Aulas 13-14

ESTATÍSTICA EXPLORATÓRIA
Prof Paulo Renato A. Firmino
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Aulas 13-14
VACs – Função Densidade de Probabilidade (FDP)
•
•
ΩX é um conjunto contido nos reais
Tem-se agora uma função contínua cujo argumento é um
elemento de ΩX: f(x)
ƒ
ƒ
•
f(x) pode ser visualizada através de histogramas
A partir de f(x), calcula-se as probabilidades de interesse
Devido aos axiomas nos quais f(x) se baseia:
1. f(x) ≥ 0, x real
§ f(x) não tem um limite superior
2. Para quaisquer a < b : P(a ≤ X ≤ b)=
∫ f (x ) ⋅ dx
b
a
§ A função probabilidade é uma integral definida
+∞
3. ∫. f (x ) ⋅ dx = 1
−∞
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VACs – Exercício 1
1.
1, x ∈ [0, 1]
A função f ( x ) = ⎧⎨
⎩0, caso contrário
•
a)
b)
c)
d)
e)
2.
é uma função densidade de probabilidades?
Se sim,
Qual é a probabilidade de X assumir valores entre 1 e 2?
Qual é a probabilidade de X=½?
Qual é a probabilidade de X pertencer ao intervalo [0, ½)?
Qual é a probabilidade de X pertencer ao intervalo (0, 1)?
Qual é a moda e mediana de X?
⎧c ⋅ x 2 , x ∈ [0, 2]
Se f ( x ) = ⎨
é uma função de densidade de probabilidade,
⎩0, caso contrário
a)
b)
c)
d)
e)
Qual é o valor de c?
Calcule P(X<x), para qualquer valor real x
Calcule P(X>x)
Calcule P(X=x)
Qual é a moda e mediana de X?
Estatí
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
•
Quando a variável em questão caracteriza-se como contínua
ƒ
ƒ
É em geral provinda de um processo de mensuração
Pode-se trabalhar com a média
•
ƒ
Média de X = E(X) = E(X1)
Pode-se trabalhar com a variância
•
Variância de X = V(X) = E(X2) – [E(X)]2
=
∫
+∞
x r ⋅ f (x ) ⋅ dx
•
E(Xr)
•
Exercício 2: Retorne ao Exercício 1 e calcule o coeficiente de
variação das variáveis estudadas. Qual apresenta maior
dispersão?
−∞
Estatí
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
•
Distribuição Uniforme
ƒ
ƒ
Emerge quando os resultados de um experimento aleatório (ε) são totalmente
aleatórios, não apresentando qualquer tendência
A distribuição Uniforme pode expressar o total desconhecimento sobre o
fenômeno ou a sua total aleatoriedade
•
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Ela expressa equiprobabilidade entre quaisquer eventos compostos por intervalos
de mesma amplitude em ΩX
ΩX = {x, a, b reais | a ≤ x ≤ b}
⎧ 1
, x ∈ [a , b ]
⎪
f. ( x ) = ⎨ b − a
⎪⎩0, Caso contrário
dunif() # density
punif() # probability
qunif() # quantile
runif() # random
E(X) = (a+b)/2
V(X) = (b-a)2/12
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VACs – Exercício 2
1.
Após inúmeras tentativas para modelar o melhor momento do dia para
comprar ações (das 11:00h às 18:00h), um analista financeiro conclui não
haver qualquer padrão; isto é, o melhor momento para investir se distribui
de maneira totalmente aleatória ao longo do dia.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Qual é a probabilidade de o melhor momento ser às 11h?
Qual é a probabilidade de o melhor momento ocorrer entre meio-dia e 14h?
Em geral, qual é o melhor momento?
Em média, qual é o melhor momento?
Qual é a probabilidade de o melhor momento não ser 11h?
Qual é a probabilidade de o melhor momento não ocorrer entre meio-dia e
14h?
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
•
Distribuição Normal
ƒ
ƒ
Emerge quando os resultados de um experimento aleatório (ε) são efeito da
soma de um nº razoável de fatores
A distribuição Normal é a mais usada das distribuições de probabilidade
•
A média de uma amostra aleatória tende a aderir à distribuição Normal à
medida que o tamanho da amostra cresce: Teorema do Limite Central
–
ƒ
A frequência relativa é uma média, o que permite a associação entre a Lei dos
Grandes Números e o Teorema do Limite Central
ΩX = {x| x é real}
1
e
σ 2π
ƒ
f.( x ) =
ƒ
ƒ
E(X) = μ
V(X) = σ 2
1 ⎛ x −μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
2
onde μ é real e σ2 > 0
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dnorm() # density
pnorm() # probability
qnorm() # quantile
rnorm() # random
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
•
Distribuição Normal
ƒ
Se X ~ N(μ, σ 2), isto é, se X segue uma distribuição Normal
com média μ e variância σ 2:
Z = (X – μ)/ σ segue uma Normal-padrão: Z ~ N(0, 1)
• Como não é trivial avaliar qualquer probabilidade P(X < x) devido a
integral de f(x), elaborou-se tabelas para Z: P(X < x)=P[Z < (x – μ)/ σ ]
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VACs – Exercício 3
1.
Estudos indicam que o saldo mensal de uma loja segue uma distribuição
Normal com média de R$20000.00 e desvio-padrão de R$4000.00. Em
geral, qual é o saldo mensal da loja? Qual é a probabilidade de o saldo
mensal:
a) Ser de R$20000.00? b) Ser de, no máximo, R$20000.00? c) Ser algo entre R$15000.00
e R$22000.00? d) Ser não inferior a R$20000.00? e) Ser não superior a R$15000.00? f)
Ser de, ao menos, R$15000.00? g) Ultrapassar os R$22000.00? h) Ser negativo? i) Qual é
o valor, v, para o qual a probabilidade de o saldo mensal ser menor que v é de 10%?
2.
Seguindo da questão anterior,
a)
b)
c)
d)
Qual é o risco (≡ probabilidade) de que o saldo mensal da loja não ultrapasse os
R$15000.00 durante todo o ano?
Qual é a probabilidade de que nos próximos 4 meses ocorra de, em três meses
seguidos o saldo ser inferior a R$15000.00 e de que no mês seguinte o saldo
ultrapasse os R$15000.00?
Qual é o risco de que ao longo do ano, o saldo mensal da loja seja inferior a
R$15000.00 em apenas 2 meses?
Se o gestor não deseja saldos mensais inferiores a R$10000.00 ao longo do ano, qual
é a sua probabilidade de sucesso?
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
•
Distribuição Exponencial
ƒ
ƒ
Emerge quando um experimento aleatório (ε) envolvendo um evento de
interesse (Ev) de S ocorre sob determinada unidade de medida de maneira
homogênea (a taxa de ocorrências de Ev, λ, não varia com o tempo)
Uma VA Exponencial representa a quantidade de unidades de medida entre
as ocorrências de Ev durante a realização de ε
ƒ
ΩX = {x real| x > 0}
ƒ
.
ƒ
ƒ
E(X) = 1/ λ
V(X) = 1/ λ2
dexp() # density
pexp() # probability
qexp() # quantile
rexp() # random
onde λ > 0
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
• Distribuição Exponencial
ƒ
Está diretamente ligada à distribuição de Poisson
•
Enquanto a Poisson conta o número de ocorrências por unidade de
medida a Exponencial mede o “tempo” entre tais ocorrências
t1
ƒ
t2
t3
...
tn
tempo
A Exponencial é a única distribuição contínua com a
característica de “falta de memória”
•
•
•
P(X > x+Δ | X > Δ) = P(X > x)
λ não varia com o tempo (decorrer do experimento)
Ela é a versão contínua da distribuição Geométrica
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VACs – Exercício 4
1.
Uma página de internet recebe em média 30 acessos por semana. Qual é a
probabilidade de que não haja acessos durante um período de uma semana? Qual
é a probabilidade de o primeiro acesso ocorrer antes de um dia e meio?
2.
Acredita-se que o tempo médio entre ocorrências de Tsunamis em dado local seja
de 3.2 anos. Qual é a probabilidade de que o próximo Tsunami ocorra após 5
anos? Qual é a probabilidade de que ocorram 3 Tsunamis em um período de 5
anos?
3.
Acredita-se que o tempo para que uma família assistida pelo governo supere a
linha da pobreza seja normalmente distribuído, com média de 4.6 anos e desviopadrão de 0.9 ano. Qual é a probabilidade de que 10 dentre 12 famílias assistidas
superem a linha da pobreza durante 4 anos?
4.
O fabricante de dado equipamento pensa em fixar sua garantia em 3 anos. Se o
tempo até a falha do equipamento segue uma normal, com média de 5 anos e
desvio-padrão de 1 ano, qual é a probabilidade de o comprador precisar da sua
manutenção durante a garantia?
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