Logica Matematica e Elementos de Logica Digital - UFMT

Apresentação
 Plano de ensino
Curso
 Conceitos básicos de lógica – lógica
proposicional
 Comportamento analógico e digital
 Álgebra booleana e circuitos lógicos
 Circuitos combinacionais
 Circuitos sequenciais
 Circuitos de memória
 Introdução ao Microprocessador
Lívia Lopes Azevedo
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O que é lógica?


Embora existam muitas definições para o
campo de estudo da lógica, essas definições
não diferem essencialmente umas das outras;
há um certo consenso entre os autores de
que a Lógica tem, por objeto de estudo, as
leis gerais do pensamento, e as formas de
aplicar
essas
leis
corretamente
na
investigação da verdade.
Lógica é a análise de métodos de raciocínio.
Lívia Lopes Azevedo
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Breve Retrospecto
PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.)
A história da Lógica tem início com o filósofo grego
Aristóteles (384 - 322a.C.) na Macedônia.
Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era
a teoria do silogismo (certa forma de argumento
válido).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) merece ser
citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca
influência nos 200 anos seguidos e só foram
apreciados e conhecidos no século XIX .
Lívia Lopes Azevedo
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Breve Retrospecto
PERÍODO BOOLEANO :(± 1840 a ± 1910)
George Boole (1815-1864) e Augustus De
Morgan (1806-1871).
Gotlob Frege (1848-1925) – suas ideias foram
reconhecidas depois de 1905 – avanço lógica
Giuseppe Peano (1858-1932)
matemática - escola
Lívia Lopes Azevedo
- simbologia
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Breve Retrospecto
PERÍODO ATUAL: (1910- ........)
Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North
Whitehead (1861-1947)
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alemã com
von Neuman, Bernays, Ackerman e outros
Kurt Gödel (1906-1978) e Alfred Tarski (19021983)
Lívia Lopes Azevedo
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Há outros pontos de vista para a lógica
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Clássica, baseada em linguagem natural
Matemática ou simbólica
 Booleana
 Circuitos
Modal
Plurivalente
Nebulosas (fuzzy)
Probabilisticas
Intucionista
Lívia Lopes Azevedo
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Linguagem natural
«o produto de um número pela soma de dois
outros é igual ao produto do primeiro pelo
segundo somado ao produto do primeiro pelo
terceiro »
Linguagem simbólica ou formal
« Se x, y, z são números, arbitrários,
x.(y+z) = x.y + x.z »
Objetivo da linguagem simbólica é exprimir com
correção e exatidão o pensamento e os resultados
do conhecimento científico.
Lívia Lopes Azevedo
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Lógica é a análise de métodos de raciocínio.
No estudo desses métodos a lógica esta interessada,
principalmente, na forma e não no conteúdo dos
argumentos.
«Todo homem é mortal.
Sócrates é um homem.
Portanto, Sócrates é mortal. »
« Todo cão late.
Totó é um cão.
Logo, Totó late. »
Do ponto de vista da lógica, esses argumentos têm a
mesma estrutura e forma.
« Todo X é Y. Z é um X. Logo Z é Y ».
Lívia Lopes Azevedo
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Toda linguagem necesssita de um alfabeto e uma
fórmula ou expressão.
Alfabeto – formado por todo os simbolos matemáticos e letras
do alfabeto latino e grego. (α, a, +, є, V, F)
Expressão – formada pela concatenação de simbolos do
alfabeto
Ex. a + y
3 є (3, 5, 7)
Linguagem de programacão
Abce
não se refere, até o momento, a palavra do alfabeto
+ 3 = є 7 x nao se refere a um objeto ou expressão matematica,
logo não é uma expressão
Lívia Lopes Azevedo
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O conceito mais elementar no estudo da lógica
é o de Proposição (ou enunciado).
Proposição é uma sentença declarativa cujo
conteúdo poderá ser considerado verdadeiro
ou falso.
Quando falarmos em valor lógico referimos a um
dos dois possíveis juízos que atribuiremos a
uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).
Lívia Lopes Azevedo
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Uma proposição (ou enunciado) exprime um
pensamento de sentido completo.
Passa-se a pensar se a afirmação é verdadeira ou
falsa.
Exemplos:
A lua é satelite da terra
3x5 = 5x3
Pedro estuda e trabalha
João é programador
5 < 12
Lívia Lopes Azevedo
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Expressões da forma:
Que dia lindo!
Qual o seu nome?
Escreva um artigo.
Não são consideradas proposições
Em lógica consideramos apenas as proposições
que são declarativas e que só admitem dois
valores: verdadeiro (V) ou falso (F), um excluindo
o outro.
Ex.
« duas retas de um plano são paralelas ou
concorrentes »
Lívia Lopes Azevedo
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Considere o seguinte:
a. Dez é menor do que sete.
b. Como vai você?
c. Ela é muito talentosa.
d. Existem formas de vida em outros planetas do
universo.
A frase (a) é uma proposição porque é falsa.
Como o item (b) é uma pergunta, não pode ser considerado
nem verdadeiro nem falso. Não tem valor-verdade e,
portanto, não é uma proposição.
Na frase (c) a palavra ela é uma variável e a frase não é
verdadeira nem falsa, pois ela não está especificada;
portanto, (c) não é um enunciado.
A frase (d) é um enunciado porque é verdadeira ou falsa;
independentemente de sermos capazes de decidir qual
dos dois.
Lívia Lopes Azevedo
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A



lógica matematica adota como regras
fundamentais três princípios ou axiomas:
Princípio da identidade
- Uma proposição
verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é
falsa.
Princípio da Não-Contradição - Nenhuma
proposição poderá ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
Princípio do Terceiro Excluído Uma
proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não
há outra possibilidade.
Lívia Lopes Azevedo
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Exemplos de proposições
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–
–
–
–
–
Vasco da Gama descobriu o Brasil (F)
Jorge Amado escreveu « mar morto » (V)
¾ é um número inteiro (F)
Brasilia é capital do Brasil (V)
O maior jogador do mundo é Maradona (F)
A copa de 2014 foi realizada no Brasil (V)
joaquim Barbosa foi ministro do STF (V)
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Proposições podem ser ditas simples ou compostas.
Proposições simples:
 Todo homem é mortal.
 O novo papa é argentino.
Proposição composta:
 João é médico e Pedro é dentista.
 Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
 Ou Luís é baiano, ou é paulista.
 Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.
 Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar
na loteria.
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As partículas (vocábulos) lógicas: e, ou, não, se
... então desempenham importante papel no
estabelecimento das disciplinas, pois a partir
de proposições simples podem ser formados
proposições compostas.
Normalmente
as
proposições
são
representadas por letras do alfabeto latino ou
grego (p, q, t, α, β...)
p: Mario é professor
Lívia Lopes Azevedo
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Uma proposição logicamente verdadeira é
aquela cuja verdade depende exclusivamente
do arranjo de certas expressões, ditos
vocabulos lógicos, e não de um texto
empirico ou observacional. Esses vocabulos
são: e, ou, não, se ... então, todo.
Ex.
« Sócrates é mortal ou Sócrates não é mortal. »
« João é cuiabano ou João não é cuiabano. »
« todo homem é mortal e Sócrates é homem,
então Sócrates é mortal. »
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Proposições simples
p: 5 < 8
q: o novo papa é argentino
r: João é médico
s: Pedro é analista
 proposições compostas
w= junção de r e s: João é médico e Pedro é
analista
t: comprarei um carro se e somente se ganhar
dinheiro
v: Paulo é matogrossense ou é goiano

Lívia Lopes Azevedo
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A
veracidade de uma proposição simples é
imediata, enquanto a veracidade de uma
proposição composta depende de duas coisas:
1) do valor lógico das proposições compostas,
2) do tipo de conectivo lógico que as une.
Conectivos a serem estudados:
e, ou, não, se ... então, se somente se
Lívia Lopes Azevedo
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Referencia:

Daghlian, J. Lógica e Álgebra de Boole, Atlas, São Paulo, 1995.

Cesar, A. Mortari. Introdução à Lógica, Ed. Unesp, São Paulo, 2001.

Sousa, J. N. Lógica para a Ciência da Computação, Ed. Campus, São
Paulo, 2002.
Site de interesse:
http://www.pucsp.br/~logica/Desenvolvimento.htm

Lívia Lopes Azevedo
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