F - Agora Eu Passo

CURSO DE QUESTÕES POTENCIAIS
POLÍCIA FEDERAL/2012 - CESPE
Prof. Weber Campos
[email protected]
Comparação entre os Programas de Raciocínio Lógico
 Polícia Federal de 2004 e 2009:
1 Compreensão de estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação:
analogias, inferências, deduções e conclusões. 3 Diagramas lógicos.
4 Princípios de contagem e probabilidade.
Programa Atual das Provas do Cespe:
1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias,
inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou
proposicional): proposições simples e compostas; tabelas-verdade;
equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. 4 Lógica de
primeira ordem.
5 Princípios de contagem e probabilidade.
6 Operações com conjuntos.
7 Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos,
geométricos e matriciais.
SUMÁRIO DO CURSO DE RACIOCÍNIO LÓGICO
 Lógica Proposicional
 Proposições
 Conectivos
 Tabelas-Verdade
 Negação de Proposições
 Equivalência entre Proposições
 Tautologia, Contradição e Contingência
 Diagramas Lógicos
 Implicação Lógica
 Lógica de Argumentação
 Quantificadores
 Problemas Lógicos
 Verdades & Mentiras
 Associação Lógica
 Matemática Básica
 Conjuntos
 Princípios de Contagem (Análise Combinatória)
 Probabilidade
 Problemas Aritméticos, Geométricos e Matriciais
COMPARAÇÃO ENTRE O PROGRAMA DO EDITAL
E DO CURSO DA PF
1 Estruturas lógicas:
- Verdades e Mentiras;
- Associação Lógica;
2 Lógica de argumentação:
- Lógica de argumentação
- Implicação lógica
3 Lógica sentencial (ou proposicional):
- Proposições e conectivos;
- Tautologia;
- Equivalência entre Proposições;
- Negação de proposições (inclui as leis de De Morgan);
- Diagramas lógicos.
4 Lógica de primeira ordem.
- Lógica de primeira ordem
5 Princípios de contagem e probabilidade.
- Análise Combinatória
- Probabilidade
6 Operações com conjuntos.
- Conjuntos
7 Raciocínio lógico envolvendo
geométricos e matriciais.
- problemas aritméticos,
- problemas geométricos
- problemas matriciais
problemas
aritméticos,
ESTATÍSTICA DAS PROVAS DO CESPE NOS ÚLTIMOS 02 ANOS
QUE TINHAM O MESMO EDITAL DA PF/2012
Proposições
e conectivos
Tautologia
38
8
Verdades e
Mentiras
2
Associação
Lógica
8
Conjuntos
28
Equivalência e Diagramas
Lógica de
Lógica de
Negação
Lógicos argumentação primeira
ordem
26
0
28
0
Outos
problemas
5
Análise
Probabilidade Problemas
Combinatória
aritméticos
22
31
24
Problemas
geométricos
18
Problemas
matriciais
5
PROPOSIÇÃO
Denomina-se proposição a toda frase declarativa, ao qual se possa
atribuir somente um de dois valores lógicos possíveis: V ou F.
NÃO SÃO PROPOSIÇÕES:
• Frases interrogativas:
• Frases exclamativas: “Que linda é essa mulher!”
• Frases imperativas: “Estude mais.”
• Frases Optativas: “Deus te acompanhe”.
• Frases que não possuem verbo: “Jogador de futebol.”
• Sentenças Abertas
Proposições podem ser ditas simples ou compostas.
CONECTIVOS
 Conjunção:
Ex.: Maria Clara é médica e Ana Carolina é dentista.
Simbologia: A  B
 Disjunção:
Ex.: Letícia vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
Simbologia: A  B
 Disjunção Exclusiva:
Ex.: Ou Luís fala inglês ou fala alemão, mas não ambos.
Simbologia: A  B
 Condicional:
Ex.: Se chover amanhã, então não irei à praia.
Simbologia: A  B
 Bicondicional:
Ex.: Comprarei um iate se e somente se eu ganhar na loteria.
Simbologia: A  B
TABELA-VERDADE DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS BÁSICAS
p
q
pq
pq
pq
pq
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
Proposição
É verdade quando
É falso quando
pq
p e q são, ambos, verdade
um dos dois for falso, ou
ambos
pq
pq
pq
pq
um dos dois for verdade,
ou ambos
p e q tiverem valores
lógicos diferentes
nos demais casos
p e q tiverem valores
lógicos iguais
p e q, ambos, são falsos
p e q tiverem valores
lógicos iguais
p é verdade e q é falso
p e q tiverem valores
lógicos diferentes
Operador “não”: (negação)
 João é médico.
 Maria não é estudante.
Negativa: João não é médico.
Negativa: Maria é estudante.
Negação da proposição “Lógica é fácil” pode ser enunciada como:
“Não é verdade que Lógica é fácil”,
“É falso que Lógica é fácil”.
O símbolo da negação: cantoneira () ou til (~). Indicando uma
proposição por p, sua negação será representada por ~p.
Portanto, a negação inverte o valor lógico: ~V = F e ~F = V.
Uma dupla negação não altera o valor lógico de uma proposição,
ou seja: ~~F = F e ~~V = V.
Operador “não”: (negação)
 Negação de “x>y” é “x≤y”;
 Negação de “x<y” é “x≥y”;
 Negação de “x≥y” é “x<y”;
 Negação de “x=y” é “x≠y”, ou ainda: “x<y ou x>y”;
 Negação de “x≠y” é “x=y”.
CONDICIONAL
Sentenças equivalentes da condicional: "Se A, então B":
1) Se A, B.
2) B, se A.
3) Quando A, B.
4) A implica B.
5) Todo A é B.
6) A é condição suficiente para B.
7) B é condição necessária para A.
8) A somente se B.
BICONDICIONAL
Sentenças equivalentes da bicondicional: "A se e somente se B”:
1) A se e só se B.
2) Se A então B e se B então A.
3) A implica B e B implica A.
4) Todo A é B e todo B é A.
5) A somente se B e B somente se A.
6) A é condição suficiente e necessária para B.
7) B é condição suficiente e necessária para A.
ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIVOS
1º) ~ (Negação)
2º)  (Conjunção)
3º)  (Disjunção)
4º)  (Condicional)
5º)  (Bicondicional)
CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta é
igual a 2n, onde n é o número de proposições simples presentes na
proposição composta.
 Exemplo: Construa a tabela-verdade da proposição ~(A  ~B).
A
B
CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
 Exemplo: Construa a tabela-verdade da proposição:
(A  ~B)  (C  ~B ).
A
B
C
NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM
Proposição
Algum ...
Nenhum ...
Todo ...
Algum ... não ...
Negação da proposição
Nenhum ...
Algum ...
Algum ... não ...
Todo ...
Algum = Pelo menos um = Existe
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Negação da Conjunção:
~(p e q) = ~p ou ~q (1ª Lei de De Morgan)
Negação da Disjunção:
~(p ou q) = ~p e ~q (2ª Lei de De Morgan)
Negação da Condicional:
~(pq) = p e ~q
Negação da Bicondicional:
1ª forma) ~(pq) = ~(pq e qp) = (p e ~q) ou (q e ~p)
2ª forma) ~(pq) = p v q
Negação da Disjunção Exclusiva:
~(p v q) = pq
PROPOSIÇÕES LÓGICAS EQUIVALENTES
1) Equivalências que envolvem a Condicional:
1ª regra) A  B = ~B  ~A
- Inverter os termos da condicional de posição;
- Negar ambos os termos da condicional.
2ª regra) A  B = ~A ou B
- Negar o primeiro termo;
- Manter o segundo termo;
-Trocar o símbolo do implica pelo “ou”.
3ª regra) A ou B = ~A  B
- Negar o primeiro termo;
- Manter o segundo termo;
-Trocar o símbolo do “ou” pelo “”.
2) Equivalências Básicas:
1ª) A e A = A
2ª) A ou A = A
3ª) A e B = B e A
4ª) A ou B = B ou A
5ª) A  B = B  A
6ª) A  B = (A  B) e (B  A)
3) Equivalência entre “nenhum” e “todo”:
1ª) Nenhum A não é B = Todo A é B (e vice-versa)
Exemplo: “Nenhuma bola da urna não é azul”, isso quer dizer o
mesmo que “Toda bola da urna é azul”.
2ª) Todo A não é B = Nenhum A é B (e vice-versa)
Regras de Simplificação
1. p ou p = p
(Lei idempotente)
2. p e p = p
(Lei idempotente)
3. p ou ~p = V (tautologia)
4. p e ~p = F
(contradição)
5. p ou V = V
(na disjunção, o V é quem manda)
6. p ou F = p
(na disjunção, o F é elemento neutro)
7. p e V = p
(na conjunção, o V é elemento neutro)
8. p e F = F
(na conjunção, o F é quem manda)
9. p  p = V
(tautologia)
10. p  ~p = F (contradição)
11. p ou (p e q) = p (Lei da Absorção)
12. p e (p ou q) = p (Lei da Absorção)
Tautologia:
A
V
V
F
F
Contradição:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
B
V
F
V
F
AB
V
F
F
F
AB
V
V
V
F
(A  B)  (A  B)
V
V
V
V
(A  ~B) (A  B)
F
V
V
F
V
F
F
F
Contingência:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
(A  B)
V
F
F
F
A  (A  B)
V
F
V
V
(A  ~B)  (A  B)
F
F
F
F
03. (SEBRAE/2008/CESPE) Uma proposição é uma sentença
afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V)
ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o
seguinte diálogo:
(1) Você sabe dividir? — perguntou Ana.
(2) Claro que sei! — respondeu Mauro.
(3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze
centenas e onze por três? — perguntou Ana.
(4) O resto é dois. — respondeu Mauro, após fazer a conta.
(5) Está errado! Você não sabe dividir. — respondeu Ana.
A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se
seguem.
1. A frase indicada por (3) não é uma proposição.
2. A sentença (5) é F.
3. A frase (2) é uma proposição.
07. (PM Acre 2008 Cespe) Considere as seguintes sentenças:
I O Acre é um estado da Região Nordeste.
II Você viu o cometa Halley?
III Há vida no planeta Marte.
IV Se x < 2, então x + 3 > 1.
Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições.
08. (MPE Tocantins – Técnico 2006 CESPE) Uma proposição é uma
frase afirmativa que pode ser avaliada como verdadeira (V) ou falsa
(F), mas não se admitem, para a proposição, ambas as
interpretações.
Considerando as informações apresentadas acima, julgue os itens
subseqüentes.
1. Considere as seguintes proposições.
• (7 + 3 = 10)  (5 – 12 = 7)
• A palavra “crime” é dissílaba.
• Se “lâmpada” é uma palavra trissílaba, então “lâmpada” tem
acentuação gráfica.
• (8 – 4 = 4)  (10 + 3 = 13)
• Se x = 4 então x + 3 < 6.
Entre essas proposições, há exatamente duas com interpretação F.
09. (SEBRAE/CESPE) Julgue os itens subsequentes.
1. A proposição “O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços
financeiros” é uma proposição simples.
2. A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma
proposição simples.
11. (STF/2008/CESPE) É dada as seguintes frases:
- Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.
- A resposta branda acalma o coração irado.
- O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do
homem.
- Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.
Tendo como referência as quatro frases acima, julgue o itens
seguintes.
1. A primeira frase é composta por duas proposições lógicas
simples unidas pelo conectivo de conjunção.
2. A segunda frase é uma proposição lógica simples.
3. A terceira frase é uma proposição lógica composta.
4. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois
conectivos lógicos.
PROPOSIÇÃO CONDICIONAL
antecedente  consequente
Indicadores de premissas
Ora ...
Dado que ...
Porque ...
Como ...
Visto que ...
Devido a ...
A razão é que ...
Por causa de ...
Pois ...
Indicadores de conclusão
Logo ...
Portanto ...
Por isso ...
Por conseguinte ...
Segue-se ...
Consequentemente ...
É por essa razão ...
Daí que ..
Concluo ...
18. (Assembléia Leg./CE 2011 Cespe) Julgue o item a seguir.
1. A proposição “Os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões
tradicionais, pois podem ser usados, por exemplo, pelo público jovem”
é equivalente a “Se podem ser usados, por exemplo, pelo público
jovem, então os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões
tradicionais”.
19. (EBC 2011 Cespe) Julgue o item a seguir.
1. Considere que P, Q, R e S representem as proposições:
P: “Meus filhos estudam em escola de ensino tradicional”,
Q: “Meus filhos farão vestibulares”,
R: “Meus filhos não têm problemas emocionais”
S: “Meus filhos serão aprovados nos vestibulares”.
Nesse caso, é correto afirmar que a proposição
“Caso estudem em escola de ensino tradicional, quando fizerem
vestibulares meus filhos serão aprovados, desde que não tenham
problemas emocionais”
estará corretamente simbolizada por PQRS.
20. (EBC 2011 Cespe) Considerando que P, Q e R representem,
respectivamente, as proposições “O dispositivo está ligado”, “O
dispositivo está conectado ao PC” e “A bateria não está carregando”,
julgue os itens a seguir, acerca de lógica proposicional.
1. A proposição “Quando o dispositivo estiver ligado e conectado ao
PC, a bateria não estará carregando” pode ser corretamente
representada por PQR.
2. Simbolicamente, P[QR] representa a proposição “Se o
dispositivo estiver ligado, então, caso o dispositivo esteja conectado ao
PC, a bateria não estará carregando”.
21. (SESA/ES 2011 Cespe) Considerando que as proposições lógicas
simples sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os
símbolos usuais para os conectivos lógicos —  para a conjunção “e”; 
para a disjunção “ou”; ¬ para a negação “não”;  para a implicação “se
..., então ...”;  para a equivalência “se ..., e somente se ...” —, julgue
os próximos itens.
1. A proposição “O jovem moderno é um solitário conectado com o
mundo, pois ele vive em seu quarto diante do computador e ele não se
relaciona com as pessoas à sua volta” pode ser representada,
simbolicamente, por P (QR), em que P, Q e R são proposições
simples adequadamente escolhidas.
21. (SESA/ES 2011 Cespe)
2. A proposição “A assistência médica de qualidade e gratuita é um
direito de todos assegurado na Constituição da República” pode ser
representada simbolicamente por uma expressão da forma PQ, em
que P e Q são proposições simples escolhidas adequadamente.
3. A proposição “O trânsito nas grandes cidades está cada vez mais
caótico; isso é consequência de nossa economia ter como importante
fator a produção de automóveis” pode ser representada,
simbolicamente, por uma expressão da forma PQ, em que P e Q
são proposições simples escolhidas adequadamente.
22. (TRT 21ª Região 2010 Cespe) Considerando que cada proposição
lógica simples seja representada por uma letra maiúscula e utilizando
os símbolos usuais para os conectivos lógicos, julgue os itens
seguintes.
3. A sentença “Maria é mais bonita que Sílvia, pois Maria é Miss
Universo e Sílvia é Miss Brasil” é representada corretamente pela
expressão simbólica (PQ)  R.
4. A sentença “Mais seis meses e logo virá o verão” é representada
corretamente pela expressão simbólica P  Q.
TABELA-VERDADE DE UMA
PROPOSIÇÃO COMPOSTA
34. (TRT 21ª Região 2010 Cespe) Considerando que R e T são
proposições lógicas simples, julgue os itens a seguir, acerca da
construção de tabelas-verdade.
1. Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R  T)  R, a tabelaverdade correspondente será a seguinte.
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES
41. (Agente da PF 2009 Cespe) Julgue o item a seguir.
1. Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a
proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é
honesto”.
47. (TRT 17ª Região Téc Jud 2009 CESPE) Julgue os itens a seguir.
1. A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como
negação a proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”.
2. A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser
refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é
moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa.
50. (PC/ES 2010 Cespe) Julgue os próximos itens, relativos à lógica
sentencial, em que os símbolos , , ~ e  representam,
respectivamente, as operações lógicas “e”, “ou”, “não” e “implicação”.
1. A negação da proposição (P~Q)R é (~PQ)(~R).
(Polícia Civil do Ceará 2011/2012 Cespe) O exercício da atividade
policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de
situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes,
incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos
concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições
seguintes.
P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o
policial tem informações precisas ao tomar decisões.
Com base nessas proposições, julgue os itens a seguir.
1. A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição “O policial
teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem
informações precisas ao tomar decisões”.
EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES
55. (Agente da PF 2009 Cespe) Julgue o item a seguir.
1. As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha,
então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado
prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bemsucedida” são equivalentes.
62. (Escrivão da PF 2009 Cespe) A partir dessas informações, julgue o
item que se segue.
1. As proposições [A(¬B)](¬A) e [(¬A)B]  (¬A) são equivalentes.
(Polícia Civil do Ceará 2011/2012 Cespe)
P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o
policial toma decisões ruins.
P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o
policial toma decisões ruins.
1. A proposição formada pela conjunção de P1 e P2 é logicamente
equivalente à proposição “Se se deixa dominar pela emoção ou não
tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma
decisões ruins”.
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTIGÊNCIA
68. (Escrivão da PF 2009 Cespe) Julgue o item que se segue.
1. Independentemente dos valores lógicos atribuídos às proposições A
e B, a proposição [(AB)  (¬B)]  (¬A) tem somente o valor lógico F.
81. (SESA/ES 2011 Cespe) Julgue os próximos itens.
1. A expressão {(PQ)  [(¬P)  (¬R)]}  (RQ), em que P, Q e R
são proposições simples, é uma tautologia.
DIAGRAMAS LÓGICOS
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
1. Todo A é B
2. Nenhum A é B
3. Algum A é B
4. Algum A não é B
Representação das Proposições Categóricas
1. “Todo A é B”
Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A
está contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A também é
elemento de B.
Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A.
Todo médico é bacharel  Todo bacharel é médico
B
A
A=B
2. “Nenhum A é B”
Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os
conjuntos A e B são disjuntos, isto é, A e B não tem elementos em
comum.
Dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer
que Nenhum B é A.
Nenhum diplomata é analfabeto = Nenhum analfabeto é diplomata
A
B
3. “Algum A é B”
Proposições da forma Algum A é B estabelecem que o
conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o
conjunto B.
Dizer que Algum A é B é o mesmo que dizer que Algum B é A.
Algum médico é poeta = Algum poeta é médico
A
A
B
B
A
B
A=B
4. “Algum A não é B”
Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o
conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao
conjunto B.
Atenção: Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A.
Algum animal não é mamífero  Algum mamífero não é animal
A
A
B
B
A
B
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Definição de Argumento:
É a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2, ... pn ,
chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de
conclusão do argumento.
Exemplo:
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento
conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
Argumento Válido:
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem
construído), quando a sua conclusão é uma conseqüência
obrigatória do seu conjunto de premissas.
Argumento Inválido:
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado
ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade
das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.
Indicadores de premissas
Ora ...
Dado que ...
Porque ...
Como ...
Visto que ...
Devido a ...
A razão é que ...
Por causa de ...
Pois ...
Indicadores de conclusão
Logo ...
Portanto ...
Por isso ...
Por conseguinte ...
Segue-se ...
Consequentemente ...
É por essa razão ...
Daí que ..
Concluo ...
Argumento:
Todo pensamento é um raciocínio, portanto todo pensamento é um
movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.
P1: Todo pensamento é um raciocínio.
P2: Todos os raciocínios são movimentos.
C: Todo pensamento é um movimento.
MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS
Deve ser usado
quando...
1º Método
o argumento
apresentar as
Considerar as
premissas verdadeiras palavras todo,
e verificar a validade da nenhum, ou algum
conclusão por meio da
utilização de círculos.
preferencialmente
quando o
2º Método
argumento tiver no
Construção da Tabelamáximo duas
Verdade do argumento
proposições
n
(nº de linhas = 2 )
simples.
O argumento é válido
quando...
a partir dos diagramas
verificarmos que a
conclusão é
necessariamente
verdadeira.
nas linhas da tabela em
que os valores lógicos
das premissas têm valor
V, os valores lógicos
relativos a coluna da
conclusão forem
também V.
3º Método
Considerar as premissas
verdadeiras e verificar o
valor
lógico
da
conclusão
4º Método
Considerar a Conclusão
como Falsa e as
premissas como
verdadeiras
Deve
ser
usado
quando...
houver uma premissa
que
seja
uma
proposição simples;
ou que esteja na
forma
de
uma
conjunção (e).
for inviável a aplicação
dos métodos
anteriores. Também é
necessário que a
conclusão seja uma
proposição simples
ou uma disjunção ou
uma condicional.
O argumento é válido
quando...
o valor encontrado
para a conclusão é
obrigatoriamente
verdadeiro.
não for possível a
existência simultânea
de conclusão falsa e
premissas
verdadeiras.
95. (PC/ES 2010 CESPE) Um argumento constituído por uma
sequência de três proposições — P1, P2 e P3...
A respeito das formas válidas de argumentos, julgue os próximos
itens.
1. Considere a seguinte sequência de proposições:
P1 – Existem policiais que são médicos.
P2 – Nenhum policial é infalível.
P3 – Nenhum médico é infalível.
Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas
P1 e P2 e conclusão P3 é válido.
105. (Policia Civil - ES 2009 CESPE) Julgue os itens a seguir, acerca de
raciocínio lógico.
1. Considere que o delegado faça a seguinte afirmação para o
acusado: “O senhor espanca a sua esposa, pois foi acusado de
maltratá-la’’. Nesse caso, é correto afirmar que o argumento
formulado pelo delegado constitui uma falácia.
106. (MPE Tocantins – Analista – 2006 CESPE) Uma argumentação é
uma seqüência finita...
Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem.
1. É correto afirmar que, simbolizada adequadamente, a
argumentação abaixo é válida.
- Se um casal é feliz, então os parceiros têm objetivos comuns.
- Se os parceiros têm objetivos comuns, então trabalham no mesmo
Ministério Público.
- Há rompimento se o casal é infeliz.
- Há rompimento se os parceiros não trabalham no mesmo Ministério
Público.
106. (MPE Tocantins – Analista – 2006 CESPE)
2. A seqüência de proposições abaixo não é uma argumentação
válida.
- Se Filomena levou a escultura ou Silva mentiu, então um crime foi
cometido.
- Silva não estava em casa.
- Se um crime foi cometido, então Silva estava em casa.
- Filomena não levou a escultura.
(Polícia Civil do Ceará 2011/2012 Cespe)
P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o
policial toma decisões ruins.
P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o
policial tem informações precisas ao tomar decisões.
1. A partir das proposições P2 e P4, é correto inferir que “O policial
que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos
estudos não toma decisões ruins” é uma proposição verdadeira.
(Polícia Civil do Ceará 2011/2012 Cespe)
P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento
adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar
decisões.
2. Da proposição P3 é correto concluir que também será verdadeira a
proposição “O policial que tenha tido treinamento adequado não se
deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, mesmo estando em
situações de estresse”.
(Polícia Civil do Ceará 2011/2012 Cespe)
1. Das proposições “Se há corrupção, aumenta-se a concentração de
renda”, “Se aumenta a concentração de renda, acentuam-se as
desigualdades sociais” e “Se se acentuam as desigualdades sociais, os
níveis de violência crescem” é correto inferir que “Se há corrupção, os
níveis de violência crescem”.
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
# Quantificadores
Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores:
Universal e Existencial.
1. O Quantificador Universal
O quantificador universal é indicado pelo símbolo  que se lê:
para todo, para cada, qualquer que seja.
Exemplos:
(x)(xN)(x + 3 = 10)
2. O Quantificador Existencial
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo  que se lê:
existe pelo menos um, existe um, existe, para algum.
Exemplos:
(x)(xN)(x2 = 4)
3. Negação de Proposições Quantificadas
3.1. Negação do Quantificador Universal
Faremos a negação do quantificador universal  do seguinte modo:
primeiro substituiremos o  (para todo) pelo  (existe um) e depois
negaremos a sentença aberta. Simbolicamente, podemos escrever:
A negação de (x)(P(x)) é a sentença (x)(¬P(x)).
Passemos a alguns exemplos de negação do quantificador
universal:
1) proposição: (x)(x  N)(x + 1 > 4)
negação:
(x)(x  N)(x + 1 ≤ 4)
3.2. Negação do Quantificador Existencial
Faremos a negação do quantificador existencial  do seguinte modo:
primeiro substitui-se o  (existe) pelo  (para todo), e depois nega-se
a sentença aberta.
A negação de (x)(P(x)) é a sentença (x)(¬P(x)).
1) proposição: (x)(x  N)(x não é negativo)
negação:
(x)(x  N)(x é negativo)
116. (PM Ceará 2008 CESPE) Julgue os seguintes itens.
1. Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição
(x)(xQ)(x2+x-1 = 0) é julgada como V.
120. (Papiloscopista 2004 CESPE) Considere as quatro sentenças
enumeradas a seguir.
I. Para cada y, existe algum x, tal que x < y.
II. Para cada x e para cada y, se x < y então existe algum z, tal que
x < z e z < y.
III. Para cada x, se 0 < x, então existe algum y tal que x = y × y.
IV. Existe algum x tal que, para cada y, x < y.
Suponha que, nessas sentenças, x, y e z sejam variáveis que podem
assumir valores no conjunto dos números naturais (N), no dos
números inteiros (Z), no dos números racionais (Q) ou no conjunto
dos números reais (R).
Em cada linha da tabela a seguir, são atribuídas valorações V e F, para
cada uma das quatro sentenças enumeradas acima, de acordo com o
conjunto no qual as variáveis x, y e z assumem valores.
Julgue os seguintes itens:
1. As avaliações dadas para as sentenças I e III estão corretas.
2. As avaliações dadas para as sentenças II e IV estão corretas.
SUMÁRIO DO CURSO DE RACIOCÍNIO LÓGICO
 Lógica Proposicional
 Proposições
 Conectivos
 Tabelas-Verdade
 Negação de Proposições
 Equivalência entre Proposições
 Tautologia, Contradição e Contingência
 Diagramas Lógicos
 Implicação Lógica
 Lógica de Argumentação
 Quantificadores
 Problemas Lógicos
 Verdades & Mentiras
 Associação Lógica
 Outros Problemas Lógicos
 Matemática Básica
 Conjuntos
 Princípios de Contagem (Análise Combinatória)
 Probabilidade
VERDADES E MENTIRAS
Você sempre fala
a verdade?
O veraz
responde:
O mentiroso
responde:
Você sempre
mente?
01. (Papiloscopista 2004 CESPE) Um líder criminoso foi morto por um
de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses
indivíduos fizeram as seguintes declarações.
• A afirmou que C matou o líder.
• B afirmou que D não matou o líder.
• C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto
e, por isso, não tiveram participação no crime.
• D disse que C não matou o líder.
Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que
três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um
deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.
1. A declaração de C não pode ser verdadeira.
2.
D matou o líder.
ASSOCIAÇÃO LÓGICA
09. (Auditor Fiscal de Vitória-ES 2007 CESPE) Quatro amigos de infância
— André, Bruno, Carlos e Davi — resolveram reunir-se novamente
depois de muitos anos de separação. Todos têm profissões diferentes —
advogado, arquiteto, engenheiro e médico —, moram em cidades
diferentes — Brasília, Campinas, Goiânia e Vitória — e possuem
diferentes passatempos — violão, xadrez, pintura e artesanato. Além
disso, sabe-se que André mora em Goiânia, não é arquiteto e não joga
xadrez como passatempo. Bruno tem por passatempo o violão, não
mora em Brasília e é médico. Carlos não tem o artesanato como
passatempo, é engenheiro e não mora em Campinas. Sabe-se que o
passatempo do arquiteto é a pintura e que ele mora em Brasília.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
1. André é advogado.
2. Bruno mora em Vitória.
3. Carlos tem o xadrez por passatempo.
4. Davi é arquiteto.
5. O advogado mora em Goiânia.
- André mora em Goiânia, não é arquiteto e não joga xadrez como
passatempo.
- Bruno tem por passatempo o violão, não mora em Brasília e é médico.
- Carlos não tem o artesanato como passatempo, é engenheiro e não mora
em Campinas.
- Sabe-se que o passatempo do arquiteto é a pintura e que ele mora em
Brasília.
André Bruno Carlos
Davi
advogado
1. André é advogado.
arquiteto
engenheiro
2. Bruno mora em
médico
Vitória.
Brasília
3. Carlos tem o xadrez
Campinas
por passatempo.
Goiânia
4. Davi é arquiteto.
Vitória
5. O advogado mora
violão
em Goiânia.
xadrez
pintura
artesanato
SUMÁRIO DO CURSO DE RACIOCÍNIO LÓGICO
 Lógica Proposicional
 Proposições
 Conectivos
 Tabelas-Verdade
 Negação de Proposições
 Equivalência entre Proposições
 Tautologia, Contradição e Contingência
 Diagramas Lógicos
 Implicação Lógica
 Lógica de Argumentação
 Quantificadores
 Problemas Lógicos
 Verdades & Mentiras
 Associação Lógica
 Outros Problemas Lógicos
 Matemática Básica
 Conjuntos
 Princípios de Contagem (Análise Combinatória)
 Probabilidade
CONJUNTOS
01. (PETROBRAS 2007 CESPE) O item abaixo apresenta dados
hipotéticos a respeito de uma pesquisa, também hipotética,
seguidos de uma assertiva a ser julgada.
1. Uma pesquisa foi feita entre estudantes, para identificar quem
fala inglês ou espanhol. Entre os pesquisados, 100 alunos
responderam que falam inglês; 70 responderam que falam
espanhol; 30 responderam que falam inglês e espanhol e 45
responderam que não falam nenhuma dessas duas línguas.
Nessa situação, é correto afirmar que o número total de
estudantes pesquisados foi de 185.
07. (Polícia Civil/ES 2010 CESPE) Julgue o item seguinte:
1. Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo número de
elementos, que A e B sejam disjuntos, que a união dos três possuía
150 elementos e que a interseção entre B e C possuía o dobro de
elementos da interseção entre A e C. Nesse caso, se a interseção
entre B e C possui 20 elementos, então B tem menos de 60
elementos.
10. (Polícia Civil/ES 2010 CESPE) No ano de 2002, o estado do Espírito
Santo registrou um total de 953 vítimas de acidentes de trânsito,
sendo que 177 eram do sexo feminino e 331 eram jovens de 15 a 29
anos de idade. Entre os jovens de 15 a 29 anos de idade, o número
de vítimas do sexo masculino totalizava 283 pessoas.
1. O número de vítimas do sexo feminino que tem menos de 15 anos
ou mais de 29 anos de idade é maior que 125.
2. O número de vítimas do sexo feminino ou de jovens de 15 a 29
anos de idade é inferior a 500.
3. O número de vítimas jovens de 15 a 29 anos de idade do sexo
masculino é maior que seis vezes o número de vítimas do sexo
feminino da mesma faixa etária.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
TÉCNICAS DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
1) PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas
sucessivas e independentes de tal modo que:
P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa;
P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa;
...
Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então:
Total de possibilidades = (P1 x P2 x ... x Pk)
Exemplo: Quantos são os resultados possíveis em sete lançamentos
de uma moeda?
2) ARRANJO
Para usar o Arranjo é necessário que não haja repetição dos
elementos, e a ordem dos elementos deve ser relevante, ou seja:
1º Passo) Criaremos um resultado possível para o grupo;
2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar
(no 1º passo);
3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós
(1º e 2º passos): Se forem resultados diferentes:
resolveremos a questão por Arranjo!
n!
A fórmula do Arranjo é a seguinte: An, p 
(n  p)!
Onde:
 n é o número de elementos do conjunto universo; e
 p é o número de elementos do grupo.
Importante: Toda questão que pode ser resolvida por Arranjo, poderá
também ser resolvida pelo Princípio Fundamental da Contagem! O
caminho de volta – Princípio Fundamental da Contagem para Arranjo
– nem sempre será possível!
Exemplo: Quantos senhas de três algarismos distintos podem ser
formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Exemplo: Quantos senhas de três algarismos, iguais ou distintos,
podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
3) COMBINAÇÃO
Assim como o arranjo, não pode haver repetição dos
elementos. E a ordem dos elementos NÃO é relevante, ou seja:
1º Passo) Criaremos um resultado possível para o grupo;
2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar
(no 1º passo);
3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós
(1º e 2º passos): Se forem resultados iguais: resolveremos
a questão por Combinação!
A fórmula da Combinação é a seguinte:
Cn , p 
n!
p!(n  p)!
Onde:
 n é o número de elementos do conjunto universo; e
 p é o número de elementos do grupo a ser formado.
4) PERMUTAÇÃO
A Permutação é tão-somente um caso particular do Arranjo!
Quando estivermos em uma questão de Arranjo e observarmos que o
n (número de elementos do “conjunto universo”) é igual ao p
(número de elementos dos grupos), então estaremos diante de uma
questão de Permutação!
 Fórmula da Permutação:
Pn  n!
Onde: n é o número de elementos do conjunto universo, que é
também o mesmo número de elementos dos grupos que serão
formados!
Exemplo: Quantos senhas de cinco algarismos distintos podem ser
formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
5) PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Permutação Circular é um caminho de resolução que será utilizado
quando estivermos em um problema que sai por Permutação, e em
que os elementos do grupo estarão dispostos em uma linha fechada,
ou seja, todos os elementos do grupo terão um elemento a sua
esquerda e a sua direita.
A fórmula é dada por:
 PC n  (n  1)!
Exemplo: De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em
quatro posições ao redor de uma mesa redonda?
6) PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Uma vez que alguns elementos do conjunto universo são repetidos,
diremos que a questão se resolve por Permutação com Repetição!
A fórmula da Permutação com Repetição é a seguinte:
PXY ,Z ,...,W 
X!
Y !.Z!.....W !
Onde:  X é o número de elementos do conjunto universo;
 Y, Z,..., W é o número de repetições de cada elemento que
se repete!
Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras da
palavra BANANEIRA?
01. (MPE Tocantins 2006 CESPE) Os princípios de contagem, na
matemática, incluem:
I Princípio da Soma: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras
distintas, E2, de N2 maneiras distintas, ..., Ek, de Nk maneiras distintas,
e se quaisquer dois eventos não podem ocorrer simultaneamente,
então um dos eventos pode ocorrer em N1 + N2 + ... + Nk maneiras
distintas.
II Princípio da Multiplicação: considere que E1, E2, ..., Ek são eventos
que ocorrem sucessivamente; se o evento E1 pode ocorrer de N1
maneiras distintas, o evento E2 pode ocorrer de N2 maneira distintas,
..., o evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras distintas, então todos
esses eventos podem ocorrer, na ordem indicada, em N1 × N2 × ... ×
Nk maneiras distintas.
01. (MPE Tocantins 2006 CESPE) Os princípios de contagem, na
matemática, incluem:
Considerando o texto acima e a informação do portal
www.mp.to.gov.br, de que, no Ministério Público do Estado do
Tocantins (MPE/TO), há 85 promotores de justiça e 12 procuradores
de justiça, julgue os itens subsequentes.
1. Considere que se deseje eleger, entre os procuradores e os
promotores do MPE/TO, um presidente, um vice-presidente e um
ouvidor, para a direção de um clube dos membros do MPE/TO, de
modo que nenhuma pessoa possa ser eleita para mais de um cargo.
Nessa situação, é correto afirmar que há 288 maneiras diferentes de
se escolherem os três membros para a direção do clube e este
resultado é uma conseqüência do Princípio da Soma.
01. (MPE Tocantins 2006 CESPE)
Considerando o texto acima e a informação do portal
www.mp.to.gov.br, de que, no Ministério Público do Estado do
Tocantins (MPE/TO), há 85 promotores de justiça e 12 procuradores
de justiça, julgue os itens subsequentes.
2. Há 97 maneiras diferentes de se escolher uma pessoa entre os
promotores de justiça e os procuradores de justiça do MPE/TO.
01. (MPE Tocantins 2006 CESPE)
Considerando o texto acima e a informação do portal
www.mp.to.gov.br, de que, no Ministério Público do Estado do
Tocantins (MPE/TO), há 85 promotores de justiça e 12 procuradores
de justiça, julgue os itens subsequentes.
4. Há 70 maneiras diferentes de se constituir um comitê que
contenha exatamente 4 membros escolhidos de uma lista de 8
procuradores de justiça.
05. (Auditor Fiscal de Vitória-ES 2007 CESPE) Para formar-se um
anagrama, permutam-se as letras de uma palavra, obtendo-se ou não
uma outra palavra conhecida. Por exemplo, VROAL é um anagrama da
palavra VALOR. Com base nessas informações, julgue os próximos
itens, relacionados aos anagramas que podem ser obtidos a partir da
palavra VALOR.
1. O número de anagramas distintos é inferior a 100.
2. O número de anagramas distintos que começam com VL é igual a 6.
06. (Agente da Polícia Federal (Regional) 2004 CESPE)
Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista
colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a
escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere
que somente um trabalho seja executado de cada vez.
Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia
preparar, julgue os itens subseqüentes.
1. O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia
preparar é superior a 12 × 10!.
07. (TJ/ES 2010 Cespe) Alberto, Bruno, Sérgio, Janete e Regina
assistirão a uma peça de teatro sentados em uma mesma fila, lado a
lado. Nessa situação, julgue os itens subsequentes.
3. Considere que Sérgio e Janete sentem um ao lado do outro. Nesse
caso, a quantidade de maneiras distintas de como as 5 pessoas
poderão ocupar os assentos é igual a 48.
09. (Papiloscopista PF 2004 CESPE) A respeito de contagem, que
constitui um dos principais fundamentos da matemática, julgue os
itens que se seguem.
2. O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser
formadas apenas com as letras da palavra Papiloscopista é inferior a
108.
11. (BB3 2007 CESPE) Julgue o item seguinte.
1. Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6
participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas
diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da
reunião é superior a 102.
13. (PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue os itens que se seguem.
1. Considere que, no final de uma reunião de executivos, foram
trocados 78 apertos de mãos; cada executivo apertou uma única vez
a mão de todos os outros. Nesse caso, o número de executivos
presentes nessa reunião era inferior a 15.
14. (ABIN 2010 CESPE) Com relação aos princípios e técnicas de
contagem, julgue os itens subsequentes.
1. Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3
agentes entre os 7 disponíveis para viagens — um deles para
coordenar a equipe, um para redigir o relatório de missão e um
para fazer os levantamentos de informações —, o número de
maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior
a 200.
14. (ABIN 2010 CESPE)
3. Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por
meio de carro, por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos
disponíveis e que, dado o caráter sigiloso de uma operação a ser
realizada nessa cidade, os agentes que participarão dessa operação
devam chegar à referida cidade de maneira independente, em
veículos distintos. Em face dessa situação, sabendo-se que o órgão de
inteligência dispõe de apenas um carro e que os deslocamentos
devem ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o número de
maneiras de o servidor responsável pela organização das viagens
escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa missão é
inferior a 50.
15. (ABIN 2010 CESPE) Considere que, em um órgão de inteligência, o
responsável por determinado setor disponha de 20 agentes, sendo 5
especialistas em técnicas de entrevista, 8 especialistas em
reconhecimento operacional e 7 especialistas em técnicas de
levantamento de informações, todos com bom desempenho na
tarefa de acompanhamento de investigado. A partir dessas
informações, julgue os itens a seguir.
1. Se, para cumprir determinada missão, for necessário fazer,
simultaneamente, reconhecimento operacional em 3 locais
diferentes, então o responsável pelo setor terá 340 maneiras
distintas de compor uma equipe da qual façam parte 3 agentes
especialistas para essa missão, sendo um especialista para cada
local.
16. (Escrivão da Polícia Federal (Regional) – 2004 – CESPE) Para uma
investigação a ser feita pela Polícia Federal, será necessária uma
equipe com 5 agentes. Para formar essa equipe, a coordenação da
operação dispõe de 29 agentes, sendo 9 da superintendência
regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo e 12 da
regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe, todos os agentes terão
atribuições semelhantes, de modo que a ordem de escolha dos
agentes não será relevante.
3. Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio
de Janeiro, 1 agente da regional de São Paulo e 2 agentes da
regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação poderá
formar, no máximo, 12 × 11 × 9 × 8 × 4 equipes distintas.
18. (MPE Tocantins – Analista – 2006 CESPE) Em cada um dos itens
subseqüentes, é apresentada uma situação hipotética, seguida de
uma assertiva a ser julgada.
2. Os ramais de telefone em uma repartição têm 4 dígitos,
formatados com os algarismos 0, 1, ..., 9. Se esses números possuem
pelo menos um dígito repetido, então a quantidade de números de
ramais que é possível formar é superior a 4.000.
19. (Polícia Civil ES 2010 Cespe) Desde dezembro de 2009, uma
aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as fronteiras do Brasil
com o Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do Iguaçu.
Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2 aeronaves cada, operadas
pela Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6
milhões.
1. Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeção
e manutenção, sendo que não podem ser selecionadas as 2
aeronaves de uma mesma estação, e que todas as seis estações já
possuam as duas aeronaves previstas, então o número de formas
distintas de se fazer essa escolha será superior a 150.
(EBC 2011 Cespe) O estafe de uma nova instituição pública será
composto por 15 servidores: o diretor-geral, seu secretário executivo
e seus 2 subsecretários — 1 de assuntos administrativos e 1 de
fomento —, 4 diretores — de administração e finanças, de
infraestrutura, executivo e de pessoal — e, ainda, sete assessores
ligados a esses cargos. Para a composição desse estafe, dispõe-se de
20 pessoas, todas igualmente qualificadas para assumir qualquer um
dos cargos vagos. Entretanto, por motivos internos, apenas 5 delas
podem assumir cargos de direção. As pessoas escolhidas para os
cargos de assessoria desempenham funções similares.
1. A quantidade de maneiras distintas de se escolhem as pessoas
para preencher os 15 cargos de modo que as restrições internas
sejam respeitadas é igual a 15!/7!.
PROBABILIDADE
1) Fórmula Elementar da Probabilidade:
P(X) =
número de resultados favoráveis ao evento X__
número de resultados possíveis do experimento
Experimento: Lançar duas moedas e observar as faces de cima.
Espaço Amostral:
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) }
a) Probabilidade de se obter duas coroas?
b) Probabilidade de se obter exatamente uma coroa?
c) Probabilidade de se obter pelo menos uma coroa?
2) A soma das probabilidades de ocorrência de um evento X com
a de não ocorrência desse mesmo evento é igual a 1.
P(X ocorrer) + P(X não ocorrer) = 1
Daí:
P(X ocorrer) = 1 – P(X não ocorrer)
Exemplo: Em cinco lançamentos de uma moeda honesta, calcule a
probabilidade de se obter pelo menos uma coroa.
3) PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (Regra do E)
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
A Prob(B|A) significa a probabilidade de ocorrer o evento B sabendo
que o evento A já tenha ocorrido.
Exemplo: Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. São
retiradas duas bolas desta urna (sem reposição das bolas). Qual é a
probabilidade das duas bolas retiradas sejam brancas?
Exemplo: Qual a probabilidade de, ao lançarmos uma moeda e um
dado, obtermos uma coroa na moeda e um número par no dado?
Regra do E:
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
- Se A e B forem eventos independentes, teremos: P(B|A) = P(B),
então:
P(A e B) = P(A) x P(B)
- Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos:
P(A e B) = 0
4) PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS (Regra do OU)
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Lembremos que pela regra do E, teremos:
 P(A e B) = P(A) x P(B|A)
Se forem eventos independentes:
 P(A e B) = P(A) x P(B)
E para eventos mutuamente exclusivos:
 P(A e B) = 0
Exemplo: Um dado honesto é lançado juntamente com uma moeda
não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número menor do
que três no dado ou coroa na moeda é:
5) PROBABILIDADE CONDICIONAL: P(X|Y)
Exemplo: Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata
e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito
delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas
pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma
noite, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de
jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em
conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata
que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é:
02. (TJ/ES 2010 Cespe) Em uma cidade, uma emissora de televisão
inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a
aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa,
cujo resultado mostrou que, das 1.200 pessoas entrevistadas, 770
pretendem assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao
programa B e 590 não pretendem assistir ao programa B. Julgue:
1. A probabilidade de essa pessoa pretender assistir aos dois
programas é superior a 1/4.
2. A probabilidade de essa pessoa pretender assistir a apenas um dos
programas é igual a 3/4.
05. (Analista Petrobrás 2001 Cespe) Considerando dois eventos
independentes, A e B, com probabilidades de ocorrência iguais a 0,3
e 0,6, respectivamente, julgue os itens a seguir.
1. A probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é 0.
2. A probabilidade de ocorrer ao menos um dos eventos A ou B é
0,90.
3. A probabilidade de não ocorrer A nem B é 0,10.
05. (Analista Petrobrás 2001 Cespe) Considerando dois eventos
independentes, A e B, com probabilidades de ocorrência iguais a 0,3
e 0,6, respectivamente, julgue os itens a seguir.
4. A probabilidade de ocorrer exatamente um dos eventos A e B é
0,54.
5. A probabilidade de não ocorrer exatamente um dos eventos A e B
é 0,46.
08. (Polícia Civil/CE 2012 Cespe) ...Um dos fatores que evidenciam a
desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a
condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de
jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de até
um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa...
1. Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade
de ambos serem atingidos pela condição de extrema pobreza será
inferior a 1,5%.
09. (Delegado da Polícia Federal 2004 Cespe)
3. Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito,
a probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é
inferior a 0,011.
10.
1. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma
vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele
mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5.
14. (Anal. Jud. TRT 10ª região 2004 CESPE) Um juiz deve analisar 12
processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de
professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz
selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem
analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
2. As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos
seja de professor é superior a 80%.
15. (TRT/21ªRegião 2010 Cespe) ...5 possíveis nomes para o cargo de
governador, 7 para o cargo de senador e 12 para o cargo de deputado
federal. ...chapa (governador, senador e deputado federal) será por
sorteio...
4. Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de
governador e Carlos seja pré-candidato ao cargo de senador, então a
probabilidade de que a chapa sorteada ou não tenha o nome de
Maria ou não tenha o nome de Carlos será inferior a 0,75.
(Ministério do Meio Ambiente 2008 Cespe) Julgue o item seguinte.
1. Suponha que as probabilidades de dois planos (P1 e P2) terem
100% de suas metas atingidas sejam, respectivamente, iguais a 3/7 e
2/5, e que ambos estejam em andamento independentemente um do
outro. Nesse caso, a probabilidade de pelo menos um desses planos
ter suas metas plenamente atingidas é superior a 0,7.
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
03. (PM DF 2009 CESPE) Considerando que os 3 filhos de um casal
têm idades que, expressas em anos, são números inteiros positivos
cuja soma é igual a 13 e sabendo também que 2 filhos são gêmeos e
que todos têm menos de 7 anos de idade, julgue os itens seguintes.
1. A proposição “As informações acima são suficientes para
determinar-se completamente as idades dos filhos” é falsa.
2. A proposição “Se um dos filhos tem 5 anos de idade, então ele não
é um dos gêmeos” é verdadeira.
3. A proposição “Se o produto das 3 idades for inferior a 50, então o
filho não gêmeo será o mais velho dos 3” é falsa.
04. (TJ/ES 2010 Cespe) Se o produto das idades, em anos, de 3
irmãos é igual a 22, e se o irmão mais novo se chama Fernando,
então
1. o irmão mais velho tem mais de 12 anos de idade.
2. a soma das idades dos 3 irmãos é inferior a 20 anos.
PROBLEMAS MATRICIAIS
(Polícia Civil do ES 2010 Cespe) Os policiais da delegacia de defesa do
consumidor apreenderam, em um supermercado, 19,5 kg de
mercadorias impróprias para o consumo: potes de 150 g de queijo e
peças de 160 g de salaminho.
1. Se cada pote de queijo era vendido a R$ 9,80 e cada peça de
salaminho era vendida a R$ 12,50, e se o prejuízo do supermercado
decorrente do impedimento da venda desses produtos foi calculado
em R$ 1.427,50, então foram apreendidos 50 potes de queijo e 75
peças de salaminho.
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
(Polícia Civil do ES 2010 Cespe) Os policiais da delegacia de defesa do
consumidor apreenderam, em um supermercado, 19,5 kg de
mercadorias impróprias para o consumo: potes de 150 g de queijo e
peças de 160 g de salaminho. Julgue os itens a seguir.
1. Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de
cone de 7 cm de altura, em que o raio da base maior meça 4 cm e o
da base menor, 3 cm. Nesse caso, tomando 3,14 como valor
aproximado para , é correto afirmar que essas embalagens têm
capacidade para, no máximo, 250 mL.
(Polícia Civil do ES 2010 Cespe)
1. Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de
cone de 7 cm de altura, em que o raio da base maior meça 4 cm e o
da base menor, 3 cm. Nesse caso, tomando 3,14 como valor
aproximado para , é correto afirmar que essas embalagens têm
capacidade para, no máximo, 250 mL.