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Infinitos racionais
Série Rádio Cangália
Objetivos
1. Apresentar o teorema e uma
demonstração de que há tantos
infinitos números racionais quanto
naturais.
Infinitos
racionais
Série
Rádio Cangália
Conteúdos
Números e funções. Números
racionais.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar o teorema e uma
demonstração de que há
tantos infinitos números
racionais quanto naturais.
Sinopse
O programa apresenta o teorema
que diz que há infinitos números
racionais construindo uma
função biunívoca ou bijetiva
entre o conjunto dos números
naturais e o conjunto dos
números racionais.
Material relacionado
Vídeos: Hotel Hilbert, A razão dos
irracionais;
Áudios: Infinitos I, Infinitos II,
Newton e os números.
ÁUDIO
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Introdução
Sobre a série
A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de
variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de
conhecimentos gerais, com comentários de um professor de
matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas
oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos
interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O
programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem
preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em
torno de um conteúdo e reforçar a descontração.
Sobre o programa
O programa foi desenvolvido a partir das seguintes falas:
• E a piada de hoje é: “Água mole, pedra dura, tanto bate, até que
acaba a água”.
• Mas esse não é o ditado certo.
• Sim, por isso que é engraçado. E tem essa também: “é melhor ter
um maribondo voando do que dois na mão”. Demais, né?
• Só uma pergunta: o que tem de matemática nisso?
• É a graça das incertezas. Não falamos de probabilidades?
• Depois dessas piadas horríveis, vamos para a frase do dia: "Os
homens estão mais dispostos a pagar um prejuízo do que um
benefício, pois a gratidão pesa pro homem, e a vingança é um
prazer!”
• É uma frase pessimista na natureza do ser humano do senador do
Império Romano, Cornélio Tácito. Ele viveu entre os anos 56 e 117
depois de Cristo.
• O conjunto dos números racionais é enumerável, ou contável.
• Primeiro vamos explicar o significado de um conjunto ser
enumerável. Se um conjunto tiver um número finito de elementos,
então enumerar é dar um número natural de contagem pra cada
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elemento, e assim podemos colocar em fila indiana e contar um,
dois, três... até o último elemento.
Vamos fixar a nomenclatura. Número natural é o conjunto dos
números um, dois, três etc.
Dizemos que um conjunto é enumerável se todos os elementos
tiverem seu número natural por algum protocolo. E sabendo o
número natural, a gente saberia qual elemento correspondente,
através do protocolo.
E o protocolo seria uma função bijetora entre o conjunto finito e
um subconjunto também finito dos números naturais.
Exatamente. A cada elemento de um conjunto correspondemos um
e somente um elemento do outro conjunto.
E quando o conjunto tiver uma quantidade infinita de elementos?
Neste caso, um conjunto é enumerável se tiver uma função bijetora
entre seus elementos e os números naturais.
Em outras palavras, se conseguirmos colocar todos os elementos
em uma ordem natural, em uma fila indiana, um atrás do outro,
como se fosse UMA LISTA e todos serem contados, ainda que a
contagem seja infinita, então o conjunto é enumerável.
Exatamente. O matemático que estabeleceu esses conceitos de
infinitos e contabilidade de conjuntos infinitos foi GEORGE
CÂNTOR.
Cabe lembrar que o conjunto dos números naturais tem infinitos
elementos, pois sempre existe um sucessor a um número natural.
Não tem fim. Entendido. Voltamos ao teorema. Vamos mostrar que
o conjunto dos números RACIONAIS é enumerável.
Números racionais são aqueles que construímos pela divisão de
dois números, do tipo A sobre B, onde A é chamado de numerador
e é um número inteiro, e B é chamado de denominador e é um
número natural.
É bom visualizar o numerador sobre o denominador e, para
facilitar, vamos considerar apenas os naturais no numerador.
Vamos mostrar que o conjunto dos racionais positivos é
enumerável.
Ok. Nós trataremos os positivos aqui, e depois a turma completa a
demonstração.
Agora temos que um racional positivo é da forma: numerador
sobre denominador, sendo que ambos são números naturais de
contagem. Portanto, podemos construir um protocolo de contagem
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da seguinte forma: o numerador e o denominador podem ser
fatorados em números primos e simplificados.
E pelo teorema fundamental da aritmética, todo número natural
pode ser escrito de maneira única pelo produto de potências de
números primos. Então, tenha em mente os primos e respectivas
potências do numerador, assim como outros primos e respectivas
potências do denominador.
Certo, no numerador vai ter um produto de potências de números
primos e no denominador outro produto de números primos.
(pausa) Agora construa a seguinte a função: multiplique os
números primos do numerador com as respectivas potências
dobradas e multiplique tudo pelo produto dos números primos do
denominador com as respectivas potências dobradas menos um.
Então este protocolo vai ser o produto do numerador ao quadrado
pelo produto dos primos do denominador cujas respectivas
potências serão modificadas para o dobro menos um, quer dizer,
um número ímpar.
Correto, vai ser um número natural fatorado em números primos
com potências pares e ímpares. As potências pares são do
numerador e as potências ímpares são do denominador.
Acho que dá tempo de dar um exemplo. Anotem aí.
Digamos que o numerador seja dois elevado a três vezes sete.
(pausa) E o denominador seja três vezes cinco elevado a dois.
A fração então é 56 sobre 75.
Certo, mas escreva na forma fatorada: dois à potência três vezes
sete dividido por três vezes cinco à potência dois.
Então, o número natural que esta fração ou número racional vai
receber é dois à potência seis, vezes sete à potência dois, vezes
três à potência um, vezes cinco à potência três.
Entendi. Fazendo as contas, este número racional 56 sobre 75 vai
receber a etiqueta um milhão, cento e setenta e seis mil.
Certo, o importante é que todas as funções utilizadas são bijetivas,
de forma que se conhecemos o número natural dado, conseguimos
saber qual é o número racional correspondente e vice-versa. Dado
um número racional positivo, construímos um único número
natural correspondente.
E assim terminamos os principais passos para mostrar que o
conjunto dos números racionais é enumerável.
E por que este teorema é importante?
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• É importante pelo seu grau de abstração de infinito. Cântor teve
muito transtorno para entender e ser entendido com os vários
conceitos de infinitos que ele encontrou ou definiu.
• Mas, na prática, este teorema serve pra alguma coisa?
• Serve para a gente entender o conjunto de números racionais em
comparação aos naturais e é o passo importante para entendermos
os números REAIS e IRRACIONAIS. O conjunto dos REAIS não é
enumerável. Tem outro tipo de infinidade.
• E importante, pois os números aparecem em todos os lugares!
• Os números são abstrações matemáticas. O que fazemos com
frequência é uma correspondência entre os conjuntos numéricos e
alguns objetos concretos, mas os números mesmos estão nas
nossas mentes.
• Mas os computadores usam números o tempo todo!
• Sim, a gente programa os computadores, isto é, faz as devidas
correspondências ou funções que eu estava falando. Mas eu
entendo o jeito de falar - os números aparecem em todos os
lugares.
• Bom, nosso tempo acabou e, novamente, obrigada professor
Leumas pelas explicações de hoje. E obrigada Henrique pelo
suporte de sempre!
• (sotaque francês) Merci Ivone et au revoir!
• O programa começa em inglês e termina em francês! Vai entender!
Sugestões de atividades
Antes da execução
Revisar os conceitos básicos de conjuntos dos números, potenciação e
de funções.
Definição de função
Uma relação f entre dois conjuntos A e B é uma função de um conjunto
A em um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A estiver
associado através de f a um único elemento de B. Em outras palavras:
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݂: ‫ ܤ → ܣ‬é função ⟺ dado ‫ݐ ܤ ∈ ݕ !∃ ܣ ∈ ݔ‬. ‫ݍ‬. ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݕ‬.
Definição de função injetora
Considerando a função definida acima, ela é dita injetora (ou injetiva)
se, e somente se, a imagem por f de elementos distintos de A
corresponderem a elementos distintos de B. Em outras palavras:
݂: ‫ ܤ → ܣ‬é injetora ⟺ dados ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ∈ ‫ܣ‬, se ‫ݔ‬ଵ ≠ ‫ݔ‬ଶ ⟹ ݂ ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ≠ ݂ ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ.
Definição de função sobrejetora
Considerando a função definida acima, ela é dita sobrejetora (ou
sobrejetiva) se, e somente se, todo elemento de B for associado a
algum elemento de A pela função f. E outras palavras:
݂: ‫ ܤ → ܣ‬é sobrejetora ⟺ dado ‫ݐ ܣ ∈ ݔ ∃ ܤ ∈ ݕ‬. ‫ݍ‬. ݂ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݕ‬
Definição de função bijetora
Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, ela é injetora e
sobrejetora.
Definição do Conjunto dos Racionais
O conjunto dos números racionais, denotado por ℚ, é o conjunto dos
௔
pares ordenados (frações) , onde a é um número inteiro qualquer e b
௕
é um número inteiro qualquer diferente do zero. O número a é
௔
chamado de numerador e o b de denominador da fração . As frações
devem ter as seguintes propriedades:
• Igualdade:
௔
௖
௔
௕
=
• Soma: + =
௕
ௗ
௖
௕
⇔ ܽ݀ = ܾܿ
ௗ
௔ௗା௕௖
௕ௗ
௔
௖
• Multiplicação: × =
௕
ௗ
௔௖
௕ௗ
Durante a execução
Escrever no quadro os dados e as contas mencionados no programa à
medida que eles forem falados.
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Depois da execução
O jeito mais simples de mostrar que os racionais são enumeráveis, isto
é, contáveis, e com a mesma cardinalidade dos números naturais é
fazer uma tabela da seguinte forma:
Tabela 1
...
...
5/5
5/4
5/3
5/2
5/1
4/5
4/4
4/3
4/2
4/1
3/5
3/4
3/3
3/2
3/1
2/5
2/4
2/3
2/2
2/1
1/5
1/4
1/3
1/2
1/1
0
-1/1
-1/2
-1/3
-1/4
-1/5
-2/1
-2/2
-2/3
-2/4
-2/5
-3/1
-3/2
-3/3
-3/4
-3/5
-4/1
-4/2
-4/3
-4/4
-4/5
-5/1
-5/2
-5/3
-5/4
-5/5
...
...
Cada célula da tabela corresponde a um número racional e um número
racional corresponde a pelo menos uma célula da tabela. Isso porque
os números 1/1=2/2=3/3 etc. têm o mesmo valor, assim como
½=2/4=4/8 etc. Isto é, essa tabela quando estendida infinitamente em
todos os lados tem todos os números racionais com repetições. Mas é
claro que, se essa tabela for contável, isto é, enumerável, então o
conjunto dos números racionais também é enumerável.
Com efeito, se considerarmos a diagonal que vai da esquerda para a
direita e, começando no 0, alterarmos os lados com números positivos
e negativos, teremos uma sequência contável dos elementos da tabela,
a saber
0, 1/1, -1/1, 2/1, 1/1, -1/2, -2/1, 3/1, 2/2, 1/3 etc.
Isso porque essas diagonais têm quantidade finita de elementos com
números racionais que vai crescendo de maneira enumerável.
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Daí concluímos que o conjunto dos números racionais é contável, isto
é, correspondemos um número natural a cada elemento da Tabela 1.
A forma com que o programa do áudio apresenta uma demonstração
de que os números racionais são contáveis é interessante pois envolve
o conceito de fatoração de números naturais e de função bijetiva. Isto
é, todo número racional positivo pode ser escrito da seguinte forma:
௣
௣
௣
ܲଵ భ ܲଶ మ ⋯ ܲ௥ ೝ
‫ = ݔ‬௤భ ௤మ
௤
ܳଵ ܳଶ ⋯ ܳ௦ ೞ
Ou melhor, a fração está simplificada e tanto o numerador quanto o
denominador estão fatorados nos seus números primos P e Q,
respectivamente, tendo cada um, suas potências p e q.
Assim, a proposta função bijetiva do número racional x>0 acima é a
seguinte:
ଶ௣భ
݂ ሺ‫ݔ‬ሻ = ൫ܲଵ
ଶ௣మ
ܲଶ
ଶ௣ೝ
⋯ ܲ௥
ଶ௤భିଵ
൯ × ൫ܳଵ
ଶ௤మ ିଵ
ܳଶ
ଶ௤ೞ ିଵ
⋯ ܳ௦
൯
A imagem dessa função é o conjunto dos números naturais. Podemos
mostrar que essa função é bijetiva, pois cada número racional estará
associado a um único número natural e cada número natural pode ser
fatorado em números primos, e assim podemos recompor o número
racional x.
Por exemplo:
• f(( ½ )= 12 x 2 = 2
• f(5/4)= 52 x 23 = 200
ହ଺
• ‫=ݔ‬ቀ ቁ=ቀ
଻ହ
ଶయ ×଻
ଷ×ହమ
ቁ assim ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ2଺ × 7ଶ ሻ × ሺ3 × 5ଷ ሻ = 1.176.000
Podemos dar os seguintes exemplos da função inversa:
• y=7, então temos um número primo elevado à potência ímpar.
Assim x=1/7, pois f(1/7)=7.
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• y=52. Fatoramos 26=22 x 13. Então, o primo elevado à potência
par estará no numerador e o outro no denominador. Assim,
ଶ
‫ = ݔ‬, pois f(2/13)=52.
ଵଷ
O protocolo de enumeração dos racionais positivos, então, está dado
e, dessa forma, mostramos que eles são contáveis.
Sugestões de leitura
G. Iezzi e C. Murakami (1977). FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
E LEMENTAR. 3ª Ed. Vol. 1 Cap. III, V e X. Atual Editora.
Ficha técnica
Autor Samuel Rocha de Oliveira
Revisoras Otília W. Paques e Carolina Bonturi
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
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