Mínimo Múltiplo Comum

Tema:
Mínimo múltiplo comum e
Máximo divisor comum
INSTITUTO FEDERAL DE
EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Mato Grosso / Campus São Vicente
Prof. Msc. Jeferson G. Moriel Jr.
[email protected]
O que é múltiplo?
O que é divisor?
• Exemplo 1. O número n = 7,5 pode ser escrito
como o produto 3.2,5. Então, 7,5 = 3.2,5. Da
Definição 1, temos que 7,5 é múltiplo de 2,5 e
que, também, 2,5 é divisor de 7,5.
• Exemplo 2. O número n = 120 pode ser
escrito, por exemplo, como o produto 100.1,2.
Então, 120 = 100.1,2. Da Definição 1, temos
que 120 é múltiplo de 1,2 e que, também, 1,2
é divisor de 120.
• Auto-avaliação 1. Escolha dois números a e b
e mostre que a é múltiplo de b e que b é
divisor de a.
• Observação. Um número p é primo se for
divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
A pergunta “Qual é o mínimo múltiplo comum
entre 10 e 6?” pode ser transformada em
outra mais familiar (talvez): “Qual é o menor
múltiplo que os números 10 e 6 tem em
comum?” Vejamos como respondê-la.
• Múltiplos de 10*:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
• Múltiplos de 6*:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...
* Estamos considerando somente os valores positivos.
Compreendendo
“Mínimo Múltiplo Comum”
Compreendendo
“Mínimo Múltiplo Comum”
Múltiplos de 10*:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
• Múltiplos de 6*:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...
• Percebe-se que os números 30 e 60 (além de outros)
são múltiplos de 10 e 6 simultaneamente. Logo 30 e 60
são múltiplos em comum de 10 e 6. No entanto
precisamos apenas do menor: 30. Assim, o número 30
é o menor múltiplo comum entre 10 e 6, também
conhecido como mínimo múltiplo comum. Isto pode
ser resumido da seguinte forma: M.M.C. (10, 6) = 30.
Compreendendo
“Máximo Divisor Comum”
• A pergunta “Qual é o máximo divisor comum
entre 10 e 6?” pode ser transformada em
outra mais familiar (talvez): “Qual é o maior
divisor que os números 10 e 6 tem em
comum?” Vejamos como respondê-la.
• Divisores de 10*:
10, 5, 2, 1
• Divisores de 6*:
6, 3, 2, 1.
Compreendendo
“Máximo Divisor Comum”
• Divisores de 10*: 10, 5, 2, 1
• Divisores de 6*: 6, 3, 2, 1.
• Percebe-se que os números 2 e 1 são divisores
de 10 e 6 simultaneamente. Logo, 2 e 1 são
múltiplos em comum de 10 e 6. No entanto,
precisamos apenas do maior: 2. Portanto, o
número 2 é o maior divisor comum entre 10 e
6, também conhecido como máximo divisor
comum (MDC). Isto pode ser resumido da
seguinte forma: M.D.C. (10, 6) = 2.
Método prático para obter MMC e MDC:
decomposição simultânea
Qual é o MDC e o MMC entre
360 e 84?
360, 84
180, 42
90, 21
45, 21
15, 7
5, 7
1, 7
1, 1
2●
2●
2
3●
3
5
7
MDC (360, 84) = 22.3 = 12
(é o produto dos divisores comuns ●)
MMC (360, 84) = 23.32.5.7 = 2520
(é o produto de todos os divisores)
• Auto-avaliação 2. Usando o método prático
da decomposição simultânea verifique que
MMC (10, 6) = 30 e que MDC (10, 6) = 2.
Exercícios
1. Calcule o MDC e o MMC de:
a) 3 e 6
b) 11 e 7
c) 24 e 60
d) 24, 36 e 48 e) 72 e 120
2. Escolha dois números diferentes cujo MMC é
24. Mostre que sua escolha é correta.
3. Escolha dois números diferentes cujo MDC é
10. Mostre que sua escolha é correta.
Respostas. A) 3. 6. B) 1. 77. C) 12. 120. D) 12. 144. E) 24. 360.
Problemas de aplicação dos conceitos
de MDC e MMC
• P1. Em certa cidade existe três festas que
acontecem periodicamente, quais sejam, a
festa do milho, a festa da uva e a festa da soja.
A festa do milho ocorre a cada quatro anos, a
festa da uva ocorre a cada três anos e a festa
da soja ocorre a cada seis anos. Se em 2010
estas festas ocorreram simultaneamente, qual
será o próximo ano elas voltarão a ocorrer
simultaneamente outra vez?
• Solução. Calculando o MMC (4, 3, 6) = 12
encontramos o número de anos necessários
para que as festas ocorram simultaneamente.
Como as festas ocorreram juntas em 2010,
então 2010 + 12 = 2022 é o próximo ano em
que as festas ocorrerão outra vez
simultaneamente.
• P2. O cometa X passa perto da Terra a cada
100 anos, o cometa Y a cada 45 anos e o
cometa K a cada 300 anos. Sabe-se que no
ano 1.115 foi a última vez que esses três
cometas estiveram próximos da Terra ao
mesmo tempo. Faça uma previsão da próxima
vez que eles estarão, simultaneamente,
próximos à Terra.
Respostas. 2015
• P3. Em uma casa há quatro lâmpadas, a
primeira acende a cada 27 horas, a segunda
acende a cada 45 horas, a terceira acende a
cada 60 horas e a quarta só acende quando as
outras três estão acesas ao mesmo tempo. De
quantas em quantas horas a quarta lâmpada
vai acender?
Respostas. 540 horas
• P4. Uma bibliotecária recebe 130 livros de
Matemática e 195 livros de Português. Ela
quer arrumá-los em estantes, colocando igual
quantidade de livros em cada estante, sem
misturar livros de Matemática e de Português
na mesma estante. Quantos livros ela deve
colocar em cada estante para que o número
de estantes utilizadas seja o menor possível?
• Solução. Chamemos de n o número de livros que a
bibliotecária vai colocar em cada estante. Então temos:
130/n = número de estantes para os livros de Matemática e
195/n = número de estantes para os livros de Português.
• Isso mostra que n deve ser divisor comum de 130 e 195,
pois o número de estantes utilizadas é inteiro. Sabemos
que quando aumentamos o denominador de uma fração,
esta fração diminui (por exemplo, 27/10 é menor do que
27/8). Logo, quanto maior for o denominador n, menores
serão as frações 130/n e 195/n, o que significa que menor
será o número de estantes utilizadas. Vemos assim que n
deve ser o maior divisor comum de 130 e 195. Fazendo os
cálculos temos quem MDC(130, 195) = 65.
• Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada estante.
Portanto, o número de estantes para os livros de
Matemática é de 130/65 = 2 e o número de estantes para
os de Português é 195/65 = 3, o que dá um total de 2+3 = 5
estantes.
• P5. Uma locadora adquiriu 220 DVDs de filme
e 275 DVDs de show. Deve-se armazená-los
em prateleiras, colocando igual quantidade de
DVDs em cada prateleira, sem misturar os de
filme com os de show na mesma prateleira.
Quantos DVDs devem ser colocados em cada
prateleira para que o número de prateleiras
utilizadas seja o menor possível? Quantas
prateleiras serão utilizadas neste caso?
Respostas. 55 livros. 4+5=9 prateleiras