1) (Terceira fase – Nível 1 – 6o e 7o anos)

2010
1) (Terceira fase – Nível 1 – 6o e 7o anos)
Dizemos que um número inteiro positivo n é abestado se ao lermos da direita para esquerda obtivermos um
inteiro maior que n. Por exemplo, 2009 é abestado porque 9002 é maior que 2009, por outro lado, 2010 não é
abestado pois 0102, que é o número 102, é menor que 2010 e 3443 não é abestado pois quando lido da direita
para esquerda é exatamente igual ao original. Quantos inteiros positivos de quatro algarismos são abestados?
Resolução :
Há dois casos a considerar:
1o) O algarismo do extremo direito (unidades) é maior do que o do estremo esquerdo (unidades de
milhar:
Unidade de
Possibilidades
milhar
das centenas
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
NÚMERO
TOTAL
Possibilidades
Possibilidades
das dezenas
das unidades
10
8
10
7
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
DE
NUMERAIS ►►►►►►►
Total de
números
800
700
600
500
400
300
200
100
3600
2o) O algarismo do extremo direito (unidades) é igual ao do estremo esquerdo (unidades de
milhar: tomemos como exemplo o algarimo1
Unidade de
Possibilidades
milhar
das centenas
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
NÚMERO
TOTAL
Possibilidades
Unidades
das dezenas
simples
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
DE
NUMERAIS ►►►►►►►
Total de
números
9
8
7
6
5
4
3
2
1
45
Como há 9 opções para as unidades de milhar, tem-se, nesta hipótese, 9 X 45 números, ou seja, 405
números. Logo, o total pedido é 3600 + 405 = 4.005 números de quatro algarismos.
2) (Terceira fase – Nível 2 – 8o e 9o anos)
Seja ABCD um paralelogramo e Γ a circunferência circunscrita ao triângulo ABD. Se E e F são as interseções
de Γ com as retas BC e CD respectivamente, prove que o circuncentro do triângulo CEF está sobre Γ.
Resolução ;
1º) Pela figura acima, temos que o circuncentro do triângulo CEF está sobre a mediatriz do lado EF que é a
reta NP.
2o) EF é corda das duas circunferências e está dividida ao meio pelo ponto M, logo NP é diâmetro da
circunferência menor e AQ é diâmetro da circunferência maior.
3o) Pelo item anterior, as cordas EQ e FQ são congruentes e são raios da circunferência menor, assim como
NQ também é, Q é equidistante de C, F e E e, é o circuncentro do triângulo CEF.