probabilidade -na é

Estatística para Economia e Gestão
REVISÕES SOBRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISCRETAS E CONTÍNUAS
Primavera 2008/2009
1
Variável Aleatória:
• Definição: uma variável aleatória é uma função que atribui a
cada elemento do espaço de resultados S, um número real.
• De uma forma simples, podemos classificar uma variável
aleatória como sendo DISCRETA ou CONTÍNUA
Quando S é finito ou
infinito numerável
Inverno 2007/2008
Quando S não é
numerável
2
A- Variáveis Aleatórias Discretas:
Lei de Probabilidade: uma função f é uma lei de probabilidade de
uma variável aleatória discreta X se e só se:
1.
1.
f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ DX
∑
f ( x) = 1
x∈DX
Inverno 2007/2008
3
A- Variáveis Aleatórias Discretas:
Se X é uma variável aleatória discreta, a função real de variável
real dada por
F=
PX ( X =
≤ x)
X ( x)
∑f
t≤x
X
(t ) para − ∞ < x < +∞
onde f X (t ) é o valor da lei de probabilidade de X em t, designa-se
função distribuição ou função cumulativa da variável aleatória
discreta X
Inverno 2007/2008
4
A- Variáveis Aleatórias Discretas:
• O Valor Esperado de uma variável discreta X, se existir, é dado
por:
E ( X ) = ∑ xi f ( xi ) = x1 f ( x1 ) + x2 f ( x2 ) + x3 f ( x3 ) + ...
i
• Note que o Valor Esperado de uma função de X é dado por:
E [u ( X ) ] = ∑ u ( xi ) f ( xi ) = u ( x1 ) f ( x1 ) + u ( x2 ) f ( x2 ) + u ( x3 ) f ( x3 ) + . . .
i
Inverno 2007/2008
5
A- Variáveis Aleatórias Discretas:
• A Variância de X é dada por:
Va (rX ) =σ 2 =E ( X − µ ) 2 =E ( X 2 ) − E 2 ( X ) =∑ ( xi − µ ) 2 f ( xi )
i
• Note que a Variância de uma função de X é dada por:
Va
=
ru
[ ( X )] E u ( X )2  − E 2 [u ( X )]
Inverno 2007/2008
6
A- Variáveis Aleatórias Discretas:
• Teoremas importantes:
1- Se ( X , Y ) for uma variável bidiomensional discreta com função
probabilidade f ( X , Y ) , e se existirem
E ( X ) e E (Y ) , então:
E (aX + bY=
) a.E ( X ) + b.E (Y )
2- Se X e Y forem variáveis aleatórias discretas e independentes, com
função probabilidade conjunta f ( X , Y ) , e se existirem
então:
E ( X ) e E (Y )
,
E ( XY ) = E ( X ) E (Y )
Inverno 2007/2008
7
A- Variáveis Aleatórias Discretas:
3- Se existirem segundos momentos para as variáveis aleatórias X e Y,
então:
Var (aX ± =
bY ) a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) ± 2ab cov( X , Y )
X , Y ) E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
em que cov(=
4- Se X e Y forem independentes, cov( X , Y ) = 0 , implicando que:
Var (aX ± =
bY ) a 2Var ( X ) + b 2Var (Y )
Inverno 2007/2008
8
A - Distribuições Discretas Clássicas
1- Uniforme Discreta
2- Bernoulli
3- Binomial
4- Hipergeométrica
5- Binomial Negativa
6- Poisson
Para estas distribuições vamos rever:
– Lei de probabilidade
– Valor esperado
– Variância (desvio padrão)
Inverno 2007/2008
9
1- Distribuição Uniforme Discreta
• Definição:
A variável aleatória X tem uma distribuição uniforme discreta se e
só se a sua lei de probabilidade é dada por
1
f ( xi ) = P ( X = xi ) = para xi = x1 , x2 ,, xn
n
Inverno 2007/2008
10
1- Distribuição Uniforme Discreta
• Valor esperado
∑x
1
E ( X ) = ∑ xi = i
n
n
i
• Variância
i
∑x
V ( X ) =E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = i
Inverno 2007/2008
2
i
n
 ∑ xi
− i
 n







2
11
1- Distribuição Uniforme Discreta
• Caso particular
• Temos que
xi = i, com i = 1, 2,, n
1 n
1 n
E ( X ) = ∑ xi = ∑ i
n i =1
n i =1
1

1 +
2+
= (
+
n)



n
1
1+ n
=
n
2
n
n +1
=
2
Inverno 2007/2008
12
1- Distribuição Uniforme Discreta
• Temos que
1 n 2 1 n 2
E ( X ) = ∑ xi = ∑ i
n i =1
n i =1
1
= (1 + 22 + 32 +  + n 2 )

n 
2
1 n(n + 1)(2n + 1)
=
6
n
(n + 1)(2n + 1)
=
6
(n + 1)(2n + 1)  n + 1  n 2 − 1
V (X ) =
−
 =
6
12
 2 
2
• E que
Inverno 2007/2008
13
2- Distribuição de Bernoulli
• Definição:
A variável aleatória X tem a distribuição de Bernoulli se e só se a
sua lei de probabilidade é dada por
1 − p, x = 0
f ( x) = 
x =1
 p,
com 0< p <1, ou seja,
f ( x) = p x (1 − p )1− x , x = 0, 1
- Uma prova de Bernoulli só tem dois resultados: sucesso ou insucesso
Inverno 2007/2008
14
2- Distribuição de Bernoulli
• Valor Esperado
E( X ) =
1
x
1− x
xp
(1
−
p
)
= (0)(1 − p ) + (1)( p ) = p
∑
x =0
• Variância
1
V ( X ) = ∑ ( x − p ) 2 p x (1 − p )1− x =
x =0
= (0 − p ) 2 (1 − p ) + (1 − p ) 2 p = p (1 − p )
Inverno 2007/2008
15
3- Distribuição Binomial
• Definição:
Uma experiência aleatória binomial satisfaz as seguintes
propriedades
a) Uma prova de Bernoulli é repetida n vezes
b) As provas são independentes
c) A probabilidade de sucesso em cada prova é constante e igual a
p; a probabilidade de insucesso é 1- p
Inverno 2007/2008
16
3- Distribuição Binomial
• Definição:
A variável aleatória X tem uma distribuição binomial se e só se a
sua lei de probabilidade é dada por
B( x; n, p ) =  n  p x (1 − p ) n − x , x = 0, 1, 2,  , n e p ∈ (0,1)
 x
Trata-se da probabilidade de se obterem x sucessos em n provas
de Bernoulli
Inverno 2007/2008
17
3- Distribuição Binomial
• Valor Esperado
• Variância
E ( X ) = np
V ( X ) = np (1 − p )
Inverno 2007/2008
18
3- Distribuição Binomial
• A Binomial diz-nos qual a probabilidade de obter x sucessos em
n provas, sendo que a probabilidade de sucesso em cada prova
está fixa
• As provas são independentes
• Isto é uma situação de amostragem com reposição
A distribuição do nº de sucessos em n provas quando a amostragem
é feita sem reposição segue uma distribuição Hipergeométrica
Inverno 2007/2008
19
4- Distribuição Hipergeométrica
• Definição:
A variável aleatória X tem a distribuição hipergeométrica se e só
se a sua lei de probabilidade é dada por
 M  N − M 
 x  n − x 

P ( X = x) = hip( x; n, M , N ) =  
N
n 
 
com x = 0,1,...,n , M ≥ x e N − M ≥ n − x
Inverno 2007/2008
20
4- Distribuição Hipergeométrica
• Valor Esperado
• Variância
M
E( X ) = n
N
M N −M N −n
V (X ) = n
N N N −1
Inverno 2007/2008
21
5- Distribuição Binomial Negativa
•
É a distribuição do número de provas de bernoulli até se obter o késimo sucesso
•
A variável aleatória X tem distribuição binomial negativa se e só se
a sua lei de probabilidade é dada por
 x − 1 k
P( X= x=
) bin * ( x, k , p=
)   p (1 − p) x −k
 k − 1
com
x= k , k + 1, k + 2 + ... e 0 < p < 1
Inverno 2007/2008
22
5- Distribuição Binomial Negativa
• Valor Esperado
• Variância
k
E( X ) =
p
k1 
V=
(X )
 − 1
p p 
Inverno 2007/2008
23
6- Distribuição de Poisson
•
Uma variável aleatória tem distribuição de Poisson se e só se a
sua lei de probabilidade é dada por
e−λ λ x
P( X= x=
) poi ( x; λ=
)
x!
=
com x 0,1, 2,... e λ > 0
•
Esta distribuição diz-nos o número de sucessos obtidos numa
determinada unidade de medida
Inverno 2007/2008
24
6- Distribuição de Poisson
•
O número de sucessos que ocorre em intervalos de tempo não
sobrepostos é independente
•
A probabilidade de um sucesso ocorrer num determinado
intervalo de tempo é proporcional à duração desse intervalo
•
Valor Esperado
E( X ) = λ
•
Variância
V (X ) = λ
Inverno 2007/2008
25
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
• Uma variável aleatória X é chamada contínua se S é um intervalo
ou de uma colecção de intervalos
•
Se X é uma variável aleatória contínua então a função f com
domínio real e contradomínio [0,+∞) com as propriedades
1.
1.
f ( x) ≥ 0, ∀x
∫
+∞
−∞
f ( x)dx = 1
designa-se por função densidade de X
Inverno 2007/2008
26
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
• Se X é uma variável aleatória contínua, a função real de variável
real, com domínio ℜ , dada por
FX ( x) = PX ( X ≤ x) = ∫−∞ f X (t )dt para − ∞ < x < +∞
x
onde f X é a função densidade de X, chama-se a função de
distribuição, ou função cumulativa, da variável aleatória
contínua X
Inverno 2007/2008
27
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
• Propriedades da função de distribuição:
1.
F (−∞) = 0
2.
F (+∞) = 1
3.
F é monotóna não decrescente
4.
P(a < X < b)= F (b) − F (a )
Inverno 2007/2008
28
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
• Se a função densidade da v.a. contínua X é dada por
0 ≤ x ≤1
 x,

f ( x) = 0 ,
1< x < 2
3 − x, 2 ≤ x ≤ 3

qual é a expressão da função de distribuição de X ?
Inverno 2007/2008
29
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
x
x2
t 
Para 0 ≤ x ≤ 1 temos F ( x) = ∫ t dt =   =
0
 2 0 2
2
x
Para
1 < x < 2 temos F ( x) =
Para
2≤ x≤3
1
2
temos
x
1
1 
t  1
x2
F ( x) = + ∫2 (3 − t ) dt = + 3t −  = + 3 x − − 4
2
2 
2 2 2
2
2
x
Inverno 2007/2008
30
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
F ( x) = ∫−∞
x
 x2
0 ≤ x ≤1
2 ,

1
f (t )dt =  ,
1< x < 2
2

x2 7
3 x − 2 − 2 , 2 ≤ x ≤ 3

Inverno 2007/2008
31
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
• O Valor Esperado de uma variável contínua X, se existir, é dado por
+∞
E ( X ) = ∫−∞ x f ( x)dx
= ∫D x f ( x)dx
X
Inverno 2007/2008
32
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
• Se a função densidade da v.a. contínua X é dada por
1
 x, 0 ≤ x ≤ 2
f ( x) =  2
0 , outros valores de x
qual é o valor esperado de X ?
=
E( X )
∫
2
0
2
1
1 x 
4
1 
2
x =
x  dx
=
x
dx
=
2 ∫0
2  3  0 3
2 
2
Inverno 2007/2008
3
33
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
• A variância de uma variável aleatória contínua X, se existir, é dada
por
E( X − µ ) =
2
∫
+∞
−∞
( x − µ ) 2 f ( x)dx
= E(X
=
∫
DX
2
)−E(X )
2
= E ( X 2 ) − µ2
x 2 f ( x)dx − µ 2
Inverno 2007/2008
34
B- Variáveis Aleatórias Contínuas:
•
Se a função densidade da v.a. contínua X é dada por
1
 x, 0 ≤ x ≤ 2
f ( x) =  2
0 , outros valores de x
qual é a variância de X ?
2
1  x4 
2
2
21 
2
V ( X ) =E ( X ) − µ =∫ x  x dx − µ =   − 1.52 =2 − 1.52
0
2  4 0
2 
2
Inverno 2007/2008
35
B - Distribuições Contínuas Clássicas
1- Uniforme Contínua
2- Normal
3- Exponencial
4- Qui-Quadrado
5- Gama*
6- T-Student
7- F-Snedcor*
* não abordadas nesta apresentação
Para algumas destas distribuições vamos relembrar:
– Função Densidade e Função Cumulativa
– Valor esperado
– Variância (desvio padrão)
Inverno 2007/2008
36
1- Distribuição Uniforme Contínua
• A variável aleatória X tem uma distribuição uniforme contínua
se e só se a sua função densidade é dada por
 1
b − a , a ≤ x ≤ b

f ( x ; a, b) = 
 0 , outros

Simbolicamente, X~U [a,b]
Inverno 2007/2008
37
1- Distribuição Uniforme Contínua
• Função Cumulativa
F ( x) =
1
1
[t ]ax = x − a
dt =
ab−a
b−a
b−a
∫
x
b
1
1  x2 
a+b
• Valor Esperado =
E( X ) ∫ =
x
dx =
a
b−a
b − a  2  a
2
b
• Variância
(b − a ) 2
V (X ) =
12
Inverno 2007/2008
38
2- Distribuição Normal
• A variável aleatória T tem distribuição normal se e só se a sua
função densidade é dada por
 1  x − µ  2 
1
f ( x; µ , σ )
exp − 
=
 
σ
2
σ 2π
 
 
com −∞ < x < +∞ e σ > 0
Inverno 2007/2008
39
2- Distribuição Normal
• É a distribuição contínua mais importante devido às suas
propriedades
• É uma distribuição limite de outras distribuições (por exemplo
Binomial e Poisson)
• Função Cumulativa
 1  t − µ  2 
1
F ( x; µ , σ ) ∫
exp − 
=
 dt
 2  σ  
−∞ σ 2π
x
Inverno 2007/2008
40
2- Distribuição Normal
Se X ∩ N ( µ , σ ) então:
• Valor Esperado
E( X ) = µ
• Variância
V (X ) = σ 2
Inverno 2007/2008
41
2- Distribuição Normal
• Como não se conhece a solução analítica da função cumulativa da
distribuição Normal, teremos de recorrer a métodos de análise
numérica
• Distrbuição Normal Standardizada
Se
X ∩ N ( µ , σ ) →=
Z
E (Z ) = 0
X −µ
σ
∩ N (0,1)
V (Z ) = 1
Inverno 2007/2008
42
3- Distribuição Exponencial
• A variável aleatória T tem distribuição exponencial se e só se a
sua função densidade é dada por
t<0
0
f (t , λ ) =  − λt
t≥0
λ e
com λ > 0
Inverno 2007/2008
43
3- Distribuição Exponencial
• Permite-nos calcular o tempo de espera:
– Antes de ocorrer o 1º sucesso num processo de Poisson
– Ente sucessos gerados por um processo de Poisson
• Função Cumulativa
F (t ) =P(T < t ) =1 − e − λt
Inverno 2007/2008
44
3- Distribuição Exponencial
• Valor Esperado
• Variância
E( X ) =
V (X ) =
1
λ
1
λ2
Inverno 2007/2008
45
4- Distribuição do Qui-Quadrado
• Uma variável aleatória tem distribuição do Qui-Quadrado se e só
se a sua função densidade é dada por
1
( r / 2 ) −1 − x / 2
f ( x; r ) =
x
e
r/2
Γ(r / 2)2
com x ∈ [ 0; +∞) e r inteiro positivo
X ∩ χ 2( r )
Inverno 2007/2008
46
4- Distribuição do Qui-Quadrado
• Valor Esperado
E( X ) = r
• Variância
V ( X ) = 2r
• r é o número de graus de liberdade
Inverno 2007/2008
47
6- Distribuição T-Student
• Considerem-se duas variáveis aleatórias independentes, U e V,
tais que U ∩ N (0,1) e V ∩ χ (2n ) .
• Então, a variável T dada por
=
T
U
∩ t ( n)
V /n
segue uma distribuição T-Student com n graus de liberdade
Inverno 2007/2008
48
6- Distribuição T-Student
X −µ
′2
−
(
n
1)
S
• Assim, se
e V
=
∩ N (0,1)
U
=
∩ χ (2n −1)
2
σ/ n
σ
então, a variável
X −µ
∩ t (n − 1)
S′ / n
segue uma distribuição T-Student com n-1 graus de liberdade
Inverno 2007/2008
49
6- Distribuição T-Student
• Valor Esperado
• Variância
E( X ) = 0
n
V (X ) =
n−2
(para n > 2)
• Nota: à medida os graus de liberdade aumentam, a
distribuição T-Student tende para a normal standardizada
Inverno 2007/2008
50