Emerson Marcos Furtado

Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teorema – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
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Trigonometria em
triângulos retângulos
Teorema de Pitágoras
Antes de trabalharmos com o Teorema de Pitágoras, precisamos estudar
os triângulos retângulos.
Triângulo retângulo
Os triângulos são figuras geométricas fundamentais, pois são os polígonos que possuem a menor quantidade possível de lados. Consequentemente, podemos pensar que são os triângulos que constituem os demais polígonos. Assim, estudar triângulos nos fornece uma considerável vantagem em
Geometria, já que o triângulo é elemento formador desses polígonos.
Iniciaremos nosso estudo com os triângulos retângulos.
Definição: triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo
reto, ou seja, um ângulo de 90°.
 , B e C
 representam as
A seguir temos um triângulo retângulo onde A
medidas dos três ângulos internos do triângulo, sendo o ângulo reto localizado no vértice A.
A
b
c
B
a
C
O lado BC , oposto ao ângulo reto, é chamado de hipotenusa e os lados
AB e AC são chamados de catetos do triângulo retângulo. Uma relação matemática importante afirma que:
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295
Trigonometria em triângulos retângulos
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a
180°.
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma das medi é sempre 90°:
das dos outros dois ângulos agudos de vértices B e C
 = 90°
B + C
Quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 90°, dizemos que
esses ângulos são complementares.
Um dos teoremas mais importantes da Geometria é o Teorema de Pitágoras. De significado simples, esse teorema estabelece uma relação sempre
válida entre as medidas dos catetos e da hipotenusa de um mesmo triângulo
retângulo. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
a
b
c
Na figura, se a representa a medida da hipotenusa e b e c as medidas dos
catetos, então:
a2 = b2 + c2
Vamos mostrar algumas aplicações geométricas do triângulo retângulo,
iniciando com o cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero.
Dado um triângulo equilátero ABC, ou seja, um triângulo cujas medidas
dos lados são todas iguais, podemos traçar a altura de medida h relativa ao
lado AB obtendo, assim, o triângulo HBC:
C
l
h
l
A
296
B
lacervoH do IESDE
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2
2
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Trigonometria em triângulos retângulos
Observe que o ponto H é ponto médio do lado de medida AB .
Assim, sendo l a medida de cada lado, aplicando o teorema de Pitágoras
no triângulo HBC, temos:
2
æl ö
l2 = h2 + ç ÷
è2 ø
h2 = l2 -
l2
4
h2 =
3l2
4
h=
3l2
4
h=
l 3
2
Logo, a altura h de um triângulo equilátero, em função do lado l, é dada
por h = l 3 .
2
Vamos mostrar agora uma aplicação do Teorema de Pitágoras em um
quadrado que, como sabemos, é um quadrilátero que possui quatro lados
de mesma medida e quatro ângulos internos retos. No caso de um quadrado
ABCD, podemos traçar a diagonal de medida AC e representá-la por d:
C
D
d
A
l
l
B
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297
Trigonometria em triângulos retângulos
Sendo l a medida do lado, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, temos:
d2 = l2 + l2
d2 = 2l2
d = 2l 2
d=l 2
A conclusão é a de que a medida da diagonal d de um quadrado de lado
l, é dada por d = l 2 .
Razões trigonométricas
num triângulo retângulo
Estudaremos agora algumas relações matemáticas extremamente úteis,
chamadas de relações trigonométricas e que estão relacionadas com as medidas dos ângulos e dos lados de um triângulo retângulo.
Dado um triângulo retângulo qualquer, definem-se três razões trigonométricas para os dois ângulos agudos (menores que 90°) α e β do triângulo.
β
b
a
α
c
Razão Seno: o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e da
hipotenusa.
β
5
13
α
298
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Trigonometria em triângulos retângulos
hipotenusa
sen α=
cateto oposto a α
hipotenusa
cateto oposto a α
α
Exemplo:
sen a =
5
13
sen b =
12
13
Razão cosseno: o cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e
da hipotenusa.
hipotenusa
cos α=
cateto adjacente a α
hipotenusa
α
cateto adjacente a α
Exemplo:
β
5
13
α
12
cos a =
12
13
cos b =
5
13
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299
Trigonometria em triângulos retângulos
Razão tangente: a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto e do cateto
adjacente ao ângulo.
hipotenusa
tg α=
cateto oposto a α
cateto adjacente a α
cateto oposto a α
α
cateto adjacente a α
Exemplo:
β
5
13
α
12
tg a =
5
12
tg b =
12
5
Cálculo de seno, cosseno e
tangente dos ângulos 30°, 45° e 60°
Nas relações geométricas, os ângulos 30°, 45° e 60° se destacam em relação aos demais, pois são muito utilizados nas construções de figuras planas
importantes. Por essa razão, são denominados de ângulos notáveis.
Para encontrar os valores de seno, cosseno e tangente de 30° e 60°, vamos
considerar um triângulo equilátero ABC cujo lado tem medida l e cuja altura
l 3
.
tem medida h =
2
300
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Trigonometria em triângulos retângulos
C
30⁰ 30⁰
l
A
h=
l 3
2
60⁰
l
2
l
60⁰
H
l
B
2
No triângulo BCH anterior, vamos utilizar as razões trigonométricas dos
ângulos de 30° e 60°:
l
1
sen 30° = 2 =
l 2
l 3
h
3
cos 30° = = 2 =
2
l
l
l
l
3
tg 30° = 2 = 2 =
h l 3
3
2
l 3
3
sen 60° = 2 =
l
2
l
1
2
cos 60° = =
l 2
l 3
h
tg 60° = = 2 = 3
l
l
2
2
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301
Trigonometria em triângulos retângulos
Para o cálculo das razões seno, cosseno e tangente de 45°, vamos utilizar
um quadrado ABCD cujo lado tem medida l e cuja diagonal tem medida
l 2.
C
D
d
l
45⁰
A
B
l
Observe o triângulo retângulo ABC que compõe o quadrado anterior. Utilizando as razões trigonométricas, temos:
sen 45° =
cos 45° =
tg 45° =
l
l 2
l
l 2
=
1
2
=
2
2
=
1
2
=
2
2
l
=1
l
Os valores que obtivemos permitem a construção de uma tabela das
razões trigonométricas de ângulos notáveis:
302
30°
45°
60°
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
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Trigonometria em triângulos retângulos
Observação: as razões trigonométricas mais empregadas nos problemas
de Física ou Matemática são para os ângulos 30°, 45° e 60°.
Relações entre seno, cosseno e tangente
Considere o triângulo retângulo de medidas a, b e c e ângulos agudos α
e β.
β
a
c
α
b
Nesse triângulo, o cateto de medida c é oposto em relação ao ângulo α e
adjacente em relação a β. Da mesma forma, o cateto de medida b é oposto
em relação ao ângulo β e adjacente em relação a α.
Consequentemente:
sen a = cos b =
c
b
e sen b = cos a =
a
a
Essas igualdades serão verdadeiras sempre que os ângulos α e β forem
complementares, ou seja:
α + β = 90°.
De uma forma geral, se α e β são ângulos complementares, então:
sen α = cos (90° – α) e cos α = sen (90°–α)
Exemplo:
sen 30° = cos 60° =
1
2
sen 60° = cos 30° =
3
2
As igualdades são válidas porque 30° + 60° = 90°, ou seja, os ângulos 30°
e 60° são complementares.
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303
Trigonometria em triângulos retângulos
Relação fundamental da trigonometria
Considerando novamente o triângulo retângulo anterior, vamos utilizar o
Teorema de Pitágoras para obter outra relação importante:
a2 = b2 + c2
Dividindo a2 = b2 + c2 por a2, com a ≠ 0, temos:
a2 b2 c2
= +
a2 a2 a2
c
b
Mas, considerando que sen a = cos b = e sen b = cos a = , então a
a
a
igualdade corresponde a:
1 = (cos a ) + (sen a )
2
2
ou sen2 α + cos2 α = 1
Esse fato pode ser generalizado para qualquer ângulo α: a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um mesmo ângulo é sempre igual a 1.
sen2 α + cos2 α = 1
Devido à sua importância, essa última relação é chamada de relação fundamental da trigonometria.
Existe também uma importante relação entre as medidas do seno, do
cosseno e da tangente de um mesmo ângulo agudo. Para compreendê-la,
considere um triângulo retângulo de medidas a, b e c, e ângulo agudo α:
c
a
α
b
O que ocorre quando dividimos o seno pelo cosseno de um mesmo
ângulo agudo?
304
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Trigonometria em triângulos retângulos
Observe:
c
sen a a c a c
= = ´ = = tg a
cos a b a b b
a
Logo, a tangente de um ângulo agudo α é o quociente entre o seno e o
cosseno desse ângulo α:
tg a =
sen a
cos a
Essa relação permite obter o valor da tangente de um ângulo agudo a
partir do seno e do cosseno desse ângulo, sem a necessidade de construir
um triângulo e observar as medidas dos lados.
Com esses conteúdos, estamos prontos para resolver algumas questões.
Resolução de questões
1. (Esaf ) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2 : 3 : 4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40°.
b) 70°.
c) 75°.
d) 80°.
e) 90°.
2. (Esaf ) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados
pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se
que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1cm.
Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20cm, então seu perímetro
será igual a:
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305
Trigonometria em triângulos retângulos
a) 40cm.
b) 35cm.
c) 23cm.
d) 42cm.
e) 45cm.
3. (FCC) Sabendo-se que cos x + 3sen x = 1, então um dos possíveis valores
para a tangente de x é igual a:
a) –4/3.
b) 4/3.
c) 5/3.
d) –5/3.
e) –3/4.
4. (Fuvest) Se o triângulo ABC é retângulo em A, e se o seno do ângulo B é
0,8, qual o valor da tangente do ângulo C?
a) 0,25.
b) 0,50.
c) 0,75.
d) 1,00.
e) 1,25.
5. (Unicamp) Seja x um número real positivo tal que x, x +1 e x + 2 sejam
medidas dos lados de um triângulo retângulo. Assinale, entre as alternativas a seguir, aquela que contém o perímetro desse triângulo.
a) 10.
b) 12.
c) 11.
d) 13.
e) 15.
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Trigonometria em triângulos retângulos
6. (UFV) Depois de andar 5m numa escada rolante, uma pessoa percebeu
que se deslocou 4m em relação à horizontal. Tendo andado 10m na mesma escada, de quantos metros terá se deslocado em relação à vertical?
a) 5.
b) 8.
c) 9.
d) 6.
e) 7.
7. (Fuvest) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 2 e a hipotenusa mede 6. A área do triângulo é:
a) 2 2 .
b) 6.
c) 4 2 .
d) 3.
e)
6.
8. (Cesgranrio) Um cateto de um triângulo retângulo é duas vezes e meia o
outro cateto. Se a área do triângulo vale 20, o menor cateto mede:
a) 2.
b) 4.
c) 5.
d) 2 2 .
e) 2 2 .
9. (UEL) Um triângulo retângulo é tal que a hipotenusa mede 6 5 cm e a
soma das medidas dos catetos é igual a 18cm. A área desse triângulo, em
centímetros quadrados, é:
a) 36.
b) 72.
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307
Trigonometria em triângulos retângulos
c) 144.
d) 156.
e) 192.
10.(ES) O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é ( 12 + 2 6 ) cm.
A área deste triângulo, em cm², é:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2 2 .
e) 3 2 .
Dica de estudo
Das inúmeras quantidades de lados que um polígono pode ter, o triângulo se destaca por possuir a menor quantidade possível de lados. Esse fato
faz do triângulo um polígono especial, por ser o polígono “formador” dos
demais, de modo que compreender bem as relações trigonométricas constitui-se em um grande trunfo na resolução de problemas geométricos. Além
disso, entre os triângulos, destaca-se o triângulo retângulo. O fato de possuir
um ângulo reto permite relacioná-lo com mais facilidade a outras figuras geométricas. Nesse sentido, iniciar com o domínio dos conteúdos dessa aula é
uma maneira adequada para se embasar na Trigonometria e na Geometria.
Referências
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda.,
1996.
GARBI, G. Gilberto. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006.
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
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Trigonometria em triângulos retângulos
LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
Gabarito
1. Se os ângulos agudos encontram-se na razão 2 : 3 : 4, vamos supor que os
ângulos tenham medida 2x, 3x e 4x. Assim, se a soma dos ângulos internos é igual a 180°, temos:
2x + 3x + 4x = 180°
9x = 180°
x = 20°
Assim, o maior dos ângulos mede:
4x = 4 . 20° = 80°
Resposta: D
2. Sendo x a medida dos segmentos que têm extremidades no ponto P e
nos pontos de tangência, temos:
20 – x
20 – x
1
x
0
x
P
O perímetro do triângulo é igual à soma das medidas dos lados.
Logo, o perímetro é dado por:
(20 – x) + 1 + 1 + x + x + (20 – x) = 42cm
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309
Trigonometria em triângulos retângulos
Resposta: D
3. Solução:
cos x + 3sen x = 1
cos x = 1 – 3sen x
Substituindo na relação fundamental da trigonometria, temos:
sen2 x + cos2 x = 1
sen2 x + (1 – 3sen x)2 = 1
sen2 x + 1 – 2. 3 . sen x + 9sen2 x = 1
10sen2 x – 6 . sen x = 0
2 . sen x .(5 . sen x – 3) = 0
sen x = 0 ou sen x = 3/5
Se sen x = 0, então:
cos x = 1 e tg x = 0/1 = 0.
Se sen x = 3/5, então:
cos x = -4/5 e tg x = -3/4.
Resposta: E
4. Se sen (B) = 0,8 = 4/5, então, sem perda de generalidade, pode-se considerar que a medida do cateto oposto ao ângulo do vértice B é igual a 4 e
a hipotenusa mede 5. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos obter
a medida do outro cateto:
a2 = b2 + c2
52 = 42 + c2
25 = 16 + c2
25 – 16 = c2
9 = c2
c=3
310
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Trigonometria em triângulos retângulos
Logo, a tangente do ângulo do vértice C, definida como sendo a razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente ao ângulo C, é dada por:
()
 = 3 = 0 , 75
tg C
4
Resposta: C
5. Se x, (x +1) e (x + 2) são as medidas dos lados de um triângulo retângulo,
então x e (x + 1) são as medidas dos catetos e (x + 2) é a medida da hipotenusa. Assim, utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2
x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2
x2 – 2x – 3 = 0
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, temos:
x=
− (−2 ) ±
(−2 )
2
2 .1
x=
2 ± 4 + 12
2
x=
2 ± 16
2
x=
x1 =
− 4 .1. (−3 )
2±4
2
2+4 6
2 − 4 −2
= = 3 ou x 2 =
=
= −1 (não convém, pois x > 0).
2
2
2
2
Assim, se x = 3, as medidas dos lados do triângulo são x = 3, x + 1 =
4 e x + 2 = 5.
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Trigonometria em triângulos retângulos
O perímetro do triângulo é igual à soma das medidas dos lados, ou seja,
3 + 4 + 5 = 12 unidades de comprimento.
Resposta: B
6. Vamos considerar um triângulo retângulo que representa essa situação,
de modo que 5m seja a medida da hipotenusa e 4m seja a medida do
cateto de mede o deslocamento em relação à horizontal. Utilizando o teorema de Pitágoras, obtém-se a medida do outro cateto: 3m. Como o deslocamento total pela escada rolante é igual a 10m, mantendo-se a inclinação ao longo da subida, é possível um triângulo congruente ao primeiro.
Observe a figura:
α
4
5
3
α
4
4
3
5
3
Logo, o deslocamento total em relação à vertical é igual a 3 + 3 = 6m.
Resposta: D
7. Sendo x a medida do outro cateto, utilizando o teorema de Pitágoras,
temos:
6 2 = 22 + x 2
36 - 4 = x 2
®
®
x = 32 ®
312
36 = 4 + x 2
32 = x 2
®
®
x=4 2
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Trigonometria em triângulos retângulos
A área de um triângulo retângulo pode ser calculada pelo semiproduto
das medidas dos catetos, ou seja, 4 2 . 2 = 4 2 .
2
Resposta: C
8. Se o menor cateto mede x, então o outro cateto deve medir 2,5 x. A medida da área do triângulo retângulo pode ser calculada pelo semiproduto
das medidas dos catetos. Logo:
x . 2 , 5x
= 20
2
x2 =
20 . 2
2, 5
x 2 = 16
x=4
Resposta: B
9. Sejam x e y as medidas dos catetos, respectivamente. Então, x + y = 18.
Elevando-se ao quadrado ambos os membros da última equação, temos:
(x + y)2 = 182
x2 + 2xy + y2 = 324
( ) = 6 . ( 5 ) = 180 .
Mas, por Pitágoras, x 2 + y 2 = 6 5
Então:
2
2
2
(x2 + y2) + 2xy = 324
180 + 2xy = 324
2xy = 144
xy = 72
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313
Trigonometria em triângulos retângulos
Como a área de um triângulo retângulo é igual ao semiproduto das medidas dos catetos x e y, temos:
Área =
x . y 72
=
= 36
2
2
Resposta: A
10.Sendo x a medida de cada cateto e y da hipotenusa, utilizando o teorema
de Pitágoras, temos:
y2 = x2 + x2
y 2 = 2x 2
y = 2x 2
y =x 2
(
)
O perímetro do triângulo é igual a x + x + y = 2x + x 2 = x . 2 + 2 .
Logo:
(
)
x . 2 + 2 = 12 + 2 6
(
)
(
)
x . 2 + 2 = 2 . 6 +2 6
(
x. 2+ 2 = 6 . 2+ 2
)
x= 6
Assim, a medida da área do triângulo é dada por:
6.6
6. 6
36 6
=
=
= =3
2
2
2
2
Resposta: C
314
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