Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Educação ___________________________________________________________________________ Transformações geométricas 1. Translações Sendo dado um vector u , a translação associada a u é a aplicação que faz corresponder ao ponto M o ponto M′ tal que MM´= u . Notação: Tu . M´ é o translato de M. - A inversa da translação associada ao vector u é a translação associada ao vector - u . - A composta da translação associada ao vector u e da translação associada ao vector v é a translação associada ao vector u + v . - Se A′ e B′ são as imagens respectivas de A e B por Tu , tem-se que A´B´ = AB . - A imagem de uma recta por uma translação é uma recta paralela à primeira. - A imagem de uma circunferência por uma translação é uma circunferência com o mesmo raio, e cujo centro é o translato do centro da primeira circunferência. 2. Rotações ___________________________________________ Matemática Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio) 1/4 Sendo dados um ponto C e um real θ, a rotação de centro C e de ângulo θ faz corresponder a M o ponto M´ definido por: CM´ = CM e, se M ≠ C, CM ^ CM´ = θ . ( ) Notação: R C,θ . M´ é o rotacionado de M. Exemplos: ¾ R C,0 é a identidade. ¾ R C,π é a simetria de centro C. ¾ R ¾ R C, π é o quarto de volta directo. 2 C,- π é o quarto de volta indirecto. 2 - A inversa da rotação de centro C e de ângulo θ é a rotação de centro C e de ângulo -θ. - A composta de duas rotações de centro C e de ângulos α e β é a rotação de centro C e de ângulo α + β. - C é o único ponto invariante pela R C,θ (se θ ≠ 0). ( ) - Tem-se que A´B´ = AB e, se A ≠ B, AB ^ A´B´ = θ . - A imagem de uma circunferência é uma circunferência com o mesmo raio, e cujo centro é o rotacionado do centro da primeira circunferência. 3. Simetrias Simetria axial de eixo r é uma aplicação que faz corresponder: - a cada ponto da recta r esse mesmo ponto; - a cada ponto P não pertencente à recta r, um ponto P', de tal modo que r seja perpendicular ao meio de [PP']. Notação: S r . M' é o simétrico de M, na S r . ___________________________________________ Matemática Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio) 2/4 - O conjunto dos pontos invariantes por S r é r. - A imagem de uma circunferência é uma circunferência com o mesmo raio, e cujo centro é o simétrico do centro da primeira circunferência. - A composta de duas simetrias de eixos paralelos é uma translação. - Toda a translação é decomponível em duas simetrias de planos paralelos. - Existe uma infinidade de decomposições possíveis para uma translação: a escolha do primeiro eixo é arbitrária, excepto no que respeita ao facto de ele ter de ser ortogonal (perpendicular) ao vector da translação. - A composta de duas simetrias de eixos concorrentes em C é uma rotação. - Toda a rotação é decomponível em duas simetrias de eixos concorrentes. Eixo de Simetria Dizemos que uma recta r é eixo de simetria de uma figura, quando a imagem dessa figura através de S r é ela própria. Exemplo: ___________________________________________ Matemática Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio) 3/4 - Através da simetria de eixo r, todos os pontos da figura [ABCDEF] são transformados em pontos da própria figura. - A imagem da figura é pois ela própria. - [ABCDEF] é simétrica em relação a r, ou seja, r é eixo de simetria da figura. - A imagem da figura, através da recta s, é também a própria figura. - [ABCDEF] é simétrica em relação a s, ou seja, s é eixo de simetria da figura. Propriedades das simetrias axiais Consideremos a figura: - Os triângulos são simétricos em relação à recta r, pelo que são geometricamente iguais. Assim, [AC] é transformado em [A'C'], ou seja, [A′C ′] e [AC ] ≅ [A′C ′] S r ([AC ]) = [A′C ′] ou [AC ] ⎯⎯→ Sr - [BC] é transformado em [B'C'], ou seja, [B′C ′] e [BC ] ≅ [B′C ′] S r ([BC ]) = [B′C ′] ou [BC ] ⎯⎯→ Sr - [AB] é transformado em [A'B'], ou seja, [A′B′] e [AB] ≅ [A′B′] S r ([AB]) = [A′B′] ou [ AB] ⎯⎯→ Sr Concluímos que numa simetria axial, um segmento de recta é transformado num segmento de recta geometricamente igual. Considerando, ainda, a mesma figura, também podemos comprovar que: O ângulo BAC ⎯⎯→ no ângulo B′A ′C′ Sr ___________________________________________ Matemática Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio) 4/4 O ângulo ACB ⎯⎯→ no ângulo A ′C′B′ Sr O ângulo ABC ⎯⎯→ no ângulo A ′B′C′ Sr Concluímos que numa simetria axial, um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual. ___________________________________________ Matemática Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio) 5/4