Circuitos de 1ª ordem

Circuitos de 1ª ordem
Parte 3
Chaveamento sequencial
• Os chaveamentos ocorrem mais de uma
vez.
• A referência de tempo para todos os
chaveamentos não pode ser t=0.
• É importante o cálculo do valor inicial da
variável.
Exemplo 1
Tendo o circuito abaixo determine
a) iL para 0 ≤ t ≤ 35ms e para t ≥ 35ms
b) A porcentagem da energia inicial armazenada no indutor que é
dissipada no resistor de 18 Ohms
Obs: as duas chaves estiveram fechadas por um longo tempo.
Solução
• Em t<0 o indutor está curto,logo temos o circuito equivalente abaixo
e se determina a corrente inicial do indutor
• Com várias transformações de fontes determinamos iL(0-)= 6 A.
• Para 0 ≤ t ≤ 35ms a chave 1 está aberta e a chave 2 fechada.
Temos o circuito equivalente abaixo:
A cte de tempo é L/Req, em que Req é (6 +3)//18 = 6 Ω, logo
Cte de tempo é (150/6) 10-3 =25ms
Logo, iL = 6e-40t A , 0 ≤ t ≤ 35ms (resposta natural)
Quando t=35ms, o valor da corrente no indutor é iL =6e-1,4 = 1,48 A
Portanto, quando a chave 2 é aberta temos o circuito abaixo:
A cte de tempo muda para (150/9) 10-3 = 16,67 ms.
Logo, iL = 1,48e-60(t-0,035) A, t ≥ 35ms.
b) O resistor de 18 Ohms está no circuito somente os 35ms.
A tensão no resistor é
vL = 0,15 d(6e-40t)/dt = -36e-40t V, 0 < t< 35ms
A potência dissipada é
p=vL2/18 = 72e-80t W , 0 < t< 35ms
Logo, a energia dissipada é
0 , 035
w=
−80 t
− 2,8
72
e
dt
=
0
,
9
(
1
−
e
) = 845,27mJ
∫
0
A energia inicial armazenada no indutor é
w = (1/2) (0,15)(36) =2700 mJ
Portanto, (845,27/2700) x 100 = 31,31%
Exemplo 2
• O capacitor está descarregado e ligado inicialmente a chave na
posição a. Em t =0, a chave é colocada na posição b, na qual
permanece durante 15 ms. Depois de 15 ms, a chave é colocada na
posição c, na qual permanece indefinidamente.
• Fazer o gráfico da tensão no capacitor em função do tempo.Quando
a tensão no capacitor será 200 V?
Solução
• Na posição b a cte de tempo é 10 ms e se ela permanecesse nessa
posição a tensão seria 400 V, logo temos:
v = 400 – 400e-100t V , 0 ≤ t ≤ 15ms
Em 15ms a tensão é 400 -400e-1,5= 310,75 V.
Portanto, quando a chave é colocada na posição c, a tensão inicial no
capacitor é 310,75 V. Nessa posição, estamos na resposta natural,
ou seja, a tensão final será zero e a cte de tempo é 5ms. Portanto a
expressão de tensão é:
v=310,75e-200(t-0,015) V, t≥15ms.
O gráfico da tensão é mostrado abaixo.
Resposta indefinidamente
crescente
• A resposta de um circuito pode crescer de maneira indefinida e
exponencialmente com o tempo. Isso é possível se o circuito
contiver fontes dependentes.
• Nesse caso a resistência de Thévenin pode ser negativa, com isso
teremos cte de tempo negativa e as correntes e tensões resultantes
aumentam indefinidamente.
• Isso é importante para os engenheiros, pois se tais interligações
não forem intencionais, o circuito resultante pode apresentar falhas
de componente inesperadas e perigosas.
Exemplo 3
• Encontrar a expressão de v0 para t≥0 do circuito abaixo.
Solução
• Para determinar a resistência de Thévenin usa-se um método da
fonte auxiliar, que é colocar uma fonte com tensão auxiliar de valor
vT e de corrente iT no lugar do capacitor, conforme figura abaixo. O
RTH será dado por vT/iT.
• iT = vT /10 – 7(vT /20) + vT /20 mA
• Resolvendo para a razão vT/iT,temos que RTH = -5kΩ.
• O circuito fica:
• Logo temos (resposta natural):
v0 = 10e40t V, t≥0