Caderno de acompanhamento. - Unifal-MG

Caderno de Acompanhamento
Progressão Aritmética e Função Afim
Escola Estadual Judith Vianna
Estudante: ____________________________________________________ Turma: ____________
Sequências
A natureza apresenta padrões e regularidades. Dessa forma, muitas teorias matemáticas são
desenvolvidas a partir do estudo desses padrões e regularidades. Por exemplo, o estudo de sequências. Em
muitas situações da vida diária aparece a ideia de sequência ou sucessão. Em algumas sequências podemos
observar um padrão de repetição, tais como:
•
a sequência dos dias da semana;
•
a sequência dos meses do ano;
•
a sequência da fila de um banco;
•
a sequência dos números naturais;
•
a sequência dos anos, a partir de 1990, nos quais a Copa do Mundo de Futebol é realizada.
Agora observe a sequência abaixo, descubra seu padrão e continue desenhando:
a) Qual é o 12º elemento da sequência?
b) Qual é o 23º elemento da sequência?
c) E o 54º elemento?
d) Como você descreveria a regra de formação desta sequência?
Observe a sequência abaixo, descubra seu padrão e continue desenhando:
a) Qual é o 12º elemento da sequência?
b) Qual é o elemento que ocupa a 18ª posição na sequência?
c) E o que ocupa a 21º elemento?
d) O que você observa em relação ao losango e às posições ocupadas por ele?
e) Como você descreveria a regra de formação desta sequência?
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Crie uma sequência de figuras diferentes das estudadas até agora. Sente-se com um colega e
troque a sua sequência com a dele. Tente descobrir a regra de formação da sequência de seu
colega enquanto ele tenta descobrir a regra de formação da sua sequência.
AGORA É COM
VOCÊ!
Também podemos representar uma sequência através do diagrama de Venn como, por exemplo, a
sequência das letras do alfabeto e a sequência dos números naturais.
Sequência das letras do alfabeto: (a, b, c, d, ... , z)
AGORA É COM
VOCÊ!
Sequência dos números naturais: (1, 2, 3, 4, ...)
Crie uma sequência e represente-a utilizando o diagrama de Venn.
Definição de sequência:
• Chama-se sequência finita toda aplicação f do conjunto
• Chama-se sequência infinita toda aplicação f de
em
em .
Progressão Aritmética
Observe a sequência
(7, __ , 13, __ , 19, __, 25)
Note que alguns números estão faltando, complete-a.
Qual foi a lógica utilizada por você para completar a sequência?
Veja como Pedro completou a mesma sequência.
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(7 , 10, 13 , 16, 19, 22, 25)
Qual foi a lógica que Pedro utilizou para completar a sequência?
Depois que Pedro completou a sequência fez a seguinte correspondência:
,
,
.
Dessa forma, obtemos o seguinte diagrama de Venn.
Qual a relação do índice de a com a posição em que o número ocupa na sequência?
É conveniente representar cada termo de uma sequência pela letra a, seguida de um índice que indica
a sua ordem.
Utilizando a notação de Pedro como se obtém o termo
a partir de
? E o termo
? E o termo
?
Observe que o número 3 é uma constante que se repete. Essa constante denominamos de razão (r).
Assim, se substituirmos o número
por temos:
Seguindo o mesmo raciocínio como poderíamos representar o número que está na última posição da
sequência de uma sequência qualquer?
Também podemos escrever a sequência de Pedro (7 , 10, 13 , 16, 19, 22) de outra maneira:
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Agora, se não soubéssemos o último termo, como seria a representação para este termo?
Portanto, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é:
Desse modo, chamamos de Progressão Aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte fórmula:
em que
e são números reais dados.
Logo, temos que a progressão pode ser representada pela sequência (a1,a2,a3,...,an).
Exercícios do livro didático: p. 200 - nº 19, 20
Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e sua classificação:

Temos
.
Temos
Então, em uma progressão crescente


Progressão crescente
.
.
Então, em uma progressão decrescente
Progressão constante ou estacionária
Temos
Progressão decrescente
.
Exercícios do livro didático:
p. 199 - nº 09, 10
.
Propriedades:
P1: Três termos consecutivos
Em uma P.A., qualquer termo a partir do segundo é a média aritmética entre o seu antecessor e sucessor.
Exemplo: Consideremos a P.A. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer:
4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos
outros dois termos:
4  12
8
2
8  16
 12
2
20  28
 24
2
4
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P2: Termo médio
Em uma P.A., de número ímpar de termos, o termo do meio é a média aritmética entre o primeiro termo e o
último.
Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21). O termo médio dessa P.A. é 12. Veja que o termo
médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último.
3  21
 12
2
P3: Termos equidistantes
Em uma P.A., a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).
Exercícios do livro didático:
p. 200 - nº 21, 22, 26, 29, 37
Soma dos termos de uma progressão aritmética
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Note que, ao se efetuar a soma dos pontos equidistantes os valores desta relação sempre serão os
mesmos. Assim, pela propriedade 3 temos que:
Gauss observou que a soma dos termos seria igual a 101.
Além disso, o agrupamento realizado resultaria em 50 parcelas
iguais a 101. Desta forma, a soma seria igual a: 101 x 50 = 5050.
A ideia consiste em escrever a sequência formada e depois
copiá-la de “trás para a frente” em seguida efetuando as operações.
1

100
101
2

99
101
3

98
98 ... 
101
3
101
99

2
101
100

1
101
Como os elementos são somados duas vezes, após efetuar o produto 100 x 101 e dividir o resultado
por 2 obtém-se 5050, que é a soma geral dos termos da progressão. Mas, o que representa os algarismos 100
e 101?
Deste modo, a fórmula utilizada para a soma dos termos iniciais de uma progressão geométrica é:
n(a1  an )
Sn 
2
Sn: soma dos termos da P.A.
n: número de termos
a1: primeiro termo
an: último termo
Exercícios
1)
Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma
que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a
30 cm, conforme a figura ao lado. Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça
linear de madeira. Qual deve ser o comprimento dessa peça de madeira para o
marceneiro construir essa escada? Qual o comprimento de todos os degraus? A
sequência formada pelo comprimento dos degraus é uma P.A.?
2) Na P.A. (68, 62, 56, 50, ...), encontre a soma dos seus:
DESAFIO!!!
(1,0 pto extra)
a) Seis primeiros termos.
b) Quinze últimos termos, admitindo que a sequência tem 40 termos.
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Resolva, em uma folha separada, o
exercício 47 da página 204.
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Observe a sequência de figuras abaixo, que define uma progressão aritmética:

 





   
  
a) Desenhe as colunas 4 e 5 que representa, respectivamente, os termos a4 e a5.
b) Complete a tabela abaixo que relaciona cada coluna com seu respectivo número de bolinhas.
Coluna
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de bolinhas
c) Represente a coluna e o número de bolinhas através de um diagrama.
d) Determine a lei de formação para essa progressão aritmética.
e) Construa um gráfico que relaciona cada coluna com seu respectivo número de bolinhas.
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Teorema: Seja f uma função afim de
em
, em que a e b são números reais dados e
 f  x 
n
n
dada por uma lei de formação
. Seja  xn n uma P.A de razão r, então
é uma P.A. de razão a.r.
Será que o resultado acima é válido para o exercício anterior? Vamos aplicar o resultado e
verificar o que acontece.
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