PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia
1. O PIB per capita de um país, em determinado ano, é o PIB daquele ano dividido pelo número
de habitantes. Se, em um determinado período, o PIB cresce 150% e a população cresce 100%,
podemos afirmar que o PIB per capita nesse período cresce
A 20%
B 25%
C 35%
D 45%
E 50%
RESOLUÇÃO:
Seja p o valor do PIB e h o número de habitantes em determinado ano, então o PIB per capita
do país nesse ano é
p
.
h
Se, em um determinado período, o PIB cresce 150% e a população cresce 100%, então
p(1  1,5) p(2,5)
p

 1,25   que o PIB per capita nesse período cresce 25%.
h(1  1)
h(2)
h
RESPOSTA: Alternativa B.
2. Um capital A de R$ 10 000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano;
simultaneamente, um outro capital B, de R$5 000,00, também é aplicado a juros compostos, à
taxa de 68% ao ano.
Utilize a tabela abaixo para resolver.
x
log x
1
0
2
0,30
3
0,48
4
0,60
5
0,70
6
0,78
Depois de quanto tempo os montantes se igualam?
A 22 meses.
C 23 meses.
B 22,5 meses.
D 23,5 meses.
7
0,85
8
0,90
9
0,96
E 24 meses.
RESOLUÇÃO:
Considerando n o número de anos em que os dois capitais vão ficar aplicados para que seus
montantes se igualem: MA = 10 000  1,2n e MB = 5 000  1,68n.
n
n
 1,68 
 14 
  2  1,4n  2     2 
 10 
 1,2 
10 000  1,2n = 5 000  1,68n  
0,30
0,30
 27 
n.log
n
2.
  log2  nlog2  log7  log10  log2  n 
10
0,30

0,85

1
0,15


RESPOSTA: Alternativa E.
1
3. A equação x 4  16 tem
A duas raízes reais e duas raízes imaginárias conjugadas.
B pelo menos duas raízes iguais.
C uma única raiz imaginária.
D quatro raízes reais.
1
4
E quatro raízes cujo produto é  .
RESOLUÇÃO:
x 4  16  x  16

1
4
 x  4
1
1
1
1
1
x 
x  x
ou x    
16
16
4
4
4
1
1
1
 1  x   1 , x  1 , x   1 i e x  1 i
x   , x
ou x  
2
2
4
2
2
2
2
RESPOSTA: Alternativa A.
4. Se uma pessoa faz hoje uma aplicação financeira a juros compostos, daqui a 10 anos o
montante M será o dobro do capital aplicado C.
Utilize a tabela abaixo.
x
2x
0
1
Qual é a taxa anual de juros?
A 6,88%
B 6,98%
0,1
1,0718
C 7,08%
0,2
1,1487
D 7,18%
0,3
1,2311
0,4
1,3195
E 7,28%
RESOLUÇÃO:
1  x 10 C  2C  1  x 10  2  1  x  20,1  x  1,0718  1  x  0,0718  x  7,18%
RESPOSTA: Alternativa D.
5. Desenvolvendo-se o binômio P( x )  (x  1)5 , podemos dizer que a soma de seus coeficientes
é
A 16
B 24
C 32
D 40
E 48
RESOLUÇÃO:
A soma dos coeficientes de um polinômio P(x) é igual a P(1), então
P( 1 )  (1  1)5  32
RESPOSTA: Alternativa C.
2
6. Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1a fileira há 10 lugares, na 2a há 12, na 3a há 14
e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da
frente).
O número total de cadeiras é
A 250
B 252
C 254
D 256
E 258
RESOLUÇÃO:
Os números de cadeiras por fila formam a progressão aritmética
(10, 12, 14, 16 ,..., 10 +(12 – 1)2) = (10, 12, 14, 16 ,...,32)  T =
10  32  12  252
2
RESPOSTA: Alternativa B.
7. Um triângulo isósceles tem os lados congruentes com medida igual a 5. Seja α a medida do
ângulo da base, para a qual a área do referido triângulo é máxima. Podemos afirmar que
A 10° ≤ α < 20°
C 30° ≤ α < 40°
E 50° ≤ α < 60°
B 20° ≤ α < 30°
D 40° ≤ α < 50°
RESOLUÇÃO:
1
2
A área do triângulo é dada pela relação: S   5  5  senβ 
25senβ
.
2
Como 2α  β  180  β  180  2α .
25sen
Em S 
substituindo  por esse valor, tem-se:
2
25sen 180  2α 
S
que assume valor máximo, quando
2
sen(180  2αα  1  180  2α  90  α  45 .
RESPOSTA: Alternativa D.
8. Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 20%, o
volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará
A 60%
B 63,2%
C 66,4%
D 69,6%
E 72,8%
RESOLUÇÃO:
4π R 3
. Aumentando o raio da esfera em 20%,
3
 4 R 3 
4 1,2R 3
  1,728  V 
 1,728  
o volume do novo reservatório, será V1 

3
 3 
O volume de uma esfera é dado pela relação V 
O aumento do volume em relação ao volume inicial, aumentará 72,80%.
RESPOSTA: Alternativa E.
3
9. Quatro pessoas devem escolher ao acaso, cada uma, um único número entre os quatro
seguintes: 1, 2, 3 e 4. Nenhuma fica sabendo da escolha da outra.
A probabilidade de que escolham quatro números iguais é
A
1
256
B
1
128
C
1
64
D
1
32
E
1
16
RESOLUÇÃO:
Para cada uma das quatro pessoas existem 4 possibilidades, logo para as 4 pessoas o total de
possibilidades é 44.
1
4
1
4
1
4
1
4
A probabilidade de que escolham quatro números iguais é 4     
1
.
64
RESPOSTA: Alternativa C.
10. Um triângulo tem lados medindo 1cm, 2cm e 2,5cm. Seja h a medida da altura relativa ao
maior lado.
O valor de h2 expresso em cm2 é, aproximadamente, igual a
A 0,54
B 0,56
C 0,58
D 0,60
E 0,62
RESOLUÇÃO:
Aplicando o Teorema de Pitágoras aos dois triângulos
retângulos:
2
2
2
2
2
2


5x  3,25 
h  4  (2,5  x)
4  (2,5  x)  1  x
h  1  x



 h 2  0,5775
 2


 2
2
2
2
x

0,65




h  1  x
4  6,25  5x  x  1  x
h  1  0,4225
RESPOSTA: Alternativa C.
 3  1
 , e que a matriz X é solução da
 5 2 
11 Sabendo que a inversa de uma matriz A é A 1  
equação matricial X.A =B , em que B = [8 3], podemos afirmar que a soma dos elementos da
matriz X é
A7
B8
C9
D 10
E 11
RESOLUÇÃO:
Para cada uma das quatro pessoas existem 4 possibilidades, logo para as 4 pessoas o total de
possibilidades é 44.
1
4
1
4
1
4
1
4
A probabilidade de que escolham quatro números iguais é 4     
1
.
64
RESPOSTA: Alternativa C.
4
12. No plano cartesiano, há duas retas paralelas à reta de equação 3x  4y  60  0 e que
tangenciam a circunferência x 2  y2  4.
Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada
A 2,9
B 2,8
C 2,7
D 2,6
E 2,5
RESOLUÇÃO:
A circunferência x 2  y 2  4 tem centro no ponto (0, 0) e raio 2.
Toda reta que tangencia uma circunferência tem distância a centro desta igual ao raio.
Qualquer reta paralela à reta 3x  4y  60  0 tem equação da forma 3x  4y  b  0 .
A distância das duas retas procuradas ao centro da circunferência é igual a 2.
Assim:
3.0  4.0  b
9  16
2
b
5
 2  b  10 ou b  10 .
As equações são 3x  4y  10  0 ou 3x  4y  10  0 .
A primeira passa no ponto 0,  2,5 e a segunda no ponto 0, 2,5
RESPOSTA: Alternativa E.
13. Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número
de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da
passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau.
Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento
de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da
passagem que maximiza a receita em cada voo?
A R$ 220,00
C R$ 240,00
E R$ 260,00
B R$ 230,00
D R$ 250,00
RESOLUÇÃO:
Se o preço da passagem é R$ 200,00, o número de passageiros é 120.
Se o preço da passagem em reais é (200+ 10x), o número de passageiros é 120 – 4x.
Neste caso a receita é R(x) = (200,00 + 10x)( 120 – 4x)  R(x)  40x 2  400x  24000
Em cada voo a receita é máxima para x 
400
 5  no preço da passagem igual a 200 + 50 =
 80
250 reais.
RESPOSTA: Alternativa D.
1 3
x  y  9

14 O par ordenado ( x , y ) que satisfaz o sistema de equações 
 2  5  4
 x y
é tal que sua soma x  y vale
A 
1
7
B 
1
6
C 
1
5
D 
1
4
E 
1
3
RESOLUÇÃO:
Fazendo
1
1
a e b
x
y
5
1 3
1
11b  22   3
x  y  9
a

3b

9

2a

6b


18


1
1


x


 b  2

x e y 

1
2
5
2a

5b


4
2a

5b


4
3
2

   4 
a  3
  2


y


x y
xy
1
6
RESPOSTA: Alternativa B.
15. No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices A(1,4) , B( 4,5) e C(6,2) .
A reta suporte da altura relativa ao lado AC intercepta o eixo x no ponto de abscissa
A2
B 2,2
C 2,4
D 2,6
E 2,8
RESOLUÇÃO:
42
2
 .
1 6
5
5
Então a equação da reta que contém a altura relativa ao lado AC tem a forma y  x  b . E
2
5
5
como essa reta passa pelo ponto B( 4,5): 5   4  b  b  5  y  x  5 .
2
2
A reta que passa pelos pontos A e C tem equação com coeficiente angular igual a
Fazendo y = 0, determina-se a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo dos x :
0
5
x 5 x  2 .
2
RESPOSTA: Alternativa A.
6