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CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2
Geometria Euclidiana Plana
Parte I
Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil
Jaime Vinícius Araújo Cirilo - Engenharia de Produção
O que veremos na aula de hoje?
Ângulos opostos pelo vértice
Propriedades dos polígonos
Congruência de triângulos
Semelhança de triângulos
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2
Ângulos opostos pelo
vértice
Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil
Jaime Vinícius Araújo Cirilo - Engenharia de Produção
Apresentação
Na geometria plana vamos nos atentar ao
método de cálculo da área das figuras
geométricas planas. Sendo elas os polígonos, ou
seja, figura com muitos ângulos.
Ângulos opostos pelo vértice
Observe o desenho abaixo, de dois ângulos opostos
pelo vértice (opv):
𝒂
𝒃
𝒂 e 𝒃 são ângulos opv (opostos pelo vértice).
Vamos comprovar se são ângulos opv.
Ângulos opostos pelo vértice
Demonstração:
Queremos demonstrar que a = b, em que 𝒂 é a medida de a e 𝒃 é a
medida de b.
𝒙
𝒂
𝒃
Vemos que a + x = 180° e b + x = 180°.
Assim:
a+x=b+xa+x–x=b+x–xa=b
Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
Retas paralelas cortadas por uma reta transversal
As retas r e s são paralelas: estão no mesmo plano e não
têm ponto comum (r // s).
t
r
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
s
𝒆
𝒉
𝒇
𝒈
A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4 ângulos
com s.
Retas paralelas cortadas por uma reta transversal
Analisando a imagem abaixo, vemos que:
t
r
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
s
o 𝒂e𝒆
𝒃e𝒇
𝒄e𝒈
𝒅e𝒉
𝒆
𝒉
Ângulos correspondentes
a = e; b = f; c = g; d = h
𝒇
𝒈
Retas paralelas cortadas por uma reta transversal
Analisando a imagem, vemos que:
o 𝒄e𝒆
𝒅e𝒇
Ângulos alternos internos
c = e; d = f
o 𝒂e𝒈
𝒃e𝒉
Ângulos alternos externos
a = g; b = h
o 𝒂e𝒉
𝒃e𝒈
Ângulos colaterais externos
a + h = 180°; b + g = 180°
o 𝒄e𝒇
𝒅e𝒆
Ângulos colaterais internos
c + f = 180°; d + e = 180°
Exercício 1
Considere m e n retas paralelas (m // n), calcule
o valor de x e a medida de cada ângulo
assinalado.
n
m
x + 30°
2x + 10°
Exercício 1 (Resolução)
Analisaremos assim:
n
m
x + 30°
2x + 10°
𝑦
Como x + 30° é o ângulo opv de 𝑦, então 𝑦 = x + 30° e o ângulo
correspondente de 𝑦 é 2x + 10°, assim x + 30° = 2x + 10°
x + 30° = 2x + 10°
x – 2x = 10° - 30°
50°
-x = -20°
x = 20°
50°
m
n
Exercício 2
Na figura a seguir, a e b são retas paralelas
cortadas pela transversal r. Calcule as medidas
de x e y sabendo que a diferença entre elas é
64°.
a
r
𝑦
b
𝑥
Exercício 2 (Resolução)
Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, 𝑥 + 𝑦 =
180°, e pelo enunciado 𝑥 – 𝑦 = 64°, teremos um sistema:
𝑥 – 𝑦 = 64°  𝑥 = 64° + 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 180°
𝑥 + 𝑦 = 180°
64° + 𝑦 + 𝑦 = 180°
2𝑦 = 180° - 64°
2𝑦 = 116°
𝑦 = 58°
Agora é só utilizar o valor de 𝑦 em algumas das equações,
para obter x.
𝑥 + 58° = 180°  𝑥 = 180° - 58°  𝑥 = 122°
Propriedade dos polígonos
Polígono é uma figura fechada formada por
segmentos de retas, que constituem os lados da
figura. O encontro dos segmentos formam os
vértices, os ângulos internos e os ângulos externos.
O polígono possui lados, vértices, diagonais,
ângulos internos e ângulos externos.
A nomenclatura de um polígono depende do
número de lados da figura.
Nomenclatura do polígonos
A tabela abaixo contém a nomenclatura de
alguns polígonos.
Lados
Nome
Lados
Nome
1
11
undecágono
2
12
dodecágono
Lados
Nome
...
...
3
triângulo
13
tridecágono
30
triacontágono
4
quadrilátero
14
tetradecágono
40
tetracontágono
5
pentágono
15
pentadecágono
50
pentacontágono
6
hexágono
16
hexadecágono
60
hexacontágono
7
heptágono
17
heptadecágono
70
heptacontágono
8
octógono
18
octodecágono
80
octacontágono
9
eneágono
19
eneadecágono
90
eneacontágono
10
decágono
20
icoságono
100
hectágono
Polígonos regulares
Todo polígono regular possui os lados e os
ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos
de polígonos regulares.
90°
108°
90°
108°
90°
90°
108°
120° 120°
60°
108° 108°
120°
60°
120°
60°
120°
120°
Polígono Convexo
Um polígono é convexo se os ângulos do polígono forem
menores que 180°, assim ele será convexo.
Ângulos menores que 180°
Caso tenha um ângulo com medida maior que 180° ele será
classificado como não convexo ou côncavo.
Ângulo maior que 180°
Ângulos internos de um polígono
Em um polígono convexo de n lados, a soma das
medidas dos ângulos internos(Si) é igual a
(n - 2) . 180°. Assim, teremos a fórmula:
Si = (n - 2) . 180°
Exercício 4
Qual o valor de x nesta figura?
160°
95°
𝑦
𝑥
Exercício 4 (Resolução)
Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados,
utilizaremos desse valor na fórmula para obter a soma
dos ângulos internos desse polígono.
Si = (5 - 2) . 180°
Si = 3 . 180°
Si = 540°
Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x de y.
90° + 90° + 160° + 95° + y = 540°
160°
435° + y = 540°
95°
y = 540° - 435°
y = 105°
𝑦
𝑥
Exercício 4 (Resolução)
Como y + x = 180°, temos:
125° + x = 180°
x = 180° - 105°
x = 75°
105°
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
𝑥
21
Ângulos internos de polígonos regulares
Para sabermos qual a medida de cada ângulo
interno de um polígono regular basta saber a
soma dos ângulos internos (Si) e o número de
lados (n). Em seguida, fazer o quociente entre
eles.
Si
𝒏
Ângulos externos de um polígono convexo
Um ângulo externo de um polígono convexo é formado pelo
prolongamento de um dos lados do polígono.
O ângulo indicado pela sua medida d é um ângulo externo do
triângulo ABC.
A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer
polígono convexo(Se) é igual a 360°.
Ângulos externos de um polígono regular
Para sabermos a medida de cada ângulo externo
de um polígono regular basta fazer o quociente
entre a soma dos ângulos externos (Se) e o
número de lados (n).
S𝒆
𝒏
=
360°
𝒏
Diagonais
Denominamos por diagonal o segmento de reta
que une um vértice ao outro. O número de
diagonais de um polígono é proporcional ao
número de lados. Para cálculos envolvendo o
número de diagonais, utilizamos a seguinte
fórmula:
𝒏 . (𝒏 − 𝟑)
d=
𝟐
Quadriláteros
Paralelogramo
Trapézio
Losango
Retângulo
Quadrado
Triângulo
𝐴𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐺
=
=
=2
𝐺𝐷 𝐺𝐹 𝐺𝐸
Baricentro
Ortocentro
Circuncentro
Incentro
Exercício 3
(UNESP) Considere as seguintes proposições:
- todo quadrado é um losango;
- todo quadrado é um retângulo;
- todo retângulo é um paralelogramo;
- todo triângulo equilátero é isósceles.
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
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Congruência de
Triângulos
Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil
Jaime Vinícius Araújo Cirilo - Engenharia de Produção
Congruência de Triângulos
 Imagine duas figuras tal que seja possível
transportar uma sobre a outra de modo que
coincidam. Dizemos que essas figuras são
congruentes.
 Ou seja, duas figuras planas são chamadas
congruentes quando possuem forma, dimensões, e
ângulos iguais.
 Nesta aula veremos o caso da congruência de
triângulos.
Exemplo 1
Pela definição citada anteriormente, observamos que os
triângulos ABC e DEF, abaixo, são congruentes.
Congruência de Triângulos
Para indicar que dois triângulos são congruentes,
como no Exemplo 1, utilizamos a seguinte notação:
ΔABC ΔDEF
Onde, A, B e C são os
vértices
correspondentes
aos vértices D, E e F,
respectivamente.
Lados
Ângulos
AB  DE
AC  DF
  D̂
B̂  Ê
CB  FE
Ĉ  F̂
Congruência de Triângulos
Notamos que a congruência dos seis elementos (três
lados e três ângulos) determina a congruência entre
dois triângulos.
Esta congruência também pode ser indicada da
seguinte forma:
A
B
D
C
E
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
F
33
Casos de Congruência
 Para identificar se dois triângulos são
congruentes, não é necessário verificar a
congruência dos seis elementos.
 Veremos 5 casos em que a congruência de
três elementos garante a congruência destes
triângulos.
Casos de Congruência
• 1º caso - LAL (lado, ângulo, lado): dois lados
congruentes e o ângulo formado por esses
lados também congruente.
Casos de Congruência
• 2º caso - LLL (lado, lado, lado): três lados
congruentes.
Casos de Congruência
• 3º caso - ALA (ângulo, lado, ângulo): dois
ângulos iguais e o lado entre os ângulos
congruente.
X
Y
V
T
Casos de Congruência
• 4º caso - LAA (lado, ângulo, ângulo): um lado
congruente, e as congruências do ângulo
adjacente e do ângulo oposto a esse lado.
S
𝑄
𝑍
L
Casos de Congruência
• 5º caso: Se dois triângulos retângulos têm
congruentes um cateto e a hipotenusa, então
eles são congruentes.
U
,
,
S
H
V
Congruência de triângulos
 Portanto, através das definições de
congruência de triângulos podemos chegar às
propriedades geométricas sem a necessidade de
efetuar medidas.
 Chamamos esse método de raciocínio de
demonstração.
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Semelhança de Triângulos
Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil
Jaime Vinícius Araújo Cirilo - Engenharia de Produção
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando
satisfazem ao mesmo tempo às duas condições:
• os lados correspondentes têm medidas
proporcionais;
• os ângulos correspondentes são congruentes.
Semelhança de triângulos
Propriedade fundamental da semelhança de
triângulos
Se traçamos um segmento paralelo a qualquer um dos
lados de um triângulo e ficar determinado um outro
triângulo, este será semelhante ao primeiro.
O próximo exemplo mostra os triângulos ∆ABC e ∆ADE,
que atendem a propriedade citada acima.
Note que seus lados são correspondentes.
Exemplo 2
Critérios de semelhança
• 1° Critério - AAA (ângulo/ ângulo/ ângulo): Se os
ângulos de um triângulo forem respectivamente
congruentes aos ângulos correspondentes de outro
triângulo, então os triângulos são semelhantes.
Critérios de semelhança
• 2° Critério - LAL (lado/ângulo/lado): Se as medidas
de dois dos lados de dois triângulos são
respectivamente proporcionais, e os ângulos
determinados por estes lados são congruentes,
então os triângulos são semelhantes.
Critérios de semelhança
• 3° Critério - AA (ângulo/ângulo): Se dois triângulos
têm dois ângulos internos correspondentes
congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Critérios de semelhança
• 4° Critério - LLL (lado/lado/lado): Se as medidas dos
lados de dois triângulos são respectivamente
proporcionais, então os triângulos são semelhantes.
Exercício 5
Um edifício iluminado pelos raios solares projeta uma
sombra de comprimento 72m. Simultaneamente, uma
estaca vertical de 2,5m de altura, colocada ao lado do
edifício, projeta uma sombra de comprimento 3m. Qual
a Altura do edifício?
Exercício 5 (Resolução)
SITUAÇÃO
Exercício 5 (Resolução)
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