Álgebra e Funções

Matemática em ação 9
Álgebra e Funções
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Matemática em ação 9
Fichas teóricas
Conteúdos abordados:





Equações do 2.º grau a uma incógnita
Sistemas de equações
Funções de proporcionalidade direta
Função afim
Funções de proporcionalidade inversa
Estas fichas apresentam noções essenciais já
anteriormente estudadas, mas na perspetiva de um
aluno que frequenta o último ano do Ensino Básico.
Contêm noções essenciais: estudadas no 9.º ano e
estudadas em anos anteriores e que são prérequisitos para a aprendizagem do aluno.
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Álgebra
Equações do 2.° grau
22
Equação do 2.º grau é toda a equação redutível à forma ax2 + bx + c = 0 , a 0 0
o 1.º membro é um polinómio do 2.º grau e o 2.° membro é zero.
forma canónica:
Para resolver uma equação do 2.° grau são válidas as regras para a resolução de equações do 1.º grau (ver ficha 21).
Equações do 2.º grau incompletas
São as equações em que b = 0 ou c = 0 .
◆ 3x2 - 48 = 0
Equação do tipo
ax2 + c = 0 (b = 0)
3x2 - 48 = 0 § 3x2 = 48
- 48 passou para o 2.º membro trocando o sinal
48
2
§ x =
Dividiram-se ambos os membros por 3
3
2
§ x = 16 § x = "16 › x = - "16
§ x=4›x=-4
- 4 e 4 são as soluções: S = {- 4, 4}
◆ x2 + 25 = 0
x2 + 25 = 0 § x2 = - 25
Não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê - 25
◆ x + 8x = 0
2
Equação do tipo
ax2 + bx = 0
a equação não tem solução: é impossível.
(c = 0 , b 0 0)
Pondo em evidência o factor comum: x (x + 8) = 0
obtém-se um produto nulo, logo, um dos fatores tem de ser nulo:
x=0
›
x+8=0
x=0
›
x=-8
› lê-se "ou".
0 e - 8 são as soluções: S = {- 8, 0}
Estas equações que se podem transformar num produto de dois fatores igual a zero, resolvem-se aplicando a:
Se um produto A * B é nulo, ou A é nulo ou B é nulo e reciprocamente.
Lei do anulamente do produto
A*B=0 § A=0›B=0
(2x + 5) (1 - x) = 0 § 2x + 5 = 0 › 1 - x = 0 § x = Equações do 2.º grau completas
5
› x=1
2
Pode usar-se a lei do anulamento do produto
(o 2.° membro é zero).
(x - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 1) = 0
x-1=0›x-1=0
x=1› x=1
x = 1 1 é solução dupla ou raiz dupla
Número de soluções de uma equação do 2.° grau:
MA9 © RAIZ EDITORA
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}
◆ Caso geral usando a fórmula resolvente.
• ax2 + bx + c = 0 §
˚ = b2 - 4ac chama-se
binómio discriminante.
x=
- b ¿ "b2 - 4ac
2a
x2 - 7x + 10 = 0 §
7 ¿ "49 - 4 * 1 * 10
§ x=
2*1
§ x=
• Duas soluções quando ˚ > 0
• Nehuma solução quando ˚ < 0
• Uma solução dupla quando ˚ = 0
5
,1
2
ax2 + bx + c = 0 , b 0 0 , c 0 0
◆ Caso particular: o 1.° membro é um caso notável.
x2 - 2x + 1 = 0 §
§
§
§
§
{
S= -
da fórmula resolvente
7¿3
7+3
7-3
§ x=
› x=
§ x=5 › x=2
2
2
2
2 e 5 são soluções: S = {2, 5}
37
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Álgebra
23
1
Sistemas de duas equações do 1.° grau com duas incógnitas
Equações do 1.° grau com duas incógnitas
Equações com dois valores desconhecidos: as incógnitas.
Os expoentes das incógnitas são iguais a 1 .
◆ As soluções de uma equação do 1.° grau com duas incógni-
tas são pares ordenados de números que a transformam
numa igualdade verdadeira.
◆ Resolver uma equação em ordem a uma das incógnitas é
escrever essa incógnita em função da outra, usando as regras
para resolver equações.
2x + y = 5 §
y = 5 - 2x
equação resolvida
em ordem a y
Agora é fácil determinar soluções: dando valores a x ,
calcula-se o correspondente valor para y .
2
Sistemas de duas equações com duas incógnitas
2x + y = 5
Resolver a equação
nados (x , y) que a verificam.
é determinar os pares orde-
O par (1, 3) é uma solução da equação.
2*1+3=5
O par (3, 1) não é solução.
2*3+105
O par (0, 5) é outra solução.
2*0+5=5
Existe uma infinidade de soluções.
Na física:
• e = 70t equação que dá o espaço percorrido por um automóvel a velocidade constante de 70 km/h em função do
tempo.
Está resolvida em ordem a e .
e
e = 70t § t =
(a mesma equação resolvida em ordem a t )
70
Conjunção de duas equações com duas incógnitas, redutíveis à
forma simplificada (forma canónica).
a ax + by = c
b
c a'x + b'y = c'
com a , b , c , a' , b' , c' å R
◆ Solução de um sistema de duas equações com duas incóg-
nitas é um par ordenado que transforma cada uma das equações em igualdades verdadeiras.
◆ Resolver um sistema de duas equações com duas incógni-
tas é determinar estes pares ordenados.
Uma estratégia para resolver um sistema:
1.° Efetuar todas as operações possíveis para desembaraçar
de parêntesis e denominadores, caso existam.
Resolver um sistema
1.°
a 3x + 5y = 31
a 3x + 5y - 31 = 0
d
d
y
b
§ b
d 4x - y = 26
d 2x - = 13
2
c
c
Forma canónica
2.° Usar o método de substituição:
• Uma solução: Sistema possível e determinado.
• Nenhuma solução: Sistema impossível.
• Uma infinidade de soluções: Sistema possível e indeterminado.
38
a 3x + 5y = 31
§ b
c - y = 26 - 4x
a 3x + 5 (- 26 + 4x) = 31
§ b
c y = - 26 + 4x
a 3x - 130 + 20x = 31
a 23x = 161
§ b
§ b
c y = - 26 + 4x
c y = - 26 + 4x
ax=7
ax=7
§ b
§ b
c y = - 26 + 4 * 7
cy=2
Solução: (7, 2)
Pode-se averiguar se não houve engano, isto é, se o par
obtido verifica o sistema:
a0=0
a 3 * 7 + 5 * 2 - 31 = 0
d
d
Verificação: b
§ b
2
d 13 = 13
d 2 * 7 - = 13
2
c
c
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◆ Número de soluções de um sistema
2.°
MA9 © RAIZ EDITORA
• Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas.
• Substituir na outra equação essa incógnita pela expressão encontrada.
• Resolver a equação que tem agora uma só incógnita.
• Substituir o valor encontrado na outra equação.
• Resolver essa equação.
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Álgebra
27
Função de proporcionalidade direta
y
Função de proporcionalidade direta é toda a correspondência do tipo x 1 y = kx , k 0 0 .
A cada número x corresponde o número kx , sendo k a constante de proporcionalidade.
O gráfico de uma função de proporcionalidade direta é um conjunto de pontos de coordenadas (x , kx).
Pertencem à reta que passa na origem do referencial e no ponto (1, k).
k
O
1
x
São funções de proporcionalidade direta:
Expressão
algébrica
Tabela
Gráfico
• O preço da entrada numa piscina municipal
n = número de entradas
p = preço em euros
n
0
1
2
3
4
…
p
0
5
10
15
20
…
*5
p
20
15
p = 5n
10
5
O
• O custo das peras no mercado
p = peso em kg
c = custo em euros
1
2
3
4
n
1
2
3
4
p
c
6
p
0
1
2
3
4
…
c
0
1,5
3
4,5
6
…
* 1,5
4,5
c = 1,5p
3
1,5
O
As duas tabelas representam grandezas diretamente proporcionais.
Nos dois casos, a variável dependente é igual
ao produto da constante de proporcionalidade pela variável independente.
Todos os pontos dos dois gráficos
pertencem a retas que passam
na origem do referencial e pelo
ponto (1, k) , sendo k a constante de proporcionalidade.
A representação gráfica seguinte:
y
O
x
MA9 © RAIZ EDITORA
42
MA9 © RAIZ EDITORA
não é de uma função de proporcionalidade direta porque a reta não passa na origem.
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Álgebra
28
Função afim
Uma função afim é uma função do tipo y = kx + b , com k e b constantes,
e em que a variável independente x pode tomar qualquer valor real.
y
y = kx + b
O gráfico de uma função afim é uma reta.
k representa o declive da reta.
b é a ordenada na origem.
Ordenada na origem
b
x
O
D=R
Domínio = R
É exemplo de uma função afim a função que a cada x faz corresponder - x + 2 : x 1 y = - x + 2 .
y
A imagem de 0 é - 0 + 2 = 2 ; a imagem de 1 é - 1 + 2 = 1 .
2
Bastam dois pontos para desenharmos a reta.
1
0
-1
x
1
Casos particulares
y = -x + 2
◆ Se k 0 0 e b = 0 vem y = kx
Função linear
Uma função de proporcionalidade direta é uma função linear quando a variável independente x pode tomar qualquer valor, ou
seja, quando o domínio é R .
O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do referencial.
• Se k > 0 a reta passa no 1.º e no 3.º quadrantes.
• Se k < 0 a reta passa no 2.º e no 4.º quadrantes.
1.° quadrante
2.° quadrante
O
O
3.° quadrante
◆ Se k = 0 vem y = b
4.° quadrante
Função constante
y
O gráfico é uma reta paralela ao eixo Ox .
O
Todos os objetos têm a mesma imagem.
b
x
Os gráficos de funções afins com o mesmo valor de k são
retas com o mesmo declive, ou seja, retas paralelas.
y=b
Funções afins com a mesma ordenada na origem b correspondem a retas que têm um ponto comum: o ponto de
coordenadas (0, b) .
y
y
b
O
x
O
x
Dada a expressão algébrica de uma função afim y = kx + b , com k 0 0 :
MA9 © RAIZ EDITORA
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Se k > 0 , ou seja, se o declive é positivo, então a função é crescente.
Se k < 0 , ou seja, se o declive é negativo, então a função é decrescente.
43
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Álgebra
29
1
Função de proporcionalidade inversa
Grandezas inversamente proporcionais
Se os valores de uma grandeza y são inversamente proporcionais aos valores de outra grandeza x , então existe uma constante
k , diferente de zero, tal que xy = k .
Reciprocamente, se existe uma constante k 0 0 tal que xy = k , então y é inversamente proporcional a x .
Designando por t o tempo, em horas, que um automóvel demora a percorrer uma distância e por v a velocidade média, em
km/h, a que circula, verifica-se:
Velocidade média
(em km/h) v
40
80
100
120
Tempo t
(em horas)
12
6
4,8
4
40 * 12 = 80 * 6 = 100 * 4,8 = 120 * 4 = 480
Quando a velocidade aumenta para o dobro, o tempo
diminui para metade; quando a velocidade aumenta para
o triplo, o tempo diminui para a terça parte; …
constante de proporcionalidade,
representa a distância percorrida.
O tempo t que um automóvel demora a percorrer uma certa distância é inversamente proporcional à sua velocidade média v
utilizada.
Neste caso, vt = 480 § t =
2
480
.
v
Função de proporcionalidade inversa
Função de proporcionalidade inversa é toda a correspondência do tipo y =
A cada número x 0 0 corresponde
k
, k00.
x
k
(k constante diferente de zero).
x
k é a constante de proporcionalidade inversa.
É uma função de proporcionalidade inversa, a função f que a um número x faz corresponder
x1y=
2
:
x
2
2
ou f(x) =
x
x
• - 2 1 - 1 ou f(- 2) = - 1
• 1 1 2 ou f (1) = 2
k>0
y
• Zero não pertence ao domínio de f (0 não tem imagem).
4
3
Representação gráfica
2
A representação gráfica de uma função de proporcionalidade inversa é o conjunto de
k
todos os pontos de coordenadas ax, b .
x
k
, k 0 0 é uma curva chamada hipérbole.
x
◆ O produto das coordenadas de qualquer ponto do gráfico é constante e igual a k :
x * y=k.
◆ D = CD = ]- ?, 0[ ∂ ]0, + ?[ .
-4
-3
-2
-1
1
2
x3
4x
-1
-2
-3
Uma hipérbole é constituída por dois ramos.
44
MA9 © RAIZ EDITORA
◆ O gráfico de uma função do tipo y =
1y
MA9 © RAIZ EDITORA
3
Resolução de exercícios
e problemas
Para consolidares os teus
conhecimentos, resolve os
exercícios e problemas que te
propomos.
Matemática em ação 9
1.ª parte
1
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, escolhe a opção
correta.
A solução do sistema {
(A)
2
é o par ordenado:
(B)
A equação
(C)
(D)
:
(A) não tem soluções reais.
(B) tem duas soluções diferentes.
(C) tem uma solução dupla.
(D) Nenhuma das respostas
anteriores é correta.
3
O gráfico da função
pontos:
(A)
(C)
interseta os eixos coordenados nos
(B)
(D)
4
A tabela ao lado representa uma relação de proporcionalidade
direta,
. A constante de proporcionalidade é:
(A)
5
(B)
(C)
?
(D)
A partir da tabela ao lado podemos concluir que:
(A)
(B)
(C)
(D)
2
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Matemática em ação 9
2.ª parte
Apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as
justificações necessárias.
1
Um cavalo e um burro caminhavam juntos levando sacos muito pesados,
todos com o mesmo peso. Lamentava-se o cavalo da sua pesada carga quando o
burro lhe disse:
Quantos sacos levava cada animal?
Adaptado de Álgebra, Editora Mir
2
Na figura está representado um triângulo
modo que o triângulo seja retângulo em .
. Determina o valor de , de
3
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Matemática em ação 9
2
Sabe-se que o gráfico de uma função afim passa pelo ponto
e
tem 5 como ordenada na origem. Faz a representação gráfica dessa função e
determina a sua expressão algébrica.
3
A distância
(em quilómetros) percorrida pelo Afonso no seu jogging matinal
é diretamente proporcional ao tempo (em minutos) gasto a percorrê-la.
O Afonso percorre 3 km em 15 minutos.
a) Escreve
em função de .
b) Determina a distância percorrida pelo Afonso em três
quartos de hora.
5
Um pastor tinha 60 ovelhas e ração para as sustentar durante 30 dias.
Vendeu um certo número de animais de modo que a ração passou a ser suficiente
para mais 10 dias.
Quantas ovelhas vendeu?
4
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