Apostila - Mat. UFRGS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
PROF. JOÃO BEAL VARGAS
MAT 02248
PROBABILIDADE I
CONTEÚDOS
CAPÍTULO 1 – MODELOS PROBABILÍSTICOS, pg. 2
CAPÍTULO 2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS, pg. 14
CAPÍTULO 3 – MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS, pg. 22
CAPÍTULO 4 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS, pg. 34
CAPÍTULO 5 – MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTÍNUOS, pg. 40
2
CAPÍTULO 1 - MODELOS PROBABILÍSTICOS
Seja  um conjunto com pelo menos 2 elementos, i.é., card
     2 . Seja  o conjunto formado por todos os subconjuntos de
 . Uma função real P definida em  é uma (MEDIDA DE)
PROBABILIDADE EM  se e somente se:
(1) P A  0, A  
(2) P  1
(3) P A1  A2    P(1 )  P( A2 )  , se A1 , A2 , , estiverem contidos em 
e forem disjuntos 2 a 2.
As propriedades a seguir decorrem imediatamente:
(4) P  0
(5) P A  1, A  
(6) A  , B  , A  B  P A  PB
 
(7) A    P A  P AC  1
(8) A  , B    P A  B  PA  PB  P A  B
(9) A1  A2    P A1  A2    lim P An 
(10)   A1  A2    P A1  A2    lim P An  .
Se P é uma probabilidade em  , então o par ordenado , P é um
MODELO PROBABILÍSTICO (ou ESPAÇO DE PROBABILIDADE).  é
o ESPAÇO AMOSTRAL e qualquer um de seus subconjuntos é um
EVENTO. Um evento com um único RESULTADO é em EVENTO
SIMPLES (ou ELEMENTAR); do contrário, trata-se de um EVENTO
COMPOSTO.
Seja , P um modelo probabilístico e seja B um evento tal que
PB  0 . A probabilidade P B  PB  definida em  por
(11) P A B  PB  A  P  A  B PB é denominada PROBABILIDADE
CONDICIONAL DADO B .
Os eventos A1 e A2 são EVENTOS INDEPENDENTES se e somente
se uma das 3 condições equivalentes a seguir é verificada:
(12) P A1 A2   P A1 , se P A2   0
(13) P A2 A1   P A2 , se P A1   0
(14) P A1  A2   P A1   P A2  .
Os eventos A1 , , An são EVENTOS INDEPENDENTES se e
somente se para qualquer i1 , , i K   1, , n resultar em
(15) PAi    Ai   PAi     PAi .
1
K
1
K
3
A seqüência de eventos A1 , A2 ,  é uma SEQÜÊNCIA DE
EVENTOS INDEPENDENTES se e somente se para qualquer n  1, os
eventos A1 , , An são independentes.
Uma classe finita B1 , , BK  de eventos disjuntos 2 a 2, i.e., de
EVENTOS (MUTUAMENTE) EXCLUSIVOS é uma PARTIÇÃO
PROBABILÍSTICA se e somente se PBi   0, i  1, , n. O resultado a
seguir é conhecido como FÓRMULA (ou TEOREMA) DE BAYES.
Apesar de aparentemente técnico, ele é fundamental para um enfoque
bastante diferente e muito controvertido das noções de Inferência
Estatística.
Teorema 1. Se , P é um espaço de probabilidade, B1 , , BK  é uma
partição probabilística e A é um evento, então
(16) PB j A 
P A B j   P B j 
n
 P A B   PB 
i 1
i
.
i
EXERCÍCIOS:
1. Uma moeda é lançada 4 vezes. Descreva o espaço amostral.
Suponha que os eventos elementares sejam equiprováveis. Calcula
a probabilidade de cada um dos eventos a seguir: A1 (aparecer
exatamente duas caras), A2 (aparecer exatamente quatro caras),
A3 (aparecer no máximo três caras) e A4 (aparecer uma ou mais
coroas).
2. Um dado é arremessado duas vezes. Descreva o espaço amostral.
Suponha que os eventos elementares são equiprováveis. Calcula a
probabilidade de cada um dos seguintes eventos: A1 (a soma das
faces ou é 7 ou é par), A2 (uma das faces é ímpar) e A3 (a menor das
faces não excede 4).
3. No modelo probabilístico do Exercício 2, considera os eventos A1 (a
soma dos resultados é no máximo 3), A2 (o 1º resultado é par) e A3 (o
1º resultado é menor do que o 2º). Calcula as probabilidades dos
eventos: B1 (somente A1 ocorre), B2 (os 3 eventos ocorrem), B3 (pelo
4
menos um deles ocorre), B4 (no máximo 2 deles ocorrem),
B5 (nenhum deles ocorre) e B 6 ( A1 não ocorre e A3 ocorre).
4. Prove ou dê contra-exemplo:
(a) P A  B  C   PA  PB  PC
(b) P A  B C  AC  B  PA  PB  2P A  B 

 

5. Um número é formado ao acaso na base binária com 6 dígitos.
Quantos elementos possui o espaço amostral ? Calcula as
probabilidades dos eventos: A(o número é maior do que 100.000),
B(o número é par) e C(nenhum par de dígitos sucessivos é formado
por dígitos idênticos).
6. Em uma caixa há 6 cartões com as letras F,I,S,I,C,A. Os cartões são
misturados e retirados um por um ao acaso e colocados na ordem
em que foram retirados. Qual a probabilidade de que seja formada a
palavra "física" ?
7. Um número é escolhido ao acaso entre as permutações dos dígitos
0,0,1,1,2,2. Calcula as probabilidades dos eventos A, B e C, cujas
descrições são as mesmas do Exercício 5.
8. Seja , P um modelo probabilístico. Indica qual das igualdades a
seguir são sempre verdadeiras, quais podem ser verdadeiras e quais
nunca são.
(a) P(A  B) = PA + PB - P(A  B)
(b) P(A  B) = PA + PB + P(A  B)
(c) P(A  B) = 1 + P(A  B)
(d) P(A  B) = 1 + PA + PB
(e) P(A  B) = 2 + P(A  B)
(f) P(A  B) = P(A  B)
9. Um número w é escolhido ao acaso em {1,...,200}. Calcula as
probabididades dos eventos A(w é divisível por 7), B(w = 3K + 10
para algum inteiro positivo K), C(w2 + 1  375) e D(w2 - 2w + 3 
384).
10. Explica com palavras porque P(B1  ... Bn)  PB1 + PBn e porque
P(A  B)  PB.
5
11. Seja  > 0. É possível uma probabilidade sobre  =  tal que
P[a;b] > 0 se e somente se b - a   ?
12. Um dado equilibrado é arremessado duas vezes. Seja A o evento "a
soma das faces é igual a 9" e seja B > evento "pelo menos uma das
faces é maior ou igual a 4". Lista os elementos de A, de B, de A  B,
de A  B, de A - B, de B - A, de A  B, de AC e de BC. Qual a
probabilidade de cada um destes eventos ?
13. Cada indivíduo de um grupo de 5 indivíduos escreve ao acaso e sem
os outros saberem um número escolhido entre 1,...,40. Qual a
probabilidade de que ocorra pelo menos uma repetição ?
14. Quantos números podem ser formados com os dígitos 1,2,3 e 5 sem
repetir nenhum dígito mas sem usar necessariamente todos eles ?
Quantos destes números são pares ?
15. Uma caixa contém duas bolas vermelhas e três azuis. Duas bolas
são retiradas sucessivamente ao acaso e sem repetição. Qual a
probabilidade de que elas não sejam da mesma cor ?
16. Uma moeda é
determinístico ?
lançada.
Este
experimento
é
aleatório
ou
17. Numa urna há 3 bolas brancas e 5 vermelhas. Duas bolas são
retiradas sucessivamente ao acaso e sem reposição. Escreva o
modelo probabilístico.
18. Idem ao anterior, mas com reposição.
19. O que significa a frase "a probabilidade do evento A ocorrer é 0,72" ?
20. A frase "observe quanto tempo choverá na Praça da Matriz (em
P.Alegre - RS) no dia 1º de maio do próximo ano" caracteriza um
experimento determinístico ?
21. Sejam A e B eventos tais que PA = 1/2, PB = 3/4 e P(A  B)= 5/12.
Calcula: P(A - B), P(B - A), P(A  B), P(AC  BC), P(A  BC) e
P(AC  BC).
22. Um sistema é formado por 10 componentes, cada um com uma
confiabilidade 0,99 de durar pelo menos 100 horas. Qual a
confiabilidade do sistema para este mesmo período que os tempos
6
de vida de cada componente é independente dos demais e eles
foram ligados: (a) em série? (b) em paralelo ?
23. Qual a probabilidade de um homem sobreviver a 20 anos de casado
é 0,5 e a de uma mulher é 0,7. Supondo independência, qual a
probabilidade de que amos sobrevivam ?
24. Determina uma probabilidade no espaço amostral associado ao
lançamento de um dado tal que os eventos A (o resultado é par) e B
(o resultado é maior que 3) sejam independentes.
25. Um experimento consiste em lançar um dado honesto duas vezes.
Sabendo que as faces obtidas foram diferentes, qual a probabilidade
de que uma das faces seja 6 e de que a soma delas seja maior do
que 8 ?
26. Numa população há o dobro de homens do que mulheres. Se 50%
das mulheres fumam e 30% dos homens fumam, qual a
probabilidade de que um toco de cigarro encontrado no chão tenha
sido arremessado por uma mulher ? (Desconsidera o fato de que
fumantes possam ter este tipo de consideração).
27. Podem existir dois eventos independentes cuja união seja o espaço
amostral ?
28. Prova que:
(a) P(A / B) > PA, então P(B / A) > PB.
(b) Se A é independente de si mesmo, então, PA = 0 ou PA = 1.
(c) O evento impossível, , e o evento certo, , são independentes
de qualquer evento.
29. Se A, B e C são eventos independentes, então, A e BC também são.
A partir disso, concluímos que AC e BC são eventos independentes.
Prova também que A, B e CC são eventos independentes. A partir
disso, concluímos que A , BC e CC são eventos independentes, assim
como AC, BC e CC.
30. Se A,B e C são independentes, então A  B e C são independentes?
31. Sabe-se que A,B e C são eventos independentes tais que PA = 3/10,
PB = 1/4 e PC = 3/5. Calcula P(A B)C e P(A  B  C)C.
7
32. Se A e B são eventos independentes, tais que PA > 0 e PB > 0,
então A e B podem ser mutuamente exclusivos ?
33. Se A  B =  e PB > 0, então, A e B podem ser independentes?
34. Dois dados equilibrados são lançados sucessivamente. Quando
aparece a soma 10, o jogador A ganha. Quando aparece a soma 6, o
jogador B ganha. Calcula as probabilidades de cada jogador ganhar
e do jogo não terminar.
35. Dois dados honestos foram lançados. Sabendo que não foram
obtidas faces iguais, qual a probabilidade de que algum dos dados
tenha apresentado face maior do que 3 ?
36. Um jogador lança um par de dados perfeitos. Se a soma for 7 ou 11,
o jogo termina e ele é vencedor. Se a soma for 2 ou 3 ou 12, o jogo
termina e ele é perdedor. Se der outro resultado, ele continua
lançando os dados até que apareça soma 7, caso em que ele perde,
ou se repita novamente a soma da 1º jogada, caso em que ele
ganha. Calcula a probabilidade do jogador vencer e a do jogo
terminar.
37. Se PA = PB = 0,004 e P(A  B) = 0,000024, então, A e B são
eventos independentes ? Calcula PAC, P(A  B), P(A  B), P(A / B) e
P(B / A).
38. Um instalador usa relés da marca A em 30% dos motores que instala
e os restantes são da marca B. Quando há sobrecarga, os relés da
marca A desligam com probabilidade 0,9 e os da marca B com
probabilidade 0,95. Sabendo que um relé foi instalado por este
instalador, qual a probabilidade de que ele desligue quando houver
sobrecarga ?
39. Os garimpeiros I e J possuem 2 diamantes cada um e vão iniciar
uma série de jogos no qual cada um tem probabilidade de ganho
igual a 1/2. O perdedor paga 1 diamante em cada jogo que perde.
Qual a probabilidade de I vencer dado que já venceu o 1º jogo da
série ?
40. Júlia tem 3 namorados: Alfredo, Bruno e Carlos. Em cada noite seus
namorados a visitam independentemente com probabilidades
respectivamente de 1/6, 1/4 e 1/3. Uma noite Júlia saiu com suas
8
amigas e, ao voltar, soube que apenas um de seus namorados lhe
visitara. Qual a probabilidade de que tenha sido Alfredo ?
41. A urna A contém duas bolas brancas e duas bolas verdes. A urna B
contém duas bolas brancas e apenas uma verde. Transfere-se uma
bola escolhida ao acaso de A para B e, após isso feito, retira-se ao
acaso uma bola de B. Aí a luz é acesa e podemos constatar que esta
última é branca. Qual a probabilidade da que foi transferida ser
verde?
42. Há 3 cofres cada um contendo duas moedas lacradas: um deles
contém duas moedas de ouro, outro uma moeda de ouro e outra de
prata e o outro duas moedas de prata. (Cada moeda é lacrada
individualmente.) Um cofre é escolhido ao acaso e uma moeda é
escolhida ao acaso neste cofre. Se esta moeda é de ouro, qual a
probabilidade de que o outro envelope deste cofre também contenha
uma moeda de ouro ?
43. Qual deve ser a probabilidade do evento A para que ele seja
independente do evento B se PB = 0,4 e P(A  B) = 0,52 ?
44. A probabilidade de dois eventos independentes são "p" e "q".
Determina as probabilidades de nenhum ocorrer, de somente um
ocorrer e de pelo menos um ocorrer.
45. As probabilidades de ter eventos independentes são "p", "q" e "r".
Determina as probabilidades de nenhum dos três ocorrer, de pelo
menos um dos três ocorrer, de apenas um dos três ocorrer e de no
máximo um dos três ocorrer.
46. A equipe A produz 40% das peças de uma indústria das quais uma
proporção p1=0,01 são defeituosas. As equipes B e C produzem 30%
cada uma com pB=0,04 e pC=0,03. Qual a proporção de peças
defeituosas produzidas pela indústria? Qual a probabilidade de uma
peça defeituosa ter sido produzida pela equipe A? E pela equipe B?
47.
O que é um evento composto? Dá um exemplo.
48. Calcula P(ABC) quando PA=0,2, PB=0,3, PC=0,4 e os três são
independentes. Calcula P(AB).
49.
Os eventos , A e  são independentes?
9
50. Considera o circuito da figura a seguir. Suponha que há
independência entre o funcionamento (ou não funcionamento) de
cada componente e os demais, sendo que as probabilidades
assinaladas são as de funcionamento de cada componente. Qual a
probabilidade do circuito funcionar?
C:
A:0,95
D:0,9
51. Um taxi deve passar por 3 sinaleiras suficientemente espaçadas
para que possam ser consideradas independentes. Uma delas fica
"aberta" a metade do tempo, outra um terço e a última um quarto.
Qual a probabilidade de que o táxi encontre todas abertas? Apenas
uma aberta? Apenas uma fechada? Todas fechadas?
52. Se, uma família com 3 filhos, ao menos um é menino, qual a
probabilidade de que os outros sejam um menino e uma menina?
53. É verdade que P(BC|A)=P(B|A)P(C|AB)? Em caso afirmativo,
esta expressão pode ser generalizada para n eventos? De que
forma?
54. Entre os operários filiados a um certo sindicato, há o triplo de
homens em relação às mulheres. Sabe-se que 60% dos homens e
30% das mulheres são ateus. Usando o Teorema de Bayes, calcula a
percentagem de mulheres entre os ateus.
55. A urna A contém 3 bolas brancas, a urna B contém 2 bolas
brancas e 1 verde, a urna C contém uma branca e 2 verdes, a urna D
contém 3 verdes. Uma urna foi escolhida ao acaso e uma bola foi
escolhida ao acaso nesta urna. Sabe-se que a bola escolhida é
branca. Qual a probabilidade a PRIORI e qual a probabilidade A
POSTERIORI de que a urna escolhida seja a C?
56. Dois dados honestos são lançados. Dado que as faces
apresentaram resultados diferentes, qual a probabilidade de que pelo
menos uma delas seja 4? Dado que pelo menos uma delas é 4, qual
a probabilidade de que elas sejam diferentes? (Confira com 28(a).)
10
57. Se A e B são eventos independentes tal que a probabilidade da
ocorrência de pelo menos um deles é 0,6 e a probabilidade da
ocorrência de A é 0,4, então qual é a probabilidade de B ocorrer?
58. Artur acerta na mosca, em média, 4 de cada 5 tiros. Bruno acerta
... 3 de cada 4 tiros e Carlos acerta ... 2 de cada 3 tiros. Cada atirador
dispara apenas um tiro. Qual a probabilidade de que exatamente 2
deles acertem o alvo? Se isto ocorrer, qual a probabilidade de Carlos
errar?
59. Considera equiprováveis os 9 pontos do diagrama abaixo. Os
lados são eventos independentes?
1  2  3
4 5 6
7 8 9
60. Sejam A, B e C eventos tal que PA=0,4, PB=0,5, PC=0,6,
P(AB)=0,20, P(AC)=0,24, P(BC)=0,30 e P(ABC)=0,86. Estes
eventos são independentes? Qual a probabilidade de somente A
ocorrer?
61. Considera as 6 permutações das letras a, b,c e também aaa, bbb,
ccc equiprováveis. Para cada i  {1,2,3}, seja Ai o evento "a letra 'a'
ocupa o i-ézimo lugar”. Estes eventos são independentes?
62. As urnas I e II contém, cada uma, 12 bolas vermelhas, 2 bolas
amarelas e 1 bola cinza. Com a urna I as retiradas devem ser com
reposição e com a urna II devem ser sem reposição. Um jogo
consiste no seguinte: o jogador ganha se ele tirar a bola cinza, perde
se tirar uma vermelha e tem nova(s) chance(s) se tirar uma amarela.
Qual das 2 urnas favorece o jogador?
63. Sejam A e B eventos tal que PA=x, PB=y e P(AB)=z. Calcula as
probabilidades de A  B , A  B, A  B e A  B .
64. Sabe-se
que
PA=PB=1/3,
PC=1/4,
P(AB)=1/8,
P(BC)=P(AC)=1/9 e P(ABC)=1/20. Qual a probabilidade de
ocorrer pelo menos dois deles?
11
65. A, B, e C lançam sucessivamente, nesta ordem, uma moeda
equilibrada até que um deles obtenha cara e ganha o jogo. Qual a
probabilidade de cada jogador ganhar?
66. Um jogador escolhe ao acaso um ponto do quadrado =[0;1]2 
2. Se alguma das coordenadas do ponto selecionado for maior do
que um certo número , então o jogador ganha. Caso contrário, ele
perde. Qual o valor de  para que o jogo seja justo?
67. Uma caixa contém 5 lâmpadas das quais 2 tem filamento partido.
Estas lâmpadas são verificadas, uma a uma, sem reposição, até que
seja encontrada uma com filamento partido. Escreva um modelo
probabilístico para este experimento.
68. Sejam A, B, C eventos tal que PA=PB=PC=1/4 e
P(AC)=P(BC)=1/8, mas P(AB)=0. Calcula a probabilidade de ao
menos um dos eventos ocorrer e a de exatamente dois deles
ocorrerem.
69. Reescreva as frases a seguir, corrigindo-as caso estejam
incorretas: (a) A probabilidade de um evento é uma função. (b)
P(AB)=PA  PB significa eventos exclusivos. (c) Nenhum evento é
um número.
70. Prova que P(ABC)=PA + PB + PC - P(AB) - P(AC) - P(BC)
+ P(ABC).
71. Um nº é formado com 4 placas escolhidas sucessivamente ao
acaso de
1
2
2
3
3
3
Qual a probabilidade dele ser maior que 3000? E a de ser par?
Qual é a probabilidade de que nenhum par sucessivo seja de dígitos
idênticos?
72. Em uma caixa há 10 cartões com as letras M,A,T,E,M,A,T,I,C,A.
Qual a probabilidade de que, retirando os cartões sucessivamente ao
acaso, e colocando-os na ordem retirada, seja formada a palavra
MATEMATICA?
12
73. Com as letras "a,b,c,d,e,f" são formadas palavras de 4 letras sem
reposição ao acaso. Qual o cardinal do espaço amostral? Idem para
4 letras com reposição.
74. As letras C,A,S,A estão no verso de 4 tabuletas. Uma pessoa
escolhe uma por uma ao acaso e sem reposição. Qual a
probabilidade de que ela forme a palavra CASA? Qual a
probabilidade de que a palavra formada termine em S?
75. Uma moeda amarela é lançada, a seguir, uma branca, um dado
cinza e um dado roxo. Que tipo de experimento é este? Qual o seu
espaço amostral? Qual a probabilidade de ocorrer uma cara amarela
e uma face par cinza numa realização deste experimento? Qual a
probabilidade de ocorrerem duas caras dado que ocorreram duas
faces "6"?
76. O dado A tem 4 faces amarelas e 2 brancas. O dado B tem 4 faces
brancas e 2 amarelas. Uma moeda é lançada e, caso der cara, lançase 3 vezes o dado A; caso contrário, lança-se 3 vezes o dado B. Qual
a probabilidade de ocorrer uma face amarela no 1º lançamento? Se
foram obtidas faces amarelas nos dois primeiros lançamentos, qual a
probabilidade de que ocorra face amarela no 3º lançamento? Se foi
obtida uma face amarela no 3º lançamento, qual a probabilidade de
que tenham ocorrido faces amarelas nos dois primeiros
lançamentos?
77.
Que são eventos exclusivos? Exemplifica.
78.
Que são eventos independentes? Exemplifica.
79.
É único o espaço amostral de cada experimento aleatório?
80. Os jogadores A, B, C lançam sucessivamente, nesta ordem, uma
moeda cuja probabilidade de ocorrer cara é 1/3 da de ocorrer coroa.
O 1º que obtiver cara, ganha o jogo. Qual a probabilidade de cada
jogador ganhar?
81. Cinco cartas são selecionadas ao acaso e sem reposição de um
baralho completo. Qual a probabilidade de que todos sejam ases?
Idem para 3 cartas.
13
82. É possível construirmos um modelo probabilístico cujo espaço
amostral seja {1,2,3,4,5,6} tal que os eventos {1,2,3}, {3,4} e {1,3,5}
sejam independentes?
83. Numa grande empresa trabalham 40 engenheiros, 10 dos quais
são mulheres, e 10 arquitetos, 5 dos quais são mulheres. Cada ano,
eles rifam entre si um prêmio (50 bilhetes). Qual a probabilidade
condicional de ser premiado um arquiteto dado que foi premiado um
homem? Qual a probabilidade condicional de ser premiado uma
engenheira dado que foi premiada uma mulher? Responda usando o
Teorema de Bayes.
84. Sabe-se que PA=PB=2/5, PC=1/5, P(AC)=P(BC)=1/10,
P(AB)=4/25 e P(ABC)=0. Há eventos independentes? Calcula a
probabilidade de dois ou mais destes eventos ocorrerem, a de
apenas um deles ocorrer e a de nenhum deles ocorrer.
85. Cite um experimento aleatório da sua vida pessoal, seu espaço
amostral e as probabilidades que você atribui a cada resultado.
86. Um baralho de poquer tem 52 cartas, 13 de cada naipe. Qual a
probabilidade de um FLUSH (todas as cartas de um mesmo naipe)
em uma mão (5 cartas selecionadas ao acaso e sem reposição)?
87. Os jogadores A,B e C lançam sucessivamente uma moeda cuja
probabilidade de cara é 1/3. O 1º que obtiver cara ganha o jogo. Qual
a probabilidade de A ter ganho dado que houve menos de 6
lançamentos? Qual a probabilidade de ter ocorrido mais do que 6
lançamentos dado que A ganhou o jogo?
88. A urna I contém 3 bolas amarelas e 7 brancas, a urna II tem 5
amarelas e 5 brancas e a urna III tem 7 amarelas e 3 brancas. Uma
destas urnas é selecionada com probabilidades proporcionais ao nº
de bolas amarelas que cada urna possui. A seguir, duas bolas são
selecionadas ao acaso e sem reposição da urna selecionada. Qual a
probabilidade de que a urna seja a urna I dado que foram obtidas
duas bolas amarelas? Idem para uma amarela e uma branca.
89. Considera um lançamento de um dado honesto. Encontra 3
eventos independentes, se possível.
90. Prova que: se A e B são eventos independentes, então AC e BC
são eventos independentes.
14
CAPÍTULO 2 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Seja , P um espaço de probabilidade. Uma função X definida em
 com valores em  1 é uma VARIÁVEL ALEATÓRIA.
Uma v.a. X induz uma probabilidade PX em 1 :
(1) PX B   P X 1 B  PX  B, B  1 .


A função F X definida em 1 pela fórmula a seguir é a FUNÇÃO
DISTRIBUIÇÃO (ACUMULADA) DA v.a. X :
(2) FX x   PX (; x]  PX  x, x  1
As propriedades a seguir são facilmente demonstradas:
(3) F X é contínua à direita.
(4) F X é monótona não decrescente.
(5) Pa  X  b  FX b  FX a .
(6) PX  c  1  FX c .
(7) lim FX x   0 e lim FX x   1
x
x
Uma v.a. X é uma VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA se e
somente se existe um conjunto enumerável D  1 tal que PX  D  1 .
Neste caso, a função p x definida por
(8) p X  x   PX x  PX  x, x  1 ,
é a FUNÇÃO (MASSA) DE PROBABILIDADE da v.a. X . Suas
propriedades mais elementares (e óbvias) são:
(9) p X  x   0, x  1
(10)  p X x    p X x   1 .
xD
x1
Seja g : 1  1 uma função. Assim, g  X   g  X , onde X é uma
v.a., é também uma v.a. Em particular, se g for a função identidade,
gX   g  X  X .
Seja X uma v.a. discreta. A ESPERANÇA (ou MÉDIA) da v.a.
g  X  , anotada E g  X  , é definida pela seguinte expressão:
(11) Eg  X    g x   p X x  .
xD
15
Seja a  1 e n um inteiro positivo. O n-ésimo momento de uma
v.a. X em relação ao ponto a , anotada por M (n, X , a) é definido pela
seguinte expressão:

(12) M n, X .a   E  X  a 
n

Teorema 2. Se X é uma v.a., então, são equivalentes:
(a) Existe M n, X , o .
(b) Existe M n, X , a , a  1 .
(c) Existe M k , X , O , k  1,, n.
A VARIÂNCIA de uma v.a. X , anotada Var X é:
(13) VarX  M 2, X , EX   E  X  EX 2
Suas propriedades principais são facilmente demonstradas:
(14) VarX  E X 2  EX 2 .


 
(15)
(16)
(17)
(18)
VarcX   c 2  VarX , c  1 .
VarX  c  VarX , c  1 .
VarX  0 .
VarX  0 sss PX  c  1 para algum c  1 .
O DESVIO PADRÃO de uma v.a. X , anotado DesX , é o valor não
negativo da raiz quadrada do número VarX , quando
este
número
existe.
O Teorema 3 a seguir é conhecido como o TEOREMA DOS
EIXOS PARALELOS e o Teorema 4 como a DESIGUALDADE DE
TCHEBYCHEV.
 
Teorema 3. Se X é uma v.a. tal que E X 2 existe, então


(19) E  X  a 2  VarX  a  EX 2 , a  1 .
 
Teorema 4. Se X é uma v.a. tal que E X 2 existe, então
(20) P X  EX      2  VarX ,   0 .
Uma MODA de uma v.a. discreta X , anotada ModX , é qualquer
x  1 tal que p X x   máx p X t  .
tD
16
A noção que apresentamos agora, SEPARATRIZ, não é muito
utilizada quando se trabalha com variáveis aleatórias discretas.
Seja p  1 tal que 0  p  1 . Um p -ÉSIMO QUANTIL de uma v.a.
X é qualquer x  1 tal que PX  x  p e PX  x  1  p . Anotamos
um p -ésimo quantil por x p . A separatriz mais "famosa" é a MEDIANA
x0,5 (MedX ) .
O DESVIO MÉDIO de uma v.a. X , anotado Dm X , é
(21) Dm X  E X  EX 
EXERCÍCIOS:
1. Se PX  a  1 , então EX  a ?
2. Prova o Teorema 2.
3. Prova o Teorema dos Eixos Paralelos.
4. Prova a Desigualdade de Chebychev.
5. Qual a relação de função de probabilidade e a função distribuição de
uma v.a. discreta.
6. Uma v.a. pode ser considerada uma "redução", uma "simplificação",
uma "aglutinação" ou uma "condensação" de um espaço de
probabilidade?

 
  
E  X  EX    E X  4  EX  E X  6  EX   E X  3  EX  ?
7. Prova que: E  X  EX 3  E X 3  3  EX  E X 2  2  EX 3 .
8.
4
4
3
2
2
4
9. Uma v.a. X assume os valores 0, 1, e 2 com probabilidades 1/2, 1/4
e 1/4, respectivamente. Você deve adivinhar o valor e pagar o
quadrado do erro. Qual é a sua escolha ? Justifica-a.
17
10. Um jogador lança três moedas honestas. Seja X o total de caras
e Y o total de coroas. Verifica quais das igualdades a seguir estão
corretas:
(a) EX  Y   EX  EY
(c) VarX  Y   VarX  VarY
(b) E  X  Y   EX  EY
(d) VarX  Y   VarX  VarY
11. Uma v.a. discreta assume os valores -2, -1, 0, 1, 2 com
equiprobabilidade. Calcula F(-5), F(-2), F(1/2), F(556), F(1) - F(0),
F(-1) - F(-2), F(2) - F(-1), F(0) - F(-2).
12. Uma v.a. assume valores em D  1,, k com função de
probabilidade px  x, x  D ( px  0, caso contrário). Qual o valor de
?
13. Uma moeda cuja probabilidade de ocorrer cara é 4 vezes maior do
que a probabilidade de ocorrer coroa é lançada 3 vezes. Seja X o
número de caras obtidas. Escreva pX e FX.. Calcula EX, DesX, ModX,
MedX, DmX.
14. Um dado honesto é lançado duas vezes. Seja X a diferença em
valor absoluto das faces obtidas e seja Y a maior delas. Para cada
uma destas variáveis, obtenha a função de probabilidade, a função
distribuição, a esperança, o desvio padrão, a moda, a mediana e o
desvio médio.
15. Para cada uma das funções de probabilidade definidas a seguir,
calcula esperança, desvio padrão, moda, mediana e desvio médio.
-3
-2
-1
0
1
2
3
t
pX(t)
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
pY(t)
1/28
2/28
3/28
4/28
5/28
6/28
7/28
pZ(t)
1/25
3/25
5/25
7/25
5/25
3/25
1/25
16. Seja X uma v.a. discreta com D = {-1,0,1}.
(a) Se pX(0) = 1/2, qual o valor de E[X2] ?
(b) Se pX(0) = 1/2, e EX = 1/6, quanto valem pX(-1) e pX(1)?
17. O número de filhos X das famílias de uma determinada população
se distribuem de acordo com as freqüências relativas expressas a
seguir. Calcula média, desvio padrão, moda, mediana, desvio médio
e x0,75.
pX(0) = pX(4) = 0,05
pX(1) = 0,4
pX(2) = 0,3
pX(3) =0,2
18
18. Uma v.a. Y tem função massa de probabilidade definida a seguir.
Calcula média, desvio padrão, moda, mediana, desvio médio e y0,8.
Py(-2) = 0,1
py(-1) = 0,2
py(0) =0,2
py(1) = 0,4
py(2) =0,1
19. Esperança é um momento? Idem para variância, desvio padrão,
moda, mediana e desvio médio.
20. Esperança é uma separatriz? Idem para variância, desvio padrão,
moda, mediana e desvio médio.
21. Se X é uma v.a. discreta com D = {1,2,...} e EX existe, então

EX   PX  x.
x 1
22. Seja A   e X = IA. Calcula E [Xn],  n  {1,2,...}.
23. Se X é uma v.a. tal que P{X=-c} = P{X=c} = 1/2 para algum c > 0,
então P{X-EX}  c } = c-2 Var X.
24. Se X é uma v.a. tal que P{X<a} = P{X>b}=0, então a  EX  b e
VarX  (b-a)2 / 4. Demonstra estas propriedades para v.a. discretas e
verifica-as para os exercícios 15, 17 e 18. O exercício 23 serve como um
exemplo de algo especial aqui?
25. Seja X uma v.a. e Y = a + bx. Obtenha EY e VarY em função de
EX e de VarX.
26. Você pode colocar numa urna qualquer quantidade de bolas com o
número 1,... o número 2, ... o número 3 e também com o número 4.
Após isso feito, duas bolas serão selecionadas sucessivamente ao
acaso e com reposição. X designará a soma dos dois números. É
possível uma colocação de bolas que torna px uma função constante?
27. Uma moeda com probabilidade 1/2 de resultar coroa é lançada até
que este resultado ocorra ou até que 4 lances sejam feitos. Calcula a
esperança, o desvio padrão, a moda, a mediana e o desvio médio do
número de lances deste experimento aleatório.
28. Uma v.a. Y é tal que EY=6 e VarY=11. Calcula E[2y2 - 3y +5] e Var
[111 - 5Y].
19
29. Um jogador lança uma moeda duas vezes. Se ocorrer uma cara,
ele ganha uma importância I. Se ocorrer duas caras, ele ganha 2I.
Caso contrário, ele paga 5I. (a) Se a moeda é honesta, você
considera este jogo justo? Justifica. (b) Que tipo de moeda deve ser
usada para que este jogo seja justo? (c) Calcula a variância em cada
caso.
30. Uma v.a. X tem média 10 e variância 16. Calcula a média e a
variância de: (a) Y=X+2, (b) Y=2X, (c) Y=2X-4, (d) Y=X/2+4,
(e)Y=X/2-8, (f) Y=8-2X.
31. Uma urna possui uma bola amarela, duas bolas brancas e quatro
bolas cinzas. O jogador A retira uma bola. Se ela for amarela, ele
ganha. Caso contrário, ele não é recolocada e o jogador B retira uma
das que sobraram. Se ela for branca, ele ganha. Caso contrário, ela
não é recolocada e o jogador C retira uma das que sobraram. Se ela
for cinza, ele ganha. Caso contrário, os jogadores A, B e C tem
novamente uma chance cada um, na ordem mencionada e não
recolocando as bolas retiradas. Seja X o total de bolas retiradas.
Calcula:
(a) P(A ganhar), P(B ganhar) e P(C ganhar).
(b) O valor relativo das apostas para o jogo ser justo.
(c) P(A ganhar | alguém ganha) e P(B ganhar | A não ganha).
(d) P(A ganhar | X>3) e P(B ganhar | X  3).
(e) P(B ganhar | X>3 e A não ganha).
(f) O lucro esperado de B dado que A não ganha.
(g) P(A não perder | A não ganha).
(h) P(X=2 | A ganhou) e P(X=2 | B ganhou).
(i) EX, E[ X | A ganhou ] e E[ X | A não ganhou ].
(j) P(X4 | A ganhou)
(k) Calcula o desvio padrão e o desvio médio de X.
(l) Calcula a moda, a mediana e o 6º octil de X.
32. Numa rua há 3 faróis de trânsito suficientemente espaçados para
serem considerados independentes. O 1º dá luz verde 40 segundos
por minuto, o 2º durante 45 e o 3º durante 48. Um motorista deve
passar diariamente pelos faróis. Determina px, EX, DesX, DmX, ModX
e MedX, onde X é o nº de faróis abertos encontrados em um dia pelo
motorista.
33. A idade dos indivíduos de certa população é uma v.a. com média
23 e desvio padrão 2. Qual é a proporção máxima de indivíduos com
20
idade fora do intervalo [19;27], desconhecendo-se qualquer outra
informação adicional sobre a v.a.?
34. O conjunto de estaturas dos 9586 alunos de uma escola apresenta
média 1,683 m e desvio padrão 0,081 m. Não se conhece outras
informações a respeito desta variável a não ser o fato de que ela é
simétrica. Quantas pessoas, no máximo, tem altura igual ou superior
a 1,90 m ?
35. A duração média de um tubo de imagem produzido por
determinado fabricante é 1500 horas e o desvio padrão é 100 horas.
Supondo que a distribuição do tempo de duração é simétrica, qual
deve ser a garantia máxima que o fabricante deve especificar para
que a percentagem de defeituosos dentro do prazo de garantia seja
no máximo igual a 10% ?
36. A quantidade de uma certa substância no sangue de indivíduos
normais é uma variável com média 110 mg/cm3 e desvio padrão 10
mg/cm3. Um clínico resolveu classificar como doente todo indivíduo
no qual fosse encontrada uma quantidade inferior a 90 mg/cm3 ou
superior a 130 mg/cm3. Determine um limite superior para a
probabilidade de que ele erre classificando um indivíduo normal como
doente com base numa amostra de 1 cm3 de sangue.
37. Uma companhia de seguros estima que a perda total de um
automóvel ocorre com probabilidade 3/1000, que 50% de perda
ocorre com probabilidade 2/100 e que 25% de perda ocorre com
probabilidade 1/10. Ignorando as demais perdas, quanto deve ser
cobrado sobre o valor de um automóvel se ela deseja obter um lucro
médio de 1% de tal valor ?
38. Um dado equilibrado é lançado duas vezes, mas ele possui uma
face "1", duas faces "3" e três faces "5". Seja X o produto dos dois
resultados. Escreva a distribuição de probabilidade de X. Calcula a
moda, a mediana, o desvio padrão e o desvio médio de X.
39. O número de perguntas feitas por alunos durante as aulas é uma
variável aleatória com função de probabilidade definida a seguir.
Calcula a moda, a média, a mediana, o desvio padrão e o desvio
médio. Calcula a probabilidade de ocorrer perguntas e interpreta este
número.
x
0
1
2
3
4
5
6
px
0,15
0,05
0,20
0,25
0,10
0,10
0,15
21
40. Reescreva as frases a seguir, corrigindo-as caso estejam
incorretas:
(a) A soma da função de distribuição acumulada é um.
(b) As médias, quando existem, são números não negativos.
(c) Sempre existe (pelo menos) uma moda.
41. Um fichário temo nome de 4 homens e 3 mulheres. Fichas são
selecionadas ao acaso e sem reposição até a obtenção da 3º ficha de
uma mulher. Qual a distribuição do nº de fichas ?
42. Você aposta contra um amigo $120 na ocorrência da face 6 no
lançamento de um dado e $ 360 na ocorrência de cara no
lançamento de uma moeda. Qual a probabilidade de que você ganhe
as duas apostas? Qual a probabilidade de que você ganhe só uma?
Qual o valor esperado e o desvio padrão do seu lucro?
43. No Exercício 27 calcula o 3º e o 4º momento do nº de lances em
relação a sua média. (Dica: usa os exercícios 7 e 8.)
44. Um ponto é selecionado ao acaso na grade abaixo. Seja X a
menor das duas coordenadas. Calcula EX, VarX, ModX, MedX e
DmX. Calcula também M(3,X,EX) e M(4,X,EX). (Dica: usa os
exercícios 7 e 8)
- - - -+1- - - -
-1
0
+1
- - - - -1- - - - 
45. Uma urna tem 3 bolas amarelas e 3 bolas brancas. O jogador A
retira uma bola ao acaso e a recoloca junto com outra bola da mesma
cor. A seguir, o jogador B retira uma bola ao acaso e a recoloca junto
com outra da cor oposta. Cada um deles faz isto mais uma vez,
primeiro A e depois B. Obtenha a distribuição da v.a. X, a diferença
entre o nº de bolas amarelas e o nº de bolas brancas ao final. Se A
ganha uma quantia, a mesma que B, caso haja mais bolas amarelas,
B se houver mais brancas e há empates, este jogo é justo? Se X for o
prêmio de A, este jogo é justo?
46. Seja X uma v.a.com a distribuição a seguir. Calcula média, desvio
padrão, mediana, desvio médio, moda, 1º octil e
E[X | X 0] .
22
CAPÍTULO 3 - MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS
Bn; p 
A - Família Binomial
0  p 1
n  1,2
 n
D  0,1,, n px     p x 1  p n x
 x
EX  np
VarX  np 1  p  n  1 : BERNOULLI
B  k ; p 
B - Família Binomial Negativa ou Pascal
0  p 1
k  1,2,
 x  1 k
D  k , k  1, k  2, px   
 p 1  p xk
 k  1
EX  k p
VarX  k 1  p  p 2
k  1 : GEOMÉTRICA
C - Família Hipergeométrica
H N ; K ; n 
K  1,, N  1 n  1,, N  1
N  2,3,
D  máx (0, n  N  K ), máx (0, n  N  K )  1,, mín (n, K 
K N  K
   

x
n

x

p x     
N
 
n
EX  nK N 
VarX  nK N 1  K N    N  n   N  1
D - Família Poisson
 0
D  0,1,2,
P 
e   x
p x  
x!
23
EXERCÍCIOS:
1. Sabe-se que X ~ B (5; 0,4). Calcula P{X=3}, P{X  4} e P{X  3}.
2. Num teste tipo certo-errado com 10 questões, qual é a probabilidade
de um aluno que esteja respondendo ao acaso acerte 8 ou mais ? E
com 5 alternativas ?
3. Calcula P{6  T  8} sabendo que T ~ B(20;0,85).
4. Qual a probabilidade de se obter 2 caras em 6 lances de uma moeda
com probabilidade 0,35 de coroa em um lançamento?
5. Se X tem distribuição binomial com média 12 e desvio padrão 2 2 ,
qual é o valor de n ?
6. Se X ~ B(12 ; 0,45) e Y ~ B(9 ; 0,35), então qual a média, o desvio
padrão, a probabilidade de exceder 10 e a de não superar 2 de cada
variável ? Calcula também P{Y  4 } e P{3 < X  10}.
7. Um professor pede a cada um de seus alunos que escreva um dígito
de {1,2,  , 9,0}. Se os alunos escolhem seus dígitos ao acaso e
independentemente, qual a distribuição de T, o total de alunos que
escolhem um dígito múltiplo de 4 ?
8. Numa moeda cuja probabilidade de se obter cara é 2/5 da de se obter
coroa em um único lançamento, qual a probabilidade de se obter 2
caras ou 3 coroas em 10 lançamentos ?
9. Uma peça de determinado equipamento deve ser checada ao final de
cada hora de operação. Se ela apresentar desgaste, deve ser
substituída. Se X representar o número de horas que uma peça é
utilizada, então X tem distribuição geométrica com p=1/5. Calcula a
probabilidade da peça ser utilizada pelo menos 3 horas.
10. Seja X ~ B- (1 ; p). Calcula a probabilidade de X ser par e a de X
ser ímpar.
11. Num processo de produção há uma probabilidade 0,05 de que um
ítem resulte defeituoso. Se cada ítem é produzido em 30 segundos,
qual o tempo médio de espera até que surja o 1º ítem defeituoso.
Idem para o 3º.
24
12. Prova que qualquer distribuição geométrica "não tem memória",
i.e., que P{X > m +n | X > m } = P{X > n} para quaisquer inteiros
positivos m e n. (A recíproca também é verdadeira: Se uma
distribuição sobre os inteiros positivos não tem memória, então ela é
geométrica. Sua prova, entretanto, é bastante técnica.)
13. Uma cidade tem 32% de seus veículos de determinada fábrica
(Ford, digamos). Um guarde de trânsito resolve solicitar a
documentação dos 5 primeiros veículos desta marca que encontrar.
Qual a probabilidade de que tenha que esperar passar 12 ou mais
veículos ? Qual o número esperado de veículos ?
14. Uma gaveta tem 10 lápis dos quais 3 têm a ponta quebrada. Se 5
lápis são escolhidos ao acaso de uma só vez, qual a probabilidade de
que dois deles estejam com a ponta quebrada ? Qual a média e o
desvio padrão do número de lápis com a ponta quebrada ?
15. Num departamento de certa instituição trabalham 5 geólogos e 9
geógrafos. Se uma comissão de 4 profissionais é formada ao acaso,
qual a probabilidade de ocorrer "equilíbrio" ?
16. Uma urna contém 4 bolas amarelas e 6 bolas brancas. São
extraídas ao acaso e sem reposição 3 bolas. Seja X o número de
bolas amarelas extraídas. Qual a probabilidade de X exceder ou
igualar a 2 ? Calcula EX, VarX e ModX.
17. Um professor distribui entre seus alunos uma lista de 12
problemas afirmando que fará uma prova sobre 4 deles sorteados ao
acaso. Um aluno não consegue resolver 3. Se cada problema da
prova vale 2,5 pontos, qual é a nota esperada, qual o desvio padrão e
qual a probabilidade dela exceder 6,0 ?
18. Considera uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 bolas
brancas. Três bolas são retiradas simultaneamente ao acaso. Seja X
o número de bolas brancas retiradas. Sejam Y=3X e Z=X2. Obtenha,
para cada uma destas variáveis, a função de probabilidade, a
esperança, a variância, a moda e a mediana.
19.
Repita o Exercício 18 para cinco bolas vermelhas e 3 brancas.
20.
Sabe-se que X ~ P(5). Calcula P{X=1} e P{X  5}.
25
21. A intensidade média do fluxo de carros em determinado local de
certa rodovia é 30 carros / minuto. Calcula a probabilidade de que 2
ou mais carros sejam registrados em um medidor num período de 2
segundos. Calcula a probabilidade de que o medidor nada registre
durante um período de 30 segundos.
22. Supõe-se que o número de defeitos de certo trecho de um cabo
tenha distribuição Poisson. Se há em média, 10 defeitos a cada 100
metros, qual é a probabilidade de que um metro tenha pelo menos
um defeito?
23. O número de fregueses que entra em certo estabelecimento
comercial apresenta a taxa de 4 pessoas / minuto. Calcula a
probabilidade de entrar no máximo duas pessoas em 1 minuto e a
probabilidade de que se passem 2 minutos sem entrar alguém.
24. O número médio de parafusos defeituosos produzidos diariamente
por uma máquina é 60. Supondo que esta máquina trabalhe 8 horas
por dia, qual a probabilidade de que ela produza no máximo 3
parafusos defeituosos na 1º hora de atividade e a de que isto ocorra
nas primeiras duas horas de atividade ?
25. A observação mostrou que, em certa empresa, o nº médio de
acidentes mensais é 6. Qual a probabilidade de ocorrer num mês
qualquer somente um acidente, a de ocorrer 5 acidentes ou mais e a
de ocorrer menos de 3 acidentes ?
26. Se X ~ P() e  é inteiro, então X é bimodal e suas modas são
 - 1 e . Se X ~ P() e  não é inteiro, então X é unimodal e sua
moda é int().
27.
Prova que: X ~B(n;p)  EX = np e VarX = np(1-p).
28.
Prova que: X ~ P()  EX =  e VarX = .
29.
Se X ~B(n;p), então E [(X/n - p)2] = p(1-p)/n  1/4n.
30. Numa maternidade a taxa de nascimentos diária é 5,2. Qual a
distribuição do número de nascimentos por semana, sua média, seu
desvio padrão e sua moda ? (Ver Exercício 26.)
26
31. Se X ~ P(1,9) e Y ~ P(6,4), qual a média e o desvio padrão de
cada variável ? Qual a probabilidade de cada uma delas exceder 3 e
qual a de cada uma delas não superar 4? Calcula também
P{ 3  X<5 } e P{2<Y<7}. Obtenha suas modas.
32. Qual a probabilidade de serem produzidas 3 ou mais peças
defeituosas em um dia num processo de fabricação no qual uma
peça defeituosa é produzida com probabilidade 1/20 e 100 peças são
produzidas diariamente ?
33. Um motor elétrico é protegido por 4 relés térmicos, cada um com
probabilidade 0,7 de desconectar o circuito quando houver uma
sobrecarga. Como eles devem ser ligados e qual a probabilidade do
circuito desconectar quando houver sobrecarga?
34. Num experimento binomial com 3 repetições a probabilidade de
ocorrer exatamente 2 sucessos é 12 vezes a probabilidade de ocorrer
3 sucessos. Calcula p.
35. Qual é a probabilidade de que, em 14 ensaios de Bernoulli ocorra
exatamente 7 sucessos, sabendo que a probabilidade de ocorrer um
sucesso é 2/3 da probabilidade de ocorrer um fracasso ?
36. Na revisão tipográfica de um livro foi observada uma média de 2
erros por página. Selecionada uma página ao acaso, qual a
probabilidade de que ela tenha somente um erro, a de que não tenha
erro e a de que tenha 5 erros ou mais ?
37. O nº de pessoas que entra num estabelecimento comercial é, em
média, 8 a cada 5 minutos. Qual a probabilidade de que entrem dois
ou mais durante 30 segundos ?
38. Um dado honesto é lançado até que a face "6" ocorra 3 vezes.
Qual é o número esperado de lançamentos ?
39. Se, entre 10 números positivos e 6 números negativos,
escolhemos 3 ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de que
seu produto seja negativo ?
40. Qual a probabilidade de que 5 cartas extraídas ao acaso e sem
reposição de um baralho sejam todas de um mesmo naipe ?
27
41. Calcula a probabilidade de ocorrer trinca e dupla com 5 cartas
retiradas ao acaso de um baralho em uma partida de poquer se ele
estiver completo e se ele estiver sem as cartas 2,3,4 e 5.
42. A vida cotidiana nos oferece inúmeras situações em que devemos
escolher entre uma "probabilidade grande" e uma "combinação de
probabilidades menores" como exemplificamos a seguir. Um rei
probabilista oferece a um condenado à morte a escolha entre uma
destas duas "anistias": (a) Sortear ao acaso a bola branca de uma
urna A com dez bolas, uma branca e nove pretas, numa tentativa. (b)
Sortear ao acaso a bola branca de uma urna B com cem bolas, uma
branca e noventa e nove pretas, em 10 tentativas ao acaso e com
reposição. Qual delas o condenado deve escolher ?
43. Numa partida de poquer cada jogador recebe 5 cartas escolhidas
ao acaso e sem reposição de um baralho completo. Calcula as
probabilidades das mãos a seguir:
(a) Trinca de Ases (as outras duas cartas devem ser diferentes de
ases e diferentes entre si).
(b) Four (4 cartas de um valor e uma de outro).
(c) Seqüência Real (uma seqüência de cartas do mesmo naipe onde
os ases servem tanto no começo como no fim).
44. Se 3 cartas são retiradas ao acaso e sem reposição de um baralho
comum, qual a probabilidade de que todos sejam do mesmo naipe, a
de que nenhuma seja ás e a de que todos sejam figuras ?
45. Após serem distribuídas as cartas, Norte não tem ases. Qual é a
distribuição de ases de seu parceiro ?
46.
Qual a probabilidade de Norte estar falho em dois naipes ?
47. Duas pessoas lançam cada uma n vezes uma moeda perfeita.
Qual a probabilidade de que obtenham o mesmo número de caras ?
48. Num concurso há 30 inscritos: 12 engenheiros e 18 arquitetos.
Admitindo que há 3 vagas e que todos tem as mesmas chances: (a)
Qual a probabilidade de que nenhum engenheiro seja classificado ?
(b) Qual a probabilidade de que dois ou mais engenheiros sejam
classificados ?
28
49. Um canal de comunicação emite mensagens codificadas em
dígitos binários "0" e "1". O "ruído" do canal faz com que cada dígito
seja recebido corretamente independentemente dos demais com
probabilidade 0,95. Qual a probabilidade de que a mensagem
"0110011011" tenha 7 ou mais dígitos transmitidos corretamente ?
50. De 6 números negativos e 8 números positivos, dois são
escolhidos ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que o
produto deles seja positivo ?
51. Um professor pede a cada um de seus 23 alunos que escreva sua
vogal preferida. Ele crê que há preferência pelas vogais abertas (a,
e,o) e, por esta razão, conta o total T de estudantes que escolheram
uma destas vogais. Se a escolha das vogais é totalmente ao acaso e
cada aluno escolhe a sua independentemente dos demais, qual a
distribuição de T, sua média e seu desvio padrão ?
52. Um datilógrafo comete, em média, 5 erros em cada página. Qual a
probabilidade dele cometer mais de 75 erros em 10 páginas? Qual o
nº médio e qual o desvio padrão do nº de erros em 10 páginas?
53. Uma fábrica vende lâmpadas em caixas contendo 4 delas. As
caixas que apresentam mais de uma lâmpada com filamento partido
são indenizadas. A probabilidade de uma lâmpada não ter filamento
partido é 0,9.
(a) Qual é a probabilidade de uma caixa ser indenizada?
(b) Se 2000 caixas são vendidas, qual o nº esperado de caixas
indenizadas?
(c) Qual a média e qual a variância do nº de lâmpadas com filamento
partido por caixa?
54. Um dado é formado com chapas de plático de 10 cm x 10 cm.
Aparecem 50 defeitos, em média, em cada m2 de plástico.
(a) Qual a probabilidade de que uma face apresente exatamente 3
defeitos?
(b) (b) Qual a probabilidade de que um dado apresente no máximo 2
defeitos?
(c) (c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam
perfeitas?
55. Uma v.a. X assume os valores 1,2,3,4 ou 5 com probabilidade
p(x)=e-x  x . Calcula  e EX. Esta é uma DISTRIBUIÇÃO DE
POISSON TRUNCADA.
29
56. Calcula a esperança, o desvio padrão, a mediana, a moda e o
desvio médio de uma B(4;0,3)
57. Os rebites produzidos por uma indústria tem uma média diária de 4
defeitos.
Qual a probabilidade de que a média seja
ultrapassada?
58. O nº de automóveis que abastecem em determinado posto de
gasolina no período de 3 minutos tem probabilidade 1/8 de ser igual a
zero. Qual é a probabilidade de que 2 ou mais carros abasteçam em
5 minutos?
59. Todos os pregos de um saco foram agrupados ao acaso em
"feixes de 5" nos quais se encontrou, em média, 4 bons em cada
feixe. Qual a probabilidade de um feixe conter exatamente um bom?
60. Um aluno fez uma prova de Inglês com 10 questões de 4
alternativas cada uma sem saber nada. Qual o nº esperado de
acertos, o desvio padrão e a probabilidade de que ele acerte 3 ou
mais?
61. Se 4 relés são escolhidos ao acaso em uma caixa onde há 6 da
marca A e 4 da marca B, qual o valor mais provável para X, o nº de
relés da marca A entre os escolhidos? Qual a média e qual o desvio
padrão?
62. É mais provável conseguir-se pelo menos um resultado "1" com 4
dados do que pelo menos um "duplo um" em 24 lançamentos de dois
dados? (Este foi um problema proposto por Mere a Pascal em 1654)
63. Um percevejo é lançado 4 vezes. Seja X o total de vezes que a
ponta caiu para cima. Supondo que a probabilidade de que ele caia
para cima em um lançamento é 4/5, qual a probabilidade de X 
{0,2,4} ?
64. O fluxo de chamadas em uma central telefônica é, em média, 12
chamadas por hora. Calcula a probabilidade de que não ocorram
chamadas num período de 10 minutos e a de que ocorram mais do
que 3 chamadas num período de 15 minutos. Qual o valor esperado,
o desvio padrão, a moda e a mediana do número de chamadas em
períodos de 30 minutos?
30
65. Uma pessoa afirma que é adivinha, o que é posto em dúvida. Em 8
retiradas sucessivas com reposição de cartas de um baralho, qual a
probabilidade de que ela acerte o naipe 4 vezes ou mais se for uma
embusteira? Qual o valor mais provável de acertos? Qual o valor
médio? Qual o valor mediano?
66. Estima o nº de passas por biscoito se desejamos que, em cada
100 biscoitos, no máximo dois apareçam sem passas com
probabilidade 0,95.
67. John está esperando Delay, que não é a garota mais pontual do
planeta. Para não se aborrecer, decide caminhar assim: joga uma
moeda honesta e anda 10 passos para o Norte, se o resultado for
cara, ou 10 passos para o Sul, caso contrário. Se Delay chegar após
9 lançamentos ao local do encontro e sabendo que sua miopia só lhe
permite enxergar até 25 passos, qual a probabilidade de que ela não
se sinta abandonada ao chegar?
68. Em um certo tipo de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de
3 por 200 metros. Qual a probabilidade de que um rolo com 500
metros tenha pelo menos 4 cortes?
69. Numa moeda cuja probabilidade de ocorrer cara é 3/5 da
probabilidade de se obter coroa, qual a probabilidade de se obter 2
caras ou 3 coroas em 8 jogadas?
70. Um professor recebeu 10 multas por estacionamento ilegal durante
3 meses. Todas foram em terças e quintas. Qual a probabilidade
deste evento ocorrer se a polícia patrulha os locais ao acaso durante
os 5 dias úteis? Justifica-se que ele pague estacionamento nestes
dias? Nenhuma das multas foi dada em quartas. Isto é um evidência
de que a polícia não multa às quartas nos locais onde o professor
estaciona?
71. Numa urna há 3 bolas brancas e 7 amarelas. Bolas são sortiadas
sucessivamente, uma de cada vez, ao acaso e com reposição, até
que ocorra a 2ª retirada de uma bola amarela. Qual o nº mais
provável de retiradas?
72. Repita o problema anterior para 8 amarelas, 2 brancas e retiradas
até a 3ª amarela.
31
73. No jardim de Edi P. Derno há 4 rosas. Ao se aproximar o Dia das
Mães, Edi decide dar-lhe um buquê de margaridas. Para cada flor,
escolhe ao acaso um dígito de {1,2,...,9,0}. Se for 1 ou 2, esta
margarida será arrancada e colocada no buquê; caso contrário, ela
permanecerá no jardim. Qual o valor mais provável de flores no
buquê que a mãe de Edi receberá?
74. Uma peça de artilharia vai lançar 14 granadas em alvos situados a
3 km. Cada um de 14 novos recrutas lançará uma delas e a
probabilidade de que um novo recruta acerte o alvo é 1/5. Qual o
valor mais provável de tiros que acertará o alvo?
75. Uma prova tem 5 questões com 4 alternativas cada. O aluno A.
Herreo nada sabe e responde ao acaso. Qual a probabilidade dele
obter nota maior ou igual a 5? E a dele obter nota maior ou igual a 6?
76. O nº de ligações telefônicas erradas recebidas por uma telefonista
em qualquer intervalo de tempo tem distribuição Poisson. A
probabilidade dela não receber ligações erradas em períodos de 30
minutos é 0,096. Qual é a probabilidade dela receber mais do que 2
ligações erradas em períodos de 10 minutos?
77. O nº de defeitos por m2 em certas chapas metálicas é 5,4 em
média. Um dado cúbico é feito com faces de arestas de 20 cm. Qual
a probabilidade de que um dado tenha mais do que 2 defeitos? Qual
o valor esperado e a variância do número de defeitos de um dado?
78. Qual a probabilidade de serem extraídas ao acaso e sem
reposição 5 cartas do mesmo naipe de um baralho (incompleto) do
qual foram retirados os 2,3,4 e 5 ?
79. Um jogador de poquer tem 10,9,8,7 e 6 de copas. Qual a
probabilidade de que o jogador à sua direita tenha uma mão
superior? E uma mão inferior?
80. Se 10 pessoas são escolhidas ao acaso e com reposição de um
grupo de 68 pessoas das quais 15 são do sexo feminino e se X é o
número de pessoas do sexo masculino entre as escolhidas, qual é a
média de X? E o desvio padrão? Qual a moda de X? Calcula P{X3}.
81. Um suprimento tem 18 barras de chocolate: 3 da marca A, 5 da
marca B e 10 da marca C. Zé Moleque visita-o à noite e, no escuro e
32
com pressa, se apossa de 4 barras. Qual a probabilidade de que
sejam todas da mesma marca?
82. Os ases, reis e damas de um baralho são distribuídos ao acaso
entre 3 pessoas: A, B e C. Calcula a probabilidade dos eventos:
(a) A recebe exatamente 2 ases.
(b) A recebe pelo menos 2 ases.
(c) A recebe 2 ases e 2 reis.
(d) A recebe 2 ases e B também.
(e) A recebe 2 ases dado que B recebeu os outros.
83. O exame de um doente leva a possibilidade de 3 diagnósticos, i.e.,
os sintomas podem ser de 3 doenças cujas probabilidades relativas
de ocorrência são PD1=1/2, PD2=1/6 e PD3=1/3. Quando D1 ocorre, a
análise THX-3R dá sinal positivo em 90% dos casos, D2 em 85% e D3
em 95%. Se foram analisados de forma independente 5 amostras de
um doente e a análise deu 4 resultados positivos, qual é a
probabilidade de cada doença?
84. Um inseto põe k ovos cuja quantidade tem distribuição Poisson
com parâmetro . Um ovo fecunda com probabilidade ,
independentemente, da fecundação dos demais. Prova que a
probabilidade de um inseto ter j filhos é Poisson com parâmetro .
85. Se X ~ B-(k;p) e (k-1)/p não é inteiro, então X é unimodal e
ModX=1 + int [(k-1)/p]. Se X ~ B-(k;p) e (k-1)/p é inteiro, então X é
bimodal e suas modas são (k-1)/p e 1+(k-1)/p.
86. Sabe-se que, em média, 2 automóveis abastecem a cada 5
minutos em um posto. Qual a probabilidade de que 1 ou mais
abasteçam num intervalo de 1 minuto? E de que 30 ou mais
abasteçam em 1 hora?
87. Se X ~ B(n;p) e (n+1)p não é inteiro, então X é unimodal e ModX =
int [(n+1)p]. Se X ~ B(n;p) e (n+1)p é inteiro, então X é bimodal e suas
modas são (n+1)p-1 e (n+1)p.
88. Uma caixa com 25 parafusos e 15 pregos tem 4 itens escolhidos
ao acaso. Qual a probabilidade de serem escolhidos mais pregos do
que parafusos?
33
89. Em cada 10 minutos ocorreu, em média, 3 chamadas telefônicas.
Qual a probabilidade de ocorrerem 2 ou mais chamadas em 5
minutos?
90.
Calcula a moda e a mediana da B(5;0,3).
91.
Calcula a moda e a mediana da P(1,2).
92.
Calcula a esperança e a variância da H(15;4;3).
93.
Calcula a esperança e a variância da B-(6;0,8).
34
CAPÍTULO 4 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Consideremos um experimento realizado sob certas condições
dadas, tal como jogar uma moeda equilibrada cem vezes, arranjar um
baralho, escolher uma amostra casual de pessoas e medir a altura de
cada pessoa da amostra etc. O conjunto de resultados possíveis é o
ESPAÇO AMOSTRAL do experimento. Cada subconjunto do espaço
amostral é um EVENTO e cada elemento do espaço amostral é um
RESULTADO. Um subconjunto do espaço amostral com um único
resultado é um EVENTO ELEMENTAR.
Um MODELO PROBABILÍSTICO consiste de um espaço amostral
 e um número PA associado a cada evento A, denominado
PROBABILIDADE (DO EVENTO A), de tal forma que:
(1) PA  0 para todo A  
(2) P = 1
(3) P(A1  A2   ) = PA1 + PA2 +  , se A1, A2,  são disjuntos.
Um MODELO PROBABILÍSTICO (,P) é também denominado um
ESPAÇO DE PROBABILIDADE.
Uma VARIÁVEL ALEATÓRIA X sobre um espaço de probabilidade
(,P) é uma função definida sobre  com valores em 1 (Algumas
vezes, com valores em  1  (;)  {;} .
A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO de uma v.a. X sobre um espaço
de probabilidade (,P), anotada FX , é
(4) FX  x   PX  x  Pw   : X ( w)  x, x  1 .
Suas principais propriedades são:
(5) FX é monótona não decrescente.
(6) FX é contínua à direita.
(7) lim FX x   0 e lim FX x   1.
x
x
Uma v.a. X sobre um espaço de probabilidade (,P) é uma
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA se, e somente se, existe uma
função não negativa f X definida em 1 tal que
(8) FX  x    f X t dt, x  1 .
x
Esta função f X é uma (FUNÇÃO) DENSIDADE DE PROBABILIDADE.
35
Suas propriedades mais importantes são:

 f X x dx  1
x
(10) PX  x  x f X t dt  0 ,
(9)
x  1
(11) Pa  X  b  a f X  x dx
b
(12) FX'  x   DFX x  f X  x  , se FX é diferenciável em x  1
Seja g : 1  1 uma função e X uma v.a. contínua sobre (,P). A
ESPERANÇA (ou MÉDIA) da v.a. g  x  , anotada E g  x  , é
(13) Eg  X    g  x   f X  x   dx .

O n-ÉSIMO MOMENTO DA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
X, a VARIÂNCIA, o DESVIO PADRÃO, as SEPARATRIZES
(ou p-ÉSIMOS QUANTIS), a MEDIANA e o DESVIO MÉDIO são
definidos exatamente como no Capítulo 2. Os teoremas 2, 3 e 4 são
igualmente válidos para v.a. contínuas, bem como as propriedades
(13) - (18).
Uma MODA de uma v.a. contínua X, anotada ModX, é qualquer
x   tal que f X  x   máx f X t .
1
t1
Vamos agora dar uma interpretação da função f X em um ponto
x  1 . Esta interpretação nos mostra que f X  x  é um quociente
infinitesimal entre duas medidas, a probabilidade e o comprimento:
Px    X  x   
1 x
 lim
 f X t dt 
 0
 0 2 x
x     x   
1
f X a x     x     lim f X a   f X x  .
= lim
 0 2
 0
lim
Esta interpretação tem validade, obviamente, nas condições do
Teorema do Valor Médio.
36
fx
x- E
aE
x
x+ E
EXERCÍCIOS:
1. Em cada caso, calcula uma constante  tal que a função f possa ser
uma densidade de probabilidade:
(a) f(x) =  x2 I[1;3](x)
(b) f(x) =  x-1/2 I(0;1](x) +  x I(1;4](x)
(c) f(x) =  exp{-x2 +4x}
(d) f(x) =  (1 - |x| ) I[-2;2](x)
2. Em cada caso obtenha a função de distribuição:
(a) f(x) = x -2 I[1;+) (x)
(b) f(x) = 1/3 I[0;1] (x) + 2/3 I[5;6] (x)
3. Obtenha um nº real  tal que f(x) =  x2 (1-x3) I[-1;1] (x) seja uma
densidade de probabilidade.
Obtenha a  1 tal que P{X  a} = P{X  a}, i.e., obtenha uma mediana
de fX.
4. Verifica se cada função a seguir é uma função densidade de
probabilidade. Em caso afirmativo, calcula a constante  e a função
de distribuição:
(a) f(x) =  lnx I(0;2] (x)
(b) f(x) =  lnx I[1;5] (x)
5. A função f definida em 1 por f(x) = sen x I[0;/2] (x) é uma densidade
de probabilidade ? Em caso afirmativo, suponha que uma v.a. tenha f
como sua f.d.p. e calcula P{X > /3}, P{/6  X  /4} e P{X = /5}.
Obtenha também a f.d.p. de X.
6. Seja X ~ f(x) = e -x I[0;+)(x). Calcula E [e tx ], para t  1.
37
7. Seja X uma v.a. com f.d.p. f(x) = 4x -5 I[1;+) (x). Faça um estudo da
existência de E [Xn], para n > 0. Calcula EX, VarX, MedX, ModX e
DmX.
8. Encontra a constante adequada para que cada função a seguir seja
uma densidade de probabilidade. Para cada uma delas, obtenha a
função de distribuição, a média, a variância, a mediana, a moda e o
desvio médio.
(a) f(x) =  x2 (1 - x3) I[0;1] (x)
(b) f(t) =  (1 - t2) I[-2;2] (t)
(c) f(y) =  ye -y /10 I[0;+) (y)
9. Uma v.a. X tem f.d.p. f(x) =  x-2 I[;+) (x), onde  > 0. Calcula EX,
DesX, ModX, MedX, FX, AssX, DmX.
10. Verifica se as funções a seguir são funções de distribuição. Em
caso afirmativo, calcula a constante  e a densidade de
probabilidade:
(a) F(x) =  ln x I(0;2) (x) + I[2;+) (x)
(b) F(x) =  ln x I(1;2) (x) + I[2;+) (x)
11. Seja X ~ f(x) = cos x I[0;/2] (x). Calcula FX, EX, DesX, MedX, ModX
e DmX.
12. Seja X ~ f(x) =  (x2 - 3x + 2) I[1;2] (x). Calcula , FX, EX, DesX,
MedX, ModX, AssX e DmX.
13. A função f(x) = [ (1+x2)] -1 é uma f.d.p. ? Em caso afirmativo,
calcula sua f.d.a., média e variância.
14. Calcula a moda, a mediana e o desvio médio das densidades do
Exercício 4. Calcula o desvio padrão.
15. Qual a f.d.a. da densidade f(x) = 2 -1 e -|x| ? Obtenha sua mediana e
uma moda, os desvios padrão e médio.
16. Para cada função a seguir, quais os valores de  que a torna uma
f.d.p.? Quais a f.d.a. correspondentes?
(a) f(x)=x(1-x)3 I[0;1] (x)
(b) f(x)=e-x I[0;+) (x)
(c) f(x)=x3 I[-1;1] (x)
38
17. Prova que: se X é uma v.a. contínua sobre (,P), g1: 1  1 e g2:
1  1 são funções, c1  1, c2  2, as esperanças mencionadas
existem, então
E [c1g1(x) + c2g2(x)] = c1E [g1(x)] + c2E [g2(x)].
18.
Seja X ~ f  x   2(2 ) 1/ 2 e  x
2 /2
I [0; )  x  . Calcula sua esperança e
variância.
19. Um ponto é selecionado ao acaso num disco de raio  (em um
plano). Seja X a distância entre o ponto selecionado e o centro do
disco. Calcula P{X>/2}, FX, EX, DesX, MedX, ModX e DmX.
20. Seja X ~ f(x)=senx  I[0;/2] (x). Calcula FX, EX, DesX, MedX, ModX e
DmX. (Compara com o Exercício 11.)
21. Seja X ~ f(x)=(1-x2)  I[-1;1] (x). Calcula , FX, EX, VarX, MedX,
ModX, o 85º percentil, o 3º quartil, o 1º quintil e o 6º decil.
22. Seja f(x)=x2 I[-1;2] (x). Calcula  para que f seja uma densidade de
probabilidade. Calcula a função de distribuição, a média, a mediana,
o desvio padrão, o desvio médio, a moda e o 7º octil de f.
23.
Se f é uma f.d.p., então lim f x   lim f x   0 .
24.
Se P{X0}=0 e X é uma v.a. contínua, então EX  0
x
x

1  F ( x) dx .
25. Seja X ~ F(x)=(x2/4) I[0;2) (x) + I[2;+) (x). Calcula EX, ModX, MedX,
DesX, DmX e P{1/2X5/2}.
26. Seja X ~ f(x) =  (2+x)  I(-1;0) (x) +  (2-x)  I(0;1) (x). Calcula  e a
função de distribuição de X>
27.
Para quais valores de  a função f(x) =  x3 I[-1;1] é uma f.d.p.?
28. O gráfico abaixo representa a densidade de probabilidade de uma
v.a. X sobre um espaço de probabilidade (,P). Escreva a função
analítica desta densidade. Calcula FX, EX, ModX, MedX, DesX, DmX
e x0,8.
39
29. Seja X ~ f(x) =  (8+x2) I[-1;2] (x). Calcula EX, DesX, MedX, DmX,
ModX, , e x0,32.
30. Seja X ~ f(x) = (3x2/16) I[-2
ModX, , E [X |X 0] e x0,15.
; 2].
Calcula EX, DesX, MedX, DmX,
31. Seja ~ f(x) =  | x2 - 3x +2 |  I[0 ; 3] (x). Calcula EX, DesX, MedX,
DmX, ModX, e x0,99
32. Um experimento consiste em selecionar, com probabilidade 1/3,
um número X no intervalo [0 ; 1] com f.d.a. F(x) = x neste intervalo ou
selecionar, com probabilidade 2/3, um número Y no intervalo [0 ; 2]
ou com f.d.a. G(y) = y3 / 8 neste intervalo. Calcula a probabilidade do
número selecionado:
(a) Ser maior do que 0,5.
(b) Ser menor do que 0,4.
(c) Estar entre 0,4 e 0,5.
40
CAPÍTULO 5 - MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTÍNUOS
Seja X uma variável aleatória contínua. Sejam   1  > 0. Seja Y
a função definida em  por
(1) Y(w) =  +   X(w).
As seguintes proposições são demonstradas facilmente:
(2) Y é uma variável aleatória contínua.
(3) EY =  +   EX, se EX existe.
(4) VarY =  2  VarX, se VarX existe.
(5) FY(y) = FX ( (y-)/ ),  y  1.
(6) FY(y) =  -1 fX ( (y-)/ ),  y  1.
O número  é denominado PARÂMETRO DE LOCAÇÃO e o número
 é denominado PARÂMETRO DE ESCALA.
A - Família Normal ou Gaussiana
N(;)
- <  < +
>0
2

1
 x    

(7) f x  
exp 

 2

2 2 


EX = 
VarX = 2
É a família de distribuições mais importantes da Estatística. Uma
variável aleatória Z, que toma valores reais -  < z < +  , tem uma
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO (ou REDUZIDA) se, e somente se,
possue função densidade de probabilidade
 z2 
1
exp   .
(8)   z  
2
 2
Vamos verificar que  é uma verdadeira densidade, i.e., que

  z dz  1 .
artifício:


Para calcularmos esta integral, usaremos o seguinte

2


1







z
dz


x
dx

y
dy




2
 x2  y2 
  exp  2 dydx


 
41
Precisamos de coordenadas polares: x =  cos e y =  sen.
 x x 
    cos   sen 
J 

  det J   

y

y
sen


cos



 
   
Por conseguinte, a integral dupla se torna
1 2    / 2
1 2    2 / 2  
1

e
d

d



e
d





 0
2 0 0
2 0 
2
2
0 d
1
Vamos agora demonstrar que existe E [Z2]:
1  2  z 2 / 2
1 
  ze  z 2 / 2 dz


E Z2 
z
e
dz


z






2 
2 
 
u   z  du  dz
dv   ze  z
 
EZ
2
1

2
2 /2


dz  v  exp  z 2 / 2

 ze  z 2 / 2   1

 
2
  z 2 / 2
 e
dz  0  1  1 .
Assim, pelo Teorema 2, existem também, EZ e VarZ. Por simetria,
EZ = 0. Portanto, VarZ = 1 - 02 = 1.
Definimos a variável aleatória X por X =  +   Z, onde -  <  <
+ e  > 0. Assim, por (3) e (4), segue que EX =  e VarX = 2. Por
(6), a f.d.p. de X é (7).
Reciprocamente, se X ~ N(;), podemos obter uma v.a.
Z ~ N(0;1) através da transformação linear Z = (X - ) / . A distribuição
N(0;1) é a única distribuição normal tabelada, em virtude de (5) e (6).
Para -  <  < +  a função definida a seguir determina uma
DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA sobre 1 com média, ou esperança,  e
variância 2:
 (x  )2 
1
f  ,  x 
exp 
, x  1 .
2 
 2
2


Ela é denominada DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PARÂMETROS 
e . Temos aqui, na verdade, uma família de distribuições
(contínuas) sobre 1, a FAMÍLIA NORMAL. Uma delas, a única que
42
se encontra tabelada, desempenha um papel central, não apenas na
Teoria das Probabilidades, mas também em Estatística: a
distribuição normal de parâmetros 0 e 1, denominada
(DISTRIBUIÇÃO) NORMAL PADRÃO ou também (DISTRIBUIÇÃO)
NORMAL REDUZIDA. Anotamos a distribuição normal de
parâmetros  e  por N(;) e, portanto, a distribuição normal
padrão por N(0;1). A função f0,1 é, usualmente, representada por 
e sua função distribuição acumulada por  .
Teorema 5.
(a) Se X ~ N(;), então Z = (x - ) /  ~ N(0;1).
(b) Se Z ~ N(0;1), então X =  +  Z ~ N(;).
 (;)
B - Família Gama
(9) f  x  
1

  (  )
>0
>0
x  1e  x /  I [0; )  x 
EX =  
VarX =   2
Vamos, inicialmente, introduzir uma função que é de grande
importância em muitos domínios da Matemática: a FUNÇÃO GAMA,
definida por

(10)    0 x 1e  x dx,
  0.
É fácil demonstrar que esta integral existe para todo   0 porque
x e  x 2 , para x suficientemente grande, e x 1e  x  x 1 , no
restante do domínio; assim, o integrando é limitado por uma função
integrável. Por outro lado:
D x e  x  x 1e  x  x e  x
 1  x

x e 
x 
0



  0 x 1e  x dx  0 x e  x dx
0 =   () -  ( + 1)
(11)  ( + 1) =   ().
Como
 x
0
e dx  1 , resulta que
(12)  (1) = 1.
43
Alem disso,
1 / 2  x

(13)  (1/2) =
.

0
x
e dx  0
2
y
 2


1
2

2 /2  y2 
2

y
 e
   2 2  1 e  y / 2 dy , i.e.,
d
0

 2 
2

 
Vamos agora supor que  seja um inteiro positivo, n:
(n) = (n-1) (n-1) = (n-1) (n-2)  (n-2) =  = (n-1) (n-2)  1 x  (1) e,
assim podemos dizer que a função gama é uma generalização da
função fatorial, i.e., que
(14)  (n) = (n-1) 
Com o auxílio da função gama, podemos agora introduzir a
distribuição de probabilidade gama: uma v.a. contínua X , que toma
somente valores não negativos com densidade (9), onde  é um
parâmetro de escala e  é um PARÂMETRO DE CONFIGURAÇÃO, ou
seja,  define a forma da distribuição.
É bastante fácil provar que f é uma verdadeira densidade, i.e., que

 f x dx  1,
assim como calcular EX
e
VarX : basta fazer a
transformação de variável y = x / nas respectivas integrais.
Uma subfamília especial da família gama desempenha um papel
importante na descrição de uma grande classe de fenômenos e são
essenciais no estudo dos processos estocásticos a parâmetros
contínuos, especialmente nos processos de Poisson. Ela é formada
pelas distribuições gama com  = 1 e é denominada FAMÍLIA
EXPONENCIAL. Assim, se X é uma v.a. contínua com distribuição
exponencial de parâmetro , então EX =  , VarX =  2,
1
(15) f x   e  x /  I [0; ) x 



(16) F x   1  e  x /  I [0; ) x  .
As distribuições exponenciais apresentam a seguinte propriedade
("FALTA DE MEMÓRIA"):
(17) P{ X > s +t  X > s } = P{ X > t}, se X é uma v.a. com distribuição
exponencial de parâmetro  , s > 0 e t > 0. Isto significa que, por
exemplo, se X é o tempo de espera até aparecer o primeiro defeito
numa máquina, então: dado que o primeiro defeito não ocorreu nas
44
primeiras "s" horas, a probabilidade de que ele não ocorra durante as
próximas "t" horas é a mesma probabilidade de que ele não tivesse
ocorrido durante as "t" horas iniciais. Em outras palavras, a informação
dada de que nenhum defeito ocorrer até o instante "s" deve ser ignorada
no que se refer aos cálculos posteriores. A prova é bastante fácil:
PX  s  t 1  F s  t  e ( st ) / 
PX  s  t | X  s 

 s /   e t /   PX  t.
X  .s
1  F s 
e
Surpreendentemente, a recíproca também vale. Se X for uma v.a.
não negativa com distribuição contínua sem memória, então X possuirá
distribuição exponencial. Vamos demonstrar isso. Seja X uma v.a.
contínua não negativa com função distribuição F que satisfaz à
propriedade denominada "falta de memória":
1  F s  t 
(18)
 1  F t , s  0 e t  0 .
1  F s 
Seja G = 1 - F. Portanto, G(s+t) = G(s)  G(t),  s > 0 e  t > 0, e,
assim, G(ns) = [G(s)]n e G(s/n) = [G(1)]1/n, para todo real s e todo
inteiro positivo n. Seja r = k/m um racional positivo qualquer:
G(r) = G(k/m) = [G(1/m)]k = [G(1)]k/m = [G(1)]r.
Porém, como F é contínua (já que X é contínua), temos que G é
contínua e, assim, ocorre que
G x   lim Gr   lim G1r  G1x , x  0
r x
r
r x
r
Como F(0) = 0, F(+) = 1 e X é contínua sobre os reais positivos,
segue que 0 < F(1) < 1 e, portanto, 0 < G(1) < 1.
Se definimos  -1 = - ln G(1) = - ln [1 - F(1)],
temos G(x) = exp { x  lnG(1) } = exp { -x /  } ,  x > 0, o que satisfaz
(16) e, conseqüentemente (basta derivar), (15).
Em muitas situações, a família exponencial é parametrizada de
outra forma:
(19) f(x) =  e -  x I[0;+) (x).
Assim:
(20) F(x) = (1 - e   x) I[0;+) (x)
(21) EX = 1 / 
(22) VarX = 1 / 2
45
Teorema 6. Se X ~  ( ;  ) e c > 0, então Y = c X ~  ( ; c ).
Prova: FY (y) = P{Y  y} = P{cX  y} = P{X  y/c} = FX (y/c).
 y 1
y > 0  fY(y) = FY'  y   FX'     f X  y / c   1 / c
c c
=
1
    
 y / c  1 exp  y / c  1 / c 
C - Família Beta
(23) f x 
EX 

 0
 0
     1
x 1  x  1 I [0;1] x 
x    

VarX 
( ;  )
 y 
 1
y
exp


 c 
c   
1

    1   2
A FUNÇÃO BETA é definida em (0;+) x (0;+):
    
(24)  ,   
.
   
D - Família Uniforme ou Retangular
(26) f x  
1

U( ; )
-  <  < +
>0
I   / 2;  / 2  x 
EX = 
VarX =  2/12
DmX =  /4
1/
 - /2

 + /2
Esta família de distribuições é geralmente parametrizada de outra forma:
 =  - /2 e  =  + /2.
46
EXERCÍCIOS:
1. Seja Z ~ N(0;1). Calcula P{Z>-1,384},
P{Z< 1,88}, P{Z  0,648} e P{|Z| >3}.
P{Z>3},
P{Z<0,643},
2. Seja X ~ N(75;10). Calcula P{X>60}, P{X  60}, P{70<X<100},
P{70  X  100} e P{X>120}.
3. Seja X ~ N(;). Sabe-se que P{X<89}=0,9 e que P{X>94}=0,06.
Calcula  e .
4. Em uma prova de Matemática, os graus se distribuíram normalmente
com 1=6,2 e 1=0,6. Em uma prova de Português aplicada aos
mesmos alunos, os graus também se distribuíram normalmente com
2=6,8 e 1=0,3. O conceito A foi atribuído aos 10% mais bem
colocados. Foi mais fácil obter A em Português ou em Matemática ?
5. Seja X ~ N(4,89;1,58). Calcula:
(a) P{X<4,45}
(c) P{2,35<X<7,05}
(b) P{X>6,15}
(d) P{X>8,85}
Faça o mesmo para X ~ N(4,95;1,54)
6. Seja X ~ N(10;1,8). Calcula P{X  8,5} e P{X  7}.
7. Seja X ~ N(-2,1 ; 3,9). Calcula P{X>0,7}, o 1º quintil, o 3º quintil e
P{-3,4<X<-0,7}.
8. Os pesos de 5000 estudantes do sexo masculino de uma escola tem
distribuição (aproximadamente) normal com média 50,1 kg e
variância 16,24 kg2. Qual é (aproximadamente) o número de
estudantes com peso entre 44,5 kg e 58,7 kg ?
9. Suponha que X ~ N(1;6). Calcula P{2<X 2<4}.
10.
Seja X ~ N(3;2). Acha x tal que P{X>x} = 2 P{X  x}.
11. Os raios de certos círculos tem distribuição N(10;2). Ache a
probabilidade de que a área esteja entre 100 e 400, o valor esperado
da área e o valor r tal que P{R>r} = 3 P{R  r}.
47
12. Uma v.a. tem distribuição normal com média 16,2 e variância
65,61. Calcula a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (0;25).
Em 804 realizações desta v.a., quantas vezes você espera a
ocorrência de X dentro deste intervalo ?
13. O tempo de vida útil das unidades de um determinado componente
é uma v.a. com densidade f(t)=(t/100) exp (-t/10) I[0;+)(t). Calcula ET,
VarT, ModT, MedT e P{T>20}.
14. O tempo de vida T de certos seres microscópicos é medido em
horas e tem distribuição exponencial com variância 10000 horas2.
Calcula P{50<T<150}.
15.
Calcula P{X  8,5} e P{X  7}, onde X ~ (9,4).
16. O tempo de vida T, medido em horas de determinada espécie de
bactérias tem distribuição exponencial e seu valor esperado é 50
horas. Calcula P{T>50 | T>25} e P{T>50 | 25<T<75}.
17. Seja X ~ f(x) = 2-1 x2 e-x I[0;+)(x). Calcula EX, DesX, MedX, ModX e
P{X<EX}.
18.
Calcula o 1º e o 4º quintis da (2,17).
19. Duas fábricas produzem o mesmo tipo de componente. O "tempo
de vida" médio dos componentes produzidos pela fábrica A é 1 .t=18
meses e os produzidos pela fábrica B tem como "tempo de vida"
médio 1,2 .t. Qual é a probabilidade de cada componente dure pelo
menos 2 .t ? E de que cada um dure no máximo 0,5 .t ?
20.
21.
Seja X ~ (6,2). Calcula P{X<3 | X>2}.
O Coeficiente de Assimetria de Pearson é
 X  EX  3  E X 3  3EXE X 2  2EX 3
AssX  E 
.
 
3
DesX




DesX


O coeficiente de Assimetria Interquartílico é
 
 
AssX  x0,75  x0,5   x0,5  x0,25  x0,75  x0,25 
Calcula-os para X ~ B(1/2;3).
48
22. O tempo de vida de certos micróbios tem distribuição uniforme
com  = 20 horas e  = 12 horas. Qual a probabilidade de que um
micróbio dure mais do que 25 horas ? Qual o desvio padrão da
variável ?
23. Seja X ~ f(x)=12x2(1-x) I[0;1] (x). Calcula EX, DesX, MedX, ModX e
P{X  EX}.
24.
Seja X ~ B(3;3). Obtenha o 1º e o 4º quintis.
25.
Seja X ~ B(4;2). Calcula P{X>1/2 | X>1/3}.
26. Seja X ~ U(10;5). Obtenha o 1º e o 7º octis. Calcula P{X<8 | X<9} e
P{X>9 | X>8}. Calcula VarX.
27. Obtenha a média e a variância das distribuições dos exercícios 20
e 21.
28. Sabe-se que X é uma v.a. discreta com distribuição Poisson de
média igual a variância de uma distribuição uniforme sobre o intervalo
[12;18]. Calcula P{X>2} , P{13<Y<17 | Y>14} e MedY.
29.
Calcula os 2 coeficientes de assimetria de X ~ B(4;2).
30. Calcula os dois coeficientes de assimetria para as variáveis
X ~ N(-2,1;3,9) e Y ~ (2,6).
31. Admita que os índices de criatividade de crianças de qualquer
grande grupo medidos através de uma certa bateria de testes formem
uma variável aleatória com distribuição normal. Um deles, X, realizou
os testes sob condições normais, o que resultou uma média de 42,7 e
uma variância de 7,24. Outro deles, Y, fez o teste após ter sido
submetido a uma série de situações de ansiedade, o que resultou
uma média de 45,6 e uma variância de 6,45. Calcula P{X<45,6},
P{Y<45,6}, P{X>42,7} e P{Y>42,7}. Calcula os números que limitam
os 10% mais criativos e os 10% menos criativos de cada um dos
grupos.
32. Sabe-se que X é uma v.a. com esperança 3 e variância 2,4.
Calcula P{X  2} supondo que X tem distribuição: (a) binomial,
(b) normal.
49
33. Uma v.a. tem distribuição binomial com n=5 e p=0,2. Outra v.a. Y
tem distribuição normal com média 500 e desvio padrão de 10.
Calcula y tal que P{Y>y} = P{X =3}.
34. O tempo de duração de um componente eletrônico tem distribuição
exponencial com média de 100 horas. Calcula P{T>120},
P{T>120 | T>100}, MedT e DesT.
35. Os QI das crianças de um certo grupo formam uma variável com
distribuição normal de média e variância iguais a 100. Seja Y o nº de
meninos em 4 crianças selecionadas ao acaso deste grupo.
Considerando que há equiprobabilidade entre os sexos, calcula x1 tal
que P{X>x1}=P{Y=1} e calcula x2 tal que P{X  x2}=0,7. Como x2 é
denominado?
36. Você tem observado a flutuação das cotações das ações de certa
empresa na Bolsa. Ela pode ser razoavelmente representada por
uma curva normal com média 1,16 dólares (Bolsa de Chicago) e
variância 0,0081 dólares2. Você deseja comprar tais ações quando
elas estão na faixa inferior de 20% de seus valores. Qual é a
importância máxima que você paga por cada ação? Para vendê-las
você exige, no mínimo US$1,30. Qual é a probabilidade de que você
possa vendê-las em um instante de tempo qualquer?
37. Os diâmetros de um certo tipo de disco industrial tem uma
distribuição normal com média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se
o diâmetro diferir da média entre 0,02 e 0,03 cm, a unidade é vendida
por R$5,00. Se diferir mais de 0,03 cm, a unidade pode somente ser
aproveitada como matéria prima (R$1,00). Caso contrário, a unidade
é vendida a R$7,00. Qual o lucro médio unitário se o custo unitário de
fabricação é R$2,50? Qual a variância do lucro unitário? Qual o lucro
unitário modal?
38.
 m  n  2
1


Prova que B(m; n) 
m  n  1  m  1 
39.
Seja X ~ N(0;). Calcula E[X4].
1
40. Seja X uma v.a. com distribuição exponencial. Prova que: se o eixo
dos "x" for dividido em intervalos sucessivos de amplitude "h" com
início na origem, então as probabilidades de que X pertença a cada
um destes intervalos formam uma progressão geométrica.
50
41.
Seja X ~  (;). Calcula M(n,X,O).
42.
Seja X ~ B(;). Calcula M(n,X,O).
43.
Seja X ~ U(;). Calcula M(n,X,).
44. Seja f(x)=[32 e -3  x + 4(1-)4 x2 e -2(1-) x ]  I[0;+) (x). Para quais
valores de  esta função é uma densidade? Calcula sua média e sua
variância.
45. No estudo da confiabilidade de certos componentes mecânicos,
muitas vezes utiliza-se uma distribuição da FAMÍLIA WEIBULL:
 1
  x     
  X  
f x  
 exp  
   I [ ; )  x 
  
    
Calcula a função distribuição acumulada. Calcula a esperança e a
variância. Há algum parâmetro de locação? Qual? Há algum
parâmetro de escala? Qual?
46. Prova que f(x)=(2)-1exp{- |x-| /} define uma densidade. Calcula
sua esperança e sua variância. Este modelo é denominado FAMÍLIA
DUPLAEXPONENCIAL. Calcula também sua mediana, sua moda e
sua função de distribuição. LAPLACE
47.
Prova que f x  
exp x    /  
 1  exp ( x   ) /  2
define uma densidade.
Calcula sua esperança, variância, mediana, moda e função de
distribuição. Este modelo é denominado FAMÍLIA LOGÍSTICA.
 

1
48. Prova que f x    1  ( x   ) /  2
define uma densidade.
Calcula sua esperança, variância, mediana, moda e função de
distribuição. Este modelo é denominado FAMÍLIA CAUCHY.
49. Seja p=P{|X-EX|  3 DesX}. Através da Desigualdade de
Chebychev, obtenha um maximizador de p. Calcula seu valor exato
para uma distribuição normal, para uma uniforme, para uma dupla
exponencial, para uma logística e para uma Cauchy.
51
50. Calcula o 3º decil da dupla exponencial com média 7,5 e variância
6,48.
51. Seja Y ~  (10,2 ; 3,1). Calcula P{8,4  Y  9,5). Qual o 72º
percentil de Y ?
52. Obtenha as amplitudes interquartílicas das famílias do Exercício
45.
53. Uma fábrica pode utilizar dois equipamentos para fabricar uma
peça com o comprimento especificado l = 50  20 mm. O
equipamento A tem apresentado um desvio padrão de 0,15 mm e o
equipamento B um de 0,10 mm. Os custos de fabricação são dados
pela tabela a seguir:
Equipamento A
Equipamento B
Boa
R$ 20,00
R$ 25,00
defeituosa
R$ 30,00
R$ k,00
Qual a percentagem de peças defeituosas produzidas por cada
equipamento, supondo normalidade? Qual o equipamento cuja produção
é mais econômica?
54. Suponha que a altura das pessoas que deverão ultrapassar o vão
de determinada porta é 1,72 m em média e que o desvio padrão é
0,06 m. Qual dever ser a altura do vão para que 2% das pessoas que
vão ultrapassá-lo necessitem abaixar a cabeça?
55. Os pedidos mensais de determinado produto tem uma distribuição
aproximadamente normal com média igual a 500 unidades e desvio
padrão igual a 50 unidades. Se a empresa decide estocar 600
unidades no início de um mês, qual a probabilidade de que ela não
possa satisfazer à demanda? Qual deve ser o estoque mínimo se ela
tolera a probabilidade de 0,085 de não satisfazer a demanda mensal?
56. Os salários dos operários de um setor industrial são distribuídos
normalmente com média de R$ 380,00 e desvio padrão de R$ 50,00.
Qual a proporção de operários com salários entre R$ 350,00 e
R$395,00 ? Qual o salário que separa os operários em 2 grupos de
tal modo que um deles seja formado pelos 20% de salários mais
elevados ?
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57. Duas fábricas produzem o mesmo tipo de válvulas. O tempo de
vida útil das que são produzidas pela fábrica A tem distribuição
normal com média de 12,1 horas e variância de 3,24 horas2 e o das
produzidas pela fábrica B tem distribuição exponencial com média
75,0 horas. Qual a probabilidade de cada válvula durar pelo menos
10 horas? Se você necessita uma válvula com esta especificação,
qual delas você compra?
58. O raio de certos discos tem uma distribuição aproximadamente
normal com média 10,0 cm e variância 1,44 cm2. Calcula a
probabilidade de que a área de um destes discos escolhido ao acaso
esteja entre 200 cm2 e 600 cm2. Quais as áreas que separam estes
discos em pequenos (25%), médios (50%) e grandes (25%) ?
59.
Calcula o 1º e o 9º DECIS da N(18;3).
60.
Você pode transformar uma N(10;3) em N(20;9) ?
61.
Você pode transformar uma (1/2;5) em (1/2;20) ?
62.
Calcula o 3º decil da distribuição B(3;2).
63. Calcula a média e a variância de uma (;). (Sugestão: calcula
inicialmente de uma (;1).
64.
Calcula a média e a variância de uma B(;).
65.
Seja X ~ N(0;). Usando a função gama, calcula VarX.
66. Usando a função gama, calcula a esperança e a variância da
distribuição ().
67. Oito observações independentes de (0,76) são obtidas. Qual a
probabilidade de que exatamente 4 sejam menores do que 0,54?
68. Cinco observações independentes da U(1/2;1) são obtidas. Qual a
probabilidade de que exatamente 2 sejam maiores do que 0,75?
69. O sistema de propulsão de uma aeronave é formado por 3 motores
independentes com o tempo até falharem com distribuição
exponencial de média 2000 horas. A aeronave tem autonomia de vôo
com 2 motores. Qual a confiabilidade de uma missão com 10 horas
53
de vôo? Idem para 100 horas e para 1000 horas. Os números obtidos
fazem sentido?
70. O tempo de vida útil de certa lâmpada é exponencial com média
de 23 dias. Assim que queima, outra a substitui imediatamente. Qual
a probabilidade de se usar mais de 16 em 1 ano ?
71.
Considera X1, , X180 v.a.i.i.d. B(4;2). Calcula P{110 <  Xi < 140}.
72. O tempo até certo componente pifar é, em média, 2 dias e meio.
Supondo que a distribuição destes tempos seja exponencial e que
cada componente é imediatamente substituído ao falhar, qual a
probabilidade de que sejam necessários pelo menos 100
componentes em 180 dias?
73. Num longo programa de computador, o operador decide manter k
algarismos depois da vírgula decimal em qualquer das 106 operaões
elementares que compõem o programa. Suponha que os erros de
arredondamento são independentes e distribuídos uniformemente no
intervalo [-0,5 x 10-k ; +0,5 x 10-k] e que o erro final é a soma de todos
os erros de arredondamento. Determina a probabilidade de que o
erro no resultado final, em valor absoluto seja menor do que
500 x 10-k.
74. Seja X uma v.a. tq. f(x)=6x (1-x) I[0;1] (x). Calcula EX, VarX, E[1/X] e
Var[1/X], se tais características numéricas existirem. Calula FX, MedX,
ModX, Med [1/X] e Mod [1/X].
75. Seja X uma v.a. tq. FX(x) = x3  I[0;1) (x) + I[0;+) (x). Calcula EX,
DesX, MedX e ModX.
76. Seja X uma v.a. tq. f(x) =  x2(1-x)2  I[0;1] (x). Calcula , F(-0,5),
F(0,5), F(1,5), EX, DesX, MedX. Obtenha FX, P{0,1 < X < 0,9} e o
desvio médio.
77. Para cada nº real t, seja X(t)=E[etx]. A função X é denominada
FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS de X.
Seja X ~ f(x)=e-x I[0;+) (x). Diga para quais valores de t existe X(t)
e calcula-os.
78.
Seja X ~ FX(x)=(1-e-2x) I[0;+) (x). Calcula EX, DesX, ModX e MedX.
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79. Para  > 1 fixo, seja X ~ f(x)=x -1I[0;1] (x). Calcula EX, DesX,
ModX, MedX e D(x)=P{ X > x | X > x/2 }.
80.
Calcula o 5º octil da N(-3,1 ; 4,2) e o 2º septil da B(2;1).
81. Sabe-se que X ~ D (10;1,8). Calcula P{X8,5} e P{X7}(z)=
2-1ezI(-;0)(z) + (1-2-1e-z) I[0;+) (z).
82. Considera X1,...,X256 v.a.i.i.d. com distribuição (3;2). Calcula
P{5,5< X <6,3}.
83. O tempo de vida de certos componentes é exponencial com média
de 100 unidades de tempo (u.t). Calcula a probabilidade de entre 5
componentes, mais do que 3 satisfazerem a durabilidade de 120 u.t.
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