Quadriláteros

Quadriláteros
1. Na figura calcular a soma dos oito ângulos assinalados.
2. Na figura, ABM é um triângulo eqüilátero interior ao quadrado ABCD. Calcule o ângulo
CD̂M .
3. Na figura, AMB é um triângulo eqüilátero exterior ao quadrado ABCD. Calcule o ângulo
CD̂M .
4. Provar que os pontos médios dos lados de um quadrilátero são os vértices de um paralelogramo.
Discutir os casos particulares.
5. Provar que os pontos médios das bases e das diagonais de trapézio qualquer são vértices de um
paralelogramo.
6. Demonstrar que num paralelogramo ABCD, se E e F são os pontos médios de AB e CD, a reta
DE e BF divide a diagonal AC em três partes iguais.
7. Provar que num quadrilátero convexo as bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo
igual à semi-soma dos dois outros ângulos do quadrilátero.
8. Provar que as bissetrizes dos ângulos que se obtêm prolongam-se os lados opostos de um
quadrilátero convexo se cortam sob um ângulo igual à semi-soma de dois ângulos opostos do
quadrilátero.
9. Provar que num quadrilátero convexo as bissetrizes de dois ângulos opostos formam um ângulo à
semi-diferença dos dois outros ângulos.
10. Num quadrilátero ABCD, os lados opostos AB e CD são supostos iguais, demonstrar que o
segmento MN que une os pontos médios dos dois outros lados é igualmente inclinado sobre AB e
CD.
11. ABCD é um quadrilátero qualquer onde as bissetrizes internas dos ângulos A, B, C e D formam
um quadrilátero MNPQ. Provar que as diagonais de MNPQ são as bissetrizes dos ângulos formados
pelos lados opostos de ABCD.
12. Sobre os lados AB e BC de um quadrado são construídos os triângulos eqüiláteros ABM
interiormente e BCP exteriormente ao quadrado. Provar que os pontos D, M e P são colineares.
13. Seja dado um trapézio ABCD de bases AB e CD, E e F os pontos médios dos lados BC e DA, H
a interseção das bissetrizes dos ângulos A e D, K a interseção das bissetrizes dos ângulos B e C.
Demonstrar que:
a) HK é paralelo às bases
b) FH = AD , EK = BC
2
2
c) Para que as quatro bissetrizes dos ângulos do trapézio sejam concorrentes, é necessário e suficiente
que a soma das bases seja igual à soma dos lados não paralelos.
Gabarito
1. 360°
2. 150°
3. 15°