Uma Caracterização Homotópica do Espaço de - DM

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Uma caracterização homotópica do espaço de laços da
suspensão de um espaço topológico
Juliano Damião Bittencourt de Godoi
SÃO CARLOS
2008
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Uma caracterização homotópica do espaço de laços da
suspensão de um espaço topológico
Juliano Damião Bittencourt de Godoi
Orientador: Prof. Dr. Tomas Edson Barros.
Dissertação apresentada ao Programa
de
Pós-Graduação
em
Matemática
da Universidade Federal de São Carlos,
a
como
parte
obtenção
Matemática.
SÃO CARLOS
2008
do
dos
Título
requisitos
de
Mestre
para
em
Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária da UFSCar
G588ch
Godoi, Juliano Damião Bittencourt de.
Uma caracterização homotópica do espaço de laços da
suspensão de um espaço topológico / Juliano Damião
Bittencourt de Godoi. -- São Carlos : UFSCar, 2011.
126 f.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2008.
1. Topologia algébrica. 2. Teoria dos funtores. 3.
Teoria da homotopia. 4. Teoria de homologia. I. Título.
CDD: 514.2 (20a)
Agradecimentos
Agradeço primeiramente à Deus por ter colocado em meu caminho tantas pessoas
que me ajudaram e tornaram possível esse trabalho.
Agradeço especialmente à minha mãe Henriqueta, pelo apoio, pelo exemplo de
vida, de superação e de força de vontade.
Às minhas sobrinhas Vanessa, Andressa e Karolayne, que sempre demonstraram
muito carinho e apoio em tudo que eu zesse.
Aos meus amigos do Departamento de Matemática: Rafael, Rômel, Liane, Taciana,
Iris, Bruna, Patrícia, Tiago, Maicon, e tantos outros.
À todos os meus professores, em especial aos da UFSM e os da UFSCar. Agradeço
também aos professores Peneireiro e Bidel, pelo incentivo e apoio.
Ao meu orientador Tomas Edson Barros, pela maneira responsável e sempre
visando o meu melhor, com a qual conduziu esse trabalho.
Sua paciência, dedicação
e prossionalismo sempre me servirão como modelo ao longo de toda a minha vida.
Por último, agradeço ao CNPq pelo apoio nanceiro.
3
Resumo
Nosso objetivo neste texto é mostrar que o espaço de laços da suspensão reduzida
de um complexo CW conexo
livre gerado por
X.
X
tem o mesmo tipo de homotopia que o monóide topológico
Abstract
Our main goal in this dissertation is to show that the loopspace of reduced suspension of a connected CW complex
topological monoid generated by
X.
X
has the same type of homotopy that the free
Sumário
1 Pré-requisitos
9
1.1
Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
Pré-requisitos Homotópicos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4
Pré-requisitos Homológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.5
Espaços Compactamente Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.6
Complexos CW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7
Teoremas de Hurewicz
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Espaço de Laços
35
2.1
Espaço de Funções
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2
Categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.3
Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4
Funtores Adjuntos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.5
Espaço de Laços e Suspensão Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.6
Colimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.7
H-espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.8
Espaço de Laços de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3 Produto Reduzido de James
72
3.1
Monóide Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
A topologia de
J(X)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
72
76
7
4 Teorema de James
87
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Cálculo de
b
H∗ (J(X))
4.3
Fibrações
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4
Cálculo de
H∗ (ΩM (ΣX, x0 ))
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5
Prova do Teorema de James
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Apêndice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
89
119
Introdução
O objetivo deste texto é apresentar uma equivalência de homotopia entre o espaço
de laços de um complexo CW conexo
X
e o monóide topológico livre gerado por
X,
tal
espaço é conhecido como produto reduzido de James, o qual foi inicialmente apresentado
em [7].
Um dos pilares que nos permitirá alcançar o objetivo acima citado é a construção
do espaço de laços de Moore apresentada no Capítulo 2.
Em tal capítulo trataremos
do espaço de funções, o qual possui uma topologia adequada para o nosso trabalho, a
topologia compacto-aberta, posteriormente apresentaremos alguns conceitos, tais como
categorias, funtores, suspensão, cones, colimite, H-espaços, e nalmente o conceito de Espaço de Laços. Mostraremos que este espaço é um H-grupo, porém a estrutura de H-grupo
não é suciente para chegarmos ao nosso objetivo. Para tanto, construiremos o espaço de
laços de Moore e mostraremos que tal espaço é um monóide topológico que tem o mesmo
tipo de homotopia que o espaço de laços. No terceiro capítulo mostraremos a existência
de um monóide livre gerado por um conjunto qualquer, e mais, deniremos também o que
vem a ser o produto reduzido de James, que na realidade é o monóide topológico livre
gerado por um espaço topológico de Hausdor, para colocarmos a topologia adequada em
tal monóide, utilizaremos fortemente a topologia compactamente gerada.
Por m, no quarto capítulo obteremos o resultado-objetivo que desejamos. Os
principais textos utilizados para a atingir tais metas são [2], [5], e [7].
8
Capítulo 1
Pré-requisitos
Neste capítulo resumimos o material que utilizaremos nos capítulos seguintes.
Omitiremos as provas dos resultados, e também supomos que os leitores deste trabalho
tenham algum conhecimento sobre teoria de homologia e teoria de homotopia.
1.1
Produto Tensorial
Consideramos
R
um anel comutativo com elemento identidade.
Denição 1.1 Sejam M1 , M2 , . . . Mk R-módulos. O produto tensorial de M1 , M2 , . . . Mk
é um R-módulo M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk que satisfaz as seguintes propriedades:
(1) Existe uma aplicação k-linear
φ : M1 × M2 × . . . × Mk −→ M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk
(2) Dados um R-módulo N e uma aplicação k-linear
f : M1 × M2 × . . . × Mk −→ N,
existe um único R-homomorsmo
h : M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk −→ N
tal que f = h ◦ φ, de outra maneira, o diagrama
9
10
6/ N
mmm
m
m
mmm
mmmf
m
m
m
M1 ⊗ M2 ⊗O . . . ⊗ Mk
φ
h
M1 × M2 × . . . × Mk
pode ser completado comutativamente, quaisquer que sejam N e f .
Observação 1φ(m1 , m2 , . . . mk )
quer
por
i ∈ {1, 2, . . . k},
Dado
(m1 , m2 , . . . , mk ) ∈ M1 × M2 × . . . × Mk ,
m1 ⊗ m2 ⊗ . . . ⊗ mk ,
dados
r∈R
e
e como
φ
denotamos
é k-linear temos que, para qual-
mi , ni ∈ Mi ,
m1 ⊗ . . . ⊗ (mi + ni ) ⊗ . . . ⊗ mk = m1 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ . . . ⊗ mk + m1 ⊗ . . . ⊗ ni ⊗ . . . ⊗ mk
m1 ⊗ . . . ⊗ rmi ⊗ . . . ⊗ mk = r(m1 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ . . . ⊗ mk )
Observação 2- Dados R-módulos M1 , M2 , . . . Mk , sempre existe o produto tensorial
M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk
e quaisquer dois
R-módulos
satisfazendo (1) e (2) da denição
anterior são isomorfos.
Observação 3- A imagem de φ forma um conjunto gerador de M1 ⊗M2 ⊗. . .⊗Mk ,
M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk
ou seja, todo elemento de
m1 ⊗ m2 ⊗ . . . ⊗ mk
com
é uma soma nita de elementos da forma
mj ∈ Mj , j = 1, 2, . . . k .
A seguir listamos uma série de propriedades do Produto Tensorial de R-módulos.
T 1-
Sejam
Mi ,
M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk
com
i = 1, 2, . . . , k , R-módulos
também
é
um
R-módulo
livres com base
livre
e
possui
{b1 ⊗ b2 ⊗ . . . ⊗ bk : bi ∈ Bi } como uma base, logo, dim M1 ⊗ M2 ⊗ . . . ⊗ Mk =
Bi .
o
Qk
Então
conjunto
i=1
dim Mi .
T 2- Temos os seguintes isomorsmos entre R-módulos
(1)
(M1 ⊗ M2 ) ⊗ M3 ∼
= M1 ⊗ (M2 ⊗ M3 );
(2)
M1 ⊗ M2 ∼
= M2 ⊗ M1 ;
(3)
(M1 ⊕ M2 ) ⊗ N ∼
= (M1 ⊗ N ) ⊕ (M2 ⊗ N );
(4)
N ⊗ (M1 ⊕ M2 ) ∼
= (N ⊗ M1 ) ⊕ (N ⊗ M2 );
(5)
M ⊗R∼
= M;
(6)
R⊗M ∼
= M.
T 3- Sejam M1 , M2 , M10 , M20 R-módulos e fi : Mi −→ Mi0 R-homomorsmos,
para
i = 1, 2.
11
A aplicação
0
0
g : M1 ×M2 −→ M1 ⊗M2 , denida por g(m1 , m2 ) = f1 (m1 )⊗f2 (m2 ),
é bilinear, logo dá origem a um único R-homomorsmo
0
0
f1 ⊗ f2 : M1 ⊗ M2 −→ M1 ⊗ M2 ,
tal que
(f1 ⊗ f2 )(m1 ⊗ m2 ) = f (m1 ) ⊗ f (m2 ).
Observamos que, se
disso, se cada
fi
fi
é sobrejetora, então
é isomorsmo, então
f1 ⊗ f2
f1 ⊗ f2
também é sobrejetora. Além
é isomorsmo, sendo
(f1 ⊗ f2 )−1 = f1−1 ⊗ f2−1 .
T 4- Dados R-homomorsmos fi : Mi −→ Mi0 e gi : Mi00 −→ Mi ,
para
i = 1, 2,
tem-se que
(f1 ⊗ f2 ) ◦ (g1 ⊗ g2 ) = (f1 ◦ g1 ) ⊗ (f2 ◦ g2 )
As demonstrações dos resultados acima, bem como uma exposição clara sobre
produto tensorial e suas principais propriedades podem ser encontradas em [6].
1.2
Álgebras
Seja
R
um anel comutativo com elemento identidade
1R .
Denição 1.2 Uma R-álgebra é um R-módulo (A, +, ) munido de uma multiplicação
· : A × A −→ A que, para a, b, c ∈ A e r ∈ R, satisfaz:
(1) a · (b · c) = (a · b) · c (associatividade);
(2) ∃ 1A ∈ A tal que a · 1A = 1A · a = a;
(3) a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c;
(4) r (a · b) = (r a) · b = a · (r b).
Representaremos a R-álgebra
A
A,
for uma R-álgebra, e para quaisquer
R-álgebra comutativa.
da denição anterior, por
a, b ∈ A, a · b = b · a,
(A, ·, , +).
então diremos que
Ainda, se
A
é uma
12
R-álgebra nos garante que (A, +, ·)
Observamos que, (1), (2) e (3) na denição de
é um anel com elemento identidade.
e
(B, ·, , +)
são
é um homomorsmo de
R-álgebras
se
Se
(A, ·, , +)
f
f (a + b) = f (a) + f (b), ∀ a, b ∈ A;
(2)
f (a · b) = f (a) · f (b), ∀ a, b ∈ A;
(3)
f (r a) = r f (a), ∀ a ∈ A
R-álgebras
f
dizemos que a aplicação
f : A −→ B
satisfaz:
(1)
Dizemos que
de
R-álgebras,
e
∀ r ∈ R.
é um isomorsmo de
R-álgebras
se
f
é um homomorsmo bijetor
.
Na denição de
R-álgebra,
a propriedade (3) nos garante que
uma aplicação bilinear, e assim, existe uma aplicação
· : A × A −→ A
é
R-linear µ : A ⊗ A −→ A que torna
o diagrama abaixo comutativo.
A ⊗O A
G
GG µ
GG
GG
GG
#
·
/ A.
A×A
φ
A associatividade da multiplicação
·
do anel
A
implica na comutatividade do
diagrama
A⊗A⊗A
1A ⊗µ
(A, ·, , +)
/
A⊗A
µ
A⊗A
Se
µ⊗1A
µ
/
A
é uma R-álgebra, podemos denir
η : R −→ A
r
A aplicação
η
7−→ η(r) = r 1A .
é um homomorsmo de
chamado homomorsmo estrutural de
R-álgebras
A.
( para maiores detalhes, veja [6] ),
13
Haja visto que
A
é um anel com elemento identidade, o diagrama
9 A eK
ss O KKKK ∼
KK=K
µ
KKK
/A⊗Ao
A⊗R
s
∼
= sss
ss
sss
R⊗A
η⊗1A
1A ⊗η
comuta.
Os três últimos diagramas caracterizam completamente a estrutura da R-álgebra,
ou seja, temos o seguinte Teorema:
Teorema 1.1 Sejam R um anel comutativo com elemento identidade 1R e A um
R-módulo, então A tem estrutura de R-álgebra se, e somente se, existem aplicações lineares µ : A ⊗ A −→ A e η : R −→ A que tornam os últimos três diagramas comutativos.
Prova:
Ver [6].
Denição 1.3 Sejam (A, ·, +, ) uma R-álgebra e {An }n∈Z uma família de R-submódulos
de A indexada pelos inteiros. A família {An }n∈Z constitui uma graduação em A se
(i) A =
M
An ;
n∈Z
(ii) ar ∈ Ar e as ∈ As , então ar · as ∈ Ar+s .
Uma R-álgebra com tal graduação é chamada uma R-álgebra graduada. O elemento x de A tem grau n, gr(x) = n, se x ∈ An .
Se
A
é uma
R-álgebra
graduada, como acima, então (i) e (ii) implicam que
1A ∈ A0 .
Sejam
A
e
B R-álgebras
graduadas; uma aplicação
smo de
R-álgebras graduadas se f
ou seja,
f (An ) ⊂ Bn , ∀ n.
R-álgebras
é um homomorsmo de
Se ainda
f
f : A −→ B
é um homomor-
R-álgebras que preserva grau,
for bijetora, diremos que
f
é um isomorsmo de
graduadas.
Exemplo 1- R
n ∈ Z∗ = Z − {0}.
é uma
R-álgebra
graduada, onde
R0 = R
e
Rn = {0}
para
14
Exemplo 2-
Se
V
é um espaço vetorial graduado, isto é,
V =
M
Vi ,
então
i∈Z
T (V ) =
M
T (n) (V )
é uma
R-álgebra,
sendo
n∈Z
T (n) (V ) =
e para






{z. . . ⊗ V}, se n ≥ 1
|V ⊗ V ⊗


n vezes

R,







{0},
se n = 0
se n < 0,
u = u1 ⊗u2 ⊗. . .⊗um , v = v1 ⊗v2 ⊗. . .⊗vn ∈ T (V ), uv = u1 ⊗. . .⊗um ⊗v1 ⊗. . .⊗vn .
Além disso, verica-se que
T (V )
é uma
R-álgebra
graduada, com a seguinte estrutura
graduada:
Se
v = v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ vn ∈ T (V ), então gr(v) =
n
X
gr(vi ). A R-álgebra graduada
i=1
T (V )
é chamada Álgebra Tensorial.
Teorema 1.2 Se V é um espaço vetorial e A é uma R-álgebra graduada, sendo λ : V −→
A uma aplicação linear graduada, então existe um único homomorsmo de R-álgebras
graduadas Λ : T (V ) −→ A tal que Λ|V = λ.
Prova:
Λ : T (v) −→ A por
!
k
k
X
X
Λ
v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ vi :=
λ(v1 ) · λ(v2 ) · . . . · λ(vn ) com k ≥ 1.
Basta denirmos
i=1
i=1
Consideremos
e
A∗ =
∞
M
Ai
uma
V∗
um espaço vetorial graduado sobre um corpo
F -álgebra
graduada, com
A0 = F .
F,
com
V0 = {0},
Suponhamos ainda, que
i=0
i : V∗ −→ A∗ =
∞
M
Ai ⊂ A∗
i=1
seja uma aplicação entre espaços vetoriais graduados, então, pelo Teorema 1.2, existe um
único homomorsmo de
F -álgebras
graduadas
bi : T (V∗ ) −→ A∗ ,
tal que
é um
bi|V∗ = i.
Finalizamos esta seção com um Teorema que nos diz em que condições
F -isomorsmo.
bi
15
∞
M
Teorema 1.3 Sejam A∗ =
Ai uma F -álgebra graduada com A0 = F sendo um corpo,
i=0
e com multiplicação · : A∗ × A∗ −→ A∗ , V∗ um espaço vetorial graduado sobre F com
V0 = {0}, e A∗ =
∞
M
Ai . Seja ainda i : V∗ −→ A∗ um homomorsmo entre espaços
i=1
vetoriais graduados.
Se a aplicação multiplicação µ : V∗ ⊗ A∗ −→ A∗ , denida por
!
µ
X
v j ⊗ aj
=
X
j
i(vj ) · aj é isomorsmo de espaços vetoriais graduados, então bi :
j
T (V∗ ) −→ A∗ é um isomorsmo de álgebras graduadas.
Prova:
Necessitamos apenas provar que
Sabemos que
indução que
bin
Para
bi(T (n) (V∗ )) ⊂ An ,
T (n) (V∗ )
é sobrejeção de
n = 0,
bi é
n > 0, ibn : T (n) (V∗ ) −→ An
a ∈ An ,
denotemos então
em
bin = bi|T (n) (V ) ,
∗
e provemos por
An .
é dada por
bi(r) = r
e
bijeção.
Suponhamos que para todo
Seja
bijeção.
bi : T (0) (V∗ ) = F −→ A0 = F
temos que
claramente segue que
bi é
como
k < n, ibk
seja uma sobrejeção, e mostremos que, para
é sobrejeção.
n > 0,
a ∈ A∗ . Mas por hipótese, µ é um isomorsmo
X
existe
vj ⊗ aj ∈ V∗ ⊗ A∗ tal que
ou seja,
de espaços vetoriais graduados, logo
j
!
X
a=µ
vj ⊗ aj
=
X
i(vj ) · aj ,
j
j
!
com
vj ∈ V∗
e
aj ∈ An(j) .
Como
gr
X
i(vj ) · aj
= n
e
Im (i) ⊂ A∗ ,
segue que
j
n(j) < n,
logo pela nossa hipótese de indução, existe
αj ∈ T (n(j)) (V )
tal que
i(αj ) = aj .
Deste modo,
!
a=
X
i(vj ) · i(αj ) = bi
j
X
vj ⊗ αj
,
j
de onde segue a sobrejetividade de
ibn .
bi.
l
X
Mostremos, agora, a injetividade de
Seja
{vj }j∈J
uma base de
V∗ , e x =
αj vij1 ⊗ . . . ⊗ vijk ∈ T (V∗ ) tal que bi(x) = 0.
j
j=1
Logo
l
X
αj i(vij1 ) · i(vij2 ) · . . . · i(vijk ) = 0.
j
j=1
(1)
16
Pode ser mostrado (por indução sobre k) que o conjunto
{i(vi1 ) · i(vi2 ) · . . . · i(vik ) ∈ A∗ : vit ∈ {vj }j∈J , para t = 1, 2, . . . k, e k ∈ N}
é linearmente independente, de onde segue por
assim
1.3
x = 0.
Portanto
bi é
(1)
que
αj = 0,
para
j = 1, 2, . . . , l,
e
injetora.
Pré-requisitos Homotópicos
Neste trabalho estamos supondo que os leitores tenham um certo conhecimento
sobre os grupos de homotopia, e de homotopia relativa, a saber,
respectivamente, bem como sobre suas propriedades, sendo
um subespaço de
X.
X
πn (X),
e
πn (X, A),
um espaço topológico e
A
Nesta seção deniremos algumas relações e propriedades dos grupos
de homotopia. Para um melhor esclarecimento do que trataremos, veja [5] ou [13].
Lembremos que para um espaço
X
com ponto base
x0 ,
πn (X, x0 ) = [(S n , sn ), (X, x0 )]
denota o conjunto das classes de homotopia relativa de funções
onde
sn = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1
Já para a terna
e
x0 ∈ A,
temos que
e
f : (S n , sn ) −→ (X, x0 ),
n ≥ 1.
(X, A, x0 ), sendo X
um espaço topológico,
πn (X, A, x0 ) = [(Dn , S n−1 , sn−1 ), (X, A, x0 )]
classes de homotopia relativa de funções
A⊂X
um subespaço,
denota o conjunto das
f : (Dn , S n−1 , sn ) −→ (X, A, x0 ),
para
n ≥ 2.
Denição 1.4 Seja A ⊂ X . Uma retração de X sobre A é uma aplicação contínua
r : X −→ A tal que a restrição r|A : A −→ A é a identidade em A. Se existir uma tal
retração, diremos que A é um retrato de X .
A é chamado retrato por deformação (no sentido fraco) de X , se A é retrato de
X e i ◦ r ' 1X , onde r : X −→ A é uma retração e i : A −→ X é a inclusão.
Deniremos agora, retrato por deformação no sentido forte.
17
Denição 1.5 Sejam X um espaço topológico, A um subespaço de X , e i : A −→ X
a inclusão natural. Dizemos que A é um retrato por deformação forte de X , se existe
aplicação contínua r : X −→ A tal que r ◦ i = 1A e i ◦ r ' 1X rel A, ou seja, existe uma
aplicação contínua F : X × I −→ X satisfazendo,
(1) F (x, 0) = x, ∀ x ∈ X;
(2) F (x, 1) ∈ A, ∀ x ∈ A;
(3) F (a, t) = a, ∀ a ∈ A e ∀ t ∈ I.
É imediato vericar que, se
então
A é retrato por deformação (no sentido forte ou fraco),
A ' X.
Um teorema na teoria de homotopia que vale à pena ressaltarmos é o da existência
da sequência exata do par. Uma demonstração de tal teorema se encontra em [10].
Teorema 1.4 Se (X, A) é um par de espaços topológicos, então existe uma sequência
exata
π(d)n+1
. . . πn+1 (A) −→ πn+1 (X) −→ πn+1 (X, A) −→ πn (A) −→ πn (X) −→ . . .
π(d)1
. . . −→ π1 (A) −→ π1 (X) −→ π1 (X, A) −→ π0 (A) −→ π0 (X),
sendo que π(d)n+1 : πn+1 (X, A) −→ πn (A) é dada por π(d)n+1 ([α]) = [α|S n ], enquanto as
outras aplicações são induzidas pelas inclusões.
Se
X
Y
e
sendo o conjunto
τ = {A ⊂ X
G
são espaços topológicos, denimos a união disjunta de
X
F
Y := (X × {0}) ∪ (Y × {1})
Y : A∩(X ×{0}) e A∩(Y ×{1}) são
Observamos que
X × {0}
e
Y × {1}
X
e
Y
como
munido da topologia
abertos em
são abertos e fechados em
X ×{0} e Y ×{1}, resp.}.
X ×Y.
Denição 1.6 Dados espaços topológicos com pontos bases, (X, x0 ) e (Y, y0 ), denimos
a soma wedge X ∨ Y como sendo o quociente da união disjunta X
F
Y obtido pela iden-
ticação de x0 e y0 em um único ponto. Mais geralmente, podemos formar a soma wedge
18
Xα para uma família de espaços topológicos com ponto base {(Xα , xα ) : α ∈ J}, onde J
G
é um conjunto de índices, como sendo o quociente da união disjunta Xα , identicando
_
α
α
os pontos xα em um único ponto.
Exemplo 1- O espaço S 1 ∨ S 1 é homeomorfo à gura oito.
Denição 1.7 Sejam X , Y espaços topológicos, e f : X −→ Y uma aplicação contínua.
Tomemos, agora, a união disjunta (X × I) Y . Neste espaço, consideremos a relação
F
de equivalência ∼ gerada pela identicação (x, t) ∼ y, se y = f (x) e t = 1. O cilindro
induzido por f , denotado por If , é o espaço quociente [(X × I) Y ]/ ∼.
F
Denotaremos a classe de
denição de
(x, t),
em
If
por
[x, t],
e a classe de
y
por
[y]
(pela
∼, [x, 1] = [f (x)]).
Notamos que
F : If × I −→ If
Y
é um retrato por deformação de
If .
De fato, basta denirmos
por
F ([x, t], s) = [x, (1 − s)t + s],
F ([y], s) = [y],
se
se
x ∈ X, t, s ∈ I;
y ∈ Y, s ∈ I.
Denição 1.8 No espaço X ×Y , X ×{y0 }, e {x0 }×Y são homeomorfos, respectivamente
a X e Y , além disso, X × {y0 } ∩ {x0 } × Y = {(x0 , y0 )}, sendo assim, podemos identicar
X × {y0 } ∪ {x0 } × Y com a soma wedge X ∨ Y . O produto smash X ∧ Y é então denido
como o espaço quociente X × Y / (X × {y0 } ∪ {x0 } × Y ).
Finalizamos nossos pré-requisitos homotópicos com o conceito de equivalência de
homotopia fraca. No transcorrer do trabalho, veremos uma série de resultados interessantes sobre equivalência de homotopia fraca.
Denição 1.9 Uma aplicação contínua f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) é equivalência de homotopia fraca se πn (f ) : πn (X, x0 ) −→ πn (Y, y0 ), dada por πn ([γ]) = [f ◦ γ], para
[γ] ∈ πn (X, x0 ), é um isomorsmo para todo n.
19
1.4
Pré-requisitos Homológicos
Nesta seção pressupomos que o leitor tenha um certo conhecimento sobre ho-
mologia e suas propriedades. Os resultados e denições apresentados se encontram em
[10].
Inicialmente, enunciaremos teoremas que dão a existência de sequências exatas
em homologia singular.
Teorema 1.5 Sejam X um espaço topológico e A um subespaço de X , então existe um
homomorsmo H(d)n , de Hn (X, A) em Hn−1 (A) tal que a sequência
Hn (i)
Hn (j)
H(d)n
Hn−1 (i)
. . . −→ Hn (A) −→ Hn (X) −→ Hn (X, A) −→ Hn−1 (A) −→ . . . −→ H0 (X, A) −→ 0
é exata.
Prova:
Veja [10].
Teorema 1.6 Seja X um espaço topológico, tal que X = A ∪ B , sendo A e B abertos de
X , com a propriedade de que A ∩ B 6= ∅. Então existe homomorsmo ∂n : Hn (X) −→
Hn−1 (A ∩ B) tal que a sequência, chamada de Mayer-Vietoris,
a
b
∂
n
n
n
. . . Hn (A ∩ B) −→
Hn (A) ⊕ Hn (B) −→
Hn (X) −→
Hn−1 (A ∩ B) −→ . . . −→ H0 (X),
é exata, onde an = (Hn (i1 ), −Hn (i2 )) e bn = Hn (k1 ) + Hn (k2 ), sendo i1 : A ∩ B −→ A,
i2 : A ∩ B −→ B , k1 : A −→ X e k2 : B −→ X as inclusões apropriadas.
Prova:
Veja [5].
A partir de agora listaremos alguns conceitos preliminares com o intuito de enunciar e compreender o Teorema de Kunneth, bem como, descrever algumas consequências
deste Teorema.
20
Denição 1.10 Uma resolução livre de um R-módulo M é uma sequência exata
∂
∂
ε
n
1
Fn−1 −→ . . . −→ F1 −→
F0 −→ M −→ 0,
. . . −→ Fn −→
na qual cada Fn é um R-módulo livre.
Dado um conjunto arbitrário
A
e um anel comutativo com elemento identidade
R, denimos F (A) como sendo o conjunto de todas as somas formais
X
ra a, onde ra ∈ R,
a∈A
e
ra = 0
exceto para um número nito de índices
a ∈ A.
Considerando as operações de adição e multiplicação dadas em
!
X
ra a
F (A)
por
!
+
a∈A
X
sa a
:=
a∈A
X
(ra + sa )a,
a∈A
!
r
X
ra a
:=
a∈A
F (A)
mos
(rra )a,
a∈A
torna-se um R-módulo livre, com base
A,
chamado R-módulo livre gerado por
Observamos que qualquer R-módulo
A
possui uma resolução livre: basta tomar-
F0 = F (A), ε : F (A) −→ A
F1 = F (Ker ε), ∂1 : F1 −→ F0
e, em geral,
Ker ∂n−1
de
X
sendo o homomorsmo que restrito a
sendo o homomorsmo que restrito a
Fn = F (Ker ∂n−1 ), ∂n : Fn −→ Fn−1
A
A.
é a identidade,
Ker ε
é a inclusão
sendo o homomorsmo que restrito a
é a inclusão. A resolução assim construída é chamada resolução livre canônica
A.
Se
R
é um domínio principal, então todo submódulo de um módulo livre é livre
e deste modo a sequência
∂
ε
1
0 −→ F1 −→
F0 −→ A −→ 0
é uma resolução livre de
A,
com
F0 = F (A)
Tensorizando a sequência acima por
e
F1 = Ker ε.
B,
obtemos a sequência exata
∂ ⊗1
1
B
F1 ⊗ B −→
F0 ⊗ B −→ A ⊗ B −→ 0.
Denição 1.11 Se A e B são R-módulos, onde R é um domínio principal, então denimos T or(A, B), também denotado por A ∗ B , como sendo Ker (∂1 ⊗ 1B ).
21
Teorema 1.7 Sejam A e B R-módulos. Se A ou B é livre, então A ∗ B = 0.
Prova:
Ver [5].
O próximo teorema a ser enunciado é conhecido como Teorema dos Coecientes
Universais.
Teorema 1.8 Seja R um domínio de ideais principais. Sejam ainda X um espaço
topológico e G um R-módulo. Então existe uma sequência exata
0 −→ Hn (X; R) ⊗ G −→ Hn (X; G) −→ Hn−1 (X; R) ∗ G −→ 0
que se fatora.
Prova:
Ver [5].
Corolário 1.1 Uma aplicação contínua f : X −→ Y induz isomorsmos em homologia com coecientes em Z se, e somente se, f induz isomorsmos em homologia com
coecientes em Q e Zp , para todo primo p.
Prova:
Ver [5].
Teorema 1.9 Seja R um domínio de ideais principais. Sejam ainda X e Y espaços
topológicos, G e G0 R-módulos tais que G ∗ G0 = 0, então existe uma sequência exata
0
×
0
0
0 −→ [H∗ (X; G)⊗H∗ (Y ; G )]n −→ Hn (X×Y ; G⊗G ) −→ [H∗ (X; G)∗H∗ (Y ; G )]n−1 −→ 0
que se fatora, onde [H∗ (X; G) ⊗ H∗ (Y, G0 )]n =
M
p+q=n
0
[H∗ (X; G) ∗ H∗ (Y ; G )]n−1 =
M
p+q=n−1
Hp (X; G) ∗ Hq (Y ; G ).
0
Hp (X; G) ⊗ Hq (Y ; G ) e
0
22
Prova:
Ver [5].
O monomorsmo
×
é chamado produto cross em homologia, e o teorema acima
é conhecido como Teorema de Kunneth para homologia singular.
Se
Hi (X) = Hi (X; R)
e
Hj (X) = Hj (X; R),
H∗ (X) =
M
então denotamos:
Hi (X) e
i≥0
H∗ (X) ⊗ H∗ (Y ) =
M
[H∗ (X) ⊗ H∗ (Y )]n .
n≥0
Corolário 1.2 Consideremos as hipóteses do Teorema anterior satisfeitas, porém sendo
R um corpo. Então H∗ (X) ⊗ H∗ (Y ) ∼
= H∗ (X × Y ).
Prova:
Visto que
R
é um corpo, pelo Teorema 1.7,
H∗ (X; R) ∗ H∗ (Y ; R) = {0},
agora,
pela exatidão da sequência do Teorema acima, segue o resultado desejado.
Denição 1.12 Um monóide é um conjunto não vazio M , munido de uma operação
binária · : M × M −→ M associativa que admite elemento neutro bilateral, ou seja:
(1) (m1 · m2 ) · m3 = m1 · (m2 · m3 ), ∀ m1 , m2 , m3 ∈ M ;
(2) ∃ e ∈ M tal que m · e = e · m = m, ∀ m ∈ M.
Se M é um espaço topológico e (M, ·) é um monóide, dizemos que (M, ·) é um
monóide topológico se a operação binária · : M × M −→ M é contínua.
Um homomorsmo entre monóides topológicos M e N é uma função contínua
f : M −→ N que satisfaz f (m · n) = f (m) · f (n), ∀ m, n ∈ M . Nesta última igualdade,
na primeira sentença, · representa a multiplicação em M , e na segunda sentença, ·
representa a multiplicação em N . Dizemos que um homomorsmo de monóides f é um
isomorsmo se f é bijetora e sua inversa f −1 seja contínua.
23
Seja
F
um
corpo,
µ : M × M −→ M .
Então,
e
M
um
monóide
H∗ (M ) = H∗ (M ; F )
topológico
é uma
com
F -álgebra
multiplicação
graduada (para
maiores detalhes, veja [5]), sendo
×
H∗ (µ)
P (µ) : H∗ (M ) ⊗ H∗ (M ) ∼
= H∗ (M × M ) −→ H∗ (M )
a aplicação conhecida como o produto de Pontryagin.
Denimos
homologia
e n (X) = Hn (X, x0 ),
H
onde
x0
reduzida
de
é um ponto de
um
espaço
topológico
X
como
sendo
X.
A seguir, citamos algumas propriedades de homologia reduzida que nos interessarão. As justicativas de tais propriedades se encontram em [5].
HR 1- Se X
é conexo por caminhos, então
e 0 (X) ∼
H
= {0}.
e 0 (X) ⊕ R e H
e n (X) ∼
HR 2- H0 (X) ∼
=H
= Hn (X), para n ≥ 1.
HR 3- Se X e Y
são espaços conexos por caminhos, então
e ∗ (X × Y ) ∼
e ∗ (X) ⊗ H∗ (Y )] ⊕ H
e ∗ (Y ).
H
= [H
Mais ainda, em homologia reduzida, temos um Teorema de Kunneth análogo ao
anterior, a saber, se
0 −→
R
é um anel comutativo com elemento identidade, então a sequência
n
M
e i (X; R) ⊗ H
e n−i (Y ; R)] −→ H
e n (X ∧ Y ; R) −→ Tn−1 −→ 0
[H
i=0
é exata, sendo
Tn−1 =
n−1
M
e i (X; R), H
e n−i−1 (Y ; R)) e X ∧Y
T or(H
o produto smash denido
i=0
na seção anterior.
Como a sequência acima é exata,
e ∗ (X) =
H
M
e i (X),
H
segue que
se
R
é um corpo,
e ∗ (X) ⊗ H
e ∗ (Y ) ∼
e ∗ (X ∧ Y ),
H
= H
então,
sabendo que
e utilizando indução,
i≥0
vemos que
e ∗ (X ∧ X ∧ . . . ∧ X ) ∼
H
{z
} =
|
n vezes
1.5
n
O
e ∗ (X).
H
i=1
Espaços Compactamente Gerados
Denição 1.13 Um espaço topológico X é compactamente gerado se, e somente se, X é
um espaço de Hausdor, e cada subconjunto A de X com a propriedade de que A ∩ C é
fechado para qualquer subconjunto compacto C de X , é um fechado.
24
Todo espaço de Hausdor localmente compacto é compactamente gerado, bem
como qualquer espaço metrizável.
Se
espaço
X
k(X)
subconjunto
é um espaço de Hausdor, o espaço compactamente gerado associado é o
denido da seguinte maneira:
A
de
X
é fechado em
qualquer subconjunto compacto
C
k(X)
de
k(X)
X
e
coincidem como conjuntos, e um
se, e somente se,
A∩C
é fechado em
X,
para
X.
A seguir, listaremos uma série de resultados e propriedades que envolvem espaços
compactamente gerados (c.f. [12]).
CG 1- Se X
é um espaço de Hausdor, então
CG 2- Se X
é compactamente gerado, então
k(X)
é compactamente gerado.
k(X) = X .
CG 3- Se X é espaço de Hausdor, então X e k(X) têm os mesmos subconjuntos
compactos.
CG 4- Se f : X −→ Y
é uma função, sendo
X
e
Y
espaços de Hausdor, então
k(f ) : k(X) −→ k(Y ) dada pela mesma expressão de f , porém considerando os conjuntos
X
e
Y
com a topologia copactamente gerada, é contínua se, e somente se,
é contínua, para qualquer conjunto compacto
Sejam
A
X
f |C : C −→ Y
C ⊂ X.
um espaço compactamente gerado, e
A um subconjunto de X .
não é compactamente gerado, quando consideramos a topologia induzida de
Sendo assim, denimos subespaço de
topologia de
X
subespaço de
X.
em
A
X
Em geral,
X
em
A.
da seguinte maneira: Inicialmente induzimos a
e posteriormente consideramos
k(A).
O espaço
k(A)
é chamado
Denição 1.14 A aplicação f : X −→ Y é uma proclusão (ou aplicação quociente) se, e
somente se, f é sobrejetora, e um subconjunto U de Y é aberto se, e somente se, f −1 (U )
é aberto em X .
CG 5- Se X é compactamente gerado, Y
é uma proclusão, então
CG 6-
Se
Y
é um espaço de Hausdor, e
p : X −→ Y
é compactamente gerado.
f : X −→ X
0
e
g : Y −→ Y
espaços compactamente gerados, então
0
são proclusões, sendo
0
f × g : X × Y −→ X × Y
0
0
X, Y, X , Y
0
também é proclusão.
25
Denição 1.15 Seja X um espaço compactamente gerado e seja A um subespaço de X .
Então (X, A) é um par-NDR se, e somente se, existem aplicações contínuas u : X −→ I ,
h : I × X −→ X , tais que
(1) A = u−1 (0);
(2) h(0, x) = x para todo x ∈ X ;
(3) h(t, x) = x para todo t ∈ I , x ∈ A;
(4) h(1, x) ∈ A para todo x ∈ X tal que u(x) < 1.
Dizemos que o par (u, h) representa (X, A) como um par-NDR.
CG 7-
Se
X
é compactamente gerado e se
A
é fechado em
X,
as seguintes
condições são equivalentes:
(1)
(X, A)
é um par-NDR;
(2)
(X, A)
tem a propriedade de extensão de homotopia, com relação a espaços
arbitrários.
CG 8- Se (X, A) e (Y, B) são pares-NDR, então
(X, A) × (Y, B) = (X × Y, X × B ∪ A × Y )
é um par-NDR.
Denição 1.16 Uma aplicação contínua f : (X, A) −→ (Y, B) é um homeomorsmo
relativo se, e somente se, f : X −→ Y é proclusão, e f |X−A : X − A −→ Y − B é um
homeomorsmo.
CG 9- Sejam (X, A) um par-NDR e f : (X, A) −→ (Y, B) um homeomorsmo
relativo. Então
(Y, B)
é um par-NDR.
CG 10- Se f : X −→ Y
sendo
If
o cilindro induzido por
é contínua, sendo
f , (If , X)
X
e
Y
compactamente gerados, então,
é um par-NDR.
Finalizamos esta seção com o conceito de Espaços Filtrados e algumas de suas
propriedades.
Denição 1.17 Seja X um conjunto coberto por subconjuntos Aj , com j ∈ J , sendo J
uma família de índices, ou seja, X =
[
j∈J
Aj . Se
26
(1) cada Aj é espaço topológico;
(2) para cada i, j ∈ J , a topologia de Ai ∩ Aj como subconjunto de Ai e de Aj
coincidem;
(3) para cada i, j ∈ J , a intersecção Ai ∩ Aj é fechada em Ai e Aj .
Então a topologia fraca de X determinada por {Aj : j ∈ J} é a topologia cujos
fechados são os subconjuntos F de X tais que F ∩ Aj é fechado em Aj , para cada j ∈ J .
A família {Aj : j ∈ J} é chamada família coerente sobre X .
Quando
em
X,
X
tem a topologia fraca determinada por
além disso, cada
Exemplo 1união disjunta
G
Xj
Aj
visto como subespaço de
X
{Aj : j ∈ J}, cada Aj
é fechado
retém sua topologia original.
Dada uma família de espaços topológicos
{Xj : j ∈ J},
tem a topologia fraca determinada pela família
então a
{Xj : j ∈ J}.
j∈J
Teorema 1.10 Se X tem a topologia fraca determinada por {Aj : j ∈ J}, então, para
qualquer espaço topológico Y , uma função f : X −→ Y é contínua se, e somente se, f |Aj
é contínua, para todo j ∈ J .
Prova:
Veja [10].
Para uma família de espaços topológicos
{Xj : j ∈ J}, um espaço topológico Y
e
{fj : Xj −→ Y : j ∈ J}, vemos, pelo teorema anterior,
G
fj : j∈J
Xj −→ Y , denida por f (x) = fj (x), se x ∈ Xj , é
uma família de funções contínuas
que a aplicação
f :=
G
j∈J
contínua.
Seja
X
um espaço de Hausdor. Então
X
é compactamente gerado se, e somente
se, ele tem a topologia fraca determinada pela coleção de todos subconjuntos compactos
de
X.
CG 11- Se a família {Aα : α ∈ J} é coerente sobre X , sendo cada Aα um espaço
compactamente gerado, e se
compactamente gerado.
X
é um espaço de Hausdor (na topologia fraca), então
X
é
27
Denição 1.18 Para cada n ∈ N, seja Xn um espaço topológico. Dizemos que a sequência {Xn : n ∈ N} é expandida, se Xn é um subespaço fechado de Xn+1 , para todo natural
n. Neste caso, a família {Xn : n ∈ N} é coerente sobre X =
∞
[
Xn . Quando X for
n=0
um espaço de Hausdor munido com a topologia fraca determinada pela família acima,
diremos que X é ltrado pela sequência {Xn }.
CG 12- Seja X
expandida
em
Xn ,
{Xn }.
Então qualquer subconjunto compacto
para algum
gerado, e
{Xn }.
(X, Xn )
C
de
X
está inteiramente contido
n.
CG 13- Seja X
espandida
um espaço tendo a topologia fraca determinada pela sequência
um espaço tendo a topologia fraca determinada pela sequência
(Xn+1 , Xn )
Se
é um par-NDR para todo
é um par-NDR, para todo
CG 14- Sejam X , Y
respectivamente. Então
n,
então
X
é compactamente
n.
espaços compactamente gerados, ltrados por
X ×Y
é ltrado por
Zn =
n
[
{Zn },
{Xn }, {Yn },
onde
Xi × Yn−i .
i=0
Dizemos que
par-NDR para todo
CG 15-
Zn =
n
[
é ltrado sob uma ltração NDR
{Xn }
se
(Xn+1 , Xn )
é um
n.
Se
Xi × Yn−i ,
X
{Xn }
então
e
{Yn }
{Zn }
são ltrações NDR de
é ltração NDR de
X
e
Y,
respectivamente, e
X ×Y.
i=0
1.6
Complexos CW
Denição 1.19 Uma n-célula en é uma cópia homeomórca do n-disco aberto Dn −S n−1 .
Já uma n-célula fechada é uma cópia homeomórca do n-disco fechado Dn .
Denição 1.20 Sejam X um espaço topológico, e E uma família de n-células (podendo
n variar). Se X =
[
como sendo
e∈E
{e}, então, para cada k ≥ 0, o k-esqueleto X (k) de X é denido
X (k) =
[
{en ∈ E : n ≤ k}
28
Observamos que
X (0) ⊂ X (1) ⊂ . . . ⊂ . . .
e
X=
[
X (k) .
k≥0
Denição 1.21 Um complexo CW é uma terna (X, E, Φ), onde X é um espaço de Hausdor, E é uma família de células em X , e Φ = {φe : e ∈ E} é uma família de aplicações,
tais que:
(1) X =
S
{e : e ∈ E} (união disjunta);
(2) para cada n-célula e ∈ E , a aplicação φe : (Dn , S n−1 ) −→ (e ∪ X (n−1) , X (n−1) )
é um homeomorsmo relativo;
(3) se e ∈ E , então seu fecho, e, está contido numa união nita de células em E ;
(4) X tem a topologia fraca determinada por {e : e ∈ E}.
Se
(X, E, Φ)
é um complexo CW, então
chamada uma decomposição CW de
X
é chamado de espaço CW,
(E, Φ)
é
X , e φe ∈ Φ é chamada aplicação característica de e.
A partir deste momento apresentaremos uma série de propriedades de complexos
CW, e algumas consequências de tais propriedades, e na medida que listamos tais propriedades, daremos algumas denições que envolvem a teoria de complexos CW.
CW 0- Uma reunião (intersecção) qualquer de complexos CW, ainda é um complexo CW.
CW 1- Se X
é um complexo CW, então
X (n)
CW 2- Se X
é um complexo CW, então
X
CW 3- Sejam X um complexo CW e Y
f : X −→ Y
é contínua se, e somente se,
f |en
também é um complexo CW.
é compactamente gerado.
um espaço topológico. Então a aplicação
é contínua, para cada n-célula
en .
CW 4- Seja X um complexo CW. Então X é conexo se, e somente se, X é conexo
por caminhos.
Um complexo CW
(X, E, Φ)
é nito, se
E
é um conjunto nito. Temos que
um exemplo de complexo CW nito.
Denição 1.22 Seja (X, E, Φ) um complexo CW. Se E 0 ⊂ E , denimos
0
|E | =
[
0
{e : e ∈ E } ⊂ X,
Sn
é
29
e Φ0 = {φe : e ∈ E 0 }. Dizemos que (|E 0 |, E 0 , Φ0 ) é um subcomplexo CW de (X, E, Φ) se
Im φe ⊂ |E |, para qualquer e ∈ E .
0
0
Pela denição de k-esqueleto, segue que qualquer k-esqueleto de um complexo
CW
X
é um subcomplexo CW de
complexo CW e
A
X.
é um subcomplexo CW de
CW 5- Se X
(X, A)
Dizemos que
é um complexo CW e
Y
X
é um
X/Y
é um
é um par-CW se
X.
é um subcomplexo CW, então
complexo CW.
Desta última propriedade, decorre que o produto smash de complexos CW é um
complexo CW. Utilizando a propriedade
CW 0 e a última propriedade citada, verica-se
que a soma wedge de complexos CW ainda é um complexo CW.
CW 6- Sejam X um complexo CW e Y ⊂ X um subcomplexo CW. Então existe
um subconjunto aberto
de
U
em
X
X
um complexo CW, e
contendo
Y,
Y
sendo
um retrato por deformação forte
U.
CW 7f : X −→ Y
Sejam
Y
um espaço conexo por caminhos. Se
é uma equivalência de homotopia fraca, então
CW 8-
Sejam
Z
e
Z
0
complexos CW. Se
são equivalências de homotopia fraca, e
X
é conexo por caminhos.
f : Z −→ X
g : X −→ X
0
e
0
0
f : Z −→ X
0
é uma aplicação contínua, então
existe uma única (a menos de homotopia) aplicação contínua
h : Z −→ Z
0
que satisfaz
0
g ◦ f ' f ◦ h.
Denição 1.23 Sejam X e Y complexos CW, com k-esqueletos X (k) e Y (k) , respectivamente. Dizemos que a aplicação contínua f : X −→ Y é celular se f (X (k) ) ⊂ Y (k) , para
todo k.
CW 9- Se f : X −→ Y
é aplicação celular, então o cilindro induzido por
é complexo CW, tendo como subcomplexos CW,
CW 10- Se X e Y
são complexos CW, e
então existe uma aplicação celular
g : X −→ Y
X
e
f , If ,
Y.
f : X −→ Y
é uma aplicação contínua,
f ' g.
Este resultado é conhecido
tal que
como o Teorema de Aproximação Celular.
Finalizamos esta seção enunciando o Teorema de Whitehead.
30
Teorema 1.11 Sejam X e Y complexos CW, e suponhamos que f : X −→ Y seja uma
equivalência de homotopia fraca. Então f é uma equivalência de homotopia.
Para as devidas justicativas dos resultados listados, bem como, uma compreensão mais aprofundada do assunto em questão, veja [5], [10], e [13].
1.7
Teoremas de Hurewicz
Nesta seção, deniremos ação, ação trivial e daremos alguns resultados relaciona-
dos, posteriormente enunciaremos os Teoremas de Hurewicz (absoluto e relativo), e por
m, utilizando alguns resultados de ações triviais, e os Teoremas de Hurewicz, obteremos
novos isomorsmos que nos interessarão.
Denição 1.24 Sejam G um grupo e Y um conjunto. Dizemos que G atua sobre Y se
existe uma função · : G × Y −→ Y , chamada ação de G em Y , que satisfaz:
(1) (g · g0 ) · y = g · (g0 · y), para quaisquer g, g 0 ∈ G e y ∈ Y ;
(2) 1G · y = y, ∀ y ∈ Y , sendo 1G o elemento neutro de G.
Dizemos que G atua trivialmente sobre Y , ou que a ação de G em Y é trivial, se
g · y = y , para quaisquer g ∈ G e y ∈ Y .
Observamos que, se
bijeção
τg : Y −→ Y ,
atua sobre
Y,
então cada elemento
que em geral, não é isomorsmo, dada por
Exemplo 1x0 ∈ A ,
G
Se
X
é um espaço topológico,
então o grupo fundamental
π1 (A, x0 )
A ⊂ X
atua sobre
g∈G
determina uma
τg (y) = g · y .
é um subespaço de
πn (X, A, x0 ) (n ≥ 2)
X
e
da seguinte
forma:
Dados
[w] ∈ π1 (A, x0 )
somente se, existe uma
para
α1
e
[α0 ], [α1 ] ∈ πn (X, A, x0 )
w-homotopia
é uma aplicação contínua
de
α0
para
α1 ,
temos que
[w] · [α1 ] = [α0 ]
sendo que uma
H : (Dn × I, S n−1 × I) −→ (X, A)
H(q, 0) = α0 (q), ∀ q ∈ Dn ,
H(q, 1) = α1 (q), ∀ q ∈ Dn e
H(sn−1 , t) = w(t), ∀ t ∈ I e sn−1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rn .
w-homotopia
tal que:
se, e
de
α0
31
Verica-se que a relação
α0
e
α1
e que a operação
w-homotopia
[w] · [α1 ] = [α0 ]
independe das classes de homotopia de
denida acima é uma ação (c.f. [11]).
sobre
πn (X, x0 ) (n ≥ 1),
α1 (α0 , α1 ∈ πn (X, x0 ))
é uma homotopia
Analogamente podemos denir uma ação de
sendo que uma
w-homotopia
F : S n × I −→ X
de
α0
sendo o ponto base de
para
S n.
Se
de
α1
α0
para
tal que
n = 1,
w,
π1 (X, x0 )
F (sn , t) = w(t), ∀ t ∈ I ,
sendo
sn = (1, 0, . . . , 0)
essa ação é a conjugação, ou seja,
π1 (X, x0 ) × π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x0 )
7−→ [w] · [α1 ] = [w] ∗ [α1 ] ∗ [w]−1 .
([w], [α1 ])
Observamos que, se
[w] ∈ π1 (A, x0 ),
então a bijeção
τ[w] : πn (X, A, x0 ) −→ πn (X, A, x0 )
é na realidade um isomorsmo de grupos (se
n ≥ 2).
Analogamente
τ[w] : πn (X, x0 ) −→ πn (X, x0 )
é isomorsmo
∀ [w] ∈ π1 (X, x0 )
e
∀ n ≥ 1.
Denição 1.25 Um espaço X é n-simples, sendo n um inteiro positivo, se a ação de
π1 (X, x0 ) em πn (X, x0 ) é trivial. Denimos X como sendo simples se X é n-simples,
para todo inteiro positivo n.
Denição 1.26 Um espaço topológico com ponto base, (X, x0 ), é n-conexo se
πi (X, x0 ) = {0} para todo 0 ≤ i ≤ n. Deste modo, um espaço X é 0-conexo se, e
somente se, X é conexo por caminhos. Já o par (X, A) é dito ser n-conexo, quando
πi (X, A, x0 ) = 0 para todo i ≤ n. Seja f : X −→ Y uma aplicação contínua, sendo X
e Y espaços topológicos. Dizemos que a aplicação f é n-conexa se, e somente se, o par
(If , X) é n-conexo.
Agora daremos algumas preliminares para enunciarmos os Teoremas de Hurewicz.
O homomorsmo de Hurewicz
ρX : πn (X, x0 ) −→ Hn (X)
ρX ([f ]) = Hn (f )(in ),
é dado por
32
onde
in
é o gerador básico de
Hn (S n ),
e
[f ] ∈ πn (X).
Temos também o homomorsmo
ρA,B : πn (A, B) −→ Hn (A, B)
relativo de Hurewicz, a saber,
denido por
ρA,B ([α]) = α∗ (e),
onde
α∗
[α] ∈ πn (A, B),
sendo
α : (Dn , S n−1 ) −→ (A, B), e
o homomorsmo em homologia relativa (
X
Sejam
Hn (X, A)
) induzido por
um espaço topológico com subespaço
aplicação contínua, e
um gerador de
Hn (Dn , S n−1 )
α.
A, f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
uma
H(d)n : Hn (X, A) −→ Hn−1 (A), π(d)n : πn (X, A) −→ πn−1 (A)
homomorsmos das sequências exatas do par
(X, A)
e
os
em homologia e homotopia, respec-
tivamente. Então os seguintes diagramas comutam:
πn (X, A)
ρX,A
Hn (X, A)
π(d)n
H(d)n
/ πn−1 (A)
/
ρA
Hn−1 (A)
πn (X)
ρX
Hn (X)
πn (f )
/ πn (Y )
Hn (f )
/
ρY
Hn (Y ).
Denição 1.27 Sejam X um espaço topológico, e ξ ∈ π1 (X, x0 ). Seja
τξ : πn (X, x0 ) −→ πn (X, x0 )
o isomorsmo dado pela ação de π1 (X, x0 ) em πn (X, x0 ) (n ≥ 1). Consideremos então
Wn (X) como sendo o subgrupo de πn (X, x0 ) gerado pelo conjunto
L = {α ∗ (τξ (α))−1 : ξ ∈ π1 (X, x0 ), α ∈ πn (X, x0 )},
ou seja, Wn (X) = hLi . Denimos πn∗ (X, x0 ) como sendo o grupo πn (X, x0 )/Wn (X).
Notamos que se
n = 1,
então
L = {α ∗ (τξ (α))−1 : ξ, α ∈ π1 (X, x0 )}
= {α ∗ (ξ ∗ α ∗ ξ −1 )−1 : ξ, α ∈ π1 (X, x0 )}
= {α ∗ ξ ∗ α−1 ∗ ξ −1 : ξ, α ∈ π1 (X, x0 )},
donde
W1 (X)
é o subgrupo dos comutadores de
π1 (X, x0 ).
33
Teorema 1.12 Se X é n-simples, e x0 ∈ X , então πn∗ (X, x0 ) ∼
= πn (X, x0 ).
Prova:
Como
Wn (X) = {0},
X
é
n-simples,
π1 (X, x0 )
atua
trivialmente
em
πn (X, x0 ),
logo
de onde segue o resultado.
O Teorema Absoluto de Hurewicz nos diz que
Teorema 1.13 Seja X um espaço (n-1)-conexo (n ≥ 1), com x0 ∈ X . Então
ρ : πn∗ (X, x0 ) −→ Hn (X)
é um isomorsmo, sendo ρ(x) = ρX (x), com x ∈ πn∗ (X, x0 ).
Prova:
Veja [13].
Utilizando 1.13 e 1.12, segue que o homomorsmo de Hurewicz
ρX : πn (X, x0 ) −→ Hn (X)
é um isomorsmo, desde que
n = 1,
o mesmo ocorre se
X
X
for
seja
(n − 1)-conexo,
sendo n um inteiro maior que
1.
Se
1-simples.
Denição 1.28 Sejam X um espaço topológico e A um subespaço de X , com x0 ∈ X
e ξ ∈ π1 (A, x0 ). Consideremos então Wn (X, A) como sendo o subgrupo de πn (X, A, x0 )
gerado pelo conjunto
0
P = {α − τξ (α) : ξ ∈ π1 (A, x0 ), α ∈ πn (X, A, x0 )},
sendo τξ0 : πn+1 (X, A, x0 ) −→ πn+1 (X, A, x0 ) o isomorsmo determinado pela ação de
ξ ∈ π1 (A, x0 ) em πn (X, A, x0 ), ou seja, Wn (X, A) = hP i. Denimos πn† (X, x0 ) como
sendo o grupo
πn (X, A, x0 )/Wn (X, A).
34
Teorema 1.14 Se π1 (A, x0 ) atua trivialmente sobre πn (X, A, x0 ), então
πn† (X, A, x0 ) ∼
= πn (X, A, x0 ).
Prova:
Segue imediatamente das denições de
Wn (X, A)
e
πn† (X, A, x0 ).
Agora, o Teorema Relativo de Hurewicz arma que
Teorema 1.15 Seja (X, A) um par (n-1)-conexo (n ≥ 2)tal que A e X sejam 0-conexos.
Então ρe : πn† (X, A, x0 ) −→ Hn (X, A) é um isomorsmo, sendo ρe(x) = ρX,A (x), com
x ∈ πn (X, A, x0 ) e x ∈ πn† (X, A, x0 ).
Prova:
Veja [13].
Finalmente observamos, pelas combinações dos Teoremas 1.14 e 1.15, que
ρX,A : πn (X, A) −→ Hn (X, A)
é um isomorsmo, desde que exista uma ação trivial de
(X, A)
seja
(n − 1)-conexo.
π1 (A, x0 )
em
πn (X, A, x0 )
e o par
Capítulo 2
Espaço de Laços
Neste capítulo denimos espaço de laços de um espaço topológico
base
x0 ,
X
com ponto
o qual é um H-espaço. Porém, para mostrarmos o Teorema de James, devemos
ter uma estrutura melhor para o espaço de laços. Tendo isto em vista, mostraremos que o
espaço de laços tem o mesmo tipo de homotopia de um monóide topológico. Também neste
capítulo daremos alguns conceitos funtoriais que nos auxiliarão nos próximos capítulos.
2.1
Espaço de Funções
Nesta seção deniremos o espaço de funções. Além disso, enunciaremos e provare-
mos alguns teoremas relacionados ao espaço de funções.
Denição 2.1 Se X e Y são espaços topológicos, então X Y denota o conjunto de todas
funções contínuas de Y em X . A topologia compacto-aberta sobre X Y é a topologia tendo
uma subbase consistindo de todos subconjuntos
(K; U ) = {f ∈ X Y /f (K) ⊂ U },
onde K é um subconjunto compacto de Y , U é um subconjunto aberto de X .
Deste modo, um aberto básico em
da forma
XY
(K; U ).
35
é uma intersecção nita de subconjuntos
36
A seguir, deniremos a aplicação avaliação e provaremos sua continuidade, mas
para isso usaremos o seguinte lema, cuja demonstração pode ser encontrada em [10].
Lema 2.1 Sejam X e Y espaços topológicos, com Y compacto. Se x0 ∈ X e U é um
subconjunto aberto de X × Y contendo {x0 } × Y , então existe uma vizinhança aberta L
de x0 em X com
{x0 } × Y ⊂ L × Y ⊂ U.
Denição 2.2 Se X e Y são espaços topológicos, então a aplicação avaliação
a : X Y × Y −→ X é denida por a(f, y) = f (y).
Teorema 2.1 Sejam X e Z espaços topológicos, seja Y um espaço de Hausdor localmente compacto, e seja X Y munido da topologia compacto-aberta. Então:
(1) A aplicação avaliação a : X Y × Y −→ X é contínua.
(2) Uma função F : Z × Y −→ X é contínua se, e somente se, F : Z −→ X Y
dada por F (z)(y) = F (z, y) é contínua.
Prova:(1) Seja (f, y) um elemento de X Y × Y , e seja V
de
f (y)
f (W ) ⊂ V ;
com
U
(f, y).
a
X.
em
Visto que
desde que
Y
0
é contínua, existe uma vizinhança aberta
W
de
y
com
é localmente compacto Hausdor, existe um conjunto aberto
compacto tal que
Se
f
uma vizinhança aberta
y ∈ U ⊂ U ⊂ W.
0
(f , y ) ∈ (U ; V ) × U ,
então
(U ; V ) × U
Agora,
0
0
0
0
U,
é uma vizinhança aberta de
0
0
a(f , y ) = f (y ) ∈ f (U ) ⊂ f (U ) ⊂ V .
Portanto
é contínua.
(2) Suponhamos que
F ×1
a
Z × Y −→ X Y × Y −→ X;
F : Z −→ X Y
seja contínua. Temos que
F
é a composição
a
e
F ×1
contínua. Inversamente, suponhamos que
F
seja contínua, e mostremos que
visto que
Para tanto, é suciente provarmos que se
subbásica de
Agora,
F (z),
Daí
e
(K; U )
então existe uma vizinhança aberta
F (z) ∈ (K; U )
F ({z} × K) ⊂ U ;
z ∈Z
são contínuas segue que
signica que
continuidade de
F
F (z, y) ∈ U
diz que
V
de
z
com
é contínua.
V
de
z
com
y ∈ K;
F (V ) ⊂ (K; U ).
equivalentemente,
é um subconjunto aberto de
F −1 (U ) ∩ (Z × K) é um subconjunto aberto de Z × K
dá uma vizinhança aberta
F
também é
é qualquer vizinhança aberta
para todo
F −1 (U )
F
V × K ⊂ F −1 (U ).
contendo
{z} × K
E daí segue que
Z ×Y.
e o Lema 2.1
F (V ) ⊂ (K; U ).
37
Existe um resultado mais geral, que arma o seguinte: Se
mente gerados, então a aplicação avaliação
a : X Y × Y −→ X
X
e
Y
são compacta-
é contínua (ver [12]).
Corolário 2.1 Sejam X e Z espaços topológicos, e seja Y um espaço localmente compacto
de Hausdor. Uma função g : Z −→ X Y é contínua se, e somente se, a composição
a ◦ (g × 1) é contínua.
g×1
a
Z × Y −→ X Y × Y −→ X
Prova:
Imediata do Teorema anterior.
2.2
Categorias
Vários objetos matemáticos, tais como conjuntos, grupos, espaços topológicos,
junto com as aplicações apropriadas entre estes objetos (funções para conjuntos, homomorsmos para grupos, funções contínuas para espaços topológicos) têm certas propriedades em comum. Por exemplo, em cada caso, a composição de aplicações (quando
denida) é associativa, ou ainda, para cada objeto
1A : A −→ A
com certas propriedades.
A
existe uma aplicação identidade
Estas noções mais gerais são formalizadas na
denição de categoria.
Denição 2.3 Uma categoria é uma classe C de objetos, obj(C), denotados por A, B, . . .,
junto com
(1) uma classe de conjuntos disjuntos, denotados por HomC (A, B), um para cada
par (A, B) de objetos em C . Um elemento f de HomC (A, B) é chamado um morsmo de
A em B e é denotado por f : A −→ B .
(2) uma função ◦ : HomC (A, B)×HomC (B, C) −→ HomC (A, C), para cada tripla
(A, B, C) de objetos de C , sendo que cada par de morsmos f : A −→ B , g : B −→ C ,
38
é levado no morsmo g ◦ f , chamado composição de g com f . Tal função deve satisfazer
os seguintes axiomas:
(I) Associatividade. Se f : A −→ B , g : B −→ C , h : C −→ D são morsmos
de C , então h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
(II) Identidade. Para cada objeto B de C existe um morsmo 1B : B −→ B tal
que para quaisquer f : A −→ B , g : B −→ C , 1B ◦ f = f e g ◦ 1B = g.
Em uma categoria
C
um morsmo
C,
g : B −→ A
equivalência, então
A
e
B
um morsmo
tal que
g ◦ f = 1A
Seja
obj(A)
f ◦ g = 1B .
Se
f : A −→ B
a classe de todos conjuntos, para
é o conjunto de todas funções
composição usual de funções. Um morsmo
f
e
é uma equivalência se existir em
é uma
são ditos equivalentes.
Exemplo 1- A = Sets.
obj(A), HomA (A, B)
f : A −→ B
f
de
C
f : A −→ B ,
A, B ∈
e a composição é a
é uma equivalência se, e somente se,
é uma bijeção.
Exemplo 2- B = T op.
e para cada par
contínuas
morsmo
(A, B)
f : A −→ B ,
f
de
B
Neste caso
obj(B) é a classe de todos espaços topológicos,
B , HomB (A, B)
de objetos de
e a composição em
B
é a composição usual de funções.
é uma equivalência se, e somente se,
Exemplo 3- C = Grupos.
A, B ∈ obj(C), HomC (A, B)
Seja
é o conjunto de todas funções
obj(C)
f
é um homeomorsmo.
a classe de todos grupos,
é o conjunto de todos homomorsmos
composição é a composição usual de funções. Um morsmo
e somente se,
g
X
é um espaço topológico e
HomD ((X, A), (Y, B))
f (A) ⊂ B ,
Seja
obj(D)
de
C
f : A −→ B ,
e a
é uma equivalência se,
a classe de todos pares ordenados
A é um subespaço de X .
Para
é o conjunto de todas funções contínuas
(X, A),
(X, A), (Y, B) ∈ obj(D),
f : X −→ Y ,
tais que,
e a composição é a composição usual de funções.
Exemplo 5- E = T M on.
cos. Para
g
para
é um isomorsmo de grupos.
Exemplo 4- D = T op2 .
onde
Um
Seja
M, N ∈ obj(E), HomE (M, N )
f : M −→ N ,
obj(E)
a classe de todos monóides topológi-
é o conjunto de todos homomorsmos contínuos
e a composição é a composição usual de funções.
39
Agora deniremos subcategorias, e a seguir citaremos alguns exemplos de subcategorias de determinadas categorias.
Denição 2.4 Sejam C e A categorias com obj(C) ⊂ obj(A). Então C é uma subcategoria
de A se HomC (A, B) ⊂ HomA (A, B), ∀ A, B ∈ obj(C) e se a função
◦ : HomC (A, B) × HomC (B, C) −→ HomC (A, C)
é a restrição da correspondente composição com subscrito A.
Exemplo 6- F = Ab.
A, B ∈ obj(F), HomF (A, B)
obj(F)
Seja
a classe de todos grupos abelianos.
é o conjunto de todos homomorsmos
Ab
onde
X
Seja
é um espaço topológico e
Hom((X, x0 ), (Y, y0 ))
f (x0 ) = y0 ,
x0
obj(C)
a classe de todos pares ordenados
(X, x0 ),
é um ponto de
estas funções serão denotadas por
T op∗
e a
Grupos.
X.
Para
(X, x0 ), (Y, y0 ) ∈ obj(C),
é o conjunto de todas funções contínuas
é a composição usual de funções.
f : A −→ B ,
é uma subcategoria de
composição é a composição usual de homomorsmos.
Exemplo 7- C = T op∗ .
Para
f : X −→ Y
f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ).
é uma subcategoria de
com
A composição
T op2 .
A próxima construção será útil na denição de uma nova categoria.
Denição 2.5 Seja C uma categoria, uma congruência sobre C é uma relação de equivalência ∼ sobre a classe
S
(A,B)
HomC (A, B) de todos morsmos em C , tais que:
(1) f ∈ HomC (A, B) e f ∼ f 0 =⇒ f 0 ∈ HomC (A, B);
(2) f ∼ f 0 , g ∼ g0 , e a composição g ◦ f existe =⇒ g ◦ f ∼ g0 ◦ f 0 .
Sejam
C
uma categoria,
equivalência de um morsmo
f
de
∼
uma congruência sobre
C.
Consideremos
C
0
C,
como segue:
0
obj(C ) = obj(C);
Hom
C 0 (A, B)
= {[f ]/f ∈ HomC (A, B)};
[g] ◦ [f ] = [g ◦ f ].
e seja
[f ]
a classe de
40
Então, sem muitas diculdades, verica-se que
é chamada uma categoria quociente de
C,
C
0
e denotaremos
é uma categoria. Esta categoria
HomC 0 (A, B)
por
[A, B].
A categoria quociente mais importante para nós é a categoria de homotopia, a
qual deniremos a seguir. Lembremos antes da denição de homotopia.
Denição 2.6 Se X e Y são espaços topológicos e se f, g são aplicações contínuas de X
em Y , então f é homotópica a g, denotado por f ' g, se existe uma aplicação contínua
F : X × I −→ Y com F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x) para todo x ∈ X . A aplicação F é
chamada uma homotopia.
Sabemos que homotopia é uma relação de equivalência sobre o conjunto de todas
aplicações contínuas
X −→ Y .
é a classe de equivalência
é denotada por
A partir disso, se
[f ] = {g ∈ X Y /g ' f }.
f ∈ XY ,
então sua classe de homotopia
A família de todas classes de homotopia
[X, Y ].
Ainda, temos que, se
g0 ◦ f 0 ' g1 ◦ f 1 ,
ou seja,
fi ∈ Y X , gi ∈ Z Y ,
para
i = 0, 1, f0 ' f1 ,
e
g0 ' g1 ,
então
[g0 ◦ f0 ] = [g1 ◦ f1 ].
Deste modo, pelo que vimos acima, Homotopia é uma congruência sobre a categoria
T op.
Assim, existe a categoria quociente sobre
T op,
denotada por
hT op.
Em
hT op
temos que,
obj(hT op) = obj(T op)
HomhT op (X, Y ) = {[f ] : f ∈ HomT op (X, Y )}
[g] ◦ [f ] = [g ◦ f ]
Esta categoria será útil para justicarmos a relação entre o espaço de laços e a
suspensão reduzida de um espaço topológico. Tais noções serão introduzidas em seções
posteriores.
Em muitas categorias (por exemplo,
Grupos),
qualquer objeto na categoria é
de fato um conjunto (geralmente com alguma estrutura adicional) e qualquer morsmo
f : A −→ B
na categoria é uma função entre os conjuntos fundamentais (geralmente
com alguma estrutura).
Entendemos conjuntos fundamentais, no sentido usual, como
sendo conjuntos sem estrutura alguma. Formalizamos esta idéia na denição a seguir.
41
Denição 2.7 Uma categoria concreta é uma categoria C junto com uma função σ que
leva cada objeto A de C no conjunto σ(A) (chamado o conjunto fundamental de A) de tal
modo que:
(1) Todo morsmo A −→ B de C é uma função entre os conjuntos fundamentais
σ(A) −→ σ(B);
(2) O morsmo identidade de cada objeto A de C é a função identidade sobre o
conjunto fundamental σ(A);
(3) Composição de morsmos em C funciona como composição usual de funções
entre os conjuntos fundamentais.
Exemplo 1- A categoria T M on, equipada com a função que leva cada monóide
topológico em seu conjunto fundamental, no sentido usual, é uma categoria concreta. De
maneira semelhante as categorias
Grupos, Sets, T op
Ab
e
são categorias concretas.
Exemplo 2- Seja X um espaço topológico e consideremos a categoria C = Π(X),
denida da seguinte forma:
obj(C) = X.
Dados
x, y ∈ obj(C) = X ,
α : [0, 1] −→ X
então
f ∈ HomC (x, y)
um caminho contínuo tal que
[α]
α(0) = y
[β]
x −→ y −→ z ,



β(2t),
(β ∗ α)(t) =


α(2t − 1),
homotopia de caminhos de
α.
Se
então
se, e somente se,
e
α(1) = x,
e
f = [α],
[α]
[β] ◦ [α] = [β ∗ α],
é a classe de
sendo
se 0 ≤ t ≤ 1/2
se 1/2 ≤ t ≤ 1
Π(X) é uma categoria não concreta, chamada grupóide fundamental de X .
disso, verica-se que todo morsmo de
Exemplo 3unitário) então
C
Temos que, se
C
Π(X)
é uma categoria tal que
◦ : M × M −→ M
obj(C) = {x}
M = HomC (x, x),
é uma operação em
e possui elemento neutro, como na Denição 1.12. Verica-se que
concreta.
Além
é uma equivalência.
é chamada monóide. Notemos que, se
um monóide algébrico, ou seja,
sendo
C
M
(conjunto
então
(M, ◦)
é
que é associativa
é uma categoria não
42
Exemplo 4- Seja C = Π(x), sendo obj(Π(x)) = {x} ⊂ X
topológico) e
HomΠ(x) (x, x) = HomΠ(X) (x, x).
Pelo exemplo anterior vemos que
não concreta. Observamos que
Então
Π(x)
(onde
X
é um espaço
é uma subcategoria de
Π(X).
Π(x) é um monóide, e portanto é uma categoria
(HomΠ(x) (x, x), ◦) é igual ao grupo fundamental π1 (X, x).
Quando trabalhamos com grupos e módulos, se soubermos que um determinado
grupo, ou módulo é livre, o conhecimento e as propriedades de tais estruturas tornamse, muitas vezes, mais simples de serem trabalhadas. Levando-se em consideração isto,
denimos objeto livre em uma categoria concreta.
Denição 2.8 Seja F um objeto em uma categoria concreta C , X um conjunto não vazio,
e i : X −→ F uma aplicação (entre conjuntos). F é livre sobre o conjunto X se, para
qualquer objeto A de C e qualquer aplicação f : X −→ A (entre conjuntos), existe um
único morsmo de C , f : F −→ A, tal que f ◦ i = f .
Objetos livres existem em diversas categorias. Veremos um exemplo no capítulo
seguinte, a saber, a existência de objetos livres na categoria dos monóides, e na categoria
dos monóides topológicos. Claro que existem objetos que não são livres em determinadas
categorias, por exemplo, na categoria dos
Z-módulos, Q
não é um objeto livre (ver [6]).
Geralmente, no estudo de qualquer objeto matemático fazemos considerações
sobre as aplicações entre tais objetos, para conhecermos melhor a estrutura de tal objeto
matemático. Na próxima seção estudaremos as aplicações entre categorias.
2.3
Funtores
Um funtor pode ser pensado como uma aplicação entre categorias, que preserva
a estrutura.
A idéia fundamental em Topologia Algébrica é converter problemas sobre
espaços topológicos e funções contínuas em problemas sobre objetos algébricos (por exemplo, grupos, módulos, anéis, etc.) e seus homomorsmos. Os funtores desempenham um
papel fundamental em tais conversões. Iniciaremos esta seção com a denição de funtores
covariantes e contravariantes, e a seguir listaremos alguns exemplos.
43
Denição 2.9 Sejam A e C categorias. Um funtor covariante T : A −→ C é uma função
que satisfaz:
(1) A ∈ obj(A) =⇒ T A ∈ obj(C),
(2) se f : A −→ A0 é um morsmo em A, então T f : T A −→ T A0 é um morsmo
em C , tal que:
(I) se f, g são morsmos em A e g ◦ f está denida, então T (g ◦ f ) = (T g) ◦ (T f );
(II) T (1A ) = 1T A para todo A ∈ objA.
Exemplo 1F (X)
é o conjunto
é a função
f. F
X,
Seja
F : T op −→ Sets
e se
f : X −→ Y
tal que, para cada espaço topológico
X,
F (f ) : F (X) −→ F (X)
é função contínua, então
é chamado funtor esquecimento.
Exemplo 2- Se C é uma categoria, o funtor identidade I : C −→ C é denido por
I(A) = A
para todo
A ∈ obj(C),
Exemplo 3-
I(f ) = f
Fixemos
Hom(A, ) : C −→ Sets
e cada morsmo
e
um
para todo morsmo
objeto
A
em
é um funtor levando cada objeto
f : B −→ B
0
uma
B
de
C.
categoria
C
de
f
C.
no conjunto
Então
Hom(A, B)
na aplicação induzida
0
Hom(A, f ) : Hom(A, B) −→ Hom(A, B ),
denida por
Hom(A, f )(g) = f ◦ g .
Denotaremos
Hom(A, f )
Denição 2.10 Sejam A e C duas categorias.
por
f∗ .
Um funtor contravariante
S : A −→ C é uma função que satisfaz:
(1) A ∈ obj(A) =⇒ SA ∈ obj(C),
(2) se f : A −→ A0 é um morsmo em A, então Sf : SA0 −→ SA é um morsmo
em C , tal que:
(I) se f, g são morsmos em A e g ◦ f está denida, então S(g ◦ f ) = (Sf ) ◦ (Sg);
(II) S(1A ) = 1SA para todo A ∈ objA.
Exemplo 4-
Fixemos
Hom( , B) : C −→ Sets
um
objeto
B
em
uma
categoria
C.
é um funtor contravariante, levando cada objeto
A
Então
em
C
no
44
conjunto
Hom(A, B)
g : A −→ A
e cada morsmo
0
na aplicação induzida
0
Hom(g, B) : Hom(A , B) −→ Hom(A, B),
denida por
por
Hom(g, B)(h) = h ◦ g .
Denotaremos a aplicação induzida de
g , Hom(g, B),
g∗.
Finalizamos esta seção com um teorema interessante.
Teorema 2.2 Sejam A e B categorias e T : A −→ B um funtor (covariante ou contravariante). Se f é uma equivalência em A então T (f ) é uma equivalência em C .
Prova:
Como
f
é uma equivalência, existe
g , tal que, f ◦g = 1B
nestas últimas expressões, e usando a hipótese de que
T
e
g ◦f = 1A .
Aplicando
T,
é um funtor, seguirá o resultado
desejado.
2.4
Funtores Adjuntos
Pares de funtores adjuntos ocorrem em muitos ramos da Matemática. Iniciaremos
esta seção denindo transformação natural, que grosso modo, é uma aplicação entre dois
funtores. Logo a seguir deniremos quando dois funtores são adjuntos. Adiante daremos
um exemplo de pares de funtores adjuntos, em forma de teorema.
Denição 2.11 Sejam A e C categorias e S, T : A −→ C funtores covariantes. Uma
transformação natural α : S −→ T é uma função que leva cada objeto A de A em
um morsmo αA : S(A) −→ T (A) em C de tal modo que, para todo morsmo em A
f : A −→ A o diagrama abaixo é comutativo.
0
S(A)
S(f )
0
S(A )
αA
α
A
0
/
/
T (A)
T (f )
0
T (A )
Se αA é uma equivalência para todo A em A, então α é um isomorsmo natural dos
funtores S e T .
45
Agora denimos quando dois funtores são adjuntos.
Denição 2.12 Sejam F : A −→ C e G : C −→ A funtores. O par ordenado (F, G) é
um par adjunto se, para cada objeto A em A e cada objeto C em C , existe uma bijeção
τ = τAC : HomC (F A, C) −→ HomA (A, GC),
que é natural em cada variável (A e C no caso, são as variáveis).Ou seja, os seguintes
diagramas comutam para todas f : A0 −→ A e g : C −→ C 0 em C :
HomC (F A, C)
(F f )∗
/
0
τ
f∗
HomA (A, GC)
/
HomC (F A, C)
HomC (F A , C)
τ
0
/
0
HomC (F A, C )
τ
HomA (A, GC)
HomA (A , GC)
g∗
(Gg)∗
/
τ
0
HomA (A, GC )
Neste caso, (F f )∗ (h) = h◦F f , f ∗ (k) = k ◦f , g∗ (m) = g ◦m, e (Gg)∗ (n) = Gg ◦n.
2.5
Espaço de Laços e Suspensão Reduzida
Denição 2.13 Sejam (X, x0 ) um espaço com ponto base, e I = [0, 1] ⊂ R. Denimos
P X = {γ : I −→ X : γ é contínua e γ(0) = x0 }.
Visto que P X ⊂ X I , podemos considerar a topologia de P X como sendo a topologia
compacto-aberta induzida do espaço X I .
Uma propriedade interessante do espaço
PX
é dada pelo próximo Teorema.
Teorema 2.3 Se (X, x0 ) é um espaço com ponto base, então P X é contrátil.
Prova:
Seja
Devemos mostrar que
c : I −→ X ∈ P X
Temos que
tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto
denida por
Consideremos então,
g(γ) = c.
PX
c(t) = x0 ,
f : {c} −→ P X
g ◦ f = 1{c}
e
para todo
e
t ∈ I.
g : P X −→ {c}
(f ◦ g)(γ) = c.
{c}.
dadas por
f (c) = c
e
46
f ◦ g ' 1P X .
Mostremos que
F (γ, t) = γt ,
γ1 (s) = γ(s),
armamos que
F
De fato,
F : P X × I −→ P X
por
γt (s) = γ(ts).
onde
Sem diculdades, vemos que
com
Para tanto, denimos
logo
F (γ, 0) = c,
F (γ, 0) = γ0 ,
e
com
F (γ, 1) = γ ,
γ0 (s) = γ(0) = x0
para todo
γ ∈ P X.
e
F (γ, 1) = γ1 ,
Além do mais,
é contínua.
F
é contínua, desde que a composição
i
F
P X × I −→ P X ,→ X I
seja contínua. Mas como
I
é localmente compacto, segue do Teorema 2.1 que a composição
acima é contínua se, e somente se,
Fe : P X × I × I −→ X
dada por
Fe(γ, s, t) = γ(st)
for
contínua.
Agora,
Fe
é a composição
a|P X×I
ϕ
P X × I × I −→ P X × I −→ X,
onde
ϕ(γ, s, t) = (γ, st)
segue que
PX
Fe
e
a
é a aplicação avaliação. Haja visto que
também é. E assim, pelo que comentamos acima,
F
ϕ
e
a
são contínuas,
é contínua. Portanto
é contrátil.
Em
P X , temos um subespaço especial, o Espaço de Laços, denido como segue.
Denição 2.14 Seja (X, x0 ) um espaço com ponto base. Então seu espaço de laços,
denotado por Ω(X, x0 ), é o espaço de funções
Ω(X, x0 ) = (X, x0 )(I,∂I) ,
visto como subespaço de X I (este último munido da topologia compacto-aberta). Escolhemos lx0 : I −→ X , denida por lx0 (t) = x0 ∀t ∈ I , como ponto base de Ω(X, x0 ).
Observação 1:
o espaço de laços de
Se
(X, x0 ) ∈ obj(hT op∗ ),
(X, x0 ),
Ω(X, x0 ) ∈ obj(hT op∗ ).
denotado por
Ainda, se
então pela denição acima temos que
Ω(X, x0 ),
tem como ponto base
f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
lx0 .
Logo
é função contínua, então existe
47
Ωf : Ω(X, x0 ) −→ Ω(Y, y0 )
detalhes, ver [10]).
denida por
Ωf (γ) = f ◦ γ ,
e mais,
Sem muitos problemas, verica-se que
Ωf (lx0 ) = ly0
(para mais
Ω : hT op∗ −→ hT op∗
é um
funtor.
Denição 2.15 Se (Z, z0 ) é um espaço com ponto base, então a suspensão reduzida de
Z , denotada por ΣZ , é o espaço quociente
ΣZ = (Z × I)/((Z × ∂I) ∪ ({z0 } × I)).
Observação 2:
por
[z, t].
Se
(z, t) ∈ Z × I ,
denotamos o correspondente elemento de
Abusaremos da notação, e escreveremos
ΣZ
z0 = [z, 0] = [z, 1] = [z0 , t] ∀ z ∈
Z e t ∈ I.
Observação 3:
acima, logo
então existe
Dado um espaço com ponto base
(ΣZ, z0 ) ∈ obj(hT op∗ ).
Além disso, se
Σf : (ΣZ, z0 ) −→ (ΣW, w0 )
(Z, z0 ), existe ΣZ
f : (Z, z0 ) −→ (W, w0 )
contínua dada por
Observação 4:
Sendo
(X, x0 ) ' (Y, y0 ),
então
(para
Σ : hT op∗ −→ hT op∗
é
Ω(ΣX, lx0 ) ' Ω(ΣY, ly0 ).
q : X × I −→ (X × I)/((X × ∂I) ∪ ({x0 } × I)) a aplicação
quociente natural, podemos pensar no subespaço
muitas diculdades, verica-se que
C+ (X) = q(X × [1/2, 1])
de
ΣX .
Sem
C+ (X) = (X × [1/2, 1])/(X × {1}) ∪ ({x0 } × [1/2, 1]).
De maneira análoga, temos o subespaço
C− (X)
é contínua,
Σf ([z.t]) = [f (z), t]
mais detalhes, ver [10]). Sem muitas diculdades, mostra-se que
um funtor. Além disso, notamos que, se
denida como
C− (X) = q(X × [0, 1/2]).
Os espaços
C+ (X)
e
são chamados cones reduzidos.
Teorema 2.4 Os cones reduzidos C+ (X) e C− (X), denidos na última observação, são
contráteis. Além disso, C+ (X) ∩ C− (X) e X são homeomorfos.
Prova:
Lembremos que um espaço
X
é contrátil se
X
tem o mesmo tipo de homotopia
de um ponto, o que é equivalente a dizer que existe uma retração por deformação entre
X
e o ponto em questão. Sendo assim, consideremos
H+ : C+ (X) × I −→ C+ (X) e H− : C− (X) × I −→ C− (X)
48
denidas por
H+ (([x, t], s)) = [x, (1 − s)t + s] e H− (([x, t], s)) = [x, t(1 − s)].
Verica-se que tanto
H+ ,
H−
quanto
são contínuas, além disso, satisfazem:
(1)
H+ (([x, t], 0)) = [x, t], H+ (([x, t], 1)) = [x, 1] = x0 ,
e
(2)
H− (([x, t], 0)) = [x, t], H− (([x, t], 1)) = [x, 0] = 0
H− ((x0 , s)) = x0 .
Portanto
C+ (X)
e
C− (X)
e
são contráteis. Agora, que
homeomorfos é imediato, basta denirmos
G : C+ (X) ∩ C− (X)
H+ ((x0 , t)) = x0 ;
C+ (X) ∩ C− (X)
por
e
X
são
G([x, 1/2]) = x.
Um Teorema que relaciona o espaço de laços de um espaço topológico
X
e a teoria
de complexos CW, é o Teorema de Milnor, o qual enunciaremos a seguir.
Teorema 2.5 Qualquer espaço de laços de um complexo CW tem o mesmo tipo de homotopia de um complexo CW.
Prova:
Veja [9].
Observação 5:
então, como
I
Suponhamos que
é complexo CW, e
X
seja um complexo CW, sendo
x0
uma 0-célula de
(X × ∂I) ∪ ({x0 } × I) é subcomplexo de X × I
aqui, a utilização da propriedade
CW 1),
pela propriedade
CW 5, ΣX
X,
(notemos
também é um
complexo CW. Naturalmente, por um argumento análogo ao feito acima, cones reduzidos
também são complexos CW, quando
na realidade, subcomplexos CW de
X
for complexo CW. E mais,
C+ (X)
e
C− (X)
são
ΣX .
Suspensão Reduzida e Espaço de Laços de um espaço
(X, x0 )
se relacionam
através do próximo teorema.
Teorema 2.6 (Σ, Ω) é um par adjunto de funtores sobre hT op∗ .
Para demonstrarmos o Teorema acima, necessitaremos de dois resultados, que serão dados
através de lemas.
49
Lema 2.2 Se F : (ΣX, x0 ) −→ (Y, y0 ) é contínua, então F # : X −→ Ω(Y, y0 ) denida
por F # (x)(t) = F ([x, t]) é contínua.
Prova:
Se mostrarmos que
F#
inclusão, seguirá que
Visto que
i ◦ F # : X −→ Y I
é contínua, onde
i : Ω(Y, y0 ) −→ Y I
é a
é contínua.
I é localmente compacto, pelo Teorema 2.1, temos que i◦F # : X −→ Y I
é contínua se, e somente se,
i ◦ F # : X × I −→ Y
denida por
i ◦ F # (x, t) = F ([x, t]),
é
contínua.
Agora,
i ◦ F#
é a composição
q
F
X × I −→ ΣX −→ Y,
onde
F#
q(x, t) = [x, t].
E como
q
e
F
são contínuas, segue que
i ◦ F#
é contínua. Portanto
é contínua.
Lema 2.3 Se G : (X, x0 ) −→ (Ω(Y, y0 ), ly0 ) é contínua, então G[ : (ΣX, x0 ) −→ (Y, y0 )
denida por G[ ([x, t]) = G(x)(t) é contínua.
Prova:
Notemos inicialmente que
notamos que
G(x0 ) = ly0 ,
G[ ([x, 0]) = G[ ([x, 1]) = y0 .
Como
logo
G
G(x0 )(t) = ly0 (t) = y0 .
Também
é contínua, segue que
i ◦ G : X −→ Y I
também é contínua.
i]
◦ G : X × I −→ Y ,
Sendo
dada por
I
é localmente compacto,
i]
◦ G(x, t) = G(x)(t),
segue do Teorema 2.1 que
é contínua. Temos ainda que
i]
◦ G(x, 0) = G(x)(0) = y0 ,
i]
◦ G(x, 1) = G(x)(1) = y0 e
i]
◦ G(x0 , t) = G(x0 )(t) = y0 .
Deste modo, existe aplicação contínua
G(x)(t) = G[ ([x, t]).
Portanto
G[
i ◦ G : ΣX −→ Y , tal que i ◦ G([x, t]) = i]
◦ G(x, t) =
é contínua.
50
Prova do Teorema 2.6:
podemos considerar
(X, x0 ), (Y, y0 ) espaços com ponto base.
τXY : [ΣX, Y ] −→ [X, ΩY ]
Armamos que
De fato, sejam
homotopia
Sejam
τXY
denida por
Pelo Lema 2.2,
τXY ([F ]) = [F # ].
está bem denida.
F0 , F1 : (ΣX, x0 ) −→ (Y, y0 ) contínuas, tais que F0 ' F1
rel
x0
via
H : ΣX × I −→ Y .
Seja
H#
H # : X × I −→ ΩY
é contínua, pois
H # (x, s)(t) = H([x, t], s).
dada por
H # : X × I × I −→ Y , denida por H # (x, s, t) = H([x, t], s)
é contínua. Para tanto, basta notarmos que
H#
é a composição
q×1
T
H
X × I × I −→ X × I × I −→I ΣX × I −→ Y,
onde
T (x, s, t) = (x, t, s),
e
q(x, t) = [x, t].
Temos que,
H # (x, 0)(s) = H([x, s], 0) = F0 ([x, s]) = F0# (x)(s) =⇒ H # (x, 0) = F0# (x),
H # (x, 1)(s) = H([x, s], 1) = F1 ([x, s]) = F1# (x)(s) =⇒ H # (x, 1) = F1# (x),
H # (x0 , t)(s) = H([x0 , s], t) = y0 = ly0 (s) =⇒ H # (x0 , t) = ly0 .
Portanto
F0# ' F1#
rel
x0
H #.
via homotopia
Logo
τXY
está bem denida.
γXY : [X, ΩY ] −→ [ΣX, Y ]
Pelo Lema 2.3, podemos denir
De maneira semelhante à que zemos anteriormente, verica-se que
Além do mais, vê-se que
−1
γXY = τXY
.
Finalmente, para
0
Logo
f : X −→ X
e
τXY
γXY
γXY ([G]) = [G[ ].
está bem denida.
é uma bijeção.
g : Y −→ Y
0
por
0
em
hT op∗ ,
temos:
0
(1) (F # ◦ f )(x )(t) = F # (f (x ))(t)
0
= F ([f (x ), t])
0
= F (Σf ([x , t]))
0
= (F ◦ Σf )[x , t]
0
0
0
= (F ◦ Σf )# (x )(t), ∀x ∈ X , ∀t ∈ I.
Logo
F # ◦ f = (F ◦ Σf )# ,
e assim, para
[F ] ∈ [ΣX, Y ],
segue que
51
[τX 0 Y ◦ (Σf )∗ ]([F ]) = τX 0 Y ((Σf )∗ ([F ]))
= τX 0 Y ([F ◦ Σf ])
= [(F ◦ Σf )# ]
= [F # ◦ f ]
= f ∗ ([F # ])
= f ∗ (τXY ([F ])).
Deste modo, o diagrama
[ΣX, Y ]
τXY
(Σf )∗
/
0
[ΣX , Y ]
τ
[X, ΩY ]
f∗
/
0
0
X Y
[X , ΩY ]
é comutativo.
(2) (g ◦ F )# (x)(t) = (g ◦ F )([x, t])
= g(F ([x, t]))
= g(F # (x)(t))
= [g ◦ F # (x)](t)
= Ωg(F # (x))(t)
= [Ωg ◦ F # ](x)(t), ∀x ∈ X, e ∀t ∈ I.
Logo
(g ◦ F )# = Ωg ◦ F # ,
e assim, para
[F ] ∈ [ΣX, Y ],
segue que
[τXY 0 ◦ g∗ ]([F ]) = τXY 0 (g∗ ([F ]))
= τXY 0 ([g ◦ F ])
= [(g ◦ F )# ]
= [Ωg ◦ F # ]
= (Ωg)∗ ([F # ])
= (Ωg)∗ (τXY ([F ]))
= [(Ωg)∗ ◦ τXY ]([F ]).
52
Portanto o diagrama
g∗
[ΣX, Y ]
τXY
/
0
[ΣX, Y ]
τ
[X, ΩY ]
(Ωg)∗
/
0
X Y
0
[X, ΩY ]
é comutativo.
De (1), (2), e pela bijeção de
2.6
τXY
segue que
(Σ, Ω) é um par de funtores adjuntos.
Colimite
Sejam
A,
e
I
categorias.
F : I −→ A
O colimite de um funtor (covariante)
(se existir) é um objeto de
A
colimF = C ∈ obj(A),
junto com morsmos
é um morsmo de
morsmos de
A
qi : F (i) −→ C
em
A,
I , então qi ◦ F (αji ) = qj .
para cada
E se
tais que, para cada morsmo
então existe um único morsmo
f : C −→ A
i ∈ obj(I)
tais que se
αji : j −→ i
A ∈ obj(A) e fi : F (i) −→ A (i ∈ I ) são
αji : j −→ i
tal que
em
I
tem-se
fi ◦ F (αji ) = fj ,
f ◦ qj = fj , ∀ j ∈ objI .
O seguinte diagrama ilustra a propriedade denidora de
colimF .
/A
f
{= F
77 JJ qj
{
f
j {{ 77 JJJ
{ 77 JJ
{{ {
77
7
qi 77 F (j) fi
77
7F
77(αji)
colimF
[7 dJJ
F (i)
Exemplo 1-
Consideremos a mesma notação anterior.
discreta (isto é, os únicos morsmos são as identidades), então
colim F
i∈I
=
M
i∈I
F (i)
Se
I
é uma categoria
53
Existe um conceito de limite, que é um conceito dual de colimite, porém para o
que seguirá, utilizaremos apenas as noções de colimite.
Finalizamos esta seção com o conceito de limite direto.
Dizemos que um conjunto parcialmente ordenado
quaisquer dois elementos
i, j ∈ I
I
têm um limitante superior
Mais geralmente, uma categoria pequena
I
é ltrado, ou dirigido, se
k ∈ I (i ≤ k, e j ≤ k ).
(categoria na qual a classe dos objetos é um
conjunto) é ltrada se:
(1) Para quaisquer
i, j ∈ I ,
existem
(2) Para quaisquer morsmos
que
w◦u=w◦v
em
k∈I
u, v : i −→ j
mos por
I
i −→ k , j −→ k ;
existe um morsmo
w : j −→ k
tal
Hom(i, k).
Um colimite ltrado em uma categoria
no qual
e morsmos
A
é o colimite de um funtor
A : I −→ A,
é uma categoria ltrada. Tal colimite chamaremos de limite direto e denotare-
lim Ai .
−→
Observamos que se
I
é uma categoria pequena ltrada, e
A
é a categoria dos
conjuntos, ou a categoria dos espaços topológicos, ou a categoria dos R-módulos, então
qualquer funtor
F : I −→ A
No capítulo
2.7
possui limite direto (para maiores informações veja [3]).
4 provaremos a existência do limite direto na categoria dos R-módulos.
H-espaço
Nesta seção, todos espaços são espaços com ponto base, e o símbolo
'
denota a
relação de homotopia relativa ao ponto base entre funções.
Denição 2.16 Um espaço topológico X com ponto base x0 é um H-espaço se existe uma
multiplicação contínua µ : X × X −→ X tal que
µ ◦ i1 ' 1X ' µ ◦ i2 ,
sendo i1 , i2 : X −→ X × X as inclusões denidas por
i1 (x) = (x, x0 ), i2 (x) = (x0 , x) ∀x ∈ X
54
B
Observamos que, se
uma estrutura de H-espaço de
é um H-espaço, e
A ' B,
então, naturalmente,
A
herda
B.
Exemplo 1- Todo monóide topológico é um H-espaço.
Exemplo 2- Todo grupo topológico é um H-espaço.
Denição 2.17 Sejam X e Y H-espaços, com multiplicações µX e µY . Uma aplicação
contínua f : X −→ Y é uma H-aplicação se o seguinte diagrama comuta homotópicamente,
X ×X
µX
f ×f
/
Y ×Y
f
X
/
µY
Y,
ou seja, µY ◦ f × f ' f ◦ µX .
Exemplo 3- Todo homomorsmo de monóides topológicos é uma H-aplicação.
Teorema 2.7 Se Y é um H-espaço, com ponto base y0 , então para cada espaço topológico
X , o conjunto [X, Y ] das classes de homotopia (relativas a um ponto base) de aplicações de
X em Y pode ser munido de um produto natural de tal maneira que a classe de homotopia
da aplicação constante igual a y0 seja um elemento neutro bilateral.
Prova:
Y
Suponhamos que
seja um H-espaço, então dadas
f1 , f2 : X −→ Y ,
podemos
denir
f1 · f2 = µ ◦ (f1 × f2 ) ◦ ∆X ,
sendo
∆X : X −→ X × X
a aplicação diagonal.
O produto assim denido é compatível com homotopia, pois sejam as aplicações
g1 , g2 : X −→ Y
H2 : X × I −→ Y
tais que
f1 ' g1
a homotopia entre
através da homotopia
f2
e
g2 ,
H1 : X × I −→ Y ,
e seja
então basta tomarmos
H = H1 · H2 = µ ◦ (H1 × H2 ) ◦ ∆X×I ,
que teremos uma homotopia entre
induz um produto em
[X, Y ]
f1 · f2
e
g1 · g2 .
Portanto, o produto acima denido,
da seguinte forma:
[f1 ] · [f2 ] := [f1 · f2 ] = [µ ◦ (f1 × f2 ) ◦ ∆],
55
onde
[f1 ], [f2 ] ∈ [X, Y ].
Dizemos que um produto
e
X,
e uma função contínua
φ∗ ([f ]) = [f ◦ φ],
·
em
[X, Y ]
0
φ : X −→ X ,
é natural, se dados quaisquer espaços
então
0
φ∗ : [X, Y ] −→ [X , Y ],
X
0
denida por
é um homomorsmo, ou seja,
φ∗ ([f1 ] · [f2 ]) = φ∗ ([f1 ]) · φ∗ ([f2 ]), ∀ [f1 ], [f2 ] ∈ [X, Y ].
Armamos que o produto acima denido é natural, pois seja
que
0
φ∗ : [X, Y ] −→ [X , Y ],
0
φ : X −→ X
tal
e notemos que
φ∗ [f1 · f2 ] = φ∗ [µ ◦ (f1 × f2 ) ◦ ∆X ] = [µ ◦ (f1 × f2 ) ◦ ∆X ◦ φ]
φ∗ [f1 ] · φ∗ [f2 ] = [f1 ◦ φ] · [f2 ◦ φ] = [(f1 ◦ φ) · (f2 ◦ φ)] = [µ ◦ ((f1 ◦ φ) × (f2 ◦ φ)) ◦ ∆X 0 ],
e como
(f1 × f2 ) ◦ ∆X ◦ φ = ((f1 ◦ φ) × (f2 ◦ φ)) ◦ ∆X 0
Finalmente, veriquemos que
neutro.
mas
que
Para tanto, seja
segue que o produto é natural.
[ly0 ], a classe da aplicação constante igual a y0 , é o elemento
[f ] ∈ [X, Y ],
temos que
[f1 ] · [ly0 ] := [µ ◦ (f × ly0 ) ◦ ∆X ],
[µ ◦ (f × ly0 ) ◦ ∆X ](x) = µ(f (x), y0 ) = (µ ◦ i1 )(f (x)),
µ ◦ (f × ly0 ) ◦ ∆X ' f ,
portanto
[f ] · [ly0 ] = [f ].
e como
µ ◦ i1 ' id
segue
De modo semelhante vemos que
[ly0 ] · [f ] = [f ].
Denição 2.18 Dizemos que um H-espaço X é homotopicamente associativo quando
µ ◦ (µ × 1X ) ' µ ◦ (1X × µ).
Denição 2.19 Dada uma função contínua f : X −→ Y de um espaço topológico X
para um H-espaço Y , dizemos que f é homotopicamente inversível se existe g : X −→ Y
contínua, que satisfaz
f · g = µ ◦ (f × g) ◦ ∆X ' µ ◦ (g × f ) ◦ ∆X ' Ly0 ,
onde Ly0 : X −→ Y é denida por Ly0 (x) = y0 ∀x ∈ X.
56
Denição 2.20 Um H-grupo (group like space) é um H-espaço Y homotopicamente associativo tal que a aplicação identidade 1Y : Y −→ Y é homotopicamente inversível.
Teorema 2.8 Se Y é um H-grupo, então [X, Y ] é um grupo com a operação induzida de
Y , para todo espaço topológico X .
Prova:
A condição
e para cada
µ ◦ (µ × 1Y ) ' µ ◦ (1Y × µ) é equivalente a associatividade em [X, Y ],
[f ] ∈ [X, Y ],
homotópica de
1Y ,
seu inverso homotópico é
ou seja,
[j ◦ f ],
sendo
j : Y −→ Y
a inversa
µ ◦ (j × 1Y ) ◦ ∆X ' Ly0 ' µ ◦ (1Y × j) ◦ ∆X .
Um exemplo de H-grupo, é o espaço de laços.
Teorema 2.9 Se (X, x0 ) é um espaço com ponto base, então Ω(X, x0 ) é um H-grupo.
Prova:
µ : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
Seja
0
(w ∗ w )(t) =



w(2t),
denida por
0
0
µ(w, w ) = w ∗ w ,
onde
se 0 ≤ t ≤ 1/2


w0 (2t − 1), se 1/2 ≤ t ≤ 1
Para
mostrarmos
que
µ
i ◦ µ : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ X I ,
Agora, como
se,
I
é
contínua,
onde
basta
vericarmos
i : Ω(X, x0 ) ,→ X I
é localmente compacto, pelo 2.1,
µ = ig
◦ µ : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I −→ X ,
a
continuidade
de
é a inclusão.
i◦µ
denida por
é contínua se, e somente
0
0
µ(w, w , t) = (w ∗ w )(t),
é
contínua.
Observamos que
Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × [0, 1] = F1 ∪ F2 ,
sendo
em
F1 = Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × [0, 1/2]
Ω(X, x0 )×Ω(X, x0 )×I .
(pois
0
Ainda, em
e
F2 = Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × [1/2, 1]
F1 ∩F2 = Ω(X, x0 )×Ω(X, x0 )×{1/2}, µ|F1 = µ|F2
0
0
µ|F1 (w, w , 1/2) = w(1) = x0 = w (0) = µ|F2 (w, w , 1/2)).
Em
F1 , ig
◦µ
fechados
é igual a composição
57
p1 ×q
a
F1 = Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) × I −→ X,
onde
p1 : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
q : [0, 1/2] −→ I
é denida por
q(t) = 2t
é a projeção sobre o primeiro fator,
a
e
é a aplicação avaliação.
Logo
µ|F1
é
contínua.
µ|F2
Um argumento análogo mostra que
colagem,
µ
Portanto, pelo Lema da
é conínua.
Para mostrarmos que
(1)
é contínua.
Ω(X, x0 )
µ ◦ i1 ' 1Ω(X,x0 ) ' µ ◦ i2 ,
denidas por
i1 (w) = (w, lx0 ),
e
é um H-grupo falta-nos vericar que:
sendo
i1 , i2 : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 )
i2 (w) = (lx0 , w),
para
(2)
µ ◦ (µ × 1Ω(X,x0 ) ) ' µ ◦ (1Ω(X,x0 ) × µ);
(3)
1Ω(X,x0 ) : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
g : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
w ∈ Ω(X, x0 );
é homotopicamente inversível, isto é, existe
tal que
µ ◦ (1Ω(X,x0 ) × g) ◦ ∆Ω(X,x0 ) ' µ ◦ (g × 1Ω(X,x0 ) ) ◦ ∆Ω(X,x0 ) ' Ly0 .
Prova de (1):
µ ◦ i1 : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 ), e
µ ◦ i2 : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
7−→ w ∗ lx0
w
7−→ lx0 ∗ w
w
são homotópicas à
1Ω(X,x0 ) : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
w
De fato, seja
7−→ w
F : Ω(X, x0 ) × I −→ Ω(X, x0 )
wt (s) =




denida por
F (w, t) = wt ,
w(2s/(t + 1)), se 0 ≤ s ≤ (t + 1)/2


x 0 ,
.
se (t + 1)/2 ≤ s ≤ 1
onde
58
F
é contínua se, e somente se,
e isto equivale a mostrar que
F
i
Fe : Ω(X, x0 ) × I −→ Ω(X, x0 ) −→ X I
F : Ω(X, x0 ) × I × I −→ X ,
F (w, t, s) = wt (s) =




denida por
w(2s/(t + 1)), se (w, t, s) ∈ G1


x 0 ,
é contínua,
,
se (w, t, s) ∈ G2
onde
G1 = {(w, t, s) ∈ Ω(X, x0 ) × I × I : 0 ≤ s ≤ (t + 1)/2}, e
G2 = {(w, t, s) ∈ Ω(X, x0 ) × I × I : (t + 1)/2 ≤ s ≤ 1}
são fechados em
Ω(X, x0 ) × I × I .
Vemos ainda que, em
F |G1 = lx0 = F |G2 .
Ainda, notemos que
G1 ∩ G2 = {(w, t, s) ∈ Ω(X, x0 ) × I × I : s = (t + 1)/2},
Além disso, em
G1 , F
G1 ,→ Ω(X, x0 ) × I × I
onde
f (t, s) = 2s/(t + 1),
e
a
Ω(X, x0 ) × I × I = G1 ∪ G2 .
é a composição
1Ω(X,x0 ) ×f
−→
é a avaliação.
a
Ω(X, x0 ) × I −→ X,
Logo
F |G1
é contínua.
Já em
G2 , F
é a
composição
cx
0
G2 ,→ Ω(X, x0 ) × I × I −→
X,
onde
cx0 (w, t, s) = lx0 .
Portanto
F |G2
é contínua.
Pelo que vimos acima, do lema da colagem, segue que
F
é contínua, e assim,
F
F (w, 1) = 1Ω(X,x0 ) .
E
é contínua.
Além do mais, vê-se que
assim,
w ' w ∗ lx0 rel ponto.
F (lx0 , t) = lx0 , F (w, 0) = w ∗ lx0
O argumento para provar que
e
µ ◦ 1Ω(X,x0 ) ' 1Ω(X,x0 ) .
Prova de (2):
Para denirmos uma homotopia
G : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I −→ Ω(X, x0 )
entre
µ ◦ (µ × 1Ω(X,x0 ) ) ' µ ◦ (1Ω(X,x0 ) × Ω(X, x0 ))
é suciente denirmos
F : Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I × I −→ X
59
contínua
(pelo
0
Teorema
2.1)
tal
G = F,
que
onde
00
x = (w, w , w , t) ∈ Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I ,
de
F
em
XI
F
com
e checarmos que a imagem
Ω(X, x0 ).
realmente está em
Consideremos então
F (x)(s) = F (x, s)
denida por:



w(4s/(t + 1)),
se 0 ≤ s ≤ (t + 1)/4




0
00
F (w, w , w , t, s) = w0 (4s − t − 1),
se (t + 1)/4 ≤ s ≤ (t + 2)/4





w00 ((4s − 2 − t)/(2 − t)), se (t + 2)/4 ≤ s ≤ 1
Segue facilmente do lema da colagem que
0
F
é contínua, e que para todo
00
0
00
(w, w , w , s) ∈ Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × Ω(X, x0 ) × I , F (w, w , w , s) ∈ Ω(X, x0 ).
Ainda, temos que, para
s, t ∈ I ,
0
00
0
00
0
0
00
0
00
0
00
F (w, w , w , 0)(s) = F (w, w , w , 0, s) = [(w ∗ w ) ∗ w ](s) = µ ◦ (µ ◦ 1Ω(X,x0 ) )(s)
00
F (w, w , w , 1)(s) = F (w, w , w , 1, s) = [w ∗ (w ∗ w )](s) = µ ◦ (1Ω(X,x0 ) ◦ µ)(s)
F (lx0 , lx0 , lx0 , t)(s) = F (lx0 , lx0 , lx0 , t, s) = lx0 (s)
E assim
µ ◦ (µ ◦ 1Ω(X,x0 ) ) ' µ ◦ (1Ω(X,x0 ) ◦ µ).
Deste modo (2) vale.
Prova de (3):
Seja
η : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
dada por
Fazendo uso do Teorema 2.1 a continuidade de
Consideremos
η
K(w, t, s) =
onde
w(s) = w(1 − s).
seguirá.
K : Ω(X, x0 ) × I × I −→ X



x0 ,







w(2s − t),
η(w) = w,
denida por
se 0 ≤ s ≤ t/2
se t/2 ≤ s ≤ 1/2



w(2 − 2s − t), se 1/2 ≤ s ≤ (2 − t)/2






x 0 ,
se (2 − t)/2 ≤ s ≤ 1.
60
Seja
K(w, t, s).
H : Ω(X, x0 ) × I −→ Ω(X, x0 ),
A continuidade de
K
dada por
H = K,
segue do Teorema 2.1. Para
s, t ∈ I ,
onde
K(w, t)(s) =
verica-se que
K(w, 0)(s) = (w ∗ w)(s) = (µ ◦ (1Ω(X,x0 ) × η) ◦ ∆Ω(X,x0 ) )(w)(s)
K(w, 1)(s) = Lx0 (s)
K(lx0 , t)(s) = x0 = lx0 (s)
Deste modo, temos que
mostramos que
µ◦(1Ω(X,x0 ) ×η)◦∆Ω(X,x0 ) ' Lx0 , e de maneira semelhante
µ ◦ (η × 1Ω(X,x0 ) ) ◦ ∆Ω(X,x0 ) ,
e assim a armação (3) ca provada.
Denição 2.21 Sejam X , e A H-espaços, sendo A ⊂ X , com multiplicações µX e
µA , respectivamente.
Dizemos que (X, A) é um H-par se (X, A) é um par-NDR, e
µX |A×A ' µA .
Temos os seguintes resultados relacionados à H-teoria:
Teorema 2.10 Para qualquer H-espaço Y , existe um complexo CW, X , e uma equivalência de homotopia fraca f : X −→ Y .
Prova:
Veja [13].
Teorema 2.11 Se Y é um H-espaço, então π1 (Y ) atua trivialmente sobre [X, Y ], para
todo espaço X .
Prova:
Veja [13].
61
Teorema 2.12 Se (Y, B) é um H-par, então π1 (B) atua trivialmente sobre [X, A; Y, B],
para qualquer par-NDR (X, A).
Prova:
Veja [13].
Teorema 2.13 Sejam X , Y H-espaços e complexos CW, e f : X −→ Y uma H-aplicação.
Então (If , X) é um H-par, sendo If o cilindro induzido por f .
Prova:
Veja [13].
Teorema 2.14 Sejam X um complexo CW, e Y um H-espaço. Se f : X −→ Y é
uma equivalência de homotopia fraca, então X admite uma H-estrutura que torna f uma
H-aplicação.
Prova:
Veja [13].
Teorema 2.15 Sejam X , Y H-espaços, tendo X uma estrutura de complexo CW,
f : X −→ Y uma H-aplicação, que é uma equivalência de homotopia fraca. Além disso,
suponhamos que X e Y sejam 0-conexos. Então f é equivalência de homotopia.
Prova:
Veja [13].
Pelo Teorema 2.8 vimos que
Ω(X, x0 ) é um H-grupo, porém para demonstrarmos
o principal resultado deste trabalho, o Teorema de James, necessitaremos de um monóide
topológico que possua o mesmo tipo de homotopia de
nós iremos denir na próxima seção.
Ω(X, x0 ), e este monóide topológico
62
2.8
Espaço de Laços de Moore
Nesta seção denimos o Espaço de Laços de Moore de um espaço com ponto
base, e provamos que ele é um monóide topológico que possui o mesmo tipo de homotopia
do espaço de laços.
que
X R+
Inicialmente, relembremos que
R+ = [0, ∞) = {x ∈ R : x ≥ 0}
f : R+ −→ X ,
é o conjunto formado por todas funções contínuas
e
munido da
topologia compacto-aberta ( Veja a Seção 1 deste Capítulo ).
Denição 2.22 Seja X um espaço topológico, e x0 um ponto de X. Denimos ΩM (X, x0 )
como sendo o subespaço de X R+ × R+ tal que (φ, r) ∈ ΩM (X, x0 ) se, e somente se,
φ(0) = x0 e φ(t) = x0 para todo t ≥ r.
Teorema 2.16 Seja Ω(X, x0 ) = {(φ, r) ∈ ΩM (X, x0 )/r = 1}. Então Ω(X, x0 ) é homeomorfo a Ω(X, x0 ). Ou seja, Ω(X, x0 ) pode ser visto como um subespaço de ΩM (X, x0 ).
Prova:
Considere
φ |[1,∞) = lx0 ,
Ψ
Ω(X, x0 ),
onde lx0 (t)
onde
1 ∈ A,
Com efeito, seja
k
\
L =
(Si , Vi )
Seja
com
Si
Ψ(φ) = (φ, 1),
σ ∈ Ψ−1 (U ),
R+ .
então
σ ∈ (Si , Vi ) ∀i = 1, 2, . . . k ,
Ki = Si ∩ I .
U = [L × A] ∩ Ω(X, x0 )
compacto em
i=1
e A um aberto básico de
Para isto, seja
donde
tal que
onde
φ |I = φ
e
= x0 , ∀ t ∈ I = [0, 1].
é contínua.
i = 1, 2, . . . k ,
Ω(X, x0 ).
Ψ : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
R+
Vi
Armamos que
aberto em X, para todo
Ψ−1 (U )
Ψ(σ) = (σ, 1) ∈ U ,
o que implica em
Notamos
e
que
um aberto básico de
é um aberto em
donde segue que
σ ∈ L,
σ(Si ) ⊂ Vi , ∀i = 1, 2, . . . k .
σ ∈ (Ki , Vi ), ∀i = 1, 2, . . . k ,
pois
σ(Ki ) = σ(Si ∩ I) = σ |I (Si ∩ I) ⊂ Vi , para cada i = 1, 2, . . . k . Consideremos enk
\
tão V = M ∩ Ω(X, x0 ), com M =
(Ki , Vi ), segue que V é um aberto em Ω(X, x0 ), e
i=1
pelo que vimos anteriormente,
Finalmente,
que, para
t ∈ Si
Ψ(V ) ⊂ U ,
segue que, ou
para o primeiro caso,
π∈
Tk
Logo
i=1 (Si , Vi )
Ψ
σ ∈V.
= L,
é contínua.
pois dado
t ∈ S i ∩ I = Ki
π(t) = π(t) ∈ Vi ,
e como
π ∈ V , Ψ(π) = (π, 1) ∈ Ω(X, x0 ).
1∈A
ou
t ∈ Si ∩ [1, ∞),
e para o segundo caso,
segue que
Notamos
donde vem que,
π(t) = x0 .
Assim,
Ψ(π) = (π, 1) ∈ (L × A) ∩ Ω(X, x0 ) = U .
63
Seja
Υ : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X, x0 )
Constata-se
Υ ◦ Ψ = 1Ω(X,x0 ) .
que
Ω(X, x0 )
Seja
e
diculdades
Ω(X, x0 ) são homeomorfos.
k
\
U =
(Si , Vi ) ∩ Ω(X, x0 )
i=1
é compacto de
De fato, seja
1Ω(X,x0 ) ,
Υ
e
além
disso,
é contínua, pois daí seguirá
R+ ,
e
Vi
(σ, 1) ∈ Υ−1 (U ),
Como
um aberto básico em
Ω(X, x0 )
(para cada
Υ−1 (U )
é aberto em
é aberto de X). Temos que
ou seja,
Si
σ|I ∈ U ,
é compacto de
donde vem que,
I ⊂ R+ ,
σ|I ∈ Ω(X, x0 )
segue que é compacto
R+ .
Consideremos
R+
=
Deste modo resta-nos apenas provar que
σ|I (Si ) ⊂ Vi ∀ i = 1, 2, . . . k .
em
Ψ ◦ Υ
que,
e
i = 1, 2, . . . k Si
Ω(X, x0 ).
sem
Υ(φ, 1) = φ|I .
denida por
com
1 ∈ A.
Temos então que
∀ i = 1, 2, . . . k ,
Υ(π, 1) ∈ U ,
V = [P × A] ∩ Ω(X, ∗),
e como
Υ(V ) ⊂ U .
Si ⊂ I
segue que
e daí segue a continuidade de
onde
P =
k
\
(Si , Vi ),
i=1
De fato, se (π, 1)
e A é um aberto em
∈ V,
então
π(Si ) ⊂ Vi
Υ(π, 1)(Si ) = π|I (Si ) ⊂ Vi .
Portanto
Υ.
Teorema 2.17 Seja X um espaço topológico, e x0 um elemento de X. Então os espaços
ΩM (X, x0 ) e Ω(X, x0 ) têm o mesmo tipo de homotopia.
Prova:
Consideremos
mostrarmos que
e
ΩM (X, x0 )
e
Ω(X,
x0 ) = {(φ, t) ∈ ΩM (X, x0 )/t ≥ 1} ⊂ ΩM (X, x0 ).
e
e
Ω(X,
x0 ) é retrato por deformação de ΩM (X, x0 ), daí seguirá que Ω(X,
x0 )
têm o mesmo tipo de homotopia, além disso provaremos que
é retrato por deformação de
ΩM (X, x0 )
e
Ω(X,
x0 ).
E isto nos permitirá concluir que
têm o mesmo tipo de homotopia, e como
Ω(X, x0 )
ΩM (X, x0 )
Ω(X, x0 )
e
topia. Inicialmente, mostremos que
e
Ω(X,
x0 )
é um retrato por deformação de
Ω(X, x0 )
Ω(X, x0 )
é homeomorfo a
(pelo Teorema 2.16), decorrerá que
Seja
A idéia é
e
Ω(X, x0 )
terão o mesmo tipo de homo-
H : I × ΩM (X, x0 ) −→ ΩM (X, x0 ) denida por



(φ, r + s), se r + s ≤ 1




H(s, (φ, r)) = (φ, 1),
se r ≤ 1 ≤ r + s





(φ, r),
se r ≥ 1
ΩM (X, x0 ).
64
H
é contínua. De fato, seja
e : I × X R+ × R+ −→ X R+ × R+ ,
H



(φ, r + s),




e φ, r) = (φ, 1),
H(s,





(φ, r),
e,
H
Se provarmos a continuidade de
e I×ΩM (X,x ) .
H = H|
0
dada por
se r + s ≤ 1
se r ≤ 1 ≤ r + s
se r ≥ 1
seguirá que
H
também será contínua, pois
Deste modo basta-nos provar a continuidade de
e.
H
Consideremos os
seguintes conjuntos
A1 = X R+ × {(s, r) ∈ I × R+ : r + s ≤ 1}
A2 = X R+ × {(s, r) ∈ I × R+ : r ≤ 1 ≤ r + s}
A3 = X R+ × {(s, r) ∈ I × R+ : r ≥ 1}
Temos
que
I × X R+ × R+
é
homeomorfo
α : X R+ × I × R+ −→ I × X R+ × R+
são fechados em
I × X R+ × R+ .
X R+ × I × R+
dada por
segue que
Assim, podemos ver
e
H
e1
H
e i = H|
eL
H
i
para
X R+ × I × R+ ,
α(φ, s, r) = (s, φ, r).
Li = α(Ai ),
para
via
Como
i = 1, 2, 3,
i = 1, 2, 3.
A1 , A2 , e A3
são fechados em
se (s, φ, r) ∈ L1
se (s, φ, r) ∈ L2
se (s, φ, r) ∈ L3
Temos que
ei
H
é contínua. De fato, temos que
é igual a composição
α−1
p
1
R+ ×S
L1 −→ A1 ,→ I × X R+ × R+ −→ X R+ × I × R+ X−→ X R+ × R+ ,
onde
p(s, φ, r) = (φ, s, r)
e2
H
e
(1X R+ × S)(φ, s, r) = (φ, r + s),
é igual a composição
aplicação
como



(φ, r + s),




e φ, r) = (φ, 1),
H(s,





(φ, r),
Sejam
a
logo
e1
H
é contínua.
65
α−1
T
L2 −→ A2 ,→ I × X R+ × R+ −→ X R+ × R+ ,
onde
T (s, φ, r) = (φ, 1).
E nalmente,
Portanto
e3
H
e2
H
é contínua.
é igual a composição
α−1
π
2
X R+ × R+ ,
L3 −→ A3 ,→ I × X R+ × R+ −→
onde
π2 (s, φ, r) = (φ, r).
Donde segue que
Ainda, temos que em
e1 = H
e2 = H
e3.
H
E como
por
é contínua.
e1 = H
e2,
L1 ∩ L2 , H
H
e em
L1 ∩ L2 ∩ L3 ,
segue do lema da colagem que
e
H
é imediata.
Observamos que
H(1, (φ, r)) =




(φ, 1),


(φ, r),
E assim, temos que
R
e2 = H
e3
L2 ∩ L3 , H
e
e
i : Ω(X,
x0 ) −→ ΩM (X, x0 ), a inclusão e R : ΩM (X, x0 ) −→ Ω(X,
x0 ) dada
R(φ, r) = H(1, (φ, r)).
é contínua,
em
L1 ∪ L2 ∪ L3 = I × X R+ × R+ ,
é contínua, e daí a continuidade de
Sejam
e3
H
e
H(1, (φ, r)) ∈ Ω(X,
x0 ).
se 0 ≤ r ≤ 1
se r ≥ 1
Donde segue a boa denição de
também será. Temos ainda que, para
R.
Como
H
e
(φ, r) ∈ Ω(X,
x0 ),
(R ◦ i)(φ, r) = R(φ, r) = H(1, (φ, r)) = (φ, r) = 1Ω(X,x
(φ, r)
e
0)
e
i ◦ R ' 1ΩM (X,x0 )
via homotopia
H.
Notemos que



(φ, r),




H(0, (φ, r)) = (φ, 1),





(φ, r),
Portanto
ΩM (X, x0 )
e
Ω(X,
x0 )
se r ≤ 1
se r ≤ 1 e r ≥ 1
se r ≥ 1
é retrato por deformação de
ΩM (X, x0 ).
E assim,
e
Ω(X,
x0 )
e
têm o mesmo tipo de homotopia.
Mostremos agora que
tal, mostraremos que
e
Ω(X, x0 ) e Ω(X,
x0 ) têm o mesmo tipo de homotopia.
Ω(X, x0 )
é retrato por deformação de
e
Ω(X,
x0 ).
Para
Consideremos
66
e
e
G : I × Ω(X,
x0 ) −→ Ω(X,
x0 )
denida por
G(s, (φ, r)) = (φrs , (1 − s)r + s),
Armamos que
G
onde
φrs (t) = φ[rt/((1 − s)r + s)].
é contínua. De fato, consideremos
e : I × X R+ × [1, ∞) −→ X R+ × [1, ∞),
G
dada por
que
G
e φ, r) = (φr , (1 − s)r + s), onde φr (t) = φ[rt/((1 − s)r + s)].
G(s,
s
s
é contínua, basta vericarmos que
e1 (s, φ, r) = φr ,
G
s
e
Para provarmos
e1 : I × X R+ × [1, ∞) −→ X R+ ,
G
e2 : I × X R+ × [1, ∞) −→ [1, ∞),
G
dada por
dada por
e2 (s, φ, r) = (1 − s)r + s,
G
são contínuas.
A continuidade de
e2
G
é mais evidente. De fato, sejam
Π : I × X R+ × [1, ∞) −→ I × [1, ∞), e Φ : I × [1, ∞) −→ [1, ∞),
denidas por
e além disso
Π(s, φ, r) = (s, r) e Φ(s, r) = (1 − s)r + s.
e 2 = Φ ◦ Π,
G
e daí segue a continuidade de
Veriquemos agora a continuidade de
e1 .
G
Claramente
ΠeΦ
são contínuas,
e2 .
G
Para isso, consideremos
∆ : I × X R+ × [1, ∞) −→ [1, ∞) × X R+ ,
denida por
contínuas,
∆
∆(s, φ, r) = (r/((1 − s)r + s), φ).
também é contínua. Seja ainda
∆
Como as funções coordenadas de
Θ : [1, ∞) × X R+ −→ X R+
são
dada por
Θ(r, φ)(t) = φ(rt) = φr (t) ∀ t ∈ R+ .
Notemos que
e1 .
(Θ ◦ ∆)(s, φ, r) = Θ(r/((1 − s)r + s), φ) = φr/((1−s)r+s) = G
modo, se provarmos que
Θ
Temos, pelo Teorema 2.1 que
dada por
e r, φ) = φ(rt)
Θ(t,
Seja
é contínua, a continuidade de
e1
G
Deste
seguirá imediatamente.
e : R+ × [1, ∞) × X R+ −→ X
Θ é contínua se, e somente se, Θ
é contínua.
Λ : R+ × [1, ∞) × X R+ −→ R+ × X R+ , denida por Λ(t, r, φ) = (rt, φ).
as funções coordenadas de
Λ
são contínuas, segue que
sabemos que a aplicação avaliação
contínua, pelo Teorema 2.1.
Λ
a : R+ × X R+ −→ X ,
também é contínua.
que satisfaz
Como
Ainda,
a(t, φ) = φ(t)
é
67
Notemos que
contínua, bem como
e r, φ),
(a ◦ Λ)(t, r, φ) = a(rt, φ) = φ(rt) = Θ(t,
Θ.
Agora, como
Logo,
e1
G
e
e1
G
e2
G
Temos que
segue que
e
G
e e
G|
I×Ω(X,x0 ) = G
e
x0 ),
G(1, (φ, r)) = (φr1 , 1) ∈ Ω(X,
e
L : Ω(X,
x0 ) −→ Ω(X, x0 ) dada por L(φ, r) = G(1, (φ, r)).
L
e
Θ
é
é contínua.
são contínuas, segue que
e
I × Ω(X,
x0 ) ⊂ I × X R+ × [1, ∞),
e daí vem que
também é contínua. Ainda, para
(φ, 1) ∈ Ω(X, x0 ),
é contínua.
Ainda, como
é contínua.
Assim podemos considerar
Como
G é contínua, segue que
temos
(L ◦ i)(φ, 1) = G(1, (φ, 1)) = (φ11 , 1),
sendo
e
i : Ω(X, x0 ) −→ Ω(X,
x0 )
a inclusão. Mas,
φ11 (t) = φ[1t/((1 − 1)1 + 1)] = φ(t) ∀ t ∈ R+ .
Assim,
G(1, (φ, 1)) = (φ11 , 1) = (φ, 1) = 1|Ω(X,x0 ) (φ, 1).
G(0, (φ, r)) = (φ0 , r).
Observamos que
Mas,
φr0 (t) = φ[rt/((1 − 0)r + 0)] = φ(rt/r) = φ(t), ∀ t ≥ 0,
donde vem que
φr0 = φ.
Deste modo, temos que
(φ, r).
G(0, (φ, r)) = (φr0 , r) = (φ, r) = 1|Ω(X,x
e
0)
Usando o fato que
G.
Portanto,
L(φ, r) = G(1, (φ, r)),
Ω(X, x0 )
e
Teorema 2.16, vimos que
e
Ω(X,
x0 )
segue que
i ◦ L ' 1Ω(X,x
,
e
0)
têm o mesmo tipo de homotopia.
via homotopia
Finalmente, pelo
Ω(X, x0 ) e Ω(x, x0 ) são homeomorfos, e assim têm o mesmo tipo
de homotopia. Daí segue que
ΩM (X, x0 ) e Ω(X, x0 )
têm o mesmo tipo de homotopia.
Teorema 2.18 Seja µ : ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ ΩM (X, x0 ) denida por
µ((φ, r), (ψ, s)) = (φ, r) • (ψ, s) = (φ ∗ ψ, r + s), onde



φ(t),
se 0 ≤ t ≤ r
(φ ∗ ψ)(t) =


ψ(t − r), se t ≥ r
68
Então o espaço ΩM (X, x0 ) com a operação µ é um monóide topológico, com elemento neutro (lx0 , 0).
Prova:
Inicialmente, mostremos que
Associatividade de
µ:
Sejam
(ΩM (X, x0 ), µ)
é um monóide.
(φ, r), (ψ, s) e (θ, t), elementos de ΩM (X, x0 ).
Então
temos
[(φ, r) • (ψ, s)] • (θ, t) = (φ ∗ ψ, r + s) • (θ, t)
= ((φ ∗ ψ) ∗ θ, (r + s) + t) = (φ ∗ (ψ ∗ θ), r + (s + t))
= (φ, r) • (ψ ∗ θ, s + t)
= (φ, r) • [(ψ, s) • (θ, t)],
estas igualdades decorrem da igualdade
[(φ ∗ ψ) ∗ θ](l) =
(φ ∗ ψ) ∗ θ = φ ∗ (ψ ∗ θ),



(φ ∗ ψ)(l),
a qual é justicada por:
se 0 ≤ l ≤ r + s


θ(l − (r + s)), se l ≥ r + s



φ(l),
se 0 ≤ l ≤ r




= ψ(l − r),
se r ≤ l ≤ r + s





θ(l − (r + s)), se l ≥ r + s
=



φ(l),
se 0 ≤ l ≤ r


(ψ ∗ θ)(l − r), se r ≤ l ≤ r + s
= [φ ∗ (ψ ∗ θ)](l) ∀ l ∈ R+
Agora veriquemos que
ante a operação
µ.
Seja
(φ, r)
(lx0 , 0)
de fato é o elemento neutro de
um elemento de
ΩM (X, x0 ),
ΩM (X, x0 ),
então temos:
medi-
69
(lx0 , 0) • (φ, r) = (lx0 ∗ φ, 0 + r) = (φ, r),
igualdade lx0
∗ φ = φ,
onde a última igualdade decorre da
a qual se justica da seguinte maneira,
(lx0 ∗ φ)(t) =




lx0 (t), se t = 0


φ(t),
=




x0 ,
se t ≥ r
se t = 0


φ(t), se 0 ≤ t ≤ r
= φ(t) ∀ t ∈ R+
Deste modo, temos que
desde que
µ seja contínua.
elementos de
ΩM (X, x0 ).
ΩM (X, x0 )
com a operação
Veriquemos a boa denição de
Armamos que
µ.
µ
é um monóide topológico,
Para isso, sejam
(φ, r), (ψ, s)
(φ, r) • (ψ, s) = (φ ∗ ψ, r + s) ∈ ΩM (X, x0 ).
φ ∗ ψ : R+ −→ X , dada por



φ(t),
se t ∈ [0, r]
(φ ∗ ψ)(t) =


ψ(t − r), se t ∈ [r, ∞)
De fato, temos que
é contínua pelo lema da colagem. Além disso,
(φ ∗ ψ)(0) = φ(0) = x0 , e (φ ∗ ψ)(r + s) = ψ(r + s − r) = ψ(s) = x0
Mostremos a continuidade de
Temos que
µ.
µ : ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ ΩM (X, x0 )
é dada por
µ((φ, r), (ψ, s)) = (φ ∗ ψ, r + s).
Como
ΩM (X, x0 ) ,→ X R+ × R+ ,
para provarmos a continuidade de
continuidade de
µ1 : ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ X R+ e
µ2 : ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ R+ ,
µ,
basta-nos provar a
70
µ1 ((φ, r), (ψ, s)) = φ ∗ ψ
onde
Continuidade de
Mostrar que
µ1
e
µ2 ((φ, r), (ψ, s)) = r + s.
µ1 :
é contínua, é equivalente a mostrar a continuidade de
µ
e1 : R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) −→ X,
onde,
µ
e1 (t, (φ, r), (ψ, s)) =




se 0 ≤ t ≤ r
φ(t),


ψ(t − r), se t ≥ r
Mostremos então a continuidade de
µ
e1 .
Sejam
F1 = {(t, (φ, r), (ψ, s)) ∈ R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 )|0 ≤ t ≤ r},
F2 = {(t, (φ, r), (ψ, s)) ∈ R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 )|t ≥ r}.
Os conjuntos
F1
e
F2
são fechados em
R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ),
além disso,
F1 ∪ F2 = R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ),
e em
F1 ∩ F2 = {(t, (φ, r), (ψ, s)) ∈ R+ × ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 )|t = r},
temos
µ
e11 (r, (φ, r), (ψ, s)) = µ
e1 |F1 (r, (φ, r), (ψ, s)) = φ(r) = x0 e
µ
e21 (r, (φ, r), (ψ, s)) = µ
e1 |F2 (r, (φ, r), (ψ, s)) = ψ(r − r) = x0 .
Deste modo, se provarmos que
a continuidade de
µ
e11
µ
e1
µ
e11
e
µ
e21
são contínuas em
F1
e
F2 , respectivamente, seguirá
pelo lema da colagem.
é a composição
p
a
F1 ,→ R+ ×ΩM (X, x0 )×ΩM (X, x0 ) ,→ R+ ×X R+ ×R+ ×X R+ ×R+ −→ R+ ×X R+ −→ X,
onde
p(t, φ, r, ψ, s) = (t, φ) e a(t, φ) = φ(t).
segue que
µ
e11
µ
e21
Como
p é projeção, e a é a aplicação avaliação,
é composição de funções contínuas, portanto também é contínua.
é a composição
q
h×1
a
F2 ,→ R+ × X R+ × R+ × X R+ × R+ −→ R+ × R+ × X R+ −→ R+ × X R+ −→ X,
71
onde
q(t, φ, r, ψ, s) = (t, r, ψ), a(t, ψ) = ψ(t)
aplicação avaliação e
h
e
é contínua, segue que
h(t, r) = |r − t|.
µ
e21
Como
p
é projeção,
é a
é composição de funções contínuas, logo
também é contínua. Do que argumentamos acima, segue a continuidade de
Mostremos agora a continuidade de
a
µ2 . µ2
µ1 .
é a composição
p2 ×p2
s
ΩM (X, x0 ) × ΩM (X, x0 ) ,→ X R+ × R+ × X R+ × R+ −→ R+ × R+ −→ R+ ,
onde
p2 : X R+ × R+ −→ R+
é a projeção sobre o segundo fator, e
de números reais. Como
s
e
µ1
e
µ2
Agora, como
que
ΩM (X, x0 )
p1
são contínuas segue que
são contínuas, segue que
é um monóide topológico.
µ2
µ
s
é a operação de soma
também é contínua.
é contínua. Deste modo, temos
Capítulo 3
Produto Reduzido de James
Neste capítulo deniremos o Produto Reduzido de James
topológico
3.1
X,
J(X)
para um espaço
com ponto base.
Monóide Livre
Nesta seção, para um conjunto não-vazio
um objeto livre
gerado por
J(X)
X
com um ponto base
M on,
na categoria dos monóides
e,
construiremos
que se chamará monóide livre
X.
Lembrando que a categoria dos monóides
M on
(1)
obj(M on) = {M : M
(2)
HomM on (M, N ) = {f : M −→ N : f
é tal que:
é monóide}
é homomorsmo de monóides}, onde
M, N ∈ obj(M on)
(3) a composição
sendo
◦ : HomM on (M, N ) × HomM on (N, P ) −→ HomM on (M, P ),
M, N, P ∈ obj(M on),
Seja
disjunta dos
X
é a usual.
um conjunto não-vazio com ponto base
X n,
com
n ≥ 1,
onde
Xn = X
| × X{z× . . . X}.
n vezes
G
X
n
e.
.
n≥1
72
Consideremos então a união
Denotaremos tal união por
73
Em
G
X n,
∼
podemos considerar a relação de equivalência
gerada por
n≥1
(
)
((x1 , . . . , xi−1 , e, xi , . . . , xn ), (x1 , . . . , xi−1 , xi , . . . , xn )) ∈
G
G
Xj ×
j≥1
Denimos
J(X) como sendo
G
Xj
.
j≥1
X n / ∼ . A classe de equivalência de um elemento
n≥1
(x1 , x2 , . . . , xn )
J(X)
em
será denotada por
(x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 x2 . . . xn .
Notemos que, para qualquer elemento
G
a∈
Xn
tal que
a = z,
z = z1 z2 . . . zp ∈ J(X),
existe um único
sendo
n≥1
a=




(a1 , a2 , . . . aq ), se zi 6= e para algum i ∈ {1, 2, . . . p}


e,
com
se zi = e, ∀i ∈ {1, 2, . . . p}
ai 6= e, ∀ i = 1, 2, . . . q.
Chamamos
Observamos ainda que, se
reduzidos de
ambos,
z
e
w
z
e
w,
de produto reduzido de
z.
z = w,
então
k=l
e
são produtos
zi = wi , ∀ i ∈ {1, 2, . . . l},
· : J(X) × J(X) −→ J(X)
a = a1 a2 . . . am , b = b1 b2 . . . bn ∈ J(X),
então
denida pela justaposição, ou
a · b := a1 a2 . . . am b1 b2 . . . bn .
O próximo teorema, cuja demonstração é imediata, nos garante que
operação
·
ou
e.
Agora, consideremos
seja, se
a
z = z1 z2 . . . zk , w = w1 w2 . . . wl ∈ J(X)
respectivamente, e
são iguais a
,
é um monóide, logo
J(X)
é um objeto na categoria
M on
J(X)
com a
dos monóides.
Teorema 3.1 J(X) com a operação · é um monóide tendo como elemento identidade e.
Teorema 3.2 Seja X um conjunto não-vazio, com ponto base e, e seja i : X −→ J(X)
a inclusão. Se (M, m, ∗) é um monóide com elemento identidade m e multiplicação ∗, e
f : (X, x0 ) −→ (M, m) é uma aplicação entre conjuntos, então existe um único homo-
morsmo de monóides f : J(X) −→ M tal que f ◦ i = f . Em outras palavras, J(X) é
um objeto livre sobre o conjunto X na categoria M on dos monóides.
74
Prova:
Seja
f (e) = m.
f : J(X) −→ M
Claramente
f
J(X),
f (x1 x2 . . . xn ) = f (x1 ) ∗ f (x2 ) ∗ . . . f (xn )
está bem denida (pois
homomorsmo de monóides.
elementos de
denida por
De fato, sejam
f (e) = m).
Armamos que
f
e
é um
z = z1 z2 . . . zp 6= e, w = w1 w2 . . . wq 6= e
então:
f (z · w) = f (z1 z2 . . . zp w1 w2 . . . wq )
= f (z1 ) ∗ f (z2 ) ∗ . . . f (zp ) ∗ f (w1 ) ∗ f (w2 ) ∗ . . . f (wq )
= f (z1 z2 . . . zp ) ∗ f (w1 w2 . . . wq )
= f (z) ∗ f (w)
Caso
z = e, w = w1 w2 . . . wq 6= e,
temos
f (z · w) = f (ew1 w2 . . . wq )
= f (w1 w2 . . . wq )
= f (w1 ) ∗ f (w2 ) ∗ . . . f (wq )
= m ∗ f (w1 ) ∗ f (w2 ) ∗ . . . f (wq )
= f (e) ∗ f (w1 ) ∗ f (w2 ) ∗ . . . f (wq )
= f (z) ∗ f (w)
Analogamente
f (z · e) = f (z) ∗ f (e).
temos que, para
Logo
f
x ∈ X , (f ◦ i)(x) = f (x) = f (x),
Mostremos agora a unicidade de
g : J(X) −→ M
tal que
Armamos que
segue que
f =g
é homomorsmo de monóides. Além disso,
em
X.
donde vem que
f.
Para tanto,
f ◦ i = f.
suponhamos que exista
g ◦ i = f.
f = g.
De fato, seja
Agora, para
x ∈ X,
então
x1 x2 . . . xn ∈ J(X),
f (x) = f (x) = g(x),
donde
temos
f (x1 x2 . . . xn ) = f (x1 ) ∗ f (x2 ) ∗ . . . ∗ f (xn ) = g(x1 ) ∗ g(x2 ) ∗ . . . ∗ g(xn ) = g(x1 x2 . . . xn ).
Logo
f =g
em
J(X).
O que prova a unicidade de
Do que argumentamos acima, segue que
monóides
M on.
f.
J(X)
é objeto livre na categoria dos
75
Corolário 3.1 Se L é outro objeto livre sobre X na categoria dos monóides M on (com
λ : X −→ L) então existe um isomorsmo de monóides Φ : J(X) −→ L tal que Φ ◦ i = λ.
Prova:
onde
L
Como
J(X) é objeto livre sobre X
e
λ : X −→ L é uma aplicação entre conjuntos,
é um monóide, então, pelo teorema anterior, existe um único homomorsmo de
monóides
Φ : J(X) −→ L
que torna o diagrama abaixo comutativo.
/L
<
zz
z
z
z
zz
zz λ
J(X)
O
i
X
Utilizando a hipótese de
L
Φ
ser objeto livre sobre
ser uma aplicação entre conjuntos, sendo
J(X)
X,
e o fato de
i : X −→ J(X)
um monóide, segue pelo teorema anterior
que existe um único homomorsmo de monóides
Ψ : L −→ J(X)
que faz o diagrama
abaixo comutar.
LO
λ
X
/ J(X)
y<
y
y
y
yy
yy i
Ψ
Combinando os dois diagramas anteriores, obtemos um novo diagrama comutativo,
Ψ /
/
<L
6 J(X)
z
z
lll
l
l
λ zz
z
lll
zz lll i
zlzllll
J(X)
O
i
X
Logo
(Ψ ◦ Φ) ◦ i = i.
aplicação entre conjuntos e
Φ
Agora, como
J(X)
J(X) é objeto livre
sobre
X , i : X −→ J(X) é
é monóide, segue pelo teorema interior, que existe um
único homomorsmo de monóides
α : J(X) −→ J(X) tal que α ◦ i = i.
são homomorsmos de monóides,
1J(X) ◦ i = i
Um argumento análogo mostra que,
e
(Ψ ◦ Φ) ◦ i = i,
Φ ◦ Ψ = 1L .
Portanto
Como
segue que
J(X)
e
L
1J(X) , Ψ ◦ Φ
Ψ ◦ Φ = 1J(X) .
são isomorfos.
Denição 3.1 O monóide J(X) é denominado monóide livre gerado por X.
76
Nosso próximo objetivo será construir uma topologia para
J(X), quando X
for um espaço
topológico de Hausdor.
3.2
A topologia de
J(X)
X
Nesta seção consideramos
não degenerado de
X,
Seja
gerada em
Xn
Xn
(X, e)
isto é, o par
uma topologia conveniente para
um espaço topológico de Hausdor e
e
um ponto
é um par-NDR. A partir disso, construiremos
J(X).
o produto de n cópias de
X,
e considere a topologia compactamente
(podemos fazer tal consideração, pois
Consideremos a aplicação
ik : X n−1 −→ X n
Xn
é espaço de Hausdor ).
denida por
ik (x1 , x2 , . . . xn−1 ) = (x1 , . . . , xk−1 , e, xk , . . . , xn−1 ),
k = 1, 2, . . . , n.
X∗n−1
como sendo o conjunto de todos pontos de
n
[
n−1
ao menos uma coordenada igual a e, ou seja, X∗
=
ik (X n−1 ).
para
Denimos
Observamos que a aplicação
X∗n−1
é fechado em
ik
é contínua.
Basta mostrarmos que ik |C
F ⊂ Xn
k=1
é (1) contínua e (2) fechada, de onde segue que
X n.
Prova de (1):
Mas, se
ik
X n , com
é fechado, como
: C −→ X n é contínua para todo compacto C ⊂ X n−1 .
ik
é injetora, segue que
−1
(ik |C )−1 (F ) = i−1
k (F ) ∩ C = ik (F ∩ ik (C)).
Mas
fechado em
ik (C)
é compacto em
X n , e como ik
é fechado em
C.
F
( com a topologia produto ), donde
ik
F ∩ ik (C)
−1
é contínua (com a topologia produto), segue que ik (F
E daí segue a continuidade de
Prova de (2):
Seja
Xn
é
∩ ik (C))
ik .
é fechada.
um fechado em
X n−1 ,
devemos mostrar que ik (F ) é fechado em
X n.
Para
77
tanto, seja
K
um compacto qualquer de
X n.
Agora,
ik (F ) ∩ K = ik (F ) ∩ (K ∩ ik (X n−1 ))
n−1
= ik (F ) ∩ ik (i−1
)))
k (K ∩ ik (X
n−1
= ik (F ∩ i−1
))).
k (K ∩ ik (X
Visto que
ik
X n−1
é contínua quando os espaços
topologia produto, segue que ik (X
n−1
)
é fechado em
n−1
X n , i−1
)) é compacto de X n−1 .
k (K ∩ik (X
X n,
e
Xn
são considerados com a
e assim, como
K
é compacto de
n−1
F ∩i−1
)) é fechado em X n
k (K ∩ik (X
Logo
(com a topologia produto). Haja visto que a aplicação ik é fechada, quando consideramos
X n−1
de
e
X n.
Xn
com a topologia produto, segue que
Portanto
é fechado em
Xn
ik (F ) ∩ K
Xn
é fechado em
n−1
ik (F ∩ i−1
)))
k (K ∩ ik (X
é um fechado
(com a topologia produto), e assim,
ik (F )
(com a topologia compactamente gerada), o que completa a prova de ik
ser fechada.
Seja
elementos de
J n (X) = {x1 x2 . . . xk ∈ J(X) : k ≤ n}, ou seja, J n (X) é o conjunto de todos
J(X)
que são produtos de no máximo
πn : X n −→ J n (X)
a topologia em
a aplicação denida por
J n (X),
de tal modo que
aberto, se, e somente se,
πn−1 (A)
πn
J n (X),
CG 5.
proclusão, se mostrarmos que
J n (X)
X.
Consideremos
πn (x1 , x2 , . . . xn ) = x1 x2 . . . xn ,
e coloque
A ⊂ J n (X)
é
X n.
construiremos uma topologia para
primeiro passo para esta construção é provar que
isso, utilizaremos a propriedade
elementos de
seja uma proclusão, ou seja,
é aberto em
A partir da topologia de
n
J n (X)
Visto que
Xn
J(X).
O
é compactamente gerado, e para
é compactamente gerado,
é um espaço de Hausdor, então seguirá que
πn
é
J n (X)
é compactamente gerado.
Teorema 3.3 O espaço J n (X) é um espaço de Hausdor.
Prova:
Sejam
0
0
0
0
x = x1 x2 . . . xn , x = x1 x2 . . . xn
tão podemos escrever
0
0
0
elementos distintos de
0
0
x = w1 w2 . . . wp , x = w1 w2 . . . wq ,
0
onde
0
J n (X).
En-
wi , wj ∈ X − {e},
e
0
(w1 , w2 , . . . , wp ) 6= (w1 , w2 , . . . , wq ).
Como
X
é compactamente gerado,
X
é espaço de Hausdor, e assim podemos
78
U
escolher vizinhanças
de
e, Vi
de
0
wi , Vj
de
0
wj
tais que
0
0
0
U ∩ Vi = U ∩ Vj = ∅ e Vi ∩ Vj = ∅ se wi 6= wj .
Sejam
P = V1 × V2 × . . . Vp × U
. . × U}
| × .{z
n−p f atores
0
0
0
0
P = V1 × V2 × . . . Vq × |U × .{z
. . × U}
n−q f atores
Q
Tomemos
como sendo a união de todos conjuntos que podem ser obtidos de
V1 , V2 , . . . , Vp
permutando seus fatores, porém deixando a ordem dos fatores
0
Q.
De maneira análoga denimos
produto, logo são abertos em
que
πn (Q)
e
0
πn (Q )
Xn
Então
πn−1 (πn (Q)) = Q,
(2)
πn−1 (πn (Q )) = Q .
0
e
0
Q
são abertos em
Xn
J n (X).
inalterada.
com a topologia
com a topologia compactamente gerada.
são abertos em
(1)
Q
P
Armamos
De fato, temos que
0
Justicativa de (1): Seja
z = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ πn−1 (πn (Q)),
então
πn (z) = z1 z2 . . . zn e πn (z) ∈ πn (Q).
Como
πn (z) ∈ J(X),
podemos escrevê-lo como produto reduzido, que é único, ou seja,
πn (z) = zj1 zj2 . . . zjk ,
com
1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ n.
tal que
πn (q) = πn (z).
para algum
s ≤ n
l = 1, 2, . . . , k ,
que
e
e para
πn−1 (πn (Q)) ⊂ Q.
k ≤ n, zji ∈ X − {e},
Agora, como
πn (z) ∈ πn (Q),
Mas o produto reduzido de
πn (q)
1 ≤ i1 < i2 < . . . < is ≤ n.
zr
com
r∈
/ {j1 , j2 , . . . jk }, zr = e,
para todo
existe
i = 1, 2, . . . k ,
q = (q1 , q2 , . . . , qn ) ∈ Q
deve ter a forma
Portanto
donde
e
s = k
z ∈ Q.
e
qi1 qi2 . . . qis ,
zjl = qil
para
Deste modo, temos
A outra inclusão é imediata, e daí segue (1).
A justicativa de (2) é semelhante à justicativa de (1).
Por (1) e (2) segue que
0
πn (Q)
e
0
πn (Q )
são abertos em
J n (X),
com
x ∈ πn (Q)
e
0
x ∈ πn (Q ).
Como
0
P ∩ P = ∅,
a prova do Teorema.
segue imediatamente que
0
πn (Q) ∩ πn (Q ) = ∅,
o que completa
79
Corolário 3.2 O espaço J n (X) é compactamente gerado.
J n (X)
satisfaz algumas propriedades interessantes, as quais serão úteis para
demonstrarmos que
J(X)
é um monóide topológico.
Tais propriedades se resumem no
teorema a seguir.
Teorema 3.4 Sejam X um espaço de Hausdor e e um ponto base não degenerado de
X . Então:
(1) A aplicação J n−1 (X) ,→ J n (X) é um homeomorsmo entre J n−1 (X) e um
subespaço fechado de J n (X);
(2) A proclusão πn : (X n , X∗n−1 ) −→ (J n (X), J n−1 (X)) é um homeomorsmo
relativo;
(3) (J n (X), J n−1 (X)) é um par-NDR.
Prova:
Seja
J∗n−1 = πn (X∗n−1 ),
De fato, seja
X∗n−1 = πn−1 (J∗n−1 ).
então
z ∈ πn−1 (J∗n−1 ),
isto é,
z = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ X n
w ∈ X∗n−1 .
assim
πn (z) = πn (w),
n−1
coordenadas diferentes de
com
e,
e
Logo
portanto
πn (z) ∈ J∗n−1 = πn (X∗n−1 ),
πn (z) ∈ J n−1 (X),
z ∈ X∗n−1 ,
donde
z
possui no máximo
deste modo, temos
πn−1 (J∗n−1 ) ⊂ X∗n−1 .
A inclusão
X∗n−1 ⊂ πn−1 (J∗n−1 )
Sabemos que
vem que
J∗n−1
X∗n−1
é fechado em
é imediata. Portanto
é fechado em
X n,
logo
X∗n−1 = πn−1 (J∗n−1 ).
πn−1 (J∗n−1 )
é fechado em
J n (X).
Observamos que,
J∗n−1 = πn (X∗n−1 ) = {x1 x2 . . . xk ∈ J(X) : k ≤ n − 1} = J n−1 (X),
X n,
donde
80
sendo esta última igualdade, entre conjuntos.
e
J n−1 (X)
Deste modo, se mostrarmos que
J∗n−1
possuem a mesma topologia, seguirá que
e
J n−1 (X)
J∗n−1
são homeomor-
fos, e assim a armação (1) cará justicada. Antes de mostrarmos isso, provemos que
πn : (X n , X∗n−1 ) −→ (J n (X), J∗n−1 )
Sabemos que
é um homeomorsmo relativo.
πn : X n −→ J n (X)
é proclusão, além disso,
pn := πn |X n −X∗n−1 : X n − X∗n−1 −→ J n (X) − J∗n−1
πn (X∗n−1 ) = J∗n−1 .
está bem denida, pois
Armamos que
pn
é homeomorsmo. De fato,
uma aplicação contínua. Ainda temos que
pn
pn
é contínua pois é restrição de
é bijetora, pois satisfaz:
(4) Injetividade.
Sejam
x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ X n
tais que
pn (x1 , x2 , . . . , xn ) = pn (y1 , y2 , . . . , yn ),
então
x1 x2 . . . xn = y1 y2 . . . yn , com yi 6= e 6= xi ∀i = 1, 2, . . . n =⇒ xi = yi ∀i = 1, 2, . . . n
=⇒ x = y
(5) Sobrejetividade.
Dado
então existe
x ∈ J n (X) − J∗n−1 ,
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ X n − X∗n−1
E nalmente,
Então
pn é fechada.
πn−1 (pn (F )) = F
Portanto
x = x 1 x 2 . . . xn ,
J n−1 (X)
J∗n−1
e
e
J∗n−1
X n,
segue que
π∗
pn (F )
logo
é fechado em
X n −X∗n−1 .
J n (X) − J∗n−1 .
é um homeomorsmo relativo. No-
possuem a mesma topologia, seguirá (2).
J n−1 (X)
π∗ = πn |X∗n−1 : X∗n−1 −→ J∗n−1 .
xi 6= e ∀i = 1, 2, . . . , n,
um subconjunto fechado de
πn : (X n , X∗n−1 ) −→ (J n (X), J∗n−1 )
Provemos então que
junto fechado de
F
X n − X∗n−1 ,
com
pn (x1 , x2 , . . . , xn ) = x.
tal que
De fato, seja
é fechado em
vamente, se mostrarmos que
Seja
isto é,
possuem a mesma topologia.
Como
πn
é proclusão, e
X∗n−1
é um subcon-
também é uma proclusão. Sem muitas diculdades,
verica-se que o seguinte diagrama é comutativo.
81
ik
X n−1
/
πn−1
J n−1 (X)
F
Seja
J n−1 (X),
um fechado de
aplicação fechada,
−1
ik (πn−1
(F ))
Armamos que
=
π∗
J∗n−1
então
é fechado de
π∗−1 (F )
X∗n−1
−1
πn−1
(F )
é fechado em
X n−1 ,
e como
ik
é
X∗n−1 .
n
[
−1
(F )),
ik (πn−1
(6)
k=1
−1
logo π∗ (F ) é fechado de
X∗n−1 , o que implica que
F
é fechado em
J∗n−1 .
Justicativa de (6):
z ∈ π∗−1 (F ) =⇒ z ∈ X∗n−1 =
Sn
k=1 ik (X
n−1
) e π∗ (z) ∈ F
=⇒ ∃ l ∈ {1, 2, . . . , n} tal que z ∈ il (X n−1 ) e π∗ (z) ∈ F
=⇒ ∃ x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ X n−1 tal que il (x) = z e π∗ (z) ∈ F
=⇒ π∗ (z) = π∗ (il (x)) ∈ F
=⇒ π∗ (il (x)) = πn (x1 , x2 , . . . , xl−1 , e, xl , . . . , xn−1 ) ∈ F
=⇒ πn (x1 , . . . , xl−1 , e, xl , . . . , xn−1 ) = x1 x2 . . . xn−1 = πn−1 (x) ∈ F
S
−1
−1
(F ))
=⇒ z ∈ il (πn−1
(F )) ⊂ nk=1 ik (πn−1
Portanto,
π∗−1 (F ) ⊂
Sn
−1
k=1 ik (πn−1 (F )).
Ainda,
z∈
Sn
−1
k=1 ik (πn−1 (F ))
−1
=⇒ ∃ l ∈ {1, 2, . . . , n}; z ∈ il (πn−1
(F ))
−1
=⇒ ∃ x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ πn−1
(F ); il (x) = z
=⇒ π∗ (z) = π∗ (il (x)) = x1 x2 . . . xn−1 = πn−1 (x) ∈ F
=⇒ z ∈ π∗−1 (F )
Logo
Sn
−1
k=1 ik (πn−1 (F ))
Consideremos
F
⊂ π∗−1 (F ).
um fechado em
Com isso, ca provado (6).
J∗n−1 ,
assim
π∗−1 (F )
Devido à comutatividade do diagrama acima,
de
J n−1 (X),
pois ik é contínua. E daí segue que
J∗n−1
e
é fechado de
X∗n−1 .
−1
−1
πn−1
(F ) = i−1
k (π∗ (F ))
J n−1 (X)
é fechado
têm a mesma topologia.
Consequentemente as armações (1) e (2) do teorema são verdadeiras.
82
Como (2) é verdadeira,
relativo. Se provarmos que
que
(J n (X), J n−1 (X))
Por hipótese,
Pela propriedade
πn : (X n , X∗n−1 ) −→ (J n (X), J n−1 (X))
(X n , X∗n−1 )
é um par-NDR, seguirá pela propriedade
CG 9
é um par-NDR, e assim (3) se justicará.
e
X,
é um ponto não degenerado de
isto é,
(X, e)
é um par-NDR.
CG 8 segue que (X, e)×(X, e) = (X ×X, X ×{e}∪{e}×X) = (X 2 , X∗1 )
k ≥ 2, (X k , X∗k−1 )
é um par-NDR. Suponhamos que, para
que o par
é homeomorsmo
(X k+1 , X∗k )
Ora, como
seja um par-NDR e provemos
é NDR.
(X, e)
e
(X k , X∗k−1 )
são pares NDR, então, ainda pela propriedade
CG 8, (X k , X∗k−1 ) × (X, e) = (X k × X, X∗k−1 × {e} ∪ {e} × X∗k−1 ) = (X k−1 , X∗k ) é um par
NDR.
Agora, do Teorema 3.4 segue que os espaços
J n (X)
pandida de espaços no sentido de 1.18. Dando ao espaço
nada por
{J n (X)},
a ltração NDR
vemos, pela propriedade
formam uma sequência ex-
J(X)
CG 13 que J(X) é um espaço ltrado sob
{J n (X)}.
Para mostrarmos a continuidade da multiplicação em
continuidade da aplicação justaposição
espaços
a topologia fraca determi-
J(X),
j : X m × X n −→ X m+n
devemos vericar a
quando consideramos os
X m , X n e X m+n compactamente gerados, mas a demonstração disso é semelhante
à feita para
ik
e não a faremos aqui.
Teorema 3.5 A multiplicação em J(X) é contínua.
Prova:
Temos que o seguinte diagrama é comutativo,
j
Xm × Xn
πm ×πn
J m (X) × J n (X)
onde
j
então
/
é a aplicação justaposiçao, isto é, se
J
X m+n
πm+n
/ J m+n (X)
x = (x1 , x2 , . . . , xm ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ X n
j(x, y) = (x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2 , . . . , yn ).
83
Seja
em
U
um aberto de
J m (X) × J n (X),
X m × X n,
pois
J m+n (X),
então devemos provar que
o que equivale a mostrar que
πm × π n
é uma proclusão (por
J −1 (U )
(πm × πn )−1 (J −1 (U ))
CG 6).
Agora,
é um aberto
é um aberto em
(πm × πn )−1 (J −1 (U )) =
−1
j −1 (πm+n
(U )) que é um aberto em X m × X n , e daí segue a continuidade de J|J m (X)×J n (X)
para quaisquer
J(X) × J(X)
m, n.
Visto que
é ltrado por
segue a continuidade de
J(X)
{Ln (X)},
é um espaço ltrado por
onde
Ln (X) =
Sn
m=0
{J n (X)},
por
CG 15,
J m (X) × J n−m (X).
E daí
J.
Pelo que comentamos no início deste capítulo e pelo teorema anterior, segue que
J(X)
é um monóide topológico. Assim, temos que
monóides topológicos
livre sobre
X
T M on.
na categoria
J(X)
é um objeto na categoria dos
O teorema a seguir nos diz mais, que
T M on.
O monóide topológico
J(X)
é um objeto
J(X) é conhecido como Produto
Reduzido de James.
Teorema 3.6 Seja X um espaço topológico com ponto base x0 , e seja f : X −→ M
qualquer aplicação contínua, tal que f (x0 ) = e, onde M é um monóide topológico, sendo
e seu elemento identidade. Então existe um único homomorsmo contínuo
f : (J(X), x0 ) −→ (M, e)
de monóides topológicos que estende f , ou seja, a composição
f
(X, x0 ) ,→ J(X) −→ M
é igual a f .
Prova:
Seja
fn : X n −→ M
Temos que, para
a aplicação tal que
k = 1, 2, . . . , n, fn ◦ ik = fn−1 ,
pois
fn (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 ) . . . f (xn ).
84
(fn ◦ ik )(x1 , . . . , xn−1 ) = fn (x1 , . . . , xk−1 , x0 , xk , . . . , xn−1 )
= f (x1 ) . . . f (xk−1 )f (x0 )f (xk ) . . . f (xn−1 )
= f (x1 ) . . . f (xk−1 )ef (xk ) . . . f (xn−1 )
= f (x1 ) . . . f (xk−1 )f (xk ) . . . f (xn−1 )
= fn−1 (x1 , . . . , xn−1 ).
Armamos que existe uma aplicação
f : J(X) −→ M
tal que
(f |J n (X) ) ◦ πn = fn , para n = 1, 2, . . . .
Como
por
pois
J(X)
é ltrado por
{J n (X)},
seja
f : J(X) −→ M
f (x1 x2 . . . xn ) = fn (x1 , x2 . . . , xn ) = f (x1 )f (x2 ) . . . f (xn ).
f,
e a multiplicação em
M
são contínuas.
Claramente
Além disso, para
(f ◦ πn )(x1 , x2 . . . , xn ) = f (x1 x2 . . . xn ) = fn (x1 , x2 . . . , xn ). f
denida em
f
J n (X)
é contínua,
(x1 , x2 . . . , xn ) ∈ X n ,
é um homomorsmo, pois
f ((a1 a2 . . . an ) · (b1 b2 . . . bm )) = f (a1 a2 . . . an b1 b2 . . . bm )
= fn+m (a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bm )
= f (a1 )f (a2 ) . . . f (an )f (b1 )f (b2 ) . . . f (bm )
= fn (a1 , a2 , . . . , an )fm (b1 , b2 , . . . , bm )
= f (a1 a2 . . . an )f (b1 b2 . . . bm ).
Ainda, temos que, para
homomorsmo contínuo
f
x ∈ X , f (x) = f1 (x) = f (x).
que estende
f.
Mostremos agora a unicidade de
f.
Armamos que
f =g
em
X.
f = g.
De fato, seja
Temos que para
Deste modo, existe um
f.
Para tal suponhamos que exista
x ∈ X,
então
f (x) = f (x) = g(x),
g que estenda
donde vem que
x1 x2 . . . xn ∈ J(X),
f (x1 x2 . . . xn ) = f (x1 )f (x2 ) . . . f (xn ) = g(x1 )g(x2 ) . . . g(xn ) = g(x1 x2 . . . xn ),
logo
f =g
em
J(X).
O que prova a unicidade de
f.
85
Denição 3.2 Chamamos a aplicação f , construída no Teorema anterior, de extensão
canônica de f .
Finalizamos esta seção com algumas observações que serão úteis para a demonstração do Teorema de James.
Observação-1:
Se
X
x0
é complexo CW e
X,
é uma 0-célula de
então
J(X)
é um complexo CW. Para vericarmos a veracidade desta armação, denimos antes,
para
k ≥ 1, Jk (X)
X ∧k = X
{z. . . ∧ X}.
| ∧X ∧
como sendo o produto smash
Como
X
é
k vezes
complexo CW, por
k ≥ 1.
CW 5, assim é X ∧K , e deste modo Jk (X) é complexo CW, para todo
CW é complexo CW,
S
J(X) =
Temos ainda que
J(X)
k≥1
Jk (X),
é complexo CW. Também temos que
topológico, isto segue, pois a topologia de
topologia de
J(X)
logo, como união qualquer de complexos
J(X)
(J(X), ·)
é um monóide
como complexo CW coincide com a
visto como espaço compactamente gerado (notemos que, por
CW 2,
todo complexo CW é compactamente gerado).
Observação-2:
que
J n (X)
J n (X),
X
um complexo CW, sendo
é complexo CW. Isto é direto, pois
Observação-3:
de
Supondo
Como
J n (X) =
e
Jn (X)
k=1
x0 uma 0-célula, armamos
Jk (X).
J n−1 (X), pelo Terema 3.4, pode ser visto como subespaço
podemos considerar o espaço quociente
J n (X)/J n−1 (X)
Sn
são homeomorfos.
Ora,
J n (X)/J n−1 (X).
J n (X)/J n−1 (X)
e
Declaramos que
Jn (X)
coincidem
como conjuntos, assim basta-nos provar que eles têm os mesmos conjuntos abertos. Para
isso, consideremos o seguinte diagrama comutativo
πn
Xn
qn
X ∧n = Jn (X)
onde
qn : X n −→ X ∧n = Jn (X),
quocientes.
e
/
J n (X)
cn
J n (X)/J n−1 (X),
cn : J n (X) −→ J n (X)/J n−1 (X)
são aplicações
86
Temos então
A ⊂ Jn (X)
⇐⇒ qn−1 (A)
é aberto
é aberto em
⇐⇒ (cn ◦ πn )−1 (A)
⇐⇒ πn−1 (c−1
n (A))
⇐⇒ c−1
n (A)
⇐⇒ A
E assim segue que
J n (X)/J n−1 (X)
Observação-4:
caminhos. Seja
n ≥ 1.
Se
Se
X
X
e
Jn (X)
Xn
é aberto em
é aberto em
é aberto em
é aberto em
Xn
Xn
J n (X)
J n (X)/J n−1 (X).
são homeomorfos.
é conexo por caminhos, então
é conexo por caminhos,
J(X)
também é conexo por
Xn = X × X × . . . × X
também é
conexo por caminhos.
Sabemos que
J n (X) = πn (X n )
πn : X n −→ J n (X)
é contínua e sobrejetora, donde segue que
é conexo por caminhos.
Visto que
J 1 (X) ⊂ J 2 (X) ⊂ . . . ⊂ J n (X) ⊂ . . .
e
J(X) =
[
n≥1
J(X)
é conexo por caminhos.
J n (X),
segue que
Capítulo 4
Teorema de James
4.1
Introdução
Sejam
(X, x0 )
um espaço com ponto base e
Ja : (X, x0 ) −→ Ω(ΣX, x0 ),
a apli-
cação de James, denida por
Ja(x)(t) = [x, t] ∈ ΣX.
Temos que
3.6 não se aplica.
ΩM (ΣX, x0 ),
Ω(ΣX, x0 )
não é um monóide topológico, deste modo o Teorema
Agora, se nós compusermos
obteremos a aplicação
Ja
com a inclusão de
J : X −→ ΩM (ΣX, x0 )
dada por
Ω(ΣX, x0 )
em
J(x) = (Ja(x), 1),
a qual tem como contra-domínio um monóide topológico.
Observamos que,
J(x0 ) = (Ja(x0 ), 1) e Ja(x0 )(t) = [x0 , t] = x0 ,
ou seja,
J(x0 ) = (lx0 , 1),
aplicação
J
(lx0 , 1)
não é o elemento identidade de
ΩM (ΣX, x0 ).
Logo a
não se enquadra nas hipóteses do Teorema 3.6.
Seja
isto é,
e
b = X F[0, 1]/ ∼,
X
onde
∼
é a relação de equivalência que identica
1 ∼ x0 .
Consideremos
F
Je : X [0, 1] −→ ΩM (ΣX, x0 )
87
denida por
1
e
x0 ,
88




e =
J(p)
se p ∈ X
J(p),


(lx0 , p), se p ∈ [0, 1]
Mostremos que
Je é contínua.
Como
X∩[0, 1] = ∅, basta provarmos a continuidade
e X = J , a qual é contínua, e J|
e [0,1] : [0, 1] −→ ΩM (ΣX, x0 ) é
J|
Tk
M
contínua, pois seja U =
i=1 (Si , Vi )×A aberto básico de Ω (ΣX, x0 ), onde Si é compacto
de
eX
J|
de
R+ , Vi
e
e [0,1] .
J|
Mas
é aberto de
ΣX ,
A
é aberto em
L = A ∩ [0, 1]
Temos que existe
z ∈ L = A ∩ [0, 1],
e
assim
R+ .
e [0,1] (L) ⊂ U . De
[0, 1], com J|
e [0,1] (z) = (lx0 , z) ∈ Tk (Si , Vi ) × A ∩ [0, 1] ⊂ U .
J|
i=1
aberto de
fato, seja
Além do
e . Deste modo, Je preserva a relação ∼, e é contínua,
e 0 ) = J(x0 ) = (lx0 , 1) = J(1)
J(x
f : X F[0, 1]/ ∼−→ ΩM (ΣX, x0 ) contínua, dada por Ja(b
f p) = J(p)
e ,
portanto existe Ja
F
sendo p
b ∈ X [0, 1]/ ∼.
mais,
Tomando
modo, temos que
0
como ponto base de
b,
X
vemos que
f
e
Ja(0)
= J(0)
= (lx0 , 0).
f:X
b −→ ΩM (ΣX, x0 ) é contínua, ΩM (ΣX, x0 ) é monóide topológico, e
Ja
f leva o ponto base de X
b
Ja
no elemento identidade de
ΩM (ΣX, x0 ), e assim podemos aplicar
o Teorema 3.6, ou seja, existe um único homomorsmo contínuo
que estende
Deste
b −→ ΩM (ΣX, x0 )
J : J(X)
f.
Ja
O Teorema de James nos diz que, se
X
é um complexo CW conexo, então
J
é uma
equivalência de homotopia. E a demonstração deste Teorema será o nosso objetivo neste
capítulo.
Para tal demonstração, mostraremos inicialmente que
via um isomorsmo
j1
b ∼
e ∗ (X)
H∗ (J(X))
= TH
de álgebras graduadas e mostraremos também que existe outro
isomorsmo de álgebras graduadas
j2
entre
H∗ (ΩM (ΣX, x0 ))
e
e ∗ (X).
TH
Logo a seguir,
vericaremos que
H∗ (J) = j2 ◦ j1−1 ,
sendo assim
H∗ (J)
um isomorsmo de álgebras graduadas.
Tendo isto, aplicaremos o
Teorema de Whitehead 1.11, e para isso, precisaremos ainda mostrar que
J
é uma equiv-
alência de homotopia fraca, feito isto, aplicaremos o Teorema de Milnor 2.5, e assim, a
prova do Teorema de James estará concluída. De início, calcularemos
b .
H∗ (J(X))
89
4.2
Cálculo de
b
H∗(J(X))
Inicialmente calcularemos
uma 0-célula de
X
e
F
H∗ (J(X); F ),
sendo
X
um complexo CW conexo,
x0
um corpo.
Lembremos que
J(X)
é ltrado por
{J n (X)}n∈N∗ ,
e desta forma, segue que
J 1 (X) ⊂ J 2 (X) ⊂ . . . ⊂ J n (X) ⊂ . . . ⊂ J(X)
Além do mais, supondo
Y
um
F -módulo
e considerando
Tn (Y ) = R ⊕ Y ⊕ Y ⊗ Y ⊕ . . . ⊕ Y
. . ⊗ Y},
| ⊗ .{z
n vezes
vemos que
T1 (Y ) ⊂ T2 (Y ) ⊂ . . . ⊂ Tn (Y ) ⊂ . . . ⊂ T (Y ),
sendo
T (Y )
a álgebra tensorial do
F -módulo Y .
Em particular, quando consideramos
e ∗ (X; F ),
Y =H
e ∗ (X; F ) ⊂ T2 H
e ∗ (X; F ) ⊂ . . . ⊂ Tn H
e ∗ (X; F ) ⊂ . . . ⊂ T H
e ∗ (X; F )
T1 H
A estratégia para a demonstração de que
e ∗ (X; F )
H∗ (J(X); F ) ∼
= TH
será a
seguinte:
Primeiro, mostraremos que, para cada inteiro positivo
n existe um F -isomorsmo
e ∗ (X; F ) −→ H∗ (J n (X); F ).
ψn : Tn H
Logo
a
seguir,
e ∗ (X; F ).
lim Tn H
−→
vericaremos
a
existência
dos
limites
diretos
lim H∗ (J n (X); F ),
−→
e
Supondo a existência dos limites diretos acima citados, que
e ∗ (X; F ) ∼
e ∗ (X; F ),
lim H∗ (J n (X); F ) ∼
= H∗ (J(X); F ), lim Tn H
= TH
−→
e que
ψn
induza um
seguirá que
−→
F -isomorsmo ψ
entre
e ∗ (X; F )
lim Tn H
−→
e
lim H∗ (J n (X); F ),
−→
e ∗ (X; F ).
H∗ (J(X); F ) ∼
= TH
Deste modo, devemos demonstrar que:
(1) existe um
e ∗ (X; F ) −→ H∗ (J n (X); F );
F -isomorsmo ψn : Tn H
então
90
(2)
e ∗ (X; F ) ∼
e ∗ (X; F );
lim Tn H
= TH
(3)
lim H∗ (J n (X); F ) ∼
= H∗ (J(X); F );
−→
−→
(4) existe um
F -isomorsmo ψ
entre
e ∗ (X; F )
lim Tn H
−→
e
lim H∗ (J n (X); F ).
−→
Para provarmos (1), precisaremos de alguns lemas, os quais enunciaremos a seguir.
Lema 4.1 Se X é complexo CW, e A é um subcomplexo não-vazio, então existe uma
sequência exata
/H
e
...
n (A)
in
∗
/
e n (X)
H
/H
e
...
/
j∗n
/
e n (X/A)
H
∂n
/
e n−1 (X)
H
in−1
∗
/
/
e n−1 (X)
H
0,
0 (X/A)
onde i é a inclusão A ,→ X e j é a aplicação quociente X −→ X/A
Prova:
Ver [5].
Lema 4.2 Se as hipóteses do lema anterior forem satisfeitas, então a sequência
e ∗ (A)
(∗) H∗ (A) = R ⊕ H
H∗ (p)
/
e ∗ (X)
H∗ (X) = R ⊕ H
H∗ (q)
/
e ∗ (X/A)
H
é exata, onde H∗ (p) = 1R ×H∗ (i), H∗ (q) = H∗ (j)◦p2 , com H∗ (i), H∗ (j) sendo as induzidas
em homologia pelas aplicações i e j do lema anterior, respectivamente, e p2 (r, x) = x, com
e ∗ (X)
(r, x) ∈ R ⊕ H
Prova:
...
...
Como as hipóteses do lema anterior são satisfeitas, existe uma sequência exata
/H
e
n (A)
/H
e
0 (X/A)
in
∗
/
e n (X)
H
/
j∗n
/
e n (X/A)
H
∂n
/
e n−1 (X)
H
in−1
∗
/
e n−1 (X)
H
/
0,
ker(H∗ (j) ◦ p2 ) = Im(1R × H∗ (i)).
X
Im(1R × H∗ (i)) ⊂ ker(H∗ (j) ◦ p2 ) pois, para (r, H∗ (i)(
ak )) ∈ Im(1R × H∗ (i)),
Na sequência
temos
(∗)
devemos mostrar que
X
X k≥1
X
k
(H∗ (j) ◦ p2 )(r, H∗ (i)(
ak )) = H∗ (j)(
i∗ (ak )) =
(j∗k ◦ ik∗ )(ak ) = 0.
k≥1
k≥1
k≥1
91
Já
ker(H∗ (j)◦p2 ) ⊂ Im(1R ×H∗ (i)), pois, para (r,
X
ak ) ∈ ker(H∗ (j)◦p2 ), temos
k≥1
H∗ (j)(p2 (r,
X
ak )) =
X
j∗k (ak ) = 0,
donde segue que
j∗k (ak ) = 0,
e assim
ak ∈ Im(ik∗ ),
X j≥1
Xk≥1
(r,
ak ) = (r,
ik∗ (ak )) ∈ Im(1R × H∗ (i)).
logo
k≥1
k≥1
Prova de (1):
Lembrando que
H∗ (J(X); F ) =
M
e ∗ (X; F ) =
Hi (J(X); F ), e T H
i≥0
M
e ∗ (X; F ),
T (i) H
i≥0
onde
(i)
e ∗ (X; F ) =
T H



F,

se i = 0

e (X; F ) ⊗ . . . ⊗ H
e ∗ (X; F ) = H
e ∗ (X; F )⊗n , se i ≥ 1,
H


| ∗
{z
}
i vezes
podemos denir
F -homomorsmos,
para
n ≥ 1,
e ∗ (X; F ) = H
e ∗ (X; F )⊗n −→ H∗ (J(X); F ),
φn : T (n) H
sendo a composição
H∗ (πn )
H∗ (i)
×
e ∗ (X; F )⊗n ,→ H∗ (X; F )⊗n −→
H
H∗ (X n ; F ) −→ H∗ (J n (X); F ) −→ H∗ (J(X); F ),
onde
×
é o produto cross,
H∗ (πn )
denida no capítulo anterior), e
de
J n (X)
em
é a induzida em homologia de
H∗ (i)
πn (πn
é a proclusão
é a induzida em homologia de i, sendo
i
a inclusão
J(X).
Como
X
é complexo CW conexo, segue que
também é conexo por caminhos, e assim
X
é conexo por caminhos, logo
H0 (J(X); F ) ∼
= F.
J(X)
Então podemos denir
e ∗ (X; F ) = F −→ H∗ (J(X); F )
φ0 : T (0) H
por
φ0 (r) = r,
que também é um
F -homomorsmo.
e ∗ (X; F ) −→ H∗ (J(X); F )
F -homomorsmo φ : T H
Denimos, para
e ∗ (X; F )
n ≥ 1, Tn H
Desta forma, existe um único
tal que
φ|T (n) He∗ (X;F ) = φn .
como sendo
e ∗ (X; F ) ⊕ H
e ∗ (X; F ) ⊗ H
e ∗ (X; F ) ⊕ . . . ⊕ H
e (X; F ) ⊗ . . . ⊗ H
e ∗ (X; F )
F ⊕H
{z
}
|∗
n vezes
92
Provemos que
e ∗ (X; F ) −→ H∗ (J n (X); F )
ψn = φ|Tn He∗ (X;F ) : Tn H
é um
F -isomorsmo
para todo n.
Como
X é complexo CW, o Teorema 3.4 se aplica, e assim, o par (J n (X), J n−1 (X))
satisfaz as hipóteses do Lema 4.2. Como
J n (X)/J n−1 (X)
e
X ∧n
são homeomorfos, segue
que a sequência abaixo é exata,
H∗ (p)
H∗ (q)
e ∗ (X ∧n ; F )
H∗ (J n−1 (X); F ) −→ H∗ (J n (X); F ) −→ H
Sem muitas diculdades, verica-se que o diagrama abaixo é comutativo para
todo
n≥1
/
0
ψn−1
/
0
com
in−1
/
H∗ (J n−1 (X); F )
H∗ (p)
/
meomorsmo entre
/
H∗ (q)
/
i
/
e ∗ (X ∧n ; F )
H
e ∗ (X; F ) ,→ Tn H
e ∗ (X; F ), pn
Tn−1 H
onde
/
e ∗ (X; F )⊗n
H
×
H∗ (J n (X); F )
H∗ (p) = 1R × H∗ (i),
H∗ (q) = H∗ (f ◦ j) ◦ p2 ,
pn
e ∗ (X; F )
Tn H
ψn
sendo a inclusão
última variável,
in−1
e ∗ (X; F )
Tn−1 H
é a inclusão
j
J n (X)/J n−1 (X)
e
0,
é a projeção sobre a
J n−1 (X) ,→ J n (X),
f
J n (X) −→ J n (X)/J n−1 (X) −→ X ∧n ,
onde
0
sendo
f
o ho-
X ∧n .
Observamos que a sequência
in−1
pn
e ∗ (X; F )⊗n −→ 0
e ∗ (X; F ) −→
e ∗ (X; F ) −→
H
0 −→ Tn−1 H
Tn H
é exata, para todo
n ≥ 1.
Provemos agora que
(1) Para
φ|R⊕H∗ (X) ,
e
n = 1,
ψn
temos
ψ1 (r, x) = (r, x),
isomorsmo (note que
F -isomorsmo,
para todo
n ≥ 1,
por indução.
e ∗ (X) −→ H∗ (J 1 (X)) = H∗ (X),
ψ1 : R ⊕ H
onde
e 0 (X) ∼
H
= {0},
(2) Suponha, para
também é um
é
n ≥ 2,
e ∗ (X).
(r, x) ∈ R ⊕ H
pois
que
X
ψn−1
onde
é um
F-
e provemos que
ψn
Claramente
ψ1
ψ1 =
é conexo por caminhos).
seja um
F -isomorsmo
F -isomorsmo.
Do Teorema de Kunneth segue que
produto cross (notemos que
F
e ∗ (X)⊗n
H
é um corpo), e como
e
e ∗ (X ∧n )
H
ψn−1
é
são
F -isomorfos
F -isomorsmo,
via o
temos que a
93
sequência
e ∗ (X ∧n ; F ) −→ 0
0 −→ H∗ (J n−1 (X)) −→ H∗ (J n (X); F ) −→ H
ψn
é exata. Assim o Lema dos 5 se aplica, donde vem que
é um
F -isomorsmo.
Provaremos, a partir de agora, (2). Para tanto, precisaremos de alguns resultados
preliminares.
Dizemos que um conjunto parcialmente ordenado
α, β
dois elementos
de
D,
existe um elemento
O conjunto dos números naturais
inteiros positivos,
Sejam
D
N∗ = N − {0},
fαβ : Gα −→ Gβ ,
então
que
para
tal que para
fαβ = 1Gα .
sistema dirigido de
O sistema
de
D
é dirigido se, para quaisquer
tal que
N = {0, 1, . . .},
τ ≥α
e
τ ≥ β.
bem como, o conjunto dos
são exemplos de conjuntos dirigidos.
um conjunto dirigido, e
Suponhamos
τ
D
cada
Gα
um
β ≥ α
γ ≥β ≥α
{Gα , fαβ }
em
D
F -módulo
em
D,
denido para cada
exista
tenhamos
um
α ∈ D.
F -homomorsmo
fβγ ◦ fαβ = fαγ
e se
α = β,
com as propriedades acima citadas é chamado
F -módulos.
O próximo Teorema garante a existência de limite direto na categoria dos
R-módulos R-Mod,
sendo
R
um anel comutativo com identidade.
Teorema 4.1 Sejam {Gα , fαβ } um sistema dirigido de R-módulos, e G o R-módulo dado
por
M
Gα /S , sendo S o submódulo de
α∈D
M
Gα gerado por
α∈D
{λα (g) − λβ (fαβ (g)) : g ∈ G e β ≥ α},
com λγ : Gγ ,→
M
Gα , γ ∈ D. Então G ∼
= lim Gα .
−→
α∈D
Prova:
Devido às propriedades que denem o sistema dirigido
{Gα , fαβ }
D
é
F : D −→ R − M od
o
segue que
ltrado (como na seção 4 do capítulo 2).
Assim, basta mostrarmos que
funtor que associa cada
α ∈ obj(D)
G ∼
= colimF (α),
ao
R-módulo Gα
sendo
e caso
β ≥ α,
então existe um
94
R-homomorsmo fαβ : Gα −→ Gβ .
{Gα , fαβ }
A boa denição do funtor
F
é decorrente do fato de
ser um sistema dirigido.
Para mostrarmos que
G∼
= colimF (α),
utilizaremos a propriedade denidora de
colimite, dada na seção 4 do capítulo 2.
λα : Gα −→
Inicialmente, notemos que a inclusão
homomorsmo
iα : Gα −→ G.
E mais, se
β≥
M
Gα (α ∈ D)
α∈D
α, então, como λα (g α )
induz um
R-
− λβ (fαβ (g α )) ∈ S ,
∀ g α ∈ Gα , iβ ◦ fαβ = iα .
Dados
α, β ∈ D,
com
β ≥ α, R-módulo A
e
R-homomorsmo gα : Gα −→ A,
temos que, se o diagrama
iα
G `@o
gα
/A
?
@@
~
@@
~~
~
@ fαβ ~
iβ @@ ~~~ gβ
Gα
Gβ
comuta, então existe um único
R-homomorsmo h : G −→ A
que completa o diagrama
comutativamente.
De fato, para cada
α ∈ D,
existe
R-homomorsmo gα : Gα −→ A,
propriedade universal de Soma Direta, existe um único
e
h:
M
logo pela
R-homomorsmo
Gα −→ A,
α∈D
que torna o diagrama abaixo comutativo, para cada
Gα
λα
M
α ∈ D,
gα
/A
}>
}
}
e
h }}
}
}
}
Gα
α∈D
Armamos que
0 = λα (0) − λα (fαα (0)).
e
h(S) = {0},
Já
e
h(S) ⊂ {0},
com
0 ∈ A.
pois seja
Claramente
z ∈ S,
isto é,
{0} ⊂ e
h(S),
pois
z = λα (g) − λβ (fαβ (g)),
95
com
g ∈ Gα , β ≥ α
e
λγ : Gγ ,→
M
Gα .
Ora,
α∈D
e
h(z) = e
h(λα (g)) − e
h(λβ (fαβ(g) ))
= gα (g) − gβ (fαβ (g))
?
= gα (g) − gα (g)
=0
sendo que a igualdade
?
decorre da comutatividade do diagrama
gα
/A
?
~
~~
~
~~g
~~ β
Gα
fαβ
Gβ
Como
e
h(S) = {0},
segue que existe um único
h:
M
R-homomorsmo
Gα /S −→ A
α∈D
dado por
h(g) = e
h(g),
com
g∈
M
Gα .
α∈D
Agora, se
segue que
g ∈ Gα ,
h ◦ iα = gα ,
então
para cada
(h ◦ iα )(g) = h(g) = e
h(g) = (e
h ◦ λα )(g) = gα (g),
α ∈ D.
A unicidade do
R-homomorsmo
donde
é evidente.
Observação 1- Para qualquer elemento g de lim
Gα , existe g α ∈ Gα , para algum
−→
α ∈ D,
tal que
g = iα (g α ).
Isso é evidente, devido a
λ
α
Gα −→
M
α∈D
iα
ser a composição
Gα −→ lim Gα .
−→
Observação 2- Para qualquer α ∈ D e gα ∈ Gα , temos
iα (g α ) = 0 ⇐⇒ ∃ β ≥ α, tal que fαβ (g α ) = 0.
Exemplo 1- Para cada n ∈ N∗ = N − {0}, seja
e ∗ (X) = R ⊕ H
e ∗ (X) ⊕ H
e ∗ (X) ⊗ H
e ∗ (X) ⊕ . . . ⊕ H
e (X) ⊗ . . . ⊗ H
e ∗ (X) .
Tn H
|∗
{z
}
n vezes
96
e ∗ (X)
Tn H
Sabemos que
inm (x) = x,
iqp ◦ irq = irp .
siderarmos
Além disso, para
e ∗ (X) −→ Tm H
e ∗ (X)
inm : Tn H
iste homomorsmo
seja,
R-módulo.
é um
para
Logo
em
N∗ ,
ex-
denido como sendo a inclusão, ou
e ∗ (X) ⊂ Tm H
e ∗ (X),
x ∈ Tn H
e ∗ (X), inm }
{Tn H
m ≥ n
e se
p ≥ q ≥ r
em
N∗ ,
então
é um sistema dirigido, e assim tem sentido con-
e ∗ (X).
lim Tn H
−→
Exemplo 2- Para n, m ∈ N∗ com m ≥ n seja jnm : J n (X) −→ J m (X) a inclusão
natural. Tal inclusão induz um
R-homomorsmo
em homologia, a saber,
H∗ (jnm ) : H∗ (J n (X)) −→ H∗ (J m (X)).
Claramente, para
p≥q≥r
em
N∗ , jqp ◦ jrq = jrp .
Visto que
H∗
é um funtor covariante,
H∗ (jrp ) = H∗ (jqp ◦ jrq ) = H∗ (jqp ) ◦ H∗ (jrq ).
Do que armamos acima,
assim o
R-módulo lim H∗ (J n (X))
−→
{H∗ (J n (X)), H∗ (jnm )}
forma um sistema dirigido, e
está bem denido.
Exemplo 3- Para n ∈ N∗ , sejam Gn = {0} (R-módulo trivial) e, para m ≥ n em
N∗ , inm : Gn −→ Gm
é tal que
um sistema dirigido, e
inm (0) = 0.
Sem diculdade, verica-se que
{Gn , inm }
é
lim Gn = {0}.
−→
Teorema 4.2 Sejam {Gα , fαβ } um sistema dirigido de R-módulos, A um R-módulo e
hα : Gα −→ A um R-homomorsmo tal que, se β ≥ α, então, hβ ◦ fαβ = hα . Agora,
pelo Teorema 4.1, existe um único R-homomorsmo h : lim Gα −→ A tal que h ◦ iα = hα ,
−→
∀ α, sendo iα : Gα −→ lim Gα o R-homomorsmo já denido anteriormente. Então
−→
h : lim Gα −→ A é um R-isomorsmo se, e somente se, as seguintes declarações são
−→
verdadeiras:
(1) ∀ a ∈ A, ∃ α ∈ D e ∃ gα ∈ Gα tal que hα (gα ) = a;
(2) Se hα (gα ) = 0, então ∃ β ≥ α tal que fαβ (gα ) = 0.
Prova:
Im(h) =
Segue
[
α∈D
da
Im(hα )
construção
e
Ker(h) =
de
h
[
Ker(hα )
feita
no
Teorema
4.1,
basta
notarmos
que
ou das observações feitas anteriormente.
α∈D
e ∗ (X) e T H
e ∗ (X) são R-isomorfos.
Corolário 4.1 lim
Tn H
−→
97
Prova:
isto é,
Para cada
n ∈ N∗ ,
seja
e ∗ (X) −→ T H
e ∗ (X)
hn : Tn H
e ∗ (X)
hn (x) = x, ∀ x ∈ Tn H
Agora, se
m ≥ n
em
(Observamos que
N∗ ,
R-homomorsmo
o
e ∗ (X) ⊂ T H
e ∗ (X)).
Tn H
hm ◦ inm = hn .
então
e ∗ (X) −→ T H
e ∗ (X),
R-homomorsmo h : lim Tn H
−→
inclusão,
Logo existe um único
h ◦ in = hn ,
tal que
onde
e ∗ (x) −→ lim Tn H
e ∗ (X)
in : Tn H
−→
é o
R-homomorsmo
induzido pela inclusão
M
e ∗ (X) ,→
Tn H
e ∗ (X).
Tn H
n≥1
O
R-homomorsmo h
senta a classe de
gn
existe
que
e ∗ (X)
lim Tn H
−→
e
h
tal que
e∗
TH
é um
R-isomorsmo.
são
n ∈ N∗ ,
e assim
hn (a) = a,
inm (a) = hn (a) = 0.
são
R-isomorfos,
Passaremos
agora
−→
x0
e
gn
repre-
R-isomorfos,
via
e ainda, se
e ∗ (X),
a ∈ TH
hn (a) = 0,
então
Portanto, pelo último Corolário, temos
R-isomorsmo h.
R
seja um corpo,
e ∗ (X)
lim Tn H
−→
e
cando assim provado o item (2) do início desta seção.
lim H∗ (J n (X)) ∼
= H∗ (J(X)),
e
e ∗ (X)
gn ∈ Tn H
Ora, para qualquer
O Corolário anterior, nos garante que, caso
e ∗ (X)
TH
onde
−→
para algum
m ≥ n ∈ N∗
h(gn ) = hn (gn ),
e ∗ (X).
lim Tn H
em
Armamos que
e ∗ (X)
a ∈ Tn H
é tal que
a
justicar
quando
X
o
item
(3)
do
início
desta
seção,
for um complexo CW conexo, sendo
R
isto
é,
um corpo,
uma 0-célula.
Sejam
de que, se
D
um conjunto dirigido e
β ≥ α,
fαβ : Xα ,→ Xβ ,
2, vemos que
então
para
Xα ⊂ Xβ .
β ≥ α,
então
Xα
α∈D
Sendo {Xα ,
um conjunto com a propriedade
fαβ }
um sistema dirigido, onde
forma um sistema dirigido.
iα : Xα −→ X
Hi (iα ) : Hi (Xα ) −→ Hi (X)
é um
iβ ◦ fαβ = iα , Hi (iβ ) ◦ Hi (fαβ ) = Hi (iα ).
direto, existe um único
[
é a inclusão, então de maneira semelhante ao Exemplo
{Hi (Xα ; R), Hi (fαβ )}
Temos ainda que, se
X =
é a inclusão natural para cada
R-homomorsmo.
E mais, se
α ∈ D,
β ≥ α,
como
Logo, pela propriedade denidora de limite
R-homomorsmo l : lim Hi (Xα ) −→ Hi (X)
−→
tal que
l ◦ tα =
98
tα : Hi (Xα ) −→ lim Hi (Xα )
−→
M
Hi (Xα ) ,→
Hi (Xα ).
Hi (iα ),
onde
é o
R-homomorsmo
induzido pela inclusão
α∈D
O
R-homomorsmo l
é dado por
l(xα ) = Hi (iα )(xα )
para
xα ∈ Hi (Xα ).
Um
passo importante para a justicativa de (3) é o Teorema a seguir.
Teorema 4.3 Se um espaço topológico X é a união de subespaços Xα , onde α ∈ D,
sendo D um conjunto dirigido, e {Xα , fαβ } um sistema dirigido, com a propriedade de
que cada subconjunto compacto de X esteja inteiramente contido em algum Xα , então a
aplicação natural lim Hi (Xα ) −→ Hi (X) dada anteriormente é um R-isomorsmo para
−→
quaisquer índice i e anel comutativo com identidade R.
Prova:
Ver [5].
Corolário 4.2 Para cada i ∈ N, lim
Hi (J n (X)) e Hi (J(X)) são R-isomorfos.
−→
Prova:
Sabemos que
e assim, se
n ∈ N∗ .
K
J(X)
é ltrado por
{J n (X)},
é um subconjunto compacto de
Além do mais, pelo Exemplo 2,
logo a propriedade
J(X),
então
{J n (X), jnm }
CG 12 se aplica,
K ⊂ J n (X),
para algum
forma um sistema dirigido.
Deste modo, as hipóteses do último Teorema são satisfeitas, portanto a aplicação natural
l : lim Hi (J n (X); R) −→ Hi (J(X))
−→
é um R-isomorsmo, para cada
i ∈ N.
Utilizando este último Corolário, e a denição do limite direto
segue que
n
lim H∗ (J (X))
−→
e
H∗ (J(X))
são
R-isomorfos,
via um
lim H∗ (J n (X))
−→
R-isomorsmo α
o que
conclui a justicativa de (3).
Finalmente, tentemos justicar o item (4) do início desta seção, o qual arma que
ψn
induz um
F -isomorsmo ψ
X
um complexo CW conexo, tendo
entre
e ∗ (X; F ) e lim H∗ (J n (X)), sendo F
lim Tn H
−→
x0
(4), faremos uso do seguinte resultado:
−→
um corpo,
como uma 0-célula. Para a devida justicativa de
99
0
00
Teorema 4.4 Sejam A0α , fαβ
, {Aα , fαβ } e A00α , fαβ
sistemas dirigidos baseados no
mesmo conjunto dirigido D.
Se A0α −→ Aα −→ A00α é sequência exata, para cada α ∈ D, e o diagrama
/
0
Aα
0
fαβ
/
0
Aβ
/ A00
Aα
α
00
fαβ
/
Aβ
fαβ
00
Aβ
comuta, para todo β ≥ α, então a sequência induzida
0
00
lim Aα −→ lim Aα −→ lim Aα
−→
−→
−→
é exata.
Prova:
Ver [1].
Corolário 4.3 Se φn : Tn He∗ (X) −→ H∗ (J n (X)) é um R-isomorsmo, para todo n ∈ N,
que torna o diagrama
e ∗ (X)
Tn H
inm
e ∗ (X)
Tm H
φn
φm
/
/
H∗ (J n (X))
H∗ (jnm )
H∗ (J m (X))
comutativo, ∀m ≥ n em N∗ , então lim Tn He∗ (X) ∼
= lim H∗ (J n (X)).
−→
Prova:
−→
Aplicação imediata do Teorema anterior, basta considerarmos os sistemas dirigi-
n
o
e ∗ (X), inm , {H∗ (J n (X)), H∗ (jnm )} e {Gn , pnm }, onde Gn = {0} e pnm (0) = 0,
dos Tn H
baseados em
Na
R.
justicativa
de
e ∗ (X) −→ H∗ (J(X))
φ : TH
R-isomorsmo.
(1)
vimos
tal que
que
existe
um
φ|T (n) He∗ (X) = ψn .
Visto que a propriedade (1) é válida, ou seja,
único
R-homomorsmo
Armamos que
ψn
é um
φ
é um
R-isomorsmo,
do
100
Corolário
4.3,
segue
e ∗ (X)
lim Tn H
que
lim H∗ (J n (X))
e
−→
são
−→
R-isomorfos,
via
um
R-isomorsmo γ .
Agora a composição
−1
γ
h
α
e ∗ (X) −→
e ∗ (X) −→
TH
lim Tn H
lim H∗ (J n (X)) −→ H∗ (J(X))
−→
é igual a
φ,
e como
h−1 , γ
e
α
−→
são
R-isomorsmos,
e (3), respectivamente, concluímos que
φ
é um
R
Pelo que vimos até então, quando
tendo
x0
como uma 0-célula,
4.3
h
e
α
os
R-isomorsmos
de (2)
R-isomorsmo.
é um corpo,
X
é complexo CW conexo,
e ∗ (X; R).
H∗ (J(X); R) ∼
= TH
Utilizando o Apêndice, vemos que
b R) ∼
e ∗ (X; R)
H∗ (J(X);
= TH
sendo
via um
b R) ∼
H∗ (J(X);
= H∗ (J(X); R), donde segue que
R-isomorsmo j1 .
Fibrações
A esta seção, destinamos alguns conceitos e resultados sobre Fibrações que terão
aplicações no cálculo de
Sejam
E, B
H∗ (Ω(ΣX, x0 )).
p : E −→ B
espaços topológicos, e
notaremos aplicações da forma
F : X × I −→ Y
uma aplicação contínua.
simplesmente por
Ft ,
ou seja,
De-
Ft (x) =
F (x, t).
Dizemos que a aplicação
X
relação a um espaço
ge0 : X × {0} −→ E
levanta
ge0 ,
p tem a propriedade de levantamento de homotopia com
se, e somente se, para quaisquer aplicações
tais que
p ◦ ge0 = g0 ◦ i,
existe uma homotopia
ou seja, que torna o diagrama abaixo comutativo.
X × {0}
i
i(x, 0) = (x, 0).
:
/
E
g
et
X ×I
onde
g
e0
gt
/
p
B,
gt : X × I −→ B ,
get : X × I −→ E
e
que
101
Denição 4.1 Sejam E e B espaços topológicos, e p : E −→ B uma aplicação contínua.
p é uma bração se, e somente se, p tem a propriedade de levantamento de homotopia com
relação a qualquer espaço X . Denimos ainda a bra de b ∈ B como sendo Fb = p−1 (b).
A partir de agora, listaremos alguns resultados sobre brações, que relacionam o
que já estudamos. Na medida que necessitarmos, faremos as demonstrações.
Teorema 4.5 Seja p : E −→ B uma bração. Se B é conexo por caminhos, então todas
bras de elementos de B têm o mesmo tipo de homotopia.
Prova:
Veja [10].
Teorema 4.6 Seja p : E −→ B uma bração. Se U ⊂ B , então p|p−1 (U ) : p−1 (U ) −→ U
é uma bração.
Prova:
Veja [10].
Teorema 4.7 Sejam p : E −→ B uma bração, e B um espaço contrátil. Então, para
todo b ∈ B , E ' B × Fb .
Prova:
Veja [5].
Teorema 4.8 Seja
P X = {γ : I −→ X : γ é contínua e γ(0) = x0 },
onde x0 é um ponto xado de X . Então a aplicação p : P X −→ X , denida por
p(φ) = φ(1),
é uma bração.
102
Prova:
Sejam
A um espaço topológico qualquer, f : A × {0} −→ P X , e gt : X × I −→ X
aplicações contínuas dadas, que satisfazem
contínua
ge : A × I −→ X
p◦f = g0 ◦i.
Devemos construir uma aplicação
que torne o diagrama a seguir, comutativo.
f
A × {0}
i
g
e
gt
A×I
Primeiro, notemos que
p
/
:P X
,
/
p
X
é contínua (é uma restrição da aplicação avaliação, a
qual é contínua).
Seja
f (a, 0) = γa ∈ P X ,
Denimos
ou seja,
ge : A × I −→ P X
γa (0) = x0 ,
por
e
γa : I −→ X
ge(a, t) ∈ P X ,
é contínua.
sendo que
ge(a, t) : I −→ X
é
dada por
ge(a, t)(s) = (γa ∗ Γta )(s) =
Claramente
ge é
Deste modo,
Γta
se 0 ≤ s ≤ 1/2


Γta (2s − 1), se 1/2 ≤ s ≤ 1.
contínua, desde que
Consideremos então
ϕt (l) = l · t.



γa (2s),
γa ∗ Γta
Γta = g|{a}×[0,t] ◦ ϕt ,
faça sentido, e
onde
Γta
seja contínua.
ϕt : I −→ [0, t]
é contínua, e além disso,
γat (0) = g|{a}×[0,t] ◦ ϕt (0)
= g|{a}×[0,t] (ϕt (0))
= g|{a}×[0,t] (0)
= (g ◦ i)(a, 0)
= (p ◦ f )(a, 0)
= p(γa ).
Ainda temos que os triângulos do diagrama anterior comutam.
De fato,
é denida por
103
(p ◦ ge)(a, t) = ge(a, t)(1)
= Γta (1)
= g|{a}×[0,t] ◦ ϕt (1)
= g|{a}×[0,t] (t)
= g(a, t).
E,
(e
g ◦ i)(a, 0) = ge(a, 0) : I × {0} −→ X
ge(a, 0)(t) = γa ∗ Γ0a (t) =
e como




é tal que,
se 0 ≤ t ≤ 1/2
γa (2t),
,


Γ0a (2t − 1), se 1/2 ≤ t ≤ 1
Γ0a (2t − 1) = g|{a}×[0,0] ◦ ϕ0 (2t − 1) = g(a, 0) = γa (1),
Portanto
p
segue que
ge ◦ i = f .
é uma bração.
Além do mais,
p−1 (x0 ) = {γ ∈ P X : γ(1) = x0 }
= {γ : I −→ X : γ
é contínua
e γ(0) = x0 = γ(1)}
= Ω(X, x0 )
Teorema 4.9 Se p : X −→ Y é bração, B ⊂ Y , e B é retrato por deformação forte de
um aberto U de Y , então p−1 (B) é retrato por deformação de p−1 (U ), no sentido fraco.
Prova:
Visto que
p : X −→ Y
é bração por hipótese, pelo Teorema 4.6,
p = p|p−1 (U ) : p−1 (U ) −→ U
é bração.
Agora, como
F : U × I −→ U
B
é retrato por deformação forte de
que satisfaz:
(1)
F (u, 0) = u,
para todo
u ∈ U;
(2)
F (u, 1) ∈ B ,
para todo
u ∈ U;
(3)
F (b, t) = b,
para todo
b∈B
e para todo
t ∈ I.
U,
existe homotopia
104
Haja visto que a aplicação
p
é contínua, assim será a aplicação
p × 1I : p−1 (U ) × I −→ U × I.
Temos então a composição
F ◦ (p × 1I ),
a qual é contínua, e além disto, por (1), (2), e
(3), vemos que:
(4)
F ◦ (p × 1I )(x, 0) = F (p(x), 0) = p(x), ∀ x ∈ p−1 (U );
(5)
F ◦ (p × 1I )(x, 1) = F (p(x), 1) ∈ B , ∀ x ∈ p−1 (U );
(6)
F ◦ (p × 1I )(c, 1) = F (p(c), 1) = p(c), ∀ c ∈ p−1 (B).
Denindo
Fe0 : p−1 (U ) × {0} −→ p−1 (U )
(p ◦ Fe0 )(x, 0) = p(x) = [F ◦ (p × 1I ) ◦ i](x, 0),
inclusão natural. Deste modo, como
p
sendo
por
Fe0 (x, 0) = p(x),
temos que
i : p−1 (U ) × {0} −→ p−1 (U ) × I
a
é bração, existe aplicação contínua
Fe : p−1 (U ) × I −→ p−1 (U )
que torna o diagrama abaixo comutativo.
p−1 (U ) × {0}
i
Fe0
Fe
p−1 (U ) × I
/ p−1 (U )
7
F ◦(p×1I )
.
p
/U
Pelas propriedades (4), (5) e (6), vemos que
Fe
é tal que
Fe(x, 0) = x, Fe(x, 1) ∈ p−1 (B) ∀ x ∈ p−1 (U ) e Fe(c, 1) = c ∀ c ∈ p−1 (B).
p−1 (B)
4.4
é retrato por deformação de
Cálculo de
p−1 (U ),
Logo
no sentido fraco.
H∗(ΩM (ΣX, x0))
Teorema 4.10 Se X é um complexo CW conexo, e x0 é uma 0-célula de X , então, para
e ∗ (X; R).
todo corpo R, H∗ (Ω(ΣX, x0 ); R) ∼
= TH
Prova:
Inicialmente, xemos algumas notações:
Y = ΣX,
105
Y+ = C+ (X),
Y− = C− (X),
y0 = x0 = [x0 , t] = [x, 1] = [x, 0],
onde
C+ (X)
C− (X)
e
representam os cones reduzidos, já denidos no capítulo 2. Ainda
no Capítulo 2, vimos que
Y = Y− ∪ Y+ , Y− ∩ Y+ ≈ X ,→ ΣX (A ≈ B ⇐⇒ A
e
B
são
homeomorfos).
p : P Y −→ Y
Consideremos a aplicação
p
Do Teorema 4.8, sabemos que
P+ Y = p−1 (Y+ )
Sejam
são caminhos em
caminhos em
Y
Y
e
P− Y = p−1 (Y− ).
que começam em
y0
y0
φ ∈ PY .
P+ Y
Y+ ,
já os elementos de
P− Y
são
Y− .
P+ Y ∩ P− Y = p−1 (Y+ ) ∩ p−1 (Y− ) = p−1 (Y+ ∩ Y− ) ≈ p−1 (X)
consiste no conjunto cujos elementos são caminhos em
em
para
Temos que os elementos de
e terminam em
e terminam em
p(φ) = φ(1),
p−1 (y0 ) = Ω(Y, y0 ).
é uma bração, com bra
que iniciam em
Temos ainda que
denida por
Y
que iniciam em
y0
e terminam
X.
Por hipótese,
e assim, por
tais que
Y+ ,
X
é complexo CW, deste modo,
CW 6, existem abertos U+ e U− em Y
e
Y−
disso, vê-se que
Y+
Agora, visto que
U+
é retrato por deformação de
são subcomplexos de
e
U− ,
respectivamente, os quais são abertos em
Vale observarmos que se
AeB
PY ,
Y+
ΣX ,
e
Y− ,
respectivamente. Além
U+ ∩ U− .
p é bração, segue do Teorema 4.9, que P+ Y , P− Y
são retratos por deformação, no sentido fraco, de
no sentido fraco ), então
Y−
contendo, respectivamente,
são retratos por deformação forte de
X ≈ Y+ ∩ Y−
e
p−1 (U+ ), p−1 (U− )
e
e
P + Y ∩ P− Y
p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− ),
devido à continuidade de
p.
A é retrato por deformação de B ( retrato por deformação
têm o mesmo tipo de homotopia, e em consequência disto,
Hn (A) ∼
= Hn (B), ∀n ≥ 0.
Segue, pelo que vimos acima, que
Hn (P+ Y ) ∼
= Hn (p−1 (U+ )),
Hn (P− Y ) ∼
= Hn (p−1 (U− )) e
106
Hn (P+ Y ∩ P− Y ) ∼
= Hn (p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− )).
Agora estamos aptos a utilizar a sequência de Mayer-Vietoris para a decomposição em
abertos de
P Y , P Y = p−1 (U+ ) ∪ p−1 (U− ),
p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− ) = p−1 (U+ ∩ U− )
e
notamos que
p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− ) 6= ∅,
pois
X ≈ Y+ ∩ Y− ⊂ U+ ∩ U− .
Logo temos a sequência exata
∂n−1
b
a
n
n
Hn (P Y ) −→ . . . −→ H0 (P Y ) −→ 0,
Bn −→
. . . −→ Hn−1 (P Y ) −→ An −→
sendo
An = Hn (p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− )),
Bn = Hn (p−1 (U+ )) ⊕ Hn (p−1 (U− )),
an = (Hn (i1 ), −Hn (i2 )),
bn = Hn (k1 ) + Hn (k2 ),
i1 : p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U+ ) ,→ p−1 (U+ ), i2 : p−1 (U+ ) ∩ p−1 (U− ) ,→ p−1 (U− ),
onde,
k1 : p−1 (U+ ) ,→ P Y
e
k2 : p−1 (U− ) ,→ P Y .
A sequência acima pode ser reescrita como
. . . −→ Hn (P+ Y ∩P− Y )
(Hn (j1 ),−Hn (j2 ))
−→
Hn (P+ Y )⊕Hn (P− Y )
Hn (w1 )+Hn (w2 )
−→
∂
n
Hn (P Y ) −→
...
. . . −→ H0 (P Y ) −→ 0,
onde
j1 : P+ Y ∩ P− Y ,→ P+ Y , j2 : P+ Y ∩ P− Y −→ P− Y , w1 : P+ Y ,→ P Y ,
e
w2 : P− Y ,→ P Y .
Agora, pelo Teorema 2.3,
PY
é contrátil, e como a sequência acima é exata,
donde
φn = (Hn (j1 ), −Hn (j2 )) : Hn (P+ Y ∩ P− Y ) −→ Hn (P+ Y ) ⊕ Hn (P− Y )
é um
R-isomorsmo ∀ n ≥ 1.
Se considerarmos homologia reduzida, e utilizarmos o fato de que
e ∗ (P+ Y ∩ P− Y ) =
H
M
i≥0
e i (P+ Y ∩ P− Y ),
H
107
então obtemos um
e ∗ (P+ Y ∩ P− Y ) −→ H
e ∗ (P+ Y ) ⊕ H
e ∗ (P− Y ),
R-isomorsmo φ : H
e ∗ (i1 ), −H
e ∗ (i2 )),
φ = (φ1 , φ2 ) = (H
duzida pelas inclusões i1
sendo
e ∗ (i1 )
H
: P+ Y ∩P− Y ,→ P+ Y
e ∗ (i2 )
H
e
e i2
as induzidas em homologia re-
: P+ Y ∩P− Y ,→ P− Y , respectivamente.
Caso desconsiderarmos o sinal negativo na segunda coordenada de
tinuaremos com um
R-isomorsmo.
onde
φ,
ainda con-
A partir deste momento assumiremos isto feito, ou
seja, quando citarmos
φ,
objetivo é reescrever o
R-isomorsmo φ
estaremos pensando em
como um
e ∗ (i1 ), H
e ∗ (i2 )).
φ = (H
Nosso próximo
R-isomorsmo
e ∗ (ΩY × X) −→ H
e ∗ (ΩY ) ⊕ H
e ∗ (ΩY ).
θ:H
Para começarmos, como
p|p−1 (Y+ ) : P+ Y −→ Y+
contrátil, sendo
também é bração.
H+ : Y+ × I −→ Y+
H+ ([x, t], s) = [x, (1 − s)t + s].
P+ Y
e
p : P Y −→ Y
é bração, do Teorema 4.6 segue que
Agora, do Teorema 2.4 sabemos que
a retração por deformação de
y0
denida por
têm o mesmo tipo de homotopia.
Agora, explicitaremos equivalências de homotopia entre
f+ : P+ Y −→ Ω(Y, y0 ) × Y+
γ
ψ+
(s) =
em
é
Logo as hipóteses do Teorema 4.7 são satisfeitas, e assim,
p−1 (y0 ) × Y+ = Ω(Y, y0 ) × Y+
Seja
Y+
Y+




denida por
P+ Y
e
Ω(Y, y0 ) × Y+ .
γ
f+ (γ) = (ψ+
, p(γ)),
onde
se 0 ≤ s ≤ 1/2
γ(2s),


H+ (p(γ), 2s − 1), se 1/2 ≤ s ≤ 1
f+
é contínua pois suas funções coordenadas são contínuas.
De fato,
f+2 : P+ Y −→ Y+ é dada por f+2 (γ) = p(γ), e p é contínua.
f+1 : P+ Y −→ Ω(Y, y0 )
dada por
γ
f+1 (γ) = w+
Mostremos que
é contínua. Para tanto, basta mostrarmos
que a composição
1
f+
i
P+ Y −→ Ω(Y, y0 ) ,→ Y I
é contínua.
Agora, visto que
I
é localmente compacto, pelo Teorema 2.1, mostrar que
é contínua é equivalente a mostrar que
i ◦ f+1 : P+ Y × I −→ Y ,
γ
i ◦ f+1 (γ, s) = w+
(s)
denida por
i ◦ f+1
108
é contínua.
Ora,
P+ Y × I = P+ Y × [0, 1/2] ∪ P+ Y × [1/2, 1],
|
{z
} |
{z
}
F1
onde
F1
e
F2
são fechados em
F2
P+ Y × I .
γ
w+
é contínua em
F1 ,
pois neste caso,
γ
w+
é a composição
1P+ Y ×f
a
F1 = P+ Y × [0, 1/2] −→ P+ Y × I −→ Y,
onde
f (s) = 2s,
e
a
é a aplicação avaliação.
Além disso, em
γ
F2 , w+
é a composição
H+
p×g
F2 = P+ Y × [1/2, 1] −→ Y+ × I −→ Y+ ,
onde
g(s) = 2s − 1.
Claramente
γ
w+
é contínua em
F2 .
E mais, para
s = 1/2,
γ(2s) = γ(1) = H+ (γ(1), 0) = H+ (p(γ), 2s − 1).
Logo, pelo Lema da colagem,
Voltando
ao
γ
w+
problema
g+ : Ω(Y, y0 ) × Y+ −→ P+ Y
(γ,x)
ξ+
de
explicitar
denida, para
onde
(s) =
f+ .
é contínua, o que conclui a prova da continuidade de



γ(2s),
a
equivalência
de
(γ, x) ∈ Ω(Y, y0 ),
por
homotopia,
seja
(γ,x)
g+ (γ, x) = ξ+
,
se 0 ≤ s ≤ 1/2


H+ (x, 2 − 2s), se 1/2 ≤ s ≤ 1
Armamos que
De fato,
g+
g+
é contínua.
é contínua, se, e somente se, a composição
g+
i
Ω(Y, y0 ) × Y+ −→ P+ Y ,→ Y I
é contínua. Haja visto que
I
é localmente compacto, o Teorema 2.1 se aplica, ou seja, a
continuidade da composição acima equivale a mostrar a continuidade de
e
h : Ω(Y, y0 ) × Y+ × I −→ Y,
denida por
(γ,x)
e
h(γ, x, s) = ξ+ (s).
109
Mostremos então a continuidade de
e
h.
Temos que
Ω(Y, y0 ) × Y+ × I = Ω(Y, y0 ) × Y+ × [0, 1/2] ∪ Ω(Y, y0 ) × Y+ × [1/2, 1],
|
{z
} |
{z
}
L1
onde
L1
e
L2
são fechados em
(γ,x)
L1 , ξ+
Em
L2
Ω(Y, y0 ) × Y+ × I .
é a composição de funções
1Ω(Y,y0 ) ×m
P
T
1
L1 −→ Ω(Y, y0 ) × [0, 1/2] × Y+ −→
Ω(Y, y0 ) × [0, 1/2]
onde
−→
T (γ, x, s) = (γ, s, x), P1 (γ, s, x) = (γ, s), m(s) = 2s,
funções na última composição são contínuas, segue que
Já em
(γ,x)
L2 , ξ+
e
(γ,x)
ξ+
a
a
Ω(Y, y0 ) × I −→ Y,
é a avaliação.
é contínua em
Como as
L1 .
é a composição
1Y+ ×n
P
H+
2
Ω(Y, y0 ) × Y+ × [1/2, 1] −→
Y+ × [1/2, 1] −→ Y+ × I −→ Y+ ,
sendo
em
P2 (γ, x, s) = (x, s), n(s) = 2 − 2s.
L1 ∩ L2 ,
φx ,
x ∈ Y+
com
é contínua em
f+ ◦g+ e g+ ◦f+ são homotópicas à 1Ω(Y,y0 )×Y+
Provemos inicialmente que
por
(γ,x)
ξ+
Agora, para
L2 .
Além do mais,
s = 1/2, γ(2s) = γ(1) = y0 = H+ (x, 1) = H+ (x, 2 − 2s).
isto é, quando
Temos que
Logo,
f+ ◦g+ ' 1Ω(Y,y0 )×Y+ .
e
1P+ Y , respectivamente.
Para tanto, denotaremos
H(x, s)
xado.
(γ, x) ∈ Ω(Y, y0 ) × Y+ ,
(f+ ◦ g+ )(γ, x) = f+ (g+ (γ, x))
(γ,x)
= f+ (ξ+
(γ,x)
= (ψ ξ+
)
, x)
= ((γ ∗ φx ) ∗ φx , x)
Mas sabemos que
é tal que
entre
(γ ∗ φx ) ∗ φx ' γ ∗ (φx ∗ φx ) ' γ ∗ cx ' γ ,
c+ (s) = x, ∀s ∈ I .
(γ ∗ φx ) ∗ φx
Seja
Claramente
e
Deste modo, existe homotopia
cx : I −→ Y+
G : Ω(Y, y0 ) × I −→ Ω(Y, y0 )
cx .
F : Ω(Y, y0 ) × Y+ × I −→ Ω(Y, y0 ) × Y+
F
onde
é uma homotopia entre
f+ ◦ g+
Vejamos agora a justicativa de
e
denida por
1Ω(Y,y0 )×Y+ .
g+ ◦ f+ ' 1P+ Y .
F (γ, x, t) = (G(x, t), x).
110
Para
γ ∈ P+ Y ,
temos
(g+ ◦ f+ )(γ) = g+ (f+ (γ))
γ
= g+ (ψ+
, p(γ))
γ
= g+ (ψ+
, γ(1))
(ψ γ ,γ(1))
= ξ+ +
= (γ ∗ φγ(1) ) ∗ φγ(1)
Como
entre
(γ ∗ φγ(1) ) ∗ φγ(1) ' γ ∗ (φγ(1) ∗ φγ(1) ) ' γ ∗ cγ(1) ' γ .
Seja
H
g+ ◦ f+
e
a homotopia entre
(γ ∗ φγ(1) ) ∗ φγ(1)
e
γ,
esta será a homotopia desejada
1P+ Y .
De maneira análoga ao que foi desenvolvido anteriormente,
é bração, e
Y−
em
y0
Y−
é contrátil, com retração por deformação
denida por
H− ([x, t], s) = [x, t(1 − s)].
p : P− Y −→ Y−
H− : Y− × I −→ Y−
de
Logo, pelo Teorema 4.7 temos que
P− Y ' Y− × Ω(Y, y0 ) ' Ω(Y, y0 ) × Y− .
Constrói-se equivalências de homotopia,
strução das equivalências de homotopia
pelo sinal
−
f+
e
g+ ,
f−
e
g− ,
de maneira semelhante a con-
neste caso, apenas trocando o sinal
+
nas expressões anteriores.
Quando restringimos
f−
e
g−
à
P + Y ∩ P− Y
e
Ω(Y, y0 ) × (Y+ ∩ Y− )
obtemos,
respectivamente,
ff
− : P+ Y ∩ P− Y −→ Ω(Y, y0 ) × (Y+ ∩ Y− ) e
gf
− : Ω(Y, y0 ) × (Y+ ∩ Y− ) −→ P+ Y ∩ P− Y
Identicando
Y+ ∩ Y−
com
X,
obtemos equivalências de homotopias
fc
− : P+ Y ∩ P− Y −→ Ω(Y, y0 ) × X e
gc
− : Ω(Y, y0 ) × X −→ P+ Y × P− Y
dadas por
γ(1)
fc
, γ(1)),
− (γ) = (γ ∗ τ
onde
τ γ(1) (s) = H− (γ(1), s)
e
x
gc
− (γ, x) = γ ∗ τ
com
τ x (s) = H− (x, 1 − s).
Pelo que vimos até agora,
P+ Y ' Ω(Y, y0 ).
P+ Y ' Ω(Y, y0 ) × Y+ ,
De modo análogo, vemos que
P− Y ' Ω(Y, y0 ).
e como
Y+
é contrátil,
111
Ainda,
P+ Y ∩ P− Y ' Ω(Y, y0 ) × X .
Portanto, tomando as devidas composições,
e utilizando o fato que equivalências de homotopia induzem isomorsmos em homologia,
obtemos o isomorsmo
e ∗ (Ω(Y, y0 ) × X) −→ H
e ∗ (Ω(Y, y0 )) ⊕ H
e ∗ (Ω(Y, y0 )).
θ:H
Analisemos agora as coordenadas de
A primeira coordenada de
θ, θ1 ,
θ.
é induzida em homologia pela composição
i1
g
b−
f+
p1
ΩY × X −→ P+ Y ∩ P− Y ,→ P+ Y −→ ΩY × Y+ −→ ΩY,
e a segunda coordenada de
θ, θ2 ,
é induzida em homologia pela composição
i2
g
b−
f−
p1
ΩY × X −→ P+ Y ∩ P− Y ,→ P− Y −→ ΩY × Y− −→ ΩY.
Através de uma reparametrização adequada, vemos que
p1 ◦ f+ ◦ i1 ◦ gb−
torna-se
igual a composição
×Ja
1
µ
ΩY × X ΩY
−→ ΩY × ΩY −→ ΩY,
onde
Ja : (X, x0 ) −→ (Ω(Y, y0 ), ly0 )
deste capítulo, e
p2 ◦ f− ◦ i2 ◦ gb−
P1 : ΩY × X −→ ΩY ,
é a aplicação de James denida na introdução
torna-se igual, a menos de uma reparametrização, a
denida por
P1 (γ, x) = γ ,
com
(γ, x) ∈ ΩY × X .
Deste modo,
θ1 = H∗ (µ ◦ (1ΩY × Ja)) = H∗ (µ) ◦ H∗ (1ΩY × Ja) e θ2 = H∗ (P1 ).
h
i
e ∗ (ΩY × X) ∼
e
e ∗ (ΩY ), via R-isomorsmo
Por HR 3, H
H
(ΩY
)
⊗
H
(X)
⊕H
=
∗
∗
h
i
e ∗ (ΩY × X) −→ H∗ (ΩY ) ⊗ H
e ∗ (X) ⊕ H
e ∗ (ΩY ), onde τ2 = θ2 .
τ = (τ1 , τ2 ) : H
Faremos uso agora do seguinte resultado de álgebra que arma que:
Sejam
então
T |Ker
T2
X, Y
e
Z R-módulos.
: Ker T2 −→ Z
Se
T = (T1 , T2 ) : X −→ Y × Z
é um
é um R-isomorsmo (para maiores detalhes veja [6]).
Como temos o resultado acima e
θ
é um
R-isomorsmo,
e ∗ (ΩY ) e
θ1 |Ker(θ2 ) : Ker(θ2 ) −→ H
e ∗ (X)
τ1 |Ker(τ2 ) : Ker(τ2 ) = Ker(θ2 ) −→ H∗ (ΩY ) ⊗ H
são
R-isomorsmos.
R-isomorsmo,
112
Deste modo temos o seguinte diagrama comutativo.
Ker(θ2 )
τ1
θ1
/H
e (ΩY )
6 ∗
n
n
n
nnn
nnθn ◦τ −1
n
n
1 1
n
e ∗ (X)
H∗ (ΩY ) ⊗ H
Portanto
L1 = θ1 ◦ τ1−1
é um
R-isomorsmo.
Agora, como
θ1 = H∗ (µ) ◦ H∗ (1ΩY × Ja),
o diagrama
H∗ (ΩY × X)
H∗ (1ΩY ×Ja)
/
O
H∗ (ΩY ) ⊗ H∗ (X)
é comutativo, onde
segue que o
P (µ)
c∗
/
O
H∗ (ΩY ) ⊗ H∗ (ΩY )
é o produto de Pontryagin, e
R-isomorsmo L1
H∗ (µ)
/ H∗ (ΩY )
6
m
m
P (µ) mmm
m
m
mmm
mmm
H∗ (ΩY × ΩY )
c∗ = 1H∗ (ΩY )⊗H∗ (J) .
Desta forma,
é dado pela composição
P (µ)
) ⊗H∗ (J)
e ∗ (X) 1H∗ (ΩY−→
e ∗ (ΩY ) −→
e ∗ (ΩY ),
H∗ (ΩY ) ⊗ H
H∗ (ΩY ) ⊗ H
H
e
onde
e
Pe(µ) = P (µ)|H∗ (ΩY )⊗He∗ (X) .
Para nalizarmos a prova de que
Teorema algébrico 1.3, com
e ∗ (X)
H∗ (ΩY ) ∼
= TH
simplesmente aplicamos o
e ∗ (X) e i = H∗ (J) via um R-isomorsmo
A = H∗ (ΩY ), V = H
j2 .
Visto que
ΩM (Y, y0 ) ' Ω(Y, y0 ), H∗ (ΩM (Y, y0 ); R) ∼
= H∗ (Ω(Y, y0 ); R),
e ∗ (X; R),
H∗ (Ω(Y, y0 ); R) ∼
= TH
4.5
segue que
e ∗ (X; R).
H∗ (ΩM (Y, y0 ); R) ∼
= TH
Prova do Teorema de James
Lembremos que o Teorema de James arma que, se
então
e como
b −→ ΩM (ΣX, x0 )
J : J(X)
X
é um complexo CW conexo,
é uma equivalência de homotopia.
Para provarmos o Teorema de James, precisaremos do seguinte Lema.
113
Lema 4.3 Sejam X , Y H-espaços 0-conexos, f : X −→ Y uma H-aplicação que é uma
equivalência em homologia, isto é, Hn (f ) : Hn (X; Z) −→ Hn (Y, Z) é isomorsmo para
todo n. Então f é uma equivalência de homotopia fraca.
Prova:
Visto que
X, Y
são H-espaços, pelo Teorema 2.10, existem complexos CW
e equivalências de homotopia fraca
2.14,
K
e
φ : K −→ X , ψ : L −→ Y .
K, L
Sendo assim, do Teorema
L admitem uma H-estrutura que tornam φ e ψ H-aplicações, e por CW 8, existe
uma única aplicação contínua (a menos de homotopia)
Agora, pelo Teorema de Aproximação Celular
aplicação celular
g : K −→ L,
e como
g
0
0
0
g : K −→ L tal que ψ ◦ g ' f ◦ φ.
CW 10, g0
é homotópica a uma
é única, a menos de homotopia, segue que
ψ ◦ g ' f ◦ φ.
Sabemos que equivalências de homotopia induzidas em homologia são iguais,
desta forma,
Hn (ψ) ◦ Hn (g) = Hn (ψ ◦ g) = Hn (f ◦ φ) = Hn (f ) ◦ Hn (φ).
Como
φ e ψ são equivalências de homotopia fraca e X
conexos por caminho, segue por
Teorema 2.15,
φ
e
ψ
hipótese de
Y
são 0-conexos, portanto
CW 7 que K e L também são 0-conexos, e assim, pelo
são equivalências de homotopia.
induzem isomorsmos em homologia, logo
Da relação
e
Hn (φ)
Hn (ψ)
e
Hn (ψ) ◦ Hn (g) = Hn (f ) ◦ Hn (φ),
Hn (f ) ser um isomorsmo,
segue que
Mas equivalências de homotopia
são isomorsmos para todo
n.
do que comentamos acima, e da
Hn (g) é um isomorsmo,
para qualquer
n.
Armamos que
g : K −→ L
é uma H-aplicação. Para tanto, devemos mostrar a
comutatividade em homotopia do seguinte diagrama,
K ×K
µK
K
onde
µK
e
µL
representam os produtos em
Temos que
isto, e o fato de
g×g
/
g
K
L×L
µL
/ L,
e
L,
respectivamente.
ψ × ψ ◦ g × g = ψ ◦ g × ψ ◦ g ' f ◦ φ × f ◦ φ = f × f ◦ φ × φ.
f, φ
e
ψ
Utilizando
serem H-aplicações, obtemos o seguinte diagrama comutativo, o
qual nos garante a comutatividade do diagrama anterior.
114
g×g
K × KL
LLL
LLL
φ×φ LLL&
f ×f
X ×X
µK
µX
/
/L×L
s
s
ss
s
ss
sy s ψ×ψ
Y ×Y
f
X
qq8
φ qqq
qqq
qqqq
/
g
K
µL
µY
Y eKKK
KK ψ
KK
KK
KK / L.
Consideremos o seguinte diagrama comutativo
φ
K
/
g
ψ
L
onde
φ
e
ψ
para todo
X
f
/ Y,
são equivalências de homotopia fraca, isto é,
n.
πn (φ),
e
πn (ψ)
são isomorsmos
Como o diagrama acima comuta,
πn (ψ) ◦ πn (g) = πn (ψ ◦ φ) = πn (f ◦ φ) = πn (f ) ◦ πn (φ),
e desta última igualdade segue que
g
é equivalência de homotopia se, e somente se,
f
é
equivalência de homotopia fraca.
Pelos argumentos acima feitos, podemos reescrever o Lema em questão no seguinte
formato:
Sejam
ainda
X
f : X −→ Y
e
Y,
complexos CW, com estrutura de H-espaço, e 0-conexos, seja
uma H-aplicação que é celular, e equivalência em homologia. Então
f
é equivalência de homotopia fraca.
Por hipótese,
X
e
Y
são complexos CW 0-conexos, donde vem que
conexos por caminhos, consequêntemente
π0 (X) = {0} = π0 (Y ).
X
Sendo assim,
e
Y
são
π0 (f )
é
um isomorsmo.
Mostremos agora que, para
Como estamos supondo
por
f , If
f
n ≥ 1, πn (f )
é um isomorsmo.
uma aplicação celular, por
é um complexo CW, tendo
X
e
Y
CW 9, o cilindro induzido
como subcomplexos.
Consequentemente,
115
(If , X)
Y
é um par CW. Além do mais, sabemos que,
Donde vem que
é retrato por deformação de
Y ' If .
Agora, como
Y
é um H-espaço, segue que
lizando o Teorema 2.13, vemos que
(If , X)
If
também será um H-espaço.
Visto que
X
X , Y , If
e
(If , X)
são simples.
é 0-conexo, pelo Teorema de Hurewicz, temos que a aplicação
ρ : π1∗ (X) −→ H1 (X)
é um isomorsmo.
π1 (X),
logo
Agora, como
π1∗ (X) ∼
= π1 (X),
ρX : π1 (X) −→ H1 (X) é um isomorsmo.
de Hurewicz
Uti-
é um H-par.
Portanto, pelos Teoremas 2.12 e 2.11, temos que
ialmente sobre
If .
ρY : π1 (Y ) −→ H1 (Y )
X
é simples,
π1 (X)
atua triv-
donde vem que a aplicação de Hurewicz
De maneira semelhante, vemos que a aplicação
é um isomorsmo.
Ainda temos o seguinte diagrama comutativo ( ver [5]):
π1 (X)
ρX
H1 (X)
Como
H1 (f )
π1 (f )
H1 (f )
/
/ π1 (Y )
ρY
H1 (Y ).
é isomorsmo por hipótese, bem como
smo. Disto segue que
(If , X) é 0-conexo.
podemos concluir que
π1† (If , X) ∼
= H1 (If , X),
†
π1 (If , X) ∼
= π1 (If , X).
Portanto,
e
ρY ,
segue que
π1 (f )
é isomor-
Logo, pelo Teorema Relativo de Hurewicz 1.15,
e como o par
π1 (If , X) ∼
= H1 (If , X),
dado pelo homomorsmo relativo de Hurewicz
Para o par
ρX
(If , X)
é simples, segue que
sendo o isomorsmo em questão
ρ(If ,X) .
(If , X) temos as sequências exatas de homotopia e de homologia (veja
1.5 e 1.4 ),
. . . −→ πn (X) −→ πn (If ) −→ πn (If , X) −→ πn−1 (X) −→ . . . −→ π0 (X) −→ π0 (If )
. . . −→ Hn (X) −→ Hn (If ) −→ Hn (If , X) −→ Hn−1 (X) −→ . . . −→ H0 (X) −→ H0 (If ).
Devido à
aparece no par
If ' Y , obtemos novas sequências exatas, substituindo, If
(If , X))
por
Y.
(quando não
Ainda, tendo como referência [5], vemos que o diagrama
116
π1 (f )
(1) . . . π2 (If , X) −−−→ π1 (X) −−−→ π1 (Y ) −−−→ π1 (If , X) −−−→ . . .






ρ(If ,X) 
ρ(If ,X) 
ρX y
ρY y
y
y
H1 (f )
(2) . . . H2 (If , X) −−−→ H1 (X) −−−→ H1 (Y ) −−−→ H1 (If , X) −−−→ . . .
comuta. E como, a sequência (2) é exata, e
Hn (If , X) ∼
= {0},
e daí
π1 (If , X) ∼
= {0},
Hn (f ) é isomorsmo,
logo
(If , X)
Teorema Relativo de Hurewicz 1.15, e os fatos de
segue que
π2 (If , X) ∼
= {0}.
para todo
n,
vemos que
é 1-conexo. Novamente utilizando o
H2 (If , X) ∼
= {0} e (If , X) serem simples,
Então através de um processo indutivo, e da utilização dos
Teoremas de Hurewicz garantimos que
πq (If , X) ∼
= {0},
como a sequência acima é exata, segue que
πn (f )
para todo inteiro positivo
é um isomorsmo para todo
n,
q,
e
e isto
completa a prova do Lema.
Finalmente, estamos aptos a provar o Teorema de James.
Teorema 4.11 Seja X um complexo CW conexo, então a aplicação
b −→ ΩM (ΣX, x0 ),
J : J(X)
denida na introdução deste capítulo, é uma equivalência de homotopia.
Prova:
Seja
R
um corpo. Devido à
J
ser um homomorsmo de monóides topológicos,
temos que o diagrama a seguir comuta.
bn
X
πn
/
b
J n (X)
/
i
Jn
J
M n
Ω (ΣX)
onde
b
J(X)
/
Γ
ΩM (ΣX),
Γ(γ1 , . . . , γ2 ) = γ1 • . . . • γn , J n = J
| ×J ×
{z. . . × J}, i
é a inclusão natural,
n vezes
proclusão denida no capítulo anterior, e
•
é a multiplicação em
πn
é a
ΩM (ΣX).
Induzindo as aplicações do diagrama acima, em homologia, obtemos um novo
diagrama, também comutativo, a saber
117
e ∗ (X)
b ⊗n
H
j
b ⊗n
H∗ (X)
×
H∗ (πn )
b n)
H∗ (X
/H
∗ (J
n
b
(X))
H∗ (i)
/
b
H∗ (J(X))
H∗ (J n )
M
n
H∗ ( Ω (ΣX) )
onde
j
é a inclusão natural de
H∗ (Γ)
e ∗ (X)
b ⊗n
H
em
/
H∗ (J)
H∗ (ΩM ΣX),
b ⊗n .
H∗ (X)
Desta forma temos que,
e ∗ (X;
b R)
TH
PPP
PPPj2
PPP
PPP
(
H∗ (J)
/ H (ΩM ΣX; R)
o
j1 oooo
ooo
w oo
o
b R)
H∗ (J(X);
∗
é um diagrama comutativo.
Agora, pelo que vimos nas seções precedentes, se
então
b ∼
b ∼
H∗ (J(X))
= H∗ (J(X)), H∗ (ΩM ΣX)
= H∗ (ΩΣX)
lizando isto, e os cálculos das seções
4.2
álgebras graduadas. Consequentemente,
Visto que
R
é corpo, quando
sendo um isomorsmo.
graduadas para
e
4.4,
H∗ (J)
R=Q
é um complexo CW conexo,
e ∗ (X)
b ∼
e ∗ (X).
TH
= TH
e
vemos que
j1
e
j2
são isomorsmos de
ou
R = Zp ,
H∗ (J)
para
p
primo,
b
H∗ (J)
morsmo, quando
R = Z.
consequentemente,
J
é um isomorsmo de álgebras
X
é conexo, segue que
J(X)
e
ΩM ΣX
b e ΩM ΣX
J(X)
são 0-conexos. Ainda
são H-espaços), e
b
Hn (J)
é um iso-
Sendo assim, as hipóteses do Lema anterior são satisfeitas,
é uma equivalência de homotopia fraca.
Sabemos que, se
X
é complexo CW, então
J(X)
também é complexo CW. Ora,
b
X , por hipótese, é complexo CW, e assim, sem diculdades constata-se que X
b
J(X)
continua
R = Z.
é uma H-aplicação (obviamente
CW, logo
Uti-
é um isomorsmo de álgebras graduadas.
Logo, pelo Corolário 1.1,
Como, por hipótese,
J
X
também é complexo CW. Já
b,
ΩM ΣX
é complexo
pelo Teorema de Milnor 2.5, tem o
118
mesmo tipo de homotopia de um complexo CW, e desta forma podemos aplicar o Teorema
de Whitehead 1.11 para
Jb,
ou seja, concluímos que
Jb é
uma equivalência de homotopia.
Capítulo 5
Apêndice
Neste Apêndice, mostraremos que
homotopia, quando
b 0)
(J(X),
e
X
(J(X), x0 )
De fato, como
b 0)
(X,
e
(X, x0 )
possuem o mesmo tipo de
é um complexo CW conexo. Supondo isso já feito, armamos que
têm o mesmo tipo de homotopia.
b 0) ' (X, x0 ),
(X,
existem aplicações contínuas
b 0) −→ (X, x0 ),
f : (X,
b 0),
g : (X, x0 ) −→ (X,
tais que
f ◦ g ' 1X
rel
x0
e
g ◦ f ' 1Xb
rel
0.
Consideremos a composição
i
g
b 0) ,→ (J(X),
b 0).
(X, x0 ) −→ (X,
Visto que
J(X) é monóide topológico livre sobre X
pelo Teorema 3.6, existe um único homomorsmo contínuo
tal que
g ◦ j = i ◦ g,
onde
j : X −→ J(X)
e
b é monóide topológico,
J(X)
b b
g : (J(X), x0 ) −→ (J(X),
0)
é a inclusão natural.
De modo semelhante obtemos homomorsmo contínuo
b 0) −→ (J(X), x0 ).
f : (J(X),
Pela demonstração do Teorema 3.6, sabemos que
e
f (y1 · y2 · . . . · yn ) = f (y1 ) · f (y2 ) · . . . f (yn ).
119
g(x1 ·x2 ·. . .·xk ) = g(x1 )·g(x2 )·. . .·g(xk )
120
Mostremos que
Como
f ◦ g ' 1J(X)
f ◦ g ' 1X
rel
x0 ,
rel
x0
g ◦ f ' 1J(X)
b
e
existe homotopia
rel
0.
F : X × I −→ X
tal que
F (x, 0) = (f ◦ g)(x), F (x, 1) = x e F (x0 , t) = x0 ,
para
x ∈ X,
e
t ∈ I.
Tomemos
F : J(X) × I −→ J(X)
denida por
F (x1 · x2 · . . . · xn , t) = F (x1 ) · F (x2 ) · . . . · F (xn ).
Sem muitas diculdades, verica-se que
F
é uma homotopia entre
f ◦g
e
1J(X)
tal que
F (x0 , t) = x0 .
De modo análogo obtemos homotopia
tal que
G(0, t) = 0.
Feito isto, caso
b × I −→ J(X)
b
G : J(X)
b 0) ' (X, x0 ),
(X,
entre
g◦f
e
1J(X)
b
teremos
b ∼
H∗ (J(X))
= H∗ (J(X)).
Mostremos então que
sendo
x0
b 0) ' (X, x0 ),
(X,
quando
X
for um complexo CW conexo,
uma 0-célula. Para tanto, faremos uso do seguinte Lema.
Lema 5.1 Sejam x0 = (0, . . . , 0) ∈ Dn , e ∼ a relação de equivalência sobre Dn [0, 1]
F
que identica 1 e x0 , ou seja, 1 ∼ x0 . Então (Dn , x0 ) e (Dn [0, 1]/ ∼, 0), com 0 ∈ [0, 1],
F
têm o mesmo tipo de homotopia (preservando pontos bases).
Prova:
Consideremos
g : Dn
[0, 1]/ ∼−→ Dn ,
F
F
f : Dn −→ Dn [0, 1]/ ∼, denida por



2|x|,
se 0 ≤ |x| ≤ 1/2
f (x) =


(2|x| − 1) x/|x|, se 1/2 ≤ |x| ≤ 1, e
dada por
g(x) =



x,
se x ∈ Dn


x0 , se x ∈ [0, 1]
121
Temos que
f ◦ g : Dn
F
F
[0, 1]/ ∼−→ Dn [0, 1]/ ∼
é dada por



2|x|,
se 0 ≤ |x| ≤ 1/2




(f ◦ g)(x) = 0,
se x ∈ [0, 1]





(2|x| − 1) x/|x|, se 1/2 ≤ |x| ≤ 1
e
g ◦ f : Dn −→ Dn
é tal que
(g ◦ f )(x) =




x0 ,
se 0 ≤ |x| ≤ 1/2


(2|x| − 1) x/|x|, se 1/2 ≤ |x| ≤ 1
Armamos que
f ◦ g ' 1Dn F[0,1]/∼
{0}.
F
F
F : Dn [0, 1]/ ∼ ×I −→ Dn [0, 1]/ ∼,
De fato, consideremos
F (x, t) =
rel




2|x| + (1 − t)




se 0 ≤ |x| ≤ t/2
x(1 − t)
se x ∈ [0, 1]




2|x| − t x


, se t/2 ≤ |x| ≤ 1

2−t
|x|
Sem muitas diculdades, verica-se a boa denição de
tinuidade.
Além do mais,
denida por
F (x, 0) = x, F (x, 1) = (f ◦ g)(x),
e
F,
bem como a con-
F (0, t) = 0.
E assim
segue a veracidade da armação acima.
Para concluirmos a prova do lema em questão, denimos
H : Dn × I −→ Dn
por



x 0 ,
se 0 ≤ |x| ≤ 1/2
H(x, t) = 2|x| − t x


, se t/2 ≤ |x| ≤ 1

2−t
|x|
Sem muitos problemas verica-se a boa denição e continuidade de
H(x, 0) = x, H(x, 1) = (g ◦ f )(x)
o ponto base
o lema.
x0 ,
entre
g◦f
e
e
1Dn .
H(x0 , t) = x0 ,
logo
H
H.
Ainda temos que
é uma homotopia, que preserva
Deste modo, dos argumentos acima realizados segue
122
Observamos que, se
X
Consideremos então
b 0)
f : (X, x0 ) −→ (X,
f (x) =




ge : X
F
I −→ X
é ponto isolado de
X.
denida por
x, se x 6= x0


0,
e
x0
for um conjunto discreto, então
se x = x0
dada por
ge(x) =




se x ∈ X
x,
.


x0 , se x ∈ I
ge
∼
é contínua e preserva a relação de equivalência
iste aplicação contínua
b 0) −→ (X, x0 )
g : (X,
que identica
1
e
g(x) = ge(x)
denida por
x0 ,
logo ex-
(notemos que
g(0) = ge(0) = x0 ).
Sem problemas vemos que
X
for discreto,
Se
X
g ◦ f ' 1X
rel
x0
e
f ◦ g ' 1Xb
rel
0.
Portanto, quando
b 0).
(X, x0 ) ' (X,
não for um conjunto discreto, pelo fato que
ao interior de alguma célula n-dimensional
X
é complexo CW,
x0
pertence
en .
Pela denição de complexo CW temos o seguiente homeomorsmo
h = φ|B n : (B n , 0) −→ (en , x0 ),
0 = (0, 0, . . . 0), e B n = Dn − S n−1 . Agora, pelo Lema anterior, (Dn , 0) '
| {z }
n vezes
F
(Dn I/ ∼, 0), e mais, as equivalências de homotopia restritas à S n−1 = ∂Dn funcionam,
F
n
n
grosseiramente falando, como a identidade, isto é, f : (D , 0) −→ (D
I/ ∼, 0) e
F
g : (Dn I/ ∼, 0) −→ (Dn , 0) são tais que, para x ∈ S n−1 , f (x) = x e g(x) = x. Logo
F
(B n I/ ∼, 0) e (B n , x0 ) têm o mesmo tipo de homotopia. As equivalências de homotopia
onde
em questão serão denotadas por
a = f |B n
b = g|B n F I/∼ .
e
Consideremos o seguinte diagrama
(B n
F
a
I/ ∼, 0)
l
O
b
(B n , 0)
/
(en
F
I/ ∼, 0) e
b
h

/
O
e
a
/ (en , x0 )
b 0)
(X,
O
β

/
α
(X, x0 ),
123
onde
l
é homeomorsmo,
Como
que
e
a e eb são
h
l
e
e
a = l ◦ a ◦ h−1 ,
e
eb = h ◦ b ◦ l−1 .
são homeomorsmos, e
a
e
b
são equivalências de homotopia, seque
equivalências de homotopia.
Finalmente, provemos que
b 0) ' (X, x0 ).
(X,
Para tanto, sejam
b 0) −→ (X, x0 ), e
α : (X,
b 0)
β : (X, x0 ) −→ (X,
denidas por
α(x) =


F

e
a(x), se x ∈ en I


x,
β(x) =
se x ∈
/ en



eb,
F
I
se x ∈ en


x, se x ∈
/ en
Claramente
Tomando
α
e
β
estão bem denidas e são contínuas.
b × I −→ X
b
F :X
F (x, t) =
dada por


F

Fe(x, t), se x ∈ en I
se x ∈
/ en


x,
onde
Fe
é a homotopia entre
eb ◦ fe e 1en F I/∼ ,
que satisfaz
F
I,
Fe(0, t) = 0.
Temos que
F (x, 0) =


F

Fe(x, 0), se x ∈ en I


x,
=
se x ∈
/ en
F
I


F

(eb ◦ e
a)(x), se x ∈ en I


x,
= (β ◦ α)(x)
se x ∈
/ en t I
124
F (x, 1) =



Fe(x, 1), se x ∈ en t I
se x ∈
/ en t I


x,
=




x, se x ∈ en t I


x, se x ∈
/ en t I
= 1Xb (x).
Além do mais,
F (0, t) = Fe(0, t) = 0,
Analogamente, vemos que
b 0).
(X, x0 ) ' (X,
para
t ∈ I.
α ◦ β ' 1X
Logo
rel
β ◦ α ' 1Xb (rel 0).
x0 ,
e isto conclui a prova de que
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