Page 1 12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 2012.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ
E WALTER PORTO.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Questão 01. (UDESC SC)
Um estudante ganhou um carro novo de seus pais quando passou no vestibular. Como o pai já havia escolhido o modelo, na
concessionária o estudante deveria decidir entre as opções duas ou quatro portas, com os possíveis equipamentos adicionais: ar
condicionado; direção hidráulica; câmbio automático; freio ABS e airbag. Para o carro de duas portas, ele podia escolher três
adicionais, enquanto que, para o carro de quatro portas, apenas dois adicionais. Como o pagamento foi à vista, a concessionária
ofereceu de brinde uma das opções: rodas de liga leve ou equipamento de som. O número total de possibilidades do estudante,
ao escolher o carro, foi:
01) 80
02) 20
03) 240
04) 40
05)10
RESOLUÇÃO:
Escolha do carro de duas portas: C 5,3 × C 2,1 =
Escolha do carro de quatro portas: C 5,2 × C 2,1
5× 4× 3
× 2 = 20
3 × 2 ×1
5× 4
=
× 2 = 20
2 ×1
Então o número de possibilidades é 40.
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 02.
a1 = 3


Considere a sequência (an) dada por: 
a2 = 1
a = a
n −1 − a n − 2 ; ∀n ≥ 3
 n
Qual é o 70o termo da sequência de números (an) definida acima?
01) 2
02) 1
03) – 1
04) – 2
05) – 3
RESOLUÇÃO:
a1 = 3


Se a sequência é determinada por 
, então:
a2 = 1
a = a
n −1 − a n − 2 ; ∀n ≥ 3
 n
a1 = 3;
a 2 = 1;
a 3 = a 2 − a1 = 1 − 3 = −2;
a 4 = a 3 − a 2 = −2 − 1 = −3;
a 5 = a 4 − a 3 = −3 − (− 2) = −1;
a 6 = a 5 − a 4 = −1 − (− 3) = 2;
a 7 = a 6 − a 5 = 2 − (− 1) = 3;
a 8 = a 7 − a 6 = 3 − 2 = 1;
............................................................
Logo a sequência é {3, 1, − 2, − 3, − 1, 2, 3, 1, − 2, − 3, − 1, 2 ,........} = {(3, 1, − 2, − 3, − 1, 2), (3, 1, − 2, − 3, − 1, 2),........}
Até o 70o termo tem-se 66 : 6 = 11 vezes o grupo (3, 1, − 2, − 3, − 1, 2) e mais o grupo (3, 1, − 2, − 3) porque 70 = 66 + 4.
Logo o 70o termo é −3 .
RESPOSTA: Alternativa 05.
12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil
Questão 03. (UERJ)
Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9
sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados
consecutivos. Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados
contendo 4 sábados é de:
01) 80
02) 96
03) 120
04) 126
05)144
RESOLUÇÃO:
A combinação dos 9 sábados 4 a 4 dá um número de possibilidades igual a:
9×8× 7 × 6
= 126 , incluindo as possibilidades com quatro sábados consecutivos.
C 9,4 =
4 × 3 × 2 ×1
As possibilidades com quatro sábados consecutivos são:
S1S 2S3S 4 , S2S3S 4S5 , S3S 4S5S6 , S 4S5S6S7 , S5S6S7 S8 e S6S7S8S9 , portanto 6 possibilidades.
Logo o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados não consecutivos é de: 126 – 6 = 120.
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 04.
Quantos números naturais não divisíveis por 7 existem entre 2000 e 3000?
01) 854
02) 856
03) 858
04) 824
05) 852
RESOLUÇÃO:
Entre 3000 e 2000 existem (3000 – 2000 – 1) = 999 números.
Como 2000 = 285 × 7 + 5, o primeiro número maior que 2000, divisível por 7, é 2000+2 =2002.
Como 3000 = 428 × 7 + 4, o primeiro número maior que 3000 divisível é 2000 − 4 = 2996.
O conjunto dos múltiplos de 7 entre 3000 e 2000 é:
{2002, 2009, 2016, ......., 2996} que constitui uma P.A. limitada de razão 7.
an = 2996 = 2002 + (n – 1)×7 ⇒ 428 = 286 + n – 1 ⇒ n = 143.
Finalmente: entre 3000 e 2000 existem (999 – 143) = 856 números não divisíveis por 7.
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 05.
De todos os anagramas formados com as letras da palavra TELEFONE, quantos possuem as consoantes juntas?
01) 480
02) 540
03) 600
04) 720
05) 840
RESOLUÇÃO:
Com as letras T, L, F e N pode-se formar P4 = (4 × 3 × 2 × 1) = 24 grupos diferentes.
Representando cada um desses grupos como α, calcula-se o número de anagramas que podem ser formados com a palavra
EEEOα multiplicando o resultado por 24:
P
 5 × 4 × 3 × 2 ×1 
24 × 5 = 24 × 
 = 480 .
3!
6


RESPOSTA: Alternativa 01.
12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil
2
Questão 06. (UFBA/ADAPTADA)
Para estudar o desevolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma pesquisa durante 15 semanas.
IniciaImente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o
seguinte:
•
na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias;
•
na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira
semana;
•
a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12;
•
no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao inicial.
Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
01) 1000
02) 1100
03) 1200
4) 1300
05) 1400.
RESOLUÇÃO:
Considere-se
x
como
o
número
inicial
de
bactérias.
Se na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias; ao final desta semana o número de bactérias era de
0,80x.
Se na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana,
ao final dessa semana o número de bactérias era de 1,1 × 0,8x = 0,88x.
Como a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12; o número de bactérias ao
final da terceira semana era de 0,88x +12.
Tem-se então a sequência (x; 0,80x; 0,88x; 0,88x +12; 0,88x +24;........., x) com 16 termos.
Nesta sequência, a partir do 3o termo tem-se a P.A. (0,88x; 0,88x +12; 0,88x +24;........., x) com 14 termos,
a1 = 0,88x, a14 = x e r = 12.
Sendo a14 = a1 + (14 – 1).r, então: x = 0,88x + 13.12 ⇒ 0,12x = 156 ⇒ x = 1300.
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 07.
Se
(n − 1)!
1
=
, então o valor de n é um:
(n + 1)!− n! 81
01)
02)
03)
04)
05)
número primo
quadrado perfeito
múltiplo de 4
dos divisores de 20
múltiplo de 5
RESOLUÇÃO:
(n − 1)!
1
(n − 1)!
1
1
1
=
⇒
=
⇒
=
⇒
(n + 1)!− n! 81
(n + 1)(n )(n − 1)! − n (n − 1)! 81
(n + 1)(n ) − n 81
1
1
=
⇒ n 2 = 81 ⇒ n = 9
2
81
n
RESPOSTA: Alternativa 02
12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil
3
Questão 08.
Um teatro tem 10 poltronas na primeira fila, 14 na segunda, 18 na terceira, e assim sucessivamente.
Se o número total de poltronas é 2.880, qual o número de filas que ele possui?
01) 28
02) 32
03) 36
04) 38
05) 42
RESOLUÇÃO:
Os números de cadeiras das n filas formam a sequência (10, 14, 18,......, 10 +(n – 1)×4).
Como o total de cadeiras é igual a 2.880:
(a + a n ) × n ⇒  (10 + 10 + (n − 1) × 4)n  = 2880 ⇒ (16 + 4n)n = 2880 ⇒
2880 = 1


2
2
2


(8 + 2n )n = 2880 ⇒ 2n 2 + 8n − 2880 = 0 ⇒ n 2 + 4n − 1440 = 0 ⇒
n=
− 4 ± 16 + 5760
− 4 ± 5776
− 4 ± 76
72
⇒n=
⇒n=
⇒n=
= 36
2
2
2
2
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 09.
Colocando em ordem crescente os números resultantes das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, que posição ocupará o
número 35.241?
02) 70a
03) 56a
04) 69a
05) 72a
01) 55a
Representando na tabela abaixo a formação de todos os números formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, menores ou iguais a
35.241.
1
2
3
3
3
3
3
3
3
b
c
d
a
c
d
1
b
d
2
b
a
4
a
b
5
1
2
5
1
4
5
2
1
5
2
4
TOTAL DE NÚMEROS
Quantidade de números
n1 = P4 = 4 × 3 × 2× 1 = 24
n2 = P4 = 4 × 3 × 2× 1 = 24
n3 = P3 = 3 × 2× 1 = 6
n4 = P3 = 3 × 2× 1 = 6
n5 = P3 = 3 × 2× 1 = 6
1
1
1
1
70
e
e
e
e
e
4
2
4
1
A posição do número 35.241 é: 48 + 18 + 4 = 70
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 10.
Uma pessoa compra determinado produto em vinte parcelas, sendo a 1a parcela no valor de R$ 500,00 e cada parcela seguinte
R$ 10,00 mais cara que a parcela anterior.
O valor total pago pelo produto foi de:
01) R$ 11.500,00
04) R$ 11.000,00
12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil
02) R$ 12.000,00
05) R$ 11.900,00
03) R$ 12.500,00
4
RESOLUÇÃO:
As vinte prestações formam a sequência (500, 510, 520, ....., 500 + (20 −1)×10).
Então a1 = 500, a20 = 500 +19×10 = 690, n = 20 (número de prestações) e r = 10.
Logo: S20 =
(500 + 690) × 20 = 11900
RESPOSTA: Alternativa 05.
2
Questão 11. (UNIMONTES MG)
Os pontos A, B, C, D, E, F e G, H, I, J pertencem às retas paralelas r e s, respectivamente. Esses pontos determinam n
triângulos. O valor de n é
01) 120.
02) 720.
03) 104.
04) 96.
05) 84.
RESOLUÇÃO:
Ao todo são 10 pontos distintos que deverão ser combinados 3 a 3 (número de vértices de um triângulo. Mas como A, B, C, D,
E, F pertencem à reta r e G, H, I, J à reta s, o número de triângulos é dado por:
C10,3 − C 6,3 − C 4,3 =
10 × 9 × 8 6 × 5 × 4 4 × 3 × 2
−
−
= 120 − 20 − 4 = 96
3 × 2 ×1 3 × 2 ×1 3 × 2 ×1
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 12.
Sabendo que (x; y; 40) é uma P.A. e (4; x; y) é uma P.G. crescente, calcule x + y.
01) 24
02) 32
03) 35
04) 40
05) 42
RESOLUÇÃO:
Se (x; y; 40) é uma P.A, então: 2y = x + 40.
Se (4; x; y) é uma P.G., então: x2 = 4y.
Resolvendo o sistema:
x + 40

2y = x + 40  y =

 x + 40 
2
2 ⇒ x 2 = 4
⇒
 ⇒ x = 2(x + 40) ⇒
 2

2
x = 4y



x 2 = 4y

2 ± 4 + 320
2 ± 18
⇒x=
⇒ x = −8 ou x = 10.
2
2
10 + 40
Como a P.G. (4; x; y) é crescente, x > 4 ⇒ x = 10 e y =
= 25 ⇒ x + y = 35 .
2
x 2 − 2x − 80 = 0 ⇒ x =
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 13. (BAIANA)
A soma dos três termos de uma progressão geométrica crescente é 31 e o produto deles é 125.
A razão dessa progressão é:
01) 5/4
02) 2
12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil
03) 5/2
04) 7/2
5
05) 5
RESOLUÇÃO:
Representando os termos da progressão geométrica como
x
, x e qx , pode-se formar o sistema:
q
x
x
x
 q + x + qx = 31
5

 q + x + qx = 31  + x + qx = 31
⇒
⇒ q
⇒ + 5 + 5q = 31 ⇒



q
 x  × x × qx = 125 x 3 = 125
x = 5
.


 q 
5q 2 − 26q + 5 = 0 ⇒ q =
26 ± 676 − 100
26 ± 24
⇒q=
⇒ q = 5 (P.G. crescente)
10
10
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 14.
Uma empresa faturou R$50.000,00 em janeiro de 2011 e em cada mês seguinte 10% a mais que no mês anterior. O faturamento
total desta empresa no ano de 2011 foi de:
*Use, se necessário: (1,1)11 = 2,85 ; (1,1)12 = 3,14
01) R$142.500,00
04) R$1.592.000,00
02) R$925.000,00
05) R$1.710.000,00
03) R$1.070.000,00
RESOLUÇÃO:
Os faturamentos da empresa em 2011 formam a P.G.:(50.000, 55.000,....., 1,111 × 50.000) de razão 1,1.
A soma dos termos de uma P.G. é dada pela relação Sn =
a1 (q n − 1)
⇒
q −1
50000(1,112 − 1)
50000(3,14 − 1)
50000 × 2,14
⇒ S12 =
⇒ S12 =
⇒
1,1 − 1
0,1
0,1
S12 = 500000 × 2,14 = 1 070 000
S12 =
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 15. (UFBA-01/Adaptada)
Considere a sequência (bn) onde
b n + 2 b n +1
b
1
1
=
, ∀ n ≥ 1, 10 = −
e b5 =
.
b n +1
bn
b5
243
81
Calcule o limite da soma dos infinitos termos dessa sequência.
01) 3/4
02) 4/3
03) 2/3
04) 3/2
05) 1
RESOLUÇÃO:
b10
1
1
1
 1  1 
 1 
=−
e b5 =
⇒ b10 = b5  −
 ⇒ b10 =   −
 ⇒ b10 = − 9 ⇒ .
b5
243
81
3
 81  243 
 243 
Sendo b10 = b5 × q10 − 5 ⇒ −
 1 
1
1
1
= 4 × q 5 ⇒ − 5 = q 5 ⇒ q = −  5 5  = −3−1 .
9
 3 
3
3
3


(
Sendo b 5 = b1 × q 5 −1 ⇒ 3− 4 = b1 × − 3−1
(
−1
−2
−3
−4
4
)
( )
⇒ b1 = 3− 4 : 3− 4 = 30 = 1 .
−5
−6
)
A sequência é 1, − 3 , 3 , − 3 , 3 , − 3 , 3 ....
(
)
A soma dos infinitos termos desta sequência é igual à soma das somas dos termos das sequências: 1, 3−2 , 3−4 , 3−6.... e
1
−
− 3−1
9 3 3
1
1
− 3 , − 3 , − 3 , .... cujas razões são iguais a 3 : S =
+
= + 3 = − = .
−2
−2
8
8
8 8 4
1− 3
1− 3
9
9
RESPOSTA: Alternativa 01
(
−1
−3
−5
)
12-35206(S)_1ªAval-Matem-3ªEM-U1-(prof)-20-03_nil
−2
6