Atividade Série SuperLogo – Desafios Geométricos Nível

Atividade
Desenvolvido por
MDMat – Mídias Digitais para Matemática
Com o apoio da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Em parceria com o
Série SuperLogo – Desafios Geométricos
Instituto de Matemática da UFRGS
Nível: Ensino Médio
Este material está licenciado sob uma licença Creative Commons.
Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
2
FICHA TÉCNICA
Nível de ensino
Ensino Médio
INTRODUÇÃO
Alguns conceitos geométricos podem ser explorados no
ambiente
SuperLogo
através
de
uma
linguagem
de
programação simplificada capaz de desenvolver o raciocínio
Descrição
Esta atividade apresenta um método para a obtenção de uma
fórmula para o cálculo da área de polígonos regulares e
implementa essa fórmula no software SuperLogo.
Conteúdos matemáticos envolvidos
Geometria Plana e Trigonometria:
Área de polígonos regulares, ângulos internos e externos de
polígonos e funções trigonométricas.
geométrico do aluno, tornando-o capaz de fazer deduções e
estabelecer relações matemáticas de uma maneira divertida
e desafiadora.
Nesta atividade, o desafio consiste em criar um
procedimento capaz de calcular a área de qualquer polígono
regular. Para isso, dividiremos a atividade em duas partes: a
primeira consiste na dedução de uma fórmula para o cálculo
da área de qualquer polígono regular; a segunda consiste na
implementação da fórmula obtida no software SuperLogo
Objetivos
acrescentando um comando para que a tartaruga desenhe os
Desenvolver o raciocínio geométrico e dedutivo.
polígonos regulares.
Relacionar diferentes propriedades dos polígonos regulares.
Ao longo do texto utilizaremos alguns conceitos
geométricos que, por esse motivo, precisam ser discutidos e
Tempo necessário
Duas aulas
trabalhados previamente ou ao longo da atividade.
3
Parte 1 – Deduzindo a fórmula
Observe os seguintes polígonos regulares:
Para lembrar...
Sabemos que polígonos regulares podem ser inscritos em circunferências de centro , tal
que
seja equidistante aos vértices do polígono. Podemos encontrar o centro
das
circunferências através da intersecção das bissetrizes dos ângulos internos dos polígonos, como na
figura abaixo:
Polígonos regulares são
polígonos que possuem todos
os seus lados congruentes e
todos os seus ângulos
internos congruentes.
Bissetriz de um ângulo é uma
semirreta interna ao ângulo,
com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois
ângulos congruentes.
Dessa forma, dividimos cada polígono regular em triângulos congruentes. Observe que o
número de triângulos é exatamente o número de lados do polígono.
4
Assim, para calcularmos a área de cada polígono regular basta calcularmos a área de um dos triângulos que compõe o polígono
e então, multiplicar o valor da área de um triângulo pela quantidade de triângulos.
Para calcularmos a área de um triângulo, basta utilizarmos a fórmula
do triângulo, respectivamente. Note que, neste caso,
, onde
e
são as medidas da base e da altura
coincide com a medida do lado do polígono, sendo então necessário, apenas
descobrir a altura do triângulo.
Descobrindo o valor de
: Para obtermos a altura do triângulo, podemos utilizar a função tangente. Para isso, vamos
considerar os triângulos retângulos de base , onde
a figura abaixo:
é a medida do lado do polígono, altura
e ângulo
que é oposto à , conforme
5
Pergunta
Podemos utilizar as
funções seno ou cosseno
no lugar da função
tangente para descobrir
o valor de ?
Dessa forma,
( )
e, portanto,
( ).
Contudo, ainda precisamos conhecer o valor do ângulo
, pois a altura
Observe que o ângulo externo de um polígono regular tem medida
lados do polígono e o ângulo interno de um polígono regular tem medida
isto é,
. Por exemplo, observe as figuras abaixo:
, onde
depende de
.
é o número de
ângulo externo,
Resposta:
Para usarmos as funções
seno ou cosseno
precisaríamos conhecer
o valor da hipotenusa do
triângulo retângulo que,
neste caso é o raio da
circunferência, o qual é
desconhecido.
6
Note que o ângulo externo do triângulo equilátero mede
. No quadrado o ângulo externo é
que é exatamente igual a
O ângulo interno do triângulo equilátero é igual a
interno do quadrado é igual a
que é exatamente igual a
.
que é igual a
. O ângulo
–
Como isto ocorrerá com todos os polígonos regulares, podemos descobrir o valor do ângulo
a partir do número de lados do polígono em questão.
Um ângulo interno de um
polígono é aquele formado
entre dois lados consecutivos.
Nos polígonos regulares, o
ângulo externo é
suplementar ao ângulo
interno, isto é, somam
7
Temos que o valor de
é igual à metade da medida do ângulo interno do polígono, isto é,
Neste momento, possuímos todos os dados necessários para o cálculo da área de polígonos
regulares. Assim, obtemos a seguinte fórmula:
(
)
(
(
) ( ))
(
(
) ( ))
A fórmula encontrada calcula a área de qualquer polígono regular. Basta escolhermos
quantos lados o polígono terá (variável ) e o tamanho de cada lado (variável ).
Observe
A fórmula encontrada
depende exclusivamente do
número de lados do polígono
regular e da medida de cada
lado. Além disso, o valor 𝑛
deve ser um número natural
maior do que (lembre-se
que não existe polígono com
1 ou 2 lados) e o valor 𝐿 pode
ser qualquer número real
positivo.
8
Parte 2 – Ensinando a tartaruga
Agora, vamos criar um procedimento no software SuperLogo para calcular a área de um polígono regular qualquer, utilizando a
fórmula encontrada. Nesse procedimento a tartaruga deverá desenhar o polígono regular e calcular a sua área. As entradas deverão
ser o número de lados do polígono e o tamanho de cada lado.
Para isso, precisaremos utilizar dois comandos básicos do SuperLogo: “escreva” e “repita”.
O comando escreva será responsável por escrever na janela de comandos o valor da área do polígono regular em questão. O
comando repita será necessário para que a tartaruga desenhe o polígono regular.
Para desenhar o polígono regular, a tartaruga precisará andar para frente o tamanho do lado do polígono e após, girar para
direita a medida do ângulo externo do polígono, e então, andar para frente e girar para direita a medida do ângulo externo do
polígono novamente, e assim sucessivamente, até que todos os lados do polígono tenham sido desenhados. Por exemplo, para que a
tartaruga desenhe um quadrado cuja medida do lado é 100, devemos dar os seguintes comandos:
pf 100
pd 90
pf 100
pd 90
pf 100
pd 90
pf 100
pd 90
9
Observe que o número de vezes que a tartaruga executa os comandos pf e pd em sequência é exatamente o número de lados
do polígono em questão. Por exemplo, para desenhar o quadrado devemos repetir 4 vezes os comandos pf e pd em sequência.
Como o número de lados do polígono é
, ela precisará repetir esses comandos
vezes. Isto pode ser ensinado para tartaruga
através do comando repita, da seguinte forma:
repita :n[pf :L pd 360/:n]
Onde :n é o número de lados do polígono e :L é o tamanho de cada lado. Lembre-se que pf significa “andar para frente”, pd
significa “girar para direita” e 360/:n é o ângulo externo do polígono, como vimos anteriormente.
Ainda precisamos ensinar para a tartaruga a fórmula que encontramos. Isso pode ser feito através do seguinte comando:
escreva :n*(:L*(tan (180-360/:n)/2)*:L/2)/2
Observe que o comando acima é exatamente a fórmula encontrada na primeira parte da atividade
Combinando os dois comandos acima, obtemos o seguinte procedimento, que chamaremos de “polígono”:
aprenda polígono :n :L
escreva [A área deste polígono é]
escreva :n*(:L*(tan (180-360/:n)/2)*:L/2)/2
repita :n[pf :L pd 360/:n]
fim
10
Utilizando o procedimento
Na janela de comando, escrevemos o nome do procedimento (polígono) e os valores das variáveis :n e :L. Por exemplo, se
escrevermos na janela de comandos “polígono 4 100” estaremos pedindo que a tartaruga desenhe um quadrado cujo lado mede 100 e
calcule sua área. Caso desejemos saber a área de um pentágono regular cuja medida do lado é 30, bastará escrever na janela de
comandos “polígono 5 30”. É importante ressaltar que o SuperLogo utiliza um ponto no lugar da vírgula na notação decimal.
Veja abaixo alguns polígonos regulares com lado medindo 100 u.c..