introdução ao estudo das PGs

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ)
MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO – PROFESSOR ILYDIO SÁ
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Problema 1: Sabemos que a bactéria causadora da Sífilis, a Treponema Pallidum, se reproduz de forma
que em cada hora, uma bactéria transforma-se em outras oito bactérias. Sabendo-se que uma colônia
dessas bactérias teve seu início com 5 bactérias, quantas bactérias serão, após 10 horas do início?
Solução
(5, 40, 320, ...). Trata-se de uma PG com a1 = 5 e q = 8, logo, a11 = a1 . q10 = 5 . 810 = 5 368 709 120
bactérias.
Problema 2: (UEL) Numa aplicação financeira, chama-se MONTANTE em certa data à soma da quantia
aplicada com os juros acumulados até aquela data. Suponha uma aplicação de R$50.000,00 a juros
compostos, à taxa de 3% ao mês. Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplicação são: Dado:
1,0310 ≅ 1,3439
a) R$ 10 300,00 b) R$ 15 000,00 c) R$ 17 195,00 d) R$ 21 847,00 e) R$ 134 390,00
Solução
Trata-se de uma PG com razão igual a 1,03 (100% + 3% = 103% ou 1,03). Como a1 = 50 000 e queremos o
a11, teremos: a11 = a1 . q10 = 50 000. 1,0310 = 50 000 . 1,3439 = 67 195,00. Como a pergunta é sobre os
juros da aplicação e não sobre o montante, temos que j = 67195,00 – 50000,00 = 17 195,00 (oção C).
Problema 3: (Cesgranrio) Desde 1992, certo instituto de pesquisa vem monitorando, no início de cada
ano, o crescimento populacional de uma pequena cidade do interior do estado. Os itens a seguir
mostram o resultado dos três primeiros anos, em milhares de habitantes.
I- Ano de 1992, População(em milhares) = 25,6.
II- Ano de 1993, População(em milhares) = 38,4.
II- Ano de 1994, População(em milhares) = 57,6.
Mantendo-se esta mesma progressão de crescimento, o número de habitantes dessa cidade, no início
do ano 2000, em milhares, foi de, aproximadamente:
a) 204 b) 384 c) 576 d) 656 e) 728
Solução
Como 38,4 : 25,6 = 1,5 e 57,6 : 38,4 = 1,5, trata-se de uma PG de razão igual a 1,5. Como estamos
querendo calcular a população em 2000, ou seja, 8 anos depois, temos que obter o a9 = a1 . q8 = 25,6 .
1,58 ≅ 656,1 milhares de habitantes. (oção D).
Problema 4: Uma fábrica de geladeiras iniciou seus trabalhos em 2005 com uma produção inicial de
1000 fogões. Com o sucesso das vendas, verificou-se que, nos 8 primeiros anos de atuação, a fábrica
acusou um crescimento anual de 10% na produção. Qual a quantidade TOTAL de geladeiras que essa
fábrica produziu de 2005 a 2012?
Solução
a1 = 1000 e a razão é igual a 1,1. Precisamos obter a soma dos 8 primeiros termos dessa PG e, aplicandose a fórmula da soma da PG, teremos: S =
.( )
=
.(, )
,
≅ 11 436 fogões.
FORMULÁRIO BÁSICO DA P.G
an = a1. qn - 1
S=
.
ou S =
.( )
2
Termos consecutivos: (a, b, c), logo, b = a.c