Algebra - Arquivo Escolar

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Álgebra
Christian Lomp
2004
2
Sumário
1 Preliminares
1.1 Lógica . . . .
1.2 Conjuntos . .
1.3 O princı́pio da
1.4 Relações . . .
.
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5
5
8
10
11
2 Aritmética
2.1 Divisores e múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Números primos e factorização . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
21
27
3 Aritmética modulo n
3.1 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Resolução da congruência linear ax ≡ b(modn)
3.3 O pequeno Teorema de Fermat . . . . . . . .
3.4 Sistema criptográfico RSA . . . . . . . . . . .
3.5 Representação na base n . . . . . . . . . . . .
33
33
36
40
42
45
. . . . .
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Indução
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4 Permutações
49
4.1 O grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Ciclos e Transposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Permutações pares e ı́mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Monóides e Grupos
5.1 Operações Binárias . . . . . . . . . . . .
5.2 Monóides . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Invertibilidade em monóides . . . . . . .
5.4 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Grupos cı́clicos . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Classes laterais e o Teorema de Lagrange
3
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63
63
64
66
67
72
74
4
SUMÁRIO
6 Anéis e corpos
81
6.1 Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Ideais e Teorema Fundamental do Homomorfismo . . . . . . . 84
6.3 Domı́nios de Integridade e Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Capı́tulo 1
Preliminares
1.1
Lógica
Neste curso só consideramos afirmações(proposições) relativamente as quais
podemos decidir se são verdadeiras ou falsos. Por exemplo a afirmação ”Este
frase é falsa.” é uma afirmação inadmissı́vel.
Sejam A e B afirmações. Temos as seguintes operações:
conjugação
A∧B
disjunção
A∨B
implicação
A⇒B
equivalência A ⇔ B
negação
¬A
é verdadeira se e
é verdadeira se e
é verdadeira se e
é verdadeira se e
ou ambas falsas.
é verdadeira se e
só
só
só
só
se
se
se
se
A
A
B
A
é B são verdadeiras.
ou B é verdadeira.
é verdadeira ou A é falsa.
e B são ambos verdadeiras
só se A é falsa.
Podemos representar estes operações por uma tabela de verdade (em
relação com os valores de A e B). A letra F representa o valor ”falsa”e
a letra V representa o valor ”verdadeira”.
A B
F F
F V
V F
V V
A∧B
F
F
F
V
A∨B
F
V
V
V
A⇒B
V
V
F
V
A⇔B
V
F
F
V
¬A
V
V
F
F
Estes tabelas dizem-se também tabelas de verdade. Seja A(X1 , . . . , Xn )
uma afirmação que depende das variáveis X1 , . . . , Xn cujos valores é F ou V .
A tabela de verdade de A é uma tabela onda para toda a combinação de F
e V por X1 , . . . , Xn o valor de A(X1 , . . . , Xn ) é registado.
5
6
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Por exemplo: Seja A(X, Y ) a afirmação que é verdade se e só se X é
verdade e Y é falso. Então a tabela de verdade de A é:
X
F
F
V
V
Y
F
V
F
V
A(X, Y )
A(F, F ) = F
A(F, V ) = F
A(V, F ) = V
A(V, V ) = F
Duas afirmações A(X1 , . . . , Xn ) e B(X1 , . . . , Xn ) que dependem da algumas variáveis X1 , . . . , Xn são equivalentes se têm a mesma tabela de
verdade.
Seja A(X, Y ) a afirmação do exemplo anterior e seja B(X, Y ) := ¬(X ⇒
Y ). Então vemos que as afirmações A e B são equivalentes. Escrevemos
A ≡ B.
Exercı́cio 1.1.1 Verifique que as duas afirmações (X ∧ (¬Y )) ∨ ((¬X) ∧ Y )
e ¬(X ⇔ Y ) são equivalentes.
Observação 1.1.2 As seguintes afirmações são verdadeiras para afirmações
A, B e C:
(1) [A ⇒ B] ≡ [B ∨ (¬A)]
(2) ¬(A ∧ B) ≡ (¬A) ∨ (¬B)
(3) ¬(A ∨ B) ≡ (¬A) ∧ (¬B)
(4) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
(5) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
(6) ¬(¬A) ≡ A
(7) A ∧ B = B ∧ A
(8) A ∨ B = B ∨ A.
Demonstração: Exercı́cio. As equivalências (2) e (3) dizem-se as leis de DeMorgan.
Quantificadores
Suponhamos que queremos fazer afirmações sobre alguns objectos/entidades.
Por exemplo sobre ”os alunos da FCUP”. Há duas maneiras de formular estas
afirmações:
1.1. LÓGICA
7
• Afirmações que são validas para todos os objectos; por exemplo a
afirmação ”Todos os alunos da FCUP têm um número mecanográfico”.
• Afirmações que são validas para (pelo menos) um objecto; por exemplo
a afirmação ”Existe um aluno da FCUP que tem cabelo louro.”
Na linguagem de matemática escrevemos
∀x : P (x)
para dizer que todo o objecto x tem a propriedade P (x). E escrevemos
∃x : P (x)
para dizer que existe (pelo menos) um objecto x que tem a propriedade
P (x). Temos sempre de indicar a qual objectos nos referimos. Por exemplo;
seja A o conjunto das alunos da FCUP e seja P (x)= ” x tem um número
mecanográfico ”. Podemos construir a afirmação ∀x ∈ A : P (x).
Observação 1.1.3 A negação das afirmações que contêm quantificadores é
importante. Seja P (x) uma propriedade.
(1) A negação da afirmação ”todos objectos x têm a propriedade P ” é equivalente da afirmação ”existe (pelo menos um) objecto x que não tem a
propriedade P ”. Em linguagem simbólica, escrevemos: ¬(∀x : P (x)) ≡
∃x : ¬P (x)
(2) A negação da afirmação ”existe um objecto x que tem a propriedade P ”
é equivalente da afirmação ”todos os objectos x não têm a propriedade
P ”. Em linguagem simbólica, escrevemos: ¬(∃x : P (x)) ≡ ∀x : ¬P (x)
Em vez de ¬(∃x : P (x)) escrevemos também @x : P (x).
Exemplo 1.1.4 Seja R o conjunto dos números reais. Consideramos as
seguintes afirmações:
(1) ∀x ∈ R : x2 > 0.
(2) ∃x ∈ R : x2 > 0.
(3) @x ∈ R : x2 > 0.
Só a afirmação em (2) é verdadeira; as outras são falsas.
8
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Seja P (x, y) uma propriedade que depende de dois objectos. Por exemplo
a propriedade ”x + y = 0” para x, y ∈ R é uma propriedade P (x, y) que
depende de dois objectos x e y. Temos:
[∃x∃y : P (x, y)] ≡ [∃y∃x : P (x, y)]
[∀x∀y : P (x, y)] ≡ [∀y∀x : P (x, y)].
Então a ordem das quantificadores do mesmo tipo não interesse.
Mas cuidado ! Geralmente a ordem das quantificadores de dois tipos
diferentes é importante:
[∀x∃y : P (x, y)] 6≡ [∃y∀x : P (x, y)]
Por exemplo: seja P (x, y) = ”x + y = 0” para x, y ∈ R então a afirmação
(∀x ∈ R)(∃y ∈ R) : x + y = 0
é verdadeira (para um x ∈ R escolhemos y = −x). Mas a afirmação
(∃y ∈ R)(∀x ∈ R) : x + y = 0
é falsa; se existe um y ∈ R tal que para todo x ∈ R : x + y = 0 temos em
particular 0 + y = 0 que implica y = 0. Mas 1 = 1 + 0 = 1 + y = 0 é absurdo.
O problema é que na frase ”para todos x existe um y tal que ...” o y
pode depender de x. Ou seja para qualquer x existe um y com uma certa
propriedade mas este y pode ser diferente para diferentes x. No entanto na
frase ”existe um y tal que para todos o x ...” o y é fixo para todos os x.
1.2
Conjuntos
Um conjunto é uma colecção de alguns objectos. Os objectos de um conjunto chamam-se elementos. Escrevemos a ∈ A se a é um elemento do
conjunto A ou a 6∈ A se a não é um elemento de A. Dois conjuntos são
iguais se têm os mesmos elementos. Por exemplo os conjuntos A = {0, 1, 2}
e B = {0, 0, 0, 1, 1, 2} são iguais; A=B. Escrevemos |A| para o número de
elementos do conjunto de A. Se A tem um número infinito de elementos
escrevemos |A| = ∞. Nota-se | {0, 0, 0, 1, 1, 2} |= 3.
Exemplo 1.2.1 Temos as seguintes conjuntos conhecidos:
1.2. CONJUNTOS
N
Z
Q
R
C
= {0, 1, 2, 3, · · ·}
= {0, ±1, ±2, ±3, · · ·}
= { ab | a, b ∈ Z ∧ b 6= 0}
= {a + ıb | a, b ∈ R}
9
os
os
os
os
os
números
inteiros
números
números
números
naturais
racionais
reais
complexos
Axioma do conjunto vazio: Existe um conjunto sem elementos. Este
conjunto chama-se o conjunto vazio.
Escrevemos ∅ para o conjunto vazio. Sejam A e B conjuntos. Se todo o
elemento de A é também um elemento de B digamos que A é um subconjunto
de B e escrevemos A ⊆ B.
Observação 1.2.2 (i) Sejam A e B dois conjuntos. Temos A = B se e só
se A ⊆ B e B ⊆ A.
(ii) O conjunto vazio é um subconjunto de todo o conjunto.
Seja B um conjunto e seja P uma propriedade que os elementos x de B
têm ou não têm. Então
A := {x ∈ B|x tem a propriedade P }
é um subconjunto de B.
Seja B = R+ por exemplo igual ao conjunto dos números reais positivos
e seja P (x) =00 x1 > 100 a propriedade que um número real x tem se x1 > 1
+
+ 1
A := {x ∈ R |x tem a propriedade P (x)} = x ∈ R | > 1 =]0, 1[.
x
Note-se que: se B é um conjunto e P uma propriedade tal que nenhum
elemento de B tem esta propriedade, então
A := {x ∈ B|x tem a propriedade P } = ∅.
Axioma dos conjunto das partes: Para todo o conjunto B existe um
conjunto P(B) cujo elementos são os subconjuntos de B.
Por exemplo para B := {0, 1, 2} o conjunto das partes P (B) de B é igual
P (B) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, B}.
Axioma da reunião: Para quaisquer dois conjuntos A e B existe um
conjunto que consiste precisamente dos elementos de A e de B. Chama-se a
reunião de A e B. Escrevemos A ∪ B para este conjunto.
Dado dois conjuntos A e B definimos os seguintes conjuntos:
10
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
• A ∩ B := {x ∈ A|x ∈ B} a intersecção de A e B.
• A \ B := {x ∈ A|x 6∈ B}
Obviamente temos (A \ B) ∩ B = ∅.
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto A × B =
{(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}. Dois pares (a, b) e (a0 , b0 ) são iguais se e só se a = a0
e b = b0 . Podemos repetir esta construção e obtemos um produto de k
conjuntos A1 , . . . , Ak :
A1 × · · · × Ak := {(a1 , . . . , ak ) | ai ∈ Ai para 1 ≤ i ≤ k}
1.3
O princı́pio da Indução
Suponhamos que para qualquer número positivo n temos uma afirmação
P (n). Para mostrar que todas afirmações P (n) são verdadeiras podemos usar
o princı́pio da indução: Se
(I1) P (0) é verdadeira e
(I2) se P (n) é verdadeira então P (n + 1) é verdadeira para n ≥ 0.
então todas as afirmações P (n) são verdadeiras.
P
”para qualquer
Exemplo 1.3.1 Seja P (n) a afirmação ” nk=0 k = n(n+1)
2
n ≥ 0. Vamos mostrar que todas afirmações P (n) são verdadeiras:
P
(I1) P (0) é verdadeira, pois para n = 0 a afirmação P (n) é ” 0k=0 k = 0 =
0(0+1)
”.
2
(I2) Seja n ≥ 0. Suponha que P (n) é verdadeira. Para mostrar que P (n+1)
P
é verdadeira temos de verificar se a igualdade n+1
k = (n+1)(n+2) é
Pn k=0 n(n+1) 2
válido. Por hipótese P (n) é verdadeira, i.e.
é válido.
k=0 k =
2
Logo
n+1
X
k=0
k=
n
X
k=0
k + (n + 1) =
n(n + 1) 2(n + 1)
(n + 2)(n + 1)
+
=
.
2
2
2
Portanto P (n + 1) é verdadeira.
Por indução todas as afirmações P (n) são verdadeiras.
1.4. RELAÇÕES
11
As vezes uma forma mais forte do princı́pio da indução é usada:
o princı́pio da indução forte: Se
(I1) P (0) é verdadeira e
(I2) se P (k) é verdadeira para qualquer k ≤ n então P (n + 1) é verdadeira
para n ≥ 0.
então todas as afirmações P (n) são verdadeiras.
1.4
Relações
Definição 1.4.1 Sejam A e B conjuntos. Um subconjunto R ⊆ A×B diz-se
uma relação entre A e B.
Dizemos que um elemento a ∈ A está em relação com um elemento b ∈ B
se (a, b) ∈ R.
Exemplo 1.4.2 Seja A um conjunto de algumas pessoas e seja R := {(x, y) ∈
A × A | y é filho de x}. Então R é uma relação em A. Seja B um conjunto de alguns computadores então o subconjunto S := {(t, x) ∈ B × A |
o computador t pertence a pessoa x} é uma relação entre B e A.
Observação 1.4.3 Para qualquer conjunto A podemos sempre definir em A
as seguintes relações:
• IdA := {(a, a) ∈ A × A | a ∈ A},
• T otalA := A × A.
Notação: Seja R uma relação entre A e B. Escrevemos aRb se e só se
(a, b) ∈ R e escrevemos a6 Rb se e só se (a, b) 6∈ R.
Definição 1.4.4 Seja R ⊆ A × B uma relação entre dois conjuntos A e B.
O domı́nio de uma relação R ⊆ A × B é o conjunto
Dom(R) := {a ∈ A| existe um b ∈ B tal que (a, b) ∈ R}
e a imagem de R é o conjunto
Im(R) := {b ∈ B| existe um a ∈ A tal que (a, b) ∈ R}.
Exemplo 1.4.5 Nem sempre temos Dom(R) = A ou Im(R) = B. Seja por
exemplo A = B = R.
12
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
• Seja R := {(x, y) ∈ R2 | y 2 = x}. O domı́nio de R não é igual a R:
Dom(R) = {x ∈ R | ∃y ∈ R : (x, y) ∈ R}
= {x ∈ R | ∃y ∈ R : y 2 = x} = R+ ∪ {0} =
6 R
• Seja R := {(x, y) ∈ R2 | y = 2}. A imagem de R não é igual a R:
Im(R) = {y ∈ R | ∃x ∈ R : (x, y) ∈ R}
= {y ∈ R | ∃x ∈ R : y = 2} = {y ∈ R | y = 2} = {2} =
6 R
• Dada uma relação qualquer, por definição de domı́nio e da imagem
R ⊆ Dom(R) × Im(R) é uma relação entre Dom(R) e Im(R).
Definição 1.4.6 Uma função entre dois conjuntos A e B é uma relação
R ⊆ A × B tal que para todo a ∈ A existe um e um só b ∈ B tal que
(a, b) ∈ R. Se (a, b) ∈ R escrevemos também a 7→ b ou f (a) = b para alguma
letra f .
Uma relação R é uma função se e só se Dom(R) = A e o conjunto
{b ∈ B | (a, b) ∈ R} ou é vazio ou tem um e um só elemento (para qualquer
a ∈ A).
Seja A um subconjunto de X então escrevemos
f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ A : y = f (x)}.
Seja C um subconjunto de Y então escrevemos
f −1 (C) := {x ∈ X | ∃y ∈ C : y = f (x)}.
Tem-se f (X) = Im(f ) e f −1 (Y ) = Dom(f ) = X.
Exemplo 1.4.7
1. Seja A um conjunto não vazio. Então a função da
identidade IdA : A → A definido por IdA (a) = a é uma função (ver
1.4.3(1)).
2. Seja A = B = R. A relação R := {(x, y) ∈ R2 | x = y 2 } não é uma
função. Uma vez que para x = 4 se tem (x, 2) ∈ R e (x, −2) ∈ R.
Também não há nenhum y ∈ R tal que (−1, y) ∈ R.
+
3. Seja A = B = R
√ . Então
√ a relação R de (2) é uma função. Este
função é f (x) = x onde x é a raiz positiva de x.
1.4. RELAÇÕES
13
Sejam f : X → Y e g : Y → Z funções. A composição de f por g
é a função h : X → Z definido por h(x) := g(f (x)) para qualquer x ∈ X.
Escrevemos g ◦ f := h.
Por exemplo se f : R → R é a função f (x) = 2x + 1 para qualquer x ∈ R
e g : R → R é a função g(x) = x2 então a composição de f por g é a função
(g◦f )(x) = (2x+1)2 . A composição de g por f é a função (f ◦g)(x) = 2x2 +1.
Definição 1.4.8 Uma função f : X → Y diz-se injectiva se para dois
elementos diferentes x1 e x2 de X as imagens f (x1 ) e f (x2 ) são elementos
diferentes de Y . Ou seja em linguagem simbólica: ∀x1 , x2 ∈ X : x1 6= x2 ⇒
f (x1 ) 6= f (x2 ).
A função f diz-se sobrejectiva se todo o elemento y ∈ Y é imagem de um
elemento de X. Ou seja em linguagem simbólica: ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f (x) = y.
Exercı́cio 1.4.9
(a) Encontre um exemplo de uma função f : X → Y com a propriedade:
(i) f não é nem injectiva nem sobrejectiva.
(ii) f é injectiva mas não é sobrejectiva.
(iii) f não é injectiva mas é sobrejectiva.
(iv) f é injectiva e sobrejectiva.
Definição 1.4.10 Seja f : X → Y uma função e seja
f −1 := {(y, x) ∈ Y × X | f (x) = y}.
Observação 1.4.11 Seja f : X → Y uma função. Então f −1 é uma função
se e só se f é injectiva e sobrejectiva.
Uma função f que é injectiva e sobrejectiva diz-se bijectiva ou bijecção.
A função f −1 diz-se a função inversa de f ou o inverso de f .
Observação 1.4.12 Uma função f : X → Y é uma bijecção se e só se
existe uma função g : Y → X tal que g ◦ f = IdX e f ◦ g = idY . Neste caso
g = f −1 .
Exercı́cio 1.4.13 Verifique que f : R+ → R+ definida por f (x) = (2x + 1)2
é bijectiva e determine f −1 .
Seja A = {a1 , a2 , . . . , an } um conjunto com n elementos e seja B =
{b1 , b2 , . . . , bm } um conjunto com m elementos (n, m ≥ 1).
14
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Observação 1.4.14 n = m se e só se existe uma bijecção f : A → B.
Consideramos o conjunto das funções entre A e B
B A := {f : A → B | f é uma função }.
Verificamos que B A tem mn elementos (ou seja |B A | = | B ||A| ).
Seja B := {0, 1} e seja P (A) := {C ⊆ A} o conjunto das partes de A.
Para todo o subconjunto C ⊆ A temos uma função 1C : A → {0, 1} definida
por
1 se a ∈ C
1C (a) :=
0 se a 6∈ C
(este função diz-se a função caracterı́stica de C).
Observação 1.4.15 A função
ϕ : P (A) −→ {0, 1}A
C
7→
1C
é uma função bijectiva.
Portanto |P (A)| = |{0, 1}A | = 2|A| .
Definição 1.4.16 Seja A um conjunto não vazio. Uma relação de equivalência
em A é uma relação R ⊆ A × A tal que R satisfaz as seguintes três propriedades:
(1) ∀a ∈ A : (a, a) ∈ R (digamos R é reflexiva).
(2) ∀a, b ∈ A : se (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R (digamos R é simétrica).
(3) ∀a, b, c ∈ A : se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R (R é transitiva).
Exemplo 1.4.17 (1) As relações IdA e T otalA em 1.4.3 são relações de
equivalência.
(2) Seja A o conjunto das computadores na cidade do Porto e seja R ⊆
A × A a relação definida por (a, b) ∈ R se e só se os computadores a
e b são do mesmo fabricante. Então R é uma relação de equivalência
em A.
1.4. RELAÇÕES
15
(3) Seja A = Z × Z \ {0}. Definimos
R := {((a, b), (c, d)) ∈ A × A | ad = bc} ⊆ A × A.
R é reflexiva porque para todo (a, b) ∈ A temos ab = ba e logo
((a, b), (a, b)) ∈ R. Suponha que ((a, b), (c, d)) ∈ R então ad = bc por
definição. Logo cb = da implica ((c, d), (a, b)) ∈ R - R é simétrica.
Se ((a, b), (c, d)) ∈ R e ((c, d), (e, f )) ∈ R então ad = bc e cf = de.
Portanto
acf = ade = bce ⇒ af = be ⇒ ((a, b), (e, f )) ∈ R
mostre que R é transitiva. Logo R é uma relação de equivalência.
Definição 1.4.18 Sejam A e I conjuntos não vazios e seja f : I → P (A)
uma função, i.e. para todo o i ∈ I temos um subconjuntos f (i) =: Ai de
A. Dizemos que a colecção {Ai }i∈I é uma famı́lia de subconjuntos de A
indexadas por I. Definimos a intersecção e a reunião de uma famı́lia de
subconjuntos:
\
[
Ai := {a ∈ A | ∀i ∈ I : a ∈ Ai } e
Ai := {a ∈ A | ∃i ∈ I : a ∈ Ai }
i∈I
i∈I
T
Ou seja i∈I Ai é oSmaior subconjunto de A que é um subconjunto de
todo os conjuntos Ai e i∈I Ai é o menor subconjunto de A que contem todo
o conjunto Ai .
Definição 1.4.19 Uma famı́lia
S {Ai }i∈I de subconjuntos de um conjunto A
diz-se uma partição de A se i∈I Ai = A e para quaisquer i 6= j: Ai = Aj
ou Ai ∩ Aj = ∅.
Exemplo 1.4.20 Seja A = I um conjunto não vazio e seja f : A → P (A)
a função f (x) = {x} =: Ax . A famı́lia {Ax }x∈A é uma partição de A.
Definição 1.4.21 Seja R ⊆ A × A uma relação de equivalência em A (A 6=
∅). Para qualquer elemento a ∈ A o subconjunto
[a]R := {b ∈ A | aRb}
de A diz-se a classe de a (relativamente R).
Observação 1.4.22 Seja R uma relação da equivalência num conjunto A
(não vazio). Seja [ ]R : A → P (A) a função a 7→ [a]R . Então {[a]R }a∈A é
uma partição de A.
16
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Observação 1.4.23 Seja {Ai }i∈I uma partição de um conjunto não vazio
A indexada por I. Definimos a relação
R := {(a, b) ∈ A × A | ∃i ∈ I : a ∈ Ai e b ∈ Ai }.
Então R é uma relação da equivalência.
Exercı́cio 1.4.24
Sejam A, B e C afirmações. Mostre que:
1. [A ⇒ B] ≡ [(¬B) ⇒ (¬A)]
2. [A ⇔ B] ≡ [A ⇒ B ∧ B ⇒ A]
3. A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
4. A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
5. ¬(A ∧ B) ≡ (¬A) ∨ (¬B)
6. ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
Sejam A, B e C conjuntos. Mostre que as seguintes igualdades são validas:
(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(c) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
(d) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
Sejam X e Y conjuntos e seja f : X → Y uma função. Sejam A e B
subconjuntos de X e sejam D e E subconjuntos de Y . Mostre que se verifica:
(a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B);
(b) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B);
(c) f −1 (D ∩ E) = f −1 (D) ∩ f −1 (E);
(d) f −1 (D ∪ E) = f −1 (D) ∪ f −1 (E);
(e) A ⊆ f −1 (f (A)) e f (f −1 (f (A))) = f (A);
(f ) D ⊇ f (f −1 (D)) e f −1 (f (f −1 (D))) = f −1 (D).
S
T
1
1
1. Descreva os subconjuntos n∈N [ n+1
, 1] e n∈N [ n+1
, 1] de R.
1.4. RELAÇÕES
17
2. Seja A := Z e seja An := {3a + n | a ∈ Z} para qualquer n ∈ N.
A famı́lia {An }n∈N é uma partição de Z ? Quantos subconjuntos An
diferentes existem ?
3. Seja A := R2 e seja Ar := {(x, 3x + r) ∈ R2 | x ∈ R} para qualquer r ∈
R. A famı́lia {Ar }r∈R é uma partição de R2 ? Como pode descrever Ar
geometricamente ? A famı́lia {Ar }r∈N é uma partição de R2 também?
18
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Capı́tulo 2
Aritmética
Neste capı́tulo estudamos as propriedade aritméticas dos inteiros Z.
2.1
Divisores e múltiplos
Definição 2.1.1 Um inteiro a divide um inteiro b se existe um inteiro q tal
que b = qa. Escrevemos a|b se a divide b. O inteiro q diz-se o quociente,
o inteiro b diz-se um múltiplo de a e a diz-se um divisor de b. b diz-se
divisı́vel por a.
Observação 2.1.2 Sejam a, b e c inteiros.
(1) Se a | b e b | c então a | c.
(2) Se a | b então −a | b e a | bc para qualquer inteiro c.
(3) Se a | b e a | c então a | b + c.
(4) Se 0|b então b = 0.
(5) para qualquer inteiro a temos a | 0
Demonstração: Exercı́cio. Relembre a ordem dos inteiros: a ≤ b se e só se b − a ≥ 0.
Observação 2.1.3 Seja b um inteiro positivo. Então todo o divisor positivo
de b está entre 1 e b.
Demonstração: Se a > 0 e a|b. Logo existe um inteiro q tal que b = aq.
Como a e b são positivo, q é positivo. Então b − a = a(q − 1) > 0 ou
equivalentemente b > a. 19
20
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA
Corolário 2.1.4 Seja a um inteiro. Se a | 1 então a = 1 ou a = −1.
Demonstração: Suponhamos que a é positivo. Então por 2.1.3 temos a = 1.
Se a é negativo então −a é positivo e pelo 2.1.3 −a = 1 ⇔ a = −1. Corolário 2.1.5 Sejam a e b inteiros. Se a | b e b | a então a = b ou
a = −b.
Demonstração: a | b implica que existe um c ∈ Z tal que b = ac e b | a
implica que existe um d ∈ Z com a = bd. Logo temos b = ac = bdc ou seja
b(1 − dc) = 0. Se b = 0 então a = 0 por 2.1.2(4). Se b 6= 0 temos 1 = dc ou
seja d | 1. Por Corolário 2.1.4 temos d = ±1 e portanto a = ±b. Teorema 2.1.6 (Algoritmo da divisão) Seja a um inteiro e b um número
positivo. Então existe um inteiro q e um número r tais que a = bq + r e
0 ≤ r < b.
Em vez de uma demonstração consideramos o seguinte algoritmo:
Algorı́tmo da divisão
INPUT:dois números positivos a e b
OUTPUT:dois números positivos q e r tal que a = bq + r e 0 ≤ r < b
(1) q := 0; r := 0;
(2) while(a − qb > b)q := q + 1;
(3) r := a − qb;
Para um inteiro a negativo podemos aplicar o algoritmo com −a e b e
obtemos q 0 e r0 tal que −a = bq 0 + r0 . Se r0 = 0 podemos escolher r = 0 e
q = −q 0 . Se r0 =
6 0 podemos escolher r := b − r0 e q = −(q 0 + 1). Temos
a = −(bq 0 + r0 ) = −bq 0 − b + b − r0 = qb + r.
O número r diz-se o resto e q diz-se o quociente da divisão de b por a.
Em qualquer linguagem de programação existem funções para calcular r e q.
Por exemplo em C tem-se r := b%a e q := b/a.
Exercı́cio 2.1.7 Calcule o resto e o quociente para os seguintes inteiros:
(i) a = 2047, b = 128; (ii) a = 5251, b = 89; (iii) a = −34, b = 13 (iv)
a = 4, b = 12;
2.2. MÁXIMO DIVISOR COMUM
2.2
21
Máximo divisor comum
Definição 2.2.1 Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos. Um inteiro c que divide a e b diz-se um divisor comum entre a e b. O maior
divisor comum de a e b diz-se o máximo divisor comum entre a e b.
Escrevemos mdc(a, b) para este inteiro positivo.
Note que só existe um máximo divisor comum entre dois inteiros.
Observação 2.2.2 Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos.
(1) mdc(a, b) = mdc(b, a)
(2) mdc(a, b) = mdc(−a, b)
(3) mdc(a, 0) = |a|
(4) mdc(a, b) = mdc(a, b + na) para qualquer n ∈ Z.
Demonstração: (1-3) Exercı́cios.
(4) Todo o divisor comum entre a e b é também um divisor comum entre a e
b + na (para qualquer n ∈ Z) e todo o divisor comum entre a e b + na é um
divisor comum entre e a e b. De facto, se d | a e d | b então d | b + an (por
2.1.2(2+3) ) e se d | a e d | b + na então d | b + na − na, isto é d | b. Portanto
mdc(a, b) = mdc(a, b + na). Corolário 2.2.3 Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos. Seja a =
qb + r com q, r ∈ Z e 0 ≤ r < b. Então mdc(a, b) = mdc(b, r).
Demonstração: Por 2.2.2(1) temos mdc(a, b) = mdc(b, a). Como r = a +
(−q)b temos por 2.2.2(4) mdc(b, a) = mdc(b, r). Logo mdc(a, b) = mdc(b, r).
O último corolário ajuda calcular o máximo divisor comum. Por exemplo seja a = 45 e b = 18. O resto 45 por 18 é 9. Por o corolário temos
mdc(45, 18) = mdc(18, 9). O resto de 18 por 9 é 0. Aplicamos o corolário
de novo temos mdc(18, 9) = mdc(9, 0). Por 2.2.2(3) temos mdc(9, 0) = 9.
Portanto:
mdc(45, 18) = mdc(18, 9) = mdc(9, 0) = 9.
O seguinte algoritmo de Euclides (325 - 265 A.D.) usa o último corolário
para determinar o mdc:
22
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA
Algorı́tmo de Euclides
INPUT: a, b ∈ N>0
OUTPUT: mdc(a, b)
while (b 6= 0) do
{ substitue ao mesmo tempo a por b e b pelo resto da divis~
ao de a
por b. }
return a
Podemos implementar facilmente este algoritmo na linguagem C:
int mdc(int a, int b)
{
int aux;
while(b!=0) { aux=b; b=a%b; a=aux }
return a
}
Exemplo 2.2.4 Sejam a = 144 e b = 81. O algoritmo trabalha da seguinte
forma:
a
b
144 81
81 63
63 18
18
9
9
0
a%b
63
18
9
0
144 = 1*81 + 63
81 = 1*63 + 18
63 = 3*18 + 9
18 = 2*9 + 0
algoritmo termina
(1)
(2)
(3)
(4)
Logo mdc(144, 81) = 9. Note que as equações (3),(2) e (1) implicam:
mdc(144, 81)
=
=
=
=
=
63 − 3 ∗ 18
por (3)
63 − 3 ∗ (81 − 1 ∗ 63)
por (2)
4 ∗ 63 + (−3) ∗ 81
4 ∗ (144 − 1 ∗ 81) + (−3) ∗ 81 por (1)
4 ∗ 144 + (−7) ∗ 81
Encontrámos inteiros r e s (r = 4, s = −7) tal que
mdc(144, 81) = r ∗ 144 + s ∗ 81
Teorema 2.2.5 Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos. Então
existem inteiros r e s tais que mdc(a, b) = r ∗ a + s ∗ b.
2.2. MÁXIMO DIVISOR COMUM
23
Se a e b são inteiros positivos e a = qb + r para alguns inteiros q, r com
0 ≤ r < b então sabemos mdc(a, b) = mdc(b, r). Suponha que existem
inteiros x, y ∈ Z tal que mdc(b, r) = xb + yr então temos:
mdc(a, b) = mdc(b, r) = xb + yr = xb + y(a − qb) = ya + (x − qy)b.
Isto surgiu o seguinte algoritmo recursivo: Algorı́tmo mdc
INPUT:a, b ∈ Z+ e x, y ∈ Z
OUTPUT:mdc(a, b) = xa + yb
if (b! = 0) {
determine q e r tal que a = qb + r;
aux:=mdc(b,r,x,y);
substitue x por y e y por x-qy;
return aux;
}
else
{
x=1;
y=0;
return a;
}
Temos também a seguinte versão alargada do Algoritmo de Euclides que
não usa recursão:
Algorı́tmo de Euclides(alargada)
INPUT: a, b ∈ N>0
OUTPUT: x, y ∈ Z tal que mdc(a, b) = xa + yb
Variáveis auxiliar: q, r, u, v, x, y ∈ Z
Inicializaç~
ao: x = 1; v = 1; y = 0; u = 0;
while (b n~
ao nulo) do
{ encontre q e r tal que a = qb + r e 0 ≤ r < b
substitue simultaneamente:
a por b e b por r
x por u e u por x − qu
y por v e v por y − qv
}
return x e y
24
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA
Por exemplo sejam a = 144 e b = 81. O algoritmo trabalha assim:
a b x
144 81 1
81 63 0
63 18 -1
18 9 -1
9 0 4
u y u
0 0 1
1 1 -1
1 -1 2
4 2 -7
-9 -7 16
144 = 1*81 + 63
81 = 1*63 + 18
63 = 3*18 + 9
18 = 2*9 + 0
algoritmo termina
Podemos agora mostrar algumas propriedades importantes do máximo
divisor comum.
Teorema 2.2.6 Sejam a, b e d inteiros positivos. As seguintes afirmações
são equivalentes:
(a) d = mdc(a, b).
(b) d é um divisor comum entre a e b tal que todo o divisor comum positivo
de a e b também é um divisor de d.
(c) d é o menor inteiro positivo tal que existem inteiros x e y tal que
d = x ∗ a + y ∗ b.
A caracterização (c) do mdc diz:
mdc(a, b) = min{d ∈ Z>0 | ∃x, y ∈ Z : d = x ∗ a + y ∗ b}
Demonstração: (a) ⇒ (c) Seja e := min{z ∈ Z>0 | ∃x, y ∈ Z : z =
xa + yb}. Pelo Algoritmo de Euclides existem x, y ∈ Z tais que d = xa + yb.
Como e é o menor inteiro com esta propriedade tem-se e ≤ d. Por outro lado
d é um divisor comum entre a e b. Logo temos d | ra + sb para quaisquer
inteiros r e s e d | e ou seja d ≤ e. Portanto d = e.
(c) ⇒ (b) Seja d := min{z ∈ Z>0 | ∃x, y ∈ Z : z = xa + yb} e sejam x e y
inteiros tais que d = xa + yb. Seja c um divisor comum positivo de a e b.
Logo existem r e s tal que a = rc e b = sc. Portanto d = xa + (yb = xr + ys)c
mostra que c divide d.
(b) ⇒ (a) Como mdc(a, b) é um divisor comum positivo de a e b temos
por hipótese mdc(a, b) | d ou seja mdc(a, b) ≤ d (2.1.3). Mas mdc(a, b) é o
máximo divisor comum entre a e b. Portanto tem-se mdc(a, b) = d. Em particular temos o seguinte corolário:
Corolário 2.2.7 Sejam a e b inteiros positivos e existem inteiros x e y tais
que 1 = x ∗ a + y ∗ b então mdc(a, b) = 1.
2.2. MÁXIMO DIVISOR COMUM
25
Dois inteiros a e b com mdc(a, b) = 1 dizem-se relativamente primos.
Observação 2.2.8 Para qualquer inteiros a, b ∈ Z \ {0} temos
b
são relativamente primos.
mdc(a,b)
a
mdc(a,b)
e
a
Demonstração: De facto se um d ≥ 1 é um divisor comum de mdc(a,b)
e
a
b
b
então existem x, y ∈ Z tal que mdc(a,b) = xd e mdc(a,b) = yd. Logo
mdc(a,b)
dmdc(a, b) é um divisor comum de a e b. Portanto dmdc(a, b) ≤ mdc(a, b)
porque mdc(a, b) é o máximo divisor comum. Mas isto implica d ≤ 1 ou seja
a
b
d = 1. Então mdc( mdc(a,b)
, mdc(a,b)
) = 1. Corolário 2.2.9 Sejam a e b dois inteiros positivos e suponha que a e b são
relativamente primos. Para qualquer inteiro c temos: se a | bc então a | c.
Demonstração: Pelo algoritmo de Euclides existem inteiros x e y tais que
1 = xa + yb. Logo c = xac + ybc. Se a | bc então a | xac + ybc ⇒ a | c. Dados inteiros a, b, c ∈ Z queremos encontrar todos os inteiros X e Y tais
que
aX + bY = c.
Uma equação deste tipo diz-se uma equação de Diofanto linear.
( Diofanto de Alexandria, matemático grego, vivia (cerca) entre 200-284 A.D.)
Observação 2.2.10 Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos e relativamente primos (mdc(a, b) = 1). Suponha que existem inteiros X e Y tais que
aX + bY = 0 então existe um inteiro n tal que
X = −nb e Y = na.
Demonstração: aX + bY = 0 ⇒ aX = −bY . Se a = 0 temos b = 1 porque
mdc(0, b) = 1 ⇒ b = 1. Logo Y = 0 = n0 e X = −n para qualquer n ∈ Z.
Suponha que a 6= 0. Como a | −bY e mdc(a, b) = 1 temos por 2.2.9 a | −Y .
Portanto existe n ∈ Z tal que Y = na e aX = −bY = −nab implica X = −nb. Teorema 2.2.11 Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos. As soluções
inteiros X e Y da equação aX + bY = 0 são da forma
X=
para algum n ∈ Z.
na
−nb
e Y =
mdc(a, b)
mdc(a, b)
26
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA
Demonstração: Para qualquer n ∈ Z temos
a
−nb
na
−nab + nab
+b
=
= 0.
mdc(a, b)
mdc(a, b)
mdc(a, b)
−nb
na
Logo X = mdc(a,b)
e Y = mdc(a,b)
são soluções da equação aX + bY = 0.
Sejam X e Y soluções da equação aX + bY = 0 então X e Y também são
a
b
soluções da equação A equação mdc(a,b)
X + mdc(a,b)
Y = 0. Por observação 2.2.8
a
mdc(a,b)
b
mdc(a,b) são relativamente primo
−nb
na
X = mdc(a,b)
e Y = mdc(a,b)
.
e
e por observação 2.2.10 existe um n ∈ Z
tal que
Portanto as soluções da equação aX + bY = 0 são precisamente os inteiros
−nb
na
X = mdc(a,b)
e Y = mdc(a,b)
para algum n ∈ Z. Teorema 2.2.12 Sejam a, b, c ∈ Z tal que a e b não são simultaneamente nulos.
A equação de Diofanto linear aX + bY = c tem uma solução inteiro se e só se
mdc(a, b) | c. Neste caso todas as soluções inteiros são da forma:
X=
rc + nb
sc − na
e Y =
,
mdc(a, b)
mdc(a, b)
para algum n ∈ Z e r, s ∈ Z tais que mdc(a, b) = ra + sb.
Demonstração: Suponha que X, Y ∈ Z são soluções da equação aX + bY = c.
Como mdc(a, b) | a e mdc(a, b) | b temos mdc(a, b) | aX + bY = c. Logo se
mdc(a, b) - c então não há soluções inteiros da equação.
Suponha que mdc(a, b) | c. Por o algoritmo de Euclides existem inteiros r, s tais
rc
sc
que mdc(a, b) = ra + sb. Como mdc(a, b) | c os valores X = mdc(a,b)
e Y = mdc(a,b)
são inteiros e temos:
aX + bY =
ar + bs
arc + bsc
=c
= c.
mdc(a, b)
mdc(a, b)
Portanto X e Y são soluções da equação.
Para mostrar que todos os soluções têm a forma indicada suponha que X e Y
rc
sc
são soluções inteiros da equação aX + bY = c. Portanto mdc(a,b)
− X e mdc(a,b)
−Y
0
0
são soluções da equação aX + bY = 0. De facto
sc
rc
−X
+ b
−Y
a
mdc(a, b)
mdc(a, b)
rc
sc
= a
+b
− [aX + bY ] = c − c = 0.
mdc(a, b)
mdc(a, b)
Por 2.2.12 existe um n ∈ Z tal que
rc
−nb
sc
na
−X =
e
−Y =
mdc(a, b)
mdc(a, b)
mdc(a, b)
mdc(a, b)
2.3. NÚMEROS PRIMOS E FACTORIZAÇÃO
27
Ou seja
X=
sc − na
rc + nb
e Y =
mdc(a, b)
mdc(a, b)
2.3
Números primos e factorização
Definição 2.3.1 Um número positivo p ≥ 2 diz-se um número primo se os
únicos divisores positivos de p são 1 e p.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
Observação 2.3.2 Todo o inteiro maior que 1 é divisı́vel por um número primo.
Demonstração: Seja a > 1. Se a é um número primo, então como a é divisı́vel
por si próprio, a é divisı́vel pelo primo p = a. Se a não é um primo, então existe
um inteiro positivo 1 < a2 < a tal que a2 | a. Se a2 é primo, então o primo p = a2
divide a. Se a2 não é primo então existe um inteiro positivo 1 < a3 < a2 tal que
a3 | a2 . Note que também a3 | a. Se a3 é primo então o primo p = a3 divide a. Se
a3 não é primo então existe um 1 < a4 < a3 tal que a4 | a3 . Continuando assim
obtemos inteiros ai tal que 1 < ai < ai−1 < . . . < a2 < a e ai | a. Este processo
tem de terminar depois no máximo a − 1 passos e encontramos um divisor ai de a
que é um primo. Corolário 2.3.3 Há uma infinidade de números primos.
Demonstração: Suponhamos que existe apenas um número finito de primos.
Sejam p1 , . . . , pn todos os números primos distintos. Consideramos o número m :=
p1 p2 · · · pn + 1. Pela observação acima 2.3.2, existe um número primo que divide
m. Como p1 , . . . , pn são todos os números primos existe i ∈ {1, . . . , n} tal que
pi | m. Mas como pi | p1 p2 · · · pn temos pi | m − p1 p2 · · · pn ou seja pi | 1 porque
m − p1 p2 · · · pn = 1. Por 2.1.4 pi = 1 - uma contradição porque 1 não é um número
primo. Portanto existe um número infinito de primos. Para decidir se um número n é um número primo basta verificar se nenhum
√
primo entre 2 e n divide n.
Observação 2.3.4 Seja n ≥ 2 um número. Suponha que nenhum número primo
√
entre 2 e n divide n então n é um número primo.
28
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA
√
Demonstração: Seja n ≥ 2 tal que nenhum número primo entre 2 e n divide
n. Suponha que n não é um número primo. Então n = ab para alguns inteiros
1 < a, b < n. Por 2.3.2 existem números primos p e q tal que p | a e q | b.
√
Como p e q dividem também n temos por hipótese p, q > n. Portanto temos:
√ √
n = ab ≥ pq > n n = n que é absurdo (n > n). Logo n é um número primo. Exemplo 2.3.5 Seja n = 127. Para
número primo
basta
√ verificar que n é um √
√
de ver se nenhum primo entre 2 e 127 divide 123. Temos 127 < 144 = 12.
Os números primos entre 2 e 12 são: 2, 3, 5, 7, 11 e nenhum destes números divide
127. Portanto 127 é um número primo.
Para usar o critério 2.3.4 precisamos uma lista dos números primos entre 2
é um número n ≥ 2. O grego Eratóstenes (276-194 A.D.) inventou o seguinte
algoritmo para obter esta lista.
Algorı́tmo Crivo de Eratóstenes
INPUT: n ≥ 2
OUTPUT:uma lista de todos os primos menores ou iguais a n
Construa uma lista L := [2, 3, . . . , n] e uma lista vazia M := ∅
while( L 6= ∅ ) do
{
Escolha o menor número a da liste L.
Coloque a na lista M
Remova todos os múltiplos de a da lista L
}
A lista M é o OUTPUT.
Exercı́cio 2.3.6 Escreve um programa na linguagem C que implemente o Crivo
de Eratóstenes. Faça uma lista dos números primos entre 1 e 1000. Quantos
números primos há entre 1 e 1000 ?
Observação 2.3.7 O crivo de Eratóstenes e o critério 2.3.4 dão um algoritmo
para decidir se um número é primo: Dado n ≥ 2 faça uma lista M dos pri√
mos entre 2 e n usando o crivo de Eratóstenes. Se nenhum
de M di√ primo √
vide n, n é primo. Por exemplo seja n = 1021. Temos 1021 < 1024 =
32. Usando o crivo de Eratóstenes encontramos os primos entre 2 e 32 são
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e nenhum destes números primos divide 1021. Portanto 1021 é um número primo.
Teorema 2.3.8 Seja p ≥ 1 um inteiro. Tem-se que p é primo se e só se para
todos a, b ∈ Z: se p | ab então p | a ou p | b.
2.3. NÚMEROS PRIMOS E FACTORIZAÇÃO
29
Demonstração: ” ⇒ ” Suponha que p é um primo e p | ab para alguns a, b ∈ Z.
Se p - a então 1 = mdc(a, p) ou seja a e p são relativamente primo. Pelo Corolário
2.2.9 temos p | b (podemos supor que a é positivo. Caso contrário −a é positivo,
logo p | (−a)(−b) implica p | (−b)).
” ⇐ ” Suponha que d é um divisor positivo de p. Então existe um inteiro e tal
que p = de ou seja p | de. Por hipótese p | d ou p | e. Se p | d temos p = d. Se
p | e temos e = pe0 para um e0 ∈ Z. Portanto p = de = dpe0 implica 1 = de0 ou
seja d | 1. Por 2.1.4 temos d = 1. Corolário 2.3.9 Seja p um primo e a1 , . . . , ak inteiros. Se p | a1 · · · ak então
existe um ı́ndice i ∈ {1, . . . , k} tal que p | ai .
Demonstração:
p | a1 · · · ak ⇒ p | a1 ou p | a2 · · · ak
⇒
..
.
p | a1 ou p | a2 ou p | a3 · · · ak
..
.
⇒ p | a1 ou p | a2 ou · · · ou p | ak−1 ou p | ak
Podemos agora mostrar o Teorema fundamental da Aritmética:
Teorema 2.3.10 (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo o inteiro a >
1 é produto de primos, existem k ≥ 1, n1 , . . . , nk e números primos p1 , . . . , pk tais
que pi 6= pj para i 6= j e
a = pn1 1 pn2 2 · · · pnk k =
k
Y
pni i .
i=1
Esta factorização em números primos de a é única a menos da ordem dos factores.
Demonstração: Seja a > 1. Pela observação 2.3.2 existe um número primo p1
que divide a. Temos 1 ≤ a/p1 < a. Se a/p1 6= 1 existe mais um número primo p2
que divide a/p1 . Logo
1 ≤ a/(p1 p2 ) < a/p1 .
Se a/(p1 p2 ) 6= 1 existe um número primo p3 que divide a/(p1 p2 ). Temos
1 ≤ a/(p1 p2 p3 ) < a/(p1 p2 ).
30
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA
Continuando este processo obtemos números primos p1 , p2 , . . . , pm tais que a/(p1 p2 · · · pm ) =
1 Ou seja a = p1 p2 · · · pm . Nesta forma alguns destes primos pi podem ser iguais.
Seja k =| {p1 , . . . , pm } | o número de primos diferentes. Existem expoentes
n1 , . . . , nk tal que
k
Y
pni i .
a = p1 · · · pm = pn1 1 · · · pnk k =
i=1
Sejam a = q1 · · · qr = p1 · · · pm duas factorizações de a em números primos. Sem
perda da generalidade podemos supor que r ≥ m. Temos q1 | a = p1 · · · pm . Pelo
2.3.9 existe um i ∈ {1, . . . , m} tal que q1 | pj . Como pj é um primo e como q1 6= 1
temos q1 = pj . Sem perda da generalidade podemos supor que j = 1. Dividimos
a por q1 temos q2 · · · qr = p2 · · · pm . Continuando este processo e dividimos por
p2 , p3 , . . . , pm . Se r 6= m chegamos depois de m passos a equação pr−m · · · pr = 1.
Logo pi = 1 para todo r − m ≤ i ≤ m - uma contradição porque os pi são números
primos e por definição diferentes de 1. Portanto r = m. Definição 2.3.11 Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos. Um inteiro m
tal que a e b são divisores de m diz-se um múltiplo comum de a e b. Escrevemos
mmc(a, b) para o menor múltiplo comum positivo de a e b. Este valor diz-se o
mı́nimo múltiplo comum entre a e b.
Teorema 2.3.12 Temos mmc(a, b) =
ab
mdc(a,b)
para a, b inteiros positivos.
Demonstração: Pelo Algoritmo de Euclides existem inteiros x, y ∈ Z tais que
mdc(a, b) = xa + yb. Por definição mmc(a, b) é um múltiplo de a e de b. Logo
existem inteiros r, s ∈ Z tais que ar = mmc(a, b) = bs. Temos
mmc(a, b)mdc(a, b) = ar(xa + yb) = a(xar + ybr) = a(xbs + ybr) = ab(xs + yr).
ab
ab
Logo mmc(a, b) = mdc(a,b)
(xs+yr). Note-se que (xs+yr) é positivo. Como mdc(a,b)
é um múltiplo comum positivo de a e b e como mmc(a, b) por definição é o menor
ab
múltiplo comum positivo de a e b temos mmc(a, b) ≤ mdc(a,b)
. Portanto
mmc(a, b) ≤
ab
ab
≤
(xs + yr) = mmc(a, b)
mdc(a, b)
mdc(a, b)
implica xs + yr = 1 e mmc(a, b) =
ab
mdc(a,b) .
Observação 2.3.13 Sejam a e b inteiros positivos maiores
1. Sabemos
que
Qk de
Ql
m
ni
a e b têm uma factorização em números primos: a = i=1 pi e b = j=1 qj j ,
para números primos p1 , . . . , pk e q1 , . . . , ql e ni , mj ≥ 1 Sem perda da generalidade
podemos supor que k = l e {p1 , . . . , pk } = {q1 , . . . , ql } (porque se um número pi não
2.3. NÚMEROS PRIMOS E FACTORIZAÇÃO
31
aparece na factorização de b incluı́mos o factor p0i formalmente na factorização).
Então podemos escrever a e b na seguinte forma:
mk
1 m2
a = pn1 1 pn2 2 · · · pknk e b = pm
1 p 2 · · · pk
para k ≥ 1, alguns números primos p1 , p2 , . . . , pk e expoentes ni , mi ≥ 0. Calcular
agora o máximo divisor comum e o menor múltiplo comum de a e b é fácil. Temos
min(n1 ,m1 ) min(n2 ,m2 )
min(nk ,mk )
p2
· · · pk
mdc(a, b) = p1
max(n1 ,m1 ) max(n2 ,m2 )
max(nk ,mk )
p2
· · · pk
mmc(a, b) = p1
Exemplo 2.3.14 Sejam a = 4200 e b = 7865. Temos a factorização em números
primos
a = 23 ∗ 31 ∗ 52 ∗ 71 e b = 51 ∗ 112 ∗ 131 .
Podemos escrever a e b como produto de factores primos comum:
a = 23 ∗ 31 ∗ 52 ∗ 71 ∗ 110 ∗ 130 e b = 20 ∗ 30 ∗ 51 ∗ 70 ∗ 112 ∗ 131 .
O máximo divisor comum e o menor múltiplo comum de a e b são:
mdc(a, b) = 2min(3,0) ∗ 3min(1,0) ∗ 5min(2,1) ∗ 7min(1,0) ∗ 11min(0,2) ∗ 13min(0,1)
= 20 ∗ 30 ∗ 51 ∗ 70 ∗ 110 ∗ 130
= 5.
mmc(a, b) = 2max(3,0) ∗ 3max(1,0) ∗ 5max(2,1) ∗ 7max(1,0) ∗ 11max(0,2) ∗ 13max(0,1)
= 23 ∗ 31 ∗ 52 ∗ 71 ∗ 112 ∗ 131
= 6606600
32
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA
Capı́tulo 3
Aritmética modulo n
3.1
Congruências
Definição 3.1.1 Seja n ∈ N. Definimos a seguinte relação de equivalência em Z:
Rn := {(a, b) ∈ Z × Z | n | b − a}
Se (a, b) ∈ Rn então dizemos que a é congruente com b modulo n. Escrevemos
também a ≡ b(mod n).
Dado um inteiro a ∈ Z. O subconjunto de Z que consiste de todos os inteiros b
tais que a é congruente com b módulo n diz-se a classe de a módulo n.
[a]n := {b ∈ Z | b ≡ a(mod n)}
Exemplo 3.1.2 Seja n = 2 e a, b ∈ Z. Suponha que a é congruente com b módulo
2 ou seja a ≡ b(mod 2). Por definição 2 | b − a. Se a é um número par então
existe um inteiro k tal que a = 2k. Tem-se 2 | b − 2k ⇒ 2 | b. Logo b é um
número par. Se a é ı́mpar então existe um inteiro k tal que a = 2k + 1. Logo
2 | b − 2k − 1 ⇒ 2 | b − 1 ou seja b = 2l + 1 para um l ∈ Z. Logo b é ı́mpar também.
Portanto se a é congruente com b módulo 2 então a e b são ambos par ou ambos
ı́mpar.
No outro caso suponha que a e b são dois números pares então b − a é par
também e logo 2 | b − a. Logo a é congruente com b módulo 2. Se a e b são ambos
ı́mpar então b − a é par e também temos a é congruente com b módulo 2.
Vimos que dois inteiros a é b são congruente módulo 2 se e só se ambos são
números pares ou números ı́mpares.
A congruência módulo 2 divide os inteiros em duas partes : os números pares
e os números ı́mpares. A classe [a]2 módulo 2 de um elemento a ou é igual os
números pares ou é igual os números ı́mpares.
[a]2 = { os números pares } = [0]2 [a]2 = { os números ı́mpares} = [1]2
33
34
CAPÍTULO 3. ARITMÉTICA MODULO N
Observação 3.1.3 Seja n ∈ N:
1. ∀a ∈ Z : a ∈ [a]n porque a ≡ a(mod n).
2. ∀a, b ∈ Z : b ≡ a(mod n) ⇔ a ≡ b(mod n).
3. ∀a, b, c ∈ Z : se a ≡ b(mod n) e b ≡ c(mod n) então a ≡ c(mod n). Isto
implica também: b ≡ c(mod n) ⇔ [b]n ⊆ [c]n .
4. Temos em particular:
[a]n = [b]n ⇔ [a]n ∩ [b]n 6= ∅ ⇔ a ≡ b(mod n)
(suponha que existe c ∈ [a]n ∩ [b]n . Então [c]n ⊆ [a]n ∩ [b]n . Por (2) temos
também a, b ∈ [c]n e logo
[a]n ∪ [b]n ⊆ [c]n ⊆ [a]n ∩ [b]n ,
que implica [a]n = [c]n = [b]n . Portanto [a]n ∩ [b]n 6= ∅ ⇒ [a]n = [b]n . A
outra implicação é obvia.)
5. As classes {[a]n }a∈Z módulo n formam uma
S partição de Z. (Pois, como
todo o inteiro a ∈ Z pertence a [a]n temos a∈Z [a]n = Z. Vimos na alı́nea
anterior que [a]n = [b]n ou [a]n ∩ [b]n = ∅ para qualquer a, b ∈ Z.)
6. Seja a ∈ Z. Pelo Algoritmo da Divisão existem q, r ∈ Z tais que
a = qn + r e 0 ≤ r < n.
Temos a − r = qn ou seja a ≡ r(mod n). Por (4) temos [a]n = [r]n ou seja
a classe de um inteiro a módulo n é igual a classe do resto da sua divisão
por n.
7. Para o conjunto das classes módulo n escrevemos:
Zn := {[a]n | a ∈ Z}
Se n 6= 0 este conjunto tem precisamente n elementos (distintos) ou seja
| Zn |= n. Vimos na alı́nea anterior que, para qualquer a ∈ Z, existe um
número 0 ≤ r < 0 (o resto da divisão de a por n) tal que [a]n = [r]n . Logo
Zn := {[0]n , [1]n , [2]n , . . . , [n − 1]n }
Exemplo 3.1.4 Seja n = 5. Qual é a classe de 73 módulo 5? Temos para um
inteiro b
b ≡ 73(mod n) ⇔ ∃n ∈ Z : b − 73 = 5n
⇔ ∃n ∈ Z : b − 14 ∗ 5 − 3 = 5n
⇔ ∃n ∈ Z : b − 3 = 5(n + 14)
⇔ b ≡ 3(mod5).
3.1. CONGRUÊNCIAS
35
Portanto as classes [73]5 e [3]5 são iguais e temos:
[73]5 = [3]5 = {b ∈ Z | o resto da divisão de b por 5 é 3} = {5n + 3 | n ∈ Z}.
Observação 3.1.5 Seja n ∈ N e sejam a, a0 , b, b0 ∈ Z tais que a ≡ a0 (mod n) e
b ≡ b0 (mod n). Temos
(i) a ± b ≡ a0 ± b0 (mod n);
(ii) a ∗ b ≡ a0 ∗ b0 (mod n);
(iii) para qualquer k ∈ N tem-se ak ≡ (a0 )k (mod n).
Em geral não temos a/b ≡ a0 /b0 (mod n) se b | a e b0 | a0 . Por exemplo
seja n = 4, a = 10, a0 = 6, b = 10, b0 = 2. Tem-se a = 10 ≡ 6 = a0 (mod 4) e
b = 10 ≡ 2 = b0 (mod 4) mas não temos a/b = 1 ≡ a0 /b0 = 3(mod 4).
Definição 3.1.6 Seja n ∈ N. Temos as seguintes operações no conjunto Zn . Para
qualquer [a]n , [b]n ∈ Zn definimos:
[a]n + [b]n := [a + b]n e [a]n ∗ [b]n = [a ∗ b]n
Observação 3.1.7
1. As operações + e ∗ são independente das escolha do
representante dos elementos [a]n .
2. As operações + e ∗ são comutativas
[a]n + [b]n = [b]n + [a]n e [a]n ∗ [b]n = [b]n ∗ [a]n
e distributiva relativamente +
[a]n ∗ ([b]n + [c]n ) = ([a]n ∗ [b]n ) + ([a]n ∗ [c]n ) .
A aritmética modular tem alguns aplicações úteis:
Observação 3.1.8 A aritmética modular pode ser usado para verificar que um
número é divisı́vel por 9. Seja a ∈ Z+ . Podemos representar a na forma:
a = an 10n + an−1 10n−1 + · · · + a2 102 + a1 10 + a0
para a0 , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, . . . , 9} e an 6= 0.
Tem-se 10 ≡ 1(mod 9) e logo 10k ≡ (1)k (mod 9) = 1(mod 9). Portanto
⇔
⇔
⇔
9
a
an 10n + +an−1 10n−1 + · · · + a2 102 + a1 10 + a0
an + an−1 + · · · + a2 + a1 + a0
|
≡
≡
≡
a
0(mod 9)
0(mod 9)
0(mod 9)
36
CAPÍTULO 3. ARITMÉTICA MODULO N
Por exemplo os números a = 1233 e a = 123456789 são divisı́veis por 9.
Observação 3.1.9 A aritmética modular ajuda também a reduzir potências. Suponhamos que queremos decidir se o número 109 + 1 é divisı́vel por 19. Temos:
10 ≡ (−9)(mod 19)
e logo
102 ≡ (−9)2 (mod 19) = 81(mod 19) = 5(mod 19).
Continuando assim obtemos:
104 ≡ (102 )2 (mod 19) = 52 (mod 19) = 6(mod 19)
108 ≡ (104 )2 (mod 19) = 62 (mod 19) = (−2)(mod 19)
109 ≡ 10 ∗ (10)8 (mod 19) = (−20)(mod 19) = (−1)(mod 19)
109 + 1 ≡ (−1) + 1(mod 19) = 0(mod 19)
Portanto 19 | 109 + 1.
3.2
Resolução da congruência linear ax ≡ b(modn)
Em vez da equação linear aX = b com inteiros a e b podemos também estudar
soluções da congruência linear aX ≡ b(mod n).
Observação 3.2.1 As operações + e ∗ têm um elemento neutro. Temos
[a]n + [0]n = [a + 0]n = [a]n = [0 + a]n = [0]n + [a]n
[a]n ∗ [1]n = [a ∗ 1]n = [a]n = [1 ∗ a]n = [1]n ∗ [a]n
Definição 3.2.2 Um elemento [a]n ∈ Zn \ {[0]n } diz-se invertı́vel se existe um
elemento [b]n ∈ Zn tal que
[a]n ∗ [b]n = [1]n
O elemento [b]n diz-se o inverso multiplicativo de [a]n . Notação [a]−1
n := [b]n . Um
inteiro a ∈ Z diz-se invertı́vel módulo n se [a]n é invertı́vel em Zn .
Exemplo 3.2.3 Seja n = 10 temos [3]10 ∗ [7]10 = [21]10 = [1]10 . Portanto [3]10 é
invertı́vel e 3 é invertı́vel módulo 10.
Uma solução da congruência linear aX ≡ b(mod n) é equivalente a equação
[a]n [X]n = [b]n . Se [a]n é invertı́vel podemos multiplicar com [a]−1
n e obtemos
[X]n = [b]n [a]−1
.
n
Teorema 3.2.4 Seja n > 1 e a ∈ Z. As seguintes afirmações são equivalentes:
3.2. RESOLUÇÃO DA CONGRUÊNCIA LINEAR AX ≡ B(M ODN ) 37
(a) a classe [a]n é invertı́vel;
(b) mdc(a, n) = 1 (ou seja a e n são relativamente primos);
(c) a congruência aX ≡ 1(mod n) tem uma solução.
Demonstração: (a) ⇒ (b). Suponha que [a]n é invertı́vel. Então existe um x ∈ Z
tal que [1]n = [a]n ∗ [x]n = [ax]n . Então existe um y ∈ Z tal que 1 − ax = yn ⇔
1 = ax + ny. Por 2.2.7 mdc(a, n) = 1.
(b) ⇒ (c) Suponha que mdc(a, n) = 1 então por 2.2.9 existem inteiros X, Y tais
que 1 = aX + nY ou seja n | 1 − aX. Então aX ≡ 1(mod n) tem uma solução.
(c) ⇒ (a) Seja X a solução de aX ≡ 1(mod n) então [a]n ∗ [X]n [aX]n = [1]n
implica [a]n invertı́vel. Corolário 3.2.5 Seja p um número primo. Todo o elemento [a]p ∈ Zp \ {[0]p } é
invertı́vel.
Teorema 3.2.6 Seja n um inteiro positivo. A congruência linear aX ≡ b(mod n)
tem uma solução se e só se mdc(a, n) | b. Neste caso as soluções são da forma:
X≡
rb + nk
(mod n) onde k ∈ {0, 1, . . . , mdc(a, n) − 1}
mdc(a, n)
e r ∈ Z tal que mdc(a, n) = ra + sn para algum s ∈ Z.
Demonstração: Sejam a e b ∈ Z e seja n ≥ 1. Temos
aX ≡ b(mod n) ⇔ n | b − aX ⇔ ∃Y ∈ Z : aX + nY = b.
A ultima equação é uma equação de Diofanto linear. Por 2.2.12 esta equação tem
uma solução se e só se mdc(a, n) | b. Portanto aX ≡ b(mod n) tem uma solução
se e só se mdc(a, n) | n. Teorema 2.2.12 diz também que neste caso as soluções
são da forma:
X=
rb + nk
para k ∈ Z e r, s ∈ Z tal que mdc(a, n) = ra + sn.
mdc(a, n)
Dois soluções
n|
rb+nk
mdc(a,n)
e
rb+nk0
mdc(a,n)
são congruente módulo n se e só se
rb + nk 0
n(k 0 − k)
rb + nk
−
=
⇔ mdc(a, n) | (k 0 − k).
mdc(a, n) mdc(a, n)
mdc(a, n)
Portanto as soluções módulo n são da forma
X≡
rb + nk
(mod n) onde k ∈ {0, 1, . . . , mdc(a, n) − 1}.
mdc(a, n)
38
CAPÍTULO 3. ARITMÉTICA MODULO N
Exemplo 3.2.7 Queremos encontrar todos as soluções da congruência linear 15X ≡
66(mod 9). O máximo divisor comum entre 15 e 9 é 3 = mdc(15, 9) = 2 ∗ 15 +
(−3) ∗ 9. Logo r = 2 e as soluções são da forma:
2 ∗ 66 − 9k
(mod 9)
3
= 44 − 3k(mod 9)
X ≡
= 8 − 3k(mod 9)
para k ∈ {0, 1, 2}. Portanto X ≡ 8(mod 9) ou X ≡ 5(mod 9) ou X ≡ 2(mod 9)
são todos as soluções.
Observação 3.2.8
(i) Se a congruência aX ≡ b(mod n) tem uma solução
então qualquer inteiro
X=
n
rb
+
k para k ∈ Z
mdc(a, n) mdc(a, n)
é uma solução.
(ii) Se mdc(a, n) = 1 então só há uma solução X ≡ rb(mod n) módulo n.
(iii) As soluções da congruência aX ≡ 0(mod n) são da forma
X≡
n
k(mod n) para k ∈ {0, 1, . . . , mdc(a, n) − 1}
mdc(a, n)
(iv) Seja c ∈ Z e c 6= 0. Então as congruências
acX ≡ bc(mod nc) e aX ≡ b(mod n)
têm as mesmas soluções. Tem-se:
acX ≡ bc(mod nc) ⇔ nc | (b − aX)c ⇔ n | b − aX ⇔ aX ≡ b(mod n).
Por exemplo: 15X ≡ 12(mod 21) ⇔ 5X ≡ 4(mod 7) ⇔ X ≡ 5(mod 7).
(v) Suponha que mdc(a, n) | b então
a
b
n
aX ≡ b(mod n) ⇔
X≡
mod
.
mdc(a, n)
mdc(a, n)
mdc(a, n)
n
a
n
a
, mdc(a,n)
= 1, mdc(a,n)
é invertı́vel módulo mdc(a,n)
.
Como mdc mdc(a,n)
a
n
Logo existe um r ∈ Z tal que r mdc(a,n) ≡ 1(mod mdc(a,n) ). Portanto
rb
aX ≡ b(mod n) ⇔ X ≡
mdc(a, n)
n
mod
mdc(a, n)
.
3.2. RESOLUÇÃO DA CONGRUÊNCIA LINEAR AX ≡ B(M ODN ) 39
Teorema 3.2.9 (Teorema chinês do resto) Dados inteiros positivos n1 , . . . , nk
e inteiros a1 , . . . , ak . Se mdc(ni , nj ) = 1 para i 6= j então o sistema das congruências lineares
X ≡ ai (mod ni ) para i = 1, . . . , k
tem uma única solução módulo n1 n2 · · · nk
Demonstração: Suponha que mdc(ni , nj ) = 1 para i 6= j. Para qualquer i ∈
{1, 2, . . . , k} seja
Y
n̂i :=
nj := n1 · · · ni−1 ni+1 · · · nk .
j6=i
Temos mdc(ni , n̂i ) = 1. Logo pelo Algoritmo de Euclides existem inteiros ri , si ∈ Z
tal que
1 = ri ni + si n̂i
Tem-se ai = ai si n̂i + ai ri ni ou seja
ai si n̂i ≡ ai (mod ni ).
Temos também
ai si n̂i ≡ 0(mod nj ) para qualquer j 6= i
Seja X :=
Pk
i=1 ai si n̂i
:= a1 s1 n̂1 + · · · ak sk n̂k . Então
X ≡ ai si n̂i (mod ni ) ≡ ai (mod ni ) para qualquer i ∈ {1, . . . , k}.
Logo X é uma solução.
Suponha que X é Y são soluções. Então X − Y ≡ 0(mod ni ) para qualquer
i ou seja ni | X − Y . Como mdc(ni , nj ) = 1 temos n1 · · · nk | X − Y e X ≡
Y (mod n1 · · · nk ). Exemplo 3.2.10 Seja k = 3. Consideramos o sistema:
(1)
X ≡ 3(mod 5)
(2)
X ≡ 6(mod 7)
(3)
X ≡ 4(mod 6)
Pela equação (1) uma solução X deste sistema tem ser igual X = 3 + 5Y para um
inteiro Y . Substituı́mos X por 3 + 5Y na equação (2) obtemos:
X ≡ 6(mod 7)
⇔ 3 + 5Y ≡ 6(mod 7)
⇔
5Y ≡ 3(mod 7).
40
CAPÍTULO 3. ARITMÉTICA MODULO N
Como mdc(5, 7) = 1 | 3 pelo Teorema 3.2.6 a solução para Y é
Y ≡ 3r(mod 7)
onde r é um inteiro tal que existe um s ∈ Z e 1 = mdc(5, 7) = 5r + 7s. Neste caso
podemos escolher r = (−4) (e s = 3). Portanto
Y = (−4) ∗ 3 + 7Z = −12 + 7Z
para um Z ∈ Z e
X = 3 + 5Y = 3 + 5(−12 + 7Z) = −57 + 35Z.
Substituı́mos X por −57 + 35Z na equação (3) temos
X
⇔ −57 + 35Z
⇔
35Z
⇔
5Z
≡
≡
≡
≡
4(mod 6)
4(mod 6)
61(mod 6)
1(mod 6)
Como mdc(5, 6) = 1 | 1 pelo Teorema 3.2.6 a solução para Z é
Z ≡ t(mod 6)
onde t é um inteiro tal que existe um u ∈ Z e 1 = mdc(5, 6) = 5t + 6u. Neste caso
podemos escolher t = −1 (e u = 1). Portanto
Z = −1 + 6W
para um W ∈ Z. Logo
X = −57 + 35Z = −57 + 35(−1 + 6W ) = −92 + 210W.
Como 118 ≡ −92(mod 210)
X ≡ 118(mod 210)
é a (única) solução do sistema.
3.3
O pequeno Teorema de Fermat
O seguinte teorema é muito importante e a fundação do sistema criptográfico RSA.
Teorema 3.3.1 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p um número primo. Para
qualquer inteiro a ∈ Z se mdc(a, p) = 1 então ap−1 ≡ 1(mod p).
Em particular tem-se ap ≡ a(mod p) para qualquer a ∈ Z.
3.3. O PEQUENO TEOREMA DE FERMAT
41
Demonstração: Seja Zp := {[0]p , [1]p , . . . , [p − 1]p } o conjunto das classes módulo
p. Se a ∈ Z é um inteiro tal que mdc(a, p) = 1 temos em particular p - a ou seja
[a]p 6= [0]p . Pelo Corolário 3.2.5 sabemos que [a]p é invertı́vel em Zp . Então existe
um b ∈ Z tal que [a]p ∗ [b]p = [1]P . Escrevemos [a]−1
p := [b]p . Consideramos a
função
f : Zp −→ Zp tal que [x]p 7→ [x]p ∗ [a]p
Como [a]p é invertı́vel a função f tem um inverso
f −1 : Zp −→ Zp tal que [x]p 7→ [x]p ∗ [a]−1
p
Pois temos
f −1 (f ([x]p )) = f −1 ([x]p ∗ [a]p ) = [x]p ∗ [a]p ∗ [a]−1
p = [x]p ∗ [1]p = [x]p
e temos também f f −1 ([x]p ) = [x]p . Portanto a imagem de f é igual Zp (para
qualquer [x]p temos f ([x]p [a]−1
p ) = [x]p ).
Im(f ) = {[x]p ∗ [a]p | x ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}
= {[0]p , [a]p , [2a]p , . . . , [(p − 1)a]p }
= Zp
= {[0]p , [1]p , [2]p , . . . , [p − 1]p }
Portanto o produto de todos os elementos em Im(f ) \ {[0]p } é igual ao produto de
todos os elementos em Zp \ {[0]p }.
[a]p ∗ [2a]p ∗ · · · ∗ [(p − 1) ∗ a]p = [1]p ∗ [2]p ∗ · · · ∗ [p − 1]p
Note-se que o produto tem p − 1 factores. Então temos
(?) [ap−1 (p − 1)!]p = [(p − 1)!]p
Note-se que p - (p − 1)! (pois, se p | (p − 1)! então p | x com 1 ≤ x ≤ p − 1 que
é impossı́vel.) Então pelo 3.2.5 [(p − 1)!]p é invertı́vel e logo existe um elemento
[(p − 1)!]p−1 ∈ Zp tal que [(p − 1)!]p ∗ [(p − 1)]−1
p = [1]p . Multiplicamos a equação
(?) com [(p − 1)!]−1
obtemos
p
[ap−1 ]p = [1]p
ou seja ap−1 ≡ 1(mod p).
Se mdc(a, p) = 1 temos ap−1 ≡ 1(mod p). Multiplicamos com a obtemos
ap ≡ a(mod p). Se mdc(a, p) 6= 1 então p | a ⇒ a ≡ 0(mod p) ⇒ ap ≡ a(mod p).
Precisamos a seguinte observação:
Observação 3.3.2 Sejam a e b dois inteiros e seja c um múltiplo comum de a
e b. Então mmc(a, b) | c. Em particular se a e b são relativamente primo, i.e.
mdc(a, b) = 1 então ab | c.
42
CAPÍTULO 3. ARITMÉTICA MODULO N
Demonstração: Suponha que a e b são relativamente primos. Existem x, y ∈ Z
tais que m = xa = yb. Como b | xa e mdc(a, b) = 1 temos pelo 2.2.9 b | x.
Portanto ab | m. Para qualquer a e b tal que c é um múltiplo comum de a e b.
a
b
c
Tem-se a0 := mdc(a,b)
e b0 := mdc(a,b)
são relativamente primos e c0 := mdc(a,b)
é um
0
0
0
0
0
múltiplo comum de a e b . Portanto a b | c ou seja
a
b
c
ab
|
⇒ mmc(a, b) =
| c.
mdc(a, b) mdc(a, b) mdc(a, b)
mdc(a, b)
Em geral a | c e b | c não implica que ab | c. Por exemplo a = 2, b = 4 e c = 4.
Tem-se 2 | 4 e 4 | 4 mas 2 ∗ 4 = 8 - 4.
Teorema 3.3.3 Sejam p e q dois números primos diferentes. Seja n := pq e m :=
(p − 1)(q − 1). Se a e b são inteiros tais que ab ≡ 1(mod m) então xab ≡ x(mod n).
Demonstração: Como ab ≡ 1(mod m) existe um k ∈ Z tal que ab = 1 + km.
Logo
k(q−1)
.
xab = x1+km = x xkm = x xp−1
Se mdc(x, p) = 1 então pelo Teorema de Fermat 3.3.1 sabemos xp−1 ≡ 1(mod p).
Portanto
k(q−1)
xab = x xp−1
≡ x (1)k(q−1) ≡ x(mod p)
ou seja p | xab − x. Se mdc(x, p) 6= 1 então p | x e logo p | xab − x também.
k(p−1)
Analogamente podemos escrever xab como x xq−1
e concluı́mos q | xab −
ab
ab
x. Pelo 3.3.2 temos pq | x − x ou seja x ≡ x(mod pq). 3.4
Sistema criptográfico RSA
O teorema 3.3.3 é a base do sistema criptográfico RSA. Este sistema deve o seu
nome aos seus autores R.Rivest, A.Shamir e L.Adlerman que publicaram um artigo
1 no qual descrevem o sistema.
Sem perda da generalidade podemos supor que a mensagem que queremos
codificar é uma sequência de números (por exemplo podemos converter um texto
numa sequência de números através da tabela de ASCII). A codificação é uma
função e a descodificação o seu inverso.
1
A
method
for
obtaining
digital
signatures
tosystems,
Communications of the ACM 21(2),
http://theory.lcs.mit.edu/∼rivest/rsapaper.pdf )
and
public-key
crip120-126 (1978) ( ou
3.4. SISTEMA CRIPTOGRÁFICO RSA
43
Sejam p e q dois primos diferentes e seja n := pq. Dado dois números a e b tais
que ab ≡ 1(mod m) onde m = (p − 1)(q − 1) podemos codificar uma mensagem x
(=um inteiro x < n) por
C : x 7→ xa (mod n).
O teorema 3.3.3 assegura que a função
D : y 7→ y b (mod n)
é a função da descodificação, pois
D(C(x)) = xab (mod n) ≡ x(mod n)
Isto é o princı́pio do sistema RSA.
Uma pessoa A que pretende dar a outros a possibilidade de lhe envia mensagens
codificadas tem de escolher primos distintos p e q e um valor a com mdc(a, (p −
1)(q − 1)) = 1. A pessoa A tem de dar a conhecer as valores a e n = pq. Uma
pessoa B que quer enviar uma mensagem secreta à A usa estes parâmetros a e
n para codificar a sua mensagem. Só a pessoa A pode descodificar a mensagem
porque A conhece a factorização de n = pq e pode calcular o inverso de a módulo
(p − 1)(q − 1). Como a função de codificar e os seus parâmetros são públicos este
tipo de sistema criptografia chama-se public-key cryptosystem (os parâmetros
a e n chamam-se chaves).
Os ingredientes do sistema criptográfico RSA
Parâmetros
dois primos p e q distintos n := pq e m := (p − 1)(q − 1) dois número a e b
tais que ab ≡ 1(mod m).
Secretos:
os parâmetros p, q, m e b são secretos e só o ”criador” ( o destinário) os
conhece.
Públicos:
os parâmetros a e n podem ser públicos.
Codificação:
• O destinário envia os parâmetros a e n ao remetente.
• O remetente transforma a mensagem x que pretende enviar numa sequência
{xi } de inteiros de menor que n, i.e. xi ≤ n.
44
CAPÍTULO 3. ARITMÉTICA MODULO N
• Para cada inteiro xi o remetente calcula
yi := xai (mod n)
e emite a sequência {yi } ao destinário.
Descodificação
O destinário recebe uma sequência de inteiros {yi } e calcula
xi := yib (mod n).
Depois transforma a sequência {xi } num texto.
A segurança de método consiste no facto de, para valores de n suficientemente
grandes, ser muito difı́cil (não existe um algoritmo eficaz) decompor n como produto de dois primos distintos p e q.
Exemplo 3.4.1 Suponha que temos a seguinte tabela para transformar um texto
numa sequência de números:
0
1
2
0
A
K
U
1
B
L
V
2
C
M
W
3
D
N
X
4
E
O
Y
5
F
P
Z
6
G
Q
,
7
H
R
.
8
I
S
!
9
J
T
O texto ”RSA!”transforma-se numa sequência 17; 18; 00; 28.
• Seja p = 7 e q = 11 então n = 7 ∗ 11 = 77 e m = (7 − 1) ∗ (11 − 1) = 60.
Escolhemos a = 7, mdc(7, 60) = 1. Para codificar a mensagem 17; 18; 00; 28
temos calcular x7 (mod 77) para x ∈ {17, 18, 00, 28}.
177 ≡ 52(mod 77)
187 ≡ 39(mod 77)
007 ≡ 00(mod 77)
287 ≡ 63(mod 77)
Depois podemos enviar a mensagem codificada 52; 39; 00; 63. Para descodificar a mensagem temos encontrar o inverso de 7 módulo 60 que é igual −17.
Como só usamos parâmetros positivos escolhemos b = 43 ≡ −17(mod 60).
5243 ≡ 17(mod 77)
3943 ≡ 18(mod 77)
0043 ≡ 00(mod 77)
6343 ≡ 28(mod 77)
3.5. REPRESENTAÇÃO NA BASE N
45
• Suponha que escolhamos p = 47 e q = 59 então n = 47 ∗ 59 = 2773 e
m = (47 − 1) ∗ (59 − 1) = 2668. Como n tem 4 algarismos podemos transformar a mensagem ”RSA!”numa sequência de dois blocos de inteiros de 4
algarismos: 1718; 0028. Escolhemos a = 157, mdc(157, 2668) = 1. Então
a mensagem codificada é 2369; 1377 porque 1718157 ≡ 2369(mod 2773) e
0028157 ≡ 1377(mod 2773).
Usando o algoritmo de Euclides obtemos b = 17 e podemos descodificar a
mensagem 236917 ≡ 1718(mod 2773) e 137717 ≡ 0028(mod 2773).
• Suponha que escolhamos p = 1777 e q = 19379 então n = p ∗ q = 34436483
e m = (p − 1) ∗ (q − 1) = 34415328. Como n tem 8 algarismos podemos transformar a mensagem ”RSA!”num único inteiro de 8 algarismos:
17180028. Escolhemos a = 11, mdc(a, m) = 1. Então a mensagem codificada é 1718002811 ≡ 06004372(mod 34436483). Para descodificar a mensagem precisamos obter o inverso de 11 módulo m, que é 15643331.
Os autores de RSA sugeriram usar primos p e q com 100 algarismos tal que o
valor do produto pq tenha 200(!) algarismos. Para factorizar um número com 200
algarismos os melhores algoritmos precisam mais do que 1023 (!) operações ou seja
milhões de anos para terminar.
3.5
Representação na base n
Definição 3.5.1 Seja a > 1. Uma representação de um inteiro m ≥ 0 na base
a é uma sequência de números b0 , b1 , . . . , bk , com 0 ≤ bi < a (0 ≤ i ≤ k) tal que
m = bk ak + bk−1 ak−1 + · · · + b1 ab0 .
Denota-se esta representação por m = (bk · · · b0 )a .
Teorema 3.5.2 Seja a > 1 um inteiro. Todo o inteiro m ≥ 0 tem uma representação na base a. Além disso, se m > 0, a representação m = (bk · · · b0 )a , com
bk 6= 0, é única.
Demonstração: Se m = 0 então k = 0 e b0 := 0 é uma representação de 0. Seja
m ≥ 1. Então existem m1 , b0 ∈ N tais que
m = m1 a + b0 e 0 ≤ b0 < a.
Note-se que 0 ≤ m1 < m. Se m1 6= 0 então existem m2 , b1 ∈ N tais que
m1 = m2 a + b1 e 0 ≤ b1 < a.
46
CAPÍTULO 3. ARITMÉTICA MODULO N
Temos m = m1 a + b0 = m2 a2 + b1 a + b0 . Note-se que 0 ≤ m2 < m1 < m.
Continuando este processo obtemos (depois de no máximo m passos) inteiros
m1 , . . . , mk , mk+1 e b0 , b1 , b2 , . . . bk . Tal que mk+1 = 0 e
m = m1 a + b0
= (m2 a2 + b1 a) + b0
= ···
= ((· · · (((mk a + bk−1 )a) + bk−2 )a + · · ·)a + b1 )a + b0
= bk ak + bk−1 ak−1 + · · · + b1 a + b0 .
Podemos também escrever um programa:
Algorı́tmo
INPUT:base a e número m
OUTPUT:(bk bk−1 · · · b1 b0 )a
i = 0;
b[i] = 0;
while(m 6= 0)
{
i = i + 1;
b[i] = m%a;
m = (int)m/a;
}
Agora suponha que (bk · · · b0 )a e (b0n · · · b00 )a são duas representações de m na
base a. Sem perda da generalidade podemos supor que k ≥ n. Então a diferença
!
n
X
0 i
0=m−m=
(bi − bi )a + bn+1 an+1 + · · · + bk ak .
i=0
bi − b0i
Seja ci :=
para 0 ≤ i ≤ n e ci := bi para n + 1 ≤ i ≤ k. Note-se −a < ci < a
para todo i. Tem-se a | ci ⇔ ci = 0. Como
(?) 0 = c0 + c1 a1 + c2 a2 + · · · + ck ak
temos c0 = a(−c1 − c2 a − · · · − ck ak−1 ) ou seja a | c0 . Logo c0 = 0 e a equação (?)
é equivalente à
(?1 ) 0 = c1 + c2 a + · · · + ck ak−1 .
Temos c1 = a(−c2 − c3 a − · · · − ck ak−2 ) ou seja a | c1 . Logo c1 = 0 e a equação
(?1 ) é equivalente à
(?2 ) 0 = c2 + c3 a + · · · + ck ak−2 .
3.5. REPRESENTAÇÃO NA BASE N
47
Continuando assim obtemos ci = 0 para todo i. Portanto bi = b0i e n = k. Exemplo 3.5.3 Seja m = 1234 e a = 7.
1234
176
25
3
=
=
=
=
176 ∗ 7 + 2
25 ∗ 7 + 1
3∗7+4
0∗7+3
b0
b1
b2
b3
:= 2
:= 1
:= 4
:= 3
Logo
m = 176∗7+2 = (25∗7+1)∗7+2 = ((3∗7+4)∗7+1)∗7+2 = 3∗73 +4∗72 +1∗7+2.
Portanto (3412)7 é a representação de 1234 na base 7.
48
CAPÍTULO 3. ARITMÉTICA MODULO N
Capı́tulo 4
Permutações
4.1
O grupo simétrico
Sejam X e Y conjuntos não vazios.
Definição 4.1.1 Uma função f : X → Y diz-se
• injectiva se x1 6= x2 implica f (x1 ) 6= f (x2 ) para todo x1 , x2 ∈ X;
• sobrejectiva se, para todo y ∈ Y existe um x ∈ X tal que f (x) = y;
• bijectiva se f é injectiva e sobrejectiva.
A função idX : X → X com idX (x) = x para todo x ∈ X é uma função
bijectiva e diz-se a identidade em X.
Observação 4.1.2 Uma função f : X → Y é bijectiva se e só se existe uma
função inversa g : Y → X ou seja uma função g tal que g(f (x)) = x e f (g(y)) = y
para todo x ∈ X e y ∈ Y . Notação: f −1 := g.
Se f tem um inverso então para qualquer y ∈ Y existe um x ∈ X (x := g(y))
tal que f (x) = y. Logo f é sobrejectiva. Se x1 e x2 são elementos de X então
f (x1 ) = f (x2 ) implica x1 = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = x2 . Portanto f é injectiva e
logo bijectiva.
Reciprocamente, se f é bijectiva então a correspondência g : Y → X da forma
g(y) := x se e só se f (x) = y é uma função. Uma vez que para todo o y existe
um x ∈ X tal que f (x) = y (pois f é sobrejectiva) e existe um só x ∈ X com esta
propriedade (pois f é injectiva). Por definição g é o inverso de f .
Seja f : X → Y uma função bijectiva. Tem-se f ◦ f −1 = idY e f −1 ◦ f = idX .
49
50
CAPÍTULO 4. PERMUTAÇÕES
Definição 4.1.3 Uma função f : X → Y bijectiva diz-se também bijecção. Se
existe uma bijecção entre dois conjuntos X e Y escrevemos X ' Y . Se X = Y
uma bijecção f : X → X diz-se permutação. Denote-se por SX o conjunto de
todas as permutações de X, isto é
SX := {f : X → X | f é bijectiva }.
SX diz-se o grupo simétrico de X.
Observação 4.1.4 A composição de duas permutações é uma permutação. Pois,
se f, g ∈ SX então
f ◦ g : X → X com f ◦ g(x) := f (g(x))
é uma função. f ◦ g é bijectiva porque tem um inverso que é a função g −1 ◦ f −1 .
Tem-se
(f ◦ g)((g −1 ◦ f −1 )(x)) = f (g(g −1 (f −1 (x)))) = f (f −1 (x)) = x e
(g −1 ◦ f −1 )((f ◦ g)(x)) = g −1 (f −1 (f (g(x)))) = g(g −1 (x)) = x ∀x ∈ X.
Suponha que existe uma bijecção ϕ : X → Y entre dois conjuntos X e Y .
Então existe também uma bijecção entre os grupos simétricos SX e SY .
Observação 4.1.5 Sejam X e Y dois conjuntos não vazios. Suponha que existe
uma bijecção ϕ : X → Y . Então a função
ϕ : SX → SY f 7→ ϕ ◦ f ◦ ϕ−1
é uma bijecção entre SX e SY . (Note-se ϕ(f )(y) := ϕ(f (ϕ−1 (y))))
Demonstração: A função ϕ tem um inverso. Temos:
Y
y
−→
X
−→
X
−→ Y
−1
−1
7→ ϕ (y) 7→ f (ϕ (y)) 7→ ϕ(f (ϕ−1 (y))) = ϕ(f )(y)
Seja ψ : SY → SX definido por ψ(g) := ϕ−1 ◦ g ◦ ϕ para qualquer g ∈ SY . Logo:
ψϕ(f ) = ψ ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 = ϕ−1 ◦ ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 ◦ ϕ = f
e
ϕψ(g) = ϕ ϕ−1 ◦ g ◦ ϕ = ϕ ◦ ϕ−1 ◦ g ◦ ϕ ◦ ϕ−1 = g.
Portanto ψ =: ϕ−1 é o inverso de ϕ. Queremos estudar o grupo simétrico de um conjunto finito X.
4.1. O GRUPO SIMÉTRICO
51
Observação 4.1.6 Seja X um conjunto com n elementos (n ≥ 1). Então existe
uma bijecção entre X e o subconjunto {1, 2, . . . , n} de N. Em particular SX '
S{1,2,...,n} .
Demonstração: Exercı́cio. Estamos particularmente interessados no caso de X ser um conjunto finito de
ordem n (n ≥ 1). Pela observação anterior podemos supor que X := {1, 2, . . . , n}.
Denotamos SX por Sn .
Sn := {f : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n} | f é bijectiva }.
Sn diz-se o grupo simétrico de grau n. A composição ◦ é uma operação
binária em Sn e a identidade id em {1, 2, . . . , n} é o elemento neutro, i.e. f ◦id =
f = id ◦ f para todo f ∈ Sn .
Seja f ∈ SX , denota-se
f 0 := id
f k := f ◦ f ◦ · · · ◦ f
|
{z
}
k vezes
para k ≥ 1
Denota-se ainda f −k := (f −1 )k para k ≥ 1.
Observação 4.1.7 Seja f ∈ SX . Para todos m, n ∈ Z:
f m ◦ f n = f m+n e (f m )n = f m·n .
Sendo f ∈ Sn é usual representar f através de uma matriz 2 × n, da seguinte
maneira:
f=
1
2
···
n
f (1) f (2) · · · f (n)
Tem-se na primeira linha os elementos de {1, 2, . . . , n} e abaixo de cada 1 ≤
i ≤ n tem-se a sua imagem f (i).
Exemplo 4.1.8 Só existe uma função
{1} → {1}, a identidade. Logo S1 = {id}.
1
Podemos escrever em vez de id :
.
1
Existem quatro funções f : {1, 2} → {1, 2} mas só dois bijecções: a identidade
e a função que troca 1 e 2, i.e.
f (1) =2 e f (2) = 1. Logo S2 = {id, f }. Podemos
1 2
representar f na forma: f =
.
2 1
52
CAPÍTULO 4. PERMUTAÇÕES
Existem 27 funções f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} mas existem só seis bijecções:
id =
f3 =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 1
f1 =
f4 =
1 2 3
1 3 2
1 2 3
3 1 2
1 2 3
2 1 3
1 2 3
2 3 1
f2 =
f5 =
Logo S3 = {id, f1 , f2 , f3 , f4 , f5 }. A composição de dois permutações em Sn é
também uma permutação. Por exemplo a composição de f3 e f5 : Tem-se
f3 ◦ f5 (1) = f3 (f5 (1)) = f3 (2) = 2
f3 ◦ f5 (2) = f3 (f5 (2)) = f3 (3) = 1
f3 ◦ f5 (3) = f3 (f5 (3)) = f3 (1) = 3
Logo f3 ◦f5 =
1 2 3
3 2 1
1 2 3
2 3 1
=
1 2 3
2 1 3
= f2 . Para a composição
f5 ◦ f3 tem-se:
f5 ◦ f3 (1) = f5 (f3 (1)) = f3 (3) = 1
f5 ◦ f3 (2) = f5 (f3 (2)) = f3 (2) = 3
f5 ◦ f3 (3) = f5 (f3 (3)) = f3 (1) = 2
Logo f5 ◦ f3 =
1 2 3
2 3 1
1 2 3
3 2 1
=
1 2 3
1 3 2
= f1 . Note-se que
f3 ◦ f5 = f2 6= f1 = f5 ◦ f3
Para calcular o inverso
de uma permutação temos trocar as linhas. Por exem
1 2 3
e
plo f5 =
2 3 1
f5−1
=
2 3 1
1 2 3
=
1 2 3
3 1 2
= f4 .
Teorema 4.1.9 Seja n ≥ 1. O grupo simétrico Sn de grau n tem n! elementos.
Demonstração: Seja f ∈ Sn . Temos n possibilidades para a imagem f (1), n − 1
possibilidades para f (2), n − 2 possibilidades para f (3), . . ., 2 possibilidades para
f (n−1) e uma possibilidades para f (n). Logo f é uma das n(n−1)(n−2)·· · ··2·1 =
n! bijecções possı́veis. Portanto |Sn | = n!. Teorema 4.1.10 Seja n ≥ 1. Para toda a permutação f ∈ Sn existe um k ∈ N
tal que f k = id.
4.1. O GRUPO SIMÉTRICO
53
Demonstração: Consideramos o subconjunto P := {f k | k ≥ 1} ⊆ Sn . Como Sn
é um conjunto finito (só tem n! elementos) o subconjunto P é um conjunto finito
também. Portanto nem todas as potências f k são distintas. Portanto existem
números n > m tal que f n = f m e
f n = f m ⇔ f n ◦ f −m = f m ◦ f −m ⇔ f n−m = id.
Logo existe um k ≥ 1 (aqui k = n − m) tal que f k = id. Definição 4.1.11 A ordem de f ∈ Sn é o menor inteiro positivo k ≥ 1 tal que
f k = id.
A ordem da identidade é igual 1.
Exemplo 4.1.12 Seja n = 3 e f :=
6= id
1 2 3
2
f =
1 3 2
1
Logo f tem ordem 2. Seja f :=
3
1 2 3
1 3 2
∈ S3 .
f
f
f2
f3
1 2 3
1 2 3
= id.
=
1 2 3
1 3 2
2 3
∈ S3 .
1 2
6= id
1 2
1 2 3
=
3
1
2
3 1
1 2 3
1 2
=
3 1 2
2 3
3
=
2 3
=
1
1
2
1
1
2
3
2
2
3
6= id
1 3
= id
3
Logo f tem ordem 3.
Observação 4.1.13 Seja n ≥ 1 e f ∈ Sn . Seja k a ordem de f .
1. Tem-se f −1 = f k−1 , pois f k = id implica f k−1 = f k ◦ f −1 = f −1 .
2. Suponha que f l = id para um inteiro l ≥ 1. Então k | l, pois f l = id implica
l ≥ k como k e o menor inteiro positivo tal que f k = id. Pelo algoritmo da
divisão existem inteiros q e r tais que
l = qk + r e 0 ≥ r < k.
Tem-se
q
id = f l = f qk ◦ f r = f k ◦ f r = (id)q ◦ f r = f r .
Como k é o menor inteiro positivo com a propriedade f k = id e como r < k
tem-se r = 0. Portanto l = qk ou seja k | l.
54
4.2
CAPÍTULO 4. PERMUTAÇÕES
Ciclos e Transposições
Definição 4.2.1 Seja f ∈ Sn . Definimos os elementos fixos
fix(f ) := {i ∈ {1, 2, . . . , n} | f (i) = i}
e o suporte de f
sup(f ) := {i ∈ {1, 2, . . . , n} | f (i) 6= i}
Obviamente temos fixf = {1, 2, . . . , n} \ supf .
Note-se que supf = ∅ se e só se f = id.
1 2 3 4
Exemplo 4.2.2 Seja f =
então sup(f ) = {1, 2, 3} e fix(f ) =
2 3 1 4
1 2 3 4
{4}. Note-se que f −1 =
e sup(f −1 ) = sup(f ) e fix(f −1 ) = fix(f ).
3 1 2 4
Observação 4.2.3 Seja f ∈ Sn . Tem-se sup(f −1 ) = sup(f ). Também tem-se
i ∈ sup(f ) se e só se f (i) ∈ sup(f ) para todo 1 ≤ i ≤ n.
Demonstração: Seja i ∈ fix(f ). Então f (i) = i ⇒ f (f (i)) = f (i). Logo f (i) ∈
fix(f ). Se f (i) ∈ fix(f ) então f (f (i)) = f (i) ⇒ f −1 (f (f (i))) = f −1 (f (i)) ⇔
f (i) = i. Portanto i ∈ sup(f ) ⇔ i 6∈ fix(f ) ⇔ f (i) 6∈ fix(f ) ⇔ f (i) ∈ sup(f ).
Seja i ∈ fix(f ), i.e i = f (i) então f −1 (i) = f −1 (f (i)) = i implica i ∈ fix(f −1 ).
Seja i ∈ fix(f −1 ) , i.e. f −1 (i) = i. Então i = f (f −1 (i)) = f (i) implica i ∈ fix(f ).
Logo sup(f ) = sup(f −1 ). Definição 4.2.4 Seja m ≥ 2. Uma permutação f ∈ Sn diz-se m-ciclo se se puder
ordenar o suporte de f sup(f ) = {a1 , a2 , . . . , am } com ai 6= aj ∀i 6= j, de forma que
f (ai ) = ai+1 (∀i ∈ {1, . . . , m − 1}) e f (am ) = a1
Escrevemos f = (a1 a2 · · · am ) para um m-ciclo f .
Um 2-ciclo diz-se uma transposição. identidade um 1-ciclo.
Note-se que a notação f = (a1 · · · am ) é ambı́gua. Para ser precisa, é necessário
indicar o grupo Sn ao qual f pertence.
1 2 3 4
Exemplo 4.2.5 Seja f =
∈ S4 então sup(f ) = {1, 2, 3}. Pode3 1 2 4
mos ordenar o suporte da forma sup(f ) = {1, 3, 2} ou seja sup(f ) = {a1 , a2 , a3 }
com a1 = 1, a2 = 3 e a3 = 2, pois temos f (a1 ) = a2 , f (a2 ) = a3 e f (a3 ) = a1 .
Logo f é um 3-ciclo
f = (132).
4.2. CICLOS E TRANSPOSIÇÕES
55
1 2 3 4
Note-se que
=
é também um 3-ciclo. O suporte sup(f −1 ) =
2 3 1 4
sup(f ) = {1, 3, 2} pode ser ordenado da forma sup(f −1 ) = {1, 2, 3}. Temos
−1
−1
f −1 (1) = 2, f −1
(2) = 3, f (3)
= 1. Logo f = (123).
1 2 3 4
Seja g =
. O suporte sup(g) = {1, 2, 3, 4} não pode ser or2 1 4 3
denado da forma sup(g) = {a1 , a2 , a3 , a4 } tal que g(ai ) = ai+1 para i = 1, 2, 3 e
g(a4 ) = a1 . Por exemplo começamos com a1 = 1 tem-se g(1) = 2 e g(2) = 1.
Portanto temos um 2-ciclo (12) ”dentro” g. Não é difı́cil de ver que g = (12)(34).
Como ciclos são permutações, a composição de ciclos é definido. Mas em geral
o produto de dois ciclos não é um ciclo. Por exemplo
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
(12)(34) =
=
= g.
2 1 3 4
1 2 4 3
2 1 4 3
f −1
O produto dos ciclos (23)(543) é igual
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
= (2354).
(23)(543) =
=
1 3 5 2 4
1 3 2 4 5
1 2 5 3 4
Observação 4.2.6 Seja f = (a1 · · · am ) ∈ Sn um m-ciclo. Então f −1 é um mciclo também e tem-se
f −1 = (am am−1 · · · a2 a1 )
Demonstração: Tem-se f (ai ) = ai+1 para 1 ≤ i < m e f (am ) = a1 . Logo
f −1 (ai+1 ) = f −1 (f (ai )) = ai para 1 ≤ i < m e f −1 (a) = f −1 (f (am )) mostra que
o suporte sup(f −1 ) = sup(f ) = {am , am−1 , . . . , a1 } pode ser ordenado na forma
querida. Logo f = (am am−1 · · · a1 ) é um m-ciclo. Note-se que os m-ciclos (a1 a2 · · · am ) e (am a1 · · · am−1 ) são iguais. Logo o
inverso (231) do ciclo (132) é igual o ciclo (123).
Teorema 4.2.7 A ordem de um m-ciclo é m.
Demonstração: Seja f = (a1 · · · am ) um m-ciclo. Seja 1 ≤ k < m. Tem-se
f k (a1 ) = f k−1 (a2 ) = f k−2 (a3 ) = · · · = f 2 (ak−1 ) = f (ak ) = ak+1 .
Então f k (a1 ) = ak+1 6= a1 mostra que a ordem de f é ≥ m.
Temos
f m (a1 ) = f (f m−1 (a1 )) = f (am−1+1 ) = f (am ) = a1 .
Para qualquer 1 < i ≤ m tem-se
f m (ai ) = f m (f i−1 (a1 )) = f i−1 (f m (a1 )) = f i−1 (a1 ) = ai .
Portanto m é a ordem de f . 56
CAPÍTULO 4. PERMUTAÇÕES
1 2 3 4 5 6
Exemplo 4.2.8 Seja f =
∈ S6 . Podemos ordenar o su3 5 2 6 4 1
porte sup(f ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 3, 2, 5, 4, 6} tal que
f (1) = 3, f (3) = 2, f (2) = 5, f (5) = 4, f (4) = 6 e f (6) = 1.
Logo f = (132546) é um 6-ciclo. Portanto a ordem de f é 6.
Definição 4.2.9 Dois permutações f e g de Sn dizem-se disjuntas se sup(f ) ∩
sup(g) = ∅.
Observação 4.2.10 Sejam f, g ∈ Sn permutações disjuntas então f ◦ g = g ◦ f .
Demonstração: Tem-se {1, 2, . . . , n} = sup(f ) ∪ sup(g) ∪ (fix(f ) ∩ fix(g)) como
conjuntos disjuntos. Para todo i ∈ fix(f )∩fix(g) temos f (g(i)) = f (i) = i = g(i) =
g(f (i)). Para todo i ∈ sup(f ) temos i ∈ fix(g) e logo f (g(i)) = f (i) = g(f (i)) (ver
4.2.3). Analogamente temos para todo i ∈ sup( g) também f (g(i)) = g(i) = g(f (i)).
Portanto f ◦ g = g ◦ f . Digamos também que as permutações f e g comutam se f ◦ g = g ◦ f .
Teorema 4.2.11 Seja f e g dois permutações disjuntas de Sn . A ordem da composição f ◦ g é o mı́nimo múltiplo comum das ordens de f e de g:
ord(f ◦ g) = mmc(ord(f ), ord(g)).
Demonstração: Seja k = mmc(ord(f ), ord(g)). Como f e g são disjuntas temos
f ◦g =g◦f e
p
q (f ◦ g)k = (f ◦ g) ◦ · · · ◦ (f ◦ g) = f k ◦ g k = f ord(f ) ◦ g ord(g) = id
|
{z
}
k− vezes
onde q = k/ord(f ) e p = k/ord(g). Logo m := ord(f ◦ g) ≤ k.
Tem-se id = (f ◦ g)m = f m ◦ g m implica f m = g −m e sup(f m ) = sup(g −m ) =
sup(g m ). Como fix(g) ⊆ fix(g m ) temos sup(g) ⊇ sup(g m ). Logo
sup(f m ) = sup(g m ) ⊆ sup(f ) ∩ sup(g) = ∅
implica sup(f m ) = ∅ = sup(g m ) ou seja f m = id = g m . Portanto ord(f ) | m e
ord(g) | m implica k = mmc(ord(f ), ord(g)) ≤ m. Logo m = k. Teorema 4.2.12 Toda a permutação de Sn é um produto de ciclos disjuntos.
Além disso, o produto é único a menos da permutação identidade e da ordem dos
factores.
4.2. CICLOS E TRANSPOSIÇÕES
57
Demonstração: Seja f ∈ Sn . Definimos uma relação de equivalência no conjunto
{1, 2, . . . , n} por i ∼ j se e só se j = f k (i) para algum k ≥ 0. Seja [i]∼ := {j ∈
{1, 2, . . . , n} | i ∼ j} a classe de i. Tem-se
[i]∼ = {i} ⇔ i ∈ fix(f ).
Como o conjunto {1, 2, . . . , n} é finito temos só um número finito de classes distintas. Sejam [a1 ]∼ , [a2 ]∼ , . . . , [ak ]∼ as classes com mais do que 1 elemento. Então
{1, 2, . . . , n} = fix(f ) ∪ [a1 ]∼ ∪ [a2 ]∼ ∪ · · · ∪ [ak ]∼ .
Para cada 1 ≤ i ≤ k seja mi ≥ 1 o menor inteiro positivo tal que f mi +1 (ai ) = ai .
Tem-se
[ai ]∼ = {ai , f (ai ), f 2 (ai ), . . . , f mi (ai )}
Seja gi := (ai f (ai )f 2 (ai ) · · · f mi (ai )) o mi -ciclo. Então temos
f = g1 ◦ g2 ◦ · · · ◦ gk .
Para todo x ∈ fix(f ) tem-se gi (x) = x, ∀1 ≤ i ≤ k. Portanto
g1 ◦ g2 ◦ · · · ◦ gk (x) = x = f (x).
Seja x ∈ [ai ]∼ então x = f r (ai ) para 0 ≤ r ≤ mi . Portanto
gi (x) = gi (f r (ai )) = f r+1 (ai ) = f (f r (ai )) = f (x).
Como x, f (x) 6∈ [aj ]∼ para j 6= i. Tem-se gj (x) = x e gj (f (x)) = f (x) para j 6= i.
Logo
g1 ◦g2 ◦· · ·◦gk (x) = · · · = g1 ◦ g2 ◦· · ·◦gi−1 ◦gi (x) = g1 ◦ g2 ◦· · ·◦gi−1 (f (x)) = · · · = f (x).
Portanto para todo x ∈ {1, 2, . . . n}, f (x) = g1 ◦ · · · ◦ gk (x).
Suponhamos f = g1 · · · gk = h1 · · · hl é produto de ciclos disjuntos gi e hj . Seja
x ∈ sup(f ) então existem i, j tais que x ∈ sup(gi ) e x ∈ sup(hj ). Sem perda da
generalidade podemos supor i = j = 1. Tem-se g1r (x) = f r (x) = hr1 (x) para todo
r ∈ N. Portanto existe um r ≥ 1 tal que g1r (x) = x = hr1 (x). Tem-se
g1 = (xg1 (x)g12 (x) · · · g1r (x)) = h1 .
˜
Logo g1 = h1 ou seja g1−1 f = h−1
1 f =: f . Repetindo o processo conclui-se que
k = l e, a menos da ordem dos factores fi = gi . 1 2 3 4 5 6
. Então sup(f ) = {1, 2, 3, 5, 6}.
3 1 2 4 6 5
Escolhemos um número i ∈ sup(f ); por exemplo i = 1. Tem-se 1, f (1) = 3, f 2 (1) =
f (3) = 2, f 3 (1) = f 2 (3) = f (2) = 1. Logo temos um 3-ciclo
Exemplo 4.2.13 Seja f =
g1 := (132)
58
CAPÍTULO 4. PERMUTAÇÕES
Depois escolhemos um número i ∈ sup(f ) \ sup(g1 ) = {5, 6}; por exemplo i = 5.
Tem-se 5, f (5) = 6, f 2 (5) = f (6) = 5. Logo temos uma transposição
g2 := (56).
Agora sup(f ) \ (sup(g1 ) ∪ sup(g2 ) = ∅ ou seja sup(f ) = sup( g1 ) ∪ sup(g2 ). Podemos
representar f como produto dos ciclos g1 e g2 .
f = g1 ◦ g2 = (132)(56).
Seja f =
1 2 3 4 5 6
4 5 6 1 2 3
. Então sup(f ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Definição 4.2.14 Seja f ∈ Sn . A função Sn → Sn g 7→ f ◦ g ◦ f −1 diz-se a
conjugação com f .
Observação 4.2.15 Seja g = (a1 . . . am ) um m-ciclo e seja f ∈ Sn (n ≥ m).
Então
f ◦ g ◦ f −1 = (f (a1 ) · · · f (am )).
Demonstração: Seja h := f gf −1 . Temos sup(h) = {f (a1 ), . . . , f (am )} porque
se x ∈ sup(h) então h(x) = f gf −1 (x) 6= x ou seja gf −1 (x) 6= f −1 (x). Logo
f −1 (x) ∈ sup(g) = {a1 , . . . , am } ou seja x = f (ai ) para um i ∈ {1, . . . , m}. Para
todo o elemento f (ai ) tem-se
h(f (ai )) = f gf −1 (f (ai )) = f (g(ai )) = f (ai+1 )
com am+1 := a1 .
Portanto f (ai ) ∈ sup(f gf −1 ) e h = (f (a1 ) · · · f (am )) é um m-ciclo. Teorema 4.2.16 Toda a permutação é produto de transposições.
Demonstração: Seja f = (a1 · · · am ) um m-ciclo. Então
f = (a1 a2 )(a2 a3 ) · · · (am−1 am ).
Logo f é produto de transposições. Pelo 4.2.12 toda a permutação é produto de
ciclos. Como todo ciclo é produto de transposições também toda a permutação é
produto de transposições. 4.3. PERMUTAÇÕES PARES E ÍMPARES
4.3
59
Permutações pares e ı́mpares
Pelo 4.2.16 sabemos que toda a permutação é produto de transposições. Esta
factorização não é única como podemos ver no exemplo (23) = (12)(13)(12). Mas
o número dos factores de duas factorizações é igual módulo 2:
Teorema 4.3.1 Seja f ∈ Sn . Suponha que f pode ser escrito de duas maneiras
como produto de transposições com k e com l factores. Então k e l são ambos
números pares ou ambos ı́mpares.
Demonstração: Primeiro vamos mostrar que é impossı́vel escrever a identidade
id como um produto de um número ı́mpar das transposições. Seja id = t1 · · · tm
um produto de m ≥ 1 transposições. Seja t1 = (x, y). Como permutações disjuntas
comutam podemos supor que existe um número l tal que ti = (x, yi ) para 2 ≤ i ≤ l
e x 6∈ sup(ti ) para l + 1 ≤ i ≤ m. Seja
g := t2 · · · tl = (x, y2 ) · · · (x, yl )
e h = tl+1 · · · tm . Tem-se id = (x, y)gh e
x = id(x) = (x, y)gh(x) = (x, y)g(x).
Logo y = (x, y)(x) = g(x) implica y ∈ sup(g). Portanto existe uma transposição
(x, yi ) em g tal que y ∈ sup((x, yi )) para um i entre 2 e l. Como sup((x, yi )) =
{x, yi } tem-se y = yi . Logo
id = (x, y)gh
= (x, y)(x, y2 ) · · · (x, yi−1 )(x, y)(x, yi+1 ) · · · (x, yl )h
= [(x, y)(x, y2 )(x, y)] [(x, y)(x, y3 )(x, y)] [· · ·] [(x, y)(x, yi−1 )(x, y)] (x, yi+1 ) · · · (x, yl )h
= (y, y2 )(y, y3 ) · · · (y, yi−1 )(x, yi+1 ) · · · (x, yl )tl+1 · · · tm
Portanto id é produto de (i−1−2+1)+(m−(i+1)+1) = m−2 transposições. Continuando assim reduzimos os números de factores cada vez por dois. Suponhamos
que m é ı́mpar então chegamos à conclusão que id é igual a uma transposição,
o que é impossı́vel uma vez que o suporte da uma transposição tem sempre dois
elementos mas o suporte da identidade é vazia. Portanto qualquer produto de
transposições que representa a identidade tem um número par de factores.
Agora seja f ∈ Sn uma permutação. Suponhamos que f = t1 · · · tk = s1 · · · sm
para algumas transposições ti e sj . Então
id = f f −1 = t1 · · · tk · sm · · · s1
o que implica que k + m é par. Portanto k e m são ambos par ou ambos ı́mpares.
60
CAPÍTULO 4. PERMUTAÇÕES
Definição 4.3.2 Uma permutação diz-se par se é produto de um número par de
transposições e ı́mpar se é produto de um número ı́mpar de transposições.
Definimos a função sign : Sn −→ {−1, 1} com
−1 se f é ı́mpar
sign(f ) :=
1 se f é par
sign(f ) diz-se o sinal de f .
Exemplo 4.3.3 Seja f = (12345) ∈ S5 . Temos f = (12)(23)(34)(45). Logo f é
uma permutação par e sign(f ) = 1.
Se f = t1 · · · tk é produto de transposições então sign(f ) = (−1)k .
Observação 4.3.4 Seja n ≥ 2 e sejam f, g ∈ Sn . Tem-se
(i) sign(id) = 1;
(ii) sign(f ◦ g) = sign(f ) · sign(g);
(iii) sign(f −1 ) = sign(f );
(iv) se f = (a1 . . . am ) é um m-ciclo então sign(f ) = (−1)m−1 .
Demonstração: (i) id = (12)(12) é uma permutação par.
(ii) Seja f = t1 · · · tk e g = s1 · · · sl com transposições ti , sj . Temos
sign(f ◦ g) = (−1)k+l = (−1)k · (−1)l = sign(f ) · sign(g).
(iii) Seja f = t1 · · · tk produto de transposições ti . Então
tk · · · t1 f = id ⇒ f −1 = tk · · · t1 ⇒ sign(f −1 ) = (−1)k = sign(f ).
(iv) Um m-ciclo f = (a1 · · · am ) é igual f = (a1 a2 )(a2 a3 ) · · · (am−1 am ) que é produto de m − 1-transposições. Logo sign(f ) = (−1)m−1 . Como vimos anterior um m-ciclo f é uma permutação par se m é ı́mpar e f é
uma permutação ı́mpar se m é par.
Vimos também que a composição de dois permutações pares é par e o inverso
de uma permutação par é par.
Definição 4.3.5 Denotamos por An o subconjunto de Sn das permutações pares.
Da observação 4.3.4 decorre que
• Para duas permutações pares f, g ∈ An a composição f ◦ g pertence An .
• id ∈ An .
4.3. PERMUTAÇÕES PARES E ÍMPARES
61
• Se g ∈ An então g −1 ∈ An .
An diz-se o grupo alterno de n elementos.
Teorema 4.3.6 Seja n ≥ 2. Tem-se que An tem
n!
2
elementos.
Demonstração: Seja Bn = Sn \ An o conjunto das permutações ı́mpares em Sn .
Tem-se que
ϕ : An −→ Bn
f
7→ f (12)
ϕ é uma função bijectiva porque tem um inverso (a função ϕ−1 : Bn → An que
leva f a f (12)). Como An e Bn são subconjuntos de Sn e como Sn é um conjunto
finito também An e Bn são conjuntos finitos. Uma bijecção entre dois conjuntos
finitos implica que os dois conjuntos têm o mesmo número de elementos. Logo
|An | = |Bn |. Como Sn = An ∪ Bn e An ∩ Bn = ∅ tem-se
n! = |Sn | = |An | + |Bn | = 2|An |.
Portanto |An | =
n!
2.
Exemplo 4.3.7 Se n = 2, então |A2 | = 1, A2 = {id}.
Se n = 3, então |A3 | = 26 = 3 e A3 = {id, (123), (132)}.
Os 3-ciclos são os ciclos de menor cumprimento que são permutações pares e,
de facto, para n ≥ 3, toda a permutação de An é produto de 3-ciclos.
Teorema 4.3.8 Seja n ≥ 3. Toda a permutação em An é produto de 3-ciclo.
Demonstração: Tem-se que id = (123)(123). O produto de dois transposições
diferentes pode ser escrito como produto de 3-ciclos. Sejam (ab), (cd) ∈ Sn com
(ab) 6= (cd). Se a, b, c, d são todas diferentes, então
(ab)(cd) = (adc)(abc).
Suponha que existe um elemento comum às duas transposições. Sem perda da
generalidade podemos supor a = c, então
(ab)(cd) = (ab)(ad) = (adb).
Como toda a permutação f em An é produto de um número par de transposições
podemos representar f como produto de 3-ciclos. Exemplo 4.3.9 Seja n = 5 e seja f = (13)(24)(54)(24) ∈ A5 . Tem-se (13)(24) =
(124)(134) e (54)(24) = (254). Logo
f = (124)(134)(254).
62
CAPÍTULO 4. PERMUTAÇÕES
Capı́tulo 5
Monóides e Grupos
5.1
Operações Binárias
Seja M um conjunto não vazio. Qualquer função
: M × M → M diz-se uma
operação binária em M . Em vez de ((x, y)) escrevemos x y para todo
x, y ∈ M (“Infix-notação). O par (M, ) diz-se um grupóide. Uma operação
binária diz-se associativa se
x
(y
z) = (x
y)
z
para todos os elementos x, y, z ∈ M . Neste caso o par (M, ) diz-se um semigrupo. A operação binária diz-se comutativa se
x
y=y
x
para todos os elementos x, y ∈ M . Um elemento e ∈ M que tem a propriedade
x
e=x=e
x
para todo x ∈ M diz-se o elemento neutro do grupóide (M, ).
Observação 5.1.1 Um grupóide tem apenas um elemento neutro.
Demonstração: Seja (M, ) um grupóide e sejam e, f ∈ M elementos neutros
de (M, ). Então e = e f = f . Logo e = f . Um triplo (M, , e) diz-se monóide se (M, ) é um semigrupo e e é o elemento
neutro de (M, ).
Exemplo 5.1.2
1. (N, +, 0), (Z, +, 0), (Q, +, 0), (R, +, 0), (C, +, 0) são monóides.
2. (M, ·) são semigrupos e (M \ {0}, ·, 1) são monóides para M = N, Z, Q, R, C.
63
64
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
3. (Zn , +, [0]n ) e (Zn \ {[0]n }, ·, [1]n ) são monóides para n ≥ 1.
0 0
a b
4. (M2 (A), +,
) é um monóide onde M2 (A) = {
| a, b, c, d ∈
0 0
c d
A} para A = N, Z, Q, R, C.
5. O conjunto dos polinómios (A[X], +, 0) com coeficientes em A = N, Z, Q, R, C
é um monóide.
5.2
Monóides
Observação 5.2.1 Sejam (M, , e) e (N, ~, f ) monóides. No produto cartesiano
M × N podemos definir uma operação binária : (M × N ) × (M × N ) → (M × N )
por
(m, n) (m0 , n0 ) := (m m0 , n ~ n0 )
para todos os elementos (m, n), (m0 , n0 ) ∈ M × N . Então (M × N, , (e, f )) é um
monóide e diz-se o produto directo de M e N .
Demonstração: Por definição é uma função. Então (M ×N, ) é um grupóide.
O elemento (e, f ) é o elemento neutro de (M ×N, ), pois para todo (m, n) ∈ M ×N
tem-se
(m, n) (e, f ) = (m
e, n ~ f ) = (m, n) = (e
m, f ~ n) = (e, f ) (m, n).
A operação é associativa, porque para (m, n), (m0 , n0 ), (m00 , n00 ) ∈ M × N tem-se
(m, n) ((m0 , n0 ) (m00 , n00 )) = (m
= ((m
(m0
m0 )
m00 ), n ~ (n0 ~ n00 ))
m00 ), (n ~ n0 ) ~ n00 )
= ((m, n) (m0 , n0 )) (m00 , n00 )
Portanto (M × N, , (e, f )) é um monóide. Definição 5.2.2 Seja (M, , e) um monóide. Um subconjunto N ⊆ M diz-se
submonóide de M se
(i) e ∈ N
(ii) N é fechado para
, i.e. ∀x, y ∈ N ⇒ x
y ∈ N.
Observação 5.2.3 Sejam (M, , e) um monóide e C um conjunto de submonóides
de M . Então
\
N
N ∈C
é um submonóide de M .
5.2. MONÓIDES
65
T
Demonstração:
Como e ∈ N para todo N ∈ C, e ∈ N ∈C N . Sejam x, y ∈
T
N ∈C N então x, y ∈ N para todo N ∈ C. Logo
\
x y ∈ N ∀N ∈ C ⇒ x y ∈
N.
N ∈C
Seja A um conjunto não vazio que designamos por alfabeto (os elementos de A
são as letras). Seja A+ o conjunto das palavras no alfabeto A, i.e. as sequências
a1 a2 · · · an com ai ∈ A. Seja A∗ = A+ ∪ {∅}, onde ∅ é a palavra vazia. Define-se a
operação · de concatenação da seguinte maneira:
(a1 · · · an ) · (b1 · · · bm ) = a1 · · · an b1 · · · bm
∅·∅=∅
(a1 · · · an ) · ∅ = a1 · · · an = ∅ · (a1 · · · an )
para ai , bj ∈ A. Então (A+ , ·) é um semigrupo e (A∗ , ·, ∅) é um monóide, que se
diz o monóide livre em A.
Suponha A = {x} então h : N → A∗ com h(0) := ∅ e h(k) := |xx{z
· · · x} é uma
k−vezes
função bijectiva. Temos também h(k + l) = h(k) · h(l).
Definição 5.2.4 Sejam (M, , e) e (N, ~, f ) dois monóides. Uma função h :
M → N diz-se homomorfismo de monóides se
(i) h(e) = f
(ii) h(m
m0 ) = h(m) ~ h(m0 ) para todo m, n ∈ M .
Se h é uma função bijectiva h diz-se um isomorfismo de monóides. Se existe um
isomorfismo entre dois monóides M e N dizemos que M e N são isomorfos e
escrevemos M ' N .
Vimos que os monóides (N, +, 0) e ({x}∗ , ·, ∅) são isomorfos.
Observação 5.2.5 Seja f : M → N um isomorfismo entre monóides. Então
| M |=| N | e f −1 : N → M é também um isomorfismo de monóides.
Definição 5.2.6 Sejam (M, , e) um monóide e D um subconjunto de M . O
submonóide gerado por D é
hDi := {x1
x2
···
xn | n ≥ 1, xi ∈ D} ∪ {e}.
Observação 5.2.7 Sejam (M, , e) um monóide e D um subconjunto de M .
1. hDi é o menor submonóide de M que contém D.
T
2. hDi = N ∈C N onde C é o conjunto dos submonóides N de M que contêm
D.
66
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
5.3
Invertibilidade em monóides
Definição 5.3.1 Sejam (M, , e) e x, y ∈ M . Diz-se que y é o inverso de x se
x
y=e=y
x.
Se x tem um inverso dizemos que x é invertı́vel. Neste caso denota-se o inverso
de x por x−1 .
Observação 5.3.2 Um elemento de um monóide tem apenas um inverso.
Demonstração: Seja x um elemento de um monóide (M, , e) e suponhamos que
y e z são inversos de x. Então
y=y
e=y
(x
z) = (y
x)
z=e
z = z.
Seja U (M ) := {x ∈ M | x é invertı́vel }.
Observação 5.3.3 Sejam (M, , e) e x, y ∈ M .
1. e é invertı́vel, i.e. e ∈ U (M ).
2. se x e y são invertı́veis então x y é invertı́vel, i.e x y ∈ U (M ). O inverso
de x y é (x y)−1 = y −1 x−1 .
3. U (M ) é um submonóide de M .
Demonstração: 1) Como e
(x
y)
(y −1
e = e, e é invertı́vel. 2) Como
x−1 ) = x
y −1 )
(y
x−1 = x
x−1 = x
e
x−1 = e
e
(y −1
Tem-se (x
x−1 )
(x
y) = y −1
y)−1 = y −1
(x−1
y = y −1
x)
e
y = y −1
y=e
x−1 . Teorema 5.3.4 Sejam (M, , e) um monóide e x ∈ M um elemento invertı́vel.
Então para qualquer a, b ∈ M , se a x = b x ou x a = x b então a = b.
Demonstração: Seja x−1 o inverso de x então
a
x=b
x ⇒ (a
x−1 = (b
x)
x−1 ) = b
⇒ a
(x
⇒ a
e=b
e
⇒ a = b.
Analogamente mostra-se que x
a=x
b ⇒ a = b. x)
(x
x−1
x−1 )
5.4. GRUPOS
5.4
67
Grupos
Definição 5.4.1 Um grupo é um monóide (G, ·, e) tal que todo o elemento de G
é invertı́vel.
Então (G, ·, e) é um grupo se
• G é um conjunto
• · : G × G −→ G é uma operação binária
• e ∈ G é o elemento neutro, i.e. a · e = a = e · a∀a ∈ G
• todo o elemento de G tem um inverso (em G), i.e. ∀g ∈ G : ∃h ∈ G : h · g =
e = g · h.
Exemplo 5.4.2
1. (Z, +, 0) é um grupo.
2. (Z, ·, 1) não é um grupo, mas ({1, −1}, ·, 1) é um grupo.
3. (Q, +, 0) e (Q \ {0}, ·, 1) são grupos.
4. (Sn , ◦, id) e (An , ◦, id) são grupos.
1 0
0 0
) são grupos onde
) e (GL2 (Q), ·,
5. (M2 (Q), +,
0 1
0 0
GL2 (Q) := {A ∈ M2 (Q) | det A 6= 0}.
Um grupo cuja operação binária é comutativa diz-se também grupo abeliano.
Observação 5.4.3 Sejam G1 e G2 grupos. O produto directo G1 ×G2 é um grupo.
Demonstração: Sejam (G1 , , e1 ) e (G2 , ~, e2 ) grupos.
Sabemos que G1 × G2 é um monóide com a operação binária:
(a1 , a2 ) (b1 , b2 ) := (a1
b 1 , a2 ~ b 2 )
e com o elemento neutro (e1 , e2 ). Como G1 e G2 são grupos todo o elemento
a1 ∈ G1 e a2 ∈ G2 tem um inverso. Logo o inverso do elemento (a1 , a2 ) ∈ G1 × G2
−1
é o elemento (a−1
1 , a2 ), pois
−1
(a1 , a2 ) (a−1
1 , a2 ) = (a1
−1
a−1
1 , a2 ~ a2 ) = (e1 , e2 ).
Definição 5.4.4 Seja H um subconjunto de um grupo G. H diz-se um subgrupo
de G se H é um submonóide de G tal para todo h ∈ H também o inverso h−1
pertence H.
68
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
Então um subconjunto H de um grupo G é um subgrupo de G se
• e∈H
• ∀h ∈ H : h−1 ∈ H
• ∀h, g ∈ H : hg ∈ H.
Exemplo 5.4.5
1. An é um subgrupo de Sn
2. (Z, +, 0) é um subgrupo de (Q, +, 0).
3. (Z \ {0}, ·, 1) não é um subgrupo de (Q \ {0}, ·, 1).
4. SL2 (Q) é um subgrupo de GL2 (Q).
5. (2Z4 , +, [0]4 é um subgrupo de (Z4 , +, [0]4 ) onde
2Z4 := {[2a]4 | a ∈ Z} = {[0]4 , [2]4 }.
Observação 5.4.6 Seja C um conjunto de subgrupos de um grupo G. Então
T
H∈C H é um subgrupo de G.
T
Demonstração: Seja K := H∈C H. Já sabemos que K é um submonóide de
G. Seja k ∈ K então k ∈ H para todo H ∈ C. Como H é um subgrupo temos
k −1 ∈ H para todo H ∈ C. Logo k −1 ∈ K. Definição 5.4.7 Seja (G, , e) um grupo e D ⊆ G um subconjunto. O subgrupo
gerado por D em G é
hDi := {x1
x2
···
xn | n ≥ 0 e xi ∈ D ou x−1
i ∈ D}.
Por convenção o produto com 0 factores é igual a e (= o elemento neutro de
G).
Note-se que hDi é igual ao submonóide gerado por D∪D−1 onde D−1 := {d−1 |
d ∈ D}.
Observação 5.4.8 Seja G um grupo e D ⊆ G.
1. hDi é o menor subgrupo de G que contém D.
T
2. hDi = H∈C H onde C é o conjunto dos subgrupos H de G que contêm D.
Definição 5.4.9 Suponha G = hDi para um subconjunto D ⊆ G. Então dizemos
que G é gerado por D e D é um conjunto dos geradores de G. Se existe um
conjunto finito D = {d1 , d2 , . . . , dm } tal que G = hDi então G diz-se finitamente
gerado. Se existe um elemento d ∈ G tal que G = h{d}i então G diz-se cı́clico.
5.4. GRUPOS
69
Usamos a seguinte notação. Seja x um elemento de um grupo (G, , e) e seja
k ∈ Z:
xk := |x ·{z
· · x}
para k > 0,
k−vezes
xk := e
para k = 0,
−1
−1
para k < 0.
xk := x
·
·
·
x
{z
}
|
|k|−vezes
Note-se que se G = Z e 0 6= x ∈ Z então no grupo (Z, +, 0) temos
xk = x
· · + x} = kx
| + ·{z
k−vezes
para k > 0 e
xk = (−x) + · · · + (−x) = (−k)x
|
{z
}
|k|−vezes
para k < 0. No grupo (Q \ {0}, ·, 1) temos
xk = x
· · · x} = xk
| · ·{z
k−vezes
para k > 0 e
xk =
1
1
1
· ··· · = k
x
x
x
| {z }
|k|−vezes
para k < 0.
Observação 5.4.10
1. Todo o grupo G é gerado pelos seus elementos, i.e.
G = hGi. Logo se o conjunto G é finito, G é finitamente gerado.
2. O grupo (Z, +, 0) é cı́clico, pois Z = h{1}i.
3. Seja (G, , e) um grupo abeliano e D ⊆ G. Então
hDi = {xk11
xk22
···
xknn | n ≥ 0, ki ∈ Z, xi ∈ D e xi 6= xj ∀i 6= j}.
4. O grupo (Q, +, 0) não é finitamente gerado.
Demonstração: (1),(2) exercı́cio; (3) Por definição qualquer elemento x ∈ hDi
é igual x = x1 x2 · · · xm para xi ∈ D ou x−1
∈ D. Como a operação
i
é comutativo podemos reordenar os factores e obtemos x = y1k1 · · · ynkn para
yi ∈ {x1 , . . . , xm } e yi 6= yj e ki ∈ Z. Portanto todo o elemento de hDi pode ser
descrito desta forma.
m
} ⊂ Q. Por (3) todo o elemento x ∈ hDi pode ser escrito
(4) Seja D := { ab11 , . . . , abm
como
a1
am
x = k1 + · · · km
b1
bm
70
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
onde ki ∈ Z. Calculando esta soma obtemos um elemento de Q da forma
x=
c
b1 b2 · · · bm
para algum c ∈ Z ( talvez seja possı́vel simplificar este termo, mas isso será ignorado aqui). Seja p um primo tal que p - bi para todo 1 ≤ i ≤ m. Então
1
1
p 6∈ hDi, caso contrário suponhamos que p ∈ hDi. Então existira um c ∈ Z tal
que p1 = b1 b2c···bm ou seja
b1 b2 · · · bm = cp.
Logo p | b1 b2 · · · bm . Assim, como p é primo, p | bi para algum 1 ≤ i ≤ m - absurdo.
Portanto p1 6∈ hDi e Q 6= hDi para qualquer subconjunto finito D de Q. Logo Q
não é finitamente gerado. Definição 5.4.11 Sejam (G1 , , e1 ) e (G2 , ~, e2 ) grupos. Uma função f : G1 −→
G2 diz-se um homomorfismo de grupos se f é um homomorfismo de monóides tal
que f (x−1 ) = f (x)−1 para todo x ∈ G1 .
Então f : G1 −→ G2 é um homomorfismo de grupos se
• f (e1 ) = e2 ;
• ∀x ∈ G1 : f (x−1 ) = f (x)−1 ;
• ∀x, y ∈ G1 : f (x
y) = f (x) ~ f (y).
Observação 5.4.12 Seja f : G1 → G2 uma função. Então f é um homomorfismo
de grupos se e só se f (x y) = f (x) ~ f (y).
Demonstração: ⇒ por definição.
⇐ Temos
f (e1 ) = f (e1 ) ~ e2
= f (e1 ) ~ (f (e1 ) ~ f (e1 )−1 )
= f (e1
e1 ) ~ f (e1 )−1
= f (e1 ) ~ f (e1 )−1
= e2
Para todo x ∈ G1 temos
f (x)−1 = f (x)−1 ~ e2
= f (x)−1 ~ f (e1 )
= f (x)−1 ~ f (x
x−1 )
= f (x)−1 ~ f (x) ~ f (x−1 ) = f (x−1 ).
5.4. GRUPOS
71
Seja f : G1 −→ G2 um homomorfismo de grupos. O subconjunto de G1
Ker(f ) := {x ∈ G1 | f (x) = e2 }
diz-se o núcleo de f . Para a imagem de f escrevemos f (G1 ).
Teorema 5.4.13 Seja f : G1 −→ G2 um homomorfismos de grupos.
1. A imagem f (G1 ) é um subgrupo de G2 .
2. O núcleo Ker(f ) é um subgrupo de G1 .
3. O homomorfismo f é injectivo se e só se Ker(f ) = {e1 }.
4. se f é um isomorfismo então f −1 : G2 → G1 é um isomorfismo também.
Demonstração: (3) Suponhamos que Ker(f ) = {e1 }. Sejam x, y ∈ G1 tais que
f (x) = f (y). Então e2 = f (y) ~ f (x)−1 = f (y x−1 ). Logo y x−1 ∈ Ker(f ) =
{e1 }. Consequentemente y x−1 = e1 ou seja y = x. Portanto f é injectivo.
Se f é injectivo e f (x) = e2 logo x = e1 . Teorema 5.4.14 (Teorema de Cayley) Qualquer grupo (G, , e) é isomorfo a
um subgrupo de um grupo simétrico SX .
Demonstração: Seja X = G e SX o grupo simétrico do conjunto X. Para
qualquer g ∈ G seja Lg : X → X a função: Lg (x) = g x. Tem-se
Lg ◦ Lg−1 (x) = g
g −1
x = x = id(x)
para qualquer x ∈ X, portanto Lg é bijectiva e Lg ∈ SX . Nota que
Lg
h (x)
=g
h
x = Lg (Lh (x)) = (Lg ◦ Lh )(x)
para qualquer x ∈ X. A aplicação L : G → SX com f (g) = Lg é um homomorfismo
de grupos, porque
f (g
h) = Lg
h
= Lg ◦ Lh = f (g) ◦ f (h).
Se f (g) = Lg = id, então
e=g
g −1 = Lg (g −1 ) = id(g −1 ) = g −1 .
. Portanto Ker(f ) = {e} e f é injectivo e G é isomorfo ao imagem de f , que é um
subgrupo de SX . 72
5.5
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
Grupos cı́clicos
Teorema 5.5.1 Seja (G, , e) um grupo cı́clico, i.e. G = hxi para algum x ∈ G.
Então ou G é isomorfo ao grupo (Z, +, 0) ou G é isomorfo ao grupo (Zn , +, [0]n )
para algum n ≥ 1.
Demonstração: Suponhamos que não existe nenhum inteiro k 6= 0 tal que xk = e
onde e é o elemento neutro de G. Então a função f : Z → G tal que f (k) := xk é
bijectiva, porque se f (k) = f (l) para k ≥ l então
xk = xl ⇒ xk−l = xl−l = e ⇒ k − l = 0 ⇒ k = l.
A função f é um homomorfismo de grupos, pois f (k + l) = xk+l = xk xl =
f (k) f (l) para k, l ∈ Z. Então f é um isomorfismo de grupos.
Suponhamos que existe um inteiro k 6= 0 tal que xk = e. Sem perda de
generalidade podemos supor que existe um inteiro positivo, porque se k < 0 e
xk = e então x−k = e−1 = e e −k > 0. Seja n o menor inteiro positivo tal que
xn = e. Temos que
f : Zn → G com f ([k]n ) := xk ∀[k]n ∈ Zn
é uma função. Temos de verificar se f está bem-definida. Então sejam k ≤ l dois
inteiros tais que [k]n = [l]n . Logo n | l − k ⇒ ∃q ∈ Z : l = k + qn. Portanto
f ([l]n ) = xl = xk
(xn )q = xk
e = f ([k]n )
mostre que f está bem-definida. Temos que f é um homomorfismo de grupos, pois
f ([k]n + [l]n ) = f ([k + l]n ) = xk+l = xk
xl = f ([k]n )
f ([l]n )
para todo [k]n , [l]n ∈ Zn . Suponha que existe um k ∈ Z tal que f ([k]n ) = xk = e.
Pelo Algoritmo da divisão existem q ∈ Z e r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tais que k = nq + r.
Portanto
e = xk = (xn )q xr = e xr = xr .
Como n é o menor inteiro positivo tal que xn = e e 0 ≤ r < n temos r = 0. Logo
n | k ⇒ [k]n = [0]n . Portanto f é injectivo. Como f é também sobrejectivo, f é
bijectiva e um isomorfismo de grupos. Definição 5.5.2 Seja G um grupo. Define-se ordem de g ∈ G e denota-se por
ord(g), como sendo a ordem do subgrupo hgi gerado por g; ord(g) :=| hgi |.
Observação 5.5.3 Seja g ∈ G. Se ord(g) é finito então ord(g) é o menor inteiro
positivo n tal que g n = e. Além disso g k = e ⇔ ord(g) | k para k ∈ Z.
5.5. GRUPOS CÍCLICOS
73
Demonstração: Suponhamos que ord(g) =| hgi |= n < ∞. Então f : Zn → hgi
com f ([k]n ) = g k é um isomorfismo de grupos. Suponhamos que g k = e para
algum k ∈ Z. Então f ([k]n ) = g k = e = g 0 = f ([0]n ) o que implica que [k]n = [0]n ,
pois f é injectivo. Logo n | k. Se k > 0 então k ≥ n. Portanto n = ord(g)
é o menor inteiro positivo tal que g n = e. Também temos que se g k = e então
n = ord(g) | k. A afirmação contrária é obvia. Lema 5.5.4 Todo o subgrupo de um grupo cı́clico é cı́clico.
Demonstração: Seja (G, , e) um grupo cı́clico. Então existe um g ∈ G tal que
G = hgi. Seja H um subgrupo de G. Se H = {e} então H é cı́clico, pois H = hei.
Suponha que H 6= {e} e seja h ∈ H tal que h 6= e. Como todo o elemento de G é
da forma g k para k ∈ Z existe k ∈ Z tal que h = g k . Sem perda de generalidade
podemos supor que existe um inteiro positivo k > 0 tal que g k ∈ H, pois se k < 0
então g −k = h−1 ∈ H e −k > 0. Sejam k o menor inteiro positivo tal que g k ∈ H e
g l ∈ H com l ∈ Z um elemento de H qualquer. Pelo algoritmo da divisão existem
inteiros q ∈ Z e r ∈ {0, 1, . . . , k − 1} tais que l = qk + r. Portanto
g l = g kq
q r ⇒ g r = g l−qk ∈ H.
Como k é o menor inteiro positivo tal que g k ∈ H e como 0 ≤ r < k temos r = 0
e k | l. Logo todo o elemento de H é da forma (g k )q para um q ∈ Z. Então
H ⊆ hg k i ⊆ H implica que H = hg k i é cı́clico. Corolário 5.5.5 Os subgrupos de (Z, +, 0) são da forma nZ para n ≥ 0.
Demonstração: O subgrupo gerado por um inteiro n ∈ Z é igual
hni = {n
. . + n} | k > 0} ∪ {0} ∪ {(−n) + . . . + (−n) | k < 0}
| + .{z
|
{z
}
k−vezes
|k|−vezes
= {kn | k ∈ Z}
= nZ.
Obviamente nZ = (−n)Z, então todo o subgrupo tem a forma nZ para algum
n ≥ 0. Observação 5.5.6 Seja G = hgi um grupo cı́clico tal que ord(g) = n. As
seguintes propriedades são satisfeitas para todo o elemento g k ∈ G com k ∈ Z:
(i) ord(g k ) =
n
mdc(n,k) .
(ii) hg k i = hg mdc(n,k) i.
74
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
(iii) hg k i = G se e só se mdc(n, k) = 1.
k
n
Demonstração: (i) Temos (g k ) mdc(n,k) = (g n ) mdc(n,k) = e e logo ord(g k ) ≤
n
n
k
kord(g) = e temos n | kord(g) ⇒
mdc(n,k) . Como g
mdc(n,k) | mdc(n,k) ord(g). Os
n
k
inteiros mdc(n,k)
e mdc(n,k)
são relativamente primos. Pelo 2.2.9 temos
n
ord(g). Logo mdc(n,k) = ord(g).
(ii) Pela (i) temos:
ord(g mdc(n,k) ) =
(iii) Se hgi = G então
temos ord(g) =
|
n
n
=
= ord(g k ).
mdc(n, mdc(n, k))
mdc(n, k)
n
mdc(n,k)
n
mdc(n,k)
n
mdc(n,k)
= ord(g) = n ⇒ 1 = mdc(n, k). Se mdc(n, k) = 1
= n = ord(g). Logo hg k i = G. Corolário 5.5.7 Os subgrupos de grupo (Zn , +, [0]n ) são da forma h[d]n i = dZn
para d | n.
Demonstração: Note-se que Zn = h[1]n i. Então pela observação 5.5.6(ii)
h[k]n i = hk · [1]n i = hmdc(n, k)[1]n i = h[mdc(n, k)]n i.
Como mdc(n, k) | n temos que todo o subgrupo de Zn é da forma h[d]n i onde d | n.
Um elemento g de um grupo G diz-se gerador do grupo se G = hgi.
Corolário 5.5.8 Os geradores de grupo (Zn , +, [0]n ) são os elementos da forma
[k]n onde mdc(k, n) = 1.
5.6
Classes laterais e o Teorema de Lagrange
Seja (G, , e) um grupo e seja H um subgrupo de G. Define-se a relação de
equivalência em G:
a ∼H b ⇔ a−1 b ∈ H
para todos os elementos a, b ∈ G.
A relação ∼H é reflexiva: para todo a ∈ G tem-se a−1
a ∼H a.
A relação ∼H é simétrica: para a, b ∈ G se a ∼H b então
a−1
b ∈ H ⇒ (a−1
b)−1 ∈ H ⇒ b−1
a = e ∈ H, logo
a ∈ H ⇒ b ∼H a.
A relação ∼H é transitiva: para a, b, c ∈ G se a ∼H b e b ∼H c então
a−1
b ∈ H e b−1
c ∈ H ⇒ a−1
c = a−1
b
b−1
c ∈ H ⇒ a ∼H c.
5.6. CLASSES LATERAIS E O TEOREMA DE LAGRANGE
75
Portanto ∼H é uma relação de equivalência.
A classe de um elemento a ∈ G é igual:
[a]∼H
a
:= {b ∈ G | a ∼H b}
=
{b ∈ G | a−1
=
{b ∈ G | ∃h ∈ H : a−1
=
{b ∈ G | ∃h ∈ H : b = a
=
{a
b ∈ H}
h | h ∈ H} = a
b = h}
h}
H
H diz-se classe lateral esquerda de a.
Definição 5.6.1 O conjunto de classes laterais esquerdas denota-se por
G/H := {a
H | a ∈ G}.
Exemplo 5.6.2 Se G = Z, H = nZ então para quaisquer a, b ∈ Z :
a ∼H b ⇔ −a + b ∈ nZ
⇔ ∃k ∈ Z : b − a = kn
⇔ n|b−a
⇔ a ≡ b(mod n)
Logo
G/H = Z/nZ = {a + nZ | a ∈ Z} = {[a]∼H | a ∈ Z} = Zn .
Teorema 5.6.3 (Teorema de Lagrange) Seja G um grupo finito e seja H um
subgrupo de G. Então
|G|
.
| G/H |=
|H|
Além disso | H | divide | G |.
Demonstração: Primeiro verifique-se | a
H |=| H | para todo a ∈ G. Pois se
H = {h1 , h2 , . . . , hm }
com hi 6= hj para 1 ≤ i 6= j ≤ m então
a
com a
hi 6= a
a
H = {a
h1 , a
h2 , . . . , a
hm }
hj para i 6= j, pois se
hi = a
hj ⇒ hi = a−1
a
hi = a−1
a
h j = hj .
76
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
Como as classes de uma relação de equivalência formam uma partição do conjunto
G tem-se
G = (a1 H) ∪ (a2 H) ∪ · · · ∪ (ak H)
para alguns elementos ai ∈ G tal que (ai ∗ H) ∩ (aj ∗ H) = ∅ para i 6= j; onde k é
o número das classes laterais esquerdas distintas de G/H. Logo
| G |=| a1
H | + | a2
H | + · · · + | ak
ou seja | H | divide | G | e k =| G/H |=
|G|
|H| .
H |= k | H |
Corolário 5.6.4 A ordem de um elemento de um grupo finito divide a ordem de
grupo. Isto é ord(a) | n para qualquer a ∈ G e n =| G |.
Também é possı́vel definir uma relação aH ∼ b ⇔ ba−1 ∈ H. As classes dessa
relação de equivalência são da forma
[a]H ∼ = H
a = {h
e chamam-se classes laterais direitas.
Se G é abeliano tem-se a H = H
a H 6= H a.
a | h ∈ H}
a para qualquer a ∈ G, mas em geral
Definição 5.6.5 Um subgrupo H de um grupo (G, , e) diz-se normal se a H =
H a para qualquer a ∈ G.
Obviamente todo o subgrupo de um grupo abeliano é normal.
A importância de subgrupos normais deve-se ao facto de se H for normal
então o conjunto das classes laterais esquerdas G/H é um grupo com a operação
(a H) (b H) := (a b) H.
Teorema 5.6.6 Sejam (G, , e) um grupo e H um subgrupo de G. As seguintes
afirmações são equivalentes:
(a) H é um subgrupo normal de G.
(b) a
H
a−1 ⊆ H para todo a ∈ G.
(c) (G/H, , H) é um grupo onde (a
a, b ∈ G.
H) (b
H) := (a
b)
H para todo
Demonstração: (a) ⇒ (c) Como a definição da operação
depende dos representantes escolhidos a e b das classes laterais a H e b H, temos de verificar se
a operação está bem-definido ou seja se a H = a0 H e b H = b0 H então
(a
H) (b
H) =? (a0
H) (b0
H),
5.6. CLASSES LATERAIS E O TEOREMA DE LAGRANGE
Neste caso tem-se a0 ∈ a H e b0 ∈ b
a0 = a h1 e b0 = b h2 . Portanto
(a0
Como h
H)(b0
H) = (a0
77
H. Logo existem h1 , h2 ∈ H tais que
b0 )
H = (a
h1
b
h2 )
b)
H.
H.
H = H para qualquer h ∈ H tem-se
(a0
H) (b0
H) = (a
Como H é normal tem-se h1 b ∈ H
que h1 b = b h˜1 . Portanto
h1
H ou seja existe um h˜1 ∈ H tal
b=b
(a0 H) (b0 H) = (a h1 b) H = (a b h˜1 ) H = (a b) H = (a H) (b H)
mostre que a definição da operação é independente da escolha dos representantes
das classes laterais.
Como a operação é associativa, também é associativa, pois
((a
H) (b
A classes H = e
H)) (c
H) = ((a
b)
c)
H
c))
H
= (a
(b
= (a
H) ((b
H) (c
H é o elemento neutro, pois
(a
H) (e
H) = (a
e)
H=a
H
e também H (a H) = (a H) para qualquer a ∈ G.
O inverso de um elemento a H é a−1 H, pois
(a
H) (a−1
H) = (a
a−1 )
Portanto (G/H, , H) é um grupo.
(c) ⇒ (b) Seja a ∈ G e h ∈ H. Tem-se h
a−1
eh
a−1 ∈ a−1
H = (h
H) (a−1
H=e
H = H.
H = H. Logo
H) = (h
a−1 )
H. Então existe um k ∈ H tal que
h
a−1 = a−1
k⇒a
h
a−1 = k ∈ H.
Portanto a H a−1 ⊆ H para todo a ∈ G.
(b) ⇒ (a) Seja a ∈ G. Tem-se
a
a−1 ⊆ H ⇒ a
H
H⊆H
a.
a⊆a
H.
Também tem-se
a−1
Portanto a
H=H
a.
H
a⊆H⇒H
H
H)).
78
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
Exemplo 5.6.7 (1) Já sabemos que os conjuntos Z/nZ e Zn são iguais. Mas
também como grupo (Z/nZ, +, nZ) = (Zn , +, [0]n ).
(2) Seja n ≥ 1. An é um subgrupo normal de Sn . Para ver isto usamos a condição
(b) do teorema passado. Sejam g ∈ Sn uma permutação e f ∈ An uma permutação
par. Então
sign(g ◦ f ◦ g −1 ) = sign(g)sign(f )sign(g −1 ) = sign(g)2 sign(f ) = sign(f ) = 1
mostre que g ◦ f ◦ g −1 ∈ An . Portanto Sn /An é um grupo. Como | An |=| Sn | /2
tem-se | Sn /An |= 2. Não é difı́cil ver que todo o grupo com dois elementos é
isomorfo à (Z2 , +, [0]2 ). Logo
(Sn /An , ◦, An ) ' (Z2 , +, [0]2 ).
Lema 5.6.8 Sejam (G1 , , e) e (G0 , ~, e0 ) grupos e f : G → G0 um homomorfismo
de grupos. Então Ker(f ) é um subgrupo normal de G e Im(f ) é um subgrupo de
G0 .
Demonstração: Sejam h ∈ Ker(f ) e g ∈ G. Então
f (g
h
g −1 ) = f (g) ~ f (h) ~ f (g)−1 = f (g) ~ e0 ~ f (g)−1 = f (g) ~ f (g)−1 = e0 .
Logo g h g −1 ∈ Ker(f ) e g Ker(f ) g −1 ⊆ Ker(f ). Pelo Teorema 5.6.6,
Ker(f ) é normal.
Im(f ) é um subgrupo e G0 , pois f (e) = e0 ∈ Im(f ) e para dois elementos f (g), f (h) ∈
Im(f ) com g, h ∈ G tem-se f (g) ~ f (h) = f (g h) ∈ Im(f ). Teorema 5.6.9 Sejam (G1 , , e) e (G0 , ~, e0 ) grupos e f : G → G0 um homomorfismo de grupos e H := Ker(f ). A função
f : G/H → G0
com
f (g
H) := f (g)
H ∈ G/H é um homomorfismo de grupos injectivo.
para todo g
Demonstração: Primeiro verificamos que f está bem-definida: Sejam g, h ∈ G
tais que g H = h H. Então g ∈ hH implica que existe um k ∈ H = Ker(f ) tal
que g = h k. Portanto
g
H = f (g) = f (h) ~ f (k) = f (h) ~ e0 = f (h) = h
H,
f está bem-definida. Se f (g H) = f (g) = e0 então g ∈ Ker(f ) = H e g
Logo a função f é injectiva. f é um homomorfismo de grupos, pois
f ((g
H) (h
H)) = f (g
= f (g
h
H)
h)
= f (g) ~ f (h)
= f (g
para todo gH, hH ∈ G/H. H) ~ f (h
H)
H = H.
5.6. CLASSES LATERAIS E O TEOREMA DE LAGRANGE
79
Corolário 5.6.10 Sejam (G1 , , e) e (G0 , ~, e0 ) grupos e f : G → G0 um homomorfismo de grupos. Então os grupos G/Ker(f ) e Im(f ) são isomorfos: G/Ker(f ) '
Im(f ).
Demonstração: Tem-se Im(f ) = Im(f ). Portanto f : G/Ker(f ) → Im(f ) é uma
isomorfismo de grupos. Exemplo 5.6.11 Seja n ≥ 1. O núcleo do homomorfismo f : Z → Zn com
f (a) := [a]n para todo a ∈ Z é Ker(f ) = nZ. Portanto
Z/nZ ' Zn .
80
CAPÍTULO 5. MONÓIDES E GRUPOS
Capı́tulo 6
Anéis e corpos
6.1
Anéis
Definição 6.1.1 Um conjunto A com duas operações binárias + e · é um anel
se
(i) (A, +, 0) é um grupo abeliano.
(ii) (A, ·, 1) é um monóide.
(iii) ∀a, b, c ∈ A :
a · (b + c) = a · b + a · c
(b + c) · a = b · a + c · a
A operação + diz-se a adição do anel, a operação · diz-se a multiplicação do
anel; o elemento neutro 0 da adição diz-se o zero do anel; o elemento neutro 1
da multiplicação diz-se o elemento um do anel. Dado a ∈ A o inverso de a em
(A, +, 0) diz-se o simétrico de a e representa-se por −a.
Se a multiplicação do anel for comutativa, o anel diz-se anel comutativo.
Em geral representamos apenas por A o anel (A, +, ·, 0, 1).
Um elemento a do anel A diz-se invertı́vel se a for invertı́vel no monóide
(A, ·, 1), i.e. se existir b ∈ A tal que
ab = 1 = ba.
Se a for invertı́vel o inverso de a em (A, ·, 1) é único e denota-se por a−1 .
Um anel A tal que todo o elemento a não nulo, i.e. a 6= 0, é invertı́vel diz-se
um corpo.
O anel A = {0} diz-se anel trivial. Não é difı́cil mostrar que A é o anel trivial
se e só se |A| = 1.
Exemplo 6.1.2
é um grupo.
• Z, Q, R, C são anéis. N não é um anel porque (N, +, 0) não
81
82
CAPÍTULO 6. ANÉIS E CORPOS
• (Zn , +, ·, [0]n , [1]n ) é um anel para n ≥ 0.
0 0
1 0
• (M2 (R), +, ·,
,
) munido da soma e produto de matrizes
0 0
0 1
é um anel.
• (R[X], +, ·, 0, 1) munido da soma e produto de polinómios é um anel.
Observação 6.1.3 Seja A um anel e a, b ∈ A. Tem-se que
(i) a · 0 = 0 = 0 · a.
(ii) (−a) · b = −(a · b) = a · (−b)
(iii) (−a) · (−b) = a · b
(iv) A é o anel trivial se e só se 0 = 1.
Demonstração: (i) Seja a ∈ A então a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 ⇒ 0 = a · 0.
(ii) (−a) · b + a · b = (−a + a) · b = 0 · b = 0. Logo (−a) · b = −(a · b).
(iii) 0 = (−a)·(−b)+(−(a·b) = (−a)·(−b)+(−a)·b = (−a)·(−b+b) = (−a)·0 = 0.
Logo (−a) · (−b) = −(−(a · b)) = a · b.
(iv) Obviamente se A é trivial então 0 = 1. Seja 0 = 1. Para todo a ∈ A temos
a = a · 1 = a · 0 = 0. Logo A = {0}. Teorema 6.1.4 Sejam (A, +, ·, 0, 1) e (A0 , +0 , ·0 , 00 , 10 ) anéis. O produto cartesiano A × A0 é um anel com as operações (a, a0 ) + (b, b0 ) := (a + b, a0 +0 b0 ) e
(a, a0 ) · (b, b0 ) := (a · b, a0 ·0 b0 ), zero (0, 00 ) e elemento um (1, 10 ). O anel (A ×
A0 , +, ·, (0, 00 ), (1, 10 )) diz-se o produto directo de A e A0 .
Demonstração: Já sabemos que (A × A0 , +, (0, 00 ) é um grupo e (A × A0 , ·, (1, 10 ))
é um monóide. Como
(a, a0 ) + (b, b0 ) = (a + b, a0 +0 b0 ) = (b + a, b0 +0 a0 ) = (b, b0 ) + (a, a0 )
para qualquer (a, a0 ), (b, b0 ) ∈ A × A0 o grupo (A × A0 , +, (0, 00 )) é abeliano. Sejam
(a, a0 ), (b, b0 ), (c, c0 ) ∈ A × A0 então
(a, a0 ) · [(b, b0 ) + (c, c0 )] = (a, a0 ) · (b + c, b0 +0 c0 )
= (a · (b + c), a0 ·0 (b0 +0 c0 ))
= (a · b + a · c), a0 ·0 b0 +0 a0 ·0 c0 )
= (a · b, a0 · b0 ) + (a · c, a0 ·0 c0 )
= (a, a0 ) · (b, b0 ) + (a, a0 ) · (c, c0 ).
Analogamente tem-se [(b, b0 )+(c, c0 )]·(a, a0 ) = (b, b0 )·(a, a0 )+(c, c0 )·(a, a0 ). Portanto
A × A0 é um anel. 6.1. ANÉIS
83
Definição 6.1.5 Seja (A, +, ·, 0, 1) um anel e B ⊆ A. Diz-se que B é um subanel
de A se B é um subgrupo de (A, +, 0) e B é um submonóide de (A, ·, 1).
Assim B é um subanel de A se e só se
(i) 0 ∈ B;
(ii) ∀b ∈ B : −b ∈ B;
(iii) ∀a, b ∈ B : a + b ∈ B;
(iv) 1 ∈ B;
(v) ∀a, b ∈ B : a · b ∈ B.
Definição 6.1.6 Seja A um corpo e B ⊆ A. Diz-se que B é um subcorpo de A
se B é um subanel de A e ∀b ∈ B \ {0} : b−1 ∈ B.
Exemplo 6.1.7
• Z é um subanel de Q mas não é um subcorpo de Q.
• Q é um subcorpo de R e C.
Teorema 6.1.8 Seja A um anel e seja C um conjunto de subanéis de A. Então
a intersecção
\
B
B∈C
é um subanel de A.
Seja D um subconjunto não vazio de um anel A. Seja
C := {B ⊆ A | B é um subanel de A e contém todos os elementos de D}.
Então o subanel gerado por D é
hDi :=
\
B.
B∈C
Um anel A diz-se finitamente gerado se existe um subconjunto não vazio
finito {d1 , . . . , dn } ⊆ A tal que A = h{d1 , . . . , dn }i. Por exemplo Z = h{1}i e
Z × Z = h{(1, 0), (0, 1)}i. Os números racionais Q não são finitamente gerado como
anel.
84
CAPÍTULO 6. ANÉIS E CORPOS
6.2
Ideais e Teorema Fundamental do Homomorfismo
Definição 6.2.1 Sejam (A, +, ·, 0, 1) e (A0 , +0 , ·0 , 00 , 10 ) dois anéis. Uma função
f : A → A0 diz-se homomorfismo de anéis se f é um homomorfismo entre os
grupos (A, +, 0) e (A0 , +0 , 00 ) e é um homomorfismo entre os monóides (A, ·, 1) e
(A0 , ·0 , 10 ).
Então uma função f é um homomorfismo de anéis se
(i) f (a + b) = f (a) +0 f (b) para a, b ∈ A
(ii) f (a · b) = f (a) ·0 f (b) para a, b ∈ A
(iii) f (1) = 10 .
Um homomorfismo bijectivo diz-se um isomorfismo.
Observação 6.2.2 Seja f : A → A0 um homomorfismo de anéis.
(i) f (0) = 00 ;
(ii) f (−a) = −f (a) para todo a ∈ A;
(iii) se a ∈ A é invertı́vel então f (a) é invertı́vel e f (a)−1 = f (a−1 );
(iv) f é injectivo se e só se Ker(f ) = {0};
(v) se f é um isomorfismo, então f −1 : A0 → A é também um isomorfismo de
anéis.
(vi) Im(f ) é um subanel de A0 .
Demonstração: Como f é um homomorfismo de grupos (A, +, 0) e (A0 , +0 , 00 )
tem-se (i), (ii) e (iv).
(iii) Seja a ∈ A invertı́vel. Então
f (a) ·0 f (a−1 ) = f (a · a−1 ) = f (1) = 10 = f (1) = f (a−1 · a) = f (a−1 ) ·0 f (a).
Logo f (a−1 ) = f (a)−1 .
Definição 6.2.3 Um subconjunto I de um anel (A, +, ·, 0, 1) diz-se ideal se I é
um subgrupo de (A, +, 0) tal que ax ∈ I e xa ∈ I para todo a ∈ A e x ∈ I.
6.2. IDEAIS E TEOREMA FUNDAMENTAL DO HOMOMORFISMO 85
Exemplo 6.2.4 (1){0} e A são ideais de um anel A.
(2) Os ideais de Z são da forma nZ para n ∈ N.
Todo o ideal I de Z é também um subgrupo do grupo (Z, +, 0). Logo I = nZ por
5.5.5. Por outro lado todo o subconjunto nZ é um subgrupo de (Z, +, 0). Como
para todo a ∈ Z e nx ∈ nZ:
a(nx) = (nx)a = n(xa) ∈ nZ
nZ é um ideal.
Lema 6.2.5 Seja f : A → A0 um homomorfismo de anéis então Ker(f ) é um
ideal de A.
Demonstração: Já sabemos que Ker(f ) é um subgrupo de (A, +, 0). Sejam a ∈ A
e k ∈ Ker(f ) então
f (a · k) = f (a) ·0 f (k) = f (a) ·0 00 = 00 = 00 ·0 f (a) = f (k) ·0 f (a) = f (k · a).
Logo a · k, k · a ∈ Ker(f ). Teorema 6.2.6 Seja I um ideal de um anel (A, +, ·, 0, 1) então o grupo quociente
(A/I, +, I) é um anel com a multiplicação
(a + I)·(b + I) := (a · b) + I ∀a, b ∈ A
e o elemento um 1 + I. O anel (A/I, +, ·, I, 1 + I) diz-se o anel quociente de A
por I.
Demonstração: O grupo quociente (A/I, +, I) de A por I é um grupo. Como
(A, +, 0) é um grupo abeliano:
(a + I)+(b + I) = (a + b) + I = (b + a) + I = (b + I)+(a + I) ∀a, b ∈ A,
i.e. (A/I, +, I) é um grupo abeliano.
Vamos ver que a multiplicação esteja bem-definida: Seja a+I = a0 +I e b+I = b0 +I
ou seja a − a0 ∈ I e b − b ∈ I. Então existem x, y ∈ I tais que a = a0 + x e b = b0 + y.
Portanto
(a + I)·(b + I) = (a · b) + I
= ((a0 + x) · (b0 + y)) + I
= (a0 · b0 + a0 · y + x · (b0 + y)) + I
= (a0 · b0 ) + I
= (a0 + I)·(b0 + I)
86
CAPÍTULO 6. ANÉIS E CORPOS
porque a0 · y ∈ I e x · (b0 + y) ∈ I como I é um ideal e x, y ∈ I. (Note-se que
(a + z) + I = a + I se z ∈ I). Portanto · está bem-definida.
(A/I, ·, 1+I) é um monóide, pois para todos os elementos a+I, b+I, c+I ∈ A/I
tem-se
[(a + I)·(b + I)]·(c + I) = [(a · b) + I]·(c + I)
= ((a · b) · c) + I
= (a · (b · c)) + I
= (a + I)·[(b · c) + I]
= (a + I)·[(b + I)·(c + I)],
i.e. · é associativa.
(a + I)·(1 + I) = (a · 1) + I = a + I = (1 · a) + I = (1 + I)·(a + I),
i.e. 1 + I é o elemento neutro de (A/I, ·).
Também tem-se
(a + I)·[(b + I)+(c + I)] = (a + I)·((b + c) + I)
= (a · (b + c)) + I
= (a · b + a · c)) + I
= [(a · b) + I]+[(a · c) + I]
= [(a + I)·(b + I)]+[(a + I)·(c + I)]
e analogamente
[(b + I)+(c + I)]·(a + I) = [(b + I)·(a + I)]+[(c + I)·(a + I)].
Logo (A/I, +, ·, I, 1 + I) é um anel. Teorema 6.2.7 (Teorema fundamental de homomorfismos) Sejam A e A0
anéis, f : A → A0 um homomorfismo de anéis e I := Ker(f ). A função
f : A/I → A0
com
f (a + I) := f (a)
para todo a + I ∈ A/I é um homomorfismo de anéis injectivo.
Demonstração: Já sabemos pelo 5.6.9 que f : A/I → A0 é um homomorfismo
de grupos (A/I, +, I) e (A0 , +0 , 00 ) onde I = Ker(f ) e f (a + I) = f (a). Também
sabemos que f é injectivo. Basta mostrar que f é um homomorfismo de anéis ou
seja que f é um homomorfismo de monóides (A/I, ·, 1 + I) e (A0 , ·0 , 10 ). Tem-se
para todo a + I, b + I ∈ A/I :
f ((a + I)·(b + I)) = f ((a · b) + I)
= f (a · b)
= f (a) ·0 f (b)
= f (a + I) ·0 f (b + I).
6.3. DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE E CORPOS
87
Verifique-se também
f (1 + I) = f (1) = 10 .
Portanto f é um homomorfismo de monóides (A/I, ·, 1 + I) e (A0 , ·0 , 10 ) e como já
sabemos que f é um homomorfismo de grupos (A/I, +, I) e (A0 , +0 , 00 ) tem-se que
f é um homomorfismo de anéis. Corolário 6.2.8 Seja f : A → A0 um homomorfismo de anéis. Então os anéis
A/Ker(f ) e Im(f ) são isomorfos: A/Ker(f ) ' Im(f ).
6.3
Domı́nios de Integridade e Corpos
Definição 6.3.1 Seja A um anel comutativo. Um elemento a ∈ A \ {0} diz-se um
divisor de zero se existir b ∈ A \ {0} tal que ab = 0.
Exemplo 6.3.2 Seja A = Z6 . O elemento a = [2]6 ∈ A é um divisor de zero,
porque para b = [3]6 tem-se
ab = [2]6 [3]6 = [6]6 = [0]6 .
Por definição: Um elemento a ∈ A é um divisor de zero se a afirmação ∃b ∈ A :
b 6= 0 ∧ ab = 0 for verdade. Negamos esta afirmação obtemos que um elemento a
não é um divisor de zero se 6 ∃b ∈ A : b 6= 0∧ab = 0 ou seja se ∀b ∈ A : b = 0∨ab 6= 0.
Observação 6.3.3 Seja A um anel comutativo e a ∈ A. Suponha que a é invertı́vel então a não é um divisor de zero.
Demonstração: Suponha que a ∈ A é invertı́vel. Seja a−1 o inverso de a. Se
ab = 0 para algum b ∈ A então
b = a−1 ab = a−1 0 = 0.
Portanto a não pode ser um divisor de zero. Definição 6.3.4 Um anel comutativo A diz-se domı́nio de integridade se A
não tem divisores de zero.
Observação 6.3.5 Seja A um anel comutativo. A é um domı́nio de integridade
se e só se xa = xb ⇒ x = 0 ∨ a = b para todo a, b, x ∈ A.
Demonstração: Seja A um domı́nio de integridade. Suponha que xa = xb para
x, a, b ∈ A. Logo x(a − b) = 0. Como A é um domı́nio de integridade, A não tem
divisores de zero. Logo ou x ou a − b é igual 0. Portanto x = 0 ∨ a = b.
Suponha que xa = xb ⇒ x = 0 ∨ a = b para todo a, b, x ∈ A. Se ab = 0 para
alguns elementos a, b ∈ A então ab = 0 = a0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0. Portanto A não
tem divisores de zero. 88
CAPÍTULO 6. ANÉIS E CORPOS
Exemplo 6.3.6 Z, Q, R, C são domı́nios de integridades.
Teorema 6.3.7 Todo o corpo é um domı́nio de integridade.
Demonstração: Como todo o elemento de um corpo ou é igual 0 ou é um elemento
invertı́vel a observação 6.3.3 mostre que um corpo não tem divisores de zero. O anel Z é um domı́nio de integridade mas não é um corpo.
Digamos que um anel A é finito se |A| é um número finito.
Teorema 6.3.8 Todo o domı́nio de integridade finito é um corpo.
Demonstração: Seja A um domı́nio de integridade finito com n elementos. Para
qualquer x ∈ A \ {0} consideramos a função Ex : A → A com Ex (a) = xa. Se
Ex (a) = Ex (b) então xa = xb ⇒ a = b por 6.3.5. Logo Ex é injectivo. Como A
tem n elementos e Ex é injectivo, a imagem da função Ex :
Im(Ex ) = {xa | a ∈ A} ⊆ A
tem também n elementos. Logo Ex é sobrejectivo, i.e. Im(()Ex ) = A. Portanto
existe um a ∈ A tal que xa = Ex (a) = 1, i.e x é invertı́vel. Mostrámos que todo o
elemento x 6= 0 é invertı́vel; logo A é um corpo. Definição 6.3.9 Seja A um anel comutativo. Um ideal I de A diz-se primo se
∀a, b ∈ A : ab ∈ I ⇒ a ∈ I ∨ b ∈ I.
Um ideal I de A diz-se maximal se para todo ideal J de A:
I ⊆ J ⊆ A ⇒ I = J ∨ J = A.
Exemplo 6.3.10 Os ideais maximais de Z são da forma pZ onde p é um número
primo.
Para ver isto seja I um ideal maximal de Z. Como todo o subgrupo de Z é da
forma nZ com n ≥ 0 existe um n ∈ N tal que I = nZ. Seja d um divisor positivo
de n, i.e. 1 ≤ d ≤ n e d | n. Então
I = nZ ⊆ dZ ⊆ Z
porque todo o elemento na ∈ nZ é também um múltiplo de d, portanto na ∈ dZ.
Como I é maximal, I = dZ ou dZ = Z. No primeiro caso tem-se d ∈ I = nZ ou
seja d = nx mas como n = dy para algum y ∈ Z tem-se
d = dyx ⇒ 1 = yx ⇒ y = x = 1 ⇒ d = n.
No segundo caso tem-se 1 ∈ dZ ou seja 1 = dx para algum x ∈ Z. Logo d = 1.
Portanto os únicos divisores positivos de n são 1 e n, i.e. n é um número primo.
Suponha que I = pZ com p um número primo. Seja J um ideal de Z tal que
pZ ⊆ J ⊆ Z. Se pZ 6= J então existe um n ∈ J \ pZ. Logo p - n ou seja
mdc(p, n) = 1. Pelo Algoritmo de Euclides existem x, y ∈ Z tais que 1 = px + ny.
Como px ∈ pZ ⊆ J e ny ∈ J tem-se 1 ∈ J. Portanto J = Z.
6.3. DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE E CORPOS
89
Exemplo 6.3.11 Os ideais primos de Z são os ideais maximais de Z e o ideal
{0}.
Seja I um ideal primo de Z. Existe um n ∈ N tal que I = nZ. Se n = 0 então
I = {0}. Suponha que n 6= 0. Seja d um divisor positivo de n tal que n = dx para
algum x ∈ Z. Como dx = n ∈ nZ = I e I é primo, d ∈ I ou x ∈ I. Se d ∈ I então
d = ny para algum y ∈ Z. Logo
n = dx = nyx ⇒ 1 = yx ⇒ x = 1 ⇒ n = d.
Se x ∈ I então x = ny para algum y ∈ Z. Logo
n = dx = dny ⇒ 1 = dy ⇒ d = 1.
Portanto os únicos divisores positivos de n são 1 e n, i.e. n é um número primo.
O ideal {0} é um ideal primo, pois se a, b ∈ Z:
ab ∈ {0} ⇒ ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 ⇒ a ∈ {0} ∨ b ∈ {0}.
Seja p um número primo e a, b ∈ Z
ab ∈ pZ ⇒ p | ab ⇒ p | a ∨ p | b ⇒ a ∈ pZ ∨ b ∈ pZ.
Portanto pZ é um ideal primo de Z.
Lema 6.3.12 Sejam I e J ideais de um anel A, então I + J := {x + y | x ∈ I, y ∈
J} é um ideal de A.
Demonstração: Verificamos que I + J é um subgrupo de A: (i) 0 ∈ I ⊆ I + J;
(ii) ∀x, x0 ∈ I e y, y 0 ∈ J: (x + y) + (x0 + y 0 ) = (x + x0 ) + (y + y 0 ) ∈ I + J; então
I + J está fechado para +.
(iii) ∀x + y ∈ I + J : (−x) + (−y) ∈ I + J.
Sejam a ∈ A e x + y ∈ I + J com x ∈ I e y ∈ J. Então
a · (x + y) = a · x + a · y ∈ I + J e (x + y) · a = x · a + y · a ∈ I + J
Lema 6.3.13 Sejam A um anel e I ⊆ J ideais de A. O subconjunto J/I :=
{a + I | a ∈ J} é um ideal do anel quociente A/I.
Demonstração: Exercı́cio. Teorema 6.3.14 Seja A um anel comutativo e I um ideal de A. Tem-se
(1) I é um ideal primo se e só se o anel quociente A/I é um domı́nio de integridade.
90
CAPÍTULO 6. ANÉIS E CORPOS
(2) I é um ideal maximal se e só se o anel quociente A/I é um corpo.
Demonstração: (1) Suponha que I é um ideal primo. Sejam a + I, b + I dois
elementos de A/I tais que (a + I) · (b + I) = (a · b) + I = I. Logo a · b ∈ I. Como
I é primo, a ∈ I ou b ∈ I ou seja a + I = I ou b + I = I. Portanto A/I não tem
divisores de zero.
Suponha que A/I é um domı́nio de integridade. Sejam a, b ∈ A tais que a · b ∈ I.
Logo
(a + I) · (b + I) = (a · b) + I = I.
Como A/I é um domı́nio de integridade, a + I = I ou b + I = I ou seja a ∈ I ou
b ∈ I. Portanto I é um ideal primo.
(2) Suponha que I é um ideal maximal. Seja a ∈ A tal que a + I 6= I. Então
I ⊆ J ⊆ A onde J = hai + I. Como I é maximal I = J ou J = A. O caso
I = J é impossı́vel porque a ∈ J mas a 6∈ I. Logo J = A e 1 ∈ J = hai + I.
Então existem x ∈ hai e y ∈ I tais que 1 = x + y como todo o elemento x de hai
é da forma x = ba para b ∈ A tem-se 1 = ba + x ou seja 1 − ba = x ∈ I. Logo
1 + I = (ba + I) = (b + I) · (a + I), i.e a + I é invertı́vel em A/I. Portanto todo o
elemento não nulo de A/I é invertı́vel, i.e. A/I é um corpo.
Suponha que A/I é um corpo. Seja J um ideal de A tal que I ⊆ J ⊆ A. O
subconjunto J/I := {a + I | a ∈ J} é um ideal de A. Como todo o elemento não
nulo de A/I é invertı́vel, então ou J/I contém um elemento invertı́vel ou todo o
elemento de J/I é igual o elemento zero. No primeiro caso J/I = A/I pelo um
teorema dado. Então 1 + I ∈ J/I ou seja 1 + I = a + I para um a ∈ J. Logo
1 − a ∈ I e existe um b ∈ I tal que 1 = a + b. Como a ∈ J e b ∈ I ⊆ J tem-se
1 = a + b ∈ J. Portanto J = A.
No segundo caso J/I = {I} ou seja ∀a ∈ J : a + I = I. Portanto todo o elemento
a ∈ J é um elemento de I, i.e. J = I. Portanto I é um ideal maximal. Corolário 6.3.15 Todo o ideal maximal de um anel comutativo é um ideal primo.
Demonstração: Seja I um ideal maximal de um anel A. Então A/I é um corpo.
Como todo o corpo é um domı́nio de integridade A/I é um domı́nio de integridade
e logo I é um ideal primo. Note-se que todo o anel A é isomorfo ao anel quociente A/{0}.
Corolário 6.3.16 Seja A um anel comutativo.
(1) A é um domı́nio de integridade se e só se {0} é um ideal primo de A.
(2) A é um corpo se e só se {0} é um ideal maximal de A.
Exemplo 6.3.17 O ideal {0} de Z é primo porque Z é um domı́nio de integridade.
O ideal pZ de Z com p um número primo é maximal porque Z/pZ = Zp é um corpo.
6.3. DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE E CORPOS
91
Conhecemos os corpos Zp para p um número primo e Q. Vamos ver que todo
o corpo contém um destes corpos.
Definição 6.3.18 O subcorpo gerado por um subconjunto D de um corpo K é a
intersecção de todos os subcorpos de K que contém D ou seja o menor subcorpo
hDi de K que contém D.
Definição 6.3.19 Seja K um corpo. O subcorpo gerado por 1 diz-se o subcorpo
primo de K e escrevemos Prim(K) para h1i.
Como todo o subcorpo contém o elemento 1, Prim(K) é o menor subcorpo de
K.
Teorema 6.3.20 Seja K um corpo. Então ou Prim(K) ' Q ou Prim(K) ' Zp
para algum primo p.
Demonstração: Consideramos a função f : Z → Prim(K) com f (n) = n1 para
qualquer n ∈ Z. Obviamente f é um homomorfismo de anéis.
Suponha que n1 = 0 para algum n ∈ Z. Então Ker(f ) = nZ. Pelo teorema
fundamental de homomorfismos Im(f ) ' Z/nZ = Zn . Como Im(f ) é um subanel
de Prim(K) e como Prim(K) é um domı́nio de integridade, também Im(()f ) é um
domı́nio de integridade. Logo n =: p é um número primo e Im(()f ) ' Zp é um
subcorpo de K. Mas como Prim(K) é o menor subcorpo de K que contém 1,
Prim(K) = Im(()f ) ' Zp .
Suponha que n1 6= 0 para qualquer n ∈ Z. Então podemos definir uma função
f : Q → Prim(K) tal que f ( ab ) := f (a)f (b)−1 . Também é fácil ver que f é
um homomorfismo de anéis. Como Q é um corpo os únicos ideais são {0} e Q.
Portanto Ker(f ) = {0} e
Q ' Q/{0} = Q/Ker(f ) ' Im(f ) ⊆ Prim(K)
é um subcorpo de K. Como Prim(K) é o menor subcorpo de K que contém 1,
Prim(K) = Im(f ) ' Q. Definição 6.3.21 Seja K um corpo. A caracterı́stica de K é igual 0 se
Prim(K) ' Q e é igual a um número primo p se Prim(K) ' Zp . Escrevemos
Char(K) para a caracterı́stica de K.
Seja A um domı́nio de integridade e A∗ := A \ {0}. Vamos definir uma relação
de equivalência em A × A∗. Dizemos
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.
• ∼ é reflexiva: ∀(a, b) ∈ A × A∗: ab = ba ⇒ (a, b) ∼ (a, b)
92
CAPÍTULO 6. ANÉIS E CORPOS
• ∼ é simétrica: ∀(a, b), (c, d) ∈ A × A∗: (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc ⇔ cb =
da ⇔ (c, d) ∼ (a, b).
• ∼ é transitiva: ∀(a, b), (c, d), (e, f ) ∈ A × A∗:
(a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f )
⇒
ad = bc ∧ cf = de
⇒
adf = bcf ∧ bcf = bde
⇒
adf = bde
⇒d6=0 af = be
⇒
(a, b) ∼ (e, f )
Representamos a classe [(a, b)]∼ = {(c, d) ∈ A × A∗ | ad = bc} por
conjunto das classes por Q := { ab | a, b ∈ A, b 6= 0}.
a
b
e o
Teorema 6.3.22 O conjunto Q é um corpo com as operações binárias:
a c
ad + cb
a c
ac
+ :=
e
· :=
b d
bd
b d
bd
para todos os elementos ab , dc ∈ Q. O zero é
0
1
e o elemento um é 11 .
Demonstração: Temos mostrar que as operações estão bem-definidas: Seja
a0
c
c0
0
0
0
0
b0 e d = d0 . Então ab = ba e cd = dc e
a
b
=
(ad + cb)b0 d0 = ab0 dd0 + cd0 bb0 = ba0 dd0 + dc0 bb0 = bd(a0 d0 + c0 b0 ).
Logo (ad + cb, bd) ∼ (a0 d0 + c0 b0 , b0 d0 ) ou seja
ad + cb
a0 d0 + c0 b0
a0
c0
a c
+ =
=
= 0 + 0.
0
0
b d
bd
bd
b
d
Também temos (ac)(b0 d0 ) = ab0 cd0 = ba0 dc0 = (bd)(a0 c0 ). Logo (ac, bd) ∼
(a0 c0 , b0 d0 ) ou seja
ac
a0 c0
a0 c0
a c
· =
= 0 0 = 0 · 0.
b d
bd
bd
b d
Portanto as operações + e · estão bem-definidas.
Teorema 6.3.23 A função i : A → Q com i(a) :=
anéis injectivo.
a
1
é um homomorfismo de
Demonstração: Para a, b ∈ A tem-se
f (a + b) =
a+b
a b
= + = f (a) + f (b)
1
1 1
6.3. DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE E CORPOS
f (ab) =
93
ab
a b
= · = f (a) · f (b)
1
1 1
1
f (1) = .
1
Portanto f é um homomorfismo de anéis. Suponha que f (a) = a1 = 10 . Então
(a, 1) ∼ (0, 1) ou seja a = a · 1 = 1 · 0 = 0. Portanto Ker(f ) = {0} e f é injectivo.
O corpo Q diz-se o anel de fracções de A.
Índice Remissivo
divisor comum, 21
divisor de zero, 87
domı́nio, 11
domı́nio de integridade, 87
a é congruente com b modulo n, 33
m-ciclo, 54
ı́mpar, 60
caracterı́stica, 91
subcorpo primo , 91
elemento neutro, 36
elementos, 8
equação de Diofanto linear, 25
a identidade em X, 49
A ordem de f ∈ Sn , 53
adição do anel, 81
anel, 81
anel comutativo, 81
associativa, 63
Axioma da reunião:, 9
Axioma do conjunto vazio:, 9
Axioma dos conjunto das partes:, 9
factorização, 29
finitamente gerado, 68, 83
função da identidade, 12
gerado por, 68
grupóide, 63
grupo, 67
grupo abeliano, 67
grupo simétrico de grau n, 51
bijecção, 50
bijectiva, 49
homomorfismo de anéis, 84
homomorfismo de monóides, 65
cı́clico, 68
classe, 33
classe lateral esquerda, 75
Codificação:, 43
composição, 13
comutativa, 63
concatenação, 65
congruência linear, 36
conjugação com f ., 58
conjunto, 8
ideal, 84
imagem, 11
injectiva, 49
invertı́vel, 36, 66, 81
leis de DeMorgan, 6
mı́nimo múltiplo comum, 30
máximo divisor comum, 21
múltiplo, 19
múltiplo comum, 30
maximal, 88
monóide, 63
monóide livre em A, 65
multiplicação do anel, 81
Descodificação, 44
disjuntas, 56
divide, 19
divisı́vel, 19
divisor, 19
94
ÍNDICE REMISSIVO
número primo, 27
na base , 45
normal, 76
o anel quociente, 85
o elemento neutro, 51, 63
o elemento um do anel, 81
o grupo alterno de n elementos, 61
o grupo simétrico de X, 50
o inverso, 66
o núcleo, 71
o produto directo, 82
o simétrico, 81
o sinal, 60
o suporte de f , 54
o zero do anel, 81
operação binária, 63
ordem, 72
os elementos fixos, 54
Os ingredientes do sistema criptográfico
RSA, 43
Públicos:, 43
par, 60
Parâmetros, 43
partição, 34
permutação, 50
primo, 88
produto directo, 64
public-key cryptosystem, 43
Quantificadores , 6
quociente, 19, 20
reflexiva, 14
relação de equivalência, 14
relativamente primos, 25
representação, 45
resto, 20
Secretos:, 43
semigrupo, 63
simétrica, 14
sobrejectiva, 49
subanel, 83
95
subanel gerado por D, 83
subcorpo, 83
subgrupo, 67
subgrupo gerado por D, 68
submonóide, 64
submonóide gerado por, 65
transitiva, 14
transposição, 54
um corpo, 81

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