Solução 1ª Lista

m
Enem e Uesb
Cursinho: Universidade para Todos
Professor: Cirlei Xavier
Lista: 1a Lista de Matemática
Aluno (a):
Matemática
Disciplina: Matemática
Conteúdo: Potenciação e Radiciação
Turma: A e B
Data: Julho de 2016
Solução Potenciação & Radiciação
01. Transforme numa só potência:
a) (102 )−4 = 102·(−4) = 10−8
b) (2−1 )−5 = 2(−1)·(−5) = 25
c) (5−3 )2 = 5(−3)·2 = 5−6
d) (x−2 )−1 = x(−2)·(−1) = x2
e) (a7 )−2 = a7·(−2) = a−14
f) (n−3 )4 = n(−3)·4 = n−12
02. Sendo x um número inteiro, reduza a uma só potência:
7x
= 7[x−(x−2)] = 72
7x−2
j) (102 )x−3 = 10[2·(x−3)] = 10(2x−6)
l) 4x+1 · 4x−1 = 4[(x+1)+(x−1)] = 4(x+1+x−1) = 42x
2
m) (5x )1−x = 5[x·(1−x)] = 5(x−x )
2x−1
n) x = 2[(x−1)−x] = 2(−1)
2
o) 3x+2 · 3−x = 3[(x+2)+(−x)] = 32
10x+2
p) x−2 = 10[(x+2)−(x−2)] = 10(x+2−x+2) = 104
10
a) 10x · 102 = 10(x+2)
b) 3x · 3−1 = 3[x+(−1)] = 3(x−1)
2x
c) 5 = 2[(x)−(5)] = 2(x−5)
2
d) (3x )4 = 3x·4 = 34x
e) 103x · 10−2x = 10[(3x)+(−2x)] = 10(3x−2x) = 10x
103x
f) −2x = 10[(3x)−(−2x)] = 10(3x+2x) = 105x
10
2
g) (5x )x = 5(x·x) = 5x
h) 6x · 6x+1 = 6[x+(x+1)] = 6(2x+1)
i)
03. Qual é a forma mais simples de escrever a expressão 2x+2 · 2x−2 , sendo x um número inteiro?
2x+2 · 2x−2 = 2[(x+2)+(x−2)] = 2[x+2+x−2] = 2(2x)
04. Dê o valor de:
√
1
1
√
a) 81 = 92 = (92 ) 2 = 92· 2 = 91 = 9
√4
√4
p
1
1
√
b) 4 16 = 42 = 4 (22 )2 = 24 = (24 ) 4 = 24· 4 = 2
√3
1
1
√
c) 3 125 = 53 = (53 ) 3 = 53· 3 = 5
√3
p
1
√
d) 3 −125 = −53 = 3 (−5)3 = [(−5)3 ] 3 = −5
√3
p
1
1
√
e) 3 −8 = √−23 = 3 (−2)3 = [(−2)3 ] 3 = (−2)3· 3 = −2
p
√
√
f) −16 = −42 = −(−4)2 = (−4) · −1, não se define em R
p
1
1
1
g) (−5)2 = [(−5)2 ] 2 = (−5)2· 2 =
r(−5) = −5
r
r
r
r
√5
6
7
√5
√
128 5 128 5 2 · 64 5 2 · 43
5 2·2
5 2
(7−2) = 5 25 = 2
h) √5
=
=
=
=
=
=
2
4
22
22
22
22
r r 4 r
2
2
4
2
2
2
i)
=
=
=
2
25
5
5
5
p
p
1
1
√
√
√
√
j) 10 + 10 · 10 − 10 = (10 + 10) 2 · (10 − 10) 2 =
h
i1
1
1
1
√
√ i1 h
√
√
√
= (10 + 10) · (10 − 10) 2 = (100 − 10 10 + 10 10 − 10 2 = (90) 2 = (32 ) 2 · (10) 2 = 3 · 10
√6
√
l) 6 0 = 06 = 0
Matemática Básica b
1
ÿ Boa Sorte!
m
Matemática
Enem e Uesb
√3
√
05. (Uece-CE) A expressão numérica 5 54 − 3 3 16 é?
√3
√
√3
√
√
√3
3 − 3 3 2 · 23 =
5 54√− 3 3 16 √
= 5 3 2 · 27
−
3
2
·
8
=
5
2
·
3
√3
√3
√
√
√
= 5 · 3 3 3 − 3 · 2 3 2 = 15 3 2 − 6 3 2 = 9 3 2 = 93 · 2 = 1.458
06. Forme uma sucessão decrescente com os números reais
p √ p √
2 3, 3 2, 2.
Usando as propriedades de potenciação, obtemos
q
q
q
√
√
√
√4
2
2 3 =
3·2 =
12 = 12
q
q
q
√
√
√
√4
2
3 2 =
3 ·2 =
18 = 18
√4
√4
2 =
24 = 16
√
√4
√4
Portanto, temos 4 18
12, pois o número será maior quanto maior for o radicando. Asp >√ 16 > p
√
sim, os números ficam 3 2 > 2 > 2 3.
07. (Ufc-CE) Dentre as alternativas a seguir, marque aquela que contém o maior número.
p√
p
p
√6
√6
3√
3 √
4 6 = p 42 · 6 = 42 · 6 = 4 · 24
p
√6
√
3√
3 √
e) 6 5 =
62 · 5 = 62 · 5 = 6 6 · 30
√
√
5 · 6 =p6 5 · 6 = 6 30
p √
√3
√6
√6
b) 6 3 5 = p 63 · 5 = 63 · 5 = 62 · 30
p √
√3
√6
√
c) 5 3 6 =
52 · 6 = 52 · 6 = 6 5 · 30
a)
3
Observe acima que o maior número é
√
08. (UCSal-BA) Se x = 3 − 3 +
√6
d)
62 · 30. Resposta letra b.
1
1
, então:
√ −√
3+ 3
3−3
a) x ≥ 5
b) 3 ≤ x < 5
c) 1 ≤ x < 3
d) 0 ≤ x < 1
e) x < 0
√
√
√
( 3 − 3) − (3 + 3)
1
1
x = 3− 3+
= (3 − 3) +
√ −√
√
√
3+ 3
3−3
(3 + 3) · ( 3 − 3)
√
√
√
√
( 3 − 3 − 3 − 3)
−6
= (3 − 3) + √
√ √
√ = (3 − 3) +
(−9 + 3)
(3 3 − 9 + 3 · 3 − 3 3)
√
√
√
−6
= (3 − 3) +
= 3 − 3 + 1 = 4 − 3 2, 27
−6
√
Portanto, x pertence ao intervalo [1, 3[. Resposta letra c.
09. Racionalize os denominadores e simplifique, se possível, as frações.
√
√
1
1
5
5
a) √ = √ · √ =
5
5
5
5
√
√
√
14
14
7 14 · 7
b) √ = √ · √ =
=2 7
7
7
7
7
√
√
√ √
√ √
6
6
7
6· 7
42
c) √ = √ · √ =
=
7
7
7
7
7
ÿ Boa Sorte!
√4
√4
√4
√4
4
4
4
4 4
4 4
d. √4 = √4 · √4 = √4
= √4
=2 4=
4
4
4
4·4
24
√4
√
2
2 2 = 2 √2
√
√
√
√
3 + 7 3 + 7 3 + 7 (3 + 7) · (3 + 7)
e)
√ =
√ ·
√ =
√
√ =
3 −√ 7 3 − 7 3√
+ 7 (3 − 7) · (3 + 7)
√
9 + 2 · 3 · 7 + 7 16 + 6 7
=
= 8+3 7
9−7
2
2
Matemática Básica b
m
Enem e Uesb
Matemática
p
10. Seja x um número inteiro. Então o valor da expressão (x − 2)2 é?

q


x − 2, se x − 2 > 0 ⇒ x > 2
(x − 2)2 = 

2 − x, se x − 2 < 0 ⇒ x < 2
11. Sendo x e y um número real positivo. Utilizando a fatoração e as propriedades dos radicais,
simplifique as expressões:
√
p
x > y.
a) x2 − 2xy + y 2 ,
b) x2 + 2x + 1
p
p
a) √x2 − 2xy + y 2 = (x − y)2 = x − y, pois x − y > 0.
p
b) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = x + 1, pois x + 1 > 0.
12. Decomponha o radicando em fatores primos e, a seguir, simplifique os radicais:
p
p√
√
√
√
√
√4
√
4 √
5
20
15
15
3 = 5 3 53 = 5 5
a) 20 32 = 25 =
d)
25 =
2
125
=
5
p
p
√9
√3
√
√5
√9
√
√
3 √
5 √
3
10
2
10
b) 9 729 = 93 =p 36 =
36 = 32
e) 64 = 26 = p 26 = 23
√6
√8
√3
√
√
√
3√
2 √
4
c) 6 16 = 24 =
24 = 22
f) 8 625 = 54 =
54 = 5
13. Determine o valor de n em cada
uma das seguintes expressões:
qp
√
√n
√
√n
√3
√n
p
12
n
3
a) 28 = 22 ⇒ 12 (22 )4 = 22 ⇒ 4 (22 )4 = 22 ⇒ 22 = 22 ⇒ n = 3
q
p√
n √
√6
√
√
n
3
n
n
b) 10 = 10 ⇒ 10 = 10 ⇒ 10 3 = 10 ⇒ = 1 ⇒ n = 3
3
q
p
√6
√6
√6
n
√
6
n
6√
12
c) 35 = 3n ⇒ 35 = 3n ⇒ 35 = 3 2 ⇒ 5 = ⇒ n = 10
2
q
p√
n √
√8
√
√
n
4
d) 2n = 2 ⇒ 2n = 2 ⇒ 2 4 = 2 ⇒ = 1 ⇒ n = 4
4
14. Sendo x um número real positivo, transforme em uma única raiz:
p
p√
√
√
√
√
√
4 7
c) q
a) 3 3 x = 3·3 x = 9 x
x = 4·7 x = 28 x
p√
p√
√
√
√
√
3
4
x = 3·2·4 x = 24 x
d)
b) 6 x = 6·2 x = 12 x
15. Dados os números a = 20 + 2−1 , b = 20 − 2−1 e c = 2 + 2−1 , calcule:
a) a + b + c
b) a · b · c
c) (a − b) · c
a)
a + b + c = (20 + 2−1 ) + (20 − 2−1 ) + (2 + 2−1 )
−1
−1
(1)
−1
= (1 + 2 ) + (1 − 2 ) + (2 + 2 ) = 2 + 2 + 2
1 8+1 9
= 4 + 2−1 = 4 + =
=
2
2
2
−1
b)
a · b · c = (20 + 2−1 ) · (20 − 2−1 ) · (2 + 2−1 ) = (1 + 2−1 ) · (1 − 2−1 ) · (2 + 2−1 )
−2
−1
−1
= (1 − 2 ) · (2 + 2 ) = (2 + 2
−2
−2
−2
(2)
−1
·2−2 ·2 )
1 16 − 1 15
=
= (2 + 2−1 − 2−1 − 2−3 ) = 2 − 2−3 = 2 − =
8
8
8
c)
(a − b) · c = [(1 + 2−1 ) − (1 − 2−1 )] · (2 + 2−1 )
−1
= [1 + 2
−1
−1
(3)
−1
− 1 + 2 ] · (2 + 2 ) = 2 · 2
1 4+1 5
= 1 · (2 + 2−1 ) = 2 + =
=
2
2
2
Matemática Básica b
3
−1
· (2 + 2 )
ÿ Boa Sorte!
m
Matemática
Enem e Uesb
√6
√
√ √
√
√
√ √
16. Considere as expressões 9, 3 −1, 4 16, 5 1, −4, 7 −128, 4 −16, 64 e responda:
a) Quais as que representam números reais?
Os números reais são:
√
√3 9 = 3,p
−1 = √3 (−1)3 = −1,
√4
4
16 = 24 = 2,
√5
p
√7 1 = 1, √7
−128√= −27 = 7 (−2)7 = −2,
√6
6
64 = 26 = 2
b) Quais as que não são definidas no conjunto dos reais?
Não são definidos em R os números:
√
e
√
√
−4 = −22 = 2 −1
√4
√
√4
−16 = −24 = 2 −1
17. Determine o valor das expressões numéricas.
√
p
√
√
a) 9 − 3 −8 = 32 − 3 (−2)√3 = 3 − (−2) = 3 + 2 = 5
p
p
√
√
√
5
b) 3 125 + 3 −27 − 3 −1 = √
53 + 3 (−3)3 − 3 (−1)3 = 5 + (−3)p
− (−1) = 5 − 3 + 1 = 3
√5
√5
5
5
3
2
√5
√
(−1)5 −1
2 −3
8−9
−1
=√
= √
=
c) ( 23 − 32 ) : ( 82 + 62 ) = √
=√
2 + 62
2
10
100
64
+
36
8
10
√
p
√3
√
3
2
3
d) 4 25 + 2 −27 = 4 · 5 + 2 · (−3) = 4 · 5 + 2 · (−3) = 20 − 6 = 14
ÿ Boa Sorte!
4
Matemática Básica b