Matemática

Matemática
Capítulo
Mark Winfrey/Shutterstock/ID/BR
5
O teorema de Pitágoras
O que você vai estudar
neste capítulo
1.Semelhança de triângulos
retângulos
2.Relações métricas no
triângulo retângulo
3.O teorema de Pitágoras
Toldos são muito usados para proteger a entrada de casas ou lojas do excesso
de sol ou de chuvas.
A cobertura que pode ser vista na foto acima é chamada de toldo.
Observando a imagem é possível verificar que o toldo forma com a
parede um ângulo reto. Olhando a lateral do toldo podemos identificar uma figura que lembra um triângulo retângulo, em que parte da
quina da parede representa um dos catetos, parte da beirada do toldo
representa o outro cateto, e a haste de metal que sustenta a cobertura
representa a hipotenusa.
xx Imagine um toldo como o apresentado acima, em que a lateral da
cobertura tem 1 ,5 metro de comprimento. Se a haste metálica tiver 2,5 metros de comprimento, quantos metros deverá ter a distância entre o ponto de fixação da haste na parede e a cobertura?
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1.Semelhança de triângulos retângulos
Os triângulos ABC e EFG são retângulos, e a medida do ângulo A
é igual à do ângulo E.
A
e
Lembre-se de qu
marcas iguais
ou
indicam ângulos
lados de medidas
iguais.
E
B
C
F
Multimídia
G
xx Você pode concluir que esses triângulos são semelhantes? Por quê?
Revendo alguns fatos que você estudou
1. Observe a figura e verifique se os pares de
C
D
triângulos em cada item são semelhantes.
Justifique sua resposta.
a) nABC e nDEF.
b) nABC e nGHI.
c) nDEF e nGHI.
E
F
A
G
H
I
B
2. Faça o que se pede.
a) Todos os triângulos a seguir são triângulos retângulos isósceles.
Explique, por escrito, por que eles são semelhantes.
M
F
N
P
B
D
E
C
A
b) Escreva as razões entre as medidas dos lados correspondentes
dos pares de triângulos semelhantes.
3. Na figura existem três pares de triângulos semelhantes.
A
B
D
C
a) Quais são eles? Justifique sua resposta.
b) Em cada caso, escreva as razões entre as medidas dos lados correspondentes.
Usando semelhança de
triângulos retângulos
Em uma situação
cotidiana, pode acontecer
de precisarmos medir
objetos de grande dimensão vertical, cuja altura
nos impeça de usar um
instrumento de medida
comum. Nessas horas, o
conceito de semelhança
de triângulos pode
ser muito útil. No site
apresentado a seguir, é
possível fazer uso desse
conceito para medir
coisas em três contextos
diferentes. Disponível em:
<http://rived.mec.gov.br/
atividades/matematica/
medindo_objetos/index2.
html>. Acesso em:
19 mar. 2012.
Observe como os
meninos da animação
encontrada no site conseguem as medidas nos
três contextos e experimente usar o mesmo
procedimento para medir
alguma coisa bem alta,
como um poste de luz
elétrica, uma árvore,
um prédio, etc. Não se
esqueça de desenhar um
esquema representando
os objetos, as sombras
e os triângulos. Em
seguida, responda:
a)No esquema que você
fez, os triângulos são
retângulos? Por quê?
b)Por que os dois
triângulos retângulos
formados com os
objetos e sua sombra
são semelhantes?
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4. Observe as figuras a seguir.
Aqui você vê os mesmos
triângulos desenhados
separadamente para
facilitar o estudo da
semelhança.
A
A
C
B
H
C
H
B
H
A
B
C
A
a) Mostre que:
nABC , nHBA, nABC , nHAC e nHBA , nHAC
b) Em cada caso, escreva as razões entre as medidas dos lados correspondentes.
c) Calcule AH, CH e HB.
d) Verifique que AH 3 CB 5 AC 3 AB.
e) Verifique que AH2 5 CH 3 HB.
2.Relações métricas no triângulo retângulo
Você já viu que, no estudo da semelhança, os triângulos retângulos são especiais. Nas próximas atividades, você vai conhecer outras
propriedades exclusivas desses triângulos, bem como algumas fórmulas relacionadas com essas propriedades.
xx Na figura a seguir, qual é a medida do segmento CH?
A
8 cm
C
H
16 cm
B
Estudando as relações métricas em um
triângulo retângulo
5. Observe o diálogo. Em seguida, faça o que se pede.
Você se lembra?
Os lados de um
triângulo retângulo têm
nomes. Veja:
Hipotenusa
Cateto
Giz de Cera/ID/BR
Cateto
No triângulo ABC, AH é a altura
relativa à hipotenusa. Veja mais alguns
nomes para os lados desse triângulo.
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Agora, no triângulo OPQ abaixo, identifique os elementos indicados,
associando aos segmentos as suas respectivas medidas.
P
3,2 cm
4 cm
H
2,4 cm
O
1,8 cm
Roteiro
Escrevendo um poema
Utilizando as palavras
deste capítulo – como
lados e ângulos; catetos
e hipotenusas; ângulos
agudos, retos e obtusos
–, elabore uma estrofe
de um poema. E não
se esqueça de colocar
um título!
Q
3 cm
a) o cateto maior;
b) o cateto menor;
c) a hipotenusa;
d) a altura relativa à hipotenusa;
e) o segmento maior determinado pela altura sobre a hipotenusa;
f) o segmento menor determinado pela altura sobre a hipotenusa;
g) o ângulo oposto ao cateto menor;
h) o ângulo oposto ao cateto maior;
i) o ângulo oposto à hipotenusa.
6. No triângulo retângulo CAB, AH é a altura relativa à hipotenusa CB. As le-
tras minúsculas indicam as medidas dos segmentos, em uma mesma
unidade de medida. Assim: AB 5 c, AC 5 b, CB 5 a, AH 5 h, CH 5 m
e HB 5 n.
A
b
C
c
h
m
n
H
B
a
Nesse triângulo, identifique pelas letras minúsculas as medidas dos
seguintes elementos:
a) o cateto maior;
b) o cateto menor;
c) a hipotenusa;
d) a altura relativa à hipotenusa;
e) o segmento maior determinado pela altura sobre a hipotenusa;
f) o segmento menor determinado pela altura sobre a hipotenusa.
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Tome nota
Observe novamente o triângulo a seguir.
A
b
C
c
h
m
n
B
H
a
Você já sabe que:
HB  ​ 5 ​ ______
HA ​ 5 ​ ______
AB ​
nHBA , nHAC e: ​ ______
HA
HC
AC
h
HB  ​ 5 ​ ______
HA ​ , tem-se ​ ___
n ​ 5 ​ ____
Substituindo HB por n, HA por h e HC por m em ​ ______
m  ​.
h
HA
HC
h
n ​   5 ​ ____
2
De ​ ___
m  ​   vem que h 5 mn.
h
A fórmula h2 5 mn expressa o seguinte fato: em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina sobre essa hipotenusa dois segmentos tais que o produto de suas medidas é igual ao quadrado da medida da altura.
7. Observe os triângulos da figura e responda às questões.
A
b
C
c
h
m
n
H
B
a
AB ​ 5 ​______
a) Quais são os triângulos cuja semelhança dá origem à relação ​ ______
 CB ​?
HA CA
b) Substituindo os segmentos da proporção do item a pelas letras que representam
suas medidas, você pode concluir que a ? h 5 b ? c? Por quê?
c) Escreva com suas palavras o resultado expresso pela fórmula bc 5 ah.
8. Usando a mesma figura da atividade 7, escreva os triângulos cuja semelhança o leva-
rá a concluir que c2 5 an e b2 5 am.
Tome nota
Veja no quadro um resumo dos resultados obtidos até agora. Esses resultados são chamados
relações métricas no triângulo retângulo.
Se o triângulo CAB é retângulo e AH é a altura
relativa à hipotenusa, então:
A
b
C
c
h
m
n
H
a
B
h2 5 mn
bc 5 ah
c2 5 an
b2 5 am
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9. Em cada caso a seguir, calcule x e y. As figuras não estão em escala e
todos os números se referem à mesma unidade de medida.
12
4,5
b)
a)
9
x
y
6
y
15
7,5
x
3.O teorema de Pitágoras
Você já conhece o teorema de Pitágoras. Veja como ele pode ser
resumido por meio de uma figura e de uma fórmula.
Veja também o objeto
educacional digital
“Teorema de Pitágoras”.
A
b
c
C
a2 5 b2 1 c2
B
a
Você notou? O teorema de Pitágoras diz que a área do quadrado
construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à
soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
a2
a
c2 c
b
b2
Na estante
Usando o teorema de Pitágoras para calcular
algumas medidas em triângulos retângulos
Acompanhe, agora, como deduzir o teorema de Pitágoras usando
semelhança de triângulos e um pouquinho de Álgebra.
Nas atividades anteriores você viu que para os triângulos da figura
temos:
A
b
C
Fac-símile/FTD
xx Os catetos de um triângulo retângulo medem 1,5 cm e 2 cm.
Quanto mede a sua hipotenusa?
O livro Os peregrinos,
de Egídio Trambaiolli Neto
(coleção “O contador de
Histórias e outras histórias da Matemática”, FTD,
1998), aborda o teorema
de Pitágoras, o teorema de
Tales e as relações métricas do triângulo retângulo.
b2 5 am e c2 5 an
c
h
m
n
H
a
B
Capa do livro Os peregrinos.
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Adicionando membro a membro as igualdades b2 5 am e c2 5 an,
obtém-se:
b2 1 c2 5 am 1 an 5 a(m 1 n) 5 a 3 a 5 a2
Com isso fica demonstrado que a2 5 b2 1 c2.
10.Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente,
1,5 cm e 2 cm. Calcule a medida da hipotenusa e a medida da altura
relativa à hipotenusa.
Tome nota
Uma forma resumida de escrever o teorema de Pitágoras é:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos.
11.De acordo com as medidas indicadas na figura, calcule x e y.
A
12 cm
x
B
Para saber mais
Verificando se um
triângulo é retângulo.
Conhecendo-se a
medida dos lados a, b
e c de um triângulo, já
ordenados de modo que
a < b < c, como saber
se o triângulo é ou não
retângulo? A resposta
a essa pergunta é bem
simples: basta verificar
se a expressão numérica
a2 1 b2 5 c2 é verdadeira
ou falsa.
Por exemplo, o triângulo
de lados de medidas 2, 3
e 4 não é retângulo, pois a
igualdade 22 1 32 5 42
é falsa. Por outro lado,
o triângulo de lados de
medidas 31, 480 e 481 é
retângulo, pois a igualdade 4812 5 4802 1 312 é
verdadeira (verifique!).
y
C
13 cm
12.Observe a figura abaixo e calcule x e y.
x
13
12
9
y
13.Observe as medidas indicadas por letras
minúsculas na figura. Depois, faça o que se
pede.
a) Considerando m 5 7 e n 5 21, calcule a,
b, c e h.
b) Considerando a 5 12 e m 5 3, calcule b,
c, h e n.
3 ​  e m 5 3​cXX
2 ​ , calcuc) Considerando h 5 2​cXX
le a, b, c e n.
B
m
a
c
H
h
A
n
b
C
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Algumas aplicações do teorema de Pitágoras
Conexões
14.Uma rampa de madeira para acesso a uma plataforma de carga está apoia-
da sobre duas vigas, conforme a figura a seguir. Calcule, aproximadamente, quantos metros de viga são necessários para o apoio da rampa.
Giz de Cera/ID/BR
viga de metal
1,5 m
I.Na linha que indica
onde se pretende
levantar uma das
paredes, marca-se um
ponto P a 4 metros a
partir do seu início.
5m
15.Na figura abaixo, o cais de madeira está a
Editorial SM/Guilherme Casagrandi
uma altura de 3 metros da água, e o barco está preso ao cais por uma corda de
12 metros. Calcule a distância aproximada
d do barco ao cais sabendo que a corda
que o prende está totalmente esticada.
16.Dois aviões, A e B, partem do mesmo aeroporto O. Um segue para o
norte, e o outro, para leste. Uma hora depois da partida, a posição deN
les na tela do radar da torre de
controle é a que se vê na figuN
NO
NE
ra. A unidade de medida correspondente ao lado da grade O
E
A
do radar é 1 km.
SO
SE
Pelo que se vê no radar, qual é
S
a distância real, em linha reta,
O
E
B
entre eles?
NNO
II.Na linha que indica
onde a outra parede
deverá ser construída,
marca-se um ponto Q
a 3 metros a partir do
seu início.
III.Verifica se a distância
entre os pontos P e Q
marcados nos passos
anteriores é de 5
metros.
xxComo você pode explicar, usando seus conhecimentos matemáticos,
que o procedimento
apresentado no texto
está correto?
NNE
ONO
ENE
OSO
ESE
SSO
Triângulo retângulo e a
construção civil
A maioria das casas e
prédios, quando vistos de
cima, apresenta paredes
que formam um ângulo de
90 graus entre elas. Para
fazer construções com
essa característica, antes
de erguer as paredes,
verifica-se se elas serão
construídas formando
um ângulo reto. Veja um
procedimento comumente
usado nesse caso:
SSE
A
17. O triângulo ao lado é equilátero. Calcule
a medida h da altura desse triângulo.
h
C
D
10 cm
5 cm
B
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18.Observe a figura ao lado e obtenha uma fómula
A
que permita calcular a medida d da diagonal
de um quadrado em função da medida ℓ do
lado. B
d
D
C
19.A figura ao lado mostra um triângulo equilátero cujo lado mede ℓ e
cuja altura mede h. Faça o que se pede e obtenha uma fórmula que
relacione a medida da altura e a medida do lado desse triângulo.
ℓ  ​  2​​ ​.
a) Explique por que h2 5 ℓ2 2 ​​ ​ ___
2
c
XX
3 ​
________
b) Mostre que h 5 ​ ℓ​
 ​.  
2
3 ​ .
c) Calcule, agora, o lado de um triângulo equilátero cuja altura é 5​cXX
(  )
A
h
C
D
2
B
20.Calcule a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 6 cm.
21.Você vai deduzir a fórmula que permite calcular a me-
dida da diagonal RP de um bloco retangular em função
das medidas a, b e c de suas arestas. Para isso, observe a figura abaixo e faça o que se pede.
a) Observe, na base do bloco, o triângulo NMP. Dele se conclui que x2 5 a2 1 c2. Por quê?
y
Q
R
x
S
T
O
P
c
b
N
a
M
b) Agora, veja o triângulo amarelo RNP. Dele se conclui que y2 5 x2 1 b2. Por quê?
c) Na igualdade y2 5 x2 1 b2, substitua x2 por a2 1 c2 e extraia a raiz quadrada de
ambos os membros.
22.Use a fórmula que você acabou de deduzir para calcular a medida da diagonal de um
bloco retangular cujas medidas das arestas são a 5 1,5 cm, b 5 2 cm e c 5 6 cm.
Tome nota
Nas últimas três atividades você obteve três fórmulas importantes relacionando as
medidas:
cXX
3 ​
________
 ​  
‚‚ h da altura e ℓ do lado do triângulo equilátero: h 5 ​ ℓ​
2
‚‚ d da diagonal e ℓ do lado do quadrado: d 5 ℓ​cXX
2 ​ 
2
a2 1 b 
1 c2 ​ 
‚‚ y da diagonal e a, b e c das arestas de um bloco retangular: y 5 ​cXXXXXXXXXX
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Leitura
A geometria dos egípcios e situações do cotidiano
O maior historiador da Antiguidade foi Heródoto (cerca de 500 a.C.), o qual considera o desenvolvimento
da geometria no Egito ser consequência direta das inundações periódicas das terras cultiváveis às margens do rio
Nilo. Devido às águas das enchentes apagarem as demarcações determinadas para os terrenos de plantio, foram
criadas técnicas de mensuração, que permitissem uma maior agilidade nessa demarcação.
Foi a partir da necessidade da mensuração dos terrenos e da experiência com o meio ambiente, ou seja, da
prática da resolução desses problemas da vida cotidiana dos egípcios, que os conceitos e fórmulas geométricas
foram se desenvolvendo e se tornaram conhecidos.
[...]
O esquadro de cordas dos egípcios
Você saberia dizer como provavelmente os egípcios conseguiram traçar, com meios bem rudimentares, a
figura de um triângulo retângulo a partir dos números 3, 4 e 5?
Tudo indica que dividiam uma corda em doze partes iguais por meio de 13 nós, obtendo um artefato que
poderia ser considerado um esquadro de corda.
Giz de Cera/ID/BR
Com o auxílio de três estacas o fixavam no terreno a ser demarcado. Para tanto, primeiro, fixavam
um dos trechos da corda contendo 3, 4 ou 5 partes.
Enquanto iam tentando juntar as pontas da corda
até que as duas se encontrassem, esticavam os seus
outros dois trechos. Com esta técnica, obtinham a
forma de triângulo retângulo sobre o terreno.
Disponível em: <http://www.uff.br/cdme/tangrans_pitagoricos/saber_mais.html>.
Acesso em: 17 mar. 2012.
23.Junte-se a dois colegas e faça como os egípcios. Para facilitar, pegue um barbante,
marque com tinta de caneta os pontos de 1 a 13, igualmente espaçados, e verifique
se o triângulo obtido é retângulo.
a) Use como unidade de medida a distância entre duas marcas. Quais são, nesse
caso, as medidas de cada um dos catetos e da hipotenusa?
b) Use, agora, um barbante com o dobro do comprimento do primeiro, marque com
tinta de caneta os pontos de 1 a 13, igualmente espaçados, e repita a experiência.
O triângulo ainda é retângulo?
c) Usando como unidade de medida a distância entre os dois nós do primeiro barbante, quais serão as medidas do segundo triângulo?
d) O segundo triângulo é semelhante ao primeiro? Por quê?
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Retomar e concluir
O capítulo termina aqui. Você estudou muitas coisas! E continuará estudando muito mais!
Esta seção ajudará você a avaliar sua aprendizagem sobre os temas abordados neste capítulo. Descubra
o quanto você aprendeu!
Sucesso em sua autoavaliação!
Será que eu sei...
Vou conferir fazendo as atividades...
1. ... identificar triângulos retângulos semelhantes?
2. ... identificar os principais elementos de um triângulo retângulo?
3. ... usar as relações métricas no triângulo retângulo para calcular as medidas de seus principais elementos?
... 26, 27 e 38
... 34, 35, 36, 37 e 38
... 27 e 31
... 24, 25, 27, 28, 29, 30,
32, 33, 34, 35, 36 e 37
4. ... aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de problemas?
ATIVIDADES sobre o capítulo
24.Verifique se são triângulos retângulos os
28.A área de um trapézio isósceles é 40 cm2
triângulos cujos lados medem:
a) 3, 4 e 5
c) 48, 55 e 73
b) 10, 12 e 20
d) 7, 10 e 15
e suas bases medem, respectivamente,
13 cm e 7 cm. Calcule o perímetro e a medida da diagonal desse trapézio.
25.Calcule a medida da diago-
15 cm
nal maior do losango mostrado ao lado:
A
B
E
F
D
20 cm
26.Dadas as medidas do triângulo abaixo,
calcule x.
C
29.A figura a seguir representa um cubo cuja
2 ​ cm.
 
Calcule o perímetro
aresta mede 2​cXX
do retângulo azul.
8 cm
x
5 cm
17 cm
27. Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD é
um retângulo. Calcule m e x.
A
6 cm
B
30.Qual é o perímetro do polígono a seguir?
m
30 m
E
x
8 cm
U
80 m
70 m
V
D
C
A
160 m
200 m
G
100
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31.O triângulo que aparece no telhado da
fachada da casa é retângulo isósceles.
Calcule a medida h da altura da fachada.
h
8m
de lado de medida x.
A aresta dessa pirâmide mede a, a altura
mede h e E é o ponto
médio da diagonal AC.
Escreva uma fórmula
relacionando h, a e x.
V
h
C
D
E
B
A
36.Faça o que se pede.
12 m
32.Na figura a seguir estão indicadas, com co-
res diferentes, três possibilidades que um
eletricista tem para passar um fio do ponto
A ao ponto B. Qual das possibilidades ele
deve escolher para gastar a quantidade mínima de fio?
A
4,20 m
35.A base da pirâmide da figura é um quadrado
a) Escreva as coordenadas dos pontos A
e B vistos na figura abaixo.
b) Calcule a distância entre eles, isto é, calcule a medida de AB.
y
5
A
4
3
2
C
2,70 m
B
1
E
F
8m
0
B
33.Do alto de uma rampa solta-se uma esfera
conforme se vê na figura. Calcule a distância, em metro, percorrida por essa esfera
do ponto A ao ponto C.
A
1
2
3
4
5
6
7
x
37. Calcule a distância entre dois pontos, M
e N, cujas coordenadas são M (12, 9) e
N (20, 15).
38.Desenhe dois triângulos retângulos que não
sejam semelhantes e explique por escrito
por que não existe semelhança entre eles.
80 cm
60 cm
B
C
150 cm
34.A escada cuja figura se vê abaixo tem
10 degraus, cada um com 17 cm de altura
e 26,4 cm de largura. Calcule a medida do
corrimão, representado pelo segmento DE.
E
C
D
A
B
Fazendo um resumo
Faça o que se pede.
xx Escreva as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos, ABC e DEF,
sejam semelhantes.
xx Desenhe um triângulo retângulo e a altura
relativa à hipotenusa. Nomeie os vértices
com letras maiúsculas e os comprimentos
dos segmentos com letras minúsculas. A
partir do seu desenho, escreva as fórmulas
obtidas no capítulo, por meio de semelhança de triângulos retângulos.
xx Escreva com suas palavras o enunciado do
teorema de Pitágoras.
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