raciocínio lógico-matemático

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CONCURSO: Banco do Brasil
CARGO: Escriturário
PROFESSOR: Cristiano Marcell
Este curso é protegido por direitos autorais (copyright), nos termos da Lei n.º
9.610/1998, que altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e
dá outras providências.
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Aula INAUGURAL
AULA INAUGURAL
1.
APRESENTAÇÃO .......................................................................................... 3
2.
NÚMEROS NATURAIS(ℕ). ............................................................................ 3
2.1. ALGUNS SUBCONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS. ................................. 6
2.2.OPERAÇÕES EM ℕ. ....................................................................................... 8
2.2.1.ADIÇÃO EM ℕ. ........................................................................................... 8
2.2.1.1. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO EM ℕ......................................................... 8
2.2.2.SUBTRAÇÃO EM ℕ. .................................................................................... 9
2.2.3. MULTIPLICAÇÃO EM ℕ. .......................................................................... 10
2.2.3.1. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO EM ℕ. ........................................ 11
2.2.4.DIVISÃO EM ℕ. ....................................................................................... 14
2.2.4.1.DIVISÃO EXATA .................................................................................. 14
2.2.4.2.DIVISÃO NÃO EXATA ........................................................................... 15
2.3. QUANTIDADE DE ALGARISMOS NUMA SUCESSÃO DE NÚMEROS NATURAIS.
....................................................................................................................... 20
3. NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS(ℤ) ............................................................ 24
3.1. OPERAÇÕES EM ℤ ..................................................................................... 25
3.1.1. A EXISTÊNCIA DOS PARÊNTESES .......................................................... 26
3.1.2. PRODUTO E DIVISÃO EM ℤ .................................................................... 27
3.1.3. POTÊNCIA EM ℤ ..................................................................................... 29
4. NÚMEROS RACIONAIS(Q) ........................................................................... 30
4.1. INVERSO DE UM NÚMERO......................................................................... 31
4.2. DÍZIMAS PERIÓDICAS .............................................................................. 33
4.3. OPERAÇÕES EM Q ..................................................................................... 38
4.3.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO .......................................................................... 38
4.3.2. PRODUTO .............................................................................................. 39
4.3.3. DIVISÃO ................................................................................................ 39
4.3.4. POTENCIAÇÃO ....................................................................................... 40
4.3.4.1. POTÊNCIA DE EXPOENTE NEGATIVO .................................................. 40
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1. APRESENTAÇÃO
Saudações a todos vocês que, num futuro bem próximo, certamente estarão
sendo nomeados ao cargo de escriturário do Banco do Brasil.Chamo-me Cristiano
Marcell. Leciono Matemática e Raciocínio Lógico há quase duas décadas e sou
professor concursado do Colégio Pedro II, conceituada instituição Federal do Rio
de Janeiro.
Você que está lendo essas primeiras linhas dessa aula inaugural e há algum
tempo não convive com os números em seus estudos, deve estar provavelmente
pensando em como lidará com isso. Quero primeiramente pedir que fiquem
tranquilos e abram suas mentes para que possamos ajudá-lo.Matemática antes de
tudo é uma linguagem, tal qual a que usamos em nosso cotidiano e se não
aprendemos seus símbolos e códigos, nos sentimos um pouco intimidados.
Acalme-se! Esse é um ótimo começo. Ariano Suassuna disse certa vez:”O
otimista é um tolo. O pessimista, um chato. Bom mesmo é ser um realista
esperançoso.”Se estamos sem fazer exercícios há muito tempo(diga-se de
passagem, esse é meu caso atualmente) não conseguimos correr alguns
quilômetros no primeiro dia. Isso pode vir a nos prejudicar bastante. O correto é,
sem dúvida, começarmos devagar e aumentando o nosso esforço gradativamente.
Façamos assim com os conteúdos ministrados aqui. Através de nossos exemplos
e exercícios resolvidos vamos andar devagar,logo em seguida caminhar mais
rápido, correr vagarosamente e então seguirmos de forma vigorosa percorrendo
nosso trajeto vitorioso.
Agora sejamos “realistas esperançosos”, para que você possa correr uma
maratona é necessário muito treino, você há de concordar. Não é mesmo? Pois
assim também será com o RACIOCÍNIO LÓGICO – MATEMÁTICO. Faça inúmeros
exercícios, sejam eles com nível de dificuldade fácil, médio ou difícil. Eis o segredo.
Nesses anos convivendo com concurseiros, já vi muitos e muitos casos de
candidatos que foram surpreendidos pelo aparecimento repentino de RLM no
conteúdo programático. Diziam, num desespero inicial, não estarem preparados,
que não passariam e tudo mais. Após o conflito, seguiam seus estudos e focavam
na feitura de bastantes questões e obtinham êxito, gabaritando a parte de
Matemática ou chegando muito próximo disso.
A banca, como sabemos, é a competente FUNDAÇÃO CESGRANRIO. Ótimo
para todos nós. Não pensemos em termos dela vir com questões tranquilas ou
poderosas. Pense pelo seguinte prisma: ela tem uma personalidade peculiar e a
resolução de questões de concursos passados(ou similares), que acontecerá aqui
em nosso curso, é de imensa ajuda.
Bem, queridos amigos e amigas, sem mais delongas, sigamos em frente!
2. NÚMEROS NATURAIS(ℕ).
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Se eu disser para você que escrevi minha apresentação em 0,5 hora, tenho
certeza que tal fato não vá lhe causar algum espanto. O mesmo aconteceria se
soubesse que ontem à noite comi 2 1 de uma pizza. Ouvir que o atleta venceu a
3
corrida chegando 0, 452 segundos à frente do segundo lugar também não é nada
demais.
Agora, e se eu dissesse para você que na minha festa de aniversário vieram
30,7 pessoas? Você pensaria que há algo errado com minha frase, que minha
mente ficou comprometida por conta do tempo que andei lidando com números e
provavelmente diria:
“Cristiano, você não está bem! Ou você recebeu em sua festa 30 ou 31
convidados. Não há como terem ido 30,7 pessoas!”
Você está coberto de razão!
Isso se dá, pois para contarmos pessoas, por exemplo, são utilizados
somente números naturais. Aqueles usados para exprimir a quantidade de
elementos de um conjunto.
Ele é representado pela letra “n” maiúscula, como podemos ver abaixo.
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}.
Trata-se de um conjunto com um número ilimitado de elementos, por isso
se dá a existência de reticências (ou como dizemos de forma bem
descompromissada, os “pontinhos, pontinhos”) ao final.
Um número natural tem sempre um sucessor e, a partir do zero, tem sempre
um antecessor.
Podemos também afirmar que 12,13 e 14 são três números consecutivos.
Se generalizarmos, podemos dizer que “n-1” e “n+1” são, respectivamente,
o antecessor e o sucessor de um número natural “n”.
Podemos também afirmar que n-1, n e n+1 são três números consecutivos.
Utilize-os em questões que citam essa característica de três números
consecutivos. Você vai conseguir êxito, tenha certeza! Veja no exemplo a seguir:
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As idades de Carlos, Graça e Amorim formam, nessa ordem, três números
consecutivos e a soma dessas idades é igual a 120. A idade de Amorim é
representada por um:
a) quadrado perfeito
b) número primo
c) cubo perfeito
d) número par
e) múltiplo de 5.
Vamos à resolução?
Como vimos acima, três números consecutivos podem ser representados
por n-1, n e n+1.
No enunciado, a palavra “respectivamente” garante que...



Idade de Carlos = n – 1;
Idade de Graça = n; e
Idade de Amorim = n + 1;
Sabemos que a soma dos três valores é igual a 120. Logo, termos:
(n-1) + n + (n+1) = 120
Eliminemos os parênteses...
n-1 + n + n+1 = 120
Agora levemos em conta que a expressão à esquerda da igualdade pode
ser escrita da seguinte forma...
n + 1+ n + n - 1 = 120
Ficamos somente com...
3 x n = 120
Logo...
n = 120:3
n = 40
Descobrimos através da resolução dessa simples equação que a idade de
Graça é igual a 40. Devemos, porém, tomar muitíssimo cuidado. O que a questão
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está pedindo é na realidade a idade de Amorim. Essa idade, querido candidato, é
o consecutivo da idade de Graça, ou seja, 41 anos. ESSA É A RESPOSTA!
Procuremos uma das alternativas para marcar.
Não se trata disso. Fique tranquilo! Não erramos em nada tenha certeza!
Isso é um artifício comum utilizado nas provas de concursos públicos. Ao invés de
colocarem a resposta propriamente dita, põem uma característica dessa resposta.
Acostume-se.
O número “41” é primo natural, lembra-se? Ele possui somente dois
divisores naturais: ele mesmo e o “1”.
Se você não se lembra do que é um número primo, não precisa se
desesperar. Falaremos sobre ele logo em seguida.
Bem, com relação à resolução do exemplo, o gabarito é letra b)
Ok?
2.1. ALGUNS SUBCONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS.
Apresentado a você o conjunto ℕ, vamos relembrar um detalhe sobre a
Teoria dos Conjuntos para que possamos prosseguir.
Considere os conjuntos A = {2,3,4,5,6} e B ={2,3,4}. Note que todos os
elementos do conjunto B pertencem também ao conjunto A. O “2” aparece no
conjunto B e também no conjunto A, assim como o “3” e o “4”.
É quase isso. Melhor dizermos o conjunto B está contido no conjunto A. A
sentença matemática que representa o que foi descrito acima é B  A . Ou
também podemos afirmar que B é subconjunto de A.
Existem alguns subconjuntos de ℕ que eu gostaria de citar. Vejamos alguns:
I) Conjuntos dos Naturais não-nulos
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ℕ* = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}.
II) Conjuntos dos Naturais Pares
{0,2,4,6,8,10,12,14,16,...}.
Números pares são aqueles que são divisíveis por 2. Dizer que são múltiplos
de 2 também está correto e também é bastante utilizado, diga-se de passagem.
Sim! O zero é par!
Não há o que ser discutido e tampouco polêmica acreca disso.
O zero é divisível por 2, logo ele é par.
III) Conjuntos dos Naturais Ímpares
{1,3,5,7,9,11,13,15,17,...}.
Números ímpares são aqueles que não são divisíveis por dois,ou seja,
deixam resto 1 na divisão por 2.
IV) Números Primos Naturais
Os números primos naturais são aqueles que possuem apenas dois divisores
naturais: o 1 e ele mesmo. Vejamos um exemplo, futuro servidor:


7 é primo natural, pois é divisível por 1 ou por 7 somente.
8 não é um primo natural, pois pode é divisível por 1, por 2, por 4 e também
por 8. Se fosse um número primo, deveria ser divisível somente por 1 e 8,
o que não acontece.
• O número 1 não é primo natural. Querido candidato, pense comigo: o
número 1 é divisível somente por 1(ele mesmo). Para ser primo ele
deveria ter dois divisores, segundo a definição.
• O número 2 é o ÚNICO número natural primo que é par.Todos os outros
primos são ímpares.
Os primeiros 20 números primos naturais são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 57, 59, 61 e 67.
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2.2.OPERAÇÕES EM ℕ.
2.2.1.ADIÇÃO EM ℕ.
Imagine que você, empenhado em seus estudos, faça dois simulados para
se preparar para o concurso do Banco do Brasil. No primeiro você acerta 42
questões e no segundo, 45 questões. Para sabermos quantas questões você
acertou ao todo, basta somarmos os dois valores, não é mesmo?
42 + 45 = 87
A Adição é uma operação que tem a finalidade de reunir em um só número,
todas as unidades de dois, ou mais, números apresentados.
O resultado da operação, no caso o 87, chamamos de soma ou total, e os
números 42 e 45 somados, de parcelas ou termos.
2.2.1.1. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO EM ℕ.
A primeira dela é o Fechamento . Voltemos, futuro servidor, à soma 42 +
45 = 87. Podemos notar que “42” é um número natural, assim como “45”. A soma
dos dois resultou num número também natural. O número “87”.
Pensem comigo. Será que o mesmo ocorre na operação de subtração?
A resposta é não!
Vejamos:

3 – 10 = - 7.
O “3” e o “7” são naturais, porém o resultado da subtração não é um
número natural. Na realidade “-7” pertence somente ao conjunto dos números
inteiros relativos. Vamos ver isso em breve.
Vejamos agora o Elemento Neutro. Repare na soma a seguir.

12 + 0 = 12
Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural qualquer, o
resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não modifica a adição.
Temos que nos atentar para a propriedade Comutativa aquela que diz que
a ordem das parcelas não altera a soma.

42 + 45 = 45 + 42
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Falemos agora sobre a propriedade Associativa. Os símbolos ou sinais
empregados para associações são denominados:



( ) parênteses
[ ] colchetes
{ } chaves
Vamos entender melhor analisando as expressões numéricas a seguir:
Expressão I) 80 + 30 + 50 = (80 + 30) + 50 = 110 + 50 = 160
Expressão II) 80 + 30 + 50 = 80 + (30 + 50) = 80 + 80 = 160
Ou seja (80 + 30) + 50 = 80 + (30 + 50)
Generalizando temos que, sendo A, B e C, três números naturais, então
podemos escrever: A + (B + C) = (A + B) + C.
2.2.2.SUBTRAÇÃO EM ℕ.
Façamos algo similar ao exemplo que vimos anteriormente.
Agora suponha que você fez um simulado com 100 questões e constatou
logo após que acertou 73 delas. Quantas questões você errou?
Bem, certamente não é difícil resolver essa situação. É somente necessário
uma simples subtração. O nosso objetivo aqui é reconhecer os elementos dessa
operação.
E as propriedades em ℕ? São válidas aqui também? Veja a seguir.



Fechamento (Não é válido na subtração)
Comutativa: (Não é válido na subtração)
Associativa: (Não é válido na subtração)
Um copo cheio de água pesa 325 g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso
cai para 180 g.
O peso do copo vazio é:
a) 20 g
b) 25 g
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c) 35 g
d) 40 g
e) 45 g
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E aí, tentou resolver sozinho essa questão? Não?
Pois faça isso de agora em diante. Leia as questões desse material e antes
de olhar a resolução comentada, procure resolvê-le sozinho. Depois, claro, confira
o gabarito. Isso faz com que você force seu cérebro a pensar matematicamente.
Tenho que certeza que você vai se dar bem. Basta se dedicar!
Bem espero que tenha seguido meu conselho! Vamos a resolução?
Pense comigo, futuro servidor! Se o copo cheio “pesa” 325 g e depois de o
indivivíduo jogar água fora sobraram 180 g, isto quer dizer que ele retirou 145 g.
Descobrimos isso efetuando a subtração 325 – 180 = 145.
Mas atente para um detalhe: esses 145 g equivalem à metade da água que foi
jogada fora.
Ou seja, se metade da água contida no copo é igual 145 g, então o total de
água ali seria 2 x 145 = 290g.
Beleza! Descobrimos que a quantidade de água no copo era de 290 g, agora
para descobrirmos o “peso” do copo vamos subtrair novamente:
325 – 290 = 35 g
Eis o “peso” do copo: 35 g.
O gabarito é a letra c)
Conseguiu acertar a questão?
Bom, se não conseguiu não há problema! Continue na luta!
2.2.3. MULTIPLICAÇÃO EM ℕ.
Resolvi 9 questões de uma prova e cada uma delas tem valor igual a 5
pontos. Podemos calcular o total de pontos que consegui fazendo
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 45.
Mas convenhamos, seria muito mais prático resolver de outro modo. Ao
invés de escrever 9 parceles de 5, escrever 9 x 5 = 45. Em verdade, caros amigos,
multiplicar é somar parcelas iguais.Ou seja:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 9 x 5 = 45
Nesta adição a parcela em particular, o termo que se repete (no caso o
número 5) é chamado de multiplicando. O número de vezes que o multiplicamos
(9 vezes) é denominado multiplicador e o resultado, de produto.
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• O símbolo de multiplicação também pode ser um ponto que fica
localizado em substituição do sinal "x".
•
• 12 x 14 = 12.14 = 168
2.2.3.1. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO EM ℕ.
O Fechamento ocorre também no produto de dois números naturais.
Vejamos, caro candidato...

15 . 20 = 300
Podemos observar que “15” é um número natural, assim como “20” também
o é. O produto dos dois resultou num número também natural. O número “300”.
O Elemento Neutro da multiplicação não é o mesmo daquele da adição.
Aqui, o número 1 (um) é o elemento neutro. Sim, pois não afeta o produto.Um
número multiplicado por 1 tem como resultado ele mesmo.

2015 . 1 = 2015
Assim como na adição, aqui a propriedade comutativa também pode ser
notada, isto porque a ordem dos fatores não altera o produto.

15 . 20 = 20 . 15 = 300
A propriedade Distributiva ainda não havia figurado. Em relação à soma e
à diferença, para se multiplicar efetuamos cada uma das suas parcelas ou termos
por esse número, e em seguida somamos ou subtraimos os resultados.
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QUESTÃO RESOLVIDA 1)No esquema abaixo tem-se o algoritmo da adição de
dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras
A, B, C, D e E.
Determinando-se corretamente o valor dessas letras, então, A + B – C + D – E é
igual a
a) 25
b) 19
c) 17
d) 10
e) 7
Bem, futuro servidor, esse tipo de questão é comum em concursos públicos,
por isso vamos ficar atentos.
Antes de mais nada, devemos lembrar que A, B, C, D e E são algarismos,
porquanto, devem assumir valores iguais a 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ou 9.
Repare bem, a soma de 6 com D, deve resultar num número cuja casa
das dezenas simples é igual a5. “D” só pode ser igual a 9, pois 9 + 6 =15.
E não se esqueça, como dizemos no bom e velho jargão de sala de aula:
“vai 1”.
Na segunda coluna, referente à casa das dezenas, temos que 1 + B + 8 é
igual a um número terminado em 6. Conclui-se dessa maneira que B = 7, pois 1
+ 7 + 8 = 16. E foi 1 novamente.
Agora vamos para a coluna que representa a casa das centenas simples.
Note, queridos amigos, que 1 + 4 + C deve resultar num número terminado em
8. Logo, C = 3.
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Agora ficou mais fácil para encontrar os valores de A e E.
E = 1, pois 1 + 0 = 1 e A = 5, pois 5 + 1 = 6.
Bem, encontramos todos, não é mesmo?
A = 5; B = 7; C = 3; D = 9 e E =1.
Substituindo os valores dessas letras na expressão A + B – C + D – E,
teremos 5 + 7 – 3 + 9 – 1 = 17.
O gabarito então será a letra (c)
QUESTÃO RESOLVIDA 2) Sabe-se que um número inteiro e positivo N é
composto de três algarismos. Se o produto de N por 9 termina à direita por 824,
a soma dos algarismos de N é:
a) 11
b) 13
c) 14
d) 16
e) 18
Então, preparado para mais uma? Claro que sim! Sigamos em frente!
Vamos escrever N da seguinte forma: N = abc, onde a, b e c são os três
algarismos que compõem N.
Pensem junto comigo. O valor de c tem de ser igual a 6, pois 9.6 = 54. E,
claro “vão 5”.
Devemos agora pensar num algarismo que, multiplicado por 9 e logo em
seguida somado com 5 resulta num valor terminado em 2.
Já desconriu?
O valor de b é igual a 3. Vamos conferir: 9.3 + 5 = 27 + 5 = 32.
E não podemos esquecer: “vão 3”.
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Do mesmo modo, agora, devemos pensar num algarismo que multiplicado
por 9 e depois somado a 3, resulte num valor terminado em 8.
E aí?
Isso mesmo, esse algarismo é o 5.
Concluimos que N =536.
A soma dos algarismos de N será 5 + 3 + 6 = 14.
O gabarito é letra (c).
2.2.4.DIVISÃO EM ℕ.
2.2.4.1.DIVISÃO EXATA
A finalidade da divisão é, dados dois números, numa certa ordem,
determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro.
143 : 13 = 11, pois 13.11 = 143
Vamos escrever essa expressão de outra maneira? Na realidade usaremos
um algoritmo já conhecido pelo amigo que lê essas linhas.
Aproveitaremos também para identificar e reconhecer os termos de uma
divisão.
Vamos lá!
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Como essa divisão teve “0”(zero) como resto, dizemos que se trata de uma
divisão exata.
Isso quer dizer que 143 é múltiplo de 13 ou múltiplo de 11.
2.2.4.2.DIVISÃO NÃO EXATA
Caro candidato, você deve estar pensando que a divisão não exata é aquela
cujo o resto é diferente de zero? Pois você está coberto de razão. Mas vamos
melhorar essa arrumação que envolve dividendo, divisor, quociente e resto.
Peguemos por exemplo a divisão 50 por 3.
O resto igual a “2”, isto é, diferente de zero, denuncia que essa divisão não
é exata. Contudo é bom lembrar queridos amigos que com o divisor igual a “3”,
esse resto não pode assumir qualquer valor. Os possíveis valores seriam 0,1 ou
2. Além disso note que 50 = 3 . 16 + 2.
Generalizando, se numa divisão com dividendo(D), divisor(d), quociente(q)
e resto(r), temos que:
D = d.q + r, onde 0 ≤ r ≤ (d -1).
Chamamos essa expressão de RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA DIVISÃO.
Mas é claro! Vamos lá então!
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Numa divisão o divisor é igual 13, o quociente vale 15 e o resto, 10.
Determine o dividendo.
Vamos resolver, futuro servidor! Ajeitando os dados no algoritmo da divisão
temos:
Vamos à relação fundamental da divisão...
D = 13.15 + 10 = 195 + 10 = 205.
•
Numa expressão numérica o produto deve ser efetuado antes da soma ou
subtração. Por esse motivo, no exemplo que acabamos de resolver,
primeiro resolvemos o produto 13.15 e logo em seguida somamos o
resultado com 10 unidades
Numa divisão o divisor é igual 20, o quociente vale 17 e o resto é o maior
possível. Determine o dividendo.
Vamos resolver mais uma? Essa é um pouquinho diferente. Ele não fornece
o resto da divisão de forma explícita.
Ele diz no enunciado que “o resto é o maior possível”. Bem se o divisor é
igual a 20, os possíveis restos são...
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 ou 19 .
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De todos os restos possíveis citados acima, o maior possível é “19”. Você
deve estar intrigado:será que eu devo escrever todos os restos para determinar
depois qual deles é o maior?
A resposta é NÃO! O resto r maior possível de uma divisão de divisor d é
dado por d – 1. Nessa questão o divisor é igual a 20, logo o resto maior possível
é 20 – 1 = 19.
Bom, vamos concluir a resolução? Vamos juntos!
D = 20.17 + 19 = 340 + 19 = 359
Tá aí, resolvido!
Tranquilo, não é?
Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é
submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem
necessárias, até que se obtenha como resultado final o número 1.
A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes.
Veja a sequência dos resultados obtidos:
Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são utilizados
é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
Não se esqueça de primeiro tentar resolver sozinho a questão, ok!
Bem, vamos aos comentários sobre essa questão.
Comecemos pelo x = 43, é claro!
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Contando as setinhas vermelhas, que representam os procedimentos
usados, encontramos 7 setinhas.
O gabarito é a letra a)
Quatro corredores, João, Pedro, André e Fábio combinaram que, no final de
cada corrida, o que ficasse em último lugar dobraria o dinheiro que cada um dos
outros possuía. Competiram 4 vezes e ficaram em último lugar na 1ª, 2ª, 3ª e 4ª
corridas, respectivamente, João, Pedro, André e Fábio. Se no final da 4ª
competição, cada um ficou com R$16,00, então, inicialmente João possuía
a)R$5,00
b)R$ 9,00 c)R$16,00 d) R$17,00
e) R$33,00
Escute um conselho de amigo, querido candidato:não resolva essa questão
(ou similares a essa) na ordem natural. É mais interessante irmos de trás para
frente. Façamos uma tabela para facilitar a nossa vida:
O dinheiro não sai para lugar algum. Os 64 reais, 16 de cada um, ficam
assando de mão em mão, não é mesmo?
Fábio, o 40 lugar, teve de dobrar a quantidade dos outros três, segundo o
enunciado.Logo, cada um tinha 8 reais(que dobrados ficaram iguais a 16).
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Para descobrir a quantidade do Fábio, basta fazermos a seguinte continha:
8 + 8 + 8 = 24. Faltam 40 para completar os 64, aqueles que eu disse agorinha
mesmo que não saem da jogada.
Agora quem dobra a quantia dos colegas é o André, pois ele foi o 30 colocado.
Lembre-se de que estamos resolvendo de trás para frente. Com isso,podemos
concluir que João e Pedro tinham 4 reais, enquanto Fábio tinha 20.
Fazemos novamente uma conitinha para sabermos quanto André tinha antes
de tal fato ter acontecido: 4 + 4 + 20 = 28. Faltam 36 para chegar até 64, você
concorda?
E agora, senhores? Quem dobra a quantidade dos colegas? Isso mesmo! É
o Pedro que chegou em 2o lugar. Com isso, João tinha 2 reais, André tinha 18 reais
e Fábio tinha 10 reais, que somados totalizam 30 reais. Faltam 34 para completar
os 64 reais. Esse valor pertence, claro, a Pedro.
Agora, ficou fácil! Quem dobra a quantidade dos outros três é João.Vamos
lá, então: Pedro tinha 17 reais, André tinha 9 reais e Fábio tinha 5 reais. Somados
temos 17 + 9 + 5 = 31 reais.
Faltam 33 reais para chegar aos 64 reais.
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Eis o gabarito, senhores!
O gabarito é a letra e)
BANCO DO BRASIL – CESGRANRIO – 2012
No Brasil, quase toda a produção de latas de alumínio é reciclada. As
empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 kg de latas usadas, sendo que
um quilograma corresponde a 74 latas.
De acordo com essas informações, quantos reais receberá um catador ao vender
703 latas de alumínio?
(A) 23,15
(B) 23,98
(C) 28,80
(D) 28,96
(E) 30,40
Vamos à resolução, futuro servidor?
O enunciado da questão nos dá claramente a informação de que 100 kg de
latas usadas custa 320 reais. Como cada quilograma tem um total de 74 latas,
concluimos que 100 Kg têm 74 x 100 = 7400 latas.
Agora para resolvermos basta dividirmos 320 por 7400 e depois multiplicar
o resultado por 703, que é a quantidade de latas que a questão deseja saber o
preço.
Queridos amigos, a expressão ficaria assim:
(320:7400) X 703 = (320 X 703):7400 = 224960:7400=30,40
O gabarito é letra (E)
2.3. QUANTIDADE DE ALGARISMOS NUMA SUCESSÃO DE NÚMEROS
NATURAIS.
É comum nos equivocarmos ao respondermos a seguinte pergunta:
“Quantos números escrevemos ao numerarmos as páginas de um livro de 20 até
30?”
Seja sincero,num primeiro momento o que nos vem à mente é responder
sem titubear: 10. Porém, isso não está certo. A resposta correta é 11. Não
acredita, então conte comigo:
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20, 21, 22, 23, 24, 25 26, 27, 28, 29, 30
Isso se dá pelo fato de o número 20 também estar incluso na sucessão.Para
que não erremos novamente, façamos o cálculo sempre desse modo:
(último termo) – (primeiro termo) + 1
Veja como dá certo...
“Quantos números escrevemos ao numerarmos as páginas de um livro de
20 até 30?”
Façamos mais um exemplo para fixarmos a ideia:
Quantos números utilizamos para escrever todos os termos da sucessão de
números naturais que vão de 120 até 330?
Creio que você concorde que esse método é mais simples do que escrever
todos os números da sucessão e depois contá-los um a um, não é mesmo?
Mas,e se a pergunta fosse um pouquinho diferente? Leia atentamente:
Quantos ALGARISMOS escrevemos ao numerarmos as páginas de um livro
de 20 até 30?
Agora a pergunta refere-se à quantidade de algarismos e não somente de
números. Os números escritos de 20 até 30 têm todos dois algarismos. Por
exemplo, o múmero 20 é composto pelos algarismos 2 e 0; o múmero 21, pelos
algarismos 2 e 1; o múmero 22, pelos algarismos 2 e 2; e assim por diante.
Vamos então acrescentar uma operação ao cálculo que fizemos primeiramente.
( 30 - 20 + 1). 2 = 11. 2 = 22
Vamos caminhar rápido agora?
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Quantos ALGARISMOS escrevemos ao numerarmos as páginas de um livro
da 7a até a 120a ?
O macete é fazer a resolução por partes. Primeiro vamos aos números que
possuem somente um algarismo na sua composição, ou seja, de 7 até o 9.
(9 – 7 + 1) . 1 = 3.1 = 3
Note que multiplicamos o resultado da expressão contida dentro dos parênteses
por 1. Isso aconteceu porque todos eles têm somente um algarismo.Agora vamos
aos que possuem 2 algarismos na sua composição. São eles os que vão de 10 até
o 99.
(99 - 10 + 1) . 2 = 90.2 = 180
Sim, isso mesmo.Lembre – se, futuro servidor, todos os números dessa
sucessão possuem 2 algarismos.
Para terminarmos de resolver a questão, devemos fazer a última
parte.Determinar a quantidade de algarismos referente aos números de três
algarismos. Aqueles que vão de 100 até 120. Vamos a eles?
(120 - 100 + 1) . 3 = 21.3 = 63
Justamente! Vamos lá então?
3 + 180 + 63 = 246 algarismos
Com isso, a quantidade de algarismos que escrevemos para numerarmos
todas as páginas de um livro da 7a até a 120a é igual a 246.
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Contamos com uma forma mais rápida para calcularmos essa quantidade Q
de algarismos, se começarmos pelo “1” e termirmos em “n”.
Onde “P” é a quantidade de algarisnos de n.
Bem,vamos esclarecer essa fórmula, atrevés de um exemplo:
da
1a
Quantos ALGARISMOS escrevemos ao numerarmos as páginas de um livro
até a 50a ?
Bem vejamos, então: n = 50 e possui 2 algarismos, logo p = 2.
Vamos calcular juntos...
Q = (50 + 1). 2 – 11 = 51.2 – 11 = 102 – 11 = 91 algarismos.
Quer conferir? Ué, porque não? Vamos juntos.Resolvamos da mesma forma
que fizemos o exemplos anterior.
(9 – 1 + 1). 1 = 9.1= 9
(50 – 10 + 1). 2 = 41. 2 = 82
82 + 9 = 91.
Viu só! Obtivemos o mesmo resultado. Cabe agora a você fazer a resolução
do jeito que mais o agrada! O importante é acertar a questão no momento da
prova e conquistar a sua vaga.
CESGRANRIO
Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o algarismo
1 é escrito?
A) 481
B) 448
C) 420
D) 300
E) 289
Antes de resolvermos a questão, saibam, queridos amigos, que de 1 até
99999
....
....

9 todos os algarismos aparecem exatamente n.( 1000

0 ). Vamos
( n 1) zeros
n vezes
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exemplificar descobrindo quantas vezes o algarismo 5 aparece escrevendo todos
os números de 1 até 99. No números 99, o algarismo 9 figura 2 vezes, logo, n =2.
Calculemos então...
1 até 99
 o algarismo 5(ou qualquer outro algarismo) aparece
2 vezes
Voltemos então à questão da CESGRANRIO. O mesmo cálculo é feito para
descobrirmos, por exemplo, quantas vezes o algarismo 1 aparece quando
escrevemos todos os números de 1 até 999, resolvendo parte dela.Nesse caso,
999 nos dá n = 3.
De 1000 até 1099 ele aparecerá 10 vezes na casa das unidades, 10 vezes
na casa das dezenas e 100 vezes na casa das unidades de milhar. Isso totaliza
120 vezes.
Faltam somente ser contabilizados 1100, 1101, 1102, ...,1110, 1111, onde
o algarismo 1 aparece 2 vezes na casa das unidades, 2 vezes na casa das dezenas
simples, 12 vezes na casa das centenas simples e, finalmente, 11 vezes na casa
das unidades de milhares. Logo temos 28 aparições do algarismo 1 de 1100 até
1111.
Vamos então calcular o total de vezes que o algarismo 1 aparece quando
escrevemos de 1 até 1111.
300 + 120 + 28 = 448 vezes.
O gabarito é a letra (B).
3. NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS(ℤ)
O conjunto dos números inteiros relativos é representado por ℤ e formado
por todos os números naturais, inclusive o zero, e seus opostos.
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O oposto de um número inteiro a é igual a –a. Vejamos alguns exemplos:



•
O oposto de 5 é -5;
O oposto de -76 é +76 (podemos escrever somente 76);e
O oposto de 90 é -90.
A soma de um número inteiro com o seu oposto é sempre igual a zero.
(+2) + (-2) = 0
Escrevamos então esse tal conjunto ℤ
ℤ = {... -8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}
Listemos alguns de seus subconjuntos.
 ℤ* = {... -8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}; onde
retiramos o zero do conjunto ℤ.

ℤ-*= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...};onde deixamos no conjunto somente
os inteiros não-positivos, ou seja, não figuram os números negativos e nem o
zero.

ℤ+*= {...-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1} ;onde deixamos no conjunto
somente os inteiros não-negativos, ou seja, não figuram os números positivos e
nem o zero.
3.1. OPERAÇÕES EM ℤ
70
Certamente você, caro concurseiro que nos lê, quando esteve na 6a série ou
ano, estudou uma regra básica para efetuar em ℤ:

”Quando numa expressão tivermos dois números de sinais iguais,
somamos e repetimos o sinal”; e

“Quando numa expressão tivermos dois números de sinais distintos,
subtraímos e colocamos o sinal daquele que tiver o maior valor absoluto.”
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Se você se identifica com essas regras, ótimo!
Eu venho contudo, propor uma outra maneira de resolvermos.
Sempre que você vir um sinal positivo você dirá “eu tenho” e quando vir um
sinal negativo dirá ”eu devo”.
I) + 30 + 40
Repita comigo: Eu tenho 30 e tenho 40.
Ora, se você tem 30 e tem 40, então você tem 70. Logo + 30 + 40 = +70
II) - 20 + 80
Repita comigo: Eu devo 20 e tenho 80.
Ora, se você deve 30 e tem 80, então você paga o que deve e ainda lhe sobra
60. Logo - 20 + 50 = +60.
III) - 100 + 10
Repita comigo: Eu devo 100 e tenho 10.
Ora, se você deve 100 e tem 10, então você paga o que deve mas continua
devendo 90. Logo - 100 + 10 = - 90.
IV) -50 -70
Repita comigo(é para repetir mesmo) : Eu devo 50 e também devo 70.
Ora, se você deve 50 e também deve 70, então você, em verdade, deve 120.
Logo -50 -70 = - 120.
3.1.1. A EXISTÊNCIA DOS PARÊNTESES
O sinal positivo à frente dos parênteses não modifica o sinal do número
quje está em seu interior, enquanto que o sinal negativo o faz.
I) +(+18) =+18
II) +(- 29) = -29
III) -(+90) = -90
IV) - (-70) = +70
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V) Resolva as expressões numéricas a seguir:
a) –(+20) + (–30) –(– 40) =
b) +(–33) – (–47) –(– 28) =
c) +(+180) – (+120) +(– 60) =
Vamos resolver a letra a)
a) –(+20) + (–30) –(– 40) = – 20 – 30 + 40 = – 50 + 40 = – 10
Agora vamos à resolução da letra b)
b) +(–33) – (–47) –(– 28) = – 33 + 47 + 28 = – 33 + 75 = 42
Finalizamos com a letra c)
c) +(+180) – (+120) +(– 60) = + 180 –120 – 60 = +180 – 180 = 0.
3.1.2. PRODUTO E DIVISÃO EM ℤ
Tanto na multiplicação como na divisão consideraremos a seguinye
regrinha: “No produto ou divisão de dois termos se ambos tiverem o mesmo sinal,
então o resultado será positivo, caso isso não ocorra, o resultado será negativo.
 (+).(+) = (+)
 (+). (–) = (–)
 (–) . (+) = (–)
 (–) . (–) = (+)
VI) Resolva as expressões numéricas a seguir:
a)(+2).(+9) = (+18)
O resultado do produto de dois números de mesmo sinal tem resultado positivo
b) (+2).(- 9) = (-18)
O resultado do produto de dois números de sinais distintos tem resultado negativo
c) (-2).(+9) = (-18)
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O resultado do produto de dois números de sinais distintos tem resultado negativo
d) (-2).(- 9) = (+18)
O resultado do produto de dois números de mesmo sinal tem resultado positivo
e) (+20):(+4) = (+5)
O resultado da divisão de dois números de mesmo sinal tem resultado positivo
f) (+20):(- 4) = (-5)
O resultado da divisão de dois números de sinais distintos tem resultado negativo
g) (-20):(+4) = (-5)
O resultado da divisão de dois números de sinais distintos tem resultado negativo
h) (-20):(-4) = (+5)
O resultado da divisão de dois números de mesmo sinal tem resultado positivo
Lembre-se sempre do mandamento:Nunca dividirás por ZERO!
Calcule o valor da expressão abaixo:
{(+60 - 40) + [+8.(-5) - 7.12]}.[-30 - (-70):2] + (-10).8 - 5.(-2)
Bem, queridos amigos concurseiros, esse vai dar um pouquinho mais de
trabalho, mas isso não quer dizer que seja difícil. Temos que ter, no entanto, uma
atenção redobrada.
Primeiramente vamos resolver as expressões que estão dentro dos
parênteses. Costumamos dizer que vamos “eliminar” os parênteses.
{(+20) + [+8.(-5) - 7.12]}.[-30 - (-70):2] + (-10).8 - 5.(-2)=
Num segundo momento efetuaremos os produtos divisões.
={(+20) + [-40 - 84]}.[-30 – (-35)] + (-80) + 10=
Continuando, vamos resolver as expressões dentro dos colchetes...
={(+20) + [-124]}.[-30 + 35] -80 + 10=
={+20 -124}.[+5] -70 =
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={-104}.[+5] -70 =
= - 520 -70 = - 590.
3.1.3. POTÊNCIA EM ℤ
Observe o produto 2.2.2.2.2. Ele pode ser escrito de outra forma. Como se
trata de um produto de termos iguais, podemos representá-la por 25. O fator 2
que se repete na multiplicação é chamado de base, enquanto que a quantidade
de vezes em que esse fator aparece é chamado de expoente. Este último é
representado na potência por um número pequeno acima da base.
Sendo a um número inteiro, diferente de zero, e n um número natural
diferente de zero, define-se a potência an,onde a é a base e n é o expoente, por
an = a.a.a.a…..a ( produto com n fatores )


Quando o expoente é par, o resultado da potência é um número
positivo;
Quando o expoente é ímpar, o resultado da potência tem o mesmo
sinal da base.
Resolva corretamente:
a) ( +13)2
Note que o expoente é igual a 2, ou seja, um número par. O resultado dessa
potência será positivo.
( +13)2 = + 169
b) ( - 3)4
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Outra vez o expoente é um número par. Agora é igual 4. O resultado dessa
potência será positivo.
( -3)4 = + 81
c) ( + 2)7
Dessa vez o expoente é um número ímpar. O resultado dessa potência será
positivo, já que a base, que se encontra dentro dos parênteses, também é
positiva.
( + 2)7 = + 128
d) ( - 5)3
Olhem o expoente ímpar aí novamente. O resultado dessa potência será
negativo, já que a base, que se encontra dentro dos parênteses, também é
negativa.
( - 5)3 = - 125
4. NÚMEROS RACIONAIS(Q)
Definimos números racionais como sendo aqueles que podem ser escritos
a
na forma , onde a é um números inteiro e b é um número inteiro diferente de zero.
b
Bom, queridos amigos, nesse tempo que tenho de magistério para concursos
públicos, aprendi uma coisa: as pessoas não se afeiçoam muito aos símbolos
matemáticos. Elas os compreendem melhor qundo acompanhados de um exemplo
numérico. Pois então, vamos lá!
I)
2
, note que a  2 e b  5 e ambos são números inteiros;
5
II) 
3
, note pode ser a  3 e b  14 e ambos são números inteiros;
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III) 0,23 , note que podemos escrever o decimal na forma fracionária
23
. Com isso
100
temos a  23 e b  100 e ambos são números inteiros;
IV) 0,333 ... , trata-se de uma dízima periódica, assunto que veremos em breve,
1
queridos amigos. Podemos escrever esse decimal na forma fracionária .Daí, a  1
3
e b  3 e ambos são números inteiros;
Opa, não é bem assim! Isso não está certo!
Pensem comigo, queridos amigos, podemos escrever o número
8 como
8
1
a
, onde a é um números inteiro e b é
b
um número inteiro diferente de zero. O mesmo ocorre para o número  5 . Sim, pois
5
.
5
1
Isto quer dizer que todo número inteiro é também um número racional.
Através de símbolos matemáticos, representamos o que acabei de escrever por
Q
.Assim sendo, temos um número na forma
4.1. INVERSO DE UM NÚMERO
Para determinarmos o inverso de um número racional diferente de zero,
basta utilizarmos o seguinte procedimento:
a
b
O inverso de
é , ou seja, mudamos o numerador pelo denominador e
b
a
1
vice-versa. Também podemos representá-lo por
.
a
b
I) O inverso de
4
5
é
5
4
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II) O inverso de 0,05 é igual a 20, pois 0,05 
5
100
e seu inverso é
 20 .
100
5
CESGRANRIO
Considere as seguintes afirmativas:
I) O inverso do número racional 0,5 é 2;
II) o produto de 4 números negativos é positivo;
III) Se y - (- 60) = -12, então y = 72;
IV) dividir um números diferente de zero por 0,25 equivale a multiplicá-lo por 4.
Atribuindo V às afirmações verdadeiras e F às falsas, tem – se a seguinte
sequência:
a)
b)
c)
d)
e)
V–V–F–V
V–F–V–V
V–F–F–V
F–V–V–F
F–V–F–F
Vamos à resolução...
Analisando a afirmativa I, temos que o inverso de 0,5 é
1
1 10


2
0,5 5
5
10
Concluimos que a afirmativa I é verdadeira(V)
Analisando a afirmativa II, vamos ao produto de 4 números negativos. Nossa
preocupação é somente quanto ao sinal, não precisamos nos importar com os
valores.Sendo assim, porque não utilizarmos o produto de 4 termos iguais -1, não
é verdade? Vamos lá então!
(-1).(-1).(-1).(-1) =(+1).(-1).(-1)=(-1).(-1)=(+1)
Conclui-se que a afirmativa II é verdadeira(V) também.
Agora é a vez de analisar a afirmativa III.
Vamos substituir o valor de y por 72 e verificar a igualdade
72 - (- 60) = -12
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O sinal de menos à frente dos parênteses, muda o sinal do valor que está em seu
interior, está lembrado?
72 + 60 = -12
132 = -12(falso)
Conclui-se que a afirmativa III é falsa(F).
Finalmente vamos verificar se a afirmativa IV) é verdadeira ou falsa.
Dividir um número x, diferente de zero, por 0,25, seria o
x
x
100 x


 4 x . Ou seja, seria o mesmo que multiplicá-lo por 4.
25
0,25
25
100
Logo, a afirmativa IV é verdadeira(V).
mesmo
A sequência ficou: V – V – F – V
Futuro servidor, o gabarito da questão é a letra a)
4.2. DÍZIMAS PERIÓDICAS
A maneira que utilizamos para transformarmos um número na forma
fracionária em número decimal, é dividindo o valor que está no numerador pelo
valor que está no denominador.
I) Passe
2
para forma decimal.
5
Vamos dividir 2 por 5.
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II)Passe
3
para forma decimal
8
Isso nos mostra que
3
quando escrito na forma decimal é igual a 0,375.
8
Esses decimais são chamados de decimais exatos. Quando passamos
2
frações do tipo
para forma decimal, encontramos números racionais cuja parte
9
2
decimal é ilimitada. No caso citado, temos que  0,222....
9
Podemos citar outros números como esses:
I)
5
 0,5555....  Dizemos que sua parte periódica é igual a 5.
9
II)
7
 0,21212121....  Aqui, sua parte periódica é igual a 21.
33
III)
41
 0,369369369....  Nesse caso, sua parte periódica é igual a 369.
111
Em todos os exemplos acima, classificamos os decimais em DÍZIMAS PERIÓDICAS
SIMPLES, pois sua parte periódica não está acompanhada de algarismos entre a
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“vírgula” e ela. O mesmo não ocorre no exemplo abaixo. Note que 0 algarismo “1”
não se reprete periodicamente, assim como o 2.
11
 0,1222....  Temos a parte periódica iguala 2 e a parte não-periódica igual
90
a 1. Quando isso ocorre, classificamos o decimal em DIZIMA PERÓDICA
COMPOSTA.
IV)
7
 2,3333....  Devemos tomar muito cuidado, futuro servidor. Essa dízima não
3
é composta. Ela é uma dízima periódica simples. Você pode achá-la diferente
somente pelo fato de ela ter uma parte inteira(o número que vem antes da vírgula
é diferente de zero)
V)
Vamos agora ao que realmente nos interessa, querido amigos. O que é
pedido nos concursos é a fração geratriz. Trata-se de uma forma de transformar
a
uma dízima periódica num racional em formato de fração do tipo
b
Bem, não percamos tempo!
Caso 1) Quando a dízima periódica é simples e não há parte inteira(o zero vem
antes da vírgula), colocamos a parte periódica no numerador. No denominador
colocamos um número formado por “noves”. A quantidade de “noves” é igual a
quantidade de algarismos dessa parte periódica.
Vamos ver como isto funciona.
Determine a fração geratriz da dízima:
I) 0,666...
Como a dízima periódica é simples e sua parte periódica é igual “6”(e “6”
tem apenas um algarismo) vamos por o “6” no numerador e o “9” no denominador.
6
Fazemos o seguinte: 0,666...  .
9
2
Simplificando o numerador e denominador por “3”,vamos encontrar .
3
Façamos o mesmo para o próximo item.
II) 0,777...
Vamos lá!
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A dízima periódica é simples e sua parte periódica é igual “7”(e “7” tem
apenas um algarismo) vamos por o “7” no numerador e o “9” no denominador.
7
Fazemos o seguinte: 0,777...  .
9
É isso mesmo, meu caro amigo! Chegamos à conclusão de que 0,999... 
9
1
9
. Então...
III) 0,151515...
Como a dízima periódica é simples e sua parte periódica é igual “15”(e “15”
tem dois algarismos) vamos por o “15” no numerador e o “99” no denominador.
15
Fazemos o seguinte: 0,151515.. 
.
99
5
Simplificando o numerador e denominador por “3”,vamos encontrar
.
33
Façamos o mesmo para o próximo item.
IV) 0,504504504...
Como a dízima periódica é simples e sua parte periódica é igual “504”(e
“504” tem três algarismos) vamos por o “504” no numerador e o “999” no
504
denominador. Fazemos o seguinte: 0,504504504.. 
.
999
56
Simplificando o numerador e denominador por “9”,vamos encontrar
.
111
Caso 2) Quando a dízima periódica é simples e possui parte inteira(o número que
vem antes da vírgula é diferente de zero), colocamos no numerador o número
formado pela parte inteira e a primeira parte periódica subtraída da parte inteira.
No denominador colocamos um número formado por “noves”. A quantidade de
“noves” é igual a quantidade de algarismos dessa parte periódica.
V) 5,121212...
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Simplificando o numerador e denominador por “3”,vamos encontrar
169
.
33
VI) 4,888...
Não podemos descansar futuros servidores públicos! Sigamos em frente!
4,888... 
48  4 44
. Pronto! Fácil de resolver!

9
9
Caso 3) Quando a dízima periódica é composta, colocamos no numerador o
número formado pela parte inteira, a parte não-periódica e a primeira parte
periódica subtraída da parte inteira até a parte não-periódica . No denominador
colocamos um número formado por “noves” é igual a quantidade de algarismos
dessa parte periódica seguido de tantos “zeros” quanto a quantidade de
algarismos da parte não-periódica.
VII) 4,23555...
Simplificando o numerador e denominador por “4”,vamos encontrar
Vamos a um último exemplo.
O inverso de 3,333... é:
a) 0,2
b) 0,3
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c) 0,4
d) 0,3
e) 0,5
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.
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Essa é legal de resolver!
Vamos primeiro determinar a fração geratriz de 3,333...
3,333... 
33  3 30
.

9
9
Simplificando essa fração por “3” e tornando-a irredutível, teremos
O inverso de
10
.
3
10
3
é igual a
 0,3
3
10
O gabarito é a opção b)
4.3. OPERAÇÕES EM Q
4.3.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Para efetuarmos em Q, devemos utilizar as mesmas regras de sinais que
vimos a pouco no conjunto dos números inteiros relativos.
Vamos ver alguns exercícios resolvidos para que possamos compreender
melhor.
 2  7
QUESTÃO RESOLVIDA 1) Calcule corretamente o valor de        
 3  4
Primeiro vamos “ajeitar” a expressão com relação aos seus sinais.
2 7
 2  7
        
3 4
 3  4
Multiplique “cruzado” e some (ou subtraia se for o caso), se você tem
dificuldade em lidar com o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Logo em
seguida, multiplique os denominadores. Veja como se faz...
2 7 (2).4  3.7  8  21
13
 2  7
         


3 4
3.4
12
12
 3  4
Vamos fazer outra?
 1
QUESTÃO RESOLVIDA 2) Calcule corretamente      0,444...
 5
Sigamos em frente, queridos amigos..
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Primeiramente vamos transformar a dízima periódica 0,444... numa fração do
a
tipo .
b
1 4 (1).9  4.5  9  20
11
 1 4
       


5 9
5.9
45
45
 5 9
4.3.2. PRODUTO
Para multiplicarmos números racionais, multiplicamos o numeradores e os
a
c
denominadores, respectivamente.Isso quer dizer que, multiplicando
por
b
d
a.c
obtemos
, onde b.d  0 .
b.d
Bem , deixemos de representar essas operações com letras e vamos fazer
exemplos numéricos.
 12   11 
QUESTÃO RESOLVIDA 1) Calcule corretamente   .  
 5  7 
Utilizando a regra de sinais da multiplicação, temos que o produto de um
número positivo por um número negativo, resulta num valor negativo.
12.11
132
 12   11 

  .    
5.7
35
 5  7 
4.3.3. DIVISÃO
Para dividirmos números racionais, multiplicamos o a primeiro deles pelos
a
c
a.d
inverso do segundo.Isso quer dizer que, dividindo
por
obtemos
.
b
d
b.c
Ora ,novamente deixemos de representar essas outras operações com
letras e vamos fazer mais exemplos numéricos.
 15   14 
QUESTÃO RESOLVIDA 2) Calcule corretamente       
 7   25 
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 15 
Vamos lá, queridos amigos.Repetiremos o racional    e
 7
 14 
 25 
multiplicaremos pelo inverso de    , que é igual a    . Ficamos assim,
 25 
 14 
então...
 15   14   15   25 
          .  
 7   25   7   14 
Utilizando a regra de sinais da multiplicação, temos que o produto de um
número negativo por um número negativo, resulta num valor positivo.
15.25
375
 15   14   15   25 

          .    
7.14
98
 7   25   7   14 
4.3.4. POTENCIAÇÃO
Calculamos do mesmo modo de sempre. Não há diferença...
4
 2
QUESTÃO RESOLVIDA 3) Calcule corretamente    .
 3
Bom, como o expoente é par, o resultado terá de ser positivo como já
sabemos. Vamos elevar o numerador e o denominador à mesma potência igual a
4.
4
24 16
 2
   4 
3
81
 3
3
 1
QUESTÃO RESOLVIDA 4) Calcule corretamente    .
 5
Agora, futuro servidor, como o expoente é ímpar, o resultado terá de ter o sinal
igual ao da base que está dentro dos parênteses. Já vimos isso, está lembrado?
Vamos elevar o numerador e o denominador à mesma potência igual a 3.
3
(1)3
1
 1
    3  
(5)
125
 5
4.3.4.1. POTÊNCIA DE EXPOENTE NEGATIVO
Quando estivermos cara a cara com uma potência de expoente negativo,
devemos calculá-la normalmente. Ao final, invertemos o resultado. Venha
comigo!
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5
 3
QUESTÃO RESOLVIDA 5) Calcule corretamente    .
 4
Como disse, vamos resolver como se não houvesse o expoente negativo.
5
243
 3
   
1024
 4
Agora invertemos o resultado obtido...
5
5
243
1024
 3
 3
.
    
   
1024  4 
243
 4
CESGRANRIO – 2014
Um livro de 350 páginas tem 2 cm de espessura.Dentre os valores abaixo, o que
representa com mais precisão a espessura aproximada de cada página, em
milímetros, é:
a) 0,046
b) 0,057
c) 0,066
d) 0,070
e) 0,082
Bem, queridos amigos, para resolvermos essa questão é necessário que
tenhamos um pequeno conhecimento de unidades de medida. Lembra que 1 cm
equivale a 10 milímetros?
Assim sendo, podemos afirmar que a espessura do livro é de 20
milímetros.
Para descobrirmos a espessura de cada folha, teremos de dividir 20 por
350.
20 : 350 = 0,05714...
Aproximadamente 0,057 mm.
O gabarito é a letra b)
CESGRANRIO – 2014
Numa prova de matemática com 20 questões, os candidatos não podem
deixar questão em branco. Para compor a nota final serão atribuídos (+2) pontos
a cada resposta certa e (–1) ponto a cada resposta errada. Se um candidato
obteve 16 pontos nessa prova, quantas questões ele acertou?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
Sem mais delongas, vamos rumo à resolução .
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Raciocinemos juntos, queridos amigos, começando pela seguinte premissa:
ele acertou 10 questões e errou as outras 10. O números de pontos que ele faria
seria igual a 10.(+2) + 10.(-1) = +20 – 10 = 10. Bem longe dos 16 pontos ditos
no enunciado.
Vamos então somar 1 acerto e retirar um erro. Ficariam 11 acertos e 9
erros, não é mesmo?
Agora seria..
11.(+2) + 9.(-1) = +22 – 9 = 13. Opa! Está chegando perto!
Continuando com o mesmo raciocínio, teremos então 12 acertos e 8 erros.
Vamos lá?
12.(+2) + 8.(-1) = +24 – 8 = 16. Bingo!!!
A resposta certa é letra e)
CESGRANRIO – 2014
Um grupo de cinco amigos vai jogar cartas e, no jogo escolhido, apenas quatro
podem dele participar. Desse modo, a mesa de jogo se reveza com todos os
grupos possíveis formados por quatro dentre as cinco pessoas presentes. As
somas das idades das pessoas sentadas à mesa varia a cada rodada:
1aRodada
2aRodada
3aRodada
4aRodada
5aRodada
–
–
–
–
–
soma
soma
soma
soma
soma
122
136
142
149
155
Qual a idade do mais velho do grupo de amigos?
(A) 48
(B) 68
(C) 54
(D) 66
(E) 62
Vamos dar valores às idades desses amigos. Eu chamarei esses valores de
A,B,C,D e E.
1aRodada – A + B + C + D = 122
2aRodada – A + B + C + E = 136
3aRodada – A + B + E + D = 142
4aRodada – A + E + C + D = 149
5aRodada – E + B + C + D = 155
Vamos somar todas essas equações? Note que cada letra(idades) aparece
exatamente 4 vezes.
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4.A + 4.B + 4.C + 4.D + 4.E = 122 + 136 + 142 + 149 + 155
Temos que todas as idades multiplicadas por 4, quando somadas resultam
em 704 anos, como podemos ver a seguir
4.A + 4.B + 4.C + 4.D + 4.E = 704
Logo, dividindo todos os termos por 4, teremos
A + B + C + D + E = 176 (0 número 176 foi conseguido pela divisão de 704 por
4)
Agora sabemos a soma das idades dos 5 integrantes do grupo.E com os
dados do inicío da questão descobrimos a idade de cada um deles.
Na
Na
Na
Na
Na
1aRodada,
2aRodada,
3aRodada,
4aRodada,
5aRodada,
encontramos
encontramos
encontramos
encontramos
encontramos
a
a
a
a
a
idade
idade
idade
idade
idade
“E”, fazendo a subtração 176 –122 = 54.
“D”, fazendo a subtração 176 –136 = 40.
“C”, fazendo a subtração 176 –142 = 34.
“B”, fazendo a subtração 176 –149 = 27.
“A”, fazendo a subtração 176 –155 = 21.
O mais velho é aquele que tem 54 anos.
Gabarito é a letra c)
Ficamos por aqui senhores. Refaça as questões desse material em sua
casa para fixar seus conhecimentos.
Até o nosso próximo módulo!
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