sistemas de numeração

Sistemas de Numeração
Prof. Luiz Marcelo Chiesse da Silva
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
1. INTRODUÇÃO
Quando mencionamos sistemas de numeração estamos nos referindo à utilização de
um sistema para representar uma numeração, ou seja, uma quantidade. Sistematizar algo
seria organizar, colocar em ordem, submeter à determinadas regras. Um sistema de
numeração seria uma forma de organizar a representação de um número. Exemplo: Quando
contamos algo ou expressamos algum valor, utilizamos no dia a dia um sistema de numeração,
que é o sistema decimal. Para isto seguimos a organização dos números, pois eles obedecem
à uma certa ordem, e uma das regras é utilizar somente os caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
combinados, obedecendo à ordenação, para formar dos números.
Mas existem inúmeros sistemas de numeração, pois existem diversas formas de se
representar um número. Um chinês que tem dois carros, para transmitir a informação de que o
número de carros que ele possui é dois, se expressa de um modo diferente de um americano
que tenha os mesmos dois carros mas as formas que ambos utilizam para representar a
quantidade de carros tem pontos em comum: são dois sistemas de numeração. O exemplo de
um sistema de numeração diferente seria utilizar os seguintes caracteres: 0, 1, 2, 3, C, %,}
para representar os números. Ordenando estes caracteres do mesmo modo que o sistema
decimal, a contagem neste sistema seria feita na seguinte ordem: 1, 2, 3, C, %, }, 10, 11, 12,
13, 1C, 1%..... O equivalente ao número 10 no sistema decimal seria representado pelo
número 13 neste sistema, o número 11 seria 1C, assim por diante.
A representação de um número em um sistema de numeração diferente muda, para um
mesmo valor, assim como as operações com números nestes novos sistemas podem ser
readequadas. Estas diferenças entre os sistemas de numeração são utilizadas como
ferramenta de cálculo e projeto em diversas áreas, como a computação.
Quando desejamos registrar um valor de tensão igual a trinta e quatro vírgula cinquenta
e dois volts, usamos os caracteres 3, 4, 5, e 2 dispostos numa certa ordem: 34,52 volts. Esta
representação é conhecida como notação posicional do valor observado, onde a importância
de cada caracter depende da sua posição em relação aos demais caracteres. Os caracteres
tem maior significação no sentido da direita para a esquerda. No caso, os caracteres 3 e 2 são,
respectivamente, o de maior e menor significação.
1.1. Base
Os sistemas de numeração foram criados pelo homem com o objetivo de quantificar as
grandezas relacionadas às suas observações. Tais sistemas foram desenvolvidos através de
símbolos, caracteres e do estabelecimento de regras para a sua representação gráfica. Ao
conjunto destes símbolos ou caracteres chamamos de base ou raiz do sistema, “r”.
A base de um sistema de numeração é o número decimal no qual um sistema de
numeração se utiliza para indicar uma quantidade e geralmente é o número de caracteres
diferentes utilizados para compor o sistema. O sistema decimal é dito de base 10 por utilizar
somente 10 caracteres diferentes para representar os números (os dígitos de 0 à 9) e a
quantidade real representada pelos números tem como base o valor 10. Por exemplo, na
contagem do sistema decimal, após o número 9, já utilizamos todos os caracteres diferentes
disponíveis, que são 10 (observe que o caractere “0” também está incluído) e um número
maior que 9 é representado utilizando uma convenção que atribui um significado numérico
quantitativo à posição ou lugar ocupado por um dígito. Cada posição ocupada por um
caractere no número possui um “peso” diferente, como no exemplo abaixo:
3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100
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O mesmo artíficio é utilizado em outros sistemas de numeração, ou seja, cada
caractere que compoe um número possui um “peso” de potências do valor da base e que
variam de acordo com a posição ocupada pelo caractere no número, no caso do sistema
decimal, potências de 10. Do exemplo exposto anteriormente (com o sistema 0, 1, 2, 3, C, %,
}), o valor da base é 7 porque 0, 1, 2, 3, C, % , } são um conjunto de 7 caracteres diferentes
que posso utilizar para compor um número neste sistema e a quantidade que os números
representam são expressas com base no valor 7.
O número 31}C representa uma quantidade igual à que número no sistema decimal?
31}C = 3 x 73 + 1 x 72 + } x 71 + C x 70
como 3 = 310 no sistema decimal, 1 = 110, } = 610, C = 410, concluímos:
31}C = 3 x 73 + 1 x 72 + 6 x 71 + 4 x 70
31}C = 1.12410
De acordo com o interesse do estudo em controle de máquinas e pela utilidade em
diversas áreas, daremos ênfase ao sistema de numeração binário (base 2).
Obs.: Quando utilizamos sistemas de numeração diferentes, procura-se adotar uma convenção
para a indentificação de números com bases de numeração diferentes. Exemplo: 111002 =
2810 → o número 11100 no sistema de base 2 é igual ao número 28 no sistema decimal.
2. O SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO
Os números decimais são os mais utilizados atualmente, de nosso conhecimento. Uma
representação posicional no sistema decimal pode ser desenvolvida numa forma polinomial
que envolve um somatório de potências de 10. Como exemplo, o número três mil e quatro:
3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100
É comum utilizarmos como índice, à direita do dígito menos significativo na
representação posicional, para identificar a base de representação. No caso da base decimal,
este índice pode ser omitido.
Os circuitos ditos analógicos processam informações usando o sistema decimal.
3. O SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO
O sistema de numeração de base 2 é chamado de sistema binário (dois), pois utiliza
somente dois dígitos: 0 e 1. Todos os números são representados conforme o posicionamento
e a quantidade destes dois dígitos. A contagem segue o mesmo raciocínio utilizado no sistema
decimal: após o último dígito, incrementa-se uma posição à esquerda e a posição à direita é
zerada, repetindo-se toda a sequência de números anterior:
1, 10, 11, 100, 101, 110,.....
Os números acima geralmente são chamados de números binários. Para evitar
confusão com o sistema de numeração decimal, lemos dígito por dígito no sistema binário:
10=hum,zero;
1101=hum,hum,zero,hum.
Podemos expressar um número fracionário no sistema binário, utilizando a vírgula
binária:
1,1001; 0,0001; 1101,0101,.....
Este sistema pode ser utilizado para representar 2 estados de um elemento: uma
lâmpada (acesa ou apagada), uma chave (aberta ou fechada), uma fita magnética (variação ou
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não na magnetização), na genética (presença ou ausência de genes),.... pois nos cálculos
teóricos, o sistema binário é o mais utilizado para facilitar a manipulação dos dados.
Qualquer algarismo ou dígito de número binário é denominado de bit (binary digit).
Exemplo:
111011 → 6 bits.
2.1. Conversão do sistema binário para o sistema decimal
Uma representação posicional no sistema binário pode ser desenvolvida numa forma
polinomial que envolve um somatório de potências de 2. Assim, o equivalente decimal do
número binário é obtido da representação polinomial do número na base 2, através do
processamento da soma decimal.
Exemplo 1: Conversão do número binário 110010 para decimal:
1- O primeiro dígito da direita para a esquerda do número binário multiplica a potência
de 20, o segundo dígito da direita para a esquerda multiplica 21, o terceiro dígito à direita
multiplica 22, e assim por diante:
0 x 20 = 0 x 1 = 0
1 x 21 = 1 x 2 = 2
0 x 22 = 0 x 4 = 0
0 x 23 = 0 x 8 = 0
1 x 24 = 1 x 16 = 16
1 x 25 = 1 x 32 = 32
2- A soma destas multiplicações resulta no número decimal:
0 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 = 50
Assim:
1100102 = 5010
13
12
11
10
9
8
7
Exemplo 2:101011101010012 = 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 0
6
5
4
3
2
1
0
x2 +1x2 +0x2 +1x2 +0x2 +0x2 +1x2
101011101010012 = 8192 + 0 + 2048 + 0 + 512 + 256 + 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0
+1
101011101010012 = 1117710
Podemos representar um número decimal fracionário por um número binário, como no
exemplo abaixo:
111,01012 = 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 0 x 2-3 + 1 x 2-4
111,01012 = 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625
111,01012 = 7,312510
Para a representação de números negativos pode-se utilizar o sinal “-”. Outro método
utilizado na prática é o acréscimo de um dígito binário à esquerda do número para indicar este
sinal, ou seja, para indicar se o número é negativo ou não. Os números binários compostos
desta maneira são chamados números binários com sinal ou números de magnitude com sinal
pois o primeiro dígito representa o sinal e os dígitos restantes significam a magnitude do
número. Geralmente o dígito 0 indica um número positivo e 1 indica um número negativo.
Exemplo:
-32410 = 11010001002
↓
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dígito que indica um número negativo
2.2. Conversão do sistema decimal para o sistema binário:
Efetua-se uma operação aproximadamente inversa à conversão de binário para decimal,
utilizando o método das divisões sucessivas: divide-se sucessivamente o número decimal por
2 até resultar em um número menor que 2 e os restos destas divisões juntamente com o último
resultado formarão o número binário. Este mesmo método pode ser usado para outros
sistemas de numeração de base diferente de 2, como o sistema hexadecimal, cuja base é 16.
Exemplo 1: Conversão do número decimal 1029 para o sistema binário.
1- Divide-se o número por 2, que é a base do sistema binário. O resto desta divisão
será o último dígito do número binário.
1029|2___
1 514
2- O resultado desta divisão é dividido novamente por 2, e o resto será o penúltimo
dígito do número binário. O resultado é dividido sucessivas vezes por 2, até a última divisão em
que o resultado for 0 ou 1. O resultado da última divisão será o primeiro dígito do número
binário.
514|2___
0 257 |2__
1 128|2_
0 64|2_
0 32|2_
0 16|2_
0 8|2_
0 4|2__
0 2 |2
0 1
restos das divisões sucessivas:10000000101
102910 = 100000001012
Exemplo 2: Conversão do número 28374 decimal para binário.
28374|2_____
0 14187|2___
1 7093|2____
1 3546|2____
0 1773|2__
1 886|2
0 443|2___
1 221|2__
1 110|2_
0 55|2_
1 27|2
1 13|2
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1 6|2
0 3|2
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restos das divisões sucessivas: 110111011010110
2837410 = 1101110110101102
2.3. O Sistema Octal
O sistema de numeração de base 8 e que utiliza os caracteres de 0 à 7 do sistema de
numeração decimal, na respectiva ordem, é chamado de sistema octal. Este sistema era mais
utilizado antigamente, pois é uma simplificação do sistema binário: 3 dígitos binários eram
substituídos por 1 dígito no sistema octal, porque o valor máximo de um número de 3 dígitos
binários é 111, ou seja, 7. que é o número máximo de caracteres diferentes utilizados pelo
sistema octal (base 8). Atualmente, o sistema octal entrou em desuso pela utilização cada vez
maior da informática e de circuitos eletrônicos digitais, que utilizam somente números binários.
Em substituição ao sistema octal é utilizado o sistema hexadecimal.
3. O SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO
O sistema hexadecimal de numeração pode representar quatro bits do sistema binário
por um dígito (o número máximo obtido com quatro dígitos binários é 1610, que é a base do
sistema hexadecimal) utilizando os dígitos de 0 à 9 do sistema decimal e representando os
números de 10 à 15 pelos caracteres A, B, C, D, E, F. A contagem no sistema hexadecimal se
processa da seguinte forma:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B,...
Exemplo de números binários:
A16 = 1010
99F16 = 246310
BBC16 = 300410
3.1. Conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal
Uma representação posicional no sistema hexadecimal pode ser desenvolvida numa
forma polinomial que envolve um somatório de potências de 16. Executa-se um processo
semelhante à conversão dos números binários para decimal.
Exemplo 1: Conversão do número A01 hexadecimal para decimal.
1- O primeiro dígito da direita para a esquerda do número hexadecimal multiplica a
potência de 160, o segundo dígito da direita para a esquerda multiplica 161, o terceiro dígito à
direita multiplica 162, e assim por diante. Caso exista um dígito maior que 9, converte-lo para
decimal e mutiplicar normalmente:
1 x 160 = 1 x 1 = 1
0 x 161 = 0 x 16 = 0
A x 162 = A x 256 = 10 x 256 = 2560
2- A soma destas multiplicações resulta no número decimal:
16 + 0 + 2560 = 2561
Assim:
A0116 = 256110
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3
2
1
0
Exemplo 2:BF2016 = B x 16 + F x 16 + 2 x 16 + 0 x 16
BF2016 = 11 x 4096 + 15 x 256 + 2 x 16 + 0 x 1
BF2016 = 45056 + 3840 + 32 + 0
BF2016 = 4892810
4
3
2
1
0
Exemplo 3:600CD16 = 6 x 16 + 0 x 16 + 0 x 16 + C x 16 + D x 16
600CD16 = 6 x 65536 + 0 x 2998 + 0 x 256 + 12 x 16 + 13 x 1
600CD16 = 39342110
3.2. Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal
Utiliza-se o método das divisões sucessivas: divide-se sucessivamente o número
decimal por 16 até resultar em um número menor que 16 e os restos destas divisões
juntamente com o resultado da última divisão formarão o número hexadecimal.
Exemplo 1: Conversão do número decimal 4096 para hexadecimal.
4096|16
0 256|16
0 16|16
0 1
409610 = 100016
Exemplo 2: Conversão do número 3748 decimal para hexadecimal.
3748|16
4 234|16
10 14
1410 = E16
1010 = A16
374810 = EA416
3.3. Conversão do sistema binário para hexadecimal
A conversão de um número binário para hexadecimal pode ser feita de forma indireta
pelos métodos de conversão anteriores: converte-se do sistema binário para o decimal e
depois do decimal para o sistema hexadecimal. Porém, uma conversão direta do sistema
binário para o sistema hexadecimal pode ser efetuada substituindo-se quatro dígitos binários
por um dígito hexadecimal, pois com quatro dígitos binários obtenho no máximo o número 16,
que é a base do sistema hexadecimal.
Exemplo 1: Conversão do número 11101 em binário para o sistema hexadecimal.
1 - Obtenho os quatro últimos dígitos do número binário: 1101
2 - Converto diretamente para hexadecimal: 11012 = 1310 = D16
3 - Com isto, obtenho o último dígito do número hexadecimal: D16
4 - Repetir o mesmo método para os dígitos restantes do número binário: 12 = 116
5 - Unindo os dois dígitos, obtenho o número em hexadecimal:
111012 = 1D16
Exemplo 2: Conversão do número 100101010 em binário para o sistema hexadecimal.
10102 = 1010 = A16
00102 = 216
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12 = 116
1001010102 = 12A16
A conversão de hexadecimal para binário pode ser feita de forma indireta: converte-se
de hexadecimal para decimal e de decimal para binário. Uma forma direta pode ser executada
do modo contrário ao anterior: converte-se em quatro dígitos binários cada dígito hexadecimail.
O último dígito do número hexadecimal fornece o valor dos quatro últimos dígitos do número
binário.
Exemplo 3: Conversão do número CDF hexadecimal para o sistema binário.
F16 = 1510 = 11112
D16 = 1310 = 11012
C16 = 1210 = 11002
CDF16 = 110011011112
Exemplo 4: Conversão do número 1002 hexadecimal para o sistema binário.
216 = 00102
016 = 00002
016 = 00002
116 = 00012
E00216 = 10000000000102
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