1 UFSCar – Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Quest˜oes

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UFSCar – Licenciatura e Bacharelado em Matemática.
Questões de Estruturas Algébricas 1
Prof. João C.V. Sampaio. 3 de abril de 2002.
1. Seja A um conjunto não vazio e sejam f, g ∈ M(A), sendo M(A) o monóide das
transformações de A, ou seja, o monóide das funções de A em A.
(a) Mostre que se f ◦ g = IA então g é injetora e f é sobrejetora.
(b) Mostre que se g é injetora então existe uma transformação ϕ ∈ M(A) que é
inversa à esquerda de g, isto é, satisfazendo ϕ ◦ g = IA .
(c) Mostre que se f é sobrejetora então existe uma transformação ψ ∈ M(A) que
é inversa à direita de f , isto é, satisfazendo f ◦ ψ = IA .
2. Sendo N o conjunto dos números naturais, considere o monóide M(N), das transformações do conjunto N, isto é, das funções de N em N, munido da operação
composição, ◦. Considere as funções f, g ∈ M(N), definidas por
f (x) = x + 1
e
g(x) =
0,
se x = 0
x − 1, se x ≥ 1
(a) Mostre que g ◦ f = IN , e portanto f é uma transformação inversa à direita de
g (e g é uma transformação inversa à esquerda de f ).
(b) Verifique que f e g são transformações não invertı́veis e que, portanto, nem f
possui uma transformação inversa à direita, nem g possui uma transformação
inversa à esquerda.
3. Seja (A, ∗) um monóide no qual a equação a ∗ x = b tem solução, ∀a, b ∈ A. Mostre
que (A, ∗) é um grupo.
4. Mostre que o conjunto constituı́do das três permutações
1 2 3
1 2 3
1
I=
, σ=
eτ =
1 2 3
2 3 1
3
2 3
1 2
munido da operação de composição, constitui um grupo.
5. Dadas as permutações
1 2 3 4
f1 =
3 4 2 1
5
5
e f2 =
1 2 3
4 2 5
calcule
(a) f12 = f1 ◦ f1
(d) f2−1
(b) f13 = f12 ◦ f1
(e) f1 ◦ f2−1
(f) f22
(c) f14 = f13 ◦ f1
4 5
1 3
2
6. Mostre que cada uma das estruturas algébricas dadas abaixo é um grupo. Classifique
cada grupo como sendo abeliano ou não.
Nota. Em cada um dos itens abaixo você deverá mostrar:
(1o ) que · (ou ◦) é de fato uma operação no conjunto G dado, isto é, que
x ∈ G e y ∈ G ⇒ x · y (ou x ◦ y) ∈ G
(2o ) que a operação definida em G é associativa e possui elemento neutro em G;
(3o ) que cada elemento x ∈ G possui um elemento inverso na operação dada e que
esse inverso é um elemento de G.
(a) (G, ◦), sendo
G = {fa,b | a, b ∈ R e a 6= 0}
em que, para cada a ∈ R, a 6= 0, e cada b ∈ R, fa,b é a função R → R definida
por
fa,b (x) = ax + b
e ◦ é a operação composição de funções.
[Sugestão simplificadora: Admita, a priori, que a composição de funções é associativa].
(b) (S 1 , ·), sendo
S 1 = {z ∈ C | z = cos θ + isen θ, θ ∈ R}
e · é a multiplicação de números complexos.
[Sugestão simplificadora: Admita, a priori, que a multiplicação de números
complexos é associativa].
7. Mostre que se a, b e c são elementos de um grupo (G, ∗), e a ∗ b = a ∗ c, então b = c.
8. Mostre que se G1 e G2 são grupos multiplicativos, então G1 × G2 , com a operação
definida por
(a, b) · (c, d) = (ac, bd),
é um grupo.
9. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se H é subgrupo de G.
n
o
cos θ sen θ (a) H = −sen
θ
∈
R
, (G, ∗) = (GL(2, R), ·), sendo GL(2, R) o grupo
θ cos θ multiplicativo das matrizes invertı́veis 2 × 2 de números reais.
(b) H = {z ∈ C | |z| = 1}, (G, ∗) = (C∗, ·), sendo C∗ = C − {0} e · a
multiplicação em C.
(c) H = {0, 3, 6, 9, 12}, (G, ∗) = (Z15 , +).
3
10. Sendo (G, ·) um grupo de elemento neutro e. Mostre que se x2 = e, para cada x
em G, então G é abeliano. [Sugestão: Note que x2 = e ⇒ x−1 = x. Tome dois
elementos quaisquer a e b em G e comece escrevendo ab = (ab)−1 =. . . ]
11. Seja G um grupo finito e seja H um subconjunto não vazio de G. Mostre que H é
subgrupo de G se e somente se H é fechado na operação de G. [Sugestão: Mostre
que, para cada elemento a ∈ H, existe um inteiro positivo n tal que an = e.] Mostre
que esta propriedade não se mantém se G é infinito.
12. Seja G um grupo finito de elemento neutro e, e seja a ∈ G, a 6= e.
(a) Mostre que existe um inteiro positivo k tal que ak = e;
(b) Seja n o menor dos inteiros positivos k satisfazendo ak = e. Mostre que
hai = {e, a, . . . , an−1 }, e que portanto o(a) = n. [Sugestão: Mostre que, para
cada inteiro m, existe um inteiro r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tal que am = ar , e
também que se 0 ≤ i < j ≤ n − 1 então ai 6= aj ];
(c) Mostre que se as = e então n|s;
(d) Mostre que as = at ⇔ s ≡ t (mod n).
13. Sejam G um grupo multiplicativo e seja H um subgrupo de G. Mostre que se x ∈ G,
então xHx−1 é também um subgrupo de G, sendo xHx−1 = {xhx−1 | h ∈ H}.
14. Escreva (456) ◦ (567) ◦ (671) ◦ (123) ◦ (234) ◦ (345) como produto de ciclos disjuntos.
15. Seja G = {a1 , a2, . . . , an } um grupo abeliano. Mostre que sendo x = a1 · a2 · · · an ,
então x2 = e.
16. Considere um polı́gono P no plano R2 . Uma simetria desse polı́gono é uma isometria
f : P → P, ou seja, uma função bijetora f : P → P que preserva distâncias: se P1 e P2
são pontos quaisquer do polı́gono P, então dist(P1 , P2 ) = dist(f (P1 ), f(P2 )). Assim
sendo, se f é uma simetria do polı́gono regular P, então f leva vértices em vértices,
arestas em arestas, e arestas consecutivas em arestas consecutivas. Portanto, cada
simetria de P pode ser representada por uma permutação α do conjunto de vértices
(embora nem toda permutação dos vértices corresponda a uma simetria).
Considere no plano R2 o quadrado H de centro na origem, tendo o ponto A = (1, 0)
como um de seus vértices.
(a) Represente as simetrias desse quadrado por permutações de seus vértices. Enumerando os vértices consecutivos, no sentido anti-horário, por 1 (vértice A), 2,
3, e 4, escreva cada simetria do quadrado como produtos de ciclos disjuntos de
S4 .
(b) Mostre o conjunto das simetrias do quadrado é um subgrupo do grupo S4 ,
considerando S4 como todas as permutações dos vértices {1, 2, 3, 4}.
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(c) Sejam σ a rotação de Q de 90◦ no sentido anti-horário, e τ a reflexão de Q
em relação à uma linha diagonal ligando os vértices 2 e 4. Verifique que σ e τ
satisfazem às seguintes relações:
σ 4 = τ 2 = (1); στ = τ σ −1
.
(d) Mostre que o grupo de simetrias de Q é constituı́do dos seguintes elementos:
(1), σ, σ 2, σ 3, τ, στ, σ 2τ, σ 3τ
(e) Dê exemplos de permutações dos vértices de Q que não são simetrias. Explique
porque não o são. Quantas permutações dos vértices não são simetrias de Q?
(f) Escreva a reflexão de Q em torno do eixo y na forma σ i τ j , com 0 ≤ i ≤ 3 e
0 ≤ j ≤ 1.
17. Considere no plano R2 o triângulo equilátero 4, de centro na origem, tendo o ponto
A = (1, 0) como um de seus vértices. Mostre que o grupo das simetrias de 4,
interpretado conforme as convenções do exercı́cio anterior, é o grupo S3.
18. O teorema de Lagrange afirma que: Se (G, ∗) é um grupo finito e H é subgrupo de
G então |H| divide |G|. (Para todo grupo G, |G| (= ordem de G) denota o número
de elementos de G).
Usando o teorema de Lagrange, mostre que se (G, ∗) é um grupo finito e |G| = p,
com p primo, então
(a) os únicos subgrupos de G são G e {e}.
(b) G é um grupo cı́clico, isto é, existe a ∈ G tal que hai = G.
19. Mostre que todo grupo de ordem 4 é abeliano. [Sugestão: Para cada elemento a ∈ G,
a 6= e, tem-se, pelo teorema de Lagrange, que o(a) | 4, logo o(a) = 2 ou 4. Considere
as duas possibilidades: (1a ) existe a ∈ G tal que o(a) = 4; (2a ) ∀a ∈ G, a 6= e,
tem-se o(a) = 2.]
20. Dê exemplos de dois grupos de 6 elementos, sendo um abeliano e outro não.