Ressonância Magnética Nuclear - PPGINF

WECIQ 2006 - Mini-curso 6 (Parte I)
Ressonância Magnética Nuclear:
Uma Tecnologia para a Computação Quântica
Ivan S. Oliveira1
1
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas
Rua Dr. Xavier Sigaud 150, Rio de Janeiro, 22290-180.
[email protected]
1. Introdução
Neste curso serão apresentados os princípios básicos da Ressonância Magnética Nuclear
(RMN) e sua aplicação ao processamento da informação quântica. Um sistema-modelo
de dois spins acoplados em uma molécula é introduzido como modelo de dois q-bits na
RMN. É discutida a geração de um conjunto universal de chaves lógicas quânticas, através
do uso de pulsos de radiofreqüência. É apresentada uma proposta para a construção de
um chip quântico baseado na RMN escalonável. O texto é de nível introdutório, dirigido
a estudantes sem conhecimento prévio da área.
2. Ressonância Magnética Nuclear
A Ressonância Magnética Nuclear (RMN) é uma técnica de física experimental conhecida
há cerca de 50 anos. Ela tem várias aplicações, não só na física, mas também na química,
na biologia e na medicina. Na física, a RMN é utilizada principalmente para a determinação das distribuições espaciais de momentos magnéticos e de cargas elétricas existentes
dentro de diversos materiais, bem como os processos de interações entre estes momentos
e suas vizinhanças. Na química e na biologia, a RMN tem sido um poderoso auxiliar
para o estudo das estruturas de moléculas complexas, como polímeros, proteínas, etc.
Finalmente, na medicina a RMN é a técnica utilizada nos tomógrafos que produzem imagens do interior do corpo humano em pleno funcionamento, de forma não-invasiva. Tais
imagens auxiliam na identificação de tumores no organismo. Mais recentemente, especificamente a partir do ano de 1997, a RMN se apresentou como uma promissora candidata
para a imnplementação de chaves lógicas e algoritmos quânticos.
Fenômenos de ressonância ocorrem em vários sistemas físicos. Sempre que um
sistema apresentar freqüências naturais de vibração, ele pode ser excitado pela ação de um
agente externo que esteja em ressonância com aquelas vibrações naturais. Um exemplo
corriqueiro de tal sistema é o de uma massa m presa a uma mola
pcom constante elástica k.
Neste caso, a freqüência natural de vibração é dada por ω0 = k/m. Aplicando-se uma
força externa oscilante do tipo F (t) = F0 cos(ωt) sobre o sistema, ocorrerá o fenômeno
de ressonância, que se caracterizará por uma grande amplitude de oscilação da massa
presa à mola, mesmo para uma força aplicada de pequeno módulo. Outros exemplos
de freqüências naturais são aquele de um
ppêndulo simples, de comprimento L, em um
campo gravitacional g, para o qual ω0 = g/L (válido para pequenas oscilações), e o de
uma carga elétrica q, com massa m na presença de um campo magnético B, para o qual
ω0 = qB/m (a chamada freqüência de cíclotron). Naturalmente que a unidade de ω0 é o
rd/s. Se quisermos a freqüência em Hz, devemos dividir ω por 2π: f0 = ω/2π.
115
Um tipo muito importante de freqüência natural é aquela de um momento magnético de um núcleo atômico na presença de um campo magnético estático, B0 . Neste
caso,
ω0 = γn B0
(1)
ou
γn
B0
(2)
2π
A quantidade γn /2π é chamada de fator giromagnético do núcleo, e é uma propriedade
intrínseca sua, uma espécie de identidade magnética. A sua unidade é Hz/T. Tipicamente
se tem γn /2π ≈ 106 Hz/T, ou 1 MHz/T. Isto que dizer que um núcleo com tal valor de
γn /2π, se colocado na presença de um campo magnético de 1 tesla, terá seu momento
magnético precessando um milhão de vezes por segundo em torno da direção do campo.
Mediante a ação de um agente externo oscilando na mesma freqüência, ocorrerá o fenômeno da ressonância magnética nuclear, como formalizado na próxima seção.
f0 =
3. A RMN: fundamentos teóricos para a computação quântica
Sabemos do eletromagnetismo que a interação entre um momento magnético m e um
campo magnético B é descrita pelo hamiltoniano:
H = −m · B
(3)
No entanto, sabemos da mecânica quântica que o momento magnético de um núcleo se
relaciona ao seu momento angular total, ou spin I, através de:
m = ~γn I
(4)
Substituindo (4) em (3), e supondo que B = B0 k (campo magnético estático apontando
ao longo da direção z), teremos:
H = −~γn B0 Iz = ~ω0 Iz
(5)
onde Iz é a componente z do spin. Repare que ~ω0 tem dimensão de energia.
A mecânica quântica nos ensina que Iz só pode adquirir valores discretos que
variam de −I até +I, de 1 em 1. Assim, por exemplo, se I = 1/2, os valores possíveis de
Iz , ou seus autovalores, denotados por mz são: mz = −1/2, +1/2. Se I = 3/2, teremos
mz = −3/2, −1/2, +1/2, +3/2, e assim por diante. A cada valor de mz corresponde um
autovalor de energia. Se I = 1/2, por exemplo, teremos as autoenergias E0 = −~ω0 /2
e E1 = +~ω0 /2. A diferença entre esses dois valores de energia é E1 − E0 = ~ω0 . O
mesmo ocorre para o caso I = 3/2 e, de fato, para qualquer valor de I. Basta ver de (5)
que
Emz +1 − Emz = ~ω0 (mz + 1 − mz ) = ~ω0
Obtém-se daí um importante resultado:
116
(6)
Emz +1 − Emz
Emz +1 − Emz
= ~ω0 =⇒ f0 =
(7)
~
h
Esta equação nos diz que a freqüência natural de um momento magnético nuclear na presença de um campo magnético (chamada de freqüência de Larmor) é dada pelo espaçamento em energia de níveis quânticos consecutivos, dividido pela constante de Planck.
Tais níveis de energia correspondem a diferentes orientações do spin nuclear na presença
do campo. A freqüência de Larmor está na faixa de radiofreqüência, podendo variar de
alguns MHz, até alguns GHz.
ω0 =
Transições entre níveis consecutivos de energia, Emz +1 e Emz , podem ser induzidas pela ação ressonante de uma onda eletromagnética na freqüência de Larmor. De
fato, é o campo magnético da onda que interage com o momento magnético do núcleo,
levando à transição. Tal campo é representado por B1 (t), e ele deve ser aplicado ao longo
de uma direção perpendicular à do campo estático B0 (por exemplo, ao longo da direção
x). Neste caso, a probabilidade de transição de um núcleo entre níveis consecutivos será
proporcional a:
~2 γn2 B12 (t)|hmz+1 |Ix |mz i|2
(8)
Para fins de computação quântica por RMN, o sistema mais simples possível é
aquele de dois spins acoplados, na presença de um campo magnético estático. Tal sistema
poderia representar, por exemplo, os spins dos isótopos 1 H e 13 C em uma molécula de
clorofórmio, e se constitui em um computador quântico com dois q-bits. O Hamiltoniano
de tal sistema é uma extensão de (5):
H = −~ω01 I1z − ~ω02 I2z + 2πJI1z I2z
(9)
onde ω01 e ω02 são as respectivas freqüências de Larmor dos dois spins no campo estático. O último termo representa o acoplamento entre os dois spins, e é chamado de
acoplamento–J. Normalmente, considera-se 2πJ/~ ≪ ω0 . Para dois spins 1/2, este
hamiltoniano apresenta 4 níveis de energia:
1
1
π
E0 = − ~ω01 − ~ω02 + J; autoestado | ↑↑i
2
2
2
1
π
1
E1 = − ~ω01 + ~ω02 − J; autoestado | ↑↓i
2
2
2
1
π
1
E3 = + ~ω01 − ~ω02 − J; autoestado | ↓↑i
2
2
2
1
π
1
E4 = + ~ω01 + ~ω02 + J; autoestado | ↓↓i
2
2
2
onde considerou-se ω01 > ω02 . Cada spin possui 2 freqüências de ressonância:
117
(10)
f11 =
E4 − E1
E3 − E0
e f21 =
para o spin 1
h
h
E1 − E0
E4 − E3
e f22 =
para o spin 2
h
h
que são medidas diretamente no espectro de RMN.
f21 =
(11)
Transições entre estes pares de níveis podem ser realizadas aplicando-se um campo
de radiofreqüência “sintonizado” em f11 , f12 , f21 ou f22 . O campo de radiofreqüência é
normalmente modelado como um campo magnético circularmente polarizado:
B1 (t) = B1 [cos(ωt)i + sin(ωt)j]
(12)
Ao inserirmos a interação dos spins com B1 , aparecem termos do tipo Ix cos(ωt) e Iy sin(ωt)
no hamiltoniano1 . A dependência temporal destes termos pode ser eliminada mediante
uma transformação de sistema de coordenadas, como descrito em qualquer livro-texto
básico de RMN2 . O hamiltoniano transformado, chamado de hamiltoniano efetivo, Hef ,
contém todas as interações importantes ao problema, e não depende de t:
Hef = ~(ω − ω01 )I1z + ~(ω − ω02 )I2z + ~ω11 I1x + ~ω12 I2x + 2πJI1z I2z
(13)
onde os dois primeiros termos representam a interação dos spins com o campo estático
B0 (no novo sistema de coordendadas), o terceiro e quarto termos a interação dos spins
com o campo B1 (ω1 ≡ γn B1 ), e o último termo o acoplamento entre os spins. O fato de
este novo hamiltoniano não depender do tempo é muito importante, pois significa que o
estado do sistema evolui de acordo com:
Hef
t |ψ(0)i
(14)
|ψ(t)i = exp −i
~
Este resultado é a base para a implementação de chaves lógicas e algoritmos quânticos
por RMN.
4. Implementação de chaves lógicas quânticas por RMN
Os quatro estados de spin de (3) podem ser mapeados em estados lógicos, da seguinte
forma:
| ↑↑i =⇒ |00i
| ↑↓i =⇒ |01i
1 Considera-se
2 Veja,
| ↓↑i =⇒ |10i
B1 ≪ B0 .
por exemplo, C.P. Slichter, Principles of Magnetic Resonance (Springer-Verlag 1990).
118
(15)
| ↓↓i =⇒ |11i
Considere agora o hamiltoniano efetivo de (13), com ω = ω02 . Ou seja, estamos “sintonizando” o campo de radiofreqüência na freqüência de Larmor do segundo spin. Supondo
que ω01 ≫ ω02 , somente o segundo spin sentirá a ação do campo de RF, e podemos aproximar (14) por:
|ψ(t)i = exp [−iω12 tI2x ] |ψ(0)i
(16)
θ12
θ12
|ψ(t)i = exp [−iθ12 tI2x ] |00i = I cos
− iσ2x sin
|00i
2
2
(17)
Lembre que ω12 = γ2 B1 é a intensidade da interação (em unidade de freqüência) do
segundo spin com o campo de RF. O produto ω12 t = θ2 é o ângulo de rotação do spin 2
provocado pelo torque exercido por B1 sobre ele. Supondo que |ψ(0)i = |00i, teremos
de (16):
onde usou-se3 Ix = 1/2σx . Consequentemente,
|ψ(t)i = cos
θ12
2
|00i − i sin
θ12
2
|01i
(18)
Para θ12 = π, teremos o estado final
|ψi = |01i
(19)
o que representa uma operação NOT sobre o q-bit 2. Por outro lado, se θ12 = π/2,
obtemos4
|0i − i|1i
√
(20)
2
o que representa, a menos do fator de fase −i, uma operação de Hadamard sobre o segundo q-bit5 . Dessa forma, podemos controlar o estado dos dois q-bits individualmente.
De uma forma geral, representamos por
|ψi = |0i ⊗
(θ)jk
um pulso de θ, sobre o k-ésimo q-bit, aplicado ao longo da direção j. Todas as operações
de 1 q-bit podem ser implementadas aplicando-se pulsos de RF com durações e direções
específicas.
Uma operação importante é a evolução natural do par de q-bits sob o acoplamento–
J, sem pulsos aplicados, por um tempo τ , tal que 2πJτ /~ = π/2. Tal operação gera o
seguinte operador τ12 :
3σ
x é a componente x das matrizes de Pauli.
4 Diz-se no primeiro caso que se aplicou um pulso
de π, e no segundo caso um pulso de π/2.
fase pode ser facilmente corrigida com a aplicação de outro pulso. De fato, a seqüência de pulsos (π)x (π/2)−y , gera um
operador de Hadamard sobre 1 q-bit.
5 Esta
119
τ12 = eiπ/2I1z I2z

1−i
0
0
0
1  0
1+i
0
0 

=√ 
0
1+i
0 
2 0
0
0
0
1−i

(21)
Com o operador τ12 podemos gerar a seqüência


1−i
0
0
0

1  0
1+i
0
0

(π/2)y2 τ12 (π/2)x2 = √ 

0
0
0
−1 + i 
2
0
0
1+i
0
(22)
que nada mais é do que uma chave CNOT com controle no primeiro q-bit.
Em resumo, pulsos de RF geram portas de 1 q-bit, e a combinação de pulsos com
a evolução livre dos spins sob o acoplamento–J gera a chave CNOT. Dessa forma a RMN
gera um conjunto completo universal de chaves lógicas quânticas!
5. Computação quântica com a RMN de líquidos: o problema da
escalabilidade
Em um experimento de RMN usual não lidamos com 2 spins acoplados apenas, mas com
um número muito grande de moléculas em um líquido, cada uma delas contendo um
par de spins (ou mais). Tal sistema constitui um ensemble estatístico e, em princípio,
não seria adequado para a computação quântica. Contudo, em 1997 Neil Gershenfeld e
Isaac Chuang descobriram como transformar um ensamble estatístico de tais moléculas,
inicialmente em uma mistura estatística de equilíbrio, em um estado que efetivamente se
comporta como um estado quântico puro. Tal estado passou a ser chamado de estado
pseudo-puro, e é genericamente representado pela matriz densidade:
1−ǫ
I + ǫ|ψihψ|
(23)
2N
onde N é o número de q-bits do sistema, |ψi um estado quântico puro, e ǫ ∝ 1/2N um
fator numérico, tipicamente da ordem de 10−5 para amostras líquidas com 2 q-bits. I
é a matriz identidade de ordem 2N . Qualquer transformação unitária U sobre a matriz
densidade opera somente sobre o segundo termo:
ρ=
1−ǫ
I + ǫU |ψihψ|U †
(24)
2N
Isto é, um estado pseudo-puro evolui efetivamente como um estado quântico puro. Além
disso, como a amplitude do sinal de RMN é proporcional ao traço do operador Ix + iIy :
U ρU † =
Tr[ρ(Ix + iIy )]
e Ix e Iy são operadores de traço nulo, teremos
Tr[ρ(Ix + iIy )] = ǫTr[(Ix + iIy )|ψihψ|] = ǫhψ|Ix + iIy |ψi
120
(25)
Ou seja, o valor termodinâmico do operador Ix +iIy em um estado pseudo-puro, é idêntico
ao valor esperado quântico para o estado |ψi, multiplicado pelo fator ǫ. A descoberta
desta propriedade levou à demonstração de todos os algoritmos quânticos já propostos
por RMN, além de vários outros experimentos importantes (vide Bibliografia).
No entanto, em 1999 foi demonstrado por Braunstein e colaboradores (ver Bibliografia) que para ǫ abaixo de um determinado valor, uma matriz densidade com a forma
(23) sempre pode ser escrita como um produto de matrizes de 1 q-bit, o que implica em
um estado separável. Estabeleceu-se um intenso debate em torno deste tema e, passou-se
a se referir a estados como (23), nos quais |ψi é um estado emaranhado, como estados
pseudo-emaranhados. Muitos artigos têm demonstrado experimentalmente a existência
de correlações não-clássicas em estados pseudo-emaranhados.
Embora amostras líquidas têm sido utilizadas com grande sucesso pela RMN para
a demosntração dos princípios fundamentais da computação quântica, a existência de um
fator multiplicativo ǫ que decai exponencialmente com o aumento do número de q-bits
torna inviável o uso de amostras deste tipo como processadores quânticos de larga escala
(ou seja, contendo um número grande de q-bits). Isto levou ao aparecimento de propostas
alternativas muito promissoras, como será abordado na próxima seção.
6. O chip quântico da RMN: uma proposta para um sistema escalonável
Qualquer técnica experimental que vise a implementação de um computador quântico
contendo um grande número de q-bits, deve satisfazer aos seguintes requisitos básicos:
1. Possuir uma boa representação do q-bit;
2. Ser capaz de gerar um conjunto universal de chaves lógicas quânticas, incluindo a
porta de 2 q-bits, CNOT;
3. Ser aplicável a um sistema físico escalonável.
A RMN de líquidos satisfaz aos dois primeiros ítens: o spin nuclear é uma boa representação do q-bit, e os pulsos de radiofreqüência geram um conjunto universal de chaves
lógicas quânticas. O acoplamento–J, associado aos pulsos de RF, permitem a criação da
operação CNOT. No entanto, amostras líqüidas não são escalonáveis. O problema então
se reduz a se encontrar uma alternativa ao uso dos líquidos.
A primeira proposta concreta foi feita em 1998 por Bruce Kane (ver Bibliografia).
O esquema do chip quântico de Kane está mostrado Figura 2. Um array de núcleos de 61 P
é montado em uma matriz de silício, com uma distância da ordem de 100 Å entre eles.
Pequenos interruptores elétricos sobre cada núcleo controla a densidade eletrônica local,
e portanto o valor da sua freqüência de RMN, tornando-os seletivos ao campo de RF,
permitindo a implementação de chaves lógicas de 1 q-bit. Interruptores do mesmo tipo
colocados nas regiões entre os núcleos controlam a interação entre eles, possibilitando a
execução da chave CNOT.
O funcionamento do esquema de Kane depende do controle da interação de troca
entre átomos de fósforo vizinhos em um nível de precisão atômica, como mostrado por
Koiller e colaboradores (ver Bibliografia). Isto aparentemente inviabiliza o esquema. No
entanto, no volume 442 da Nature de julho de 2006, Dale Kitchen e colaboradores reportaram a substituição átomo-a-átomo de Ga por Mn em um semicondutor de AsGa,
demonstrando que talvez propostas como a de Kane não sejam totalmente inviáveis. De
121
Figura 1. Esquema de Kane para um chip quântico à base de RMN. Um array de 31 P é inserido em uma
rede de silício. Chaves elétricas posicionadas sobre os átomos e nas regiões entre eles controlam a
frequência de RMN e a interação entre os núcleos.
qualquer forma, além do posicionamento de átomos em um array, seria preciso ainda os
meios para se realizar as operações lógicas em núcleos individuais, e uma forma de se
detectar o sinal magnético de 1 único spin6 para a leitura final de seu estado!
Tais dificuldades parecem ser problemas tecnológicos instransponíveis. No entanto, alguns avanços teóricos e experimentais recentes demonstram o contrário. Em
2000, Berman e colaboradores monstraram que a utilização da técnica conhecida como
Magnetic Resonance Force Microscopy (MRFM), ou microscopia de força por ressonância magnética (ver Bibliografia), permite a implementação de todas as etapas necessárias
para operar um chip quântico formado por um array de núcleos de átomos paramagnéticos: preparação do estado inicial, implementação de transformações unitárias e leitura
do estado final. E em 2004, Rugar e colaboradores demonstraram a extraordinária sensibilidade da MRFM detectando o sinal magnético de 1 único spin paramagnético em um
material. O esquema de funcionamento a técnica é mostrado na Figura 3, junto com o
sinal detectado de 1 único spin (Figura 4).
Concluindo, a RMN apresenta os requisitos necessários e suficientes para a implementação da computação quântica. Avanços na nano-fabricação de estruturas atômicas
artificiais, e o desenvolvimento de técnicas experimentais como a MRFM superam as dificuldades existentes na RMN de líquidos, e apontam para um futuro muito promissor
neste campo.
6 Para
fins de comparação, o número mínimo de spins detectável na RMN convencional é algo em torno de 1014 .
122
Figura 2. Esquema de um experimento de MRFM. Uma partícula magnética na ponta de uma haste
gera uma força magnética sobre um spin da amostra. A oscilação do spin pelo efeito de ressonância
faz a haste vibrar. A vibração da haste é detectada por interferometria laser.
Figura 3. Detecção do sinal de 1 único spin por MRFM. Os dois espectros correspondem a valores
diferentes do campo magnético utilizado.
123
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