noções de cálculo integral

PROGRAMA DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA
EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR
DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR
CONTEÚDO: CÁLCULO APLICADO A CINEMÁTICA
TÓPICOS A SEREM ABORDADOS
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O que é cinemática?
Posição e Deslocamento
Velocidade Média vs Velocidade Escalar Média.
Velocidade Instantânea.
Noções de Cálculo Diferencial.
Inclinação e coeficiente angular de uma reta.
Noção conceitual de derivada.
Conhecer e aplicar algumas propriedades da derivada na
Cinemática.
Aplicação de Derivada nas Engenharias.
Noções de Cálculo Integral e a sua Aplicação na Cinemática.
O que é Cinemática?
Estudo do movimento dos corpos sem se
preocupar com as causas (Forças).
CONCEITOS IMPORTANTES
O QUE É REFERENCIAL?
O QUE É POSIÇÃO?
DISTÂNCIA PERCORRIDA VS
DESLOCAMENTO
Deslocamento
∆𝒙=𝒙 - 𝒙𝒐
Distância Percorrida: Caminho real percorrido
VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA
VS
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

Qual a diferença entre essas velocidades?
VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA


Onde: 𝒙 é a posição final no instante 𝒕 final e 𝒙𝒐
é a posição inicial no instante 𝒕𝒐 inicial.
No SI velocidade é dada em m/s
VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA
IMPORTANTE!
O vetor velocidade média é um vetor que aponta
na mesma direção e no mesmo sentido que o
deslocamento, pois a constante ∆𝑡 é sempre
positiva.
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
𝒗𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 =
𝑬𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑮𝒂𝒔𝒕𝒐
=
𝑆
∆𝑡
Obs.: Unidade no SI: metros por segundo (m/s).
NOÇÃO DE VELOCIDADE
INSTANTÂNEA
Exemplo
Em uma competição de Moto Cross, um engenheiro, por
meio de equipamentos de medição, conseguiu descrever a
função posição de uma das motos como apresentado a
seguir:
𝒙(𝒕) = 𝟓𝒕𝟐
Calcule a velocidade média nos instantes: t = 1s e t = 2s, t =
1,5s e t = 2s, t = 1,9 e t = 2s. Como poderíamos estimar a
velocidade em t = 2s?

NOÇÕES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL
O coeficiente angular de uma reta secante é
dada por:
y f ( x  h)  f ( x) f ( x  h)  f ( x)
m


x
( x  h)  ( x )
h

Através da fórmula acima, podemos afirmar
que velocidade média é a inclinação de uma
reta secante como podemos ver na figura abaixo:
NOÇÕES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL
Figura – gráfico de posição em função do tempo.
Substituindo temos:
𝒗𝒎𝒙
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ∆𝒙
=
=
𝒕𝟐 − 𝒕𝟏
∆𝒕
DEFINIÇÃO DE DERIVADA
 f ( x  h)  f ( x ) 
f ' ( x)  lim 

h 0
h


NOÇÕES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL

Velocidade instantânea.
𝐯𝒊𝒏𝒔𝒕 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
=
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
 VELOCIDADES INSTANTÂNEA X VELOCIDADE
MÉDIA – ANÁLISE GRÁFICA
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
 Aceleração Vetorial Média X Aceleração Escalar Média
• Aceleração média (am ): grandeza vetorial
• Aceleração escalar média: é a intensidade ou magnitude
dessa grandeza vetorial.
Define-se aceleração média como:
𝐯𝟐 − 𝐯𝟏
∆𝐯
𝐚𝐦 =
=
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
∆𝐭
Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo
ao quadrado (m/s²)
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Aceleração Instantânea (Aceleração)
Definição:
𝐚𝒊𝒏𝒔𝒕 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝐭→𝟎
=
Como podemos ver que a velocidade instantânea é dada por:
Temos que a aceleração também pode ser escrita como:
𝒅²
=
𝒅𝒕²
Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo ao
quadrado (m/s²)
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
 PROPRIEDADES DA DERIVADA
 DERIVADA DE UMA CONSTANTE k
𝒌′ = 𝟎
Figura - Reta horizontal de uma função constante
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
 ANÁLISE DA DERIVADA
f’(xo)>0: A função f é crescente em x=xo;
f’(xo)<0: A função f é decrescente em x=xo;
f’(xo)=0: x=xo é um ponto crítico de f(ponto de
máximo, mínimo ou de inflexão).

QUESTÃO REVISÃO SOBRE
DERIVADA
Uma partícula move-se
ao longo do eixo x de acordo com
a expressão x =at2-bt3. Sendo x dado em metros e t em
segundos, (a) Que dimensões e unidades a e b devem
ter? Suponha que seus valores numéricos sejam
respectivamente 3,0 e 1,0 (válidos também para o
restante da questão). (b) Para que instante a partícula
atinge a posição máxima? (c) Calcule o deslocamento
atingido pela partícula nos primeiros 4 segundos. (e)
Calcule a velocidade média entre os instantes t=0s e
t=4s. (f) Qual a velocidade da partícula em t=4s? (g) Em
que instante a partícula não está sob a ação de força
externa?
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
 A Integral é um recurso matemático inverso ao da derivada.
𝒅𝒚
Ao invés de achar derivada
de uma função f(x), calcula𝒅𝒙
𝒅𝒚
.
𝒅𝒙
se a função f(x) a partir da derivada da função
 A integral também é definida como a área sobre a curva de
uma função.
Como determinar a Área (A) da figura acima?
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

Aproximação cada vez melhor conforme as bases dos
retângulos vão se tornando mais “finas”:
A = integral de f = soma das áreas dos retângulos
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
 NOTAÇÃO
A integral de uma função f(x) é denotada por
𝒇 𝒙 𝒅𝒙. Tal qual fizemos em relação à derivada,
vamos colocar algumas propriedades da integral.
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
 INTEGRAL - PROPRIEDADES

Integral de uma constante
 kdx  kx  c

Integral de uma função potência
n 1
x
 x dx  n  1  c
n
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
 INTEGRAL - PROPRIEDADES

Soma ou subtração de integrais
f ( x)  u ( x)  v( x)
 f ( x)dx   u ( x)dx   v( x)dx

Constante multiplicando uma função
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
 APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA

A integral pode ser considerada como o
processo inverso da derivada. Assim:
vinst  s ' (t )
s   vinst dt
ainst  v ' (t )
vinst   ainst dt
ESQUEMA DE DERIVADA E INTEGRAL
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
 APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA

A área de um gráfico v x t é a variação da posição
(∆S):
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
 APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA

A área de um gráfico a x t é a variação da
velocidade escalar instantânea (∆v):
QUESTÃO SOBRE INTEGRAL
O gráfico da velocidade em função do tempo para uma
partícula que parte da origem e se move ao longo do eixo 𝑂𝑥 e
está representado na figura abaixo.
a) Trace os gráficos da aceleração a(t) e da posição x(t) para
0 ≤ t ≤ 16 s.
b) Quantos metros a partícula terá percorrido ao todo (para
frente e para trás) no fim de 12 s?
c) Qual o valor de x nesse instante?