Aula 00 (Parte 1) - Números Reais

CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral de Riemann, cálculo de primitiva, aplicações da integral.
LIVRO TEXTO: STEWART, James. Cálculo. Volume 1. 7 edição. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
a
Aula Introdutória: Números, Desigualdades e Módulo
Objetivos da Aula
• Representar geometricamente o conjunto R dos números reais;
• Resolver desigualdades com números reais usando suas propriedades;
• Resolver desigualdades contendo valor absoluto de números reais usando suas propriedades;
• Denir valor absoluto de um número real e apresentar algumas de suas propriedades.
1
Número Reais
O conjuntos dos números reais, denotado por R, é a base do cálculo. Os números deste conjunto podem
ser positivos, negativos ou zero e podem ser classicados como racional ou irracional. Um número racional
é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Isto é, um número racional
é da forma p/q , onde p e q são números inteiros e q 6= 0. Os números racionais podem ser:
• Números inteiros:
..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
• Frações:
1
2
,−
• Números decimais exatos:
1, 7 =
3
7
17
10
46 =
46
1
− 3, 15 = −
63
50
• Dízimas periódicas:
0, 333... =
1
= 0, 3
3
1, 285714285714... = 1, 285714
Os números reais que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos na forma p/q , são chamados
números irracionais. Esses números não são decimais exatos e nem dízimas periódicas. Por exemplo:
√
2 = 1, 414213562373095...
π = 3, 141592653589793...
Ao pararmos a expansão decimal de qualquer número em uma certa casa decimal, obtemos uma aproximação dele. Por exemplo, podemos escrever:
π ≈ 3, 14159265
1
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onde o símbolo ≈ deve ser lido como "é aproximadamente igual a". Quanto mais casas decimais forem
mantidas, melhor será a aproximação obtida.
Em R podemos denir duas operações denominadas de adição e multiplicação:
(R, +, ·).
Se a e b forem elementos de R, a + b denotará a soma de a e b, enquanto que, a · b denotará a sua
multiplicação. Em relação a estas operações, valem as seguintes propriedades:
1. (Comutatividade da adição) a + b = b + a
2. (Associatividade da adição) a + (b + c) = (a + b) + c
3. (Existência do elemento neutro para a adição) a + 0 = 0 + a = a
4. (Inverso aditivo) para cada a ∈ R existe sempre um elemento de R, denotado por −a que satisfaz
a + (−a) = 0. É chamado de elemento simétrico, oposto ou inverso aditivo.
5. (Comutatividade da multiplicação) ab = ba
6. (Associatividade da multiplicação) a(bc) = (ab)c
7. (Distributividade da multiplicação em relação a adição) a(b + c) = ab + ac
8. (Existência do elemento neutro para a multiplicação)1a = a
9. (Inverso multiplicativo) para cada a ∈ R∗ , sempre existe um elemento de R, denotado por
1
satisfaz a
= 1. É chamado de elemento inverso ou inverso multiplicativo de a.
a
1.1
1
que
a
Reta numérica
Os números reais podem ser representados por pontos sobre uma reta. A direção positiva (à direita) é
indicada por uma echa, conforme a gura abaixo.
A construção da reta numérica é feita escolhendo-se aleatoriamente um ponto de referência arbitrário, O,
denominado origem, que corresponde ao número real 0. De acordo com a unidade de medida estabelecida,
cada número positivo x é representado pelo ponto da reta que está a x unidades de distância, à esquerda
da origem e cada número negativo −x é representado pelo ponto sobre a reta que está a x unidades de
distância, à esquerda da origem.
Figura 1: Representação de um número na reta numérica
Desta forma, todo número real é representado por um ponto na reta, e todo ponto P sobre a reta
corresponde a único número real. Este número real associado ao ponto P , chamamos de abscissa ou
coordenada de P .
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2
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2
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Desigualdades em R
Como dissemos anteriormente, é possível denir em R duas operações: adição e multiplicação. Estas
operações tem as seguintes propriedades:
1. A soma de números reais positivos é um número real positivo.
2. O produto de números reais positivos é um número real positivo.
Os números reais são ordenados. A seguir, apresentaremos a seguinte denição:
Denição 1. Dados números reais x e y , dizemos que x é menor do que y e escrevemos x < y , se a
diferença y − x é um número real positivo.
Se x < y , dizemos também que y é maior do que x e escrevemos y > x. Geometricamente, x < y
indica que x está à esquerda de y na reta real.
Usa-se também a notação x ≤ y para indicar que x < y ou x = y , ou seja, a diferença y − x é um
número real positivo ou nulo.
2.1
Propriedades das desigualdades em
R
Para quaisquer números reais x, x0 , y e y 0 são válidas as seguintes propriedades:
1. Se x < y e y < z , então x < z .
2. Se x < y , então x + z < y + z , qualquer que seja o número real z .
3. Se x < y e x0 < y 0 , então x + x0 < y + y 0 .
4. Se x < y , então xz < yz , para qualquer número real positivo z .
5. Se x < y , então yz < xz , para qualquer número real negativo z .
6. Se x < y e x0 < y 0 , então xx0 < yy 0 , desde que x0 e y 0 sejam números reais positivos.
7. x2 > 0, para todo x 6= 0 (o quadrado de qualquer número real não nulo é sempre positivo).
8. Se x > 0, então
1
x
> 0.
9. Se 0 < x < y , então 0 <
multiplicativo.
3
1
y
<
1
x
(quanto maior for um número positivo, menor será o seu inverso
Intervalos
Sejam a e b dois números reais, com a < b. Dizemos que um número real x está entre a e b, se a < x
e x < b.
Figura 2: a < x < b
Podemos dizer isto escrevendo:
a < x < b.
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3
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O conjunto formado por todos os números reais que satisfazem a desigualdade anterior é chamado de
intervalo aberto. Mas precisamente, se a < b são números reais, os subconjuntos de R abaixo descritos são
chamados de intervalos:
Observamos que:
• Os números a e b são chamados os extremos do intervalo, os quais podem ou não fazer parte do
intervalo. Indicamos isto na notação usando colchetes para a inclusão e parênteses para a exclusão do
extremo. Na reta real a inclusão e a exclusão são representadas, respectivamente, pela bolinha cheia
(dizemos que o intervalo é fechado) e a bolinha vazia (dizemos que o intervalo é aberto);
• Os primeiros quatro intervalos dados no quadro acima são ditos limitados, os demais são ilimitados;
• +∞ e −∞ não são números reais, mas apenas notações para indicar intervalos ilimitados;
• Na denição de intervalo consideramos sempre a < b. Quando a = b, o conjunto [a, a] = {a}
chama-se um intervalo degenerado e (a, a) = 0/.
• Como os intervalos são conjuntos, podemos efetuar com eles as operações usuais de conjuntos, tais
como união e interseção.
4
Inequações
Resolver uma inequação é encontrar valores de x que satisfaz uma desigualdade. Os valores de x que
satisfaz a inequação são conhecidos como conjunto solução, geralmente representado por um intervalo.
Exemplo 1. Resolva a inequação:
x + 2 < 4x + 3.
Solução: Podemos resolver de várias maneiras. Usando a propriedade 2, para z = −2
x + 2 − 2 < 4x + 3 − 2
x < 4x + 1
e agora subtraindo 4x de ambos os membros (propriedade 2, com z = −4x):
x − 4x < 4x + 1 − 4x
−3x < 1
Dividindo ambos os membros por −3 (propriedade 5, muda o sinal da desigualdade):
−3x
1
>
−3
−3
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resulta
1
x>− .
3
1
O conjunto solução desta inequação é o intervalo − , +∞ , isto é, os valores de x que são maiores
3
1
que − .
3
Observação 1. Para resolver uma inequação não é necessário constar todas as propriedades utilizadas nas
etapas da resolução. Você pode resolver usando as regras da desigualdade ao mesmo tempo, como se segue:
x + 2 < 4x + 3
x − 4x < 3 − 2
−3x < 1
1
x > − .
3
Exemplo 2. Resolva a inequação:
5 < 2x − 1 ≤ 11.
Solução: Resolvendo as duas desigualdades simultaneamente somando 1 nos três membros, obtemos:
5 + 1 < 2x ≤ 11 + 1
6 < 2x ≤ 12
3<
x
≤ 6.
Portanto, o conjunto solução é (3, 6].
Exemplo 3. Resolver a inequação:
x3 − 3x2 > 10x.
Solução: Resolver a inequação x3 − 3x2 > 10x é o mesmo que resolver x3 − 3x2 − 10x > 0 ou ainda
x(x2 − 3x − 10) > 0. Note que 0, −2 e 5 são as raízes da equação x(x2 − 3x − 10) = 0. Para resolver esta
inequação, vamos fazer o estudo do sinal de ambos os fatores do produto x(x2 − 3x + 10). Temos que:
Assim, o conjunto solução da inequação x(x2 − 3x − 10) > 0 é (−2, 0) ∪ (5, +∞).
5
Valor Absoluto
Denição 2. O valor absoluto ou módulo de um número real x, indicado por |x|, é denido por:
|x| =
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
É importante destacar que |x| é a distância de x até 0, na reta real. Como as distâncias são sempre
positivas ou zero, temos:
|x| ≥ 0,
para todo número x.
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5
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5.1
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Propriedades do Módulo
As propriedades descritas a seguir são válidas para quaisquer números reais x, y e , com > 0.
1. −|x| ≤ x ≤ |x|;
2. |x| < ⇐⇒ − < x < ;
3. |x| > ⇐⇒ x < − ou x > ;
4. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdade triangular);
5. |x|2 = x2 ;
6. |xy| = |x|.|y|;
7. |x| − |y| ≤ ||x| − |y|| ≤ |x − y| (2a desigualdade triangular).
2x
Exemplo 4. Expresse − 5 sem usar o símbolo de valor absoluto.
3
Solução: Utilizando a denição de valor absoluto, temos:
2x
− 5, se
3
2x
3 − 5 =  2x


 −
− 5 , se
3





 2x

− 5, se

3
2x

3 − 5 = 

 − 2x + 5, se
3
2x
−5≥0
3
2x
−5<0
3
2x
−5≥0
3
2x
−5<0
3
Resolvendo as desigualdades separadamente, temos:
2x
15
− 5 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 15 ⇒ x ≥
3
2
2x
15
− 5 < 0 ⇒ 2x < 15 ⇒ x <
3
2
Dessa forma:
 2x
− 5, se


3
2x

3 − 5 = 
 2x

−
+ 5, se
3
x≥
15
2
x<
15
2
Exemplo 5. Resolva |3x − 4| = 5.
Solução: Temos que:
3x − 4 = 5 ou 3x − 4 = −5.
Resolvendo as equações obtemos:
1
3x = 9 ⇒ x = 3 ou 3x = −1 ⇒ x = − .
3
1
3
Logo x = 3 ou x = − .
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Exemplo 6. Resolva |x + 3| < 5.
Solução: Pela propriedade 2, a desigualdade |x + 3| < 5 é equivalente a:
−5 < x + 3 < 5.
Subtraindo 3 a cada membro da desigualdade, temos:
−8 < x < 2.
Logo, a solução da desigualdade |x + 3| < 5 é o intervalo aberto (−8, 2). Geometricamente, o conjunto
solução consiste em todos os números x cuja distância de -3 é menor que 5 é o intervalo (−8, 2).
Exemplo 7. Resolva |3 − 2x| ≥ 5.
Solução: Note que a desigualdade |3 − 2x| ≥ 5 é equivalente a:
3 − 2x ≥ 5 ou 3 − 2x ≤ −5.
Resolvendo cada desigualdade, temos:
−2x ≥ 5 − 3 = 2 de modo que, dividindo por -2 resulta x ≥ −1.
ou
−2x ≤ −5 − 3 = −8, dividindo por -2 temos x ≥ 4.
Portanto, o conjunto solução da desigualdade |3 − 2x| ≥ 5 é x ≤ −1 ou x ≥ 4, ou seja:
{x | x ≤ −1 ou x > 4} = (−∞, −1] ∪ [4, +∞).
Geometricamente, temos:
Exemplo 8. Se |x − 4| < 0, 1 e |y − 7| < 0, 2, use a desigualdade triangular para estimar |x + y − 11|.
Solução: Utilizando a desigualdade triangular (|a + b| < |a| + |b|), vamos considerar a = x − 4 e b = y − 7,
temos:
|(x − 4)(y − 7) ≤ |x − 4| + |y − 7| < 0, 1 + 0, 2 = 0, 3.
|
{z
}
x+4−11
Portanto, |x + y − 11| < 0, 3.
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O conjunto R2
O produto cartesiano de R com R, denotado por R2 , é o conjunto de todos os pares ordenados de
números reais, isto é,
R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}.
Geometricamente, R2 é representado por um sistema de coordenadas retangulares, o qual consiste de
um par de eixos reais que são perpendiculares (formam entre si quatro ângulos retos) e tem a mesma origem
O (conforme gura 5). Em geral, a reta horizontal é chamada de eixo x e a reta vertical de eixo y. Estes
eixos são chamados de eixos coordenados.
Dado um sistema de coordenadas retangulares em um plano, a cada (a, b) ∈ R2 associamos um ponto
P no plano como segue: tomamos o ponto A no eixo x cuja coordenada é a e o ponto B no eixo y cuja
coordenada é b. A interseção da reta que passa por A e é paralela ao eixo y com a reta que passa por B e
é paralela ao eixo x, é o Ponto P de coodenadas (a, b).
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Apêndice A do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios do Apêndice A do livro texto.
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