M - INPE

CAP-241–ComputaçãoAplicadaI
Aula9–ÁrvoresBalanceadas
Dr.GilbertoRibeirodeQueiroz
SãoJosédosCampos,19deMaiode2016
RelembrandodaAula6...
ÁrvoresBinárias:Propriedades
•  Númeromáximodenósnonívelk:
k−1
2 ,k > 0
•  Númeromáximodenósdeumaárvore
bináriadealturah:
h
∑2
k=1
k−1
h
= 2 −1, h > 0
ÁrvoresBinárias:Propriedades
•  Aalturadeumaárvorebináriaplenacomn
elementosé:
Obs.:podemosdizertambém,que
h = log 2 (n +1)
aalturadeumaárvorebinária
qualquercomnelementosseráno
mínimolog2(n+1).
•  Seumaárvoreplenapossuinelementosna
folha,onívelkdasfolhasserádadopor:
k = (log 2 n) +1
ÁrvoresBinárias:Propriedades
•  Umaárvorebináriacomnnósinternospossui
n+1folhas.
•  DeacordocomZiviani(2005),emumaárvore
depesquisarandômica,otempoesperado
pararecuperarumelementoqualqueré
aproximadamente:
1.39 log 2 n
Observação
•  Semcuidadosespeciais,umaárvorebinária
podesetornardesbalanceada.
•  Issosignificaquenocasodeumaárvorecom
nelementosasoperaçõesdeinserção,
remoçãoebuscaterãotempoproporcionala
O(n).
ÁrvoresBináriasdePesquisa
Balanceadas
ÁrvoresBin.Pesq.Balanceadas
insert(5)
13
9
8
11
16
11
8
17
5
16
9
13
17
ÁrvoresBin.Pesq.Balanceadas
•  ÁrvoresCompletamenteBalanceadas:
–  Ocustoparamanteraárvorecompletamente
balanceadaapóscadainserçãoouremoçãoé
muitoalto=>O(n).
–  Umasoluçãodebomcompromisso,consisteem
manteraárvorequasebalanceada,deformaa
obtermosoperaçõesdeinserção,remoçãoe
buscacombonstempos.
ÁrvoresAVL
Adelson-VelskyeLandis(1962)
ÁrvoresAVL
•  ÁrvoreBinária.
•  Todoelementodaárvorepossuioquechamamosde
fatordebalanceamento:
f = h(left-subtree) − h(right-subtree)
•  Ofatordebalanceamentodetodoelementodeverá
ser-1,0ou1:
–  Istosignificaqueadiferençadealturaentreasduassubárvoresdeumelementodiferedenomáximo1.
–  Seacontecerdessadiferençasermaiordoque1,
realizamosumaoperaçãodere-balanceamento.
ÁrvoresAVL:FatordeBalanceamento
-1
1
1
0
0
1
0
0
-1
0
0
EssaárvoreéumaAVL.
-1
0
EstaárvoreéumaAVL?
EstaárvoreéumaAVL?
-1
1
2
1
0
0
0
-1
0
0
EssaárvoreNÃOéumaAVL.
-1
0
ÁrvoresAVL:Inserção
-1
18
1
1
11
0
0
8
0
5
78
16
0
9
1
-1
65
90
-1
0
32
70
0
Inserir(13)
40
0
98
ÁrvoresAVL:Inserção
-1
18
1
10
11
78
01
0
8
0
5
16
0 0
9
13
1
-1
65
90
-1
0
32
70
0
Inserir(13)=>OK
40
0
98
ÁrvoresAVL:Inserção
-1
18
1
1
11
0
0
8
0
5
78
16
0
9
1
-1
65
90
-1
0
32
70
0
40
Inserir(45)
0
98
ÁrvoresAVL:Inserção
-1
18
1
1
11
0
0
8
0
5
78
16
0
9
1
-1
65
90
-2
-1
0
32
70
0-1
40
Inserir(45):DesbalanceamentoRR
0
45
0
98
ÁrvoresAVL:Inserção
-1
18
1
1
11
0
0
8
0
5
78
16
1
-1
65
90
0
0
9
0
40
0
32
Inserir(45):RotaçãoRR
70
0
45
0
98
ÁrvoresAVL
•  Apósumainserção,aalturadeumasub-árvore
sópodecrescerde1,ouseja,umnósópoderá
terfatordebalanceamentonointervalo[-2,2]
apósainserçãodeumnovoelemento.
•  Nopiorcasoore-balanceamentoaongiráaraiz,
masapenasnocaminhoatéafolhaondehouvea
inserção=>O(log2n):
–  Operaçõesderotação:O(1).
ÁrvoresBinárias:Rotações
RotaçãoEsquerda
A
RotaçãoDireita
B
B
A
Z
X
Y
Z
X
Y
ÁrvoresBinárias:RotaçãoEsquerda
Node*RotacionarEsquerda(Node*a)
{
Node*b=a.right;
a.right=b.left;
b.left=a;
returnb;//novonóparent
}
ÁrvoresBinárias:RotaçãoDireita
Node*RotacionarDireita(Node*b)
{
Node*a=b.left;
b.left=a.right;
a.right=b;
returna;//novonóparent
}
ÁrvoresAVL:CasoEsquerda-Esquerda
1→2
0
65
0→1
40
0
32
40
rotação-direita
0
32
0
65
ÁrvoresAVL:CasoEsquerda-Direita
1→2
2
65
65
rotação-esquerda
0→-1
1
40
45
0
0
40
0
45
45
0
40
0
65
rotação-direita
ÁrvoresAVL:CasoDireita-Direita
-1→-2
40
0
0→-1
45
45
rotação-esquerda
0
0
50
40
0
50
ÁrvoresAVL:CasoDireita-Esquerda
-1→-2
-1→-2
65
65
0→1 rotação-direita
0→-1
67
70
0
0
67
70
0
67
0
65
0
70
rotação-esquerda
ÁrvoresAVL
•  AalturadeumaárvoreAVLcontendonelementosénomáximo:
1.44 log 2 (n + 2)
•  AbuscaemumaAVLocorredeformasemelhanteàdaárvore
bináriadepesquisa.
•  Aoperaçãoderemoçãotambémconsideraofatorde
balanceamentodosnós.
•  Quandoosnósdaárvorepossuiumponteiroparaoancestral(pai
ouparent),asoperaçõesderotaçãoprecisamconsiderareste
elemento.
Árvores2-3-4
Sedgewick(1988)
Árvores2-3-4
•  Umaárvore2-3-4éumaárvorecomraizcom
asseguintespropriedades:
–  Todonópossui2,3ou4descendentes.
–  Todasasfolhaspossuemamesmaaltura.
raiz
18 40 90
9
16
32
67
96
Árvores2-3-4
•  Dadasaspropriedadesdeumaárvore2-3-4:
–  Lema:umaárvore2-3-4comnfolhaspossui
altura(log2n)+1.
–  Amaioralturadaárvoreocorrequandocadanó
possuiomenornúmerodedescendentes:2.
–  Lembrando,onívelkdosnósfolhaédadopor:
k = (log 2 n) +1
–  Podemosconcluirqueparaumaárvore2-3-4:
h ≤ (log 2 n) +1
Obs.:Lembrem-sequenossaalturafoidefinidacomsendo1paraaraiz.
BuscaemÁrvores2-3-4
BuscaemÁrvores2-3-4
•  Abuscaemárvore2-3-4ésimilaràbuscaem
árvoresbináriasdepesquisa,excetoque
agoratemosváriosintervalosemcadanó:
Ex:procurarchave67
raiz
18 40 90
9
16
32
67
96
InserçãoemÁrvores2-3-4
Abordagembouom-up
InserçãoemÁrvores2-3-4:bouom-up
•  Começandodaraiz,procuramosumnófolhaparainseriranovachave.
•  Seonófolhafordoopo2,acrescentamosanovachave,tornandoonódo
opo3.Deformaanáloga,seonófolhafordoopo3,acrescentamosa
novachave,tornandoonódoopo4.
•  Seonófolhafordoopo4,ouseja,estácompletamentecheio,fazemoso
seguinte:
–  Dividimosonófolhadoopo4emdoisnósfolhadoopo2epassamosumade
suaschaves(ex:adomeio)paraonópai.
–  Destaforma,umadasfolhasteráespaçoparaacomodaranovachave.
–  Seonópaifordoopo2ou3,eleacomodaráanovachavevindadafolhaeo
novonófolhadescendente.
–  Noentanto,seelefordoopo4,teráqueserdivididodamesmaformaqueo
nófolha,eseupaiteráqueserajustado.Esteprocessopodeseguiratéaraiz.
Ex:inserirchave6
18 40 90
9
16
32
67
96
18 40 90
6
9
16
32
67
96
Ex:inserirchave8
18 40 90
6
9
16
32
67
96
40
9
6
8
18
16
90
32
67
96
InserçãoemÁrvores2-3-4
Abordagemtop-down
InserçãoemÁrvores2-3-4:top-down
•  Duranteadescidanaárvoreparaainserção,vamosgaranor
quenenhumpaideumnósendovisitadosejadoopo4,isso
significaque:
–  Todavezquepassarmosporumnódoopo4,duranteadescidaparaa
inserçãodanovachave,fazemosadivisãodonóopo4.
–  Porqueadivisãofunciona?
•  Doisnósdoopo2possuemomesmonúmerodeponteirosqueumnódo
opo4,destaformanenhumamudançaparabaixodonósendodivididoé
necessária.
•  Umnódoopo3nãopodeseralteradoemumnódoopo4apenas
adicionandoumanovachave,outroponteiroénecessário.Nestecaso,
umnódoopo4filhodestenódoopo3podeserdivididoemdoisdoopo
2eonódoopo3podesetransformaremumnódoopo4.
•  Essastransformaçõesirãogaranorqueaochegarmosnumafolhadoopo
4,elapoderáserdivididaeonópaicomportaráessadivisão.
InserçãoemÁrvores2-3-4:top-down
•  Napráoca,nossadescidanaárvoreparaa
inserçãopoderárealizarasseguintes
transformações:
(a)
(b)
Porqueaárvorepermanece
balanceada?
Aalturadaárvoresósemodifica
quandoonóraizédividido,deforma
queaalturadetodososnósaumenta
aomesmotempo!
Árvores2-3-4:Considerações
•  Asárvore2-3-4asseguramobalanceamento.
•  Sóquenapráoca,devidoàestruturamaiscomplexadosnós,sua
implementaçãopodenãoresultaremumbomcompromisso:
–  SegundoSedgewick(1998),lidarcomosponteirosextraspodegerar
umaimplementaçãopiorqueadeumaárvorebináriadepesquisa.
•  Existeumarepresentaçãomaissimplesdasárvores2-3-4:árvores
red-black.
•  Alémdisso,asÁrvores2-3-4sãoumcasoparoculardeÁrvores-B:
–  Árvore-Bdeordem4
ÁrvoresRed-Black
RudolfBayer(1972)
GuibaseSedgewick(1978)
ÁrvoresRed-Black
•  Definiçãopormeiodacoloraçãodosnós:
–  ÁrvoreBinária.
–  Cadanóécoloridodevermelhooupreto.
–  Araizetodososnósexternossãocoloridosdepreto.
–  Nenhumcaminhodaraizaumnóexternopossuidoisnós
coloridosdevermelhodeformaconsecuova:
•  Seumnóévermelho,osdoisdescendentessãopretos!
–  Todososcaminhodeumnóatéosnósexternosdescendentes
possuemomesmonúmerodenóspretos.
Obs.:Todososnósquenãosãoexternossãoconsideradosinternos.
ÁrvoresRed-Black
ÁrvoresRed-Black
•  Vamosdefinirbh(x)comosendoonúmerodenós
pretosencontradosemqualquercaminhosimplesa
parordonóx,nãoconsiderandoopróprionóx,até
umnóexternodescendentedex.
•  Aalturadenóspretosparaumnóexternoézero.
X
bh(Y)=1
Y
bh(X)=2
Z bh(Z)=1
ÁrvoresRed-Black
•  Asub-árvoredeumnóxqualquercontém
bh( x )
pelomenos:nósinternos.
2
−1
•  Vamosprovarisso:
–  Ovalordebh(x)ézeroapenasseonóxfor
externo:
0
bh(x) = 0 ⇒ 2 −1 = 0
ÁrvoresRed-Black
•  Agora,vamosconsiderarocasodeumnóx
internocombh(x)posiovoquepossuidois
nósfilhos:
–  Nocasodonófilhoservermelhooseubhseráo
mesmodex:bh(x).
–  Nocasodonófilhoserpreto,oseubhserá1a
menos,ouseja,seráiguala:bh(x)-1.
ÁrvoresRed-Black
•  Comoaalturadeumnófilhodexémenordo
queaalturadopróprionóx,podemos
concluirquecadanófilhopossuiaomenos:
2
bh( x )−1
−1 nós internos
•  Destaforma,asub-árvorederaizx,conterá:
(2
bh( x )−1
∴2
bh( x )
−1) +1+ (2
−1
bh( x )−1
−1) nós internos
ÁrvoresRed-Black
•  Agora,vamosmostrarqualéalturadeumaÁrvoreRed-Black.
•  Sejahaalturadaárvore.
•  Deacordocomapropriedade:“Seumnóévermelho,osdois
descendentessãopretos!”,temosque:
–  pelomenosmetadedosnósemqualquercaminhosimplesaparorda
raizatéumnóexterno,nãoincluindoaprópriaraiz,deveserpreto.
–  Logo,obh(raiz)deveseraomenosh/2.
h
2
n ≥ 2 bh(raiz) −1 ⇒ n ≥ 2 −1
h
log 2 (n +1) ≥ ∴h ≤ 2 log 2 (n +1)
2
ÁrvoresRed-Black
•  AalturadeumaÁrvoreRed-Blackcontendonelementos:
log 2 (n +1) ≤ h ≤ 2 log 2 (n +1)
•  Essaalturaégaranodapelasrestriçõesdecordosnós
manodosentrearaizetodasasfolhas.
•  AbuscaemumaÁrvoreRed-Blackocorredeforma
semelhanteàdaárvorebináriadepesquisa.
•  Asoperaçãodeinserçãoeremoçãotambémdevem
consideraracoloraçãodosnós,realizandooperaçõesde
rotaçãoquandonecessário.
ÁrvoresRed-Black
•  Definiçãopormeiodacoloraçãodasarestas:
–  ÁrvoreBinária.
–  Osponteirosparaosnósfilhossãocoloridodevermelhoou
preto.
–  Oponteiroparaumnóexternoécoloridodepreto.
–  Nenhumcaminhodaraizaumnóexternopossuidoisponteiros
coloridosdevermelhodeformaconsecuova.
–  Todososcaminhodaraizaumnóexternopossuemomesmo
númerodeponteirospretos.
Árvoresred-black
Árvores-B
RudolfBayereEdwardM.McCreight
(1972)
ÁrvoresBinárias:Considerações
•  Asárvoresbináriassãousadas,principalmente,emproblemasque
cabemcompletamenteemmemóriaprincipal(RAM).
•  Nocasodegrandesbancosdedadosamemóriaprincipalpodenão
sersuficienteparaarmazenartodososnósdaárvorequecompõeo
índice.Porisso,écomumarmazenarmosaestruturadeárvore
(índice)emdisco.
•  Nessecaso,devemosuolizarumarepresentaçãoqueprocure
minimizaroacessoadiscoparaacessoaoselementosdaárvore.
•  Aformamaiscomum,emaislargamenteempregadapelos
sistemasdebancosdedadoscomerciaisatuais,éarepresentação
doíndiceatravésdeumaÁrvore-B+.
Armazenanento:DiscoMagnéoco
Fonte:ElmasrieNavathe(2006)
Armazenanento:DiscoMagnéoco
Fonte:ElmasrieNavathe(2006)
OperaçõesdeAcessoemDiscos
•  UnidadebásicaparaoperaçõesdeE/Semdisco:bloco.
•  Quandoumdadoélidodeumdisco,oblocointeiroquecontémesse
dadoélidoetransferidoparaamemóriaprincipal.
•  Damesmaforma,dadossãoescritosemumaáreadememória(buffer)
atéquecompletemumbloco,quandoentãosãotransferidosparaodisco.
•  Seumdadoésolicitadodeumdisco:
–  odadoprecisaserlocalizado
–  acabeçaprecisaserposicionadasobreatrilhadodiscoondeodadoreside
–  eodiscoprecisagirardemodoqueoblocointeiropassesobacabeçapara
sertransferidoparaamemória.
OperaçõesdeAcessoemDiscos
•  Portanto:
–  tempodeacesso=tempodeprocura(movimentomecânicoda
cabeça)+tempoderotação(meiavolta,emmédia)+tempode
transferência
•  Exemplo:
–  paratransferir5KBdeumdiscoqueexige40msparalocalizaruma
trilha,trabalhaa3000rpmetemtaxadetransferênciadedadosde
1000KB/s:
–  tempo=40ms+0.5rotação/(50rps)+5KB/(1000KB/s)=
=40ms+10ms+5ms=55ms
•  MemóriaPrincipal:
–  ordemde10-9segundos(106vezesmaisrápido).
Árvores-B
•  Cadanópodeconterkdescendentesek–1chaves,com:
⎡M ⎤
m ≤ k ≤ M, onde m = ⎢ ⎥
⎢2⎥
•  OfatorMéconhecidocomoordemdaárvoreoufatorde
ramificação(branchfactoroufanout).
•  Seaárvorepossuirmaisdeumníveldeprofundidade,a
raizdeveterpelomenos2filhos.
•  Todasasfolhasdaárvoreestãonomesmonível.
•  Aschavesemcadanódevemencontrar-seemordem
crescente.
•  Osnóssãoconhecidostambémcomopáginas.
Árvores-B:FormadosNós
•  Exemplo:
–  Árvore-Bdeordem4
Árvores-B:Exemplo
raiz
AlturadeumaÁrvore-B
•  UmaÁrvore-Bémaisprofunda(oupossuiamaior
altura)quandotodonópossuiomenorfatorde
ramificação,istoé: m = ⎡⎢ M 2⎤⎥
•  Nestecaso,teríamosemcadanóaseguinte
quanodadedechaves:
nível 0: 1 chave
nível 1: 2(m −1) chaves
nível 2: 2m(m −1) chaves
nível 3: 2m 2 (m −1) chaves
...
nível h: 2m h−1 (m −1) chaves
AlturadeumaÁrvore-B
1+ 2(m −1) + 2m(m −1) + 2m 2 (m −1) +... + 2m h−1 (m −1)
2
1+ 2(m −1) + 2(m −1)m + 2(m −1)m +... + 2(m −1)m
2
h−1
1+ 2(m −1)(1+ m + m +... + m )
1+ 2(m −1)(m 0 + m1 + m 2 +... + m h−1 )
h−1
h⎞
⎛
1− m
i
h
1+ 2(m −1)∑ m = 1+ 2(m −1) ⎜
=
2m
−1
⎟
⎝ 1− m ⎠
i=0
h−1
AlturadeumaÁrvore-B
•  Issosignificaqueonúmerodechavesserá:
n ≥ 2m h −1
•  Ouseja:
n +1
≥ mh
2
⎛ n +1 ⎞
h
log m ⎜
⎟ ≥ log m m
⎝ 2 ⎠
⎛ n +1 ⎞
∴h ≤ l og m ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
BuscaemÁrvores-B
•  ParaumaÁrvore-Bdealturah,umabusca
porumachaveiráexaminarnomáximoh+1
nós.
•  Exemplo:
–  SejaumaÁrvore-BdeordemM=200,onde
iremosmanipular2.000.000chaves:
ü m=100eh≤log100((2.000.000+1)/2)≤3
ü Portanto,encontrarumachavenessaárvoreexige,no
piorcaso,avaliarmoschavesem4nós.
ReflexodaAlturadasÁrvores-B
•  PodemosconcluirqueparaM
suficientementegrande,hserápequeno
mesmoqueexistaumgrandenúmerode
chavesnaárvore,conformetabelaabaixo.
•  Obviamente,deveexisorumbalanceamento
daordemdaárvore.Vocêjásabecomo
definirM?
ConsideraçõesFinais
ConsideraçõesFinais
•  AsÁrvoresBináriasdePesquisaforamdescobertasnofinal
dosanos50.
•  AclassedeárvoresbalanceadasconhecidascomoAVL
foraminventadasporAdelson-VelskyeLandisem1962.
•  Em1970,JohnE.Hopcro~criououtraclassedeárvores
balanceadas,asÁrvores2-3.
•  Em1972,BayereMcCreight(1972)introduziramas
Árvores-B(B-Trees),umageneralizaçãodasÁrvores2-3.
ConsideraçõesFinais
•  AsÁrvores2-3-4,descritasporSedgewick(1988),são
umcasoparoculardasÁrvores-Bdeordem4.
•  AsÁrvores-Bforammuitoimportantesparaaindústria
debancosdedados.PraocamentetodososSGBDs,dos
anos70atéhoje,implementamumavariaçãodas
Árvores-Bcomoprincipalmétododeindexação:
–  Relacionais:MySQL,PostgreSQL,Oracle,Microso~SQL
Server
–  Não-Relacionais:ApacheCouchDB,MongoDB,Oracle
BerkeleyDB,OrientDB,Neo4J,...
ConsideraçõesFinais
•  AsÁrvoresRed-BlackforaminventadasporBayer
(1972),comonomede“symmetricbinaryB-trees”.
•  Em1978,GuibaseSedgewickpublicaramumtrabalho
caracterizandoaalturadasárvoresdescritasporBayer
eintroduziramaconvençãodenomesparacoloração
red-black.
•  AsÁrvoresRed-Blacksãomuitouolizadasnapráoca:
–  Java:java.uol.TreeMap
–  C++:STL–set,muloset,mapemulomap
ConsideraçõesFinais
•  Temosváriasoutrasclassesdeárvores
balanceadas:
–  Splaytrees(SleatoreTarjan,1985).
–  AAtrees(Andersson,1993)
–  T-tree(LehmaneCarey,1986)
–  ...
•  AlgunsSGBDs,conhecidoscomoSGBDinmemory,uolizamumaárvorebináriachamada
T-tree:
–  EXtremeDB,MySQLCluster,OracleTimesTen.
ConsideraçõesFinais
•  AlémdasÁrvoresBináriasdePesquisa
BalanceadaseasÁrvores-B,existemvários
outrosoposdeárvores:
–  radix-treeoutrie(retrieval).
–  Quad-tree
–  R-trees
–  k-d-trees
–  BSP-trees
–  Intervaltrees
–  ...
ReferênciasBibliográficas
ReferênciasBibliográficas
•  CORMEN,T.H.;LIESERSON,C.E.;RIVEST,R.L.;
STEIN,C.IntroducYontoAlgorithms.2ªEdição.
MitPress,2001.
•  ELMASRI,R.;NAVATHE,S.B.Fundamentalsof
DatabaseSystems.5ªEdição.Pearson/Addison
Wesley,2006.1168p.
•  HOROWITZ,E.;SAHNI,S.;RAJASEKARAN,S.
ComputerAlgorithms.1ªEdição.Computer
SciencePress,1997.769p.
ReferênciasBibliográficas
•  SEDGEWICK,R.Algorithms.2ªEdição.
Addison-Wesley,1988.660p.
•  ZIVIANI,N.ProjetodeAlgoritmos:com
implementaçõesemPASCALeC.2ªEdição.
EditoraThomson,2005.552p.
ReferênciasBibliográficas
•  ADELSON-VELSKII,G.M.;LANDIS,YE.M.Analgorithm
fortheorganizaYonofinformaYon.Dokl.Akad.Naulc
SSSR146(1962),263-266(Russian),Englishtranslaoon
inSovietMath.Dokl.3(1962),1259-1262.
•  BAYER,R.;MCCREIGHT,E.OrganizaYonand
maintenanceoflargeorderedindexes.Acta
Informaoca,v.1,n.3,set.1972,pp.173-189.
•  BAYER,R.SymmetricbinaryB-Trees:Datastructure
andmaintenancealgorithms.ActaInformaoca,v.1,n.
4,dez.1972,pp.290-306.
ReferênciasBibliográficas
•  NIEVERGELT,J.BinarySearchTreesandFile
OrganizaYon.ACMCompuongSurveys,v.6,n.3,
set.1974,pp.195-207.
•  GUIBAS,L.J.;SEDGEWICK,R.AdichromaYc
frameworkforbalancedtrees.Annual
SymposiumonFoundaoonsofComputerScience,
1978,pp.8-21.
•  COMER,D.UbiquitousB-Tree.ACMCompuong
Surveys,v.11,n.2,jun.1979,pp.121-137.
ReferênciasBibliográficas
•  Sleator,D.D.;Tarjan,R.E.Self-AdjusYngBinary
SearchTrees.JournaloftheACM,v.32,n.3,
1985,pp.652–686.
•  HEGER,D.A.ADisquisiYononThePerformance
BehaviourofBinarySearchTreeData
Structures.UPGRADE,v.5,n.5,out.2004,pp.
67-75.
•  ANDERSSON,A.BalancedSearchTreesMade
Simple.WADS,1993.
ReferênciasBibliográficas
•  LEHMAN,T.J.;CAREY,M.J.AStudyofIndexStructuresfor
MainMemoryDatabaseManagementSystems.In
Proceedingsofthe12thInternaoonalConferenceonVery
LargeDataBases(VLDB'86),WesleyW.Chu,Georges
Gardarin,SetsuoOhsuga,andYahikoKambayashi(Eds.).
MorganKaufmannPublishersInc.,SanFrancisco,CA,USA,
294-303.
•  LEHMAN,T.J.;CAREY,M.J.Queryprocessinginmain
memorydatabasemanagementsystems.InProceedings
ofthe1986ACMSIGMODinternaoonalconferenceon
Managementofdata(SIGMOD'86),CarloZaniolo(Ed.).
ACM,NewYork,NY,USA,239-250.1986.