Exercício de flexão simples

Exercício de flexão simples
Prof. Dr. Carlos Aurélio Nadal
Seja a viga abaixo representada pelo seu diagrama simplificado onde
P=30kN/m, E=205GPa, calcular a tensão máxima de compressão e a tensão
máxima de tração na viga.
Secção transversal
P (N/m)
100mm
10mm
4,0m
12mm
1,5m
80mm
10mm
60mm
Linha elástica
Flexão negativa i= comprimidas
s=tracionadas
Flexão positiva s= comprimidas
i=tracionadas
s=fibras superiores
i=fibras inferiores
C
T
T
C
Diagrama de corpo livre da viga
Força cortante
V(x) KN
R=P.5,5
A
RA
4,0m
RB
1,5m
2,75m
4,0m
5,5m
M(x) KN.m
B
x (m)
Cálculo das reações
Condição de equilíbrio: ΣM=0; ΣFx=0 e ΣFy=0
R=P.5,5
Rx
RA
4,0m
RB
1,5m
ΣMA=0
-5,5xPx2,75+RBx4=0
2,75m
4,0m
5,5m
RB=3,78P
ΣFx=0
Rx=0 Forças horizontais
ΣFy=0
RA-R+RB=0
RA–5,5P+3,78P=0  RA =1,72P
V(x) KN
Força cortante
Análise da seção 1 que passa pelo ponto B para o
desenho da força cortante.
1,5P
1,72P
R=4P
A
3,78P B
2,28P
x (m)
V1
RA=1,72P
4,0m
2,0m
4,0m
-1,12P
M(x) KN.m
Força cortante nula=momento máximo
ΣM1=0
M1 +4Px2-1,72Px4=0
M1=-1,12P
ΣFy=0
1,72P-4P-V1=0
V1=-2,28P
V1-RB=-2,28P+3,78P=1,5P
M1
Força cortante
V(x) KN
1,5P
1,72P
C
A
3,78P B
2,28P
x
x (m)
x 4 -
x =1,72m
4,00m
Cálculo na seção C
ΣM2=0
M2+1,72Px0,86-1,72Px1,72=0
M2=1,48P
1,72P
1,72P+2,28P=4P
R=1,72P
V2
RA=1,72P
0,86m
1,72m
M2
V(x) KN
Força cortante
1,5P
1,72P
A
3,78P B
2,28P
-1,12P
1,48P
M(x) KN.m
x (m)
Momento máximo
Mmax=1,48P
Momento mínimo
Mmin=-1,12P
Cálculo do momento de inércia da seção transversal
y=yCG
100mm
(1)
100mm
12mm
CG
(2)
(3)
60mm
Determinação do centro de gravidade da seção
Y1=95mm
A1=10x100=1000mm2
Y2=50mm
A2=12x80=960mm2
Y3=5mm
A1=60x10=600mm2
10mm
80mm
43mm
xCG
57mm
YCG=Ai yi/ Ai
10mm
x
YCG=(1000x95+960x50+600x5)/(1000+960+600)
YCG=57mm
Momento de Inércia em relação ao eixo principal de inércia xCG
IxCG = I1xCG +I2xCG+I3xCG
Para figura 1
100mm
y=yCG
10mm
5mm
100mm
38mm
(1)
100mm
12mm
CG
(2)
(3)
10mm
80mm
CG
43mm
xCG
57mm
10mm
60mm
I2xCG = bh3/12+A2xd22
I2xCG =0,012x0,083/12 + 0,012x0,08x0,0072
I2xCG =5,59x10-7 m4
I3xCG = bh3/12+A2xd22
I3xCG =0,06x0,013/12 + 0,06x0,01x0,0522
I3xCG =1,63x10-6 m4
43mm
x
I1xCG = bh3/12+A1xd12
I1xCG =0,1x0,013/12 + 0,1x0,01x0,0382
I1xCG =1,452x10-6 m4
IxCG =3,641x10-6 m4
Mmax=1,48P
Mmax=44,4kNm
x=1,72m
Mmin=-1,12P
Mmin=33,6KNm
x=4m
IxCG =3,641x10-6 m4
Para o momento máximo tem-se
C
=My/I
T
Tensão de tração
T=44,4x103x0,057/3,641x10-6 (divide o resultado por 1000000 para Mpa)
T= 695MPa
Tensão de compressão
C=44,4x103x0,043/3,641x10-6
C= 524,4MPa
Mmax=1,48P
Mmax=44,4kNm
x=1,72m
Mmin=-1,12P
Mmin=33,6KNm
x=4m
IxCG =3,641x10-6 m4
Para o momento mínimo ou o máximo negativo tem-se
=My/I
Tensão de tração
T=33,6x103x0,043/3,641x10-6 (divide o resultado por 1000000 para Mpa)
T
T= 396,8MPa
C
Tensão de compressão
C=33,6x103x0,057/3,641x10-6
C= 526MPa
Tensão máxima de tração
máxT= 695MPa
Tensão máxima de compressão
máxC= 526MPa