Prova Comentada - Vestibular UFSC 2002

MATEMÁTICA
FORMULÁRIO
30o
45o
60o
1
2
3
2
2
2
sen
cos
3
2
1
2
2
2
1
3
3
tg
3
1
cosec x =
sec x =
tg x =
cotg x =
sen x
1
cos x
sen x
cos x
, sen x  0
, cos x  0
, cos x  0
cos x
sen x
, sen x  0
sen2 x + cos2 x = 1
10) A =
bh
A = 1 D
ou
2
2
1) an = a1 + (n – 1)  r
onde
 a1  a n 
2) Sn = 
n
2


4) S =
a1
1- q
5) A pn 
z = a + bi , z = a 2  b 2
14) Se P(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 e
x1 , x2 , ... , xn são raízes de P(x), então
x1 x2

...
A
6) Pn = n!
9) dP,r =
15) Vcone =
n!
p! (n  p)!
8) dA,B =
y3 1
13) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
n!
(n  p)!
p
x3
z = z  (cos + i sen)

7) Cn 
y1 1
y2 1
11) Acírculo = r2
12) Para
3) an = a1 . qn –1
D
x1
x2
 x B  x A 2  y B  y A 2
ax 0  by 0  c
a2  b2
16) Vesfera =
xn =


b
- 1n a 0
an
h
3
4  r3
3
17) Vcilindro = r2 h
18) Atotal do paralelepípedo = Soma das áreas das faces
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25) Marque a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S), em relação aos
conjuntos numéricos , , ,  e .
01. A soma de três números ímpares consecutivos é
três é 55.
02. Se x e y são números racionais, então
racionais.
x + y e x . y também são
04. Dado um número complexo qualquer x = a
número complexo y tal que x . y é real.
08. Se
x é um número negativo, então
159. O maior dos
+ bi, existe sempre um
x não existe.
16. A forma trigonométrica do número complexo
3 3 + 3i
é
π
π

6  cos  i sen  .
6
6

Gabarito: 23 (01 + 02 + 04 + 16)
Número de acertos: 394 (4,35%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
Essa foi uma questão classificada como fácil, mas que se mostrou
difícil para os candidatos, pois apenas 4,35% assinalaram a resposta
correta.
Chamam a atenção as respostas 09 e 11, assinaladas por 10,81% e
11,90%, dos candidatos. Em ambas, a proposição 08, que é falsa, foi
assinalada como verdadeira. Uma análise mais ampla, em relação à
proposição 08, mostra que ela foi assinalada como verdadeira por 50,56%
dos candidatos.
Esse erro pode ter duas causas: a primeira pode ser a falta de atenção
na leitura do enunciado da questão que mencionava, explicitamente, o
Conjunto dos Números Complexos. Ainda podemos considerar que,
normalmente, os professores no Ensino Fundamental afirmam que “não
existe raiz quadrada de um número negativo”, e não enfatizam que é no
Conjunto dos Números Reais. No Ensino Fundamental deveria ser
chamada a atenção dos alunos para a existência de um conjunto maior,
que é o Conjunto dos Números Complexos, a ser abordado no Ensino
Médio.
A segunda pode ser a pouca importância dada aos números
complexos no Ensino Médio.
Observa-se, ainda, que a proposição 16 (correta) foi assinalada por
apenas 27,16% dos candidatos, apontando, também, para a possibilidade
de o Conjunto dos Números Complexos não estarem sendo devidamente
trabalhados no Ensino Médio.
45
26) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S), sendo que x e y
representam números reais arbitrários.
01.
x  cosx 2 1  cosx
=
x
x2
02.
x
1
x
=
+
4x  3 4
3
04.
3 2
=3 2 +1
2
08.
x 2  7x  12  (x  4)(x  3)
16.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Gabarito: 16 (16)
Número de acertos: 3.315 (36,63%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil
Grau de dificuldade obtido: Médio
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão foi classificada como fácil, e obteve 36,63% de acertos.
Merece comentário a resposta 17 (16 + 01), assinalada por 15,09%
dos candidatos. A proposição 01 tratava de uma mera simplificação de
frações. Pode-se dizer, então, que se os candidatos soubessem simplificar frações algébricas, essa questão passaria a contar com 36,63% +
15,09% = 51,72% de acertos. Por outro lado, o fato de 15,09%
assinalarem a proposição 01, nos indica que os candidatos têm
dificuldades em relação à compreensão das funções trigonométricas.
27) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Dados
f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de f(g(1)) é 9.
02. O gráfico da função f(x) = 2x –
quadrante.
04. O conjunto solução da equação log 3
1 NÃO intercepta o terceiro
x 2  x  log 3 2 é {–1, 2}.
 1
08. O conjunto solução da inequação exponencial  
7 
{x / –5  x  0}.
x 2  5x1
1
 1
  é
7 
Gabarito: 13 (01 + 04 + 08)
Número de acertos: 1.352 (14,94%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Médio
ANÁLISE DA QUESTÃO
Essa questão foi classificada como de dificuldade média, sendo
respondida corretamente por 14,94% dos candidatos. Somando-se a estes,
os candidatos que assinalaram 05 = 01 + 04; 09 = 01 + 08 e 12 = 04 + 08,
chega-se a 50,29% dos candidatos.
46
Chama-se a atenção, ainda, para 19,03% dos candidatos que assinalaram a resposta 05 (01 + 04), revelando que não conseguiram resolver a
inequação exponencial da proposição 08.
Propõe-se maior atenção, nos Currículos do Ensino Médio, para tais
conteúdos.
28) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. O conjunto imagem da função
números reais.
g(x) = cos x é o conjunto dos
f : [0, +)   e g :   , definidas por
e g(x) = x2, então o domínio da composta
02. Dadas as funções
f(x) =
x
(go f )(x) = g(f (x)) = g
Dom(go f ) = [0, +).
 x =  x
2
= x, é
04. Se f : A  B é uma função injetora e o conjunto A possui uma
infinidade de elementos, então B (necessariamente) possui uma
infinidade de elementos.
x2
, (x > 0) fornece a área do triângulo formado
2
pelo gráfico da função f (x) = x, o eixo das abscissas e a reta
vertical que passa pelo ponto (x, 0).
08. A função g(x)
16. Sendo
=
a  2 , o valor de a é 2.
sen x = a – 1 e cos x =
Gabarito: 30 (02 + 04 + 08 + 16)
Número de acertos: 184 (2,03%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão, versando sobre funções, foi classificada como de dificuldade média, e se mostrou difícil (na verdade a mais difícil), pelo
desempenho dos candidatos, pois apenas 2,03% acertaram a questão.
Somando-se a esse número os percentuais dos candidatos que assinalaram
três, das quatro proposições corretas, isto é, os que assinalaram as
respostas: 14 (02 + 04 + 08); 22 (02 + 04 + 16); 26 (02 + 08 + 16) e
28 (04 + 08 + 16), obtém-se apenas 15,51%.
PROPOSIÇÃO
02
04
08
16
PERCENTUAL
29,36
34,39
27,47
37,77
A tabela mostra o percentual dos candidatos que assinalou cada
proposição correta, não estando incluídos os que assinalaram, como
verdadeira, a única proposição falsa da questão, ou seja, a proposição 01.
Vê-se, portanto, que mesmo a mais fácil das proposições corretas, a
16, obteve apenas 37,77% de acertos.
Conclusão: Embora a questão versasse sobre um assunto básico,
funções, conteúdo normalmente explorado intensamente no Ensino
Médio, pelo fato de ela envolver conhecimento, compreensão, aplicação,
análise e síntese, tornou-se uma questão difícil.
Reitera-se mais empenho no ensino-aprendizagem das funções.
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29) Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algum tempo, vendeu
essas ações por R$ 2.100,00. Determine o percentual de aumento
obtido em seu capital inicial. Depois, passe o resultado para o
cartão-resposta.
Gabarito: 40 (Aberta)
Número de acertos: 5.375 (59,66%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil
Grau de dificuldade obtido: Fácil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão em análise exigia um simples cálculo de percentagem e
estava classificada como fácil. Na verdade, era uma questão muito fácil.
Os candidatos obtiveram um índice de acertos de 59,66%. Foi a questão
com o maior número de acertos (conforme o esperado) da prova.
Seria natural esperar que mais de 80% dos candidatos acertassem essa
questão, pois não oferecia dificuldade alguma. O fato de apenas 59,66%
dos candidatos terem acertado a questão revela, salvo melhor juízo, que
grande parte dos candidatos não estão devidamente preparados para
ingressar no ensino superior.
30) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. O
10o
termo
da
seqüência,
cujo
termo
geral
é
an = 4n + 7, é a10 = 33.
02. Entre 20 e 1200 existem 169 múltiplos de 7.
04. Se três números DISTINTOS formam uma progressão aritmética,
então eles não formam uma progressão geométrica.
08. Uma seqüência de quadrados é construída a partir de um quadrado
arbitrário dado, tomando-se para vértices de cada quadrado, a partir
do segundo, os pontos médios dos lados do quadrado anterior.
Então, as áreas desses quadrados formam uma progressão
geométrica de razão
q=
1
.
2
Gabarito: 14 (02 + 04 + 08)
Número de acertos: 863 (9,55%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Médio
ANÁLISE DA QUESTÃO
Trata-se de uma questão sobre progressões, que foi classificada como
de dificuldade média, e respondida corretamente por apenas 9,55% dos
candidatos. Somando-se a esse número os percentuais dos candidatos que
assinalaram duas, das três proposições corretas, chegamos a 52,52%;
acrescentando a este os percentuais dos que assinalaram apenas uma das
proposições corretas, obtemos 82,87%. Isso mostra que a grande maioria
dos candidatos tem algum conhecimento do assunto, mas não um domínio
completo, apesar de ser um conteúdo amplamente explorado no Ensino
Médio.
31) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A equação
Ax,2 = Ax2 = 12 não possui solução.
02. Com a palavra CAJU podemos formar
24 anagramas.
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04. Seja A um subconjunto do plano com 20 pontos. Se não existirem
três pontos colineares em A, então existem 1140 triângulos
(distintos) cujos vértices são pontos de A.
08. O
4o termo é o termo médio do desenvolvimento do binômio
8
 m 5b 
   .
 10 m 
Gabarito: 06 (02 + 04)
Número de acertos: 2.011 (22,25%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil
Grau de dificuldade obtido: Médio
ANÁLISE DA QUESTÃO
Essa questão versou sobre análise combinatória e foi classificada
como fácil. 22,25% dos candidatos acertaram a questão e outros 32,94%
assinalaram apenas uma das duas proposições corretas. Somando esses
dois percentuais, obtemos 55,19%.
É comum os alunos do Ensino Médio considerarem a análise combinatória um assunto difícil e, talvez, o desempenho dos candidatos nessa
questão reflita, em parte, essa síndrome que faz com que muitos não
entendam convenientemente esse tópico do programa.
Provavelmente, esse fato faz com que os candidatos se empenhem
menos no estudo desse conteúdo. Por isso mesmo, questões fáceis
deixam de ser respondidas.
32) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Dada uma matriz A, de ordem mn, e uma matriz
np, a matriz produto A . B existe e é de ordem mp.
B de ordem
(2, 1, 0) é uma solução do sistema
 x  2y  3z  4
2x  y  2z  3


3x  y  z  7
6x  2y  2z  14
02. A terna
04. Se um sistema de equações possui mais equações do que incógnitas, então ele é incompatível (impossível).
08. Três pessoas foram a uma lanchonete.
A primeira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 1 (um) pastel e
pagou R$ 4,00.
A segunda tomou 1 (um) guaraná e comeu 2 (dois) pastéis e
pagou R$ 5,00.
A terceira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 2 (dois) pastéis e
pagou R$ 7,00.
Então, pelo menos, uma das pessoas não pagou o preço correto.
Gabarito: 11 (01 + 02 + 08)
Número de acertos: 2.620 (28,95%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Médio
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ANÁLISE DA QUESTÃO
Essa questão versou sobre matrizes e sistemas de equações, e foi
classificada como de dificuldade média, sendo respondida corretamente
por 28,95% dos candidatos. Somando-se a esse percentual as percentagens dos candidatos que assinalaram apenas duas, das três proposições
corretas, obtêm-se 66,34%. Portanto, o resultado ficou dentro do esperado
para a questão.
33) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
1 (um) é uma das raízes do polinômio
p(x) = 2x – 5x + 5x2 –5x –3.
01. O número real
4
3
02. Se o polinômio x3 + ax2 + bx + 3 admite três raízes reais distintas,
então uma das possibilidades é que elas sejam 1, –1 e 3.
04. O polinômio
x3 + 3x – 2 possui (pelo menos) uma raiz real.
08. O polinômio
igual a 4.
f (x) = x3 + mx – 5 é divisível por x – 3 quando m é
Gabarito: 06 (02 + 04)
Número de acertos: 1.814 (20,08%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Médio
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão sobre polinômios e equações algébricas foi classificada
como de dificuldade média e respondida corretamente por 20,08% dos
candidatos. Se incluirmos aqui os candidatos que assinalaram apenas
uma, das duas proposições corretas, chegamos a 51,17%.
Pode-se considerar o resultado como normal, frente ao esperado, e
concluir que existe um conhecimento razoável sobre os assuntos.
34) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Quando exposta ao sol, uma barra de metal com 30m de
comprimento aumenta em 1% o seu comprimento. Logo, essa
barra de metal quando exposta ao sol passa a medir 30,03m.
02. Uma parede de 4m2 pode ser revestida completamente com
azulejos de 20cm por 40cm.
50
04. Quando se duplica o raio da base de um cone, (mantendo fixa a
altura), o seu volume fica quadruplicado, e quando se duplica a sua
altura (mantendo fixo o raio da base), o seu volume fica duplicado.
08. Se uma esfera com volume igual a 288 cm3 está inscrita num
cilindro eqüilátero, então a altura do cilindro é 12cm.
Gabarito: 14 (02 + 04 + 08)
Número de acertos: 1.505 (16,64%)
Grau de dificuldade previsto: Difícil
Grau de dificuldade obtido: Difícil
50
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão versou sobre geometria plana e espacial e foi classificada
como uma questão difícil. Como a questão foi respondida corretamente
por 16,64% dos candidatos, pode-se dizer que o resultado ficou dentro do
esperado para a questão, inclusive com uma certa tendência de ser uma
questão do nível de dificuldade médio, considerando os acertos parciais.
Se considerarmos, também, os candidatos que assinalaram apenas
duas das três proposições corretas, chegamos a 41,65% dos candidatos,
sugerindo que a questão, talvez, não fosse tão difícil como foi classificada.
Talvez as proposições 02 e 04 fossem mais fáceis do que imaginávamos, respectivamente, devido ao fato de a proposição 02 envolver objetos
bem concretos (uma parede e azulejos), e a proposição 04, apesar de
teórica, pode ser facilmente resolvida pela fórmula do volume do cone
que consta do formulário. A propósito, a resposta 06 = 02 + 04, foi
assinalada por 11,60% dos candidatos.
35) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 376m2 e as
suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5.
Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois,
passe o resultado para o cartão-resposta.
Gabarito: 48 (Aberta)
Número de acertos: 1.571 (17,62%)
Grau de dificuldade previsto: Difícil
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
Essa questão tratou da geometria espacial e foi classificada como
difícil, sendo respondida, corretamente, por 17,62% dos candidatos. O
resultado ficou dentro do esperado. Houve alguns resultados que,
infelizmente, não temos como analisar, como, por exemplo: resposta 06 –
8,65%, resposta 12 – 9,06%, e outros, menos significativos.
36) Dados os pontos A(1, –1), B(–1, 3) e C(2, 7), determine a
medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado
passe o resultado para o cartão-resposta.
BC. Depois,
Gabarito: 04 (Aberta)
Número de acertos: 1.713 (19,17%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Médio
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ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão enfocou a geometria analítica e foi classificada como de
dificuldade média, e respondida corretamente por 19,17% dos candidatos.
Chama a atenção o fato de 16,64% dos candidatos terem assinalado a
resposta 05 (01 + 04) e não 04, que era a medida a ser encontrada. Isso
nos leva a conjecturar, que esses candidatos conseguiram fazer um
desenho da situação, mas não tiveram condições de identificar e aplicar as
fórmulas pertinentes, e assim sendo, assinalaram um valor que lhes
pareceu razoável pela figura feita.
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