O Teorema de Napoleão

Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens
L IGA D’E LFOS 2011
16 de Outubro de 2010
M ATCH 1
O Teorema de Napoleão
O teorema de Napoleão diz que se sobre os lados de um triângulo qualquer ABC forem
construídos triângulos equiláteros, os ortocentros desses triângulos equiláteros formam
igualmente um triângulo equilátero. O objectivo deste match é demonstrar este teorema
e uma sua generalização. Denotem por A0 o terceiro vértice do
triângulo equilátero construído sobre o lado BC. Da mesma
forma, denotem por B 0 e C 0 os terceiros vértices dos restantes
dois triângulos equiláteros (cf. figura). Denotem por OA o
ortocentro do triângulo A0 BC, OB o ortocentro de AB 0 C e
OC o ortocentro de ABC 0 .
1. Seja F o segundo ponto de intersecção das circunferências circunscritas em A0 BC
e AB 0 C. Mostrem que ∠AF B + ∠AC 0 B = π.
2. Mostrem que as circunferências circunscritas em A0 BC, AB 0 C e ABC 0 se intersectam num ponto.
3. Mostrem que ∠OB OA OC = π − ∠CF B = ∠CA0 B = π/3.
4. Mostrem que OB OA OC é equilátero.
5. Suponham que os triângulos A0 BC, AB 0 C e ABC 0 não são necessariamente equiláteros mas que ∠AC 0 B + ∠BA0 C + ∠CB 0 A = π. Mostrem que os suas circunferências circunscritas continuam a intersectar-se num ponto F .
6. Mostrem que se num triângulo P QR tomarmos pontos P 0 sobre o lado QR, Q0 sobre o lado P R e R0 sobre o lado P Q, as circunferências circunscritas nos triângulos
P Q0 R0 , P 0 R0 Q e P 0 RQ0 intersectam-se num ponto. [Teorema de Miquel]
7. Suponham que A0 BC, AB 0 C e ABC 0 não são necessariamente equiláteros mas são
semelhantes, pela ordem em que denotamos os seus vértices, i.e., de tal forma que
∠A0 BC = ∠AB 0 C,
∠BCA0 = ∠B 0 CA,
∠CA0 B = ∠CAB 0 , etc.
Mostrem que então OA OB OC é semelhante a estes três triângulos.
Jorge Neves
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L IGA D’E LFOS 2011
4 de Dezembro de 2010
M ATCH 2
Polinómios inteiros
Um polinómio com coeficientes em Q é uma expressão da forma
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · ar xr ,
com ai ∈ Q. O conjunto de todos os polinómios com coeficientes em Q denota-se por
Q[x]. Um polinómio f ∈ Q[x] diz-se inteiro se f (n) ∈ Z para todo o n ∈ Z. Seja k um
inteiro ≥ 1; o coeficiente binomial de ordem k na variável x é por definição:
x
x(x − 1)(x − 2) · · · (x − (k − 2))(x − (k − 1))
.
=
k(k − 1)(k − 2) · · · 2 · 1
k
Convenciona-se que x0 = 1. Um polinómio f ∈ Q[x] diz-se combinação linear inteira
P
de coeficientes binomiais se existirem a0 , . . . , ar ∈ Z, tais que f (x) = rk=0 ak xk . O
operador das diferenças, ∆ : Q[x] → Q[x], é a aplicação definida por
∆f (x) = f (x + 1) − f (x).
1. Mostrem que f (x) = 16 x3 − 21 x2 + 13 x + 3 é um polinómio inteiro.
2. Mostrem que, para todo o k ≥ 0, f (x) = xk é um polinómio inteiro.
3. Seja f (x) = xk , com k ≥ 0. Calculem ∆f (x).
4. Sejam f, g ∈ Q[x] quaisquer. Suponham que ∆f (x) = ∆g(x). Mostrem que então
f (x) − g(x) = c, para certo c ∈ Q.
5. Seja f ∈ Q[x] um polinómio qualquer. Suponham que ∆f (x) é combinação linear
inteira de coeficientes binomiais. Mostrem que então f também é combinação
linear de coeficientes binomiais.
6. Mostrem que um polinómio f (x) ∈ Q[x] é inteiro se e só for combinação linear
inteira de coeficientes binomiais.
P
7. Seja f (x) = rk=0 ak xk um polinómio inteiro. Seja p um primo. Mostrem que p
divide f (n) para todo o n ∈ Z se e só se p divide ak para todo o k ∈ {0, 1, . . . , r}.
Jorge Neves
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Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens
L IGA D’E LFOS 2011
8 de Janeiro de 2011
M ATCH 3
Eliminatórias
1. [2009] Um triângulo ABC rodou em torno do ponto C dando origem ao triângulo
DEC. O segmento BE intersecta o segmento CD num ponto F . Sabendo que
∠DCA = π/2, ∠CDE = 2π/9 e ∠CED = π/3, determinem ∠BF C.
2. [2008] Um número inteiro positivo N diz-se flexível se existir um número M , obtido através de uma permutação dos algarismos de N (não podendo começar com
o algarismo 0), tal que M + N ainda se pode obter através de uma permutação
dos algarismos de N . Por exemplo, 6147 é flexível porque 6147 + 1467 = 7614.
Determinem todos os números flexíveis com 3 algarismos.
3. [2007] Seja ABC um triângulo equilátero e P o ponto de AC tal que P C = 1. A
recta que passa por P e é perpendicular a AC intersecta BC em M e intersecta a
recta de suporte a AB em Q. O ponto médio de QM é N e BN = 10. Determinem
o comprimento do lado do triângulo ABC.
4. [2006] Escrevem-se por ordem crescente os múltiplos de 3 cuja soma com 1 é um
quadrado perfeito: 3, 15, 24, 48 . . . Qual é o 2006o múltiplo que se escreve?
5. [2005] Encontrem o menor número inteiro positivo tal que a soma dos seus nove
menores múltiplos distintos (incluindo ele próprio) é um número com todos os
algarismos iguais.
6. [2004] Sobre os lados CD e DA do quadrado ABCD são construídos triângulos
equiláteros. Sejam E o terceiro vértice do triângulo equilátero de base CD e F o
terceiro vértice do triângulo equilátero de base DA. Determinem a razão entre a
área do triângulo DEF e do quadrado ABCD.
7. [2003] Desenhem um triângulo equilátero ABC e considerem, sobre o lado AB,
um ponto D tal que AB = 7AD, sobre o lado BC, um ponto E tal que DE||AC
e, sobre o lado AC, um ponto F tal que DF ||BC. Se G é um ponto pertencente
DE, qual é a razão entre a área do triângulo F GC e a área do triângulo ABC?
Jorge Neves
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L IGA D’E LFOS 2011
5 de Fevereiro de 2011
M ATCH 4
Sangaku
Um sangaku é um delicado painel de madeira do Japão dos séculos VII a XVI, no qual
se inscreviam problemas de geometria, usando refinadas imagens a cor, ilustrando a
situação geométrica em questão e (nem sempre!) a sua solução. Eis 7 sangaku.
1. Sejam A, B, C, D quatro pontos, dispostos por esta ordem, sobre uma circunferência C . Sejam M, N, P, Q ∈ C os pontos médios dos arcos AB, BC, CD e DA,
respectivamente. Mostrem que os segmentos M P e N Q são perpendiculares.
2. Seja ABCD um quadrilátero cíclico. Mostrem que os incentros dos triângulos
ABD, BCD, ACD, ABC são vértices de um rectângulo.
3. Sejam C1 , C2 , C3 circunferências de raio r e centros colineares, tais que C1 é tangente externamente a C2 e C2 é tangente externamente a C3 . Uma quarta circunferência C de raio R envolve-as, com C1 e C3 tangentes internamente a ela. Seja l
uma das tangentes a C1 e C3 que não é tangente a C2 e sejam P e Q os pontos de
intersecção de l com C . Mostrem P Q = R + 3r.
4. Seja ABC um triângulo rectângulo em C e seja H o pé da altura em C. Mostrem
que CH é igual à soma dos raios dos incírculos dos triânglos ABC, HBC e CAH.
5. Seja ABCD um quadrado com AB = a. O ponto N ∈ AB é tal que os incírculos
de AN C e CN B são congruentes. Calculem os raios destes em função de a.
6. Seja ABC um triângulo com AB = BC. Sejam D ∈ AB e J ∈ CD tais que
AJ ⊥ CD e os incírculos dos triângulos AJC, ADJ e BCD têm raio igual a r.
Mostrem que r = AJ
4 .
7. Sejam ABC um triângulo rectângulo em C e C a sua circunferência circunscrita.
Sejam C1 e C2 duas circunferências de raios r1 e r2 , respectivamente, tais que C1 é
tangente a AC, pelo exterior de ABC, em M , o ponto médio de AC, C2 é tangente
a BC, pelo exterior de ABC, em N , o ponto médio de BC e ambas C1 e C2 são
tangentes (internamente) a C . Seja C1 , de raio r1 , uma circunferência tangente a
ambos lados AC e BC e internamente tangente a C . Mostrem que r12 = 32r2 r3 .
Jorge Neves
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L IGA D’E LFOS 2011
5 de Março de 2011
M ATCH 5
Polinómio cromático
Seja G um grafo simples, isto é, um objecto matemático especificado por um conjunto
de vértices VG , finito, e um conjunto de arestas EG ⊂ V2G , onde V2G denota o conjunto
de pares (não-ordenados) de elementos de VG . Uma coloração dos vértices de G com
t cores é, formalmente, uma função f : VG → {1, 2, . . . , t}. Uma coloração válida de
G é uma coloração que satisfaz f (v1 ) 6= f (v2 ) sempre que v1 e v2 sejam extremos da
mesma aresta. Denotemos por χG (t) a cardinalidade do conjunto de todas as colorações
válidas de G com t cores. Esta função de t (que depende de G) designa-se por polinómio
cromático de G; mostraremos que χG (t) é, de facto, um polinómio na variável t. Dada
uma aresta e ∈ EG podemos criar dois novos grafos a partir de G. A elipse de e, que se
denota por G − e, é o grafo que se obtém de G eliminando a aresta e. A contracção de
e, que se denota por G/e, é o grafo que se obtém de G colapsando num único vértice os
dois extremos de e (de modo que G/e tenha, efectivamente, menos um vértice), removendo o lacete em que se transforma a aresta e e, no caso em que entre o “novo” vértice
e um outro vértice existam mais do que uma aresta, removendo o número necessário de
arestas entre estes vértices, para que reste apenas uma.
1. Calculem o polinómio cromático do grafo G com n vértices e EG = ∅.
2. Calculem χG (t) para G com n vértices e todas as arestas possíveis entre eles.
3. Seja e ∈ EG . Mostrem que χG (t) = χG−e (t) − χG/e (t).
4. Mostrem que χG (t) é um polinómio na variável t, de grau igual a n = |VG |.
5. Suponham que G1 e G2 são dois grafos. Seja G o grafo que se obtém considerando
a reunião de G1 com G2 . Mostrem que χG (t) = χG1 (t)χG2 (t).
6. Uma árvore é um grafo no qual quaisquer 2 vértices se podem ligar através de um
caminho percorrendo as arestas e no qual não existem caminhos não-triviais cujo
início e fim coincidam. Calculem o polinómio cromático de uma árvore.
7. Seja n = |VG |. Mostrem que o coeficiente de tn−1 de χG (t) é igual a −|EG |.
Jorge Neves
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Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens
L IGA D’E LFOS 2011
2 de Abril de 2011
M ATCH 6
Russia versus USA
1. [ARO2004] Seja ABCD um quadrilátero cíclico. As bissectrizes externas dos
ângulos ∠DAB e ∠ABC intersectam-se em K; as bissectrizes externas dos ângulos ∠ABC e ∠BCD intersectam-se em L; as bissectrizes externas dos ângulos
∠BCD e ∠CDA intersectam-se em M e, finalmente, as bissectrizes externas dos
ângulos ∠CDA e ∠DAB intersectam-se em N . Sejam K1 , L1 , M1 e N1 os ortocentros dos triângulos ABK, BCL, CDM e DAN , respectivamente. Mostrem
que o quadrilátero K1 L1 M1 N1 é um paralelogramo.
2. [USAMO2005] Determinem todos os números compostos, n, para os quais é possível dispor os divisores ≥ 1 de n num círculo de maneira a que quaisquer dois
divisores adjacentes não sejam primos entre si.
3. [ARO2006] Mostrem que se um inteiro a > 1 é tal que (a − 1)3 + a3 + (a + 1)3 é
um cubo perfeito então 4|a.
n
4. [USAMO2007] Mostrem que para todo o inteiro não-negativo, n, o número 77 +1
é um produto de pelo menos 2n + 3 primos, não necessariamente distintos.
5. [ARO2008] Suponham que cada face de um tetraédro (não necessariamente regular) cabe dentro de uma circunferência de raio 1. Mostrem que então o tetraédro
cabe dentro de uma esfera de raio 2√3 2 .
6. [USAMO2009] Seja n um inteiro positivo. Determinem a cardinalidade do maior
subconjunto de {−n, −n + 1, . . . , n − 1, n} que não contenha três elementos a, b, c
(não necessariamente distintos) satisfazendo a + b + c = 0.
7. [ARO2010] Considerem duas rectas que se intersectam em P e são tangentes a uma
circunferência O nos pontos A e B. Seja Z o centro de O. C é um ponto no arco
menor AB distinto do ponto médio desse arco. As rectas AC e P B intersectam-se
em D e as rectas BC e AP intersectam-se em E. Mostrem que os circuncentros
dos triângulos ACE, BCD e P CZ são colineares.
Jorge Neves
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L IGA D’E LFOS 2011
13 de Abril de 2011
M ATCH 7
USA versus Russia
1. [USAMO2004] Sejam a, b, c > 0. Mostrem que
(a5 − a2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c2 + 3) ≥ (a + b + c)3 .
2. [ARO2005] Seja {x1 , . . . , x10 } um conjunto de 10 números reais não-nulos. Suponham que para qualquer par de números neste conjunto a sua soma ou o seu produto
é um número racional. Mostrem que os quadrados destes 10 números são racionais.
3. [USAMO2006] Determinem os inteiros positivos, n, para os quais existem k ≥ 2
números racionais positivos a1 , a2 , . . . , ak tais que
a1 + a2 + · · · + ak = a1 · a2 · · · ak = n.
4. [ARO2007] Seja ABC um triângulo acutângulo; sejam M e N os pontos médios
dos lados AB e BC, respectivamente; seja H o pé da altura de ABC ao vértice B
e seja P o segundo ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos AHN e
CHM . Mostrem que P H passa pelo ponto médio de M N .
5. [USAMO2008] Seja ABC um triângulo escaleno, acuntângulo; sejam M , N e
P os pontos médios dos lados BC, CA e AB, respecivamente; sejam D e E os
pontos de intersecção da recta AM com as mediatrizes dos lados AB e AC, respectivamente, e seja F o ponto no interior de ABC onde se intersectam as rectas
BD e CE. Mostrem que os pontos A, N , F e P pertecem a uma circunferência.
6. [ARO2009] Sejam x e y dois inteiros tais que 2 ≤ x, y ≤ 100. Mostrem que existe
n
n
um inteiro positivo, n, tal que x2 + y 2 não é primo.
7. [USAMO2010] Seja AXY ZB um pentágono convexo inscrito num semi-círculo
de diâmetro AB. Denotem por P, Q, R, S os pés das perpendiculares às rectas AX,
BX, AZ, BZ, respectivamente, que passam por Y . Mostrem que a amplitude do
ângulo agudo formado pelas rectas P Q e RS é 21 ∠XOZ, onde O é o ponto médio
do segmento AB
Jorge Neves
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L IGA D’E LFOS 2011
28 de Maio de 2011
M ATCH 8
Sangaku II
Os sangaku, populares do início do século XVII até meados do século XIX, eram ofertados a santuários Xinto e a templos Budístas do Japão; em forma de agradecimento pela
inspiração divina ou para desafio de devotos vindouros com igual apreço pela arte.
1. Seja C uma circunferência e l1 , l2 as duas tangentes a C por um ponto A no exterior
de C . Sejam B e C os pontos de tangência. Mostrem que C passa pelo incentro
do triângulo ABC.
2. Considerem C1 , C2 , C3 circunferências no mesmo semiplano definido por uma
recta, tangentes a esta recta e duas a duas tangentes exteriormente. Determinem a
relação entre os raios r1 , r2 e r3 das três circunferências.
3. Sejam C1 e C2 circunferências de raios distintos e r a recta pelos seus centros;
suponham r horizontal e C1 à esquerda de C2 . Sejam A, B ∈ C1 , C, D ∈ C2 , da
esquerda para a direita, as intersecções com r. Seja C10 a circunferência tangente
internamente a C1 e às duas tangentes a C2 por A e seja C20 tangente internamente
a C2 e às duas tangentes a C1 por D. Mostrem que os raios de C10 e C20 coincidem.
4. Seja ABCD um quadrado com lado a e N o ponto médio de AB. Seja P a intersecção de N C e BD. Calculem, em função de a, o raio do incírculo de DP C.
5. Num quadrado ABCD, E ∈ AB é tal que DE é tangente à circunferência C1 de
centro no ponto médio de BC e raio AB/2. Sejam C2 , de raio r2 , o incírculo de
ADE e F ∈ AD, H ∈ CD tais que F H é tangente a C1 e C2 . Seja G a intersecção
de DE com F H. Seja C3 , de raio r3 , o incírculo de DGH. Mostrem que 2r2 = 3r3 .
6. Dado ABC inscrito numa circunferência, o segmento que une os pontos médios do
lado BC e do arco BC designa-se por sagitta de BC e o seu comprimento denotase por vA . Analogamente, vB e vC são os comprimentos das sagittas das cordas AC
e AB, respectivamente. Sejam a = BC, b = AC, c = AB, r o raio do incírculo e
s o semiperímetro de ABC. Mostrem que r(r + 2va ) = (s − b)(s − c).
2
7. Seja ABC um triângulo e I o seu incentro. Mostrem que AI = 4vB vC .
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L IGA D’E LFOS 2011
18 de Junho de 2011
M ATCH 9
Funções Olímpicas
1. [2004] Determinem a função f : R \ {0, 1} → R que satisfaz a:
f (x) + f (1 − 1/x) = 1 + x,
∀ x ∈ R \ {0, 1} .
2. [2005] Calculem todas as funções f : R → R tais que
f (x + y) + f (x) + f (y) = f (xy) + 2xy + 1,
∀ x, y ∈ R.
3. [2006] Determinem todas as funções f : R+ → R+ que satisfazem a:
f (x)f (y) = 2f (x + yf (x)),
∀ x, y ∈ R+ .
4. [2007] Calculem todas as funções f : R+ → R+ que satisfazem a:
x
f (x)
=
, ∀ x, y ∈ R+ .
f
yf (x) + 1
xf (y) + 1
5. [2008] Considerem todas as funções f : N → N que, para quaisquer m, n ∈ N,
satisfazem f (m + n) ≥ f (m) + f (f (n)) − 1 . Determinem todos os possíveis
valores de f (2007).
6. [2009] Determinem as funções f : R → R tais que ∀ x, y, z ∈ R se tenha:
x3 + f (y)x + f (z) = 0 =⇒ f (x)3 + yf (x) + z = 0.
7. [2010] Calculem todas as funções f : R → R que satisfazem a:
f (bxcy) = f (x)bf (y)c,
Jorge Neves
∀ x, y ∈ R.
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6 de Julho de 2011
M ATCH 10
Teoria de Números Olímpica
1. [2004] Um inteiro positivo diz-se alternado se cada dois dígitos consecutivos na
sua representação decimal têm paridades diferentes. Determinem todos os inteiros
positivos, n, tais que n tenha um múltiplo que é alternado.
2. [2005] Mostrem que não existe um inteiro positivo, n, tal que 2n2 + 1, 3n2 + 1 e
6n2 + 1 sejam quadrados perfeitos.
3. [2006] Sejam a1 , a2 , . . . , an inteiros tais que n | (a1 + a2 + · · · + an ). Mostrem que
existem duas permutações (b1 , b2 , . . . , bn ) e (c1 , c2 , . . . , cn ) de (1, 2, . . . , n) tais que
para todo o inteiro i com 1 ≤ i ≤ n se tenha n | (ai − bi − ci ).
4. [2007] Mostrem que a equação:
x7 − 1
= y5 − 1
x−1
não tem soluções inteiras.
5. [2008] Determinem todos os pares de inteiros (a, b) tais que 7a − 3b divida a4 + b2 .
6. [2009] Seja f : N → N uma função não constante tal que (a − b) | (f (a) − f (b))
para quaisquer a, b ∈ N distintos. Mostrem que existem infinitos números primos
p tais que p | f (c) para algum c ∈ N.
7. [2010] Determinem todas as funções g : N → N tais que (g(m) + n)(g(n) + m) é
um quadrado perfeito, para quaisquer m, n ∈ N.
Jorge Neves
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9 de Setembro de 2011
M ATCH F INAL
O Teorema de Stanley
Seja n um inteiro positivo. Uma partição de n é uma decomposição de n como soma
de inteiros positivos. As parcelas de uma partição de n designam-se por partes dessa
partição. Por exemplo, as partições de 5 são: 5, 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1,
2 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 1; há apenas uma partição com 1 partes; duas com 2 partes;
etc. O número de partições n denota-se por p(n). Dado um inteiro 0 < k ≤ n e τ uma
partição de n, o número de partes que ocorrem em τ pelo menos k vezes denota-se por
dk (τ ). Assim, para τ = 2 + 1 + 1 + 1, temos d1 (2 + 1 + 1 + 1) = 2; d2 (2 + 1 + 1 + 1) = 1;
d3 (2 + 1 + 1 + 1) = 1, d4 (2 + 1 + 1 + 1) = 0, etc. O Teorema de Stanley diz que o
P
número de vezes que 1 ocorre entre as partições de n coincide com τ d1 (τ ), onde τ
varia no conjunto de todas as partições de n. Assim, o número 1 ocorre 12 vezes entre
as partições de 5, o que coincide com 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1.
1. Calculem o número de partições de n com duas partes.
2. Mostrem que o número de partições de n com k partes é igual ao número de partições de n com máximo do conjunto das partes igual a k.
3. Seja k < n. Mostrem que o número de partições de n que contêm pelo menos k
vezes o inteiro 1 é igual a p(n − k).
4. Mostrem que o número de vezes que 1 ocorre de entre todas as partições de n é
igual a p(n − 1) + p(n − 2) + · · · + p(1) + 1.
5. Seja r < n. Mostrem que o número de partições de n em que r ocorre como uma
parte é igual a p(n − r).
6. Demonstrem o Teorema de Stanley.
7. Seja k < n. Mostrem que o número de vezes que k ocorre como uma parte de
P
uma partição de n coincide com τ dk (τ ), onde τ varia no conjunto de todas as
partições de n.
Jorge Neves
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