Unidade II 4. Fenômenos ondulatórios e acústica
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Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEEC UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE - UERN Pró-Reitoria de Ensino de Graduação – PROEG Home Page: http://www.uern.br E-mail: [email protected] UNIDADE: Campus Avançado de Natal Unidade II 4. Fenômenos ondulatórios e acústica Professor Dr. Edalmy Oliveira de Almeida 4.1 A Velocidade do Som A velocidade de qualquer onda mecânica depende tanto da propriedade inercial do meio como da propriedade elástica. Generalizando da equação (12) temos v τ μ propriedade elástica propriedade inercial Eq. 29 Se o meio for o ar, podemos supor que a propriedade inercial, que corresponde à densidade linear µ para uma corda esticada, é a massa especifica (densidade) ρ do ar Quando uma onda sonora atravessa o ar, a energia potencial fica associada às compressões e rarefações periódicas dos pequenos elementos de volume do ar. Quando a pressão aplicada sobre ele aumenta ou diminui, é o módulo de elasticidade volumar B P B V / V Eq. 30 Onde ΔV/V é a variação relativa do volume produzida por uma variação ΔP na pressão. Os sinais de ΔP e ΔV são sempre opostos. Assim, ao aumentarmos a pressão num elemento fluido (ΔP positivo) seu volume decresce (ΔV negativo). Incluímos um sinal negativo na definição de B Para que B seja sempre uma quantidade positiva. Substituindo B por “tal” (tensão na corda) e ρ (densidade do ar) por µ (densidade linear da corda) na equação (19), obtemos v Exemplo B ρ (velocidade do som) Eq. 30 A faixa de freqüência audível para o ouvido normal é aproximadamente de 20 Hz a 20 kHz. Quais são os comprimentos de onda das ondas sonoras nestas freqüências? Considere a velocidade do som no ar igual a 343 m/s Dados do problema V = freqüência mais baixa = 20 Hz V = freqüência mais alta = 20 kHz Var = velocidade Da equação (11), temos, para a freqüência mais baixa v ar 343m / s λ 17m v 20 Hz E, para a freqüência mais alta, v ar 343m / s λ 0,017m 1,7cm v 20000 Hz 4.2 Ondas Sonoras Progressivas Considere uma fina camada de ar de espessura Δx, localizada numa posição x, ao longo do tubo. À medida que a onda passa, este elemento oscila para trás e para frente em torno da sua posição de equilíbrio, como a vista ampliada da figura (b) O deslocamento (longitudinal) do elemento oscilante é dado por S S m cos(kx wt ) Eq. 31 O deslocamento máximo Sm é muito menor que o comprimento da onda sonora. Durante a passagem da onda, a pressão na posição x, na figura (a), aumentou e diminui com o tempo, sendo a variação dada por P Pm sen(kx wt ) Eq. 32 Um valor negativo de ΔP, na equação (32) corresponde a uma rarefação e um valor positivo a uma compressão. E que a variação máxima da pressão na onda, ΔPm na equação (32) está relacionado ao deslocamento máximo, Sm por Pm (vρω) S m Eq. 33 Onde v é a velocidade, ρ a densidade do ar, w a freqüência angular e Sm a amplitude de deslocamento Exemplo A variação máxima da pressão ΔPm que o ouvido pode tolerar, em sons fortes, é aproximadamente de 28 Pa. Qual é a amplitude de deslocamento Sm deste som no ar, numa freqüência de 1000 Hz Dados do problema ΔPm = 28Pa Sm = ? Var = 343 m/s ρ = 1,21 kg/m3 f = 1000Hz Pm var w Sm Sm Sm Pm var w Pm var 2f 28 Pa (343m / s )(1,21kg / m 3 )(2π )(1000 Hz ) N 28 2 m m kg 1 343 1,21 3 2π1000 s s m kgm 2 2 28 s m 2607710,398 kg s 2m2 kg 2 1,1x10 5 s m kg s2m2 2 2 5 kg s m 1,1x10 s 2 m kg Sm Sm Sm Sm Sm S m 1,1x10 5 m 4.3 Intensidade e Nível Sonoro A intensidade I de uma onda sonora é definida como a taxa média por unidade de área, na qual a energia contida na onda atravessa a superfície ou é absorvida pela superfície. Matematicamente, temos: P I A Eq. 34 Onde P é a taxa de variação com o tempo da transferência de energia (potência) da onda sonora e A é a área da superfície que intercepta o som. Como vamos mostrar daqui a pouco, a intensidade I está relacionada à amplitude do deslocamento Sm da onda sonora através da equação 1 I vw 2 Sm2 2 Variação da Intensidade com a Distância Eq. 35 Em algumas situações, porém podemos ignorar os ecos e supor que a fonte sonora é uma fonte pontual e isotrópica, ou seja, que emite o som com a mesma intensidade em todas as direções. As frentes de onda que existem em torno de uma fonte pontual isotrópica S em um dado instante são mostradas na Fig. 10. Fig. 10 Uma fonte pontual S emite ondas sonoras com a mesma intensidade em todas as direções. As ondas atravessam uma esfera imaginária de raio r com centro em S. O som pode fazer um copo de vidro oscilar. Se o som produzir uma onda estacionária e se a intensidade do som for elevada, o vidro pode quebrar. (Bem/The Image Bank/Getty Images) Assim, a taxa com a qual a energia das ondas sonoras atravessa a superfície é igual à taxa com a qual a energia é emitida pela fonte (ou seja, a potência Os da fonte). De acordo com a Eq. 34, a intensidade I da onda sonora na superfície da esfera é dada por I Ps 4r 2 Eq. 36 Onde 4πr2 é a área da esfera. A Eq. 17-28 nos diz que a intensidade do som emitido por uma fonte pontual isotrópica diminui com o quadrado da distância r da fonte. A Escala de Decibéis De acordo com a Eq. 35, a intensidade de um som varia com o quadrado da amplitude, a razão entre as intensidades nesse dois limites do sistema auditivo humano é 1012. Isso significa que os seres humanos podem ouvir em uma enorme faixa de intensidades. Para lidar com um intervalo tão grande de valores, recorremos aos logaritmos. Considere a relação y log x, Onde x e y são variáveis. Uma propriedade desta equação é que se x é multiplicado por 10, y aumenta de 1 unidade. Para mostrar que isso é verdade, escrevemos y ' log10 x log 10 log x 1 y Da mesma forma, quando multiplicamos x por 1012 y aumentamos apenas 12 unidades. Assim, em vez de falarmos de intensidade I da onda sonora, achamos ser mais conveniente falarmos do nível sonoro β, definido como (10dB ) log I I0 Eq. 37 Onde dB é a abreviação de decibel, a unidade de nível sonoro, um nome escolhido em homenagem a Alexander Graham Bell. I0 na Eq. 37 é uma intensidade de referencia (= 10-12 W/m2), cujo valor foi escolhido porque está próximo do limite inferior da faixa de audição humana. Para I = I0 a Eq. 37 fornece β = 10 log 1 = 0, de modo que a intensidade de referência corresponde a zero decibel. O valor de β aumenta em 10 dB toda vez que a intensidade sonora aumenta de uma ordem de grandeza (um fator de 10). Assim, β = 40 corresponde a uma intensidade 104 maior que a intensidade de referência. A Tabela 2 mostra os níveis sonoros em alguns ambientes. Tabela 2 Alguns Níveis Sonoros (dB) Limiar de audição Farfalha de folhas Conversa Show de rock Limiar da dor Turbina a jato Explicitação de valores da equação (37) Β (dB) 0 0 100 = 1 60 20 102 = 100 10 110 120 130 10 30 40 50 101 = 10 103 = 1000 104 = 10 000 105 = 100 000 . . . . . 120 I/I0 . 1012 = 1 000 000 000 000 Exemplo Duas ondas sonoras têm intensidade I1 e I2. Como comparar seus níveis sonoros? Escrevendo a razão entre as duas intensidade como (10dB) log I2 I2 / I0 I1 I1 / I 0 I I0 Tomando o logaritmo dos dois membros e multiplicando por 10 dB, temos I2 / I0 I2 (10dB ) log (10dB ) log I1 I1 / I 0 (10dB ) log I2 I I (10dB ) log 2 (10dB ) log 1 I1 I0 I0 β (10dB ) log (10dB ) log I I0 I2 β 2 β1 I1 Exemplo Da tabela 1, vemos que um grupo de rock (β = 110 dB) é 20 dB mais forte que uma martelada (β = 90 dB). Qual a razão de suas intensidades I2 (10dB) log β 2 β1 I1 I2 (10dB) log 110dB 90dB I1 I2 (10dB) log 20dB I1 I 2 20dB log I 1 10dB I2 log 2 I1 I 2 / I1 log10 2 I2 10 2 I1 I2 100 I1 Exemplo Ondas de som esférica são emitidas uniformemente em todas as direções, de uma fonte pontual como na figura abaixo. A potência irradiada P é de 25 w (a) qual é a intensidade da onda sonora a uma distância r da fonte? Calcule para r = 2,5 m (b) qual é o nível sonoro correspondente Solução Toda a potência irradiada deve, necessariamente, passar através de uma esfera de raio r centrada na fonte. Logo, P I 4πr 2 Vemos que a intensidade do som decai com o inverso do quadrado da distância à fonte. Numericamente, temos Da equação (17-29) temos 25w (4 )(2,5m) 2 25w I (4 )6,25m 2 25w I 78,53981634m 2 I β (10dB) log I0 0,32 w / m 2 β (10dB) log 12 2 10 w / m I 0,32 w / m 2 β 115w / m 2 I I 0,318309886w / m 2 I 320mw / m 2 β (10dB) log 0,32 w / m 2 log 10 12 w / m 2 β (10dB) 0,49 12w / m 2 OBS: I0 na Eq. 37 é uma intensidade de referencia (= 10-12 W/m2) 4.4 Fontes Sonoras Musicais Os sons musicais podem ser produzidos pelas oscilações de cordas (violão, piano, violino), membranas (tímpano, tambor), colunas de ar (flauta, oboé, tubos de órgão e o digeridu da Fig. 11), blocos de madeira ou barras de aço (marimba, xilofone) e muitos outros corpos. Na maioria dos instrumentos as oscilações envolvem mais de uma peça. O oboé é instrumento musical de sopro, classificado como um aerofone, membro da família das madeiras e de palheta dupla. A família das madeiras inclui as flautas, clarinetes, fagotes, saxofones, entre outros, sendo que oboés e fagotes possuem palhetas duplas Fig. 11 A coluna de ar no interior de um digeridu (um “tubo”) oscila quando o instrumento é tocado. (Alamy Imagens) Na Fig. 12a mostra a onda estacionária mais simples que pode ser produzida em um tubo com as duas extremidades abertas. Existe um antinó em cada extremidade e um nó no ponto médio do tubo. Um modo mais simples de representar esse onda sonora longitudinal estacionária é mostrado na Fig. 12b, na qual ela foi desenhada como se fosse uma onda estacionária em uma corda. A onda estacionária da Fig. 12a é chamada de modo fundamental ou primeiro harmônico. Para produzir-lo as ondas sonoras em um tubo de comprimento L deve ter um comprimento de onda tal que λ = 2L. A Fig. 13a mostra várias outras ondas sonoras estacionárias que podem ser produzidas em um tubo com as duas extremidades abertas. No caso do segundo harmônico, o comprimento das ondas sonoras é λ = L, no caso do terceiro harmônico é λ = 2L/3, e assim por diante. Fig. 12 (a) O padrão de deslocamento mais simples para uma onda sonora (longitudinal) estacionária em um tubo com as duas extremidades abertas possui um antinó (A) em cada extremidade e um nó (N) no ponto médio do tubo. (Os deslocamento longitudinais, representados pelas setas duplas, estão muito exagerados.) (b) O padrão correspondente para uma onda elástica (transversal) estacionária em uma corda. No caso geral, as freqüências de ressonância de um tubo de comprimento L com as duas extremidades abertas correspondem a comprimentos de onda dados por 2L , Para n = 1, 2, 3,........, n Eq. 38 Onde n é o número harmônico. Chamando de V a velocidade do som, podemos escrever as freqüências de ressonância de um tubo aberto nas duas extremidades como V nV Para n = 1, 2, 3, .... f , 2L Eq. 39 (tubo, duas extremidades abertas). Fig. 13 Ondas estacionárias em tubos, representadas por curvas de pressão em função da posição. (a) Como as duas extremidades do tubo abertas qualquer harmônico pode ser produzido no tubo. (b) Com apenas uma extremidade aberta, apenas os harmônicos ímpares podem ser produzidos. A Fig. 13b mostra algumas ondas sonoras estacionárias que podem ser produzidas em um tubo com apenas uma extremidades abertas. Neste caso existe um antinó na extremidade aberta e um nó na extremidade fechada. O modo mais simples é aquele no qual λ = 4L. No segundo modo mais simples, λ = 4L/3, e assim por diante. No caso geral as freqüências de ressonância de um tubo de comprimento L com uma extremidade aberta e a outra fechada correspondem a comprimentos de onda dados por 4L , n Para n = 1, 3, 5, ........., Eq. 40 Onde o número harmônico n é um número ímpar. As freqüência de ressonância são dados por V nV f , 4L Para n = 1, 3, 5, ......... Eq. 41 Observe que apenas os harmônicos ímpares podem existir em um tubo com uma das extremidades abertas. Assim, por exemplo, o segundo harmônico, com n = 2, não pode ser produzido em um tubo desse tipo. Observe também que em um tubo desse tipo uma expressão como “o terceiro harmônico” ainda se refere ao modo cujo número harmônico é 3, e não ao terceiro harmônico possível. Exemplo Ruídos de fundo de baixa intensidade em uma sala produzem ondas estacionária em um tubo de papelão de comprimento L = 67,0 cm as duas extremidades abertas. Suponha que a velocidade do som no ar dentro do tubo é 343 m/s. (a) Qual a frequência do som produzido pelo tubo? (b) Se você encostar o ouvido em uma das extremidades do tubo, que frequência fundamental ouvirá? a) nV 2L 1343m / s f 20,670m 343 m 1 f 1,34 s m f 255,9701493Hz f f 256 Hz b) nV 4L 1343m / s f 40,670m 343 m 1 f 2,68 s m f 127,9850746Hz f f 128Hz 4.5 Batimentos É quando dois sons chegam aos nossos ouvidos simultaneamente ouvimos uma média das duas freqüência, mas percebemos também uma grande variação na intensidade do som; ela aumenta e diminui alternadamente, produzindo um batimento que se repete com uma freqüência diferente das duas freqüência originais. A Fig. 14 ilustra esse fenômeno. Suponha que as variações de pressão em um local, produzidas por duas ondas sonoras de mesma amplitude Sm, sejam S1 S m cos w1t e S 2 S mcos w2t Eq. 42 Fig. 14 (a,b) As variações de pressão ΔP de duas ondas sonoras quando são detectadas separadamente. As freqüências das ondas são muito próximas. (c) A variação de pressão resultante quando as duas ondas são detectadas simultaneamente. Onde w1 >> w2. De acordo com o princípio de superposição, a variação de pressão total é dada por S S1 S 2 S m cos w1t cos w2t Usando a identidade trigonométrica 1 1 cos cos 2 cos cos 2 2 Podemos escrever a variação de pressão total na forma Definimos 1 1 S 2 S m cos w1 w2 t cos w1 w2 t 2 2 w´ 1 2 w1 w2 e w 1 2 w1 w2 Eq. 43 Eq. 44 Podemos escrever a Eq. 43 na forma S t 2 S m cos w´t cos wt Eq. 45 Vamos supor que as freqüência angulares w1 >> w2mdas ondas que se combinam são quase iguais, o que significa que w >> w´ na Eq. 44. Nesse caso podemos considerar a Eq. 45 como uma função co-seno cuja freqüência angular é w e cuja amplitude (que não é constante, mas varia com uma freqüência angular w´) é o valor absoluto do fator entre colchetes. Um máximo de amplitude ocorre sempre que cos w´t na Eq. 45 é igual a 1 ou -1, o que acontece duas vezes em cada repetição da função co-seno. Como cos w´t tem uma frequência angular w´, a frequência angular wbat. Com a qual ocorre o batimento é wbat = 2w´. Assim, com a ajuda da Eq. 44 podemos escrever wbat 2 w´ 2 12 w1 w2 w1 w2 Como w = 2πf, esta equação também pode ser escrita na forma f bat f1 f 2 (Freqüência de batimento) Eq. 46 Exemplo Os pinguins imperadores, emitem sons usados simultaneamente os dois lados da siringe. Cada lado produz ondas acústicas estacionárias na garganta e na boca do pássaro, como em um tubo com as duas extremidades abertas. Suponha que a frequência do primeiro harmônico produzido pelo lado A da siringe é fA1 = 432Hz e que a frequência do primeiro harmônico produzido pela extremidade B é fB1 = 371Hz. Qual é a frequência de batimento entre as duas frequências do primeiro harmônico e entre as duas frequência do segundo harmônico? f bat ,1 f A1 f B1 f bat ,1 432 Hz 371Hz f bat ,1 61Hz nV 2L Primeiro harmônico V V f1 2 f1 2L L Segundo harmônico 2V V f2 2L L f 2 2 f1 f Para o pinguim, o segundo harmônico do lado A tem uma frequência fA2 = 2fA1. Usando a Eq. 17-46 com as frequência fA2 e fB2, descobrimos que a frequência de batimento correto é f bat , 2 f A 2 f B 2 f bat , 2 2 f A1 2 f B1 f bat , 2 2432 Hz 2371Hz f bat ,1 864 Hz 742 Hz f bat ,1 122 Hz 4.6 O Efeito Doppler O efeito Doppler é a variação da freqüência relacionada ao movimento. Esse efeito foi proposto (embora não tenha sido perfeitamente analisado) em 1842 pelo físico austríaco Joham Christian Dopple. Foi estudado experimentalmente em 1845 por Buys Ballot, na Holanda, “usando uma locomotiva que puxava um vagão aberto com vários trompetistas” Se o detector ou fonte está se movendo, ou se ambos estão se movendo, a freqüência emitida f e a freqüência detectada f´ são relacionadas através da equação v vD f ´ f v vf (equação geral do efeito Doppler) Eq. 47 Onde v é a velocidade do som no ar, vD é a velocidade do detector em relação ao ar e vf é a velocidade da fonte em relação ao ar. A escolha do sinal positivo ou negativo é dada pela seguinte regra: Quando o movimento do detector ou da fonte é no sentido de aproximá-los, o sinal da velocidade deve resultar em um aumento da freqüência. Quando o movimento do detector ou da fonte é no sentido de afastá-los, o sinal da velocidade deve resultar em uma diminuição da freqüência. Detector em movimento, Fonte parada Na Fig. 15 um detector D (representado por uma orelha) está se movendo com velocidade vD em direção a uma fonte estacionária S que emite ondas esféricas, de comprimento de onda λ e freqüência f, que se propagam com velocidade v do som no ar. As frentes de onda estão desenhadas com uma separação de um comprimento de onda. A freqüência detectada pelo detector D é a taxa com a qual D intercepta as frentes de onda (ou comprimentos de onda individuais). Se D estivesse parado essa taxa seria f, mas como D está se movendo em direção às frentes de onda a taxa de interceptação é maior e, portanto, a freqüência detectada f´é maior do que f. v vD f ´ f v Eq. 58 (detector em movimento, fonte parada). Fig. 15 Uma fonte sonora estacionária S emite frentes de onda esféricas, mostradas com uma separação de um comprimento de onda, que se expande radialmente com velocidade v. Um detector D, representado por uma orelha, se move com velocidade vD em direção à fonte. O detector mede uma freqüência maior por causa do movimento Fonte em Movimento, Detector Parada Para compreendermos por que isso acontece, vamos chamar de T (= 1/f) o intervalo de tempo entre a emissão de um par de frentes de onda sucessivas, 01 e 02. Durante o intervalo T a frente de onda 01 percorre uma distância vT e a fonte percorre uma distância vST. No fim do intervalo T a frente de onda 02 é emitida. No lado para onde S está se movendo a distância entre 01 e 02 que é o comprimento de onda λ´ das ondas que se propagam nessa direção, é vT – vST. Se D detecta essas ondas, detecta uma freqüência f´ dada por v f ´ f v vf Eq. 49 (fonte em movimento, detector parado). Fig. 16 Um detector D está parado e uma fonte S se move em direção a ele com velocidade vs. A frente de onda 01 foi emitida quando a fonte estava em S1 e a frente de onda 07 quando a fonte estava em S7. No instante representado a fonte está em S. O detector percebe uma freqüência, maior porque a fonte em movimento de onda, emite uma onda com um comprimento de onda reduzido λ´ na direção do movimento. V VD f ´ f . V Vf Detector e fonte em movimento f’ = frequência detectada f = frequência emitida v = velocidade do som no meio vD = velocidade do detector em relação ao meio vf = velocidade da fonte em relação ao meio Detector está parado VD = 0 Fonte está parada VF = 0 → + Detector se aproximando da fonte ← - Detector se afastando da fonte → + Fonte se afastando do detector ← - Fonte se aproxima do detector
