∼ podemos considerar a relação de equivalência gerada por n≥1 ( ) ((x1 , . . . , xi−1 , e, xi , . . . , xn ), (x1 , . . . , xi−1 , xi , . . . , xn )) ∈ G G Xj × j≥1 Denimos J(X) como sendo G Xj . j≥1 X n / ∼ . A classe de equivalência de um elemento n≥1 (x1 , x2 , . . . , xn ) J(X) em será denotada por (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 x2 . . . xn . Notemos que, para qualquer elemento G a∈ Xn tal que a = z, z = z1 z2 . . . zp ∈ J(X), existe um único sendo n≥1 a= (a1 , a2 , . . . aq ), se zi 6= e para algum i ∈ {1, 2, . . . p} e, com se zi = e, ∀i ∈ {1, 2, . . . p} ai 6= e, ∀ i = 1, 2, . . . q. Chamamos Observamos ainda que, se reduzidos de ambos, z e w z e w, de produto reduzido de z. z = w, então k=l e são produtos zi = wi , ∀ i ∈ {1, 2, . . . l}, · : J(X) × J(X) −→ J(X) a = a1 a2 . . . am , b = b1 b2 . . . bn ∈ J(X), então denida pela justaposição, ou a · b := a1 a2 . . . am b1 b2 . . . bn . O próximo teorema, cuja demonstração é imediata, nos garante que operação · ou e. Agora, consideremos seja, se a z = z1 z2 . . . zk , w = w1 w2 . . . wl ∈ J(X) respectivamente, e são iguais a , é um monóide, logo J(X) é um objeto na categoria M on J(X) com a dos monóides. Teorema 3.1 J(X) com a operação · é um monóide tendo como elemento identidade e. Teorema 3.2 Seja X um conjunto não-vazio, com ponto base e, e seja i : X −→ J(X) a inclusão. Se (M, m, ∗) é um monóide com elemento identidade m e multiplicação ∗, e f : (X, x0 ) −→ (M, m) é uma aplicação entre conjuntos, então existe um único homo- morsmo de monóides f : J(X) −→ M tal que f ◦ i = f . Em outras palavras, J(X) é um objeto livre sobre o conjunto X na categoria M on dos monóides. 74 Prova: Seja f (e) = m. f : J(X) −→ M Claramente f J(X), f (x1 x2 . . . xn ) = f (x1 ) ∗ f (x2 ) ∗ . . . f (xn ) está bem denida (pois homomorsmo de monóides. elementos de denida por De fato, sejam f (e) = m). Armamos que f e é um z = z1 z2 . . . zp 6= e, w = w1 w2 . . . wq 6= e então: f (z · w) = f (z1 z2 . . . zp w1 w2 . . . wq ) = f (z1 ) ∗ f (z2 ) ∗ . . . f (zp ) ∗ f (w1 ) ∗ f (w2 ) ∗ . . . f (wq ) = f (z1 z2 . . . zp ) ∗ f (w1 w2 . . . wq ) = f (z) ∗ f (w) Caso z = e, w = w1 w2 . . . wq 6= e, temos f (z · w) = f (ew1 w2 . . . wq ) = f (w1 w2 . . . wq ) = f (w1 ) ∗ f (w2 ) ∗ . . . f (wq ) = m ∗ f (w1 ) ∗ f (w2 ) ∗ . . . f (wq ) = f (e) ∗ f (w1 ) ∗ f (w2 ) ∗ . . . f (wq ) = f (z) ∗ f (w) Analogamente f (z · e) = f (z) ∗ f (e). temos que, para Logo f x ∈ X , (f ◦ i)(x) = f (x) = f (x), Mostremos agora a unicidade de g : J(X) −→ M tal que Armamos que segue que f =g é homomorsmo de monóides. Além disso, em X. donde vem que f. Para tanto, f ◦ i = f. suponhamos que exista g ◦ i = f. f = g. De fato, seja Agora, para x ∈ X, então x1 x2 . . . xn ∈ J(X), f (x) = f (x) = g(x), donde temos f (x1 x2 . . . xn ) = f (x1 ) ∗ f (x2 ) ∗ . . . ∗ f (xn ) = g(x1 ) ∗ g(x2 ) ∗ . . . ∗ g(xn ) = g(x1 x2 . . . xn ). Logo f =g em J(X). O que prova a unicidade de Do que argumentamos acima, segue que monóides M on. f. J(X) é objeto livre na categoria dos 75 Corolário 3.1 Se L é outro objeto livre sobre X na categoria dos monóides M on (com λ : X −→ L) então existe um isomorsmo de monóides Φ : J(X) −→ L tal que Φ ◦ i = λ. Prova: onde L Como J(X) é objeto livre sobre X e λ : X −→ L é uma aplicação entre conjuntos, é um monóide, então, pelo teorema anterior, existe um único homomorsmo de monóides Φ : J(X) −→ L que torna o diagrama abaixo comutativo. /L < zz z z z zz zz λ J(X) O i X Utilizando a hipótese de L Φ ser objeto livre sobre ser uma aplicação entre conjuntos, sendo J(X) X, e o fato de i : X −→ J(X) um monóide, segue pelo teorema anterior que existe um único homomorsmo de monóides Ψ : L −→ J(X) que faz o diagrama abaixo comutar. LO λ X / J(X) y< y y y yy yy i Ψ Combinando os dois diagramas anteriores, obtemos um novo diagrama comutativo, Ψ / / <L 6 J(X) z z lll l l λ zz z lll zz lll i zlzllll J(X) O i X Logo (Ψ ◦ Φ) ◦ i = i. aplicação entre conjuntos e Φ Agora, como J(X) J(X) é objeto livre sobre X , i : X −→ J(X) é é monóide, segue pelo teorema interior, que existe um único homomorsmo de monóides α : J(X) −→ J(X) tal que α ◦ i = i. são homomorsmos de monóides, 1J(X) ◦ i = i Um argumento análogo mostra que, e (Ψ ◦ Φ) ◦ i = i, Φ ◦ Ψ = 1L . Portanto Como segue que J(X) e L 1J(X) , Ψ ◦ Φ Ψ ◦ Φ = 1J(X) . são isomorfos. Denição 3.1 O monóide J(X) é denominado monóide livre gerado por X. 76 Nosso próximo objetivo será construir uma topologia para J(X), quando X for um espaço topológico de Hausdor. 3.2 A topologia de J(X) X Nesta seção consideramos não degenerado de X, Seja gerada em Xn Xn (X, e) isto é, o par uma topologia conveniente para um espaço topológico de Hausdor e e um ponto é um par-NDR. A partir disso, construiremos J(X). o produto de n cópias de X, e considere a topologia compactamente (podemos fazer tal consideração, pois Consideremos a aplicação ik : X n−1 −→ X n Xn é espaço de Hausdor ). denida por ik (x1 , x2 , . . . xn−1 ) = (x1 , . . . , xk−1 , e, xk , . . . , xn−1 ), k = 1, 2, . . . , n. X∗n−1 como sendo o conjunto de todos pontos de n [ n−1 ao menos uma coordenada igual a e, ou seja, X∗ = ik (X n−1 ). para Denimos Observamos que a aplicação X∗n−1 é fechado em ik é contínua. Basta mostrarmos que ik |C F ⊂ Xn k=1 é (1) contínua e (2) fechada, de onde segue que X n. Prova de (1): Mas, se ik X n , com é fechado, como : C −→ X n é contínua para todo compacto C ⊂ X n−1 . ik é injetora, segue que −1 (ik |C )−1 (F ) = i−1 k (F ) ∩ C = ik (F ∩ ik (C)). Mas fechado em ik (C) é compacto em X n , e como ik é fechado em C. F ( com a topologia produto ), donde ik F ∩ ik (C) −1 é contínua (com a topologia produto), segue que ik (F E daí segue a continuidade de Prova de (2): Seja Xn é ∩ ik (C)) ik . é fechada. um fechado em X n−1 , devemos mostrar que ik (F ) é fechado em X n. Para 77 tanto, seja K um compacto qualquer de X n. Agora, ik (F ) ∩ K = ik (F ) ∩ (K ∩ ik (X n−1 )) n−1 = ik (F ) ∩ ik (i−1 ))) k (K ∩ ik (X n−1 = ik (F ∩ i−1 ))). k (K ∩ ik (X Visto que ik X n−1 é contínua quando os espaços topologia produto, segue que ik (X n−1 ) é fechado em n−1 X n , i−1 )) é compacto de X n−1 . k (K ∩ik (X X n, e Xn são considerados com a e assim, como K é compacto de n−1 F ∩i−1 )) é fechado em X n k (K ∩ik (X Logo (com a topologia produto). Haja visto que a aplicação ik é fechada, quando consideramos X n−1 de e X n. Xn com a topologia produto, segue que Portanto é fechado em Xn ik (F ) ∩ K Xn é fechado em n−1 ik (F ∩ i−1 ))) k (K ∩ ik (X é um fechado (com a topologia produto), e assim, ik (F ) (com a topologia compactamente gerada), o que completa a prova de ik ser fechada. Seja elementos de J n (X) = {x1 x2 . . . xk ∈ J(X) : k ≤ n}, ou seja, J n (X) é o conjunto de todos J(X) que são produtos de no máximo πn : X n −→ J n (X) a topologia em a aplicação denida por J n (X), de tal modo que aberto, se, e somente se, πn−1 (A) πn J n (X), CG 5. proclusão, se mostrarmos que J n (X) X. Consideremos πn (x1 , x2 , . . . xn ) = x1 x2 . . . xn , e coloque A ⊂ J n (X) é X n. construiremos uma topologia para primeiro passo para esta construção é provar que isso, utilizaremos a propriedade elementos de seja uma proclusão, ou seja, é aberto em A partir da topologia de n J n (X) Visto que Xn J(X). O é compactamente gerado, e para é compactamente gerado, é um espaço de Hausdor, então seguirá que πn é J n (X) é compactamente gerado. Teorema 3.3 O espaço J n (X) é um espaço de Hausdor. Prova: Sejam 0 0 0 0 x = x1 x2 . . . xn , x = x1 x2 . . . xn tão podemos escrever 0 0 0 elementos distintos de 0 0 x = w1 w2 . . . wp , x = w1 w2 . . . wq , 0 onde 0 J n (X). En- wi , wj ∈ X − {e}, e 0 (w1 , w2 , . . . , wp ) 6= (w1 , w2 , . . . , wq ). Como X é compactamente gerado, X é espaço de Hausdor, e assim podemos 78 U escolher vizinhanças de e, Vi de 0 wi , Vj de 0 wj tais que 0 0 0 U ∩ Vi = U ∩ Vj = ∅ e Vi ∩ Vj = ∅ se wi 6= wj . Sejam P = V1 × V2 × . . . Vp × U . . × U} | × .{z n−p f atores 0 0 0 0 P = V1 × V2 × . . . Vq × |U × .{z . . × U} n−q f atores Q Tomemos como sendo a união de todos conjuntos que podem ser obtidos de V1 , V2 , . . . , Vp permutando seus fatores, porém deixando a ordem dos fatores 0 Q. De maneira análoga denimos produto, logo são abertos em que πn (Q) e 0 πn (Q ) Xn Então πn−1 (πn (Q)) = Q, (2) πn−1 (πn (Q )) = Q . 0 e 0 Q são abertos em Xn J n (X). inalterada. com a topologia com a topologia compactamente gerada. são abertos em (1) Q P Armamos De fato, temos que 0 Justicativa de (1): Seja z = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ πn−1 (πn (Q)), então πn (z) = z1 z2 . . . zn e πn (z) ∈ πn (Q). Como πn (z) ∈ J(X), podemos escrevê-lo como produto reduzido, que é único, ou seja, πn (z) = zj1 zj2 . . . zjk , com 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ n. tal que πn (q) = πn (z). para algum s ≤ n l = 1, 2, . . . , k , que e e para πn−1 (πn (Q)) ⊂ Q. k ≤ n, zji ∈ X − {e}, Agora, como πn (z) ∈ πn (Q), Mas o produto reduzido de πn (q) 1 ≤ i1 < i2 < . . . < is ≤ n. zr com r∈ / {j1 , j2 , . . . jk }, zr = e, para todo existe i = 1, 2, . . . k , q = (q1 , q2 , . . . , qn ) ∈ Q deve ter a forma Portanto donde e s = k z ∈ Q. e qi1 qi2 . . . qis , zjl = qil para Deste modo, temos A outra inclusão é imediata, e daí segue (1). A justicativa de (2) é semelhante à justicativa de (1). Por (1) e (2) segue que 0 πn (Q) e 0 πn (Q ) são abertos em J n (X), com x ∈ πn (Q) e 0 x ∈ πn (Q ). Como 0 P ∩ P = ∅, a prova do Teorema. segue imediatamente que 0 πn (Q) ∩ πn (Q ) = ∅, o que completa 79 Corolário 3.2 O espaço J n (X) é compactamente gerado. J n (X) satisfaz algumas propriedades interessantes, as quais serão úteis para demonstrarmos que J(X) é um monóide topológico. Tais propriedades se resumem no teorema a seguir. Teorema 3.4 Sejam X um espaço de Hausdor e e um ponto base não degenerado de X . Então: (1) A aplicação J n−1 (X) ,→ J n (X) é um homeomorsmo entre J n−1 (X) e um subespaço fechado de J n (X); (2) A proclusão πn : (X n , X∗n−1 ) −→ (J n (X), J n−1 (X)) é um homeomorsmo relativo; (3) (J n (X), J n−1 (X)) é um par-NDR. Prova: Seja J∗n−1 = πn (X∗n−1 ), De fato, seja X∗n−1 = πn−1 (J∗n−1 ). então z ∈ πn−1 (J∗n−1 ), isto é, z = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ X n w ∈ X∗n−1 . assim πn (z) = πn (w), n−1 coordenadas diferentes de com e, e Logo portanto πn (z) ∈ J∗n−1 = πn (X∗n−1 ), πn (z) ∈ J n−1 (X), z ∈ X∗n−1 , donde z possui no máximo deste modo, temos πn−1 (J∗n−1 ) ⊂ X∗n−1 . A inclusão X∗n−1 ⊂ πn−1 (J∗n−1 ) Sabemos que vem que J∗n−1 X∗n−1 é fechado em é imediata. Portanto é fechado em X n, logo X∗n−1 = πn−1 (J∗n−1 ). πn−1 (J∗n−1 ) é fechado em J n (X). Observamos que, J∗n−1 = πn (X∗n−1 ) = {x1 x2 . . . xk ∈ J(X) : k ≤ n − 1} = J n−1 (X), X n, donde 80 sendo esta última igualdade, entre conjuntos. e J n−1 (X) Deste modo, se mostrarmos que J∗n−1 possuem a mesma topologia, seguirá que e J n−1 (X) J∗n−1 são homeomor- fos, e assim a armação (1) cará justicada. Antes de mostrarmos isso, provemos que πn : (X n , X∗n−1 ) −→ (J n (X), J∗n−1 ) Sabemos que é um homeomorsmo relativo. πn : X n −→ J n (X) é proclusão, além disso, pn := πn |X n −X∗n−1 : X n − X∗n−1 −→ J n (X) − J∗n−1 πn (X∗n−1 ) = J∗n−1 . está bem denida, pois Armamos que pn é homeomorsmo. De fato, uma aplicação contínua. Ainda temos que pn pn é contínua pois é restrição de é bijetora, pois satisfaz: (4) Injetividade. Sejam x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ X n tais que pn (x1 , x2 , . . . , xn ) = pn (y1 , y2 , . . . , yn ), então x1 x2 . . . xn = y1 y2 . . . yn , com yi 6= e 6= xi ∀i = 1, 2, . . . n =⇒ xi = yi ∀i = 1, 2, . . . n =⇒ x = y (5) Sobrejetividade. Dado então existe x ∈ J n (X) − J∗n−1 , (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ X n − X∗n−1 E nalmente, Então pn é fechada. πn−1 (pn (F )) = F Portanto x = x 1 x 2 . . . xn , J n−1 (X) J∗n−1 e e J∗n−1 X n, segue que π∗ pn (F ) logo é fechado em X n −X∗n−1 . J n (X) − J∗n−1 . é um homeomorsmo relativo. No- possuem a mesma topologia, seguirá (2). J n−1 (X) π∗ = πn |X∗n−1 : X∗n−1 −→ J∗n−1 . xi 6= e ∀i = 1, 2, . . . , n, um subconjunto fechado de πn : (X n , X∗n−1 ) −→ (J n (X), J∗n−1 ) Provemos então que junto fechado de F X n − X∗n−1 , com pn (x1 , x2 , . . . , xn ) = x. tal que De fato, seja é fechado em vamente, se mostrarmos que Seja isto é, possuem a mesma topologia. Como πn é proclusão, e X∗n−1 é um subcon- também é uma proclusão. Sem muitas diculdades, verica-se que o seguinte diagrama é comutativo. 81 ik X n−1 / πn−1 J n−1 (X) F Seja J n−1 (X), um fechado de aplicação fechada, −1 ik (πn−1 (F )) Armamos que = π∗ J∗n−1 então é fechado de π∗−1 (F ) X∗n−1 −1 πn−1 (F ) é fechado em X n−1 , e como ik é X∗n−1 . n [ −1 (F )), ik (πn−1 (6) k=1 −1 logo π∗ (F ) é fechado de X∗n−1 , o que implica que F é fechado em J∗n−1 . Justicativa de (6): z ∈ π∗−1 (F ) =⇒ z ∈ X∗n−1 = Sn k=1 ik (X n−1 ) e π∗ (z) ∈ F =⇒ ∃ l ∈ {1, 2, . . . , n} tal que z ∈ il (X n−1 ) e π∗ (z) ∈ F =⇒ ∃ x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ X n−1 tal que il (x) = z e π∗ (z) ∈ F =⇒ π∗ (z) = π∗ (il (x)) ∈ F =⇒ π∗ (il (x)) = πn (x1 , x2 , . . . , xl−1 , e, xl , . . . , xn−1 ) ∈ F =⇒ πn (x1 , . . . , xl−1 , e, xl , . . . , xn−1 ) = x1 x2 . . . xn−1 = πn−1 (x) ∈ F S −1 −1 (F )) =⇒ z ∈ il (πn−1 (F )) ⊂ nk=1 ik (πn−1 Portanto, π∗−1 (F ) ⊂ Sn −1 k=1 ik (πn−1 (F )). Ainda, z∈ Sn −1 k=1 ik (πn−1 (F )) −1 =⇒ ∃ l ∈ {1, 2, . . . , n}; z ∈ il (πn−1 (F )) −1 =⇒ ∃ x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ πn−1 (F ); il (x) = z =⇒ π∗ (z) = π∗ (il (x)) = x1 x2 . . . xn−1 = πn−1 (x) ∈ F =⇒ z ∈ π∗−1 (F ) Logo Sn −1 k=1 ik (πn−1 (F )) Consideremos F ⊂ π∗−1 (F ). um fechado em Com isso, ca provado (6). J∗n−1 , assim π∗−1 (F ) Devido à comutatividade do diagrama acima, de J n−1 (X), pois ik é contínua. E daí segue que J∗n−1 e é fechado de X∗n−1 . −1 −1 πn−1 (F ) = i−1 k (π∗ (F )) J n−1 (X) é fechado têm a mesma topologia. Consequentemente as armações (1) e (2) do teorema são verdadeiras. 82 Como (2) é verdadeira, relativo. Se provarmos que que (J n (X), J n−1 (X)) Por hipótese, Pela propriedade πn : (X n , X∗n−1 ) −→ (J n (X), J n−1 (X)) (X n , X∗n−1 ) é um par-NDR, seguirá pela propriedade CG 9 é um par-NDR, e assim (3) se justicará. e X, é um ponto não degenerado de isto é, (X, e) é um par-NDR. CG 8 segue que (X, e)×(X, e) = (X ×X, X ×{e}∪{e}×X) = (X 2 , X∗1 ) k ≥ 2, (X k , X∗k−1 ) é um par-NDR. Suponhamos que, para que o par é homeomorsmo (X k+1 , X∗k ) Ora, como seja um par-NDR e provemos é NDR. (X, e) e (X k , X∗k−1 ) são pares NDR, então, ainda pela propriedade CG 8, (X k , X∗k−1 ) × (X, e) = (X k × X, X∗k−1 × {e} ∪ {e} × X∗k−1 ) = (X k−1 , X∗k ) é um par NDR. Agora, do Teorema 3.4 segue que os espaços J n (X) pandida de espaços no sentido de 1.18. Dando ao espaço nada por {J n (X)}, a ltração NDR vemos, pela propriedade formam uma sequência ex- J(X) CG 13 que J(X) é um espaço ltrado sob {J n (X)}. Para mostrarmos a continuidade da multiplicação em continuidade da aplicação justaposição espaços a topologia fraca determi- J(X), j : X m × X n −→ X m+n devemos vericar a quando consideramos os X m , X n e X m+n compactamente gerados, mas a demonstração disso é semelhante à feita para ik e não a faremos aqui. Teorema 3.5 A multiplicação em J(X) é contínua. Prova: Temos que o seguinte diagrama é comutativo, j Xm × Xn πm ×πn J m (X) × J n (X) onde j então / é a aplicação justaposiçao, isto é, se J X m+n πm+n / J m+n (X) x = (x1 , x2 , . . . , xm ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ X n j(x, y) = (x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2 , . . . , yn ). 83 Seja em U um aberto de J m (X) × J n (X), X m × X n, pois J m+n (X), então devemos provar que o que equivale a mostrar que πm × π n é uma proclusão (por J −1 (U ) (πm × πn )−1 (J −1 (U )) CG 6). Agora, é um aberto é um aberto em (πm × πn )−1 (J −1 (U )) = −1 j −1 (πm+n (U )) que é um aberto em X m × X n , e daí segue a continuidade de J|J m (X)×J n (X) para quaisquer J(X) × J(X) m, n. Visto que é ltrado por segue a continuidade de J(X) {Ln (X)}, é um espaço ltrado por onde Ln (X) = Sn m=0 {J n (X)}, por CG 15, J m (X) × J n−m (X). E daí J. Pelo que comentamos no início deste capítulo e pelo teorema anterior, segue que J(X) é um monóide topológico. Assim, temos que monóides topológicos livre sobre X T M on. na categoria J(X) é um objeto na categoria dos O teorema a seguir nos diz mais, que T M on. O monóide topológico J(X) é um objeto J(X) é conhecido como Produto Reduzido de James. Teorema 3.6 Seja X um espaço topológico com ponto base x0 , e seja f : X −→ M qualquer aplicação contínua, tal que f (x0 ) = e, onde M é um monóide topológico, sendo e seu elemento identidade. Então existe um único homomorsmo contínuo f : (J(X), x0 ) −→ (M, e) de monóides topológicos que estende f , ou seja, a composição f (X, x0 ) ,→ J(X) −→ M é igual a f . Prova: Seja fn : X n −→ M Temos que, para a aplicação tal que k = 1, 2, . . . , n, fn ◦ ik = fn−1 , pois fn (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 ) . . . f (xn ). 84 (fn ◦ ik )(x1 , . . . , xn−1 ) = fn (x1 , . . . , xk−1 , x0 , xk , . . . , xn−1 ) = f (x1 ) . . . f (xk−1 )f (x0 )f (xk ) . . . f (xn−1 ) = f (x1 ) . . . f (xk−1 )ef (xk ) . . . f (xn−1 ) = f (x1 ) . . . f (xk−1 )f (xk ) . . . f (xn−1 ) = fn−1 (x1 , . . . , xn−1 ). Armamos que existe uma aplicação f : J(X) −→ M tal que (f |J n (X) ) ◦ πn = fn , para n = 1, 2, . . . . Como por pois J(X) é ltrado por {J n (X)}, seja f : J(X) −→ M f (x1 x2 . . . xn ) = fn (x1 , x2 . . . , xn ) = f (x1 )f (x2 ) . . . f (xn ). f, e a multiplicação em M são contínuas. Claramente Além disso, para (f ◦ πn )(x1 , x2 . . . , xn ) = f (x1 x2 . . . xn ) = fn (x1 , x2 . . . , xn ). f denida em f J n (X) é contínua, (x1 , x2 . . . , xn ) ∈ X n , é um homomorsmo, pois f ((a1 a2 . . . an ) · (b1 b2 . . . bm )) = f (a1 a2 . . . an b1 b2 . . . bm ) = fn+m (a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bm ) = f (a1 )f (a2 ) . . . f (an )f (b1 )f (b2 ) . . . f (bm ) = fn (a1 , a2 , . . . , an )fm (b1 , b2 , . . . , bm ) = f (a1 a2 . . . an )f (b1 b2 . . . bm ). Ainda, temos que, para homomorsmo contínuo f x ∈ X , f (x) = f1 (x) = f (x). que estende f. Mostremos agora a unicidade de f. Armamos que f =g em X. f = g. De fato, seja Temos que para Deste modo, existe um f. Para tal suponhamos que exista x ∈ X, então f (x) = f (x) = g(x), g que estenda donde vem que x1 x2 . . . xn ∈ J(X), f (x1 x2 . . . xn ) = f (x1 )f (x2 ) . . . f (xn ) = g(x1 )g(x2 ) . . . g(xn ) = g(x1 x2 . . . xn ), logo f =g em J(X). O que prova a unicidade de f. 85 Denição 3.2 Chamamos a aplicação f , construída no Teorema anterior, de extensão canônica de f . Finalizamos esta seção com algumas observações que serão úteis para a demonstração do Teorema de James. Observação-1: Se X x0 é complexo CW e X, é uma 0-célula de então J(X) é um complexo CW. Para vericarmos a veracidade desta armação, denimos antes, para k ≥ 1, Jk (X) X ∧k = X {z. . . ∧ X}. | ∧X ∧ como sendo o produto smash Como X é k vezes complexo CW, por k ≥ 1. CW 5, assim é X ∧K , e deste modo Jk (X) é complexo CW, para todo CW é complexo CW, S J(X) = Temos ainda que J(X) k≥1 Jk (X), é complexo CW. Também temos que topológico, isto segue, pois a topologia de topologia de J(X) logo, como união qualquer de complexos J(X) (J(X), ·) é um monóide como complexo CW coincide com a visto como espaço compactamente gerado (notemos que, por CW 2, todo complexo CW é compactamente gerado). Observação-2: que J n (X) J n (X), X um complexo CW, sendo é complexo CW. Isto é direto, pois Observação-3: de Supondo Como J n (X) = e Jn (X) k=1 x0 uma 0-célula, armamos Jk (X). J n−1 (X), pelo Terema 3.4, pode ser visto como subespaço podemos considerar o espaço quociente J n (X)/J n−1 (X) Sn são homeomorfos. Ora, J n (X)/J n−1 (X). J n (X)/J n−1 (X) e Declaramos que Jn (X) coincidem como conjuntos, assim basta-nos provar que eles têm os mesmos conjuntos abertos. Para isso, consideremos o seguinte diagrama comutativo πn Xn qn X ∧n = Jn (X) onde qn : X n −→ X ∧n = Jn (X), quocientes. e / J n (X) cn J n (X)/J n−1 (X), cn : J n (X) −→ J n (X)/J n−1 (X) são aplicações 86 Temos então A ⊂ Jn (X) ⇐⇒ qn−1 (A) é aberto é aberto em ⇐⇒ (cn ◦ πn )−1 (A) ⇐⇒ πn−1 (c−1 n (A)) ⇐⇒ c−1 n (A) ⇐⇒ A E assim segue que J n (X)/J n−1 (X) Observação-4: caminhos. Seja n ≥ 1. Se Se X X e Jn (X) Xn é aberto em é aberto em é aberto em é aberto em Xn Xn J n (X) J n (X)/J n−1 (X). são homeomorfos. é conexo por caminhos, então é conexo por caminhos, J(X) também é conexo por Xn = X × X × . . . × X também é conexo por caminhos. Sabemos que J n (X) = πn (X n ) πn : X n −→ J n (X) é contínua e sobrejetora, donde segue que é conexo por caminhos. Visto que J 1 (X) ⊂ J 2 (X) ⊂ . . . ⊂ J n (X) ⊂ . . . e J(X) = [ n≥1 J(X) é conexo por caminhos. J n (X), segue que Capítulo 4 Teorema de James 4.1 Introdução Sejam (X, x0 ) um espaço com ponto base e Ja : (X, x0 ) −→ Ω(ΣX, x0 ), a apli- cação de James, denida por Ja(x)(t) = [x, t] ∈ ΣX. Temos que 3.6 não se aplica. ΩM (ΣX, x0 ), Ω(ΣX, x0 ) não é um monóide topológico, deste modo o Teorema Agora, se nós compusermos obteremos a aplicação Ja com a inclusão de J : X −→ ΩM (ΣX, x0 ) dada por Ω(ΣX, x0 ) em J(x) = (Ja(x), 1), a qual tem como contra-domínio um monóide topológico. Observamos que, J(x0 ) = (Ja(x0 ), 1) e Ja(x0 )(t) = [x0 , t] = x0 , ou seja, J(x0 ) = (lx0 , 1), aplicação J (lx0 , 1) não é o elemento identidade de ΩM (ΣX, x0 ). Logo a não se enquadra nas hipóteses do Teorema 3.6. Seja isto é, e b = X F[0, 1]/ ∼, X onde ∼ é a relação de equivalência que identica 1 ∼ x0 . Consideremos F Je : X [0, 1] −→ ΩM (ΣX, x0 ) 87 denida por 1 e x0 , 88 e = J(p) se p ∈ X J(p), (lx0 , p), se p ∈ [0, 1] Mostremos que Je é contínua. Como X∩[0, 1] = ∅, basta provarmos a continuidade e X = J , a qual é contínua, e J| e [0,1] : [0, 1] −→ ΩM (ΣX, x0 ) é J| Tk M contínua, pois seja U = i=1 (Si , Vi )×A aberto básico de Ω (ΣX, x0 ), onde Si é compacto de eX J| de R+ , Vi e e [0,1] . J| Mas é aberto de ΣX , A é aberto em L = A ∩ [0, 1] Temos que existe z ∈ L = A ∩ [0, 1], e assim R+ . e [0,1] (L) ⊂ U . De [0, 1], com J| e [0,1] (z) = (lx0 , z) ∈ Tk (Si , Vi ) × A ∩ [0, 1] ⊂ U . J| i=1 aberto de fato, seja Além do e . Deste modo, Je preserva a relação ∼, e é contínua, e 0 ) = J(x0 ) = (lx0 , 1) = J(1) J(x f : X F[0, 1]/ ∼−→ ΩM (ΣX, x0 ) contínua, dada por Ja(b f p) = J(p) e , portanto existe Ja F sendo p b ∈ X [0, 1]/ ∼. mais, Tomando modo, temos que 0 como ponto base de b, X vemos que f e Ja(0) = J(0) = (lx0 , 0). f:X b −→ ΩM (ΣX, x0 ) é contínua, ΩM (ΣX, x0 ) é monóide topológico, e Ja f leva o ponto base de X b Ja no elemento identidade de ΩM (ΣX, x0 ), e assim podemos aplicar o Teorema 3.6, ou seja, existe um único homomorsmo contínuo que estende Deste b −→ ΩM (ΣX, x0 ) J : J(X) f. Ja O Teorema de James nos diz que, se X é um complexo CW conexo, então J é uma equivalência de homotopia. E a demonstração deste Teorema será o nosso objetivo neste capítulo. Para tal demonstração, mostraremos inicialmente que via um isomorsmo j1 b ∼ e ∗ (X) H∗ (J(X)) = TH de álgebras graduadas e mostraremos também que existe outro isomorsmo de álgebras graduadas j2 entre H∗ (ΩM (ΣX, x0 )) e e ∗ (X). TH Logo a seguir, vericaremos que H∗ (J) = j2 ◦ j1−1 , sendo assim H∗ (J) um isomorsmo de álgebras graduadas. Tendo isto, aplicaremos o Teorema de Whitehead 1.11, e para isso, precisaremos ainda mostrar que J é uma equiv- alência de homotopia fraca, feito isto, aplicaremos o Teorema de Milnor 2.5, e assim, a prova do Teorema de James estará concluída. De início, calcularemos b . H∗ (J(X)) 89 4.2 Cálculo de b H∗(J(X)) Inicialmente calcularemos uma 0-célula de X e F H∗ (J(X); F ), sendo X um complexo CW conexo, x0 um corpo. Lembremos que J(X) é ltrado por {J n (X)}n∈N∗ , e desta forma, segue que J 1 (X) ⊂ J 2 (X) ⊂ . . . ⊂ J n (X) ⊂ . . . ⊂ J(X) Além do mais, supondo Y um F -módulo e considerando Tn (Y ) = R ⊕ Y ⊕ Y ⊗ Y ⊕ . . . ⊕ Y . . ⊗ Y}, | ⊗ .{z n vezes vemos que T1 (Y ) ⊂ T2 (Y ) ⊂ . . . ⊂ Tn (Y ) ⊂ . . . ⊂ T (Y ), sendo T (Y ) a álgebra tensorial do F -módulo Y . Em particular, quando consideramos e ∗ (X; F ), Y =H e ∗ (X; F ) ⊂ T2 H e ∗ (X; F ) ⊂ . . . ⊂ Tn H e ∗ (X; F ) ⊂ . . . ⊂ T H e ∗ (X; F ) T1 H A estratégia para a demonstração de que e ∗ (X; F ) H∗ (J(X); F ) ∼ = TH será a seguinte: Primeiro, mostraremos que, para cada inteiro positivo n existe um F -isomorsmo e ∗ (X; F ) −→ H∗ (J n (X); F ). ψn : Tn H Logo a seguir, e ∗ (X; F ). lim Tn H −→ vericaremos a existência dos limites diretos lim H∗ (J n (X); F ), −→ e Supondo a existência dos limites diretos acima citados, que e ∗ (X; F ) ∼ e ∗ (X; F ), lim H∗ (J n (X); F ) ∼ = H∗ (J(X); F ), lim Tn H = TH −→ e que ψn induza um seguirá que −→ F -isomorsmo ψ entre e ∗ (X; F ) lim Tn H −→ e lim H∗ (J n (X); F ), −→ e ∗ (X; F ). H∗ (J(X); F ) ∼ = TH Deste modo, devemos demonstrar que: (1) existe um e ∗ (X; F ) −→ H∗ (J n (X); F ); F -isomorsmo ψn : Tn H então 90 (2) e ∗ (X; F ) ∼ e ∗ (X; F ); lim Tn H = TH (3) lim H∗ (J n (X); F ) ∼ = H∗ (J(X); F ); −→ −→ (4) existe um F -isomorsmo ψ entre e ∗ (X; F ) lim Tn H −→ e lim H∗ (J n (X); F ). −→ Para provarmos (1), precisaremos de alguns lemas, os quais enunciaremos a seguir. Lema 4.1 Se X é complexo CW, e A é um subcomplexo não-vazio, então existe uma sequência exata /H e ... n (A) in ∗ / e n (X) H /H e ... / j∗n / e n (X/A) H ∂n / e n−1 (X) H in−1 ∗ / / e n−1 (X) H 0, 0 (X/A) onde i é a inclusão A ,→ X e j é a aplicação quociente X −→ X/A Prova: Ver [5]. Lema 4.2 Se as hipóteses do lema anterior forem satisfeitas, então a sequência e ∗ (A) (∗) H∗ (A) = R ⊕ H H∗ (p) / e ∗ (X) H∗ (X) = R ⊕ H H∗ (q) / e ∗ (X/A) H é exata, onde H∗ (p) = 1R ×H∗ (i), H∗ (q) = H∗ (j)◦p2 , com H∗ (i), H∗ (j) sendo as induzidas em homologia pelas aplicações i e j do lema anterior, respectivamente, e p2 (r, x) = x, com e ∗ (X) (r, x) ∈ R ⊕ H Prova: ... ... Como as hipóteses do lema anterior são satisfeitas, existe uma sequência exata /H e n (A) /H e 0 (X/A) in ∗ / e n (X) H / j∗n / e n (X/A) H ∂n / e n−1 (X) H in−1 ∗ / e n−1 (X) H / 0, ker(H∗ (j) ◦ p2 ) = Im(1R × H∗ (i)). X Im(1R × H∗ (i)) ⊂ ker(H∗ (j) ◦ p2 ) pois, para (r, H∗ (i)( ak )) ∈ Im(1R × H∗ (i)), Na sequência temos (∗) devemos mostrar que X X k≥1 X k (H∗ (j) ◦ p2 )(r, H∗ (i)( ak )) = H∗ (j)( i∗ (ak )) = (j∗k ◦ ik∗ )(ak ) = 0. k≥1 k≥1 k≥1 91 Já ker(H∗ (j)◦p2 ) ⊂ Im(1R ×H∗ (i)), pois, para (r, X ak ) ∈ ker(H∗ (j)◦p2 ), temos k≥1 H∗ (j)(p2 (r, X ak )) = X j∗k (ak ) = 0, donde segue que j∗k (ak ) = 0, e assim ak ∈ Im(ik∗ ), X j≥1 Xk≥1 (r, ak ) = (r, ik∗ (ak )) ∈ Im(1R × H∗ (i)). logo k≥1 k≥1 Prova de (1): Lembrando que H∗ (J(X); F ) = M e ∗ (X; F ) = Hi (J(X); F ), e T H i≥0 M e ∗ (X; F ), T (i) H i≥0 onde (i) e ∗ (X; F ) = T H F, se i = 0 e (X; F ) ⊗ . . . ⊗ H e ∗ (X; F ) = H e ∗ (X; F )⊗n , se i ≥ 1, H | ∗ {z } i vezes podemos denir F -homomorsmos, para n ≥ 1, e ∗ (X; F ) = H e ∗ (X; F )⊗n −→ H∗ (J(X); F ), φn : T (n) H sendo a composição H∗ (πn ) H∗ (i) × e ∗ (X; F )⊗n ,→ H∗ (X; F )⊗n −→ H H∗ (X n ; F ) −→ H∗ (J n (X); F ) −→ H∗ (J(X); F ), onde × é o produto cross, H∗ (πn ) denida no capítulo anterior), e de J n (X) em é a induzida em homologia de H∗ (i) πn (πn é a proclusão é a induzida em homologia de i, sendo i a inclusão J(X). Como X é complexo CW conexo, segue que também é conexo por caminhos, e assim X é conexo por caminhos, logo H0 (J(X); F ) ∼ = F. J(X) Então podemos denir e ∗ (X; F ) = F −→ H∗ (J(X); F ) φ0 : T (0) H por φ0 (r) = r, que também é um F -homomorsmo. e ∗ (X; F ) −→ H∗ (J(X); F ) F -homomorsmo φ : T H Denimos, para e ∗ (X; F ) n ≥ 1, Tn H Desta forma, existe um único tal que φ|T (n) He∗ (X;F ) = φn . como sendo e ∗ (X; F ) ⊕ H e ∗ (X; F ) ⊗ H e ∗ (X; F ) ⊕ . . . ⊕ H e (X; F ) ⊗ . . . ⊗ H e ∗ (X; F ) F ⊕H {z } |∗ n vezes 92 Provemos que e ∗ (X; F ) −→ H∗ (J n (X); F ) ψn = φ|Tn He∗ (X;F ) : Tn H é um F -isomorsmo para todo n. Como X é complexo CW, o Teorema 3.4 se aplica, e assim, o par (J n (X), J n−1 (X)) satisfaz as hipóteses do Lema 4.2. Como J n (X)/J n−1 (X) e X ∧n são homeomorfos, segue que a sequência abaixo é exata, H∗ (p) H∗ (q) e ∗ (X ∧n ; F ) H∗ (J n−1 (X); F ) −→ H∗ (J n (X); F ) −→ H Sem muitas diculdades, verica-se que o diagrama abaixo é comutativo para todo n≥1 / 0 ψn−1 / 0 com in−1 / H∗ (J n−1 (X); F ) H∗ (p) / meomorsmo entre / H∗ (q) / i / e ∗ (X ∧n ; F ) H e ∗ (X; F ) ,→ Tn H e ∗ (X; F ), pn Tn−1 H onde / e ∗ (X; F )⊗n H × H∗ (J n (X); F ) H∗ (p) = 1R × H∗ (i), H∗ (q) = H∗ (f ◦ j) ◦ p2 , pn e ∗ (X; F ) Tn H ψn sendo a inclusão última variável, in−1 e ∗ (X; F ) Tn−1 H é a inclusão j J n (X)/J n−1 (X) e 0, é a projeção sobre a J n−1 (X) ,→ J n (X), f J n (X) −→ J n (X)/J n−1 (X) −→ X ∧n , onde 0 sendo f o ho- X ∧n . Observamos que a sequência in−1 pn e ∗ (X; F )⊗n −→ 0 e ∗ (X; F ) −→ e ∗ (X; F ) −→ H 0 −→ Tn−1 H Tn H é exata, para todo n ≥ 1. Provemos agora que (1) Para φ|R⊕H∗ (X) , e n = 1, ψn temos ψ1 (r, x) = (r, x), isomorsmo (note que F -isomorsmo, para todo n ≥ 1, por indução. e ∗ (X) −→ H∗ (J 1 (X)) = H∗ (X), ψ1 : R ⊕ H onde e 0 (X) ∼ H = {0}, (2) Suponha, para também é um é n ≥ 2, e ∗ (X). (r, x) ∈ R ⊕ H pois que X ψn−1 onde é um F- e provemos que ψn Claramente ψ1 ψ1 = é conexo por caminhos). seja um F -isomorsmo F -isomorsmo. Do Teorema de Kunneth segue que produto cross (notemos que F e ∗ (X)⊗n H é um corpo), e como e e ∗ (X ∧n ) H ψn−1 é são F -isomorfos F -isomorsmo, via o temos que a 93 sequência e ∗ (X ∧n ; F ) −→ 0 0 −→ H∗ (J n−1 (X)) −→ H∗ (J n (X); F ) −→ H ψn é exata. Assim o Lema dos 5 se aplica, donde vem que é um F -isomorsmo. Provaremos, a partir de agora, (2). Para tanto, precisaremos de alguns resultados preliminares. Dizemos que um conjunto parcialmente ordenado α, β dois elementos de D, existe um elemento O conjunto dos números naturais inteiros positivos, Sejam D N∗ = N − {0}, fαβ : Gα −→ Gβ , então que para tal que para fαβ = 1Gα . sistema dirigido de O sistema de D é dirigido se, para quaisquer tal que N = {0, 1, . . .}, τ ≥α e τ ≥ β. bem como, o conjunto dos são exemplos de conjuntos dirigidos. um conjunto dirigido, e Suponhamos τ D cada Gα um β ≥ α γ ≥β ≥α {Gα , fαβ } em D F -módulo em D, denido para cada exista tenhamos um α ∈ D. F -homomorsmo fβγ ◦ fαβ = fαγ e se α = β, com as propriedades acima citadas é chamado F -módulos. O próximo Teorema garante a existência de limite direto na categoria dos R-módulos R-Mod, sendo R um anel comutativo com identidade. Teorema 4.1 Sejam {Gα , fαβ } um sistema dirigido de R-módulos, e G o R-módulo dado por M Gα /S , sendo S o submódulo de α∈D M Gα gerado por α∈D {λα (g) − λβ (fαβ (g)) : g ∈ G e β ≥ α}, com λγ : Gγ ,→ M Gα , γ ∈ D. Então G ∼ = lim Gα . −→ α∈D Prova: Devido às propriedades que denem o sistema dirigido {Gα , fαβ } D é F : D −→ R − M od o segue que ltrado (como na seção 4 do capítulo 2). Assim, basta mostrarmos que funtor que associa cada α ∈ obj(D) G ∼ = colimF (α), ao R-módulo Gα sendo e caso β ≥ α, então existe um 94 R-homomorsmo fαβ : Gα −→ Gβ . {Gα , fαβ } A boa denição do funtor F é decorrente do fato de ser um sistema dirigido. Para mostrarmos que G∼ = colimF (α), utilizaremos a propriedade denidora de colimite, dada na seção 4 do capítulo 2. λα : Gα −→ Inicialmente, notemos que a inclusão homomorsmo iα : Gα −→ G. E mais, se β≥ M Gα (α ∈ D) α∈D α, então, como λα (g α ) induz um R- − λβ (fαβ (g α )) ∈ S , ∀ g α ∈ Gα , iβ ◦ fαβ = iα . Dados α, β ∈ D, com β ≥ α, R-módulo A e R-homomorsmo gα : Gα −→ A, temos que, se o diagrama iα G `@o gα /A ? @@ ~ @@ ~~ ~ @ fαβ ~ iβ @@ ~~~ gβ Gα Gβ comuta, então existe um único R-homomorsmo h : G −→ A que completa o diagrama comutativamente. De fato, para cada α ∈ D, existe R-homomorsmo gα : Gα −→ A, propriedade universal de Soma Direta, existe um único e h: M logo pela R-homomorsmo Gα −→ A, α∈D que torna o diagrama abaixo comutativo, para cada Gα λα M α ∈ D, gα /A }> } } e h }} } } } Gα α∈D Armamos que 0 = λα (0) − λα (fαα (0)). e h(S) = {0}, Já e h(S) ⊂ {0}, com 0 ∈ A. pois seja Claramente z ∈ S, isto é, {0} ⊂ e h(S), pois z = λα (g) − λβ (fαβ (g)), 95 com g ∈ Gα , β ≥ α e λγ : Gγ ,→ M Gα . Ora, α∈D e h(z) = e h(λα (g)) − e h(λβ (fαβ(g) )) = gα (g) − gβ (fαβ (g)) ? = gα (g) − gα (g) =0 sendo que a igualdade ? decorre da comutatividade do diagrama gα /A ? ~ ~~ ~ ~~g ~~ β Gα fαβ Gβ Como e h(S) = {0}, segue que existe um único h: M R-homomorsmo Gα /S −→ A α∈D dado por h(g) = e h(g), com g∈ M Gα . α∈D Agora, se segue que g ∈ Gα , h ◦ iα = gα , então para cada (h ◦ iα )(g) = h(g) = e h(g) = (e h ◦ λα )(g) = gα (g), α ∈ D. A unicidade do R-homomorsmo donde é evidente. Observação 1- Para qualquer elemento g de lim Gα , existe g α ∈ Gα , para algum −→ α ∈ D, tal que g = iα (g α ). Isso é evidente, devido a λ α Gα −→ M α∈D iα ser a composição Gα −→ lim Gα . −→ Observação 2- Para qualquer α ∈ D e gα ∈ Gα , temos iα (g α ) = 0 ⇐⇒ ∃ β ≥ α, tal que fαβ (g α ) = 0. Exemplo 1- Para cada n ∈ N∗ = N − {0}, seja e ∗ (X) = R ⊕ H e ∗ (X) ⊕ H e ∗ (X) ⊗ H e ∗ (X) ⊕ . . . ⊕ H e (X) ⊗ . . . ⊗ H e ∗ (X) . Tn H |∗ {z } n vezes 96 e ∗ (X) Tn H Sabemos que inm (x) = x, iqp ◦ irq = irp . siderarmos Além disso, para e ∗ (X) −→ Tm H e ∗ (X) inm : Tn H iste homomorsmo seja, R-módulo. é um para Logo em N∗ , ex- denido como sendo a inclusão, ou e ∗ (X) ⊂ Tm H e ∗ (X), x ∈ Tn H e ∗ (X), inm } {Tn H m ≥ n e se p ≥ q ≥ r em N∗ , então é um sistema dirigido, e assim tem sentido con- e ∗ (X). lim Tn H −→ Exemplo 2- Para n, m ∈ N∗ com m ≥ n seja jnm : J n (X) −→ J m (X) a inclusão natural. Tal inclusão induz um R-homomorsmo em homologia, a saber, H∗ (jnm ) : H∗ (J n (X)) −→ H∗ (J m (X)). Claramente, para p≥q≥r em N∗ , jqp ◦ jrq = jrp . Visto que H∗ é um funtor covariante, H∗ (jrp ) = H∗ (jqp ◦ jrq ) = H∗ (jqp ) ◦ H∗ (jrq ). Do que armamos acima, assim o R-módulo lim H∗ (J n (X)) −→ {H∗ (J n (X)), H∗ (jnm )} forma um sistema dirigido, e está bem denido. Exemplo 3- Para n ∈ N∗ , sejam Gn = {0} (R-módulo trivial) e, para m ≥ n em N∗ , inm : Gn −→ Gm é tal que um sistema dirigido, e inm (0) = 0. Sem diculdade, verica-se que {Gn , inm } é lim Gn = {0}. −→ Teorema 4.2 Sejam {Gα , fαβ } um sistema dirigido de R-módulos, A um R-módulo e hα : Gα −→ A um R-homomorsmo tal que, se β ≥ α, então, hβ ◦ fαβ = hα . Agora, pelo Teorema 4.1, existe um único R-homomorsmo h : lim Gα −→ A tal que h ◦ iα = hα , −→ ∀ α, sendo iα : Gα −→ lim Gα o R-homomorsmo já denido anteriormente. Então −→ h : lim Gα −→ A é um R-isomorsmo se, e somente se, as seguintes declarações são −→ verdadeiras: (1) ∀ a ∈ A, ∃ α ∈ D e ∃ gα ∈ Gα tal que hα (gα ) = a; (2) Se hα (gα ) = 0, então ∃ β ≥ α tal que fαβ (gα ) = 0. Prova: Im(h) = Segue [ α∈D da Im(hα ) construção e Ker(h) = de h [ Ker(hα ) feita no Teorema 4.1, basta notarmos que ou das observações feitas anteriormente. α∈D e ∗ (X) e T H e ∗ (X) são R-isomorfos. Corolário 4.1 lim Tn H −→ 97 Prova: isto é, Para cada n ∈ N∗ , seja e ∗ (X) −→ T H e ∗ (X) hn : Tn H e ∗ (X) hn (x) = x, ∀ x ∈ Tn H Agora, se m ≥ n em (Observamos que N∗ , R-homomorsmo o e ∗ (X) ⊂ T H e ∗ (X)). Tn H hm ◦ inm = hn . então e ∗ (X) −→ T H e ∗ (X), R-homomorsmo h : lim Tn H −→ inclusão, Logo existe um único h ◦ in = hn , tal que onde e ∗ (x) −→ lim Tn H e ∗ (X) in : Tn H −→ é o R-homomorsmo induzido pela inclusão M e ∗ (X) ,→ Tn H e ∗ (X). Tn H n≥1 O R-homomorsmo h senta a classe de gn existe que e ∗ (X) lim Tn H −→ e h tal que e∗ TH é um R-isomorsmo. são n ∈ N∗ , e assim hn (a) = a, inm (a) = hn (a) = 0. são R-isomorfos, Passaremos agora −→ x0 e gn repre- R-isomorfos, via e ainda, se e ∗ (X), a ∈ TH hn (a) = 0, então Portanto, pelo último Corolário, temos R-isomorsmo h. R seja um corpo, e ∗ (X) lim Tn H −→ e cando assim provado o item (2) do início desta seção. lim H∗ (J n (X)) ∼ = H∗ (J(X)), e e ∗ (X) gn ∈ Tn H Ora, para qualquer O Corolário anterior, nos garante que, caso e ∗ (X) TH onde −→ para algum m ≥ n ∈ N∗ h(gn ) = hn (gn ), e ∗ (X). lim Tn H em Armamos que e ∗ (X) a ∈ Tn H é tal que a justicar quando X o item (3) do início desta seção, for um complexo CW conexo, sendo R isto é, um corpo, uma 0-célula. Sejam de que, se D um conjunto dirigido e β ≥ α, fαβ : Xα ,→ Xβ , 2, vemos que então para Xα ⊂ Xβ . β ≥ α, então Xα α∈D Sendo {Xα , um conjunto com a propriedade fαβ } um sistema dirigido, onde forma um sistema dirigido. iα : Xα −→ X Hi (iα ) : Hi (Xα ) −→ Hi (X) é um iβ ◦ fαβ = iα , Hi (iβ ) ◦ Hi (fαβ ) = Hi (iα ). direto, existe um único [ é a inclusão, então de maneira semelhante ao Exemplo {Hi (Xα ; R), Hi (fαβ )} Temos ainda que, se X = é a inclusão natural para cada R-homomorsmo. E mais, se α ∈ D, β ≥ α, como Logo, pela propriedade denidora de limite R-homomorsmo l : lim Hi (Xα ) −→ Hi (X) −→ tal que l ◦ tα = 98 tα : Hi (Xα ) −→ lim Hi (Xα ) −→ M Hi (Xα ) ,→ Hi (Xα ). Hi (iα ), onde é o R-homomorsmo induzido pela inclusão α∈D O R-homomorsmo l é dado por l(xα ) = Hi (iα )(xα ) para xα ∈ Hi (Xα ). Um passo importante para a justicativa de (3) é o Teorema a seguir. Teorema 4.3 Se um espaço topológico X é a união de subespaços Xα , onde α ∈ D, sendo D um conjunto dirigido, e {Xα , fαβ } um sistema dirigido, com a propriedade de que cada subconjunto compacto de X esteja inteiramente contido em algum Xα , então a aplicação natural lim Hi (Xα ) −→ Hi (X) dada anteriormente é um R-isomorsmo para −→ quaisquer índice i e anel comutativo com identidade R. Prova: Ver [5]. Corolário 4.2 Para cada i ∈ N, lim Hi (J n (X)) e Hi (J(X)) são R-isomorfos. −→ Prova: Sabemos que e assim, se n ∈ N∗ . K J(X) é ltrado por {J n (X)}, é um subconjunto compacto de Além do mais, pelo Exemplo 2, logo a propriedade J(X), então {J n (X), jnm } CG 12 se aplica, K ⊂ J n (X), para algum forma um sistema dirigido. Deste modo, as hipóteses do último Teorema são satisfeitas, portanto a aplicação natural l : lim Hi (J n (X); R) −→ Hi (J(X)) −→ é um R-isomorsmo, para cada i ∈ N. Utilizando este último Corolário, e a denição do limite direto segue que n lim H∗ (J (X)) −→ e H∗ (J(X)) são R-isomorfos, via um lim H∗ (J n (X)) −→ R-isomorsmo α o que conclui a justicativa de (3). Finalmente, tentemos justicar o item (4) do início desta seção, o qual arma que ψn induz um F -isomorsmo ψ X um complexo CW conexo, tendo entre e ∗ (X; F ) e lim H∗ (J n (X)), sendo F lim Tn H −→ x0 (4), faremos uso do seguinte resultado: −→ um corpo, como uma 0-célula. Para a devida justicativa de 99 0 00 Teorema 4.4 Sejam A0α , fαβ , {Aα , fαβ } e A00α , fαβ sistemas dirigidos baseados no mesmo conjunto dirigido D. Se A0α −→ Aα −→ A00α é sequência exata, para cada α ∈ D, e o diagrama / 0 Aα 0 fαβ / 0 Aβ / A00 Aα α 00 fαβ / Aβ fαβ 00 Aβ comuta, para todo β ≥ α, então a sequência induzida 0 00 lim Aα −→ lim Aα −→ lim Aα −→ −→ −→ é exata. Prova: Ver [1]. Corolário 4.3 Se φn : Tn He∗ (X) −→ H∗ (J n (X)) é um R-isomorsmo, para todo n ∈ N, que torna o diagrama e ∗ (X) Tn H inm e ∗ (X) Tm H φn φm / / H∗ (J n (X)) H∗ (jnm ) H∗ (J m (X)) comutativo, ∀m ≥ n em N∗ , então lim Tn He∗ (X) ∼ = lim H∗ (J n (X)). −→ Prova: −→ Aplicação imediata do Teorema anterior, basta considerarmos os sistemas dirigi- n o e ∗ (X), inm , {H∗ (J n (X)), H∗ (jnm )} e {Gn , pnm }, onde Gn = {0} e pnm (0) = 0, dos Tn H baseados em Na R. justicativa de e ∗ (X) −→ H∗ (J(X)) φ : TH R-isomorsmo. (1) vimos tal que que existe um φ|T (n) He∗ (X) = ψn . Visto que a propriedade (1) é válida, ou seja, único R-homomorsmo Armamos que ψn é um φ é um R-isomorsmo, do 100 Corolário 4.3, segue e ∗ (X) lim Tn H que lim H∗ (J n (X)) e −→ são −→ R-isomorfos, via um R-isomorsmo γ . Agora a composição −1 γ h α e ∗ (X) −→ e ∗ (X) −→ TH lim Tn H lim H∗ (J n (X)) −→ H∗ (J(X)) −→ é igual a φ, e como h−1 , γ e α −→ são R-isomorsmos, e (3), respectivamente, concluímos que φ é um R Pelo que vimos até então, quando tendo x0 como uma 0-célula, 4.3 h e α os R-isomorsmos de (2) R-isomorsmo. é um corpo, X é complexo CW conexo, e ∗ (X; R). H∗ (J(X); R) ∼ = TH Utilizando o Apêndice, vemos que b R) ∼ e ∗ (X; R) H∗ (J(X); = TH sendo via um b R) ∼ H∗ (J(X); = H∗ (J(X); R), donde segue que R-isomorsmo j1 . Fibrações A esta seção, destinamos alguns conceitos e resultados sobre Fibrações que terão aplicações no cálculo de Sejam E, B H∗ (Ω(ΣX, x0 )). p : E −→ B espaços topológicos, e notaremos aplicações da forma F : X × I −→ Y uma aplicação contínua. simplesmente por Ft , ou seja, De- Ft (x) = F (x, t). Dizemos que a aplicação X relação a um espaço ge0 : X × {0} −→ E levanta ge0 , p tem a propriedade de levantamento de homotopia com se, e somente se, para quaisquer aplicações tais que p ◦ ge0 = g0 ◦ i, existe uma homotopia ou seja, que torna o diagrama abaixo comutativo. X × {0} i i(x, 0) = (x, 0). : / E g et X ×I onde g e0 gt / p B, gt : X × I −→ B , get : X × I −→ E e que 101 Denição 4.1 Sejam E e B espaços topológicos, e p : E −→ B uma aplicação contínua. p é uma bração se, e somente se, p tem a propriedade de levantamento de homotopia com relação a qualquer espaço X . Denimos ainda a bra de b ∈ B como sendo Fb = p−1 (b). A partir de agora, listaremos alguns resultados sobre brações, que relacionam o que já estudamos. Na medida que necessitarmos, faremos as demonstrações. Teorema 4.5 Seja p : E −→ B uma bração. Se B é conexo por caminhos, então todas bras de elementos de B têm o mesmo tipo de homotopia. Prova: Veja [10]. Teorema 4.6 Seja p : E −→ B uma bração. Se U ⊂ B , então p|p−1 (U ) : p−1 (U ) −→ U é uma bração. Prova: Veja [10]. Teorema 4.7 Sejam p : E −→ B uma bração, e B um espaço contrátil. Então, para todo b ∈ B , E ' B × Fb . Prova: Veja [5]. Teorema 4.8 Seja P X = {γ : I −→ X : γ é contínua e γ(0) = x0 }, onde x0 é um ponto xado de X . Então a aplicação p : P X −→ X , denida por p(φ) = φ(1), é uma bração. 102 Prova: Sejam A um espaço topológico qualquer, f : A × {0} −→ P X , e gt : X × I −→ X aplicações contínuas dadas, que satisfazem contínua ge : A × I −→ X p◦f = g0 ◦i. Devemos construir uma aplicação que torne o diagrama a seguir, comutativo. f A × {0} i g e gt A×I Primeiro, notemos que p / :P X , / p X é contínua (é uma restrição da aplicação avaliação, a qual é contínua). Seja f (a, 0) = γa ∈ P X , Denimos ou seja, ge : A × I −→ P X γa (0) = x0 , por e γa : I −→ X ge(a, t) ∈ P X , é contínua. sendo que ge(a, t) : I −→ X é dada por ge(a, t)(s) = (γa ∗ Γta )(s) = Claramente ge é Deste modo, Γta se 0 ≤ s ≤ 1/2 Γta (2s − 1), se 1/2 ≤ s ≤ 1. contínua, desde que Consideremos então ϕt (l) = l · t. γa (2s), γa ∗ Γta Γta = g|{a}×[0,t] ◦ ϕt , faça sentido, e onde Γta seja contínua. ϕt : I −→ [0, t] é contínua, e além disso, γat (0) = g|{a}×[0,t] ◦ ϕt (0) = g|{a}×[0,t] (ϕt (0)) = g|{a}×[0,t] (0) = (g ◦ i)(a, 0) = (p ◦ f )(a, 0) = p(γa ). Ainda temos que os triângulos do diagrama anterior comutam. De fato, é denida por 103 (p ◦ ge)(a, t) = ge(a, t)(1) = Γta (1) = g|{a}×[0,t] ◦ ϕt (1) = g|{a}×[0,t] (t) = g(a, t). E, (e g ◦ i)(a, 0) = ge(a, 0) : I × {0} −→ X ge(a, 0)(t) = γa ∗ Γ0a (t) = e como é tal que, se 0 ≤ t ≤ 1/2 γa (2t), , Γ0a (2t − 1), se 1/2 ≤ t ≤ 1 Γ0a (2t − 1) = g|{a}×[0,0] ◦ ϕ0 (2t − 1) = g(a, 0) = γa (1), Portanto p segue que ge ◦ i = f . é uma bração. Além do mais, p−1 (x0 ) = {γ ∈ P X : γ(1) = x0 } = {γ : I −→ X : γ é contínua e γ(0) = x0 = γ(1)} = Ω(X, x0 ) Teorema 4.9 Se p : X −→ Y é bração, B ⊂ Y , e B é retrato por deformação forte de um aberto U de Y , então p−1 (B) é retrato por deformação de p−1 (U ), no sentido fraco. Prova: Visto que p : X −→ Y é bração por hipótese, pelo Teorema 4.6, p = p|p−1 (U ) : p−1 (U ) −→ U é bração. Agora, como F : U × I −→ U B é retrato por deformação forte de que satisfaz: (1) F (u, 0) = u, para todo u ∈ U; (2) F (u, 1) ∈ B , para todo u ∈ U; (3) F (b, t) = b, para todo b∈B e para todo t ∈ I. U, existe homotopia 104 Haja visto que a aplicação p é contínua, assim será a aplicação p × 1I : p−1 (U ) × I −→ U × I. Temos então a composição F ◦ (p × 1I ), a qual é contínua, e além disto, por (1), (2), e (3), vemos que: (4) F ◦ (p × 1I )(x, 0) = F (p(x), 0) = p(x), ∀ x ∈ p−1 (U ); (5) F ◦ (p × 1I )(x, 1) = F (p(x), 1) ∈ B , ∀ x ∈ p−1 (U ); (6) F ◦ (p × 1I )(c, 1) = F (p(c), 1) = p(c), ∀ c ∈ p−1 (B). Denindo Fe0 : p−1 (U ) × {0} −→ p−1 (U ) (p ◦ Fe0 )(x, 0) = p(x) = [F ◦ (p × 1I ) ◦ i](x, 0), inclusão natural. Deste modo, como p sendo por Fe0 (x, 0) = p(x), temos que i : p−1 (U ) × {0} −→ p−1 (U ) × I a é bração, existe aplicação contínua Fe : p−1 (U ) × I −→ p−1 (U ) que torna o diagrama abaixo comutativo. p−1 (U ) × {0} i Fe0 Fe p−1 (U ) × I / p−1 (U ) 7 F ◦(p×1I ) . p /U Pelas propriedades (4), (5) e (6), vemos que Fe é tal que Fe(x, 0) = x, Fe(x, 1) ∈ p−1 (B) ∀ x ∈ p−1 (U ) e Fe(c, 1) = c ∀ c ∈ p−1 (B). p−1 (B) 4.4 é retrato por deformação de Cálculo de p−1 (U ), Logo no sentido fraco. H∗(ΩM (ΣX, x0)) Teorema 4.10 Se X é um complexo CW conexo, e x0 é uma 0-célula de X , então, para e ∗ (X; R). todo corpo R, H∗ (Ω(ΣX, x0 ); R) ∼ = TH Prova: Inicialmente, xemos algumas notações: Y = ΣX, 105 Y+ = C+ (X), Y− = C− (X), y0 = x0 = [x0 , t] = [x, 1] = [x, 0], onde C+ (X) C− (X) e representam os cones reduzidos, já denidos no capítulo 2. Ainda no Capítulo 2, vimos que Y = Y− ∪ Y+ , Y− ∩ Y+ ≈ X ,→ ΣX (A ≈ B ⇐⇒ A e B são homeomorfos). p : P Y −→ Y Consideremos a aplicação p Do Teorema 4.8, sabemos que P+ Y = p−1 (Y+ ) Sejam são caminhos em caminhos em Y Y e P− Y = p−1 (Y− ). que começam em y0 y0 φ ∈ PY . P+ Y Y+ , já os elementos de P− Y são Y− . P+ Y ∩ P− Y = p−1 (Y+ ) ∩ p−1 (Y− ) = p−1 (Y+ ∩ Y− ) ≈ p−1 (X) consiste no conjunto cujos elementos são caminhos em em para Temos que os elementos de e terminam em e terminam em p(φ) = φ(1), p−1 (y0 ) = Ω(Y, y0 ). é uma bração, com bra que iniciam em Temos ainda que denida por Y que iniciam em y0 e terminam X. Por hipótese, e assim, por tais que Y+ , X é complexo CW, deste modo, CW 6, existem abertos U+ e U− em Y e Y− disso, vê-se que Y+ Agora, visto que U+ é retrato por deformação de são subcomplexos de e U− , respectivamente, os quais são abertos em Vale observarmos que se AeB PY , Y+ ΣX , e Y− , respectivamente. Além U+ ∩ U− . p é bração, segue do Teorema 4.9, que P+ Y , P− Y são retratos por deformação, no sentido fraco, de no sentido fraco ), então Y− contendo, respectivamente, são retratos por deformação forte de X ≈ Y+ ∩ Y− e p−1 (U+ ), p−1 (U− ) e e P + Y ∩ P− Y p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− ), devido à continuidade de p. A é retrato por deformação de B ( retrato por deformação têm o mesmo tipo de homotopia, e em consequência disto, Hn (A) ∼ = Hn (B), ∀n ≥ 0. Segue, pelo que vimos acima, que Hn (P+ Y ) ∼ = Hn (p−1 (U+ )), Hn (P− Y ) ∼ = Hn (p−1 (U− )) e 106 Hn (P+ Y ∩ P− Y ) ∼ = Hn (p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− )). Agora estamos aptos a utilizar a sequência de Mayer-Vietoris para a decomposição em abertos de P Y , P Y = p−1 (U+ ) ∪ p−1 (U− ), p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− ) = p−1 (U+ ∩ U− ) e notamos que p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− ) 6= ∅, pois X ≈ Y+ ∩ Y− ⊂ U+ ∩ U− . Logo temos a sequência exata ∂n−1 b a n n Hn (P Y ) −→ . . . −→ H0 (P Y ) −→ 0, Bn −→ . . . −→ Hn−1 (P Y ) −→ An −→ sendo An = Hn (p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− )), Bn = Hn (p−1 (U+ )) ⊕ Hn (p−1 (U− )), an = (Hn (i1 ), −Hn (i2 )), bn = Hn (k1 ) + Hn (k2 ), i1 : p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U+ ) ,→ p−1 (U+ ), i2 : p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− ) ,→ p−1 (U− ), onde, k1 : p−1 (U+ ) ,→ P Y e k2 : p−1 (U− ) ,→ P Y . A sequência acima pode ser reescrita como . . . −→ Hn (P+ Y ∩P− Y ) (Hn (j1 ),−Hn (j2 )) −→ Hn (P+ Y )⊕Hn (P− Y ) Hn (w1 )+Hn (w2 ) −→ ∂ n Hn (P Y ) −→ ... . . . −→ H0 (P Y ) −→ 0, onde j1 : P+ Y ∩ P− Y ,→ P+ Y , j2 : P+ Y ∩ P− Y −→ P− Y , w1 : P+ Y ,→ P Y , e w2 : P− Y ,→ P Y . Agora, pelo Teorema 2.3, PY é contrátil, e como a sequência acima é exata, donde φn = (Hn (j1 ), −Hn (j2 )) : Hn (P+ Y ∩ P− Y ) −→ Hn (P+ Y ) ⊕ Hn (P− Y ) é um R-isomorsmo ∀ n ≥ 1. Se considerarmos homologia reduzida, e utilizarmos o fato de que e ∗ (P+ Y ∩ P− Y ) = H M i≥0 e i (P+ Y ∩ P− Y ), H 107 então obtemos um e ∗ (P+ Y ∩ P− Y ) −→ H e ∗ (P+ Y ) ⊕ H e ∗ (P− Y ), R-isomorsmo φ : H e ∗ (i1 ), −H e ∗ (i2 )), φ = (φ1 , φ2 ) = (H duzida pelas inclusões i1 sendo e ∗ (i1 ) H : P+ Y ∩P− Y ,→ P+ Y e ∗ (i2 ) H e e i2 as induzidas em homologia re- : P+ Y ∩P− Y ,→ P− Y , respectivamente. Caso desconsiderarmos o sinal negativo na segunda coordenada de tinuaremos com um R-isomorsmo. onde φ, ainda con- A partir deste momento assumiremos isto feito, ou seja, quando citarmos φ, objetivo é reescrever o R-isomorsmo φ estaremos pensando em como um e ∗ (i1 ), H e ∗ (i2 )). φ = (H Nosso próximo R-isomorsmo e ∗ (ΩY × X) −→ H e ∗ (ΩY ) ⊕ H e ∗ (ΩY ). θ:H Para começarmos, como p|p−1 (Y+ ) : P+ Y −→ Y+ contrátil, sendo também é bração. H+ : Y+ × I −→ Y+ H+ ([x, t], s) = [x, (1 − s)t + s]. P+ Y e p : P Y −→ Y é bração, do Teorema 4.6 segue que Agora, do Teorema 2.4 sabemos que a retração por deformação de y0 denida por têm o mesmo tipo de homotopia. Agora, explicitaremos equivalências de homotopia entre f+ : P+ Y −→ Ω(Y, y0 ) × Y+ γ ψ+ (s) = em é Logo as hipóteses do Teorema 4.7 são satisfeitas, e assim, p−1 (y0 ) × Y+ = Ω(Y, y0 ) × Y+ Seja Y+ Y+ denida por P+ Y e Ω(Y, y0 ) × Y+ . γ f+ (γ) = (ψ+ , p(γ)), onde se 0 ≤ s ≤ 1/2 γ(2s), H+ (p(γ), 2s − 1), se 1/2 ≤ s ≤ 1 f+ é contínua pois suas funções coordenadas são contínuas. De fato, f+2 : P+ Y −→ Y+ é dada por f+2 (γ) = p(γ), e p é contínua. f+1 : P+ Y −→ Ω(Y, y0 ) dada por γ f+1 (γ) = w+ Mostremos que é contínua. Para tanto, basta mostrarmos que a composição 1 f+ i P+ Y −→ Ω(Y, y0 ) ,→ Y I é contínua. Agora, visto que I é localmente compacto, pelo Teorema 2.1, mostrar que é contínua é equivalente a mostrar que i ◦ f+1 : P+ Y × I −→ Y , γ i ◦ f+1 (γ, s) = w+ (s) denida por i ◦ f+1 108 é contínua. Ora, P+ Y × I = P+ Y × [0, 1/2] ∪ P+ Y × [1/2, 1], | {z } | {z } F1 onde F1 e F2 são fechados em F2 P+ Y × I . γ w+ é contínua em F1 , pois neste caso, γ w+ é a composição 1P+ Y ×f a F1 = P+ Y × [0, 1/2] −→ P+ Y × I −→ Y, onde f (s) = 2s, e a é a aplicação avaliação. Além disso, em γ F2 , w+ é a composição H+ p×g F2 = P+ Y × [1/2, 1] −→ Y+ × I −→ Y+ , onde g(s) = 2s − 1. Claramente γ w+ é contínua em F2 . E mais, para s = 1/2, γ(2s) = γ(1) = H+ (γ(1), 0) = H+ (p(γ), 2s − 1). Logo, pelo Lema da colagem, Voltando ao γ w+ problema g+ : Ω(Y, y0 ) × Y+ −→ P+ Y (γ,x) ξ+ de explicitar denida, para onde (s) = f+ . é contínua, o que conclui a prova da continuidade de γ(2s), a equivalência de (γ, x) ∈ Ω(Y, y0 ), por homotopia, seja (γ,x) g+ (γ, x) = ξ+ , se 0 ≤ s ≤ 1/2 H+ (x, 2 − 2s), se 1/2 ≤ s ≤ 1 Armamos que De fato, g+ g+ é contínua. é contínua, se, e somente se, a composição g+ i Ω(Y, y0 ) × Y+ −→ P+ Y ,→ Y I é contínua. Haja visto que I é localmente compacto, o Teorema 2.1 se aplica, ou seja, a continuidade da composição acima equivale a mostrar a continuidade de e h : Ω(Y, y0 ) × Y+ × I −→ Y, denida por (γ,x) e h(γ, x, s) = ξ+ (s). 109 Mostremos então a continuidade de e h. Temos que Ω(Y, y0 ) × Y+ × I = Ω(Y, y0 ) × Y+ × [0, 1/2] ∪ Ω(Y, y0 ) × Y+ × [1/2, 1], | {z } | {z } L1 onde L1 e L2 são fechados em (γ,x) L1 , ξ+ Em L2 Ω(Y, y0 ) × Y+ × I . é a composição de funções 1Ω(Y,y0 ) ×m P T 1 L1 −→ Ω(Y, y0 ) × [0, 1/2] × Y+ −→ Ω(Y, y0 ) × [0, 1/2] onde −→ T (γ, x, s) = (γ, s, x), P1 (γ, s, x) = (γ, s), m(s) = 2s, funções na última composição são contínuas, segue que Já em (γ,x) L2 , ξ+ e (γ,x) ξ+ a a Ω(Y, y0 ) × I −→ Y, é a avaliação. é contínua em Como as L1 . é a composição 1Y+ ×n P H+ 2 Ω(Y, y0 ) × Y+ × [1/2, 1] −→ Y+ × [1/2, 1] −→ Y+ × I −→ Y+ , sendo em P2 (γ, x, s) = (x, s), n(s) = 2 − 2s. L1 ∩ L2 , φx , x ∈ Y+ com é contínua em f+ ◦g+ e g+ ◦f+ são homotópicas à 1Ω(Y,y0 )×Y+ Provemos inicialmente que por (γ,x) ξ+ Agora, para L2 . Além do mais, s = 1/2, γ(2s) = γ(1) = y0 = H+ (x, 1) = H+ (x, 2 − 2s). isto é, quando Temos que Logo, f+ ◦g+ ' 1Ω(Y,y0 )×Y+ . e 1P+ Y , respectivamente. Para tanto, denotaremos H(x, s) xado. (γ, x) ∈ Ω(Y, y0 ) × Y+ , (f+ ◦ g+ )(γ, x) = f+ (g+ (γ, x)) (γ,x) = f+ (ξ+ (γ,x) = (ψ ξ+ ) , x) = ((γ ∗ φx ) ∗ φx , x) Mas sabemos que é tal que entre (γ ∗ φx ) ∗ φx ' γ ∗ (φx ∗ φx ) ' γ ∗ cx ' γ , c+ (s) = x, ∀s ∈ I . (γ ∗ φx ) ∗ φx Seja Claramente e Deste modo, existe homotopia cx : I −→ Y+ G : Ω(Y, y0 ) × I −→ Ω(Y, y0 ) cx . F : Ω(Y, y0 ) × Y+ × I −→ Ω(Y, y0 ) × Y+ F onde é uma homotopia entre f+ ◦ g+ Vejamos agora a justicativa de e denida por 1Ω(Y,y0 )×Y+ . g+ ◦ f+ ' 1P+ Y . F (γ, x, t) = (G(x, t), x). 110 Para γ ∈ P+ Y , temos (g+ ◦ f+ )(γ) = g+ (f+ (γ)) γ = g+ (ψ+ , p(γ)) γ = g+ (ψ+ , γ(1)) (ψ γ ,γ(1)) = ξ+ + = (γ ∗ φγ(1) ) ∗ φγ(1) Como entre (γ ∗ φγ(1) ) ∗ φγ(1) ' γ ∗ (φγ(1) ∗ φγ(1) ) ' γ ∗ cγ(1) ' γ . Seja H g+ ◦ f+ e a homotopia entre (γ ∗ φγ(1) ) ∗ φγ(1) e γ, esta será a homotopia desejada 1P+ Y . De maneira análoga ao que foi desenvolvido anteriormente, é bração, e Y− em y0 Y− é contrátil, com retração por deformação denida por H− ([x, t], s) = [x, t(1 − s)]. p : P− Y −→ Y− H− : Y− × I −→ Y− de Logo, pelo Teorema 4.7 temos que P− Y ' Y− × Ω(Y, y0 ) ' Ω(Y, y0 ) × Y− . Constrói-se equivalências de homotopia, strução das equivalências de homotopia pelo sinal − f+ e g+ , f− e g− , de maneira semelhante a con- neste caso, apenas trocando o sinal + nas expressões anteriores. Quando restringimos f− e g− à P + Y ∩ P− Y e Ω(Y, y0 ) × (Y+ ∩ Y− ) obtemos, respectivamente, ff − : P+ Y ∩ P− Y −→ Ω(Y, y0 ) × (Y+ ∩ Y− ) e gf − : Ω(Y, y0 ) × (Y+ ∩ Y− ) −→ P+ Y ∩ P− Y Identicando Y+ ∩ Y− com X, obtemos equivalências de homotopias fc − : P+ Y ∩ P− Y −→ Ω(Y, y0 ) × X e gc − : Ω(Y, y0 ) × X −→ P+ Y × P− Y dadas por γ(1) fc , γ(1)), − (γ) = (γ ∗ τ onde τ γ(1) (s) = H− (γ(1), s) e x gc − (γ, x) = γ ∗ τ com τ x (s) = H− (x, 1 − s). Pelo que vimos até agora, P+ Y ' Ω(Y, y0 ). P+ Y ' Ω(Y, y0 ) × Y+ , De modo análogo, vemos que P− Y ' Ω(Y, y0 ). e como Y+ é contrátil, 111 Ainda, P+ Y ∩ P− Y ' Ω(Y, y0 ) × X . Portanto, tomando as devidas composições, e utilizando o fato que equivalências de homotopia induzem isomorsmos em homologia, obtemos o isomorsmo e ∗ (Ω(Y, y0 ) × X) −→ H e ∗ (Ω(Y, y0 )) ⊕ H e ∗ (Ω(Y, y0 )). θ:H Analisemos agora as coordenadas de A primeira coordenada de θ, θ1 , θ. é induzida em homologia pela composição i1 g b− f+ p1 ΩY × X −→ P+ Y ∩ P− Y ,→ P+ Y −→ ΩY × Y+ −→ ΩY, e a segunda coordenada de θ, θ2 , é induzida em homologia pela composição i2 g b− f− p1 ΩY × X −→ P+ Y ∩ P− Y ,→ P− Y −→ ΩY × Y− −→ ΩY. Através de uma reparametrização adequada, vemos que p1 ◦ f+ ◦ i1 ◦ gb− torna-se igual a composição ×Ja 1 µ ΩY × X ΩY −→ ΩY × ΩY −→ ΩY, onde Ja : (X, x0 ) −→ (Ω(Y, y0 ), ly0 ) deste capítulo, e p2 ◦ f− ◦ i2 ◦ gb− P1 : ΩY × X −→ ΩY , é a aplicação de James denida na introdução torna-se igual, a menos de uma reparametrização, a denida por P1 (γ, x) = γ , com (γ, x) ∈ ΩY × X . Deste modo, θ1 = H∗ (µ ◦ (1ΩY × Ja)) = H∗ (µ) ◦ H∗ (1ΩY × Ja) e θ2 = H∗ (P1 ). h i e ∗ (ΩY × X) ∼ e e ∗ (ΩY ), via R-isomorsmo Por HR 3, H H (ΩY ) ⊗ H (X) ⊕H = ∗ ∗ h i e ∗ (ΩY × X) −→ H∗ (ΩY ) ⊗ H e ∗ (X) ⊕ H e ∗ (ΩY ), onde τ2 = θ2 . τ = (τ1 , τ2 ) : H Faremos uso agora do seguinte resultado de álgebra que arma que: Sejam então T |Ker T2 X, Y e Z R-módulos. : Ker T2 −→ Z Se T = (T1 , T2 ) : X −→ Y × Z é um é um R-isomorsmo (para maiores detalhes veja [6]). Como temos o resultado acima e θ é um R-isomorsmo, e ∗ (ΩY ) e θ1 |Ker(θ2 ) : Ker(θ2 ) −→ H e ∗ (X) τ1 |Ker(τ2 ) : Ker(τ2 ) = Ker(θ2 ) −→ H∗ (ΩY ) ⊗ H são R-isomorsmos. R-isomorsmo, 112 Deste modo temos o seguinte diagrama comutativo. Ker(θ2 ) τ1 θ1 /H e (ΩY ) 6 ∗ n n n nnn nnθn ◦τ −1 n n 1 1 n e ∗ (X) H∗ (ΩY ) ⊗ H Portanto L1 = θ1 ◦ τ1−1 é um R-isomorsmo. Agora, como θ1 = H∗ (µ) ◦ H∗ (1ΩY × Ja), o diagrama H∗ (ΩY × X) H∗ (1ΩY ×Ja) / O H∗ (ΩY ) ⊗ H∗ (X) é comutativo, onde segue que o P (µ) c∗ / O H∗ (ΩY ) ⊗ H∗ (ΩY ) é o produto de Pontryagin, e R-isomorsmo L1 H∗ (µ) / H∗ (ΩY ) 6 m m P (µ) mmm m m mmm mmm H∗ (ΩY × ΩY ) c∗ = 1H∗ (ΩY )⊗H∗ (J) . Desta forma, é dado pela composição P (µ) ) ⊗H∗ (J) e ∗ (X) 1H∗ (ΩY−→ e ∗ (ΩY ) −→ e ∗ (ΩY ), H∗ (ΩY ) ⊗ H H∗ (ΩY ) ⊗ H H e onde e Pe(µ) = P (µ)|H∗ (ΩY )⊗He∗ (X) . Para nalizarmos a prova de que Teorema algébrico 1.3, com e ∗ (X) H∗ (ΩY ) ∼ = TH simplesmente aplicamos o e ∗ (X) e i = H∗ (J) via um R-isomorsmo A = H∗ (ΩY ), V = H j2 . Visto que ΩM (Y, y0 ) ' Ω(Y, y0 ), H∗ (ΩM (Y, y0 ); R) ∼ = H∗ (Ω(Y, y0 ); R), e ∗ (X; R), H∗ (Ω(Y, y0 ); R) ∼ = TH 4.5 segue que e ∗ (X; R). H∗ (ΩM (Y, y0 ); R) ∼ = TH Prova do Teorema de James Lembremos que o Teorema de James arma que, se então e como b −→ ΩM (ΣX, x0 ) J : J(X) X é um complexo CW conexo, é uma equivalência de homotopia. Para provarmos o Teorema de James, precisaremos do seguinte Lema. 113 Lema 4.3 Sejam X , Y H-espaços 0-conexos, f : X −→ Y uma H-aplicação que é uma equivalência em homologia, isto é, Hn (f ) : Hn (X; Z) −→ Hn (Y, Z) é isomorsmo para todo n. Então f é uma equivalência de homotopia fraca. Prova: Visto que X, Y são H-espaços, pelo Teorema 2.10, existem complexos CW e equivalências de homotopia fraca 2.14, K e φ : K −→ X , ψ : L −→ Y . K, L Sendo assim, do Teorema L admitem uma H-estrutura que tornam φ e ψ H-aplicações, e por CW 8, existe uma única aplicação contínua (a menos de homotopia) Agora, pelo Teorema de Aproximação Celular aplicação celular g : K −→ L, e como g 0 0 0 g : K −→ L tal que ψ ◦ g ' f ◦ φ. CW 10, g0 é homotópica a uma é única, a menos de homotopia, segue que ψ ◦ g ' f ◦ φ. Sabemos que equivalências de homotopia induzidas em homologia são iguais, desta forma, Hn (ψ) ◦ Hn (g) = Hn (ψ ◦ g) = Hn (f ◦ φ) = Hn (f ) ◦ Hn (φ). Como φ e ψ são equivalências de homotopia fraca e X conexos por caminho, segue por Teorema 2.15, φ e ψ hipótese de Y são 0-conexos, portanto CW 7 que K e L também são 0-conexos, e assim, pelo são equivalências de homotopia. induzem isomorsmos em homologia, logo Da relação e Hn (φ) Hn (ψ) e Hn (ψ) ◦ Hn (g) = Hn (f ) ◦ Hn (φ), Hn (f ) ser um isomorsmo, segue que Mas equivalências de homotopia são isomorsmos para todo n. do que comentamos acima, e da Hn (g) é um isomorsmo, para qualquer n. Armamos que g : K −→ L é uma H-aplicação. Para tanto, devemos mostrar a comutatividade em homotopia do seguinte diagrama, K ×K µK K onde µK e µL representam os produtos em Temos que isto, e o fato de g×g / g K L×L µL / L, e L, respectivamente. ψ × ψ ◦ g × g = ψ ◦ g × ψ ◦ g ' f ◦ φ × f ◦ φ = f × f ◦ φ × φ. f, φ e ψ Utilizando serem H-aplicações, obtemos o seguinte diagrama comutativo, o qual nos garante a comutatividade do diagrama anterior. 114 g×g K × KL LLL LLL φ×φ LLL& f ×f X ×X µK µX / /L×L s s ss s ss sy s ψ×ψ Y ×Y f X qq8 φ qqq qqq qqqq / g K µL µY Y eKKK KK ψ KK KK KK / L. Consideremos o seguinte diagrama comutativo φ K / g ψ L onde φ e ψ para todo X f / Y, são equivalências de homotopia fraca, isto é, n. πn (φ), e πn (ψ) são isomorsmos Como o diagrama acima comuta, πn (ψ) ◦ πn (g) = πn (ψ ◦ φ) = πn (f ◦ φ) = πn (f ) ◦ πn (φ), e desta última igualdade segue que g é equivalência de homotopia se, e somente se, f é equivalência de homotopia fraca. Pelos argumentos acima feitos, podemos reescrever o Lema em questão no seguinte formato: Sejam ainda X f : X −→ Y e Y, complexos CW, com estrutura de H-espaço, e 0-conexos, seja uma H-aplicação que é celular, e equivalência em homologia. Então f é equivalência de homotopia fraca. Por hipótese, X e Y são complexos CW 0-conexos, donde vem que conexos por caminhos, consequêntemente π0 (X) = {0} = π0 (Y ). X Sendo assim, e Y são π0 (f ) é um isomorsmo. Mostremos agora que, para Como estamos supondo por f , If f n ≥ 1, πn (f ) é um isomorsmo. uma aplicação celular, por é um complexo CW, tendo X e Y CW 9, o cilindro induzido como subcomplexos. Consequentemente, 115 (If , X) Y é um par CW. Além do mais, sabemos que, Donde vem que é retrato por deformação de Y ' If . Agora, como Y é um H-espaço, segue que lizando o Teorema 2.13, vemos que (If , X) If também será um H-espaço. Visto que X X , Y , If e (If , X) são simples. é 0-conexo, pelo Teorema de Hurewicz, temos que a aplicação ρ : π1∗ (X) −→ H1 (X) é um isomorsmo. π1 (X), logo Agora, como π1∗ (X) ∼ = π1 (X), ρX : π1 (X) −→ H1 (X) é um isomorsmo. de Hurewicz Uti- é um H-par. Portanto, pelos Teoremas 2.12 e 2.11, temos que ialmente sobre If . ρY : π1 (Y ) −→ H1 (Y ) X é simples, π1 (X) atua triv- donde vem que a aplicação de Hurewicz De maneira semelhante, vemos que a aplicação é um isomorsmo. Ainda temos o seguinte diagrama comutativo ( ver [5]): π1 (X) ρX H1 (X) Como H1 (f ) π1 (f ) H1 (f ) / / π1 (Y ) ρY H1 (Y ). é isomorsmo por hipótese, bem como smo. Disto segue que (If , X) é 0-conexo. podemos concluir que π1† (If , X) ∼ = H1 (If , X), † π1 (If , X) ∼ = π1 (If , X). Portanto, e ρY , segue que π1 (f ) é isomor- Logo, pelo Teorema Relativo de Hurewicz 1.15, e como o par π1 (If , X) ∼ = H1 (If , X), dado pelo homomorsmo relativo de Hurewicz Para o par ρX (If , X) é simples, segue que sendo o isomorsmo em questão ρ(If ,X) . (If , X) temos as sequências exatas de homotopia e de homologia (veja 1.5 e 1.4 ), . . . −→ πn (X) −→ πn (If ) −→ πn (If , X) −→ πn−1 (X) −→ . . . −→ π0 (X) −→ π0 (If ) . . . −→ Hn (X) −→ Hn (If ) −→ Hn (If , X) −→ Hn−1 (X) −→ . . . −→ H0 (X) −→ H0 (If ). Devido à aparece no par If ' Y , obtemos novas sequências exatas, substituindo, If (If , X)) por Y. (quando não Ainda, tendo como referência [5], vemos que o diagrama 116 π1 (f ) (1) . . . π2 (If , X) −−−→ π1 (X) −−−→ π1 (Y ) −−−→ π1 (If , X) −−−→ . . . ρ(If ,X) ρ(If ,X) ρX y ρY y y y H1 (f ) (2) . . . H2 (If , X) −−−→ H1 (X) −−−→ H1 (Y ) −−−→ H1 (If , X) −−−→ . . . comuta. E como, a sequência (2) é exata, e Hn (If , X) ∼ = {0}, e daí π1 (If , X) ∼ = {0}, Hn (f ) é isomorsmo, logo (If , X) Teorema Relativo de Hurewicz 1.15, e os fatos de segue que π2 (If , X) ∼ = {0}. para todo n, vemos que é 1-conexo. Novamente utilizando o H2 (If , X) ∼ = {0} e (If , X) serem simples, Então através de um processo indutivo, e da utilização dos Teoremas de Hurewicz garantimos que πq (If , X) ∼ = {0}, como a sequência acima é exata, segue que πn (f ) para todo inteiro positivo é um isomorsmo para todo n, q, e e isto completa a prova do Lema. Finalmente, estamos aptos a provar o Teorema de James. Teorema 4.11 Seja X um complexo CW conexo, então a aplicação b −→ ΩM (ΣX, x0 ), J : J(X) denida na introdução deste capítulo, é uma equivalência de homotopia. Prova: Seja R um corpo. Devido à J ser um homomorsmo de monóides topológicos, temos que o diagrama a seguir comuta. bn X πn / b J n (X) / i Jn J M n Ω (ΣX) onde b J(X) / Γ ΩM (ΣX), Γ(γ1 , . . . , γ2 ) = γ1 • . . . • γn , J n = J | ×J × {z. . . × J}, i é a inclusão natural, n vezes proclusão denida no capítulo anterior, e • é a multiplicação em πn é a ΩM (ΣX). Induzindo as aplicações do diagrama acima, em homologia, obtemos um novo diagrama, também comutativo, a saber 117 e ∗ (X) b ⊗n H j b ⊗n H∗ (X) × H∗ (πn ) b n) H∗ (X /H ∗ (J n b (X)) H∗ (i) / b H∗ (J(X)) H∗ (J n ) M n H∗ ( Ω (ΣX) ) onde j é a inclusão natural de H∗ (Γ) e ∗ (X) b ⊗n H em / H∗ (J) H∗ (ΩM ΣX), b ⊗n . H∗ (X) Desta forma temos que, e ∗ (X; b R) TH PPP PPPj2 PPP PPP ( H∗ (J) / H (ΩM ΣX; R) o j1 oooo ooo w oo o b R) H∗ (J(X); ∗ é um diagrama comutativo. Agora, pelo que vimos nas seções precedentes, se então b ∼ b ∼ H∗ (J(X)) = H∗ (J(X)), H∗ (ΩM ΣX) = H∗ (ΩΣX) lizando isto, e os cálculos das seções 4.2 álgebras graduadas. Consequentemente, Visto que R é corpo, quando sendo um isomorsmo. graduadas para e 4.4, H∗ (J) R=Q é um complexo CW conexo, e ∗ (X) b ∼ e ∗ (X). TH = TH e vemos que j1 e j2 são isomorsmos de ou R = Zp , H∗ (J) para p primo, b H∗ (J) morsmo, quando R = Z. consequentemente, J é um isomorsmo de álgebras X é conexo, segue que J(X) e ΩM ΣX b e ΩM ΣX J(X) são 0-conexos. Ainda são H-espaços), e b Hn (J) é um iso- Sendo assim, as hipóteses do Lema anterior são satisfeitas, é uma equivalência de homotopia fraca. Sabemos que, se X é complexo CW, então J(X) também é complexo CW. Ora, b X , por hipótese, é complexo CW, e assim, sem diculdades constata-se que X b J(X) continua R = Z. é uma H-aplicação (obviamente CW, logo Uti- é um isomorsmo de álgebras graduadas. Logo, pelo Corolário 1.1, Como, por hipótese, J X também é complexo CW. Já b, ΩM ΣX é complexo pelo Teorema de Milnor 2.5, tem o 118 mesmo tipo de homotopia de um complexo CW, e desta forma podemos aplicar o Teorema de Whitehead 1.11 para Jb, ou seja, concluímos que Jb é uma equivalência de homotopia. Capítulo 5 Apêndice Neste Apêndice, mostraremos que homotopia, quando b 0) (J(X), e X (J(X), x0 ) De fato, como b 0) (X, e (X, x0 ) possuem o mesmo tipo de é um complexo CW conexo. Supondo isso já feito, armamos que têm o mesmo tipo de homotopia. b 0) ' (X, x0 ), (X, existem aplicações contínuas b 0) −→ (X, x0 ), f : (X, b 0), g : (X, x0 ) −→ (X, tais que f ◦ g ' 1X rel x0 e g ◦ f ' 1Xb rel 0. Consideremos a composição i g b 0) ,→ (J(X), b 0). (X, x0 ) −→ (X, Visto que J(X) é monóide topológico livre sobre X pelo Teorema 3.6, existe um único homomorsmo contínuo tal que g ◦ j = i ◦ g, onde j : X −→ J(X) e b é monóide topológico, J(X) b b g : (J(X), x0 ) −→ (J(X), 0) é a inclusão natural. De modo semelhante obtemos homomorsmo contínuo b 0) −→ (J(X), x0 ). f : (J(X), Pela demonstração do Teorema 3.6, sabemos que e f (y1 · y2 · . . . · yn ) = f (y1 ) · f (y2 ) · . . . f (yn ). 119 g(x1 ·x2 ·. . .·xk ) = g(x1 )·g(x2 )·. . .·g(xk ) 120 Mostremos que Como f ◦ g ' 1J(X) f ◦ g ' 1X rel x0 , rel x0 g ◦ f ' 1J(X) b e existe homotopia rel 0. F : X × I −→ X tal que F (x, 0) = (f ◦ g)(x), F (x, 1) = x e F (x0 , t) = x0 , para x ∈ X, e t ∈ I. Tomemos F : J(X) × I −→ J(X) denida por F (x1 · x2 · . . . · xn , t) = F (x1 ) · F (x2 ) · . . . · F (xn ). Sem muitas diculdades, verica-se que F é uma homotopia entre f ◦g e 1J(X) tal que F (x0 , t) = x0 . De modo análogo obtemos homotopia tal que G(0, t) = 0. Feito isto, caso b × I −→ J(X) b G : J(X) b 0) ' (X, x0 ), (X, entre g◦f e 1J(X) b teremos b ∼ H∗ (J(X)) = H∗ (J(X)). Mostremos então que sendo x0 b 0) ' (X, x0 ), (X, quando X for um complexo CW conexo, uma 0-célula. Para tanto, faremos uso do seguinte Lema. Lema 5.1 Sejam x0 = (0, . . . , 0) ∈ Dn , e ∼ a relação de equivalência sobre Dn [0, 1] F que identica 1 e x0 , ou seja, 1 ∼ x0 . Então (Dn , x0 ) e (Dn [0, 1]/ ∼, 0), com 0 ∈ [0, 1], F têm o mesmo tipo de homotopia (preservando pontos bases). Prova: Consideremos g : Dn [0, 1]/ ∼−→ Dn , F F f : Dn −→ Dn [0, 1]/ ∼, denida por 2|x|, se 0 ≤ |x| ≤ 1/2 f (x) = (2|x| − 1) x/|x|, se 1/2 ≤ |x| ≤ 1, e dada por g(x) = x, se x ∈ Dn x0 , se x ∈ [0, 1] 121 Temos que f ◦ g : Dn F F [0, 1]/ ∼−→ Dn [0, 1]/ ∼ é dada por 2|x|, se 0 ≤ |x| ≤ 1/2 (f ◦ g)(x) = 0, se x ∈ [0, 1] (2|x| − 1) x/|x|, se 1/2 ≤ |x| ≤ 1 e g ◦ f : Dn −→ Dn é tal que (g ◦ f )(x) = x0 , se 0 ≤ |x| ≤ 1/2 (2|x| − 1) x/|x|, se 1/2 ≤ |x| ≤ 1 Armamos que f ◦ g ' 1Dn F[0,1]/∼ {0}. F F F : Dn [0, 1]/ ∼ ×I −→ Dn [0, 1]/ ∼, De fato, consideremos F (x, t) = rel 2|x| + (1 − t) se 0 ≤ |x| ≤ t/2 x(1 − t) se x ∈ [0, 1] 2|x| − t x , se t/2 ≤ |x| ≤ 1 2−t |x| Sem muitas diculdades, verica-se a boa denição de tinuidade. Além do mais, denida por F (x, 0) = x, F (x, 1) = (f ◦ g)(x), e F, bem como a con- F (0, t) = 0. E assim segue a veracidade da armação acima. Para concluirmos a prova do lema em questão, denimos H : Dn × I −→ Dn por x 0 , se 0 ≤ |x| ≤ 1/2 H(x, t) = 2|x| − t x , se t/2 ≤ |x| ≤ 1 2−t |x| Sem muitos problemas verica-se a boa denição e continuidade de H(x, 0) = x, H(x, 1) = (g ◦ f )(x) o ponto base o lema. x0 , entre g◦f e e 1Dn . H(x0 , t) = x0 , logo H H. Ainda temos que é uma homotopia, que preserva Deste modo, dos argumentos acima realizados segue 122 Observamos que, se X Consideremos então b 0) f : (X, x0 ) −→ (X, f (x) = ge : X F I −→ X é ponto isolado de X. denida por x, se x 6= x0 0, e x0 for um conjunto discreto, então se x = x0 dada por ge(x) = se x ∈ X x, . x0 , se x ∈ I ge ∼ é contínua e preserva a relação de equivalência iste aplicação contínua b 0) −→ (X, x0 ) g : (X, que identica 1 e g(x) = ge(x) denida por x0 , logo ex- (notemos que g(0) = ge(0) = x0 ). Sem problemas vemos que X for discreto, Se X g ◦ f ' 1X rel x0 e f ◦ g ' 1Xb rel 0. Portanto, quando b 0). (X, x0 ) ' (X, não for um conjunto discreto, pelo fato que ao interior de alguma célula n-dimensional X é complexo CW, x0 pertence en . Pela denição de complexo CW temos o seguiente homeomorsmo h = φ|B n : (B n , 0) −→ (en , x0 ), 0 = (0, 0, . . . 0), e B n = Dn − S n−1 . Agora, pelo Lema anterior, (Dn , 0) ' | {z } n vezes F (Dn I/ ∼, 0), e mais, as equivalências de homotopia restritas à S n−1 = ∂Dn funcionam, F n n grosseiramente falando, como a identidade, isto é, f : (D , 0) −→ (D I/ ∼, 0) e F g : (Dn I/ ∼, 0) −→ (Dn , 0) são tais que, para x ∈ S n−1 , f (x) = x e g(x) = x. Logo F (B n I/ ∼, 0) e (B n , x0 ) têm o mesmo tipo de homotopia. As equivalências de homotopia onde em questão serão denotadas por a = f |B n b = g|B n F I/∼ . e Consideremos o seguinte diagrama (B n F a I/ ∼, 0) l O b (B n , 0) / (en F I/ ∼, 0) e b h / O e a / (en , x0 ) b 0) (X, O β / α (X, x0 ), 123 onde l é homeomorsmo, Como que e a e eb são h l e e a = l ◦ a ◦ h−1 , e eb = h ◦ b ◦ l−1 . são homeomorsmos, e a e b são equivalências de homotopia, seque equivalências de homotopia. Finalmente, provemos que b 0) ' (X, x0 ). (X, Para tanto, sejam b 0) −→ (X, x0 ), e α : (X, b 0) β : (X, x0 ) −→ (X, denidas por α(x) = F e a(x), se x ∈ en I x, β(x) = se x ∈ / en eb, F I se x ∈ en x, se x ∈ / en Claramente Tomando α e β estão bem denidas e são contínuas. b × I −→ X b F :X F (x, t) = dada por F Fe(x, t), se x ∈ en I se x ∈ / en x, onde Fe é a homotopia entre eb ◦ fe e 1en F I/∼ , que satisfaz F I, Fe(0, t) = 0. Temos que F (x, 0) = F Fe(x, 0), se x ∈ en I x, = se x ∈ / en F I F (eb ◦ e a)(x), se x ∈ en I x, = (β ◦ α)(x) se x ∈ / en t I 124 F (x, 1) = Fe(x, 1), se x ∈ en t I se x ∈ / en t I x, = x, se x ∈ en t I x, se x ∈ / en t I = 1Xb (x). Além do mais, F (0, t) = Fe(0, t) = 0, Analogamente, vemos que b 0). (X, x0 ) ' (X, para t ∈ I. α ◦ β ' 1X Logo rel β ◦ α ' 1Xb (rel 0). x0 , e isto conclui a prova de que Referências Bibliográcas Topology and Geometry ; Springer-Verlag GTM 139, 1993. [1] BREDORN G.: [2] CARLSSON G., MILGRAM R.J.: Handbook of Algebraic Topology - Stable Homo- topy and Iterad Loop Spaces ; Elserview Science B.V., 1995. [3] DUGUNDIJI J.: Topology ; Allyn and Bacon, 1966. [4] DWYER W.G., SPALINSKI J.: Handbook of Algebraic Topology - Homotopy Theories and Model Categories ; Elserview Science B.V., 1995. [5] HATCHER A.: Algebraic Topology ; Cambridge Univ.Press, 2002. [6] HUNGERFORD T.W.: [7] JAMES I.M.: Algebra ; Springer-Verlag GTM 73, 1989. 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